Accelerazione tangenziale (tangenziale). è la componente del vettore di accelerazione diretto lungo la tangente alla traiettoria in un dato punto della traiettoria. L'accelerazione tangenziale caratterizza la variazione del modulo di velocità durante il movimento curvilineo.

Figura 1 - Accelerazione tangenziale

La direzione del vettore di accelerazione tangenziale coincide con la direzione della velocità lineare o è opposta ad essa, da Fig. 1. Cioè, il vettore di accelerazione tangenziale giace sullo stesso asse del cerchio tangente, che è la traiettoria del corpo.

Accelerazione normale è una componente del vettore di accelerazione diretto lungo la normale alla traiettoria di movimento in un dato punto della traiettoria del corpo. Cioè, il vettore di accelerazione normale è perpendicolare alla velocità lineare di movimento, mostrata in Fig. 1. L'accelerazione normale caratterizza il cambio di velocità in direzione ed è indicata con n. Il vettore di accelerazione normale è diretto lungo il raggio di curvatura della traiettoria.

Piena accelerazione nel moto curvilineo è composto da accelerazioni tangenziali e normali secondo la regola dell'addizione dei vettori ed è determinato dalla formula:

(9)

(10)

La direzione della piena accelerazione è determinata anche dalla regola dell'addizione vettoriale:

(11)

1.1.5 Moto traslatorio e rotatorio assoluto corpo solido

Il movimento del corpo è considerato traslazionale, se un qualsiasi segmento di una retta, rigidamente connesso al corpo, si muove sempre parallelo a se stesso. In movimento in avanti tutti i punti del corpo compiono gli stessi movimenti, percorrono gli stessi percorsi, hanno velocità e accelerazioni uguali, descrivono le stesse traiettorie.

Rotazione di un corpo rigido intorno asse fisso - movimento in cui tutti i punti del corpo descrivono cerchi i cui centri sono sulla stessa linea retta, perpendicolare ai piani questi cerchi. Questa stessa linea è l'asse di rotazione.

Quando il corpo ruota, il raggio del cerchio descritto dal punto di questo corpo ruoterà di un certo angolo in un intervallo di tempo. A causa dell'immutabilità posizione relativa i punti del corpo ruotano allo stesso angolo nello stesso tempo dei raggi dei cerchi descritti da qualsiasi altro punto del corpo. Questo angolo è un valore che caratterizza il movimento rotatorio dell'intero corpo nel suo insieme. Da ciò possiamo concludere che per descrivere il movimento rotatorio di un corpo assolutamente rigido attorno a un asse fisso, è necessario conoscere solo una variabile: l'angolo di cui il corpo ruoterà in un certo tempo.

La relazione tra le velocità lineari e angolari per ogni punto di un corpo rigido è data dalla formula:

(12)

Tutti i corpi che ci circondano sono in continuo movimento. Il movimento nello spazio dei corpi si osserva a tutti i livelli della scala, a cominciare dal movimento particelle elementari negli atomi della materia e termina con il moto accelerato delle galassie nell'Universo. In ogni caso, il processo di movimento avviene con accelerazione. In questo articolo considereremo in dettaglio il concetto di accelerazione tangenziale e forniremo una formula con cui può essere calcolata.

Grandezze cinematiche

Prima di parlare di accelerazione tangenziale, consideriamo quali quantità è consuetudine caratterizzare il movimento meccanico arbitrario dei corpi nello spazio.

Innanzitutto questo è il percorso L. Indica quanta distanza in metri, centimetri, chilometri e così via, il corpo ha percorso in un certo periodo di tempo.

La seconda caratteristica importante della cinematica è la velocità del corpo. A differenza del percorso, è una quantità vettoriale ed è diretta lungo la traiettoria del corpo. La velocità determina la velocità di variazione delle coordinate spaziali nel tempo. La formula per calcolarlo è:

La velocità è la derivata della distanza rispetto al tempo.

Infine, la terza caratteristica importante del movimento dei corpi è l'accelerazione. Secondo la definizione in fisica, l'accelerazione è una quantità che determina la variazione di velocità nel tempo. La formula per esso può essere scritta come:

Anche l'accelerazione, come la velocità, è una quantità vettoriale, ma a differenza di essa è diretta nella direzione del cambiamento di velocità. La direzione dell'accelerazione coincide anche con il vettore della forza risultante che agisce sul corpo.

Traiettoria e accelerazione

Molti problemi in fisica sono considerati nell'ambito di moto rettilineo. In questo caso, di regola, non parlano dell'accelerazione tangenziale del punto, ma lavorano con l'accelerazione lineare. Tuttavia, se il movimento del corpo non è lineare, la sua piena accelerazione può essere scomposta in due componenti:

• tangente;
• normale.

Nel caso del moto lineare, la componente normale è uguale a zero, quindi l'espansione vettoriale dell'accelerazione non viene discussa.

Pertanto, la traiettoria del movimento determina in gran parte la natura e le componenti dell'accelerazione totale. La traiettoria del movimento è intesa come una linea immaginaria nello spazio lungo la quale si muove il corpo. Qualsiasi traiettoria curvilinea porta alla comparsa di componenti di accelerazione diversi da zero sopra indicati.

Definizione di accelerazione tangenziale

L'accelerazione tangenziale o, come viene anche chiamata, tangenziale è una componente dell'accelerazione totale, che è diretta tangenzialmente alla traiettoria del movimento. Poiché anche la velocità è diretta lungo la traiettoria, il vettore di accelerazione tangenziale coincide con il vettore di velocità.

Il concetto di accelerazione come misura del cambiamento di velocità è stato dato sopra. Poiché la velocità è un vettore, può essere modificata in modulo o in direzione. L'accelerazione tangenziale determina solo la variazione del modulo di velocità.

Si noti che nel caso di moto rettilineo, il vettore velocità non cambia direzione, quindi, secondo la definizione di cui sopra, l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione lineare sono la stessa quantità.

Ottenere l'equazione dell'accelerazione tangenziale

Supponiamo che il corpo si muova lungo una traiettoria curva. Allora la sua velocità v¯ nel punto prescelto può essere rappresentata come segue:

Qui v è il modulo del vettore v¯, u t ¯ è vettore unitario velocità diretta tangenzialmente alla traiettoria.

Usando definizione matematica accelerazione, otteniamo:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u t ¯)/dt = dv/dt*u t ¯ + v*d(u t ¯)/dt

Per trovare la derivata, qui è stata utilizzata la proprietà del prodotto di due funzioni. Vediamo che l'accelerazione totale a¯ nel punto considerato corrisponde alla somma di due termini. Sono rispettivamente l'accelerazione tangente e normale del punto.

Diciamo qualche parola su È responsabile della modifica del vettore di velocità, cioè del cambiamento della direzione del movimento del corpo lungo la curva. Se calcoliamo esplicitamente il valore del secondo termine, otteniamo la formula per l'accelerazione normale:

a n = v*d(u t ¯)/dt = v 2 /r

L'accelerazione normale è diretta lungo la normale ripristinata dato punto storto. Nel caso di moto circolare normale accelerazioneè centripeto.

L'equazione dell'accelerazione tangenziale a t ¯ ha la forma:

Questa espressione dice che l'accelerazione tangenziale non corrisponde a un cambio di direzione, ma a un cambiamento nel modulo di velocità v¯ in un momento di tempo. Poiché l'accelerazione tangenziale è diretta tangenzialmente al punto considerato della traiettoria, è sempre perpendicolare alla componente normale.

e modulo di accelerazione completa

Sopra sono state presentate tutte le informazioni che consentono di calcolare attraverso la tangente e la normale. Infatti, poiché entrambe le componenti sono tra loro perpendicolari, i loro vettori formano gambe triangolo rettangolo, la cui ipotenusa è il vettore di accelerazione totale. Questo fatto ci permette di scrivere la formula per il modulo di accelerazione totale nella forma seguente:

a = √(a n 2 + a t 2)

L'angolo θ tra la piena accelerazione e l'accelerazione tangenziale può essere definito come segue:

Maggiore è l'accelerazione tangenziale, più vicine sono le direzioni dell'accelerazione tangenziale e totale.

Relazione tra accelerazione tangenziale e angolare

Una tipica traiettoria curvilinea lungo la quale i corpi si muovono nella tecnologia e nella natura è un cerchio. In effetti, il movimento di ingranaggi, lame e pianeti attorno al proprio asse o attorno ai loro luminari avviene esattamente in un cerchio. Il movimento corrispondente a questa traiettoria è chiamato rotazione.

La cinematica di rotazione è caratterizzata dagli stessi valori della cinematica di movimento lungo una retta, tuttavia hanno un carattere angolare. Quindi, per descrivere la rotazione, vengono utilizzati l'angolo di rotazione centrale θ, la velocità angolare ω e l'accelerazione α. Per queste quantità, le seguenti formule:

Supponiamo che il corpo abbia compiuto un giro attorno all'asse di rotazione nel tempo t, quindi per la velocità angolare possiamo scrivere:

Velocità della linea in questo caso sarà pari a:

Dove r è il raggio della traiettoria. Le ultime due espressioni ci permettono di scrivere la formula per la relazione di due velocità:

Ora calcoliamo la derivata temporale dei lati sinistro e destro dell'equazione, otteniamo:

Sul lato destro dell'uguaglianza c'è il prodotto per il raggio del cerchio. Il lato sinistro dell'equazione è la variazione del modulo di velocità, cioè l'accelerazione tangenziale.

Pertanto, l'accelerazione tangenziale e un valore angolare simile sono correlati dall'uguaglianza:

Se assumiamo che il disco stia ruotando, l'accelerazione tangenziale di un punto a un valore costante di α aumenterà linearmente con l'aumentare della distanza da questo punto all'asse di rotazione r.

Determinazione dell'accelerazione tangenziale da una funzione di velocità nota

È noto che la velocità di un corpo che si muove lungo una certa traiettoria curva è descritta da funzione successiva dal momento:

È necessario determinare la formula per l'accelerazione tangenziale e trovarne il valore al tempo t = 5 secondi.

Per prima cosa, scriviamo la formula per il modulo di accelerazione tangenziale:

Cioè, per calcolare la funzione a t (t), si dovrebbe determinare la derivata della velocità rispetto al tempo. Abbiamo:

a t = d(2*t 2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3

Sostituendo il tempo t = 5 secondi nell'espressione risultante, si arriva alla risposta: a t = 23 m/s 2 .

Si noti che il grafico della velocità in funzione del tempo in questo problema è una parabola, mentre il grafico dell'accelerazione tangenziale è una linea retta.

Il compito di determinare l'accelerazione tangenziale

È noto che il punto materiale ha iniziato una rotazione uniformemente accelerata dal momento zero. 10 secondi dopo l'inizio della sua rotazione accelerazione centripetaè diventato pari a 20 m / s 2. È necessario determinare l'accelerazione tangenziale di un punto dopo 10 secondi, se è noto che il raggio di rotazione è di 1 metro.

Per prima cosa, scriviamo la formula per l'accelerazione centripeta o normale a c:

Usando la formula per la relazione tra velocità lineare e angolare, otteniamo:

In moto uniformemente accelerato, la velocità accelerazione angolare legati dalla formula:

Sostituendo ω nell'uguaglianza di a c , otteniamo:

L'accelerazione lineare attraverso l'accelerazione tangenziale è espressa come segue:

Sostituendo l'ultima uguaglianza con la penultima si ottiene:

a c = a t 2 /r 2 *t 2 *r = a t 2 /r*t 2 =>

a t = √(a c *r)/t

L'ultima formula, tenendo conto dei dati della condizione del problema, porta alla risposta: a t \u003d 0,447 m / s 2.

Vengono fornite le formule di base della cinematica punto materiale, la loro derivazione e presentazione della teoria.

Contenuto

Guarda anche: Un esempio di risoluzione del problema (metodo delle coordinate per specificare il movimento di un punto)

Formule di base per la cinematica di un punto materiale

Presentiamo le formule di base per la cinematica di un punto materiale. Successivamente, diamo la loro derivazione e presentazione della teoria.

Vettore raggio di un punto materiale M in un sistema di coordinate rettangolare Oxyz :
,
dove sono i vettori unitari (orth) nella direzione degli assi x, y, z.

Velocità di punta:
;
.
.
Vettore unitario nella direzione della tangente al percorso del punto:
.

Accelerazione del punto:
;
;
;
; ;

Accelerazione tangenziale (tangenziale):
;
;
.

Accelerazione normale:
;
;
.

Vettore unitario diretto verso il centro di curvatura della traiettoria del punto (lungo la normale principale):
.

.

Vettore del raggio e traiettoria del punto

Si consideri il moto di un punto materiale M . Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare fisso Oxyz centrato su alcuni Punto fisso o. Quindi la posizione del punto M è determinata in modo univoco dalle sue coordinate (x, y, z). Queste coordinate sono componenti del vettore raggio del punto materiale.

Il vettore raggio del punto M è il vettore tracciato dall'origine del sistema di coordinate fisse O al punto M.
,
dove sono i vettori unitari nella direzione degli assi x, y, z.

Quando il punto si sposta, le coordinate cambiano nel tempo. Cioè, sono funzioni del tempo. Poi il sistema di equazioni
(1)
può essere visto come l'equazione di una curva data da equazioni parametriche. Tale curva è la traiettoria di un punto.

La traiettoria di un punto materiale è la linea lungo la quale si muove il punto.

Se il punto si sposta su un piano, puoi scegliere gli assi e i sistemi di coordinate in modo che giacciono su questo piano. Quindi la traiettoria è determinata da due equazioni

In alcuni casi, il tempo può essere escluso da queste equazioni. Quindi l'equazione della traiettoria avrà gentile dipendenza:
,
dov'è qualche funzione. Questa dipendenza contiene solo variabili e . Non contiene un parametro.

Velocità del punto materiale

La velocità di un punto materiale è la derivata temporale del suo vettore raggio.

Secondo la definizione di velocità e la definizione di derivata:

Le derivate temporali, in meccanica, sono indicate da un punto sopra il simbolo. Sostituisci qui l'espressione per il vettore raggio:
,
dove abbiamo esplicitamente indicato la dipendenza delle coordinate dal tempo. Noi abbiamo:

,
dove
,
,

- proiezioni di velocità sugli assi delle coordinate. Si ottengono differenziando rispetto al tempo le componenti del raggio vettore
.

In questo modo
.
Modulo di velocità:
.

Tangente al percorso

Da un punto di vista matematico, il sistema di equazioni (1) può essere considerato come l'equazione di una retta (curva) data da equazioni parametriche. Il tempo, in questa considerazione, gioca il ruolo di parametro. Dal corso analisi matematicaè noto che il vettore di direzione per la tangente a questa curva ha componenti:
.
Ma queste sono le componenti del vettore di velocità del punto. Questo è la velocità del punto materiale è diretta tangenzialmente alla traiettoria.

Tutto questo può essere dimostrato direttamente. Sia al momento il punto in posizione con il vettore raggio (vedi figura). E al momento - in una posizione con un vettore raggio. Traccia una linea retta attraverso i punti. Per definizione, una tangente è una retta a cui tende la retta quando .
Introduciamo la notazione:
;
;
.
Quindi il vettore è diretto lungo la retta.

Quando tende, la retta tende alla tangente e il vettore tende alla velocità del punto in quel momento:
.
Poiché il vettore è diretto lungo la retta e la retta è a , il vettore velocità è diretto lungo la tangente.
Cioè, il vettore velocità del punto materiale è diretto lungo la tangente alla traiettoria.

Presentiamo vettore di direzione tangente di lunghezza unitaria:
.
Mostriamo che la lunghezza di questo vettore è uguale a uno. Infatti, perché
, poi:
.

Quindi il vettore velocità punto può essere rappresentato come:
.

Accelerazione del punto materiale

L'accelerazione di un punto materiale è la derivata della sua velocità rispetto al tempo.

Analogamente alla precedente, otteniamo le componenti di accelerazione (proiezioni di accelerazione sugli assi delle coordinate):
;
;
;
.
Modulo di accelerazione:
.

Accelerazioni tangenziali (tangenziali) e normali

Consideriamo ora la questione della direzione del vettore di accelerazione rispetto alla traiettoria. Per fare ciò, applica la formula:
.
Differenziarlo rispetto al tempo utilizzando la regola di differenziazione del prodotto:
.

Il vettore è diretto tangenzialmente alla traiettoria. In quale direzione è diretta la sua derivata temporale?

Per rispondere a questa domanda, utilizziamo il fatto che la lunghezza del vettore è costante e uguale a uno. Allora anche il quadrato della sua lunghezza è uguale a uno:
.
Qui e sotto, i due vettori tra parentesi denotano prodotto scalare vettori. Differenzia l'ultima equazione rispetto al tempo:
;
;
.
Poiché il prodotto scalare dei vettori è uguale a zero, questi vettori sono perpendicolari tra loro. Poiché il vettore è tangente al percorso, il vettore è perpendicolare alla tangente.

Il primo componente è chiamato accelerazione tangenziale o tangenziale:
.
La seconda componente è chiamata accelerazione normale:
.
Allora l'accelerazione totale è:
(2) .
Questa formula è una scomposizione dell'accelerazione in due componenti reciprocamente perpendicolari: tangente alla traiettoria e perpendicolare alla tangente.

Da allora
(3) .

Accelerazione tangenziale (tangenziale).

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione (2) scalare a:
.
Perché poi . Quindi
;
.
Qui mettiamo:
.
Da ciò si può vedere che l'accelerazione tangenziale è uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della tangente alla traiettoria o, che è la stessa, sulla direzione della velocità del punto.

L'accelerazione tangenziale (tangenziale) di un punto materiale è la proiezione della sua piena accelerazione sulla direzione della tangente alla traiettoria (o sulla direzione della velocità).

Il simbolo indica il vettore di accelerazione tangenziale diretto lungo la tangente alla traiettoria. Allora è un valore scalare uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della tangente. Può essere sia positivo che negativo.

Sostituendo , abbiamo:
.

Sostituisci nella formula:
.
Quindi:
.
Cioè, l'accelerazione tangenziale è uguale alla derivata temporale del modulo della velocità del punto. In questo modo, l'accelerazione tangenziale porta ad una variazione del valore assoluto della velocità del punto. All'aumentare della velocità, l'accelerazione tangenziale è positiva (o diretta lungo la velocità). Al diminuire della velocità, l'accelerazione tangenziale è negativa (o opposta alla velocità).

Ora esaminiamo il vettore.

Si consideri il vettore unitario della tangente alla traiettoria. Posizioniamo la sua origine all'origine del sistema di coordinate. Quindi la fine del vettore sarà su una sfera di raggio unitario. Quando si sposta un punto materiale, l'estremità del vettore si sposterà lungo questa sfera. Cioè, ruoterà attorno alla sua origine. Sia la velocità angolare istantanea di rotazione del vettore al tempo . Quindi la sua derivata è la velocità di movimento dell'estremità del vettore. È diretto perpendicolarmente al vettore. Applichiamo la formula per il moto di rotazione. Modulo vettoriale:
.

Consideriamo ora la posizione del punto per due tempi ravvicinati. Lascia che al momento il punto sia nella posizione, e al momento - nella posizione. Siano e siano vettori unitari diretti tangenzialmente alla traiettoria in questi punti. Attraverso i punti e disegnare piani perpendicolari ai vettori e . Sia una retta formata dall'intersezione di questi piani. Rilascia una perpendicolare da un punto a una linea. Se le posizioni dei punti e sono abbastanza vicine, il movimento del punto può essere considerato come una rotazione lungo un cerchio di raggio attorno all'asse, che sarà l'asse istantaneo di rotazione del punto materiale. Poiché i vettori e sono perpendicolari ai piani e , l'angolo tra questi piani è uguale all'angolo tra i vettori e . Quindi la velocità istantanea di rotazione del punto attorno all'asse è uguale alla velocità istantanea di rotazione del vettore:
.
Ecco la distanza tra i punti e .

Quindi, abbiamo trovato il modulo della derivata temporale del vettore:
.
Come accennato in precedenza, il vettore è perpendicolare al vettore. Dal ragionamento di cui sopra si evince che esso è diretto verso il centro istantaneo di curvatura della traiettoria. Questa direzione è chiamata normale principale.

Accelerazione normale

Accelerazione normale

diretto lungo il vettore. Come abbiamo scoperto, questo vettore è diretto perpendicolarmente alla tangente, verso il centro istantaneo di curvatura della traiettoria.
Sia un vettore unitario diretto da un punto materiale al centro istantaneo di curvatura della traiettoria (lungo la normale principale). Quindi
;
.
Poiché entrambi i vettori e hanno la stessa direzione - verso il centro di curvatura della traiettoria, quindi
.

Dalla formula (2) noi abbiamo:
(4) .
Dalla formula (3) trova il modulo di accelerazione normale:
.

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione (2) scalare a:
(2) .
.
Perché poi . Quindi
;
.
Ciò mostra che il modulo dell'accelerazione normale è uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della normale principale.

L'accelerazione normale di un punto materiale è la proiezione della sua piena accelerazione sulla direzione perpendicolare alla tangente alla traiettoria.

Sostituiamo. Quindi
.
Cioè, l'accelerazione normale provoca un cambiamento nella direzione della velocità del punto ed è correlata al raggio di curvatura della traiettoria.

Da qui puoi trovare il raggio di curvatura della traiettoria:
.

Infine, notiamo che la formula (4) può essere riscritto nella forma seguente:
.
Qui abbiamo applicato la formula per prodotto vettoriale tre vettori:
,
in cui si sono inquadrati
.

Quindi abbiamo:
;
.
Identifichiamo i moduli delle parti sinistra e destra:
.
Ma i vettori e sono reciprocamente perpendicolari. Ecco perchè
.
Quindi
.
Questa è una formula ben nota della geometria differenziale per la curvatura di una curva.

Guarda anche:

Punto di accelerazione per tutti e 3 i modi per accelerare il movimento

L'accelerazione di un punto caratterizza la velocità di cambiamento nel modulo e la direzione della velocità del punto.

1. Accelerazione di un punto quando si specifica il suo movimento in modo vettoriale

il vettore di accelerazione del punto è uguale alla derivata prima della velocità o alla derivata seconda del vettore raggio del punto rispetto al tempo. Il vettore di accelerazione è diretto verso la concavità della curva

2. Accelerazione di un punto quando si specifica il suo movimento in modo coordinato

Il modulo e la direzione del vettore di accelerazione sono determinati dalle relazioni:

3. Determinazione dell'accelerazione quando si imposta il suo moto in modo naturale

Asce naturali e triangolo naturale

assi naturali. La curvatura caratterizza il grado di curvatura (curvatura) della curva. Quindi, il cerchio ha una curvatura costante, che è misurata dal valore di K, il reciproco del raggio,

Maggiore è il raggio, minore è la curvatura e viceversa. Una retta può essere vista come una circonferenza di raggio infinitamente grande e di curvatura nulla. Un punto rappresenta una circonferenza di raggio R = 0 e ha una curvatura infinita.

Una curva arbitraria ha una curvatura variabile. In ogni punto di tale curva si può scegliere una circonferenza di raggio la cui curvatura è uguale alla curvatura della curva in un dato punto M (Fig. 9.2). Il valore è chiamato raggio di curvatura in un dato punto della curva. L'asse diretto tangenzialmente nella direzione del movimento e l'asse diretto lungo il raggio fino al centro di curvatura e chiamato forma normale assi delle coordinate naturali.

Accelerazione normale e tangenziale di un punto

Con il modo naturale di specificare il movimento, l'accelerazione di un punto è uguale a somma geometrica due vettori, uno dei quali è diretto lungo la normale principale ed è chiamato accelerazione normale, e il secondo è diretto lungo la tangente ed è chiamato accelerazione tangenziale del punto.

La proiezione dell'accelerazione di un punto sulla normale principale è uguale al quadrato del modulo della velocità di angoscia diviso per il raggio di curvatura della traiettoria nel punto corrispondente. L'accelerazione normale di un punto è sempre diretta verso il centro di curvatura della traiettoria ed è uguale in valore assoluto a questa proiezione.

Il cambio di velocità del modulo è caratterizzato da un'accelerazione tangenziale (tangenziale).

quelli. la proiezione dell'accelerazione del punto sulla tangente è uguale alla derivata seconda della coordinata d'arco del punto rispetto al tempo o alla derivata prima del valore algebrico della velocità del punto rispetto al tempo.

Questa proiezione ha un segno più se le direzioni dell'accelerazione tangenziale e del vettore unitario sono le stesse e un segno meno se sono opposte.

Quindi, nel caso di un modo naturale di specificare il moto, quando è nota la traiettoria di un punto e, di conseguenza, il suo raggio di curvatura? in ogni punto e l'equazione del moto si possono trovare le proiezioni dell'accelerazione del punto sugli assi naturali:

Se a > 0 e > 0 o a< 0 и < 0, то движение ускоренное и вектор а направлен в сторону вектора скорости. Если а < 0 и >0 o a > 0 e< 0, то движение замедленное и вектор а направлен в сторону, противоположную вектору скорости

Casi speciali.

1. Se il punto si muove in modo rettilineo e non uniforme, allora = , e, quindi, = 0, a = a.

2. Se il punto si muove in linea retta e uniformemente, = 0, a = 0 e a = 0.

3. Se il punto si muove uniformemente lungo un percorso curvo, allora a = 0 e a = . Con moto curvilineo uniforme di un punto, la legge del moto ha la forma s = t. È consigliabile assegnare una direzione di riferimento positiva nei compiti a seconda delle condizioni specifiche. Nel caso in cui 0 = 0, otteniamo = gt e. Spesso usata nei compiti (quando un corpo cade da un'altezza H senza velocità iniziale) la formula

Conclusione: l'accelerazione normale esiste solo con curvilineo

32. Classificazione del movimento di un punto in base alla sua accelerazione

se durante un certo periodo di tempo le accelerazioni normale e tangenziale del punto sono uguali a zero, allora né la direzione né il modulo di velocità cambieranno durante questo periodo, cioè il punto si muove in linea retta in modo uniforme e la sua accelerazione è zero.

se durante un certo periodo di tempo l'accelerazione normale non è uguale a zero e l'accelerazione tangenziale del punto è uguale a zero, allora la direzione della velocità cambia senza cambiarne il modulo, cioè il punto si muove curvilineamente in modo uniforme e il modulo di accelerazione.

Se in un particolare momento, il punto non si muove in modo uniforme e in questo momento il modulo della sua velocità ha un tasso di variazione monotona massimo, minimo o più basso.

se durante un certo periodo di tempo l'accelerazione normale del punto è uguale a zero e l'accelerazione tangenziale non è uguale a zero, allora la direzione della velocità non cambia, ma cambia il suo modulo, cioè il punto si muove lungo una retta in modo non uniforme. Modulo di accelerazione puntuale in questo caso

Inoltre, se la direzione dei vettori di velocità e coincidono, il movimento del punto viene accelerato e se non coincidono, il movimento del punto è lento.

Se ad un certo punto nel tempo, il punto non si muove in linea retta, ma passa il punto di flesso della traiettoria o il modulo della sua velocità svanisce.

Se durante un certo periodo di tempo né l'accelerazione normale né quella tangenziale sono uguali a zero, allora sia la direzione che il modulo della sua velocità cambiano, cioè punto fa un curvilineo movimento irregolare. Modulo di accelerazione del punto

Inoltre, se la direzione dei vettori di velocità e coincidono, allora il movimento è accelerato, e se sono opposti, allora il movimento è lento.

Se il modulo di accelerazione tangenziale è costante, cioè , allora il modulo della velocità del punto cambia proporzionalmente al tempo, cioè il punto è in continuo movimento. Poi

Formula di velocità moto uniforme punti;

Equazione del moto puntuale a variabili uguali

Per poter risolvere vari problemi sul movimento dei corpi in fisica, è necessario conoscere le definizioni delle grandezze fisiche, nonché le formule con cui sono correlate. Questo articolo affronterà le domande su cos'è la velocità tangenziale, cos'è l'accelerazione completa e quali componenti la compongono.

Il concetto di velocità

Le due grandezze principali della cinematica dei corpi in movimento nello spazio sono la velocità e l'accelerazione. La velocità descrive la velocità del movimento, quindi la sua forma matematica è la seguente:

Sarai interessato:

Qui l¯ è il vettore spostamento. In altre parole, la velocità è la derivata temporale della distanza percorsa.

Come sapete, ogni corpo si muove lungo una linea immaginaria, che si chiama traiettoria. Il vettore velocità è sempre diretto tangenzialmente a questa traiettoria, indipendentemente da dove si trovi il corpo in movimento.

Ci sono diversi nomi per la quantità v¯, se la consideriamo insieme alla traiettoria. Quindi, poiché è diretta tangenzialmente, si chiama velocità tangenziale. Si può anche parlare di una quantità fisica lineare in opposizione alla velocità angolare.

La velocità è calcolata in metri al secondo in SI, ma in pratica si usano spesso chilometri orari.

Il concetto di accelerazione

A differenza della velocità, che caratterizza la velocità di un corpo che attraversa una traiettoria, l'accelerazione è una quantità che descrive la velocità di variazione della velocità, che è scritta matematicamente come segue:

Come la velocità, l'accelerazione è una caratteristica del vettore. Tuttavia, la sua direzione non è correlata al vettore velocità. È determinato dal cambio di direzione v¯. Se durante il moto la velocità non cambia vettore, allora l'accelerazione a¯ sarà diretta lungo la stessa linea della velocità. Tale accelerazione è chiamata tangenziale. Se la velocità cambia direzione, mantenendo il valore assoluto, l'accelerazione sarà diretta verso il centro di curvatura della traiettoria. Si chiama normale.

L'accelerazione è misurata in m/s2. Ad esempio, la nota accelerazione caduta liberaè tangenziale quando l'oggetto sale o scende verticalmente. Il suo valore vicino alla superficie del nostro pianeta è 9,81 m / s2, ovvero per ogni secondo di caduta la velocità del corpo aumenta di 9,81 m / s.

La ragione per l'apparenza dell'accelerazione non è la velocità, ma la forza. Se la forza F agisce su un corpo di massa m, allora inevitabilmente creerà un'accelerazione a, che può essere calcolata come segue:

Questa formula è una diretta conseguenza della seconda legge di Newton.

Accelerazioni piene, normali e tangenziali

velocità e accelerazione come quantità fisiche sono state discusse nei paragrafi precedenti. Ora studieremo più in dettaglio quali componenti compongono l'accelerazione totale a¯.

Assumiamo che un corpo si muova ad una velocità v¯ lungo un percorso curvo. Allora l'uguaglianza sarà vera:

Il vettore u¯ ha lunghezza unitaria ed è diretto lungo la retta tangente alla traiettoria. Usando questa rappresentazione della velocità v¯, otteniamo l'uguaglianza per l'accelerazione totale:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt.

Il primo termine ottenuto nella giusta uguaglianza è chiamato accelerazione tangenziale. La velocità le è legata dal fatto che quantifica la variazione del valore assoluto di v¯, indipendentemente dalla sua direzione.

Il secondo termine è l'accelerazione normale. Descrive quantitativamente la variazione del vettore velocità, senza tener conto della variazione del suo modulo.

Se indichiamo come at e an le componenti tangenziali e normali dell'accelerazione totale a, allora il modulo di quest'ultima può essere calcolato con la formula:

a = √(at2 + an2).

Relazione tra accelerazione tangenziale e velocità

La connessione corrispondente è descritta da espressioni cinematiche. Ad esempio, nel caso di movimento in una retta con accelerazione costante, che è tangenziale (la componente normale è zero), valgono le espressioni:

Nel caso di moto in cerchio con accelerazione costante valgono anche queste formule.

Pertanto, qualunque sia la traiettoria del corpo, l'accelerazione tangenziale attraverso la velocità tangenziale viene calcolata come derivata temporale del suo modulo, ovvero:

Ad esempio, se la velocità cambia secondo la legge v = 3*t3 + 4*t, allora at sarà uguale a:

at = dv/dt = 9*t2 + 4.

Velocità e accelerazione normale

Scriviamo in forma esplicita la formula per la componente normale an, abbiamo:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Dove re¯ è un vettore di lunghezza unitaria che è diretto verso il centro di curvatura della traiettoria. Questa espressione stabilisce la relazione tra velocità tangenziale e accelerazione normale. Vediamo che quest'ultimo dipende dal modulo v in un dato momento e dal raggio di curvatura r.

L'accelerazione normale si verifica ogni volta che il vettore di velocità cambia, ma è zero se questo vettore mantiene la direzione. Ha senso parlare del valore di an¯ solo quando la curvatura della traiettoria è un valore finito.

Abbiamo notato sopra che quando ci si muove in linea retta, non c'è accelerazione normale. Tuttavia, in natura esiste un tipo di traiettoria, quando ci si sposta lungo la quale an ha un valore finito, e at = 0 per |v¯| = cost. Questo percorso è un cerchio. Ad esempio, un albero, una giostra o un pianeta di metallo ruota attorno al proprio asse con una frequenza costante con un'accelerazione normale costante e un'accelerazione tangenziale zero a.