La formula differenziale della funzione ha la forma

dove è il differenziale della variabile indipendente.

Sia data ora una funzione complessa (differenziabile), dove, Quindi, mediante la formula per la derivata di una funzione complessa, troviamo

perché .

Così, , cioè. la formula differenziale ha la stessa forma per la variabile indipendente e per l'argomento intermedio, che è una funzione differenziabile di.

Questa proprietà è chiamata proprietà invarianza di una formula o forma di un differenziale. Si noti che la derivata non ha questa proprietà.

Relazione tra continuità e differenziabilità.

Teorema (condizione necessaria perché la funzione sia differenziabile). Se una funzione è derivabile in un punto, allora è continua in quel punto.

Prova. Lascia che la funzione y=F(X) differenziabile in un punto X 0. Diamo un incremento all'argomento a questo punto  X. La funzione verrà incrementata  a. Cerchiamo .

Di conseguenza, y=F(X) continuo al punto X 0 .

Conseguenza. Se X 0 è un punto di discontinuità della funzione, quindi la funzione non è differenziabile in esso.

Non è vero il contrario del teorema. Continuità non implica differenziabilità.

Differenziale. significato geometrico. Applicazione del differenziale a calcoli approssimativi.

Definizione

differenziale di funzioneè detto lineare rispetto a parte dell'incremento della funzione. È indicato come kakili. In questo modo:

Commento

Il differenziale di una funzione è la parte principale del suo incremento.

Commento

Insieme al concetto di funzione differenziale, viene introdotto il concetto di argomento differenziale. Per definizione argomentazione differenziale c'è un incremento di argomento:

Commento

La formula per il differenziale di una funzione può essere scritta come:

Quindi lo otteniamo

Quindi, questo significa che la derivata può essere rappresentata come una frazione ordinaria, il rapporto tra i differenziali della funzione e l'argomento.

Il significato geometrico del differenziale

Il differenziale di una funzione in un punto è uguale all'incremento dell'ordinata della tangente tracciata sul grafico della funzione in quel punto, corrispondente all'incremento dell'argomento.

Regole di base della differenziazione. Derivata di una costante, derivata di una somma.

Sia funzioni e abbia derivate in un punto. Quindi

1. Costante può essere tolto dal segno della derivata.

5. Differenziale costanteè uguale a zero.

2. Derivata somma/differenza.

La derivata della somma/differenza di due funzioni è uguale alla somma/differenza delle derivate di ciascuna delle funzioni.

Regole di base della differenziazione. Derivato del prodotto.

3. Derivato di un prodotto.

Regole di base della differenziazione. Derivata di una funzione complessa e inversa.

5. Derivata di una funzione complessa.

La derivata di una funzione complessa è uguale alla derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio, moltiplicata per la derivata dell'argomento intermedio rispetto all'argomento principale.

E hanno derivati ​​nei punti, rispettivamente. Quindi

Teorema

(Sulla derivata della funzione inversa)

Se una funzione è continua e strettamente monotona in un intorno di un punto ed è differenziabile a questo punto, allora la funzione inversa ha una derivata nel punto, e .

Formule di differenziazione. Derivata di funzione esponenziale.

La regola per differenziare una funzione complessa ci condurrà a una proprietà notevole e importante di un differenziale.

Siano le funzioni tali che una funzione complessa possa essere composta da esse: . Se ci sono derivati, allora - per la regola V - c'è anche un derivato

Sostituendo, tuttavia, la sua derivata con l'espressione (7) e notando che esiste un differenziale di x in funzione di t, otteniamo infine:

cioè, torniamo alla forma precedente del differenziale!

Quindi, vediamo che la forma del differenziale può essere preservata anche se la vecchia variabile indipendente viene sostituita da una nuova. Siamo sempre liberi di scrivere il differenziale di y nella forma (5), indipendentemente dal fatto che x sia una variabile indipendente o meno; l'unica differenza è che se t viene scelta come variabile indipendente, allora non significa un incremento arbitrario, ma un differenziale x in funzione di Questa proprietà è chiamata invarianza della forma del differenziale.

Poiché la formula (5) fornisce direttamente la formula (6), che esprime la derivata in termini di differenziali, l'ultima formula rimane valida, indipendentemente dalla variabile indipendente (ovviamente la stessa in entrambi i casi) i differenziali nominati vengono calcolati.

Lasciamo, per esempio, così

Ora impostiamo Quindi avremo anche: È facile verificare che la formula

fornisce solo un'altra espressione per la derivata calcolata sopra.

Questa circostanza è particolarmente conveniente da utilizzare nei casi in cui la dipendenza di y da x non è specificata direttamente, ma invece è data la dipendenza di entrambe le variabili xey da una terza variabile ausiliaria (chiamata parametro):

Assumendo che entrambe queste funzioni abbiano derivate e che per la prima di esse esista una funzione inversa che ha una derivata, è facile vedere che allora anche y risulta essere una funzione di x:

per cui esiste anche una derivata. Il calcolo di tale derivata può essere effettuato secondo la regola di cui sopra:

senza ripristinare la dipendenza diretta di y da x.

Ad esempio, se la derivata può essere definita, come è stato fatto sopra, senza utilizzare affatto la dipendenza.

Se consideriamo xey come coordinate rettangolari di un punto sul piano, le equazioni (8) assegnano ogni valore del parametro t a un certo punto, che, al variare di t, descrive una curva sul piano. Le equazioni (8) sono dette equazioni parametriche di questa curva.

Nel caso della specifica della curva parametrica, la formula (10) consente di impostare direttamente la pendenza della tangente utilizzando le equazioni (8) senza procedere alla specifica della curva mediante l'equazione (9); Esattamente,

Commento. La possibilità di esprimere la derivata in termini di differenziali assunti rispetto a qualsiasi variabile, in particolare, porta al fatto che le formule

esprimendo nella notazione di Leibniz le regole per differenziare una funzione inversa e una funzione complessa diventano semplici identità algebriche (poiché qui tutti i differenziali possono essere presi rispetto alla stessa variabile). Tuttavia, non si deve pensare che ciò dia una nuova derivazione delle formule di cui sopra: prima di tutto, l'esistenza delle derivate a sinistra non è stata qui dimostrata, ma la cosa principale è che abbiamo essenzialmente utilizzato l'invarianza della forma del differenziale , che a sua volta è una conseguenza della norma V.

Per definizione, il differenziale (primo differenziale) di una funzione è calcolato dalla formula
Se è una variabile indipendente.

ESEMPIO.

Mostriamo che la forma del primo differenziale rimane invariata (è invariante) anche nel caso in cui l'argomento della funzione è essa stessa una funzione, cioè per una funzione complessa
.

Lascia stare
sono differenziabili, quindi per definizione

Inoltre, come richiesto per dimostrare.

ESEMPI.

La provata invarianza della forma del primo differenziale ci permette di supporre che
cioè la derivata è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione e il differenziale della sua argomentazione, indipendentemente dal fatto che l'argomento sia una variabile indipendente o una funzione.

Differenziazione di una funzione definita parametricamente

Lascia che funzioni
ha sul set retromarcia, quindi
Poi le uguaglianze
definito sul set una funzione definita parametricamente, – parametro (variabile intermedia).

ESEMPIO. Traccia una funzione
.

Viene chiamata la curva costruita cicloide(Fig. 25) ed è la traiettoria di un punto su una circonferenza di raggio 1 che rotola senza slittamento lungo l'asse OX.

COMMENTO. A volte, ma non sempre, un parametro può essere eliminato dalle equazioni delle curve parametriche.

ESEMPI.
sono le equazioni parametriche della circonferenza, poiché, ovviamente,

sono le equazioni parametriche dell'ellisse, poiché

sono le equazioni parametriche della parabola

Trova la derivata di una funzione data parametricamente:

La derivata di una funzione definita parametricamente è anche una funzione definita parametricamente: .

DEFINIZIONE. La derivata seconda di una funzione è detta derivata della sua derivata prima.

derivato -esimo ordine è la derivata della sua derivata dell'ordine
.

indichiamo le derivate della seconda e l'ordine in questo modo:

Dalla definizione della derivata seconda e dalla regola di differenziazione di una funzione data parametricamente deriva che
Per calcolare la derivata terza, è necessario rappresentare la derivata seconda nella forma
e usa di nuovo la regola risultante. I derivati ​​di ordine superiore sono calcolati in modo simile.

ESEMPIO. Trova le derivate del primo e del secondo ordine di una funzione

.

Teoremi di base del calcolo differenziale

TEOREMA(Azienda agricola). Lascia che la funzione
ha al punto
estremo. Se esiste
, poi

PROVA. Lascia stare
, ad esempio, è il punto minimo. Per definizione di punto minimo esiste un intorno di questo punto
, Entro cui
, cioè
- incremento
al punto
. Per definizione
Calcola le derivate unilaterali in un punto
:

per il passaggio al teorema limite nella disuguaglianza,

perché

, perché
Ma per condizione
esiste, quindi la derivata sinistra è uguale a quella destra, e questo è possibile solo se

L'ipotesi che
- il punto massimo, porta allo stesso.

Il significato geometrico del teorema:

TEOREMA(Rotolo). Lascia che la funzione
continuo
, differenziabile
e
poi c'è
tale che

PROVA. Perché
continuo
, quindi per il secondo teorema di Weierstrass si raggiunge
il loro più grande
e meno
valori o ai punti estremi o alle estremità del segmento.

1. Lascia
, poi

2. Lascia
Perché
o
, o
raggiunto al punto estremo
, ma per il teorema di Fermat
QED

TEOREMA(Lagrange). Lascia che la funzione
continuo
e differenziabile
, allora esiste
tale che
.

Il significato geometrico del teorema:

Perché
, allora la secante è parallela alla tangente. Pertanto, il teorema afferma che esiste una tangente parallela a una secante passante per i punti A e B.

PROVA. Attraverso i punti A
e B
traccia una secante AB. La sua equazione
Considera la funzione

- la distanza tra i punti corrispondenti sul grafico e sulla secante AB.

1.
continuo
come differenza di funzioni continue.

2.
differenziabile
come differenza di funzioni differenziabili.

3.

Significa,
soddisfa le condizioni del teorema di Rolle, quindi esiste
tale che

Il teorema è stato dimostrato.

COMMENTO. La formula è chiamata Formula di Lagrange.

TEOREMA(Koshi). Passiamo alle funzioni
continuo
, differenziabile
e
, allora c'è un punto
tale che
.

PROVA. Mostriamolo
. Se
, quindi la funzione
soddisferebbe la condizione del teorema di Rolle, quindi ci sarebbe un punto
tale che
è una contraddizione con la condizione. Significa,
, ed entrambe le parti della formula sono definite. Consideriamo una funzione ausiliaria.

continuo
, differenziabile
e
, cioè
soddisfa le condizioni del teorema di Rolle. Allora c'è un punto
, in cui
, ma

QED

Si chiama la formula collaudata Formula caucasica.

REGOLA di L'Hopital(Teorema L'Hopital-Bernoulli). Passiamo alle funzioni
continuo
, differenziabile
,
e
. Inoltre, esiste un finito o infinito
.

Poi c'è

PROVA. Dal momento che secondo la condizione
, quindi definiamo
al punto
, supponendo
Quindi
diventare continuo
. Mostriamolo

Facciamo finta che
poi c'è
tale che
, poiché la funzione
sul
soddisfa le condizioni del teorema di Rolle. Ma per condizione
- una contraddizione. Ecco perché

. Funzioni
soddisfare le condizioni del teorema di Cauchy su qualsiasi segmento
, che è contenuto in
. Scriviamo la formula di Cauchy:

,
.

Quindi abbiamo:
, poiché se
, poi
.

Rinominando la variabile nell'ultimo limite, otteniamo quanto richiesto:

NOTA 1. La regola dell'Hopital resta valida anche quando
e
. Ti permette di rivelare non solo l'incertezza della forma , ma anche della forma :

.

NOTA 2. Se, dopo aver applicato la regola L'Hopital, l'incertezza non è stata rivelata, allora dovrebbe essere applicata nuovamente.

ESEMPIO.

COMMENTO 3 . La regola dell'Hopital è un modo universale per rivelare le incertezze, ma ci sono dei limiti che possono essere rivelati applicando solo una delle tecniche particolari precedentemente studiate.

Ma ovviamente
, poiché il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, e il limite è uguale al rapporto dei coefficienti alle potenze superiori

Differenziale di funzione

La funzione viene chiamata differenziabile in un punto, limitante per l'insieme e, se il suo incremento Δ F(X 0) corrispondente all'incremento dell'argomento X, può essere rappresentato come

Δ F(X 0) = UN(X 0)(X - X 0) + ω (X - X 0), (1)

dove ω (X - X 0) = di(X - X 0) a X → X 0 .

Display, chiamato differenziale funzioni F al punto X 0 e il valore UN(X 0)h - valore differenziale a questo punto.

Per il valore della funzione differenziale F designazione accettata df o df(X 0) se vuoi sapere a che punto è stato calcolato. In questo modo,

df(X 0) = UN(X 0)h.

Dividendo in (1) per X - X 0 e mira X a X 0 , otteniamo UN(X 0) = F"(X 0). Quindi abbiamo

df(X 0) = F"(X 0)h. (2)

Confrontando (1) e (2), vediamo che il valore del differenziale df(X 0) (quando F"(X 0) ≠ 0) è la parte principale della funzione di incremento F al punto X 0 , lineare ed omogeneo allo stesso tempo rispetto all'incremento h = X - X 0 .

Criterio di differenziabilità delle funzioni

In ordine per la funzione F era differenziabile in un dato punto X 0 , è necessario e sufficiente che a questo punto abbia una derivata finita.

Invarianza della forma del primo differenziale

Se Xè una variabile indipendente, quindi dx = X - X 0 (incremento fisso). In questo caso abbiamo

df(X 0) = F"(X 0)dx. (3)

Se X = φ (T) è una funzione derivabile, quindi dx = φ" (T 0)dt. Di conseguenza,