Modello ARCH Definizione 1: La varianza condizionale è la varianza di una variabile casuale dovuta a informazioni su altre variabili casuali, ovvero la varianza trovata a condizione di conoscere la varianza in tempi precedenti σt 2= D(εt |εt- 1, εt-2…). Definizione 2: Il modello ARCH del primo ordine ha la forma: , (1) dove sono i residui ottenuti dopo una valutazione preliminare di qualche modello. Qui, la varianza al tempo t dipende dagli errori al quadrato al momento (t-1), ovvero la varianza condizionale σt 2 è il processo AR degli errori al quadrato del modello. Il modello ARCH (q) (l'ordine di autoregressione della varianza è q) ha la forma: (2) qui la varianza condizionale è rappresentata come funzione lineare quadrati di errori passati nei punti temporali t-1, t-2, …, t-q Il processo di serie temporali AR è un processo autoregressivo quando i valori correnti della serie dipendono linearmente dai valori precedenti. uno

La dispersione può essere modellata solo dopo che il valore medio è stato rimosso dai dati, quindi il modello ARCH(q) completo ha la forma: q valori di errore passato al quadrato (εt-q) ottenuti dopo aver valutato la prima equazione. La condizione di “positività” della dispersione: β 0>0, β 1≥ 0, β 2≥ 0, …, βq≥ 0. Il significato del modello ARCH: se il valore assoluto dei residui del modello εt di la prima equazione (3) è grande, quindi questo comporterà un aumento della varianza condizionale nei periodi successivi (seconda equazione (3)), al contrario, se i residui sono prossimi allo zero, ciò comporterà una diminuzione la varianza condizionale. Ciò si manifesta con una proprietà chiamata volatility clustering, che è esattamente ciò che il modello ARCH consente di misurare. L'effetto di clustering della volatilità 2 è stato notato per la prima volta da Mandelbrot (1963)

Algoritmo per determinare la presenza di effetti ARCH. 1. è necessario costruire un modello AR della serie xt con errore εt secondo la prima equazione da (3); 2. definire i residui come stime di εt ; 3. costruire una regressione lineare degli errori al quadrato al tempo t sui residui al quadrato del modello dopo la modellazione AR: ; 4. verificare l'assenza di significatività del coefficiente λ utilizzando il test di Student, il test di Fisher, il test χ2, prendendo per ipotesi nulla: H 0: λ 1=0. Di conseguenza, per l'ipotesi alternativa H 1: λ 1≠ 0. 5. Se λ 1 è significativamente diverso da 0, allora il modello può essere specificato come un modello ARCH del primo ordine (ARCH (1)). 3

Schema generale testare il modello per gli effetti ARCH: 1. 2. Il modello viene valutato (ad esempio, un modello AR, un modello CC, un modello ARCC o una semplice regressione nel tempo); sulla base della conoscenza degli errori del modello (- il valore calcolato del modello costruito nel paragrafo 1)), il modello viene valutato: Qui, il modello viene testato per effetti ARCH p-order. 3. per il modello stimato si calcola il coefficiente di determinazione R 2, che è responsabile della qualità dell'adattamento del modello; 4. si formano ipotesi (nulle e alternative): , ; 5. si determina il valore della statistica χ2 calc =TR 2, dove T è la dimensione campionaria della serie, R 2 è il coefficiente di determinazione; 6. confrontare χ2 calc con χ2 tab determinato per i gradi di libertà p (p è il numero di ritardi temporali nel modello ARCH(p)) dato il livello di significatività e il suo ordine è uguale a p. 4

Modello GARCH Definizione 3: Il modello GARCH è un modello con eteroschedasticità condizionale autoregressiva generalizzata. GARCH (p, q), a differenza del modello ARCH, ha due ordini ed è scritto in forma generale: (4) dove αi e βj >0 (i=1, 2, …, p; j=1, 2, …, q ) altrimenti la varianza sarebbe minore di zero. Il modello GARCH mostra che il valore corrente della varianza condizionale è una funzione di una costante - il valore p-esimo dei residui quadrati dall'equazione media condizionata (o qualsiasi altra equazione) e il valore q-esimo della varianza condizionale precedente ( cioè il processo AR del q-esimo ordine dalla varianza condizionale). Il modello GARCH(1, 1): (5) è il più popolare per prevedere la volatilità dei rendimenti delle attività finanziarie. 5

Volatilità GARCH La volatilità (volatilità) non è un processo costante e può cambiare nel tempo. Se si conosce il modello esatto per descrivere un processo che cambia nel tempo, per trovare la volatilità annuale di questo processo è necessario determinare la radice quadrata della varianza condizionata e moltiplicare il modello per, dove N è il numero di osservazioni per anno. La misura della volatilità risultante cambierà nel tempo, ovvero la volatilità attuale sarà determinata in funzione della volatilità passata. Per prevedere la volatilità utilizzando il modello GARCH, è possibile utilizzare il seguente modello ricorsivo: (6) (7) Qui εt 2 è un valore sconosciuto nel futuro, che viene sostituito da una stima condizionata della varianza σt quando viene effettuata la previsione. Pertanto, la formula (7) consente di prevedere σt 2 al tempo (t+1), quindi σt 2 al tempo (t+2), ecc. In questo caso, ad esempio, σt+2 viene calcolato come varianza condizionale a condizione la conoscenza dei valori y 1, y 2, …, yt e la previsione yt+1. Il risultato di ogni calcolo è una previsione della varianza condizionale j periodi avanti. 6

La stima dei modelli ARCH e GARCH di solito ha una distribuzione incondizionata con picco. Quindi eccessi (momento quarto ordine) per il modello ARCH (1) rappresentato dall'equazione (1) e GARCH (1; 1) rappresentato dall'equazione (5), rispettivamente, sono uguali a e. I coefficienti di asimmetria (momenti del terzo ordine) per i modelli di volatilità sono pari a zero. Nonostante ciò, il metodo standard per la valutazione dei modelli è il metodo della massima verosimiglianza, basato su distribuzione normale. In questo caso, le stime del modello saranno coerenti, ma asintoticamente inefficienti (inefficienti nel limite all'aumentare del numero di gradi di libertà). Si noti che la presenza di un'elevata curtosi dei processi ARCH è in buon accordo con il comportamento di molti indicatori finanziari che hanno code spesse nella distribuzione. 7

Stima dei modelli ARCH e GARCH Considerare l'aspettativa condizionale al tempo t: , Quindi l'errore è definito come: . Supponiamo che, dove è la varianza condizionale, ez sia distribuito secondo la legge normale standardizzata, cioè z ~ N(0, 1). Allora εt ~ N(0,), dove per il modello ARCH: ; e per il modello GARCH: + Come risultato, per il modello ARCH abbiamo m+1+p+1 parametri sconosciuti, e per il modello GARCH abbiamo m+1+p+1+q parametri da stimare. I parametri sono stimati utilizzando il metodo della massima verosimiglianza. otto

Verifica dell'adeguatezza dei modelli GARCH/ARCH. La qualità dell'adattamento del modello GARCH/ARCH ai dati originali può essere controllata in base alla prossimità all'unità dell'indice di determinazione (R 2) o dell'indice di determinazione corretto per il numero di gradi di libertà (R 2 Adjusted ). oppure, qui n è il numero totale di osservazioni della serie storica, k è il numero di gradi di libertà del modello (per GARCH k=p+q, per ARCH k=p), è la varianza residua o spiegata dal modello , è la varianza totale. Per verificare l'affidabilità delle stime del modello, è necessario analizzare i residui standardizzati έ/σ, dove σ è la deviazione standard condizionata calcolata dal modello GARCH/ARCH, e έ sono i residui nell'equazione di aspettativa condizionale (equazione originale) . Se il modello GARCH/ARCH è sufficientemente ben descritto, i residui standardizzati sono variabili casuali indipendenti distribuite in modo identico con media zero e deviazione standard unitaria. nove

Identificazione del modello GARCH Fase I: Calcolo del criterio Lung-Box (LB). Le statistiche LB sono calcolate sulla base del calcolo preliminare di k coefficienti di autocorrelazione per le osservazioni T (ρk), seguito dal quadrato: (8) dove m è il ritardo massimo dei coefficienti di autocorrelazione, Т è la lunghezza della serie temporale. Viene avanzata un'ipotesi sull'insignificanza dei ritardi m nel modello autoregressivo originale. Il valore calcolato LB viene confrontato con il valore critico χ2 determinato per il grado di libertà v=m. Se LBcalcolato > χ2, allora l'ipotesi dell'insignificanza di m lag nel modello autoregressivo originale viene rifiutata a un dato livello di significatività α. Fase II: Calcolo del criterio Lyng-Box per residui standardizzati. Calcolare i coefficienti di autocorrelazione per i residui standardizzati con la loro successiva quadratura: (9) dove m è il ritardo di autocorrelazione massimo dei residui standardizzati. Viene avanzata un'ipotesi circa l'insignificanza degli ordini peq del modello GARCH. Lbcalcolato viene confrontato con la tabella χ2, determinata per il grado di libertà v 1=m-p-q, dove m è il numero totale di osservazioni, p e q sono gli ordini del modello GARCH. Se LB calcolato

Identificazione del modello GARCH sulla base dell'analisi del correlogramma 1. Dopo aver valutato la media delle serie di dati (basata su modelli ARPSS, estrazione di componenti di serie temporali o regressione convenzionale), si ottiene una componente residua. 2. Standardizzare i residui ottenuti. 3. Costruire correlogrammi di ACF e PACF su residui standardizzati. 4. Determinare il numero di ritardi per i coefficienti ACF e FACF che vanno oltre i limiti del rumore bianco. Il numero risultante è l'ordine del modello ARCH. La selezione dei modelli ARCH e GARCH viene effettuata sulla base dei criteri di informazione minima di Akaike, Schwartz e Hanen-Queen. undici

Probabilità condizionale

Probabilità condizionaleè la probabilità di un evento dato che si è già verificato un altro evento.

Sia uno spazio di probabilità fisso. Lascia due eventi casuali, inoltre. Quindi viene chiamata la probabilità condizionata di un evento nella condizione dell'evento

Appunti:

Segue direttamente dalla definizione che la probabilità del prodotto di due eventi è uguale a:

· Se, la definizione di probabilità condizionata di cui sopra non è applicabile.

La probabilità condizionata è una probabilità, cioè una funzione data dalla formula

soddisfa tutti gli assiomi della misura di probabilità.

variabili casuali

Valore casuale-- questa è una quantità che, come risultato dell'esperienza, assume uno dei tanti valori, e l'aspetto dell'uno o dell'altro valore di questa quantità prima della sua misurazione non può essere previsto con precisione.

La definizione matematica formale è la seguente: sia uno spazio di probabilità, quindi una variabile casuale è una funzione misurabile rispetto a e un'algebra di Borel? Il comportamento probabilistico di un individuo (indipendentemente dagli altri) variabile casualeè completamente descritto dalla sua distribuzione.

Classificazione:

Le variabili casuali possono assumere valori discreti, continui e discreti continui. Di conseguenza, le variabili casuali sono classificate in discrete, continue e discrete-continuo (misti). varianza di probabilità combinatoria matematica

Sullo schema di test, sia una variabile casuale separata (unidimensionale / scalare) sia intero sistema variabili casuali unidimensionali correlate (multidimensionali/vettoriali).

Un esempio di variabile casuale mista è il tempo di attesa durante il passaggio strada in città ad un incrocio non regolamentato.

· In schemi infiniti (discreti o continui), conviene descrivere quantitativamente esiti già inizialmente elementari. Ad esempio, i numeri delle gradazioni delle tipologie di incidenti nell'analisi degli incidenti stradali; tempo di attività dello strumento per il controllo qualità, ecc.

· I valori numerici che descrivono i risultati degli esperimenti potrebbero non caratterizzare necessariamente i singoli risultati elementari nello schema di test, ma corrispondere anche ad alcuni eventi più complessi.

Ad esempio, le coordinate (ascissa, ordinata) di una sorta di esplosione di proiettili quando si spara a un bersaglio a terra; dimensioni metriche (lunghezza, larghezza, ecc.) della parte sottoposta a controllo qualità; i risultati di una visita medica (temperatura, pressione, polso, ecc.) Durante la diagnosi di un paziente; dati del censimento (per età, sesso, ricchezza, ecc.).

Aspettative matematiche e varianza

Valore atteso-- il valore medio di una variabile aleatoria, la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria è considerata nella teoria delle probabilità. Nella letteratura inglese, è indicato da (ad esempio, dall'inglese. valore atteso o lui. Erwartungswert), in russo - (possibilmente dall'inglese. valore medio o lui. Mittelwert, ed eventualmente da "Aspettativa"). In statistica, la notazione è spesso usata

Si dia uno spazio di probabilità e una variabile casuale su di esso definita. Questa è, per definizione, una funzione misurabile. Se esiste un integrale di Lebesgue di sopra lo spazio, viene chiamato aspettativa matematica o valore medio (atteso) ed è indicato da o.

Formule di base:

Se è una funzione di distribuzione di una variabile casuale, la sua aspettativa matematica è data dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes:

· Valore atteso distribuzione discreta

If è una variabile casuale discreta con distribuzione

quindi deriva direttamente dalla definizione dell'integrale di Lebesgue che

· L'aspettativa matematica di una distribuzione assolutamente continua

L'aspettativa matematica di una variabile casuale assolutamente continua la cui distribuzione è data dalla densità è

· Aspettativa matematica della trasformazione di una variabile casuale

Sia una funzione di Borel tale che la variabile casuale abbia un'aspettativa matematica finita. Allora vale la formula:

se ha una distribuzione discreta;

se ha una distribuzione assolutamente continua.

Se la distribuzione della variabile casuale vista generale, poi

Proprietà:

L'aspettativa matematica di un numero è il numero stesso.

Costante;

L'aspettativa matematica è lineare, cioè

dove sono variabili casuali con aspettativa matematica finita e sono costanti arbitrarie;

L'aspettativa matematica conserva le disuguaglianze, cioè, se quasi sicuramente, ed è una variabile casuale con aspettativa matematica finita, allora anche l'aspettativa matematica della variabile casuale è finita, e inoltre

L'aspettativa matematica non dipende dal comportamento della variabile aleatoria all'evento di probabilità zero, cioè, se quasi certamente, allora

L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche

Varianza di variabili casuali-- una misura dello spread di una data variabile casuale, cioè la sua deviazione dall'aspettativa matematica. Indicato nella letteratura russa e (eng. varianza) all'estero. In statistica, la notazione o è spesso usata. Radice quadrata dalla varianza si chiama uguale deviazione standard, deviazione standard o spread standard. Deviazione standard viene misurata nelle stesse unità della variabile casuale stessa e la varianza viene misurata nei quadrati di tale unità.

Sia una variabile casuale definita su uno spazio di probabilità. Quindi

dove il simbolo indica l'aspettativa matematica.

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Nella misura in cui h 2t è la varianza condizionale, il suo valore in ogni momento deve essere puramente positivo. La varianza negativa non ha significato. Per essere sicuri che il risultato sia ottenuto con una varianza condizionale positiva, si introduce solitamente la condizione di non negatività dei coefficienti di regressione. Ad esempio, per il modello ARCH (x), tutti i coefficienti devono essere non negativi: ai > 0 per qualsiasi і = 0,1, 2, ..., q. Si può dimostrare che ciò è sufficiente, ma non è così condizione necessaria non negatività della varianza condizionale.

Modelli ARCO ha avuto un grave impatto sullo sviluppo dell'apparato di analisi delle serie temporali. Tuttavia, il modello ARCO nella sua forma originale è usato raramente negli ultimi tempi. Ciò è dovuto al fatto che quando si applicano questi modelli, sorgono una serie di problemi.

Alcuni di questi problemi possono essere evitati utilizzando il modello GARCH, che è una naturale modifica del modello ARCO. A differenza del modello ARCO Modelli GARCH ampiamente utilizzato nella pratica.

Per determinare se gli errori nel modello sono condizionalmente eteroschedastici, è possibile eseguire la procedura seguente.

Modello GARCH

Modello GARCHè stato proposto da T. Bollerslev [ Bollerslev(1986)]. Questo modello presuppone che la varianza condizionale dipenda anche dai propri ritardi. La forma più semplice del modello GARCH come segue:

Questo è il modello di visualizzazione GARCH(1, 1) (poiché vengono utilizzati i primi ritardi e 2 e di). Si noti che il modello GARCH può essere rappresentato come un modello ARMA per varianza condizionale. Per verificarlo, effettueremo le seguenti trasformazioni matematiche:

L'ultima equazione non è altro che il processo ARMA(1,1) per gli errori al quadrato.

Qual è esattamente il vantaggio dei modelli GARCH davanti ai modelli ARCO? Il principale vantaggio dei modelli GARCHè quello per la specifica dei modelli GARCH meno parametri richiesti. Di conseguenza, il modello soddisferà maggiormente le condizioni di non negatività.

Considera la varianza condizionale del modello GARCH (1, 1):

Per τ = 1 varianza condizionale, l'equazione vale

Riscriviamo la varianza condizionale nella forma

Per τ = 2, l'equazione

Pertanto, la varianza condizionale può essere rappresentata come

Lei, a sua volta, lo è

Di conseguenza, otteniamo l'equazione

La prima parentesi in questa equazione è una costante e, con un campione infinitamente grande, β“ tenderà a zero. Pertanto, il modello GARCH(1, 1) può essere rappresentato come

L'ultima equazione non è altro che il modello ARMA. Quindi il modello GARCH(1.1), che contiene solo tre parametri nell'equazione di dispersione condizionale, tiene conto dell'influenza sulla dispersione condizionale all'infinito un largo numero quadrati di errore.

Modello GARCH(1, 1) può essere esteso a un modello GARCH(p, q):

(8.17)

Va notato che in pratica le possibilità del modello GARCH(1.1), di regola, è sufficiente e non sempre è consigliabile utilizzare modelli GARCH ordini superiori.

Sebbene la varianza condizionale del modello GARCH cambia nel tempo, la varianza incondizionata sarà costante in a1 + β< 1:

Se a1 + β > 1, la varianza incondizionata non sarà determinata. Questo caso è chiamato "dispersione non stazionaria". Se "j +β = 1, verrà chiamato il modello IGARCH. La non stazionarietà della dispersione non ha una rigida motivazione all'esistenza. Inoltre, i modelli GARCH, i cui coefficienti hanno portato alla non stazionarietà della varianza, possono avere alcune proprietà più indesiderabili. Uno di questi è l'incapacità di prevedere la varianza dal modello. Per modelli stazionari GARCH le previsioni di varianza condizionale convergevano su una media a lungo termine delle varianze. Per processo IGARCH non ci sarà tale convergenza. La previsione della varianza condizionale è infinita.