Definizione di un modello matematico

Un fattore importante che determina il ruolo della matematica in varie applicazioni è la capacità di descrivere le caratteristiche e le proprietà più essenziali dell'oggetto studiato nel linguaggio dei simboli e delle relazioni matematiche. Tale descrizione è solitamente chiamata modellazione matematica o formalizzazione.

Definizione 1.Modello matematico di un oggetto reale (fenomeno) è chiamato il suo diagramma semplificato e idealizzato, compilato utilizzando simboli e operazioni matematiche (relazioni).

Per costruire un modello matematico di un compito economico specifico (problema), si consiglia di eseguire la seguente sequenza di lavoro:

1. Determinazione delle quantità note e sconosciute, nonché delle condizioni e dei prerequisiti esistenti (cosa viene dato e cosa deve essere trovato?);

2. Identificazione i fattori più importanti I problemi;

3. Individuazione dei parametri controllabili e non controllabili;

4. Descrizione matematica attraverso equazioni, disequazioni, funzioni e altre relazioni tra elementi del modello (parametri, variabili), in base al contenuto del problema in esame.

Vengono considerati i parametri noti del problema relativi al suo modello matematico esterno(dato a priori, cioè prima di costruire il modello). Nella letteratura economica si chiamano variabili esogene. I valori delle variabili inizialmente sconosciute vengono calcolati a seguito dello studio del modello, quindi in relazione al modello vengono considerati interno. Nella letteratura economica si chiamano variabili endogene.

Dal punto di vista dello scopo, possiamo distinguere modelli descrittivi E modelli decisionali. Modelli descrittivi riflettono il contenuto e le proprietà fondamentali degli oggetti economici in quanto tali. Con il loro aiuto vengono calcolati i valori numerici dei fattori e degli indicatori economici.

I modelli decisionali aiutano a trovare le migliori opzioni per gli indicatori pianificati o le decisioni gestionali. Tra questi, i meno complessi sono i modelli di ottimizzazione, attraverso i quali vengono descritti (modellati) compiti come la pianificazione, e i più complessi sono i modelli di gioco che descrivono problemi di natura conflittuale, tenendo conto dell'intersezione di vari interessi. Questi modelli differiscono dai modelli descrittivi in quanto hanno la capacità di selezionare i valori dei parametri di controllo (cosa che non avviene nei modelli descrittivi).

Schema decisionale generale

In economia matematica è difficile sopravvalutare il ruolo dei modelli decisionali. Quelli più frequentemente utilizzati sono quelli che riducono i problemi originari della pianificazione ottimale della produzione, della distribuzione razionale di risorse limitate e delle attività efficienti delle entità economiche a problemi estremi, a problemi di controllo ottimale e a problemi di gioco. Che cos'è struttura generale tali modelli?

Qualsiasi compito decisionale è caratterizzato dalla presenza di una o più persone che perseguono determinati obiettivi e possiedono determinate capacità per questo. Pertanto, per individuare gli elementi principali di un modello decisionale è necessario rispondere alle seguenti domande:

џ chi prende la decisione?

џ quali sono gli obiettivi del processo decisionale?

џ in cosa consiste il processo decisionale?

џ qual è il set possibili opzioni raggiungimento dell'obiettivo?

џ a quali condizioni avviene una decisione?

Ci troviamo quindi di fronte a un certo compito decisionale generale. Per costruire il suo schema formale (modello), introduciamo la notazione generale.

Lettera N Indichiamo l'insieme di tutti i soggetti decisionali. Permettere N=(1,2,...,n), quelli. ci sono solo n partecipanti identificati solo da numeri. Ogni elemento è chiamato decision maker (DM). (ad esempio, un individuo, un'azienda, un ente di pianificazione di una grande azienda, un governo, ecc.).

Supponiamo che l'insieme di tutte le soluzioni fattibili (alternative, strategie) di ciascun decisore sia stato precedentemente studiato e descritto matematicamente (ad esempio, sotto forma di un sistema di disuguaglianze). Indichiamoli con X 1 , X 2 ,..., X N . Successivamente, il processo decisionale di tutti i decisori si riduce al seguente atto formale: ciascun decisore seleziona un elemento specifico dal suo insieme di decisioni ammissibili,..., . Il risultato è un insieme x =(x1,...,xn) di soluzioni selezionate, che chiamiamo situazione.

Per valutare la situazione x dal punto di vista degli obiettivi perseguiti dal decisore, vengono costruite delle funzioni F 1 ,...,F N (chiamate funzioni obiettivo o criteri di qualità) che assegnano x punteggi numerici a ciascuna situazione F 1 (x),..., f N (X)(ad esempio, il reddito delle imprese nella situazione x, o i loro costi, ecc.). Poi il gol io-Il decisore è formalizzato come segue: scegliere una soluzione tale che nella situazione x =(x 1 ,...,X N ) numero F io (X) era il più grande (o piccolo) possibile. Tuttavia, il raggiungimento di questo obiettivo dipende in parte da lui a causa della presenza di altri soggetti influenti situazione generale x per raggiungere i propri obiettivi. Questo fatto di intersezione di interessi (conflitto) si riflette nel fatto che la funzione F io Oltretutto X io dipende da altre variabili X J (j i). Pertanto, nei modelli decisionali con molti partecipanti, i loro obiettivi devono essere formalizzati in modo diverso rispetto alla massimizzazione o alla minimizzazione dei valori della funzione F io (X). Infine, cerchiamo di essere in grado di descrivere matematicamente tutte le condizioni in cui viene presa una decisione. (descrizione delle connessioni tra variabili controllabili e non controllabili, descrizione dell'influenza di fattori casuali, tenendo conto caratteristiche dinamiche eccetera.). Per semplicità, la totalità di tutte queste condizioni sarà denotata da un simbolo.

Pertanto, lo schema generale di un problema decisionale potrebbe assomigliare a questo:

Specificando gli elementi del modello (1.6.1.), chiarendone caratteristiche e proprietà, è possibile ottenere l'una o l'altra classe specifica di modelli decisionali. Quindi se in (1.6.1.) Nè costituito da un solo elemento (n=1), e tutte le condizioni e i prerequisiti del problema reale originale possono essere descritti sotto forma di un insieme di soluzioni ammissibili a questo singolo decisore, quindi da (1.6.1.) otteniamo la struttura del problema di ottimizzazione (estremale):< Х, f >. In questo schema il decisore può essere considerato come un organo di pianificazione. Usando questo schema, puoi scrivere problemi estremi di due tipi:

Se un problema estremo prende esplicitamente in considerazione il fattore tempo, allora è detto problema di controllo ottimo. Se n 2, allora (1.6.1.) è schema generale compiti decisionali in condizioni di conflitto, cioè in situazioni in cui vi è un'intersezione di interessi di due o più parti.

Spesso un decisore non ha uno, ma diversi obiettivi. In questo caso, dalla (1) otteniamo un diagramma in cui tutte le funzioni F 1 (x),..., f N (X) sono definiti sullo stesso insieme X. Tali problemi sono chiamati problemi di ottimizzazione multicriterio.

Esistono classi di problemi decisionali che ricevono i loro nomi in base al loro scopo: sistemi di code, problemi di gestione dell'inventario, problemi di rete e di pianificazione, teoria dell'affidabilità, ecc.

Se gli elementi del modello (1) non dipendono esplicitamente dal tempo, cioè il processo decisionale si riduce all’atto istantaneo di scegliere un punto da un dato insieme, allora il problema si chiama statico. Altrimenti, quando il processo decisionale è un processo distinto in più fasi o continuo nel tempo, il compito viene chiamato dinamico. Se gli elementi del modello (1) non contengono variabili casuali e fenomeni probabilistici, allora il problema si dice deterministico, altrimenti si dice stocastico.

Il computer è entrato saldamente nelle nostre vite e praticamente non esiste area dell'attività umana in cui non venga utilizzato un computer. I computer sono ora ampiamente utilizzati nel processo di creazione e ricerca di nuove macchine, nuovi processi tecnologici e nella ricerca delle loro opzioni ottimali; nella risoluzione di problemi economici, nella risoluzione di problemi di pianificazione e gestione della produzione a vari livelli. La creazione di oggetti di grandi dimensioni nella tecnologia missilistica, nella produzione aeronautica, nella costruzione navale, nonché nella progettazione di dighe, ponti, ecc. è generalmente impossibile senza l'uso dei computer.

Per utilizzare un computer nella risoluzione di problemi applicati, prima di tutto, il problema applicato deve essere “tradotto” in un linguaggio matematico formale, cioè per un oggetto, processo o sistema reale deve essere costruito modello matematico.

La parola “Modello” deriva dal latino modus (copia, immagine, contorno). La modellazione è la sostituzione di un oggetto A con un altro oggetto B. L'oggetto A sostituito è chiamato oggetto originale o oggetto di modellazione, e la sostituzione B è chiamata modello. In altre parole, un modello è un oggetto che sostituisce l'oggetto originale, prevedendo lo studio di alcune proprietà dell'originale.

Lo scopo della simulazione sono la ricezione, l'elaborazione, la presentazione e l'utilizzo di informazioni sugli oggetti che interagiscono tra loro e con l'ambiente esterno; e il modello qui funge da mezzo per comprendere le proprietà e i modelli di comportamento di un oggetto.

La modellazione è ampiamente utilizzata in vari campi dell'attività umana, in particolare nei campi della progettazione e della gestione, dove i processi per prendere decisioni efficaci basate sulle informazioni ricevute sono speciali.

Un modello è sempre costruito con uno scopo specifico, che influenza quali proprietà di un fenomeno oggettivo sono significative e quali no. Il modello è come una proiezione della realtà oggettiva da una certa angolazione. A volte, a seconda degli obiettivi, è possibile ottenere una serie di proiezioni della realtà oggettiva che entrano in conflitto. Questo di solito è tipico per sistemi complessi, in cui ciascuna proiezione seleziona ciò che è essenziale per uno scopo specifico da un insieme di elementi non essenziali.

La teoria della modellazione è una branca della scienza che studia i modi per studiare le proprietà degli oggetti originali basandosi sulla loro sostituzione con altri oggetti modello. La teoria della modellazione si basa sulla teoria della somiglianza. Durante la modellazione, la somiglianza assoluta non avviene e mira solo a garantire che il modello rifletta sufficientemente bene l’aspetto del funzionamento dell’oggetto studiato. La somiglianza assoluta può verificarsi solo quando un oggetto viene sostituito da un altro esattamente identico.

Tutti i modelli possono essere suddivisi in due classi:

vero,
perfetto.

A loro volta, i modelli reali possono essere suddivisi in:

su vasta scala,
fisico,
matematico.

Modelli ideali può essere suddiviso in:

visivo,
iconico,
matematico.

I modelli reali a grandezza naturale sono oggetti, processi e sistemi reali su cui vengono condotti esperimenti scientifici, tecnici e industriali.

Modelli fisici reali- questi sono modelli, manichini, riproduttori Proprietà fisiche originali (modelli cinematici, dinamici, idraulici, termici, elettrici, illuminotecnici).

Quelli matematici veri sono i modelli analogici, strutturali, geometrici, grafici, digitali e cibernetici.

I modelli visivi ideali sono diagrammi, mappe, disegni, grafici, grafici, analoghi, strutturali e modelli geometrici.

I modelli ideali dei segni sono simboli, alfabeto, linguaggi di programmazione, notazione ordinata, notazione topologica, rappresentazione di reti.

Ideale modelli matematici- si tratta di modelli analitici, funzionali, di simulazione, combinati.

Nella classificazione di cui sopra, alcuni modelli hanno una doppia interpretazione (ad esempio, analogico). Tutti i modelli, tranne quelli a grandezza naturale, possono essere combinati in un'unica classe di modelli mentali, perché sono un prodotto del pensiero astratto umano.

Soffermiamoci su uno dei tipi più universali di modellazione: quello matematico, che mette in corrispondenza con il modellato processo fisico un sistema di relazioni matematiche, la cui soluzione consente di ottenere una risposta a una domanda sul comportamento di un oggetto senza creare un modello fisico, che spesso risulta costoso e inefficace.

Modellazione matematica - è un mezzo per studiare un oggetto, processo o sistema reale sostituendoli modello matematico, più conveniente per ricerca sperimentale usando un computer.

Modello matematicoè una rappresentazione approssimativa di oggetti, processi o sistemi reali, espressa in termini matematici e mantenendo le caratteristiche essenziali dell'originale. Modelli matematici in forma quantitativa, utilizzando costrutti logici e matematici, descrivono le proprietà di base di un oggetto, processo o sistema, i suoi parametri, le connessioni interne ed esterne.

Non esiste ancora una terminologia standardizzata ed è improbabile che appaia, poiché in tutta la storia della modellazione matematica ce n'è molta un gran numero di gli scienziati hanno studiato questo argomento.

La modellizzazione matematica viene utilizzata in vari ambiti della vita umana. Come, ad esempio: matematica, biochimica, medicina e così via.

La definizione di un modello matematico data da A.D. Mishki.

Esaminiamo il valore totale S delle proprietà di un certo oggetto A (oggetto: sistema, situazione, fenomeno, processo e così via). Perché stiamo costruendo un oggetto matematico A" - una relazione aritmetica, una figura geometrica, un sistema di equazioni e così via, il cui studio attraverso la matematica dovrebbe dare risposte alle domande poste sulle proprietà di S. In questo In questo caso, l'oggetto matematico A" è chiamato modello matematico dell'oggetto A rispetto all'insieme delle proprietà S. La definizione chiarisce non solo che gli oggetti A e A" hanno natura diversa, ma anche che A" è determinato non solo dall'originale A stesso, ma anche dalla totalità delle sue proprietà studiate S. Quindi, se conduciamo due studi dello stesso oggetto A in relazione a due diversi insiemi S1 e S2 delle sue proprietà, allora i corrispondenti modelli matematici " e "A1 A2 può essere completamente diverso. Da questo studio consegue la prima proprietà modelli matematici- la loro molteplicità. Sottolineiamo che qui intendiamo non solo la molteplicità di modelli associati alla loro gerarchia, ma il risultato generato dalla necessità di studiare vari sistemi, ... S1 S2 le sue proprietà.

Ad esempio, lo stesso massiccio cumulo può essere considerato sia dal punto di vista della generazione di correnti d'aria verso il basso, che sono distribuite ulteriormente sulla superficie terrestre e sono percepite da noi come una raffica di vento prima dell'inizio di forti piogge e come zona di elevata attività elettrica dell'atmosfera. Tutta questa manifestazione dell'oggetto rappresenta un elevato pericolo per il volo dell'aereo. Le correnti discendenti sono pericolose durante le fasi di decollo e atterraggio, a causa di un cambiamento significativo nell'entità della forza sotterranea dell'ala dell'aereo (un brusco cambiamento nella direzione della velocità del vento da vento contrario a vento in coda). Emergere in una tale nuvola è forte campi elettrici può creare una scarica elettricità atmosferica(fulmini), il cui impatto su un aeromobile può provocare il guasto totale o parziale delle apparecchiature radioelettroniche a bordo dell'aeromobile. È chiaro che nel primo caso si utilizzano per il modello le equazioni dell'aeroidrodinamica e si studia il campo delle velocità dei flussi d'aria (modello matematico relativo all'insieme di caratteristiche S1). Nel secondo caso si studia la struttura elettrica della nuvola e si costruisce un modello elettrodinamico (relativo all'insieme di caratteristiche S2).

La seconda proprietà più importante è l'unità dei modelli matematici. Il fatto distintivo è che vari sistemi reali o i loro modelli significativi possono avere lo stesso modello matematico.

Importante nella teoria della modellazione matematica è il costante coordinamento di tutti gli aspetti della costruzione del modello con i compiti e gli obiettivi dello studio. Pertanto, evidenziamo alcune caratteristiche dei sistemi e dei processi meccanici che sono essenziali per la ricerca.

In primo luogo, i fattori che determinano tali oggetti sono caratterizzati come quantità misurabili - parametri.

In secondo luogo, tali modelli si basano su equazioni che descrivono le leggi fondamentali della natura (meccanica), che non necessitano di essere riviste o chiarite. Anche i modelli parziali già pronti dei singoli fenomeni utilizzati nella compilazione di quelli più generali sono ben formulati e descritti in termini di condizioni e aree di applicazione.

In terzo luogo, un enorme ostacolo nello sviluppo di modelli di sistemi e processi meccanici è la descrizione di inaffidabili caratteristiche conosciute oggetti, sia funzionali che numerici.

In quarto luogo, gli attuali requisiti per tali modelli portano alla necessità di tenere conto di molti fattori che influenzano il comportamento di un oggetto, non solo quelli legati alle leggi della natura conosciute. Tutte queste caratteristiche portano al fatto che i modelli di sistemi e processi meccanici appartengono principalmente alla classe di quelli matematici.

I modelli matematici si basano sulla descrizione matematica di un oggetto. IN descrizione matematica Naturalmente vengono incluse innanzitutto le interrelazioni dei parametri dell'oggetto, che ne caratterizzano le caratteristiche operative. Tali connessioni possono essere rappresentate come:

Figura 2.1.1 - Relazioni tra i parametri degli oggetti

I primi quattro di questi tipi sono chiamati collettivamente: dipendenze analitiche.

La descrizione matematica contiene non solo le relazioni tra gli elementi e i parametri dell'oggetto (modelli e leggi), ma anche un insieme completo di dati funzionali e numerici dell'oggetto (caratteristiche; condizioni iniziali, al contorno, finali; restrizioni), nonché come metodi per calcolare i parametri di output del modello. Cioè, una descrizione matematica è un insieme completo di funzioni, metodi e dati di calcolo che consentono di ottenere un risultato.

Tuttavia, un modello matematico potrebbe non includere parte della descrizione matematica (molto spesso alcuni dati iniziali), ma oltre ad essa deve contenere descrizioni di tutte le ipotesi utilizzate per costruirlo, nonché algoritmi per il trasferimento dei dati di origine e di output dal modello all'originale e ritorno.

Figura 2.1.2 – Descrizione matematica del modello

Oltre alla classificazione, i modelli matematici, a seconda della natura dell'oggetto, dei problemi da risolvere e dei metodi utilizzati, possono differire nei seguenti tipi:

– calcoli (algoritmi, nomogrammi, formule, grafici, tabelle);

– corrispondente (esempio: modello in galleria del vento e il volo effettivo di un aereo nell'atmosfera);

– simili (parametri proporzionali corrispondenti e descrizioni matematiche identiche);

– non lineare e lineare (descritto da funzioni contenenti parametri di base solo alle potenze di 0 e 1, o qualsiasi tipi di funzioni),

– non stazionario e stazionario (dipendente dal tempo o indipendente),

– discreti o continui,

– stocastico o deterministico (probabilistico, univoco o esatto: modelli di code, simulazione, ecc.),

– sfocato e chiaro (esempi insiemi fuzzy: circa 10; profondo o superficiale; bene o male).

Basato eventi storici Accade così che un modello matematico a volte significhi solo uno tipo speciale modelli contenenti solo una descrizione matematica diretta inequivocabile sotto forma di algoritmi computazionali o dipendenze analitiche - cioè un modello matematico deterministico, con l'aiuto del quale, con gli stessi dati iniziali, si può ottenere solo lo stesso risultato. Si sono diffusi modelli deterministici che stabiliscono una connessione con i parametri dell'originale utilizzando coefficienti di proporzionalità tutti contemporaneamente uguali a uno. La descrizione matematica utilizzata da un tale modello può naturalmente essere considerata come una descrizione dell'originale stesso - questa affermazione è vera: il modello e l'originale in questo caso hanno una descrizione matematica comune. In condizioni di tale apparente semplicità, un ingegnere inesperto percepisce il modello non più come un modello, ma come un originale. Tuttavia, un modello matematico di questo tipo è semplicemente un modello con tutte le semplificazioni, convenzioni, astrazioni e ipotesi alla base. C'è il desiderio di “semplificare” il processo di buona modellazione, cosa che in generale è impossibile, poiché il modello o corrisponde all'originale o non esiste affatto. Un atteggiamento negligente nei confronti di ciò porta a molte conclusioni errate nella ricerca applicata e i risultati ottenuti non corrispondono alla reale situazione.

I modelli di simulazione sono presentati come gli antipodi dei modelli deterministici.

I modelli di simulazione (stocastici) sono modelli matematici di tali originali, per i singoli elementi dei quali non esiste una forma analitica di descrizione matematica. La descrizione matematica dei modelli di simulazione contiene una descrizione dei processi casuali (stocastici). Come tale descrizione presentano varie forme leggi di distribuzione che possono essere elaborate in base elaborazione statistica risultati dell'osservazione dell'originale.

Oltre alle leggi di distribuzione delle variabili casuali che descrivono il fenomeno, la descrizione matematica dei modelli di simulazione può includere una descrizione delle relazioni tra variabili casuali (ad esempio, utilizzando modelli di teoria delle code), nonché un algoritmo di test statistico (Monte Metodo Carlo per l'implementazione elementare eventi casuali). Ne consegue che i modelli di simulazione utilizzano l'apparato matematico della teoria della probabilità: statistica matematica, teoria delle code e metodi di test statistici.

Immagina un aeroplano: ali, fusoliera, coda, tutto questo insieme: un vero aeroplano enorme, immenso, intero. Oppure puoi realizzare un modello di aeroplano, piccolo, ma proprio come nella vita reale, con le stesse ali, ecc., ma compatto. Lo stesso vale per il modello matematico. C'è un problema di testo, ingombrante, puoi guardarlo, leggerlo, ma non capirlo del tutto, e ancor di più non è chiaro come risolverlo. Cosa succede se crei un piccolo modello di un grande problema di parole, un modello matematico? Cosa significa matematico? Ciò significa, utilizzando le regole e le leggi della notazione matematica, trasformare il testo in una rappresentazione logicamente corretta utilizzando numeri e segni aritmetici. COSÌ, un modello matematico è una rappresentazione di una situazione reale utilizzando il linguaggio matematico.

Cominciamo con qualcosa di semplice: il numero più numero sul. Dobbiamo scriverlo senza usare parole, ma solo il linguaggio della matematica. Se ce n'è di più, si scopre che se sottraiamo da, la stessa differenza di questi numeri rimarrà uguale. Quelli. O. Capisci il punto?

Ora è più difficile, ora ci sarà un testo che dovresti provare a rappresentare sotto forma di modello matematico, non leggere ancora come lo farò, provalo tu stesso! Ci sono quattro numeri: , e. Il prodotto è due volte più grande del prodotto.

Quello che è successo?

Sotto forma di modello matematico apparirà così:

Quelli. il prodotto è correlato come due a uno, ma questo può essere ulteriormente semplificato:

Ok, eccoci qua semplici esempi hai capito il punto, penso. Passiamo a problemi a tutti gli effetti in cui anche questi modelli matematici devono essere risolti! Ecco la sfida.

Modello matematico in pratica

Problema 1

Dopo la pioggia, il livello dell'acqua nel pozzo potrebbe aumentare. Il ragazzo misura il tempo in cui i sassolini cadono nel pozzo e calcola la distanza dall'acqua utilizzando la formula, dove è la distanza in metri e è il tempo di caduta in secondi. Prima della pioggia, il tempo di caduta dei ciottoli era s. Di quanto deve aumentare il livello dell'acqua dopo la pioggia affinché il tempo misurato cambi in s? Esprimi la tua risposta in metri.

Oh Dio! Quali formule, che tipo di bene, cosa sta succedendo, cosa fare? Ti ho letto nel pensiero? Rilassati, in problemi di questo tipo ci sono condizioni ancora più terribili, l'importante è ricordare che in questo problema ti interessano le formule e le relazioni tra le variabili, e cosa significa tutto ciò nella maggior parte dei casi non è molto importante. Cosa vedi di utile qui? Lo vedo personalmente. Il principio per risolvere questi problemi è il seguente: si prendono tutte le quantità conosciute e le si sostituiscono.MA a volte devi pensare!

Seguendo il mio primo consiglio, e sostituendo tutto ciò che noto nell'equazione, otteniamo:

Sono stato io a sostituire il tempo dei secondi e a trovare l'altezza a cui volava la pietra prima della pioggia. Ora dobbiamo contare dopo la pioggia e trovare la differenza!

Ora ascoltate il secondo consiglio e rifletteteci, la domanda specifica “di quanto deve salire il livello dell’acqua dopo la pioggia affinché il tempo misurato cambi in s”. Bisogna subito capire che dopo la pioggia il livello dell'acqua si alza, il che significa che il tempo in cui la pietra cade al livello dell'acqua è più breve, e qui la frase elaborata “in modo che il tempo misurato cambi” assume un significato specifico: la caduta il tempo non aumenta, ma si riduce dei secondi indicati. Ciò significa che nel caso di un lancio dopo la pioggia, dobbiamo solo sottrarre c dal tempo iniziale c, e otteniamo l'equazione per l'altezza alla quale volerà la pietra dopo la pioggia:

E infine, per trovare quanto deve salire il livello dell'acqua dopo la pioggia affinché il tempo misurato cambi in s., basta sottrarre il secondo dalla prima altezza di caduta!

Otteniamo la risposta: al metro.

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato, l'importante è non preoccuparti troppo da dove provenga un'equazione così incomprensibile e talvolta complessa nelle condizioni e cosa significhi tutto ciò che contiene, credimi sulla parola, la maggior parte di queste equazioni sono prese dalla fisica, e lì la giungla è peggiore che nell'algebra. A volte mi sembra che questi compiti siano stati inventati per intimidire lo studente all'Esame di Stato Unificato con un'abbondanza di formule e termini complessi, e nella maggior parte dei casi non richiedono quasi alcuna conoscenza. Basta leggere attentamente la condizione e sostituire le quantità note nella formula!

Ecco un altro problema, non dalla fisica, ma dal mondo teoria economica, sebbene anche in questo caso non sia richiesta la conoscenza di scienze diverse dalla matematica.

Problema 2

La dipendenza del volume della domanda (unità al mese) per i prodotti di un'impresa monopolistica dal prezzo (migliaia di rubli) è data dalla formula

Le entrate mensili dell'impresa (in migliaia di rubli) vengono calcolate utilizzando la formula. Determina il prezzo più alto al quale le entrate mensili saranno di almeno mille rubli. Dai la tua risposta in migliaia di rubli.

Indovina cosa farò adesso? Sì, inizierò a inserire ciò che sappiamo, ma, ancora una volta, dovrò pensarci ancora un po’. Andiamo dalla fine, dobbiamo scoprire dove. Quindi c'è, è uguale a qualcosa, troviamo a cos'altro è uguale, ed è uguale a qualcosa, quindi lo scriviamo. Come puoi vedere, non mi preoccupo davvero del significato di tutte queste quantità, guardo solo dalle condizioni per vedere cosa è uguale a cosa, ecco cosa devi fare. Torniamo al problema, ce l'hai già, ma come ricordi da un'equazione a due variabili non riesci a trovare nessuna delle due, cosa dovresti fare? Sì, abbiamo ancora un pezzo inutilizzato rimasto nelle condizioni. Ora ci sono già due equazioni e due variabili, il che significa che ora è possibile trovare entrambe le variabili: fantastico!

Riesci a risolvere un sistema del genere?

Risolviamo per sostituzione; è già espresso, quindi sostituiamolo nella prima equazione e semplifichiamolo.

Otteniamo questa equazione quadratica: , risolviamo, le radici sono così, . Il compito richiede di trovare il prezzo più alto al quale saranno soddisfatte tutte le condizioni che abbiamo preso in considerazione durante la creazione del sistema. Oh, a quanto pare quello era il prezzo. Fantastico, quindi abbiamo trovato i prezzi: e. Il prezzo più alto, dici? Ok, il più grande di loro, ovviamente, lo scriviamo in risposta. Beh, è difficile? Penso di no, e non c’è bisogno di approfondire troppo!

Ed ecco una fisica terrificante, o meglio un altro problema:

Problema 3

Per determinare la temperatura effettiva delle stelle, viene utilizzata la legge di Stefan-Boltzmann, secondo la quale, dov'è la potenza di radiazione della stella, è la costante, è la superficie della stella e è la temperatura. È noto che la superficie di una certa stella è uguale e la potenza della sua radiazione è uguale a W. Trova la temperatura di questa stella in gradi Kelvin.

Come è chiaro? Sì, la condizione dice cosa è uguale a cosa. In precedenza, avevo consigliato di sostituire tutte le incognite contemporaneamente, ma qui è meglio esprimere prima l'ignoto ricercato. Guarda com'è semplice: c'è una formula e in essa sappiamo, e (questa è la lettera greca “sigma”. In generale, i fisici adorano le lettere greche, abituatevi). E la temperatura è sconosciuta. Esprimiamolo sotto forma di formula. Spero che tu sappia come farlo? Tali compiti per la prova dell'esame di stato in 9a elementare vengono solitamente assegnati:

Ora non resta che sostituire i numeri al posto delle lettere sul lato destro e semplificare:

Ecco la risposta: gradi Kelvin! E che compito terribile fu!

Continuiamo a tormentare i problemi di fisica.

Problema 4

L'altezza dal suolo di una palla lanciata cambia secondo la legge, dove è l'altezza in metri ed è il tempo in secondi trascorso dal momento del lancio. Quanti secondi rimarrà la palla ad un'altezza di almeno tre metri?

Queste erano tutte equazioni, ma qui dobbiamo determinare quanto tempo la palla si trovava ad un'altezza di almeno tre metri, il che significa ad un'altezza. Cosa inventeremo? Disuguaglianza, appunto! Abbiamo una funzione che descrive come vola la palla, dove - questa è esattamente la stessa altezza in metri, abbiamo bisogno dell'altezza. Significa

E ora risolvi semplicemente la disuguaglianza, l'importante è non dimenticare di cambiare il segno della disuguaglianza da più o uguale a meno o uguale quando moltiplichi per entrambi i lati della disuguaglianza per eliminare il meno davanti.

Queste sono le radici, costruiamo intervalli per la disuguaglianza:

A noi interessa l'intervallo in cui si trova il segno meno, poiché la disuguaglianza è lì valori negativi, questo va da a entrambi inclusi. Ora accendiamo il cervello e pensiamo attentamente: per la disuguaglianza abbiamo usato un'equazione che descrive il volo della palla, che in qualche modo vola lungo una parabola, ad es. decolla, raggiunge la vetta e cade, come capire quanto tempo rimarrà ad una quota di almeno due metri? Abbiamo trovato 2 punti di svolta, vale a dire l'istante in cui si libra sopra i metri e l'istante in cui, cadendo, raggiunge lo stesso segno, questi due punti sono espressi sotto forma di tempo, cioè. sappiamo in quale secondo di volo è entrato nella zona di nostro interesse (sopra i metri) e in quale secondo ne è uscito (è sceso sotto la soglia del metro). Quanti secondi è rimasto in questa zona? È logico prendere il tempo di uscita dalla zona e sottrarre da esso il tempo di entrata in questa zona. Di conseguenza: - è stato nella zona sopra i metri per così tanto tempo, questa è la risposta.

Sei fortunato che la maggior parte degli esempi su questo argomento possono essere presi dalla categoria dei problemi di fisica, quindi prendine un altro, è l'ultimo, quindi spingiti oltre, ne rimane solo un po'!

Problema 5

Per l'elemento riscaldante di un determinato dispositivo, è stata ottenuta sperimentalmente la dipendenza della temperatura dal tempo di funzionamento:

Dov'è il tempo in minuti, . È noto che se la temperatura dell'elemento riscaldante è più alta, il dispositivo potrebbe deteriorarsi, quindi deve essere spento. Trova il tempo più lungo necessario per spegnere il dispositivo dopo l'inizio del lavoro. Esprimi la tua risposta in pochi minuti.

Agiamo secondo uno schema ben stabilito, prima annotiamo tutto ciò che ci viene dato:

Ora prendiamo la formula e la equiparamo al valore di temperatura alla quale il dispositivo può essere riscaldato il più possibile fino a quando non si brucia, ovvero:

Ora sostituiamo i numeri dove sono conosciuti al posto delle lettere:

Come puoi vedere, la temperatura durante il funzionamento del dispositivo è descritta da equazione quadrata, il che significa che è distribuito lungo una parabola, cioè Il dispositivo si riscalda fino a una certa temperatura e poi si raffredda. Abbiamo ricevuto risposte e, quindi, durante e durante i minuti di riscaldamento, la temperatura è pari al livello critico, ma tra e minuti è addirittura superiore al limite!

Ciò significa che è necessario spegnere il dispositivo dopo minuti.

MODELLI MATEMATICI. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Molto spesso, i modelli matematici vengono utilizzati in fisica: probabilmente ne dovevi memorizzare dozzine formule fisiche. E la formula è una rappresentazione matematica della situazione.

Nell'OGE e nell'Esame di Stato Unificato ci sono compiti esattamente su questo argomento. Nell'Esame di Stato Unificato (profilo) questa è l'attività numero 11 (ex B12). Nell'OGE - compito numero 20.

Lo schema della soluzione è ovvio:

1) Dal testo della condizione è necessario “isolare” le informazioni utili - ciò che nei problemi di fisica scriviamo sotto la parola “Dato”. Queste informazioni utili sono:

Formula
Grandezze fisiche note.

Cioè, ogni lettera della formula deve essere associata a un determinato numero.

2) Prendi tutte le quantità conosciute e sostituiscile nella formula. L'incognita rimane sotto forma di lettera. Ora devi solo risolvere l'equazione (di solito abbastanza semplice) e la risposta è pronta.

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Come un sistema di equazioni, o relazioni aritmetiche, o forme geometriche, o una combinazione di entrambi, il cui studio mediante la matematica dovrebbe rispondere alle domande poste sulle proprietà di un certo insieme di proprietà di un oggetto del mondo reale, come un insieme di relazioni matematiche, equazioni, disuguaglianze che descrivono i modelli di base inerente al processo, oggetto o sistema studiato.

Nei sistemi di controllo automatizzati, viene utilizzato un modello matematico per determinare l'algoritmo operativo del controller. Questo algoritmo determina come modificare l'azione di controllo in base al cambiamento nel master affinché l'obiettivo di controllo venga raggiunto.

Classificazione dei modelli

Classificazione formale dei modelli

La classificazione formale dei modelli si basa sulla classificazione degli strumenti matematici utilizzati. Spesso costruiti sotto forma di dicotomie. Ad esempio, uno dei popolari insiemi di dicotomie:

e così via. Ogni modello costruito è lineare o non lineare, deterministico o stocastico,... Naturalmente sono possibili anche tipologie miste: concentrato in un aspetto (in termini di parametri), distribuito in un altro, ecc.

Classificazione in base al modo in cui l'oggetto è rappresentato

Oltre alla classificazione formale, i modelli differiscono nel modo in cui rappresentano un oggetto:

Modelli strutturali o funzionali

Le ipotesi modello nella scienza non possono essere dimostrate una volta per tutte; possiamo solo parlare della loro confutazione o non confutazione come risultato dell'esperimento.

Se si costruisce un modello del primo tipo, ciò significa che esso viene temporaneamente accettato come verità e ci si può concentrare su altri problemi. Questo però non può essere un punto di ricerca, ma solo una pausa temporanea: lo status di un modello del primo tipo non può che essere temporaneo.

Modello fenomenologico

Il secondo tipo è il modello fenomenologico ( “ci comportiamo come se...”), contiene un meccanismo per descrivere il fenomeno, sebbene questo meccanismo non sia sufficientemente convincente, non possa essere sufficientemente confermato dai dati disponibili o non si adatti bene alle teorie esistenti e alle conoscenze accumulate sull'oggetto. Pertanto, i modelli fenomenologici hanno lo status di soluzioni temporanee. Si ritiene che la risposta sia ancora sconosciuta e che la ricerca dei “veri meccanismi” debba continuare. Peierls include, ad esempio, il modello calorico e il modello a quark delle particelle elementari come secondo tipo.

Il ruolo del modello nella ricerca può cambiare nel tempo e può accadere che nuovi dati e teorie confermino modelli fenomenologici e siano promossi allo status di ipotesi. Allo stesso modo, le nuove conoscenze possono gradualmente entrare in conflitto con i modelli di ipotesi del primo tipo, e possono essere tradotti nel secondo. Pertanto, il modello a quark si sta gradualmente spostando nella categoria delle ipotesi; l'atomismo in fisica nacque come soluzione temporanea, ma con il corso della storia diventò del primo tipo. Ma i modelli dell’etere si sono fatti strada dal tipo 1 al tipo 2 e ora sono fuori dalla scienza.

L'idea di semplificazione è molto popolare quando si costruiscono modelli. Ma la semplificazione arriva in forme diverse. Peierls identifica tre tipi di semplificazioni nella modellazione.

Approssimazione

Il terzo tipo di modelli sono le approssimazioni ( “consideriamo qualcosa di molto grande o molto piccolo”). Se è possibile costruire equazioni che descrivono il sistema studiato, ciò non significa che possano essere risolte anche con l'ausilio di un computer. Una tecnica generalmente accettata in questo caso è l'uso di approssimazioni (modelli di tipo 3). Tra loro modelli di risposta lineare. Le equazioni sono sostituite da quelle lineari. Esempio standard- Legge di Ohm .

Esperimento mentale

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Dove x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) significa la derivata seconda di x (\displaystyle x) col tempo: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

L'equazione risultante descrive il modello matematico del sistema fisico considerato. Questo modello è chiamato "oscillatore armonico".

Secondo la classificazione formale, questo modello è lineare, deterministico, dinamico, concentrato, continuo. Nel processo di costruzione, abbiamo fatto molte ipotesi (sull'assenza forze esterne, assenza di attriti, piccole deviazioni, ecc.), che nella realtà potrebbero non realizzarsi.

In relazione alla realtà, questo è molto spesso un modello di tipo 4 semplificazione(“ometteremo alcuni dettagli per chiarezza”), poiché alcune caratteristiche universali essenziali (ad esempio, la dissipazione) vengono omesse. Con una certa approssimazione (ad esempio, mentre la deviazione del carico dall'equilibrio è piccola, con basso attrito, per un tempo non troppo lungo e soggetta a determinate altre condizioni), un modello di questo tipo descrive abbastanza bene il mondo reale. sistema meccanico, poiché i fattori scartati hanno un'influenza trascurabile sul suo comportamento. Tuttavia, il modello può essere perfezionato tenendo conto di alcuni di questi fattori. Ciò porterà a un nuovo modello, con un ambito di applicabilità più ampio (anche se ancora limitato).

Tuttavia, quando si perfeziona il modello, la complessità della ricerca matematica può aumentare in modo significativo e rendere il modello praticamente inutile. Spesso un modello più semplice consente un’esplorazione migliore e più approfondita. sistema reale, tanto più complessa (e, formalmente, “più corretta”).

Se applichiamo il modello dell’oscillatore armonico a oggetti lontani dalla fisica, il suo status sostanziale potrebbe essere diverso. Ad esempio, quando si applica questo modello alle popolazioni biologiche, molto probabilmente dovrebbe essere classificato come tipo 6 analogia(“prendiamo in considerazione solo alcune caratteristiche”).

Modelli duri e morbidi

L’oscillatore armonico è un esempio del cosiddetto modello “hard”. Si ottiene come risultato di una forte idealizzazione di un sistema fisico reale. Le proprietà di un oscillatore armonico vengono modificate qualitativamente da piccole perturbazioni. Ad esempio, se aggiungi un termine piccolo sul lato destro − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(attrito) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- qualche piccolo parametro), allora otteniamo oscillazioni esponenzialmente smorzate se cambiamo segno del termine aggiuntivo (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) allora l'attrito si trasformerà in pompaggio e l'ampiezza delle oscillazioni aumenterà in modo esponenziale.

Per risolvere la questione dell’applicabilità di un modello rigido è necessario comprendere quanto siano significativi i fattori che abbiamo trascurato. E' necessario studiare modelli soft ottenuti da una piccola perturbazione di quello hard. Per un oscillatore armonico possono essere dati, ad esempio, dalla seguente equazione:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Qui f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\punto (x))))- qualche funzione che possa tenere conto della forza di attrito o della dipendenza del coefficiente di rigidezza della molla dal grado del suo allungamento. Forma di funzione esplicita f (\displaystyle f) Non siamo interessati al momento.

Se dimostriamo che il comportamento del modello soft non è fondamentalmente diverso dal comportamento di quello hard (indipendentemente dal tipo esplicito dei fattori perturbanti, se sono sufficientemente piccoli), il problema si ridurrà allo studio del modello hard. Altrimenti, l'applicazione dei risultati ottenuti dallo studio del modello rigido richiederà ulteriori ricerche.

Se un sistema mantiene il suo comportamento qualitativo anche in presenza di piccoli disturbi, si dice che sia strutturalmente stabile. Un oscillatore armonico è un esempio di sistema strutturalmente instabile (non ruvido). Tuttavia, questo modello può essere utilizzato per studiare processi su periodi di tempo limitati.

Versatilità dei modelli

I modelli matematici più importanti di solito hanno la proprietà importante versatilità: Fenomeni reali fondamentalmente diversi possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Ad esempio, un oscillatore armonico descrive non solo il comportamento di un carico su una molla, ma anche altri processi oscillatori, spesso di natura completamente diversa: piccole oscillazioni di un pendolo, fluttuazioni del livello di un liquido in U (\displaystyle U) vaso a forma di vaso o un cambiamento nell'intensità della corrente in un circuito oscillatorio. Pertanto, studiando un modello matematico, studiamo immediatamente un'intera classe di fenomeni da esso descritti. È questo isomorfismo delle leggi espresso dai modelli matematici in vari segmenti conoscenza scientifica, ispirò Ludwig von Bertalanffy a creare la "teoria generale dei sistemi".

Problemi diretti e inversi di modellizzazione matematica

Ci sono molti problemi associati alla modellazione matematica. Per prima cosa devi elaborare uno schema di base dell'oggetto modellato, riprodurlo nel quadro delle idealizzazioni di questa scienza. Pertanto, un vagone ferroviario si trasforma in un sistema di piastre e corpi più complessi di materiali diversi, per ciascun materiale viene specificata la sua idealizzazione meccanica standard (densità, moduli elastici, caratteristiche di resistenza standard), dopo di che vengono redatte equazioni, lungo il percorso alcune i dettagli vengono scartati perché non importanti, vengono effettuati calcoli, confrontati con misurazioni, il modello viene perfezionato e così via. Tuttavia, per sviluppare tecnologie di modellazione matematica, è utile scomporre questo processo nelle sue componenti principali.

Tradizionalmente, esistono due classi principali di problemi associati ai modelli matematici: diretti e inversi.

Compito diretto: la struttura del modello e tutti i suoi parametri sono considerati noti, il compito principale è condurre uno studio del modello per estrarre conoscenze utili sull'oggetto. Quale carico statico potrà sopportare il ponte? Come reagirà ad un carico dinamico (ad esempio, alla marcia di una compagnia di soldati, o al passaggio di un treno su? velocità diversa), come l'aereo supererà la barriera del suono, se cadrà a pezzi a causa del battito cardiaco - questi sono tipici esempi di un problema diretto. Impostare il giusto problema diretto (porre la domanda giusta) richiede abilità speciali. Se non vengono poste le domande giuste, un ponte potrebbe crollare, anche se è stato costruito un buon modello per il suo comportamento. Così, nel 1879, in Gran Bretagna crollò il ponte ferroviario metallico sul Firth of Tay, i cui progettisti costruirono un modello del ponte, calcolandolo per un fattore di sicurezza 20 volte superiore per l'azione del carico utile, ma dimenticarono il venti che soffiano costantemente in quei luoghi. E dopo un anno e mezzo è crollato.

Nel caso più semplice (ad esempio un'equazione dell'oscillatore), il problema diretto è molto semplice e si riduce ad una soluzione esplicita di questa equazione.

Problema inverso: i modelli possibili sono tanti, bisogna scegliere modello specifico sulla base di dati aggiuntivi sull'oggetto. Nella maggior parte dei casi, la struttura del modello è nota e occorre determinare alcuni parametri sconosciuti. Informazioni aggiuntive può consistere in dati empirici aggiuntivi o requisiti per l'oggetto ( problema di progettazione). Ulteriori dati possono arrivare indipendentemente dal processo di risoluzione del problema inverso ( osservazione passiva) o essere il risultato di un esperimento appositamente pianificato durante la soluzione ( sorveglianza attiva).

Uno dei primi esempi di soluzione magistrale a un problema inverso con il massimo utilizzo dei dati disponibili fu il metodo di Newton per ricostruire le forze di attrito dalle oscillazioni smorzate osservate.

Un altro esempio è la statistica matematica. Il compito di questa scienza è quello di sviluppare metodi per registrare, descrivere e analizzare dati osservativi e sperimentali al fine di costruire modelli probabilistici di fenomeni casuali di massa. Cioè, l’insieme dei modelli possibili è limitato ai modelli probabilistici. In compiti specifici, l'insieme di modelli è più limitato.

Sistemi di simulazione al computer

Per supportare la modellazione matematica, sono stati sviluppati sistemi di matematica informatica, ad esempio Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ecc. Consentono di creare modelli formali e a blocchi di processi e dispositivi sia semplici che complessi e di modificare facilmente i parametri del modello durante modellazione. Modelli a blocchi sono rappresentati da blocchi (molto spesso grafici), il cui insieme e connessione sono specificati dal diagramma del modello.

Ulteriori esempi

Il modello di Malthus

Secondo il modello proposto da Malthus, il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione attuale della popolazione, cioè descritta dall’equazione differenziale:

x ˙ = α x (\displaystyle (\punto (x))=\alpha x),

Dove α (\displaystyle \alpha )- un certo parametro determinato dalla differenza tra fertilità e mortalità. La soluzione di questa equazione è la funzione esponenziale x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Se il tasso di natalità supera il tasso di mortalità ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), la dimensione della popolazione è illimitata e cresce molto rapidamente. In realtà ciò non può accadere a causa delle risorse limitate. Quando viene raggiunta una certa dimensione critica della popolazione, il modello cessa di essere adeguato, poiché non tiene conto delle risorse limitate. Un perfezionamento del modello di Malthus può essere un modello logistico, che è descritto dall'equazione differenziale di Verhulst:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

dove è la dimensione “di equilibrio” della popolazione, alla quale il tasso di natalità è esattamente compensato dal tasso di mortalità. La dimensione della popolazione in tale modello tende a un valore di equilibrio x s (\displaystyle x_(s)), e questo comportamento è strutturalmente stabile.

Sistema predatore-preda

Diciamo che in una certa zona vivono due tipi di animali: i conigli (che mangiano piante) e le volpi (che mangiano conigli). Lasciamo il numero di conigli x (\displaystyle x), numero di volpi y (\displaystyle y). Utilizzando il modello di Malthus con le modifiche necessarie per tenere conto del consumo di conigli da parte delle volpi, arriviamo al seguente sistema, denominato modelli Vassoi - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\beta +dx)y\fine(casi)))

Il comportamento di questo sistema non è strutturalmente stabile: un piccolo cambiamento nei parametri del modello (ad esempio, tenendo conto delle risorse limitate necessarie ai conigli) può portare a un cambiamento qualitativo nel comportamento.

Per alcuni valori dei parametri, questo sistema ha uno stato di equilibrio quando il numero di conigli e volpi è costante. La deviazione da questo stato porta a fluttuazioni gradualmente attenuate nel numero di conigli e volpi.

È possibile anche la situazione opposta, quando ogni piccola deviazione dalla posizione di equilibrio porterà a conseguenze catastrofiche, fino alla completa estinzione di una delle specie. Il modello Volterra-Trats non risponde alla domanda su quale di questi scenari si stia realizzando: qui sono necessarie ulteriori ricerche.

Guarda anche

Appunti

“Una rappresentazione matematica della realtà” (Enciclopedia Britanica)
Novik I.B., Su questioni filosofiche della modellazione cibernetica. M., La conoscenza, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modellazione matematica. Idee. Metodi. Esempi. - 2a ed., riv. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., riv. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A. G. Modellazione dei processi tecnologici: libro di testo / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Luce e industria alimentare, 1984. - 344 pag.
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“Una teoria è considerata lineare o non lineare a seconda del tipo di apparato matematico – lineare o non lineare – e del tipo di modelli matematici lineari o non lineari che utilizza. ...senza negare quest'ultima. Un fisico moderno, se dovesse ricreare la definizione di un’entità così importante come la nonlinearità, molto probabilmente si comporterebbe diversamente e, privilegiando la nonlinearità come il più importante e diffuso dei due opposti, definirebbe la linearità come “non non linearità." Danilov Yu.A., Lezioni sulla dinamica non lineare. Introduzione elementare. Collana “Sinergetica: dal passato al futuro”. Edizione 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
“I sistemi dinamici modellati da un numero finito di equazioni differenziali ordinarie sono chiamati sistemi concentrati o puntuali. Sono descritti utilizzando uno spazio delle fasi a dimensione finita e sono caratterizzati da un numero finito di gradi di libertà. Lo stesso sistema in condizioni diverse può essere considerato concentrato o distribuito. I modelli matematici dei sistemi distribuiti lo sono equazioni differenziali derivate parziali, equazioni integrali o equazioni ordinarie con una discussione ritardata. Il numero di gradi di libertà di un sistema distribuito è infinito e per determinarne lo stato è necessario un numero infinito di dati.
Anishchenko V.S., Sistemi dinamici, rivista educativa Soros, 1997, n. 11, p. 77-84.
“A seconda della natura dei processi studiati nel sistema S, tutti i tipi di modellazione possono essere suddivisi in deterministici e stocastici, statici e dinamici, discreti, continui e discreti-continui. La modellazione deterministica riflette processi deterministici, cioè processi in cui si presuppone l'assenza di influenze casuali; la modellazione stocastica descrive processi ed eventi probabilistici. ... La modellazione statica serve a descrivere il comportamento di un oggetto in qualsiasi momento e la modellazione dinamica riflette il comportamento di un oggetto nel tempo. La modellazione discreta viene utilizzata per descrivere processi che si presuppone siano discreti, rispettivamente, la modellazione continua ci consente di riflettere i processi continui nei sistemi e la modellazione discreto-continua viene utilizzata nei casi in cui si vuole evidenziare la presenza di processi sia discreti che continui. "
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Tipicamente, un modello matematico riflette la struttura (dispositivo) dell'oggetto modellato, le proprietà e le relazioni dei componenti di questo oggetto che sono essenziali ai fini della ricerca; tale modello è chiamato strutturale. Se il modello riflette solo il modo in cui funziona l'oggetto, ad esempio come reagisce alle influenze esterne, allora viene chiamato funzionale o, in senso figurato, scatola nera. Sono possibili anche modelli combinati. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., riv. - M.: KomKniga, 2007. - 192 p.