Il movimento curvilineo è un movimento la cui traiettoria è una linea curva. (Ad esempio, cerchio, ellisse, iperbole, parabola). Un esempio di movimento curvilineo è il movimento dei pianeti, la fine della lancetta dell'orologio sul quadrante, ecc. Nel caso generale, la velocità durante il movimento curvilineo cambia in grandezza e direzione.

Moto curvilineo punto materialeè considerato moto uniforme se il modulo di velocità è costante (ad esempio, moto uniforme attorno a un cerchio) e accelerato in modo uniforme se il modulo e la direzione della velocità cambiano (ad esempio, il movimento di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzonte).

Riso. uno

Quando ci si sposta lungo una traiettoria curvilinea, il vettore di spostamento è diretto lungo la corda (Fig. 1) e l- la lunghezza della traiettoria. La velocità istantanea del corpo (cioè la velocità del corpo in un dato punto della traiettoria) è diretta tangenzialmente in quel punto della traiettoria in cui si trova attualmente il corpo in movimento (Fig. 2).

Riso. 2

Il moto curvilineo è sempre un moto accelerato. Cioè, l'accelerazione durante il moto curvilineo è sempre presente, anche se il modulo di velocità non cambia, ma cambia solo la direzione della velocità. La variazione di velocità per unità di tempo è accelerazione tangenziale:

Dove v f , v 0 - l'entità delle velocità al momento t 0 + Dt e t 0 rispettivamente.

L'accelerazione tangenziale in un dato punto della traiettoria nella direzione coincide con la direzione della velocità del corpo o è opposta ad essa.

L'accelerazione normale è il cambiamento di velocità in direzione per unità di tempo:

L'accelerazione normale è diretta lungo il raggio di curvatura della traiettoria (verso l'asse di rotazione). L'accelerazione normale è perpendicolare alla direzione della velocità.

L'accelerazione centripeta è l'accelerazione normale nel moto circolare uniforme.

L'accelerazione totale per un moto curvilineo uniforme del corpo è:

Il movimento di un corpo lungo una traiettoria curvilinea può essere approssimativamente rappresentato come movimento lungo gli archi di alcuni cerchi (Fig. 3).

In alcuni problemi viene utilizzato il concetto di "galleggiabilità", intendendo la differenza tra la forza di sollevamento di Archimede e la forza di gravità. Attività contrassegnate da un asterisco maggiore complessità(opzioni 116–123).

Problema 91. Un sottomarino che non aveva una rotta, avendo ricevuto poca galleggiabilità R = 0.01mg m. T = 0.01mg. Prendi la forza di resistenza proporzionale alla prima potenza della velocità V e uguale R=–0.1mV.Determinare la traiettoria della barca e la distanza percorsa da essa orizzontalmente al momento della risalita.

Problema 92. Determina la legge del moto X (t), y (t) punto materiale pesante M masse m = 5 kg o forza direttamente proporzionale alla distanza da essa. Il movimento avviene nel vuoto, la forza di attrazione, K = 20 Insieme a –1 g = 9.8 SM, v X 0 = 200 SM, . Asse Bue orizzontale e l'asse Ehi

Problema 93. Il sottomarino, che non aveva una rotta, era in superficie a distanza m dal fondo. Guadagno di galleggiamento negativo R= 0.1mg, inizia a sfuggire all'inseguimento a una velocità molto bassa, fornita da una piccola spinta orizzontale costante del motore T = 0.001mg. La componente orizzontale della forza di resistenza può essere trascurata e la sua componente verticale può essere considerata uguale a R = –0.05mgV, dove è la velocità verticale della barca che affonda. Determina la legge del moto della barca e la distanza che ha percorso orizzontalmente nel momento in cui tocca il fondo.

Problema 94. Punto M masse m = 5 kg o K = 20 c –1 , rè il vettore raggio del punto. Al momento iniziale, il punto M aveva coordinate M 0 (un,0), un = 24 m e velocità v 0 con proiezioni v X 0 = 0,v y 0 = 4 SM. Determinare la legge del moto e la traiettoria di un punto M

Problema 95. R = 0.001mg, inizia a salire dalla profondità m. Allo stesso tempo, il motore che ha iniziato a funzionare fornisce una forza di trazione orizzontale costante. La componente verticale della forza di trascinamento può essere trascurata e la sua componente orizzontale può essere considerata uguale a, dove è la velocità orizzontale della barca. Determinare la traiettoria della barca e la distanza percorsa da essa orizzontalmente al momento della risalita.

Problema 96. Sottomarino che si muove in superficie a bassa velocità u 0 = 0.5 SM R = 0.5mg, ha iniziato un'immersione di emergenza a motori spenti. La componente orizzontale della forza di trascinamento può essere trascurata e la sua componente verticale può essere considerata uguale a dove è la velocità verticale della barca che affonda. Determina la legge del moto della barca e la distanza che ha percorso orizzontalmente nel momento in cui affonda in profondità m.

Problema 97. corpo M masse m = 8 kg, preso come punto materiale e posto su un piano inclinato liscio con angolo di inclinazione rispetto all'orizzonte = 30° (Fig. 19), si riporta la velocità iniziale v 0 = 18 SM, diretto ad un angolo = 45° rispetto all'asse X e sdraiato su un aereo eh. Asse y g = 9.8 SM X (t), y(t).

Fig.19

Problema 98. Un sottomarino che si muove in superficie ad una velocità u 0 = 0.5 SM, avendo ottenuto galleggiabilità negativa R = 0.1mg, ha iniziato l'immersione a motori spenti. Prendi la forza di resistenza proporzionale alla prima potenza della velocità V e uguale Determinare la traiettoria della barca e la distanza che ha percorso orizzontalmente nel momento in cui affonda alla profondità m.

Problema 99. La più grande portata orizzontale del proiettile m raggiunto con un angolo di lancio rispetto all'orizzonte. Determina a cosa è uguale la velocità iniziale del proiettile v 0 e. Accelerazione caduta libera g = 9.8 SM La velocità iniziale del proiettile v 0 quando si lascia la canna del fucile è fissa.

Compito 100. Cannone costiero situato ad un'altezza m sul livello del mare, spara proiettili che hanno una velocità di u 0 = 1500 SM. Determina la portata di colpire un bersaglio con un tiro orizzontale e la legge del movimento del proiettile X(t), y (t), se la componente verticale della forza di trascinamento può essere trascurata, e la sua componente orizzontale può essere assunta uguale a, dove è la velocità orizzontale del proiettile.

Compito 101. Determina la legge del moto X (t), y (t) punto materiale M masse m = 8 kg, attratto dal centro fisso o K = 12 c-uno . Al momento iniziale () X 0 = 18 m, v y 0 = 6 SM. Ignora la gravità della terra.

Compito 102. Punto materiale di massa m Ossi . Il modulo di forza cambia secondo la legge. velocità di partenza SM diretto ad un angolo () rispetto alla linea d'azione della forza. Ottieni l'equazione della traiettoria di un punto y (X).

Problema 103. Punto M masse m = 8 kg si muove sotto l'azione di una forza repulsiva da un centro fisso o, che varia a seconda della legge, dove K = 12 c –1 , r g = 9.8 SM 2. Al momento iniziale () X 0 = 20 m, v y 0 = 50 SM. Asse Bue orizzontale e l'asse Ehi X (t), y(t) e la traiettoria y (X) punti M.

Compito 104. Punto materiale di massa m muoversi su un piano orizzontale liscio Ossi sotto l'influenza di una forza diretta parallelamente all'asse a(vedi fig. 19). Il modulo di forza cambia secondo la legge. velocità di partenza SM diretto perpendicolarmente alla linea d'azione della forza. Trova la legge del moto X (t), y (t) e l'equazione della traiettoria del punto y = y (X).

Problema 105. corpo M masse m = 20 kg, preso come punto materiale e posto su un piano inclinato liscio con angolo di inclinazione rispetto all'orizzonte = 60° (vedi Fig. 19), viene riportata la velocità iniziale v 0 = 2 SM X e sdraiato su un aereo eh. Asse y orizzontale. Accelerazione di gravità g = 9.8 SM 2. Determina la legge del moto di un corpo lungo un piano inclinato X (t), y (t).

Problema 106. Con un angolo di lancio \u003d 60 ° rispetto all'orizzonte, il proiettile ha un raggio di volo orizzontale m. Determina a quale velocità iniziale del proiettile v 0 è uguale in questo caso. Trova anche l'intervallo orizzontale e l'altezza massima della traiettoria con un angolo di proiezione di 30°. Accelerazione di gravità g = 9.8 SM

Problema 107. Determina la legge del moto X (t), y (t) punto materiale pesante M masse m = 6 kg, attratto dal centro fisso o forza direttamente proporzionale alla distanza da essa. Il movimento avviene nel vuoto, la forza di attrazione è uguale, K = 8 c g = 9.8 SM 2. Al momento iniziale () X 0 = 24 m, a 0 = 40 m, . Asse Bue orizzontale e l'asse Ehi diretto verticalmente verso l'alto.

Problema 108. Punto M masse m = 4 kg si muove sotto l'azione di una forza repulsiva da un centro fisso o, che varia a seconda della legge, dove K = 10 c –1 , rè il vettore raggio del punto. Accelerazione di gravità g = 9.8 SM 2. Al momento iniziale () X 0 = 2 m, v X 0 = 4 SM, . Asse Bue orizzontale e l'asse Ehi diretto verticalmente verso l'alto. Determina la legge del moto X (t), y(t) e la traiettoria y (X) punti M.

Problema 109. paracadutista di massa cade con un paracadute aperto sulla Terra in aria calma verticalmente con una velocità costante costante SM. In alto m sopra la superficie della Terra, dopo aver tirato le linee, acquisisce una velocità orizzontale SM. Determina l'entità della deviazione orizzontale del paracadutista dalla direzione iniziale del suo movimento al momento dell'atterraggio e la legge del suo movimento, se mantiene le linee nella stessa posizione durante l'ulteriore discesa. La componente orizzontale della forza di resistenza che agisce sul paracadutista nel flusso d'aria, Rx = –0.01mV x, dove è la velocità orizzontale del paracadutista. Ignora il cambiamento nella componente verticale della forza di resistenza causata dall'inclinazione della calotta del paracadute.

Compito 110. Partendo dalla superficie della Terra, un razzo di massa kg si muove durante i primi 10 Insieme a sotto l'azione di una forza di trazione diretta ad angolo rispetto all'orizzontale. Quindi la forza di trazione viene disattivata. Determina la traiettoria del proiettile e la sua gittata. Ignora la forza della resistenza dell'aria.

Compito 111. corpo M masse m = 28 kg, preso come punto materiale e posto su un piano inclinato liscio con un angolo di inclinazione rispetto all'orizzonte = 45° (vedi Fig. 19), la velocità iniziale v 0 = 34 SM, diretto ad un angolo = 30° rispetto all'asse X e sdraiato su un aereo eh. Asse y orizzontale. Accelerazione di gravità g = 9.8 SM 2. Determina la legge del moto di un corpo lungo un piano inclinato X (t), y (t).

Problema 112. Un sottomarino che non aveva una rotta, avendo ricevuto un piccolo assetto positivo p = 0.01mg, inizia a salire dalla profondità m. Allo stesso tempo, il motore che ha iniziato a funzionare fornisce una forza di trazione orizzontale costante. T = 0.01mg. La componente verticale della forza di resistenza può essere trascurata e la sua componente orizzontale può essere considerata uguale R = –0.01mV x dove è la velocità orizzontale della barca. Determina la traiettoria della barca y(X) e la distanza percorsa da esso orizzontalmente al momento della salita.

Problema 113. Con un angolo di lancio \u003d 42 ° rispetto all'orizzonte, il proiettile ha un raggio di volo orizzontale m. Determina qual è la velocità iniziale del proiettile v 0 quando lascia la canna della pistola. Trova anche la portata orizzontale del proiettile e il tempo di volo del proiettile verso il bersaglio con un angolo di lancio = 35° e la stessa velocità iniziale v 0 . Accelerazione di gravità g = 9.8 SM 2. Ignora la resistenza dell'aria.

Problema 114. Determinare l'angolo di inclinazione della canna della pistola rispetto all'orizzonte per colpire un bersaglio rilevato sullo stesso piano orizzontale della pistola a distanza m. Inoltre, determina l'altezza massima della traiettoria e il tempo di volo del proiettile verso il bersaglio. Velocità iniziale del proiettile v 0 = 600 SM. Accelerazione di gravità g = 9.8 SM 2. Ignora la resistenza dell'aria.

Problema 115. Determina la dipendenza della gamma orizzontale del proiettile, l'altezza massima della sua traiettoria e il tempo di volo dall'angolo di inclinazione della canna del fucile rispetto all'orizzonte. Trova anche i valori di queste quantità per = 38°. Velocità iniziale del proiettile v 0 = 980 SM. Accelerazione di gravità g = 9.8 SM 2. Ignora la resistenza dell'aria.

Problema 116*. Palloncino di massa m sotto forza di galleggiamento F = 1.1mg inizia a salire. La componente orizzontale della forza di resistenza dell'aria è proporzionale al quadrato della componente orizzontale della velocità della palla rispetto all'aria: Rx = –0.1mV, dove è la sua velocità relativa orizzontale. Trascurare la componente verticale della forza di resistenza dell'aria. Determina la legge del moto della palla X (t), y (t) se un vento orizzontale soffia con una velocità SM.

Problema 117*. Corpo M masse m = 8 kg K = 20 c o 1 (–un,0) e o 2 (un,0),un = 24 m. Il movimento inizia in un punto UN 0 (–2un,0) con la velocità, v a 0 = 18 SM. Determina la legge del moto X (t), y (t) e la traiettoria y (X) punti M Bue e calcolarne le coordinate in questi momenti. Ignora la forza di gravità.

Problema 118*. Corpo M masse m = 2 kgè sotto l'influenza di due forze di attrazione, K = 120 c–1 diretto a due centri fissi o 1 (–un,0) e o 2 (un,0),un = 12 m. Accelerazione di gravità g = 9.8 SM 2. Il movimento inizia in un punto UN 0 (2un,0) con la velocità, v a 0 = 12 SM. Asse Bue orizzontale e l'asse Ehi diretto verticalmente verso l'alto. Determina la legge del moto X (t), y (t) e la traiettoria y (X) punti M. Trova i tempi in cui incrocia l'asse Bue e calcolarne le coordinate in questi momenti.

Problema 119*. Punto materiale M F = 0.1mg, forze di resistenza R= –0.1mV,dove V- velocità di punta e sollevamento verticale Q = 2m v X, dove è la velocità orizzontale del punto. Ottieni la legge del moto di un punto lungo l'asse verticale, se all'istante iniziale la sua posizione coincide con l'origine del sistema di coordinate e la sua velocità iniziale è orizzontale e uguale a SM.

Problema 120*. Corpo di massa in alto m sopra la superficie terrestre aveva una velocità SM diretto verticalmente verso il basso. Quindi entra nel flusso d'aria, che si muove orizzontalmente a velocità costante. SM. Di conseguenza, una forza agisce su di esso dove V r è la velocità del corpo rispetto al flusso. Determina l'entità della deviazione orizzontale del corpo dalla direzione iniziale del suo movimento al momento della caduta sulla Terra.

Problema 121*. Un paracadutista di massa, effettuando un salto in lungo, cade sulla Terra in aria calma verticalmente con una velocità costante e costante SM. Ad una certa altezza dalla superficie terrestre, entra in un flusso d'aria che si muove orizzontalmente a velocità costante. tu 0 = 0.5 SM, e allo stesso tempo apre il paracadute. La componente orizzontale della forza che agisce sul paracadutista nel flusso d'aria, Rx = –0.01mV rx, dove è la velocità orizzontale del corpo rispetto al flusso d'aria. La componente verticale della forza di trascinamento che agisce sul paracadutista è Ry = –0.1mV, dove è la sua velocità verticale. Determina la legge del moto del paracadutista X (t), y (t) dopo aver aperto il paracadute.

Problema 122*. Punto materiale M la massa si muove su un piano verticale sotto l'azione della gravità, una forza di spinta orizzontale costante F = 0.2mg, forze di resistenza R = –0.1mV, dove Vè la velocità del punto e l'alzata verticale, dove è la velocità orizzontale del punto. Ottieni la legge del moto di un punto nella direzione dell'asse orizzontale, se all'istante iniziale la sua posizione coincideva con l'origine del sistema di coordinate e la sua velocità iniziale è orizzontale e uguale a SM.

Problema 123*. Un paracadutista di massa con un paracadute aperto cade verticalmente a una velocità costante e costante SM. In alto m sopra la superficie terrestre, entra in un flusso d'aria che si muove orizzontalmente a velocità costante SM. Determina l'entità della deviazione orizzontale del paracadutista dalla direzione iniziale del suo movimento al momento dell'atterraggio e la legge del suo movimento X (t), y (t). La componente orizzontale della forza di resistenza che agisce sul paracadutista nel flusso d'aria, Rx = –0.01mV x, dove è la velocità orizzontale del paracadutista rispetto al flusso d'aria.

Esempio 13 Sottomarino da ricerca di forma e massa sferica m= = 1,5×10 5 kg inizia ad affondare a motori spenti, avendo una velocità orizzontale v X 0 = 30 SM e galleggiabilità negativa R 1 = 0.01mg, dove - somma vettoriale forza di galleggiamento Q e gravità mg agendo sulla barca (Fig. 20). forza di resistenza all'acqua, kg/s. Determina le equazioni del moto della barca e la sua traiettoria.

Fig.20

Soluzione. Scegliamo l'origine delle coordinate nella posizione iniziale della barca, l'asse Bue punto orizzontalmente e l'asse Ehi– verticalmente verso il basso (vedi Fig. 20). Ci sono tre forze che agiscono sulla barca: P=mg- il peso della barca Q- La forza di spinta di Archimede, inoltre, e la forza di resistenza R. Prendiamo la barca come punto materiale M. Allora la seconda legge di Newton si scriverà come segue: . Nelle proiezioni sull'asse Bue e Ehi sarà simile a: , . Riscriviamo queste equazioni sotto forma di un sistema di equazioni del primo ordine

Integrandoli con il metodo della separazione delle variabili, otteniamo

Dopo aver integrato e sostituito i valori numerici dei parametri e dei dati iniziali, troviamo

Troviamo la legge del moto dalla soluzione equazioni differenziali

È descritto dalle relazioni

Infine, troviamo la traiettoria y (X). Per fare ciò, dalla prima equazione, esprimiamo il tempo t attraverso la coordinata X

Sostituendo questa espressione nella seconda equazione, troviamo

Moto curvilineo uniformemente accelerato

Movimenti curvilinei - movimenti, le cui traiettorie non sono linee diritte, ma curve. I pianeti e le acque dei fiumi si muovono lungo traiettorie curvilinee.

Il moto curvilineo è sempre un moto con accelerazione, anche se il valore assoluto della velocità è costante. Il moto curvilineo con accelerazione costante avviene sempre nel piano in cui si trovano i vettori di accelerazione e le velocità iniziali del punto. Nel caso di moto curvilineo con accelerazione costante in aereo xOy le proiezioni vx e vy della sua velocità sugli assi Ox e Oy e le coordinate x e y del punto in qualsiasi momento t sono determinate dalle formule

Movimento irregolare. Velocità con movimento irregolare

Nessun corpo si muove sempre a velocità costante. Avviando il movimento, l'auto si muove sempre più veloce. Per un po' può muoversi in modo uniforme, ma poi rallenta e si ferma. In questo caso, l'auto percorre diverse distanze contemporaneamente.

Un movimento in cui un corpo percorre segmenti disuguali del percorso in intervalli di tempo uguali è chiamato irregolare. Con un tale movimento, l'entità della velocità non rimane invariata. In questo caso si può parlare solo di velocità media.

velocità media mostra qual è lo spostamento che il corpo compie per unità di tempo. È uguale al rapporto tra il movimento del corpo e il tempo del movimento. La velocità media, come la velocità di un corpo in moto uniforme, si misura in metri divisi per un secondo. Per caratterizzare il movimento in modo più preciso, in fisica viene utilizzata la velocità istantanea.

La velocità di un corpo in un dato momento o in un dato punto della traiettoria è chiamata velocità istantanea. La velocità istantanea è una grandezza vettoriale ed è diretta allo stesso modo del vettore spostamento. Puoi misurare la tua velocità istantanea con un tachimetro. Nel System Internationale, la velocità istantanea viene misurata in metri divisi per un secondo.

velocità di movimento del punto irregolare

Il movimento del corpo in cerchio

In natura e tecnologia, il movimento curvilineo è molto comune. È più complicato di un rettilineo, poiché le traiettorie curvilinee sono numerose; questo movimento è sempre accelerato, anche quando il modulo di velocità non cambia.

Ma il movimento lungo qualsiasi traiettoria curvilinea può essere approssimativamente rappresentato come movimento lungo gli archi di un cerchio.

Quando un corpo si muove in un cerchio, la direzione del vettore velocità cambia da punto a punto. Pertanto, quando parlano della velocità di un tale movimento, intendono velocità istantanea. Il vettore di velocità è diretto lungo la tangente al cerchio e il vettore di spostamento - lungo le corde.

Il movimento uniforme in un cerchio è un movimento durante il quale il modulo della velocità di movimento non cambia, cambia solo la sua direzione. L'accelerazione di un tale movimento è sempre diretta verso il centro del cerchio ed è detta centripeta. Per trovare l'accelerazione di un corpo che si muove in una circonferenza è necessario dividere il quadrato della velocità per il raggio della circonferenza.

Oltre all'accelerazione, il moto di un corpo in una circonferenza è caratterizzato dalle seguenti grandezze:

Il periodo di rotazione di un corpo è il tempo impiegato dal corpo per compiere un giro completo. Il periodo di rotazione è indicato dalla lettera T e si misura in secondi.

La frequenza di rotazione del corpo è il numero di giri per unità di tempo. La velocità di rotazione è indicata da una lettera? ed è misurato in hertz. Per trovare la frequenza, è necessario dividere l'unità per il periodo.

Velocità lineare: il rapporto tra il movimento del corpo e il tempo. Per trovare la velocità lineare di un corpo lungo una circonferenza, è necessario dividere la circonferenza per il periodo (la circonferenza è 2? volte il raggio).

Velocità angolare - quantità fisica, pari al rapporto tra l'angolo di rotazione del raggio del cerchio lungo il quale si muove il corpo, e il tempo del movimento. La velocità angolare è indicata da una lettera? e si misura in radianti divisi per un secondo. Puoi trovare la velocità angolare dividendo 2? per un periodo di. Velocità angolare e velocità lineare. Per trovare la velocità lineare, è necessario moltiplicare la velocità angolare per il raggio del cerchio.

Figura 6. Movimento in cerchio, formule.

Con l'aiuto di questa lezione, sarai in grado di studiare in modo indipendente l'argomento "Movimento rettilineo e curvilineo. Il movimento di un corpo in una circonferenza con velocità modulo costante. Innanzitutto, caratterizziamo il movimento rettilineo e curvilineo considerando come il vettore di velocità e la forza applicata al corpo sono correlati in questi tipi di movimento. Successivamente, consideriamo un caso speciale in cui il corpo si muove lungo una circonferenza con una velocità modulo costante.

Nella lezione precedente, abbiamo esaminato le questioni relative alla legge gravità. L'argomento della lezione di oggi è strettamente correlato a questa legge, ci occuperemo del moto uniforme di un corpo in un cerchio.

Prima l'abbiamo detto traffico - questo è un cambiamento nella posizione di un corpo nello spazio rispetto ad altri corpi nel tempo. Il movimento e la direzione del movimento sono caratterizzati, tra l'altro, dalla velocità. Il cambiamento di velocità e il tipo di movimento stesso sono associati all'azione di una forza. Se una forza agisce su un corpo, allora il corpo cambia la sua velocità.

Se la forza è diretta parallelamente al movimento del corpo, allora tale movimento sarà semplice(Fig. 1).

Riso. 1. Moto rettilineo

curvilineo ci sarà un tale movimento quando la velocità del corpo e la forza applicata a questo corpo sono dirette l'una rispetto all'altra ad un certo angolo (Fig. 2). In questo caso, la velocità cambierà direzione.

Riso. 2. Moto curvilineo

Quindi, a moto rettilineo il vettore velocità è diretto nella stessa direzione della forza applicata al corpo. MA movimento curvilineoè un tale movimento quando il vettore velocità e la forza applicata al corpo si trovano ad un certo angolo l'uno rispetto all'altro.

Consideriamo un caso speciale di moto curvilineo, quando il corpo si muove in un cerchio con velocità costante in valore assoluto. Quando un corpo si muove in cerchio a velocità costante, cambia solo la direzione della velocità. Modulo rimane costante, ma cambia la direzione della velocità. Tale cambiamento di velocità porta alla presenza di un'accelerazione nel corpo, che viene chiamata centripeto.

Riso. 6. Movimento lungo un percorso curvo

Se la traiettoria del movimento del corpo è una curva, allora può essere rappresentato come un insieme di movimenti lungo archi di cerchio, come mostrato in Fig. 6.

Sulla fig. 7 mostra come cambia la direzione del vettore velocità. La velocità durante tale movimento è diretta tangenzialmente al cerchio lungo l'arco di cui si muove il corpo. Pertanto, la sua direzione è in continua evoluzione. Anche se la velocità del modulo rimane costante, una variazione di velocità comporta un'accelerazione:

In questo caso accelerazione sarà diretto verso il centro del cerchio. Per questo si chiama centripeto.

Perché accelerazione centripeta verso il centro?

Ricordiamo che se un corpo si muove lungo un percorso curvo, allora la sua velocità è tangenziale. La velocità è una quantità vettoriale. Un vettore ha un valore numerico e una direzione. La velocità con cui il corpo si muove continuamente cambia direzione. Cioè, la differenza di velocità in diversi punti nel tempo non sarà uguale a zero (), in contrasto con un moto rettilineo uniforme.

Quindi, abbiamo un cambiamento di velocità in un certo periodo di tempo. La relazione con è l'accelerazione. Si arriva alla conclusione che, anche se la velocità non cambia in valore assoluto, un corpo che compie un moto uniforme in una circonferenza ha un'accelerazione.

Dove è diretta questa accelerazione? Considera la Fig. 3. Alcuni corpi si muovono in modo curvilineo (in un arco). La velocità del corpo ai punti 1 e 2 è tangenziale. Il corpo si muove uniformemente, cioè i moduli delle velocità sono uguali: , ma le direzioni delle velocità non coincidono.

Riso. 3. Movimento del corpo in cerchio

Sottrarre la velocità da e ottenere il vettore. Per fare ciò, è necessario collegare l'inizio di entrambi i vettori. Parallelamente, spostiamo il vettore all'inizio del vettore. Costruiamo fino a formare un triangolo. Il terzo lato del triangolo sarà il vettore della differenza di velocità (Fig. 4).

Riso. 4. Vettore di differenza di velocità

Il vettore è diretto verso il cerchio.

Si consideri un triangolo formato dai vettori velocità e dal vettore differenza (Fig. 5).

Riso. 5. Triangolo formato da vettori di velocità

Questo triangolo è isoscele (i moduli di velocità sono uguali). Quindi gli angoli alla base sono uguali. Scriviamo l'equazione per la somma degli angoli di un triangolo:

Scopri dove è diretta l'accelerazione in un dato punto della traiettoria. Per fare ciò, iniziamo ad avvicinare il punto 2 al punto 1. Con una diligenza così illimitata, l'angolo tenderà a 0 e l'angolo - a. L'angolo tra il vettore di variazione di velocità e il vettore di velocità stesso è . La velocità è diretta tangenzialmente e il vettore di variazione della velocità è diretto verso il centro del cerchio. Ciò significa che anche l'accelerazione è diretta verso il centro del cerchio. Ecco perché si chiama questa accelerazione centripeto.

Come trovare l'accelerazione centripeta?

Considera la traiettoria lungo la quale si muove il corpo. In questo caso, questo è un arco di cerchio (Fig. 8).

Riso. 8. Movimento del corpo in cerchio

La figura mostra due triangoli: un triangolo formato dalle velocità e un triangolo formato dai raggi e dal vettore spostamento. Se i punti 1 e 2 sono molto vicini, il vettore di spostamento sarà lo stesso del vettore di traiettoria. Entrambi i triangoli sono isoscele con gli stessi angoli ai vertici. Quindi i triangoli sono simili. Ciò significa che i lati corrispondenti dei triangoli sono nella stessa proporzione:

Lo spostamento è uguale al prodotto di velocità e tempo: . Sostituendo questa formula, puoi ottenere la seguente espressione per l'accelerazione centripeta:

Velocità angolare indicato con la lettera greca omega (ω), indica di quale angolo ruota il corpo nell'unità di tempo (Fig. 9). Questa è la grandezza dell'arco, in gradi, percorso dal corpo in un certo tempo.

Riso. 9. Velocità angolare

Nota che se un corpo rigido ruota, allora velocità angolare per ogni punto su questo corpo sarà un valore costante. Il punto è più vicino al centro di rotazione o più lontano: non importa, cioè non dipende dal raggio.

L'unità di misura in questo caso sarà gradi al secondo () o radianti al secondo (). Spesso la parola "radiante" non è scritta, ma semplicemente scritta. Per esempio, scopriamo qual è la velocità angolare della Terra. La terra compie una rotazione completa in un'ora, e in questo caso possiamo dire che la velocità angolare è uguale a:

Prestare attenzione anche alla relazione tra velocità angolari e lineari:

La velocità lineare è direttamente proporzionale al raggio. Più grande è il raggio, più velocità di linea. Quindi, allontanandoci dal centro di rotazione, aumentiamo la nostra velocità lineare.

Va notato che il movimento in un cerchio a velocità costante è un caso speciale di movimento. Tuttavia, il movimento circolare può anche essere irregolare. La velocità può cambiare non solo di direzione e rimanere la stessa in valore assoluto, ma anche cambiare il suo valore, cioè, oltre a cambiare direzione, c'è anche un cambiamento nel modulo di velocità. In questo caso si tratta del cosiddetto moto circolare accelerato.

Cos'è un radiante?

Ci sono due unità per misurare gli angoli: gradi e radianti. In fisica, di regola, la misura in radianti di un angolo è quella principale.

Costruiamo un angolo centrale, che si basa su un arco di lunghezza.

Immagina un punto materiale che si muove lungo una traiettoria curvilinea. Scriviamo la velocità nel modulo

e nota che il vettore

Questo è un vettore unitario tangente alla traiettoria e coincidente in direzione con il vettore velocità. Differenziamo il vettore di velocità scritto in questa rappresentazione e otteniamo

Abbiamo presentato l'accelerazione sotto forma di due termini. Innanzitutto, notiamo che i termini sono ortogonali tra loro. Infatti, poiché il vettore è unità, allora

Differenziandolo prodotto scalare, noi abbiamo

dalla proprietà del prodotto scalare.

Pertanto, abbiamo scomposto l'accelerazione nella somma di due componenti reciprocamente ortogonali, le indichiamo con e :

Discutiamone significato fisico ogni termine. termine

esso accelerazione tangenziale, che caratterizza la velocità di variazione del modulo di velocità. Questa parte piena accelerazione diretto sia lungo la velocità, quando la derivata dv/dt > 0, cioè il movimento è accelerato, o nella direzione opposta alla velocità, quando questa derivata dv/dt< 0 , cioè il movimento è lento. Se il movimento è uniforme dv/dt = 0, cioè la velocità, se cambia, solo nella direzione, quindi la parte tangenziale dell'accelerazione è uguale a zero:

termine

diretto lungo la normale alla traiettoria - perpendicolare alla tangente alla traiettoria ed è chiamato normale accelerazione. Se l'accelerazione tangenziale determina la velocità con cui il modulo vettore velocità, quindi l'accelerazione normale determina la velocità con cui il direzione vettore di velocità.

Riso. 2.10. Alla definizione della curvatura della traiettoria

Considera una traiettoria curvilinea piatta "sufficientemente liscia", altrimenti arbitraria. Piatto, cioè tutti i punti della traiettoria giacciono su un certo piano - solo per semplificare i calcoli, ottenuti in base a questa ipotesi, il risultato è adatto anche per qualsiasi curva spaziale "sufficientemente liscia", i cui punti non possono essere posati su un piano. Non considereremo qui quest'ultima circostanza, che è rigorosamente provata dai metodi geometria analitica. Le parole "sufficientemente liscia" significano che la curva è descritta funzione continua, che ha derivata prima e seconda continua. Dal punto di vista delle applicazioni fisiche, il requisito dell'esistenza di due prime derivate continue in realtà non è un vincolo sulla forma della traiettoria, poiché è quasi sempre soddisfatto. In poche parole, il percorso non dovrebbe avere "angoli" del tipo mostrato nella Figura 2.11.

Riso. 2.11.

Una tale curva "liscia" su una qualsiasi delle sue regione infinitesimale può essere sostituito (Fig. 2.12) da una sezione di un cerchio di un certo raggio. Il raggio di questo cerchio, che approssima la traiettoria sulla sua sezione infinitamente piccola in prossimità di un punto, è solitamente chiamato raggio di curvatura della traiettoria a questo punto. Il centro di questo cerchio è chiamato centro di curvatura traiettoria in un dato punto. Curvatura della traiettoria si chiama quantità C=1/R. Sottolineiamo che il raggio di curvatura, così come il centro di curvatura della traiettoria, sono le sue caratteristiche locali: ogni punto della traiettoria ha un proprio raggio di curvatura e un proprio centro di curvatura. Le eccezioni sono: 1) un cerchio, il cui raggio di curvatura in tutti i suoi punti è uguale e uguale al raggio del cerchio, il centro di curvatura è “uno per tutti” e coincide con il centro del cerchio, e 2 ) una retta, per qualsiasi punto di una retta, il raggio di curvatura è infinito e il centro di curvatura è in un punto all'infinito dalla retta. Questo è facile da capire: aumentiamo il raggio del cerchio, maggiore è il raggio del cerchio, più ogni sua sezione terminale si avvicina alla sezione retta. In pianura, soprattutto su una spiaggia, da un'altezza di crescita umana all'orizzonte non più di cinque chilometri - entro questi limiti la Terra è piatta.

Riso. 2.12. Alla definizione del raggio di curvatura della traiettoria

Calcoliamo il modulo della derivata , che è incluso nell'espressione per l'accelerazione normale. Il vettore è diretto lungo la normale alla traiettoria dal centro al centro di curvatura, il che spiega la Fig. 2.13.

Riso. 2.13. Definizione grafica raggio di curvatura della traiettoria

Per fare questo, prima di tutto, passiamo dalla differenziazione rispetto al tempo alla differenziazione rispetto al "percorso": , abbiamo:

Per definizione, la derivata curvatura della curva C, e il suo reciproco è uguale al raggio di curvatura della curva R. Mettendo tutto insieme, per l'accelerazione normale, otteniamo finalmente:

dove la normale è perpendicolare alla tangente e sempre diretta verso il centro di curvatura, vedi fig. undici.

Diamo qualche ulteriore spiegazione alla Figura 11. Non andiamo lontano dal punto 1 punto 2 . Costruiamo tangenti in questi punti vettori unitari 1 e 2. Le perpendicolari a queste tangenti si intersecheranno ad un certo punto O2. Nota che per una curva che non è un cerchio, le distanze R1 e R2 sarà leggermente diverso. Se ora punto 2 avvicinarsi a un punto 1 , l'intersezione delle perpendicolari O2 si muoverà lungo una linea retta O 2 1 e nel limite sarà ad un certo punto O 1. Distanze R1 e R2 tenderà a un limite comune R uguale al raggio di curvatura e al punto O 1 e sarà il centro di curvatura del punto 1 . In effetti, un cerchio con un raggio R centrato su 0 passa per un punto 1 ed è tangente alla traiettoria (poiché il raggio è ortogonale al vettore di 1). Inoltre, per costruzione, un punto infinitamente vicino 2 giace anche su questo cerchio. Pertanto, il cerchio costruito si "fonde" davvero con la traiettoria nel punto 1 .