Perpendicolare

diretto a

spazio

Definizione.

Due rette si dicono perpendicolari se si intersecano ad angolo retto.

Rette perpendicolari nel piano

Quante perpendicolari possono essere tracciate a una data retta passante per un dato punto A che non giace sulla retta o punto B che giace sulla retta?

Attraverso ogni punto è possibile disegnare una linea retta perpendicolare a questo.

Definizione. Due rette si dicono perpendicolari se si intersecano ad angolo retto.

Dimostra che per qualsiasi punto dello spazio è possibile tracciare una retta perpendicolare a quella data.

1. Attraverso una linea retta un e punto A disegna un aereo 

2. Attraverso il punto A in aereo  tracciamo una linea retta insieme a, perpendicolare alla linea un.

linee rette, che

Due dritti sono detti perpendicolari se si intersecano ad angolo retto.

non si intersecano e

giacciono sullo stesso piano

sono detti paralleli

Conclusione. Linee perpendicolari può giacere su piani diversi.

Trovare 2 perpendicolare rette giacenti sullo stesso piano e su piani diversi.

Lemma: Se una delle due rette parallele è perpendicolare alla terza, anche l'altra retta è perpendicolare alla terza.

Dato:

dottore:

Doc-in:

1. Per un punto arbitrario M che non giace sulle rette date, disegniamo MA ||a e MC || insieme a. Perché a ┴ c, quindi AMC= 90˚

3. b|| SONO

2. b || a (a condizione)

un || AM (per costruzione)

№ 116(a) (pag. 38)

Dato:

dottore:

uno). CC ┴ B 1 C 1

2). AB ┴ LA 1 RE 1

Dato:

DABC - tetraerdo

dottore:

• Definire le linee perpendicolari nello spazio.

2. Enuncia il lemma dimostrato.

Compiti a casa:

• Teoria (p. 34, insegnare)
• № 116 (b), 117

Sezioni: Matematica

Obiettivi della lezione:

• identificare il livello di padronanza di un complesso di conoscenze e abilità per risolvere problemi su un determinato argomento,
• sviluppare l'immaginazione spaziale, il pensiero logico, l'attenzione e la memoria,
• educare all'attività, alla capacità di ascoltare.

Attrezzatura per le lezioni:

• libro di testo L.S. Atanasyan e altri "Geometria 10-11";
• cartella di lavoro;
• Personal computer;
• proiettore multimediale;
• lavagna interattiva;
• presentazione dell'autore preparata utilizzando Microsoft Power Point ( Appendice 1 )

Struttura della lezione:

1. Organizzare il tempo.
2. Aggiornare le conoscenze degli studenti sull'argomento.
3. Consolidamento delle conoscenze precedentemente acquisite e sviluppo di abilità e capacità per applicare queste conoscenze nella risoluzione dei problemi.
4. Riassumendo la lezione.
5. Compiti a casa.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo della lezione: saluto, verifica della disponibilità alla lezione.

2. Aggiornare la conoscenza ottenuti dagli studenti nella lezione precedente:

- il concetto di rette perpendicolari nello spazio;
- perpendicolarità di una retta e di un piano;
– proprietà delle rette parallele perpendicolari al piano.

Per aggiornare la conoscenza uno studente va alla lavagna e scrive la soluzione del problema n. 119a), il secondo studente è la dimostrazione del teorema su rette parallele perpendicolari al piano.

Mentre si preparano, un sondaggio frontale di classe:

Qual è la posizione relativa delle due linee nello spazio?
- In quale intervallo viene misurato l'angolo tra le rette nello spazio?
Quali linee nello spazio sono dette perpendicolari?
- Formulare un lemma su due rette parallele perpendicolari alla terza.
– Stabilire la corretta sequenza di azioni nella dimostrazione del lemma.

Dopo l'esecuzione della convalida online.

Insegnante: Definisce la perpendicolarità di una linea e di un piano.

Insegnante: Formulare il teorema inverso.

Verifica della correttezza della soluzione del problema domestico n. 119a (usando l'uguaglianza dei triangoli).

3. Sviluppo di abilità e capacità per applicare le conoscenze teoriche alla risoluzione dei problemi

1) Esercizi orali.

№1 La retta AB è perpendicolare al piano, i punti M e K appartengono a questo piano. Dimostra che la retta AB è perpendicolare alla retta MK.

2) Esercizi di scrittura .

№2 Nel quadrato ABCD, t.O è il punto di intersezione delle sue diagonali. MO diretto è perpendicolare al piano del quadrato. Dimostra che MA = MB = MC = MD.

№3 Il lato AB del parallelogramma ABCD è perpendicolare al piano. Trova BD se AC = 10 cm.

4. Verifica dell'assimilazione delle conoscenze acquisite durante la prova

5. Riassumendo la lezione

Annota un compito a casa: articoli 15-16, n. 118 n. 120

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Didascalie delle diapositive:

Perpendicolarità di rette e piani

Rette perpendicolari nello spazio Due rette si dicono perpendicolari se l'angolo tra loro è 90 o a b c a  b c  b α

Lemma Se una delle due rette parallele è perpendicolare alla terza retta, anche l'altra retta è perpendicolare a questa retta. A C a α M b c Dato: a || b, a  c Dimostrare: b  c Dimostrare:

Una retta si dice perpendicolare ad un piano se è perpendicolare ad una qualsiasi retta giacente su questo piano α a a  α

Teorema 1 Se una di due rette parallele è perpendicolare a un piano, anche l'altra retta è perpendicolare a questo piano. α x Dato: a || un 1 ; a  α Dimostra: a 1  α Dimostra: a a 1

Teorema 2 α Dimostra: a || b Dimostrazione: a Se due rette sono perpendicolari ad un piano, allora sono parallele. β b 1 Dati: a  α ; b  α b M c

Un segno di perpendicolarità di una retta e di un piano Se una retta è perpendicolare a due rette intersecanti che giacciono su un piano, allora è perpendicolare a questo piano. α q Dimostra: a  α Dimostrazione: a p m O Data: a  p ; a  q p  α ; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Dimostrazione: L a) caso speciale A

α q a p m O Dimostrazione: a) caso generale a 1

Teorema 4 Per un punto qualsiasi dello spazio passa una retta perpendicolare al piano dato, e inoltre uno solo. α a β М b с Dimostrare: 1) ∃ с, с  α , М  с; 2) con - ! Dimostrazione: Data: α ; M  α

Compito Trova: MD A B D M Soluzione: Dato:  ABC ; MBBC; MBBA; MB = BD = a Dimostra: М B  BD C a a

Problema 128 Dimostrare: O M  (ABC) Dato: ABCD è un parallelogramma; AC ∩ BD = O ; M  (ABC); MA = MC, MB = MD A B D C O M Dimostrazione:

Compito 12 2 Trova: AD; BD; AK; BK A B D C O K Soluzione: Dati:  ABC – r/s; O - centro  ABC CD  (ABC); OK || CD A B = 16  3 , OK = 12; CD = 16 12 16

Perpendicolare e inclinata M A B N α MN  α A  α B  α

Teorema delle tre perpendicolari Una retta tracciata in un piano passante per la base di una retta inclinata perpendicolare alla sua proiezione su questo piano è perpendicolare alla retta inclinata stessa. A N M α β a Dato: a  α , AN  α , AM è obliquo, a  NM, M  a Dimostra: a  AM Dimostrazione:

Il teorema opposto al teorema su tre perpendicolari Una retta tracciata in un piano passante per la base di una perpendicolare inclinata ad essa è anche perpendicolare alla sua proiezione. A N M α β a Dato: a  α , AN  α , AM è obliquo, a  AM, M  a Dimostra: a  HM Dimostrazione:

L'angolo tra la retta e il piano A H α β a O φ (a; α) =  AON = φ

Sul tema: sviluppi metodologici, presentazioni e note

La presentazione sul tema "Perpendicolarità di una retta e di un piano" corrisponde al materiale teorico studiato in questa sezione di geometria solida....

Viene presentato lo sviluppo di una lezione nella classe 10, in geometria per i materiali didattici: Geometria per le classi 10-11, autori L.S. Atanasyan, VF Butuzov, SB Kadomtsev e altri Questa è una lezione per imparare nuovo materiale usando ...

Argomento della lezione: "Perpendicolarità di rette e piani nello spazio"

GBPOU KK STTT

Insegnante di matematica

IVANKOVA NADEZHDA PETROVNA

In classe faremo...

Trova...

Domanda 1. Quali rette nello spazio sono dette perpendicolari?

Le rette nello spazio si dicono perpendicolari se l'angolo tra loro è 90 0

un

b

UN

α

Domanda 2.

Formulare un lemma sulla perpendicolarità di due rette parallele ad una terza

un

b

insieme a

M

UN

C

α

Domanda 3 .

Quale retta si dice perpendicolare al piano?

Domanda 4. Formulare un segno di perpendicolarità di una retta e di un piano.

un

Dato: a r, a q

Dimostra: a α

UN

l

P

q

Q

p

m

α

l

B

Domanda 5 .

Cos'è la distanza

da punto a piano?

La distanza da un punto a un piano è la lunghezza della perpendicolare da un punto dato a un piano

UN

un

b

A

α

Domanda 6 .

Qual è la distanza tra una linea e

un piano parallelo ad esso?

un

b

insieme a

α

Domanda 7 .

Qual è la distanza tra

piani paralleli?

UN

A

Domanda 8 .

Quali linee si chiamano intersecanti?

b

α

un



Risposta: Le linee di intersezione sono linee che non giacciono sullo stesso piano.

Domanda 9. Come misurare la distanza tra le linee che si intersecano?

Distanza è uguale alla distanza da un punto qualsiasi di una di queste rette al piano passante per la seconda retta, parallela alla prima.

Distanza tra due linee che si intersecano è uguale alla distanza tra due piani paralleli contenenti queste linee.

Distanza tra due linee che si intersecano è uguale alla lunghezza della loro perpendicolare comune (c'è solo uno di questi segmenti).

Dimostrare il teorema delle tre perpendicolari

AN - perpendicolare al piano

AB - obliquo

VH - proiezione di AB su un piano

Se un BH, allora un AB

un

Dimostrare un teorema opposto al teorema delle tre perpendicolari

α

A non giace su un aereo

E D è perpendicolare al piano α

AB - obliquo

BD è la proiezione di AB sul piano α

Se un AB, allora un B D

un

α

Dato: MS ┴ ABC

Trova: AC

ABCD è un rombo.

Dimostra: MO ┴ ABC

Dato: DA ┴ ABC

Dati: ABCD - parallelogramma, MB ┴ ABC

Dimostra: ABCD è un rettangolo

un

Domanda 10:

Come si chiama l'angolo tra una retta e un piano?

Definire un angolo diedro.

Come si misura l'angolo diedro?

un

Domanda 11 : Come si chiamano gli aerei

perpendicolare?

Domanda 12 : Formulare e dimostrare il segno

perpendicolarità di due piani.

α

Domanda 13: Che parallelepipedo

chiamato rettangolare?

Domanda 14: Elenca le proprietà di un rettangolo

parallelepipedo.

Domanda 15:

Formulare e

dimostrare il teorema della diagonale

rettangolare

parallelepipedo.

Risolvere il problema:

Dato: ABC D - rettangolo,

MV ⊥ (ABC).

Dimostra: (AMV) ⊥ (MVS)

nella piramide DABC si conoscono le lunghezze delle coste: AB=AC= DB=CC =10, BC= DA =12. trova la distanza tra le righe DA e VS.

triangoli bdc e ABC isoscele

D M – altezza ∆ bdc , D M - mediana,

SONO – mediana ∆ AB C → SONO - altezza.

∆ MA AVANTI CRISTO = ∆ bdc su tre lati D M = SONO → ∆ AMD isoscele

MK – mediana e altezza.

SM ⊥ AMD → SM ⊥ MK,

ANNO DOMINI ⊥ MK , MK è la perpendicolare comune delle linee intersecanti

ANNO DOMINI e sole

∆ AVM rettangolare, AB=10,

VM=6 , AM=8.

∆ AKM rettangolare, AM=8,

AK=6 , MK=2 √ 7.

Risolvi il problema (secondo la figura):

un

Tracciamo BE ⊥ AC, CE = EA, poiché ΔABC è isoscele e anche l'altezza è una mediana.

quindi dal teorema delle 3 perpendicolari DE ⊥ AC.

L'affermazione è vera?

Dritto unè perpendicolare al piano α e alla retta b

non perpendicolare a questo piano. Possono

dritto un e b essere parallelo?

b ?

un



L'affermazione è vera?

La retta a è parallela al piano α e la retta b

perpendicolare a questo piano. Esiste

una retta perpendicolare alle rette a e b?

b

un

α

L'affermazione è vera?

Tutte le rette perpendicolari ad un dato piano

e intersecante la retta data giacciono nella stessa

aerei.

un

b

insieme a

d

α

L'affermazione è vera?

È possibile disegnarne tre

piani, ciascuno dei quali è reciprocamente

perpendicolare?

FONTI:

Geometria del libro di testo Grado 10 AtanasyanL.S. ecc. M.: Illuminismo. 2001

http://5terka.com/node/7155

http://vremyazabav.ru/zanimatelno/rebusi/rebusi-slova/82-rebusi-po-matematike.html

La presentazione "Linee perpendicolari nello spazio" è un aiuto visivo per dimostrare materiale didattico quando si studia l'argomento con lo stesso nome a scuola. È difficile rappresentare figure nello spazio utilizzando una lavagna o altri strumenti standard dell'insegnante. La presentazione è una delle forme più preferite di dimostrazione del materiale visivo, in cui è richiesto di rappresentare corpi nello spazio. Quando si crea una presentazione, è possibile utilizzare l'animazione, la rappresentazione a colori delle figure. Inoltre, la presentazione animata contribuisce a una comprensione più profonda dei processi e delle trasformazioni dimostrati, focalizza l'attenzione degli studenti sull'argomento studiato.

Durante la presentazione, gli studenti hanno un'idea delle rette perpendicolari nello spazio, viene formulato e dimostrato un importante lemma sulla perpendicolarità di una retta ad entrambe le rette parallele quando una di esse è perpendicolare, la soluzione del problema viene descritta utilizzando il metodo studiato Materiale. Con l'aiuto della presentazione, è più facile per l'insegnante formare la capacità degli studenti di risolvere problemi geometrici, per dare un'idea delle proprietà di quelli nello spazio. Il materiale mostrato durante la presentazione è più facile da capire e da ricordare.

La presentazione inizia con un promemoria di quale angolo può essere formato tra due rette poste su un piano e che si intersecano l'una con l'altra. La figura mostra un certo piano su cui sono costruite le linee aeb. Quando queste linee si intersecano, si forma un angolo α. Il valore dell'angolo può essere compreso tra 0° e 90°. Gli angoli verticali formati dall'intersezione delle linee sono uguali e l'angolo adiacente è determinato dalla formula 180°-α. Si tratta di conoscenze teoriche che lo studente deve ricordare prima di studiare le proprietà delle rette perpendicolari allo spazio. Nella diapositiva successiva, per meglio dimostrare la posizione reciproca delle linee nello spazio, è mostrato un parallelepipedo rettangolare ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, sul quale i bordi AA 1 e AB sono perpendicolari. Viene formulata la definizione di rette perpendicolari, che sono così dette se l'angolo tra loro è di 90°. Si noti inoltre che in un parallelepipedo rettangolare, le linee D 1 C 1 e DD 1 saranno anche perpendicolari tra loro. Ricordiamo anche la notazione di perpendicolarità delle rette D 1 C 1 ┴ DD 1 . Successivamente, vengono contrassegnate coppie di linee nel parallelepipedo, che saranno parallele e perpendicolari l'una all'altra. Si noti che AA 1 ┴ AD, DD 1 ┴ AD saranno perpendicolari e AA 1 e DD 1 sono paralleli.

Viene presentato il seguente lemma, in cui si afferma che se una delle rette parallele è perpendicolare a una terza retta, anche la seconda retta parallela sarà ad essa perpendicolare. La formulazione del lemma è evidenziata per la memorizzazione in una cornice e con l'ausilio del colore. La dimostrazione del lemma è dimostrata. La figura mostra due rette parallele aeb, nonché una retta c, nota per essere perpendicolare ad a. è necessario dimostrare che anche b e c sono perpendicolari. Per provare questa affermazione si costruisce un punto aggiuntivo M, che non appartiene né ad a né a b. Per questo punto viene tracciata una linea MA, parallela ad a. Viene anche eseguita la SM, parallelamente a. La perpendicolarità di a a c significa che ∠AMS=90°. Dal parallelismo di aeb, così come dal parallelismo di a con MA, segue il parallelismo di b con MA. Poiché b è parallelo a MA e c è parallelo a MC e l'angolo ∠AMC=90°, allora b è perpendicolare a c. L'affermazione è stata provata.

L'ultima diapositiva presenta una descrizione della soluzione del problema in cui è necessario dimostrare la perpendicolarità del bordo del tetraedro AM e della linea PQ. Nel problema viene fornito un tetraedro MABC, in cui AM è perpendicolare a BC. Sul bordo AB è segnato un punto P. È noto che AP/AB=2/3. E sullo spigolo Ac è segnato un punto Q, che divide lo spigolo nel rapporto AQ/QC=2/1. Dalla relazione AQ/QC=2/1 segue la relazione Δ/AC=2/3. Dalla trovata AQ/AC, dalla nota relazione АР/АВ e dal fatto che l'angolo ∠А è comune, ne consegue che i triangoli ΔAPQ e ΔABC sono simili. Allo stesso tempo, dall'uguaglianza degli angoli ∠ARQ=∠ABS, ∠AQP=∠ABC, le rette PQ e BC sono parallele. Sapendo che i lati Am e BC sono perpendicolari, e PQ è parallelo a BC, usando il noto lemma, possiamo asserire che AM è perpendicolare a PQ. Problema risolto.

La presentazione "Linee perpendicolari nello spazio" aiuterà l'insegnante a condurre una lezione di geometria a scuola. Inoltre, il materiale visivo è utile per un insegnante che conduce la formazione a distanza. La presentazione può essere consigliata a uno studente che studia autonomamente la materia o richiede materiale aggiuntivo per una comprensione più profonda.