introduzione

La teoria della probabilità è una scienza matematica che studia i modelli nei fenomeni casuali. Oggi è una scienza a tutti gli effetti, che ha una grande valore pratico.

La storia della teoria della probabilità risale a XVII secolo, quando furono fatti i primi tentativi di studiare sistematicamente problemi relativi ai fenomeni casuali di massa, e i corrispondenti apparato matematico. Da allora molte basi sono state sviluppate e approfondite ai concetti attuali, sono state scoperte altre importanti leggi e regolarità. Molti scienziati hanno lavorato e stanno lavorando sui problemi della teoria della probabilità.

Tra questi, non si può non prestare attenzione alle opere di Simeon Denis Poisson ((1781–1840) - matematico francese), che dimostrò una forma più generale della legge dei grandi numeri rispetto a quella di Jacob Bernoulli, e anche per la prima volta applicato la teoria della probabilità ai problemi di tiro. Il nome di Poisson è associato a una delle leggi di distribuzione, che svolge un ruolo importante nella teoria della probabilità e nelle sue applicazioni.

Il numero di occorrenze di un certo evento casuale per unità di tempo, quando il fatto del verificarsi di questo evento in un dato esperimento non dipende da quante volte e in quali momenti si è verificato nel passato e non influisce il futuro. I test vengono effettuati in condizioni stazionarie, quindi la legge di Poisson viene solitamente utilizzata per descrivere la distribuzione di una tale variabile casuale (questa distribuzione fu proposta e pubblicata per la prima volta da questo scienziato nel 1837).

Questa legge può anche essere descritta come il caso limite della distribuzione binomiale, quando la probabilità p del verificarsi dell'evento di nostro interesse in un singolo esperimento è molto piccola, ma il numero di esperimenti m eseguiti per unità di tempo è abbastanza grande , cioè tale che nel processo p

0 e m il prodotto mp tende a una costante positiva (cioè mp ).

Pertanto, la legge di Poisson è spesso chiamata anche legge degli eventi rari.

Distribuzione di Poisson nella teoria della probabilità

Funzione e serie di distribuzione

La distribuzione di Poisson è un caso speciale della distribuzione binomiale (con n>> 0 e a p–> 0 (eventi rari)).

Dalla matematica è nota una formula che consente di calcolare approssimativamente il valore di qualsiasi membro della distribuzione binomiale:

dove un = n · pè il parametro di Poisson (aspettativa matematica) e la varianza è uguale all'aspettativa matematica. Presentiamo calcoli matematici che spiegano questa transizione. Legge di distribuzione binomiale

pm = C n m · pm· (uno - p)n – m

può essere scritto se mettiamo p = un/n, come

Perché p molto piccolo, dovrebbero essere presi in considerazione solo i numeri m, piccolo rispetto a n. Opera

molto vicino all'unità. Lo stesso vale per la taglia

molto vicino a e –un. Da qui otteniamo la formula:

Numero di Eulero (2.71...). ,

Per la funzione generatrice

noi abbiamo:

La funzione di probabilità della distribuzione cumulativa è

Un classico esempio di variabile casuale distribuita di Poisson è il numero di auto che attraversano qualsiasi sezione della strada in un dato periodo di tempo. Puoi anche notare esempi come il numero di stelle in una sezione del cielo di una data dimensione, il numero di errori in un testo di una determinata lunghezza, il numero di telefonate in un call center o il numero di hit a un server web in un determinato periodo di tempo.

La serie di distribuzione di una variabile casuale X, distribuita secondo la legge di Poisson, si presenta così:

x m	0	1	2	…	m	…
pm	e-a			…		…

Sulla fig. 1 mostra i poligoni della distribuzione di una variabile casuale X secondo la legge di Poisson, corrispondenti a diversi valori del parametro un.

Innanzitutto, assicuriamoci che la sequenza di probabilità possa essere una serie di distribuzione, ad es. che la somma di tutte le probabilità Rmè uguale a uno.

Usiamo l'espansione della funzione es nella serie Maclaurin:

È noto che questa serie converge per qualsiasi valore X, quindi, prendendo x=a, noi abbiamo

Di conseguenza

Caratteristiche numeriche della disposizione sulla distribuzione di Poisson

L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle loro probabilità.

Per definizione, quando assume una variabile casuale discreta insieme numerabile i valori:

Il primo termine della somma (corrispondente m=0 ) è uguale a zero, quindi la somma può essere iniziata da m=1 :

Quindi, il parametro un non è altro che l'aspettativa matematica di una variabile casuale X.

Tranne aspettativa matematica, la posizione della variabile casuale è caratterizzata da moda e mediana.

La moda di una variabile casuale è il suo valore più probabile.

Per una quantità continua, il modo è chiamato punto massimo locale funzioni di densità di probabilità. Se il poligono o la curva di distribuzione ha un massimo (Fig. 2 a), allora la distribuzione si dice unimodale, se c'è più di un massimo è multimodale (in particolare, una distribuzione che ha due modi si chiama bimodale). Una distribuzione che ha un minimo si chiama antimodale (Fig. 2b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Il valore più probabile di una variabile casuale è la modalità che fornisce la probabilità globale massima per una variabile casuale discreta o la densità di distribuzione per una variabile casuale continua.

La mediana è il valore x l che divide a metà l'area sotto il grafico della densità di probabilità, cioè la mediana è qualsiasi radice dell'equazione. L'aspettativa matematica potrebbe non esistere, ma la mediana esiste sempre e può essere ambigua.

Mediana di una variabile casuale

il suo valore = x med è chiamato tale che P (< x med) = Р ( >x medico) = .

Caratteristiche numeriche della diffusione

La dispersione di una variabile casuale X è chiamata aspettativa matematica della deviazione al quadrato della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica.

In molti problemi pratici si ha a che fare con variabili casuali distribuite secondo una legge peculiare, che è chiamata legge di Poisson.

Considera una variabile casuale discontinua, che può assumere solo valori interi, non negativi:

e la sequenza di questi valori è teoricamente illimitata.

Una variabile casuale si dice distribuita secondo la legge di Poisson se la probabilità che assume certo valore, è espresso dalla formula

dove a è un valore positivo, chiamato parametro della legge di Poisson.

La serie di distribuzione di una variabile aleatoria, distribuita secondo la legge di Poisson, ha la forma:

Assicuriamoci anzitutto che la successione di probabilità data dalla formula (5.9.1) possa essere una serie di distribuzioni, cioè che la somma di tutte le probabilità è uguale a uno. Abbiamo:

.

Sulla fig. 5.9.1 mostra i poligoni di distribuzione di una variabile casuale distribuita secondo la legge di Poisson, corrispondenti a diversi valori del parametro. La tabella 8 dell'appendice elenca i valori per i vari .

Definiamo le caratteristiche principali - aspettativa matematica e varianza - di una variabile casuale distribuita secondo la legge di Poisson. Per definizione di aspettativa matematica

.

Il primo termine della somma (corrispondente a ) è uguale a zero, quindi la somma può essere iniziata da :

Indichiamo ; poi

. (5.9.2)

Pertanto, il parametro non è altro che l'aspettativa matematica di una variabile casuale.

Per determinare la dispersione, troviamo innanzitutto il secondo momento iniziale della quantità:

Secondo quanto precedentemente dimostrato

Inoltre,

Pertanto, la dispersione di una variabile casuale distribuita secondo la legge di Poisson è uguale alla sua aspettativa matematica.

Questa proprietà della distribuzione di Poisson viene spesso utilizzata nella pratica per decidere se l'ipotesi che una variabile casuale sia distribuita secondo la legge di Poisson è plausibile. Per fare ciò, determinare dall'esperienza le caratteristiche statistiche - l'aspettativa matematica e la varianza - di una variabile casuale. Se i loro valori sono vicini, questo può servire come argomento a favore dell'ipotesi della distribuzione di Poisson; una netta differenza di queste caratteristiche, al contrario, testimonia contro l'ipotesi.

Per una variabile aleatoria distribuita secondo la legge di Poisson, determiniamo la probabilità che assuma un valore non inferiore a uno dato. Indichiamo questa probabilità:

Ovviamente, la probabilità può essere calcolata come somma

Tuttavia, è molto più facile determinarlo dalla probabilità dell'evento opposto:

(5.9.4)

In particolare, la probabilità che il valore assuma un valore positivo è espressa dalla formula

(5.9.5)

Abbiamo già detto che molti compiti pratici portano a una distribuzione di Poisson. Consideriamo uno dei problemi tipici di questo tipo.

Lascia che i punti siano distribuiti casualmente sull'asse x Ox (Fig. 5.9.2). Assumiamo che distribuzione casuale punti soddisfa le seguenti condizioni:

1. La probabilità di colpire un dato numero di punti su un segmento dipende solo dalla lunghezza di questo segmento, ma non dipende dalla sua posizione sull'asse x. In altre parole, i punti sono distribuiti sull'asse x con la stessa densità media. Indichiamo questa densità (cioè l'aspettativa matematica del numero di punti per unità di lunghezza) come .

2. I punti sono distribuiti sull'asse x indipendentemente l'uno dall'altro, ad es. la probabilità che l'uno o l'altro numero di punti cada su un dato segmento non dipende da quanti di essi cadano su un altro segmento che non si sovrappone ad esso.

3. La probabilità di colpire una piccola area di due o più punti è trascurabile rispetto alla probabilità di colpire un punto (questa condizione significa l'impossibilità pratica di coincidenza di due o più punti).

Individuiamo un certo segmento di lunghezza sull'asse delle ascisse e consideriamo una variabile casuale discreta: il numero di punti che cadono su questo segmento. Possibili valori della quantità saranno

Poiché i punti cadono sul segmento indipendentemente l'uno dall'altro, è teoricamente possibile che ce ne sia un numero arbitrariamente grande, ad es. la serie (5.9.6) continua indefinitamente.

Dimostriamo che la variabile casuale ha la legge di distribuzione di Poisson. Per fare ciò, calcoliamo la probabilità che i punti cadano esattamente sul segmento.

Risolviamo prima un problema più semplice. Considera una piccola sezione sull'asse Ox e calcola la probabilità che almeno un punto cada su questa sezione. Discuteremo come segue. L'aspettativa matematica del numero di punti che ricadono su questa sezione è ovviamente uguale (perché ci sono punti in media per unità di lunghezza). Secondo la condizione 3, per un piccolo segmento può essere trascurata la possibilità che due o più punti cadano su di esso. Pertanto, l'aspettativa matematica del numero di punti che cadono sulla sezione sarà approssimativamente uguale alla probabilità che un punto cada su di essa (o, che è equivalente nelle nostre condizioni, almeno uno).

Quindi, fino all'infinitesimo ordine superiore, quando possiamo considerare la probabilità che un (almeno un) punto cada sul sito uguale a , e la probabilità che nessuno cada uguale a .

Usiamo questo per calcolare la probabilità di colpire esattamente i punti sul segmento. Dividere il segmento in parti uguali di lunghezza. Accettiamo di chiamare un segmento elementare "vuoto" se non contiene un solo punto, e "occupato" se almeno uno vi è caduto. Secondo quanto sopra, la probabilità che il segmento sia "occupato" è approssimativamente uguale a; la probabilità che sia "vuoto" è . Poiché, secondo la condizione 2, i colpi di punti nei segmenti non sovrapposti sono indipendenti, allora i nostri n segmenti possono essere considerati come “esperimenti” indipendenti, in ognuno dei quali il segmento può essere “occupato” con probabilità . Trova la probabilità che tra i segmenti ci sia esattamente "occupato". Secondo il teorema di ripetizione, questa probabilità è uguale a

o, denotando

(5.9.7)

Per sufficientemente grande, questa probabilità è approssimativamente uguale alla probabilità che esattamente punti cadano sul segmento, poiché due o più punti cadono sul segmento ha una probabilità trascurabile. Per trovare il valore esatto di , è necessario nell'espressione (5.9.7) andare al limite in :

(5.9.8)

Trasformiamo l'espressione sotto il segno limite:

(5.9.9)

La prima frazione e il denominatore dell'ultima frazione nell'espressione (5.9.9) tendono ovviamente all'unità. L'espressione non dipende. Il numeratore dell'ultima frazione può essere convertito come segue:

(5.9.10)

Quando e l'espressione (5.9.10) tende a . Pertanto, è stato dimostrato che la probabilità che punti esatti cadano in un segmento è espressa dalla formula

dove, cioè la quantità X è distribuita secondo la legge di Poisson con il parametro .

Si noti che il significato del valore è il numero medio di punti per segmento.

Il valore (la probabilità che il valore di X assuma un valore positivo) in questo caso esprime la probabilità che almeno un punto cada sul segmento:

Pertanto, abbiamo visto che la distribuzione di Poisson si verifica quando alcuni punti (o altri elementi) occupano una posizione casuale indipendentemente l'uno dall'altro e viene contato il numero di questi punti che cadono in una determinata area. Nel nostro caso, tale "area" era un segmento sull'asse x. Tuttavia, la nostra conclusione può essere facilmente estesa al caso della distribuzione di punti nel piano (campo di punti piatto casuale) e nello spazio (campo di punti spaziale casuale). È facile dimostrare che se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1) i punti sono distribuiti statisticamente uniformemente nel campo con densità media;

2) i punti cadono in regioni non sovrapposte indipendentemente;

3) i punti compaiono singolarmente, e non in coppie, triple, ecc., quindi il numero di punti che ricadono in qualsiasi area (piatta o spaziale) sono distribuiti secondo la legge di Poisson:

dove è il numero medio di punti che cadono nell'area.

Per la custodia piatta

dov'è l'area della regione; per spaziale

dove è il volume della regione.

Si noti che per la distribuzione di Poisson del numero di punti che cadono in un segmento o in una regione, la condizione di densità costante () non è essenziale. Se le altre due condizioni sono soddisfatte, allora vale ancora la legge di Poisson, solo il parametro a in essa contenuto acquisisce un'espressione diversa: si ottiene non semplicemente moltiplicando la densità per la lunghezza, l'area o il volume della regione, ma integrando la densità variabile su un segmento, un'area o un volume. (Per ulteriori informazioni, vedere n° 19.4)

La presenza di punti casuali sparsi su una linea, su un piano o su un volume non è l'unica condizione in cui si verifica la distribuzione di Poisson. Si può, ad esempio, dimostrare che la legge di Poisson è limitante per la distribuzione binomiale:

, (5.9.12)

se dirigiamo contemporaneamente il numero di esperimenti all'infinito e la probabilità a zero e il loro prodotto rimane costante:

In effetti, questa proprietà limitante della distribuzione binomiale può essere scritta come:

. (5.9.14)

Ma dalla condizione (5.9.13) ne consegue che

Sostituendo (5.9.15) in (5.9.14), otteniamo l'uguaglianza

, (5.9.16)

che è stato appena dimostrato da noi in un'altra occasione.

Questa proprietà limitante della legge binomiale è spesso utilizzata nella pratica. Diciamo che è prodotto un gran numero di esperimenti indipendenti, in ognuno dei quali l'evento ha una probabilità molto piccola. Quindi, per calcolare la probabilità che un evento si verifichi esattamente una volta, puoi utilizzare la formula approssimativa:

, (5.9.17)

dove è il parametro di quella legge di Poisson, che sostituisce approssimativamente la distribuzione binomiale.

Da questa proprietà della legge di Poisson - per esprimere la distribuzione binomiale per un gran numero di esperimenti e una piccola probabilità di un evento - deriva il suo nome, spesso usato nei testi di statistica: la legge dei fenomeni rari.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi relativi alla distribuzione di Poisson da vari campi di pratica.

Esempio 1: un centralino telefonico automatico riceve chiamate con una densità media di chiamate all'ora. Supponendo che il numero di chiamate in un qualsiasi periodo di tempo sia distribuito secondo la legge di Poisson, trova la probabilità che esattamente tre chiamate arrivino alla stazione in due minuti.

Soluzione. Il numero medio di chiamate ogni due minuti è:

mq Per colpire il bersaglio è sufficiente almeno un frammento per colpirlo. Trova la probabilità di raggiungere il bersaglio per una data posizione del punto di discontinuità.

Soluzione. . Usando la formula (5.9.4), troviamo la probabilità di colpire almeno un frammento:

(Per calcolare il valore funzione esponenziale utilizzare la tabella 2 in appendice).

Esempio 7. La densità media dei microbi patogeni in uno metro cubo l'aria è 100. Per un campione vengono prelevati 2 metri cubi. dm aria. Trova la probabilità che al suo interno si trovi almeno un microbo.

Soluzione. Accettando l'ipotesi della distribuzione di Poisson del numero di microbi in un volume, troviamo:

Esempio 8. 50 colpi indipendenti vengono sparati a un bersaglio. La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,04. Approfittando proprietà limitante distribuzione binomiale (formula (5.9.17)), trova approssimativamente la probabilità che il bersaglio colpisca: nessun proiettile, un proiettile, due proiettili.

Soluzione. Abbiamo . Secondo la tabella 8 dell'applicazione, troviamo le probabilità.

In molte applicazioni praticamente importanti, la distribuzione di Poisson gioca un ruolo importante. Molte delle quantità discrete numeriche sono implementazioni del processo di Poisson, che ha le seguenti proprietà:

• Siamo interessati a quante volte un evento si verifica in un dato intervallo di possibili risultati di un esperimento casuale. L'area dei possibili risultati può essere un intervallo di tempo, un segmento, una superficie e così via.
• La probabilità di un dato evento è la stessa per tutte le aree di possibili risultati.
• Il numero di eventi che si verificano in un'area di possibili esiti non dipende dal numero di eventi che si verificano in altre aree.
• La probabilità che un dato evento si verifichi più di una volta nello stesso intervallo di possibili esiti tende a zero al diminuire dell'intervallo di possibili esiti.

Per ottenere una comprensione più profonda del significato del processo di Poisson, supponiamo di esaminare il numero di clienti che visitano una filiale bancaria situata nel distretto centrale degli affari durante il pranzo, ad es. dalle 12 alle 13 ore. Si supponga di voler determinare il numero di clienti in arrivo al minuto. Questa situazione ha le caratteristiche sopra elencate? In primo luogo, l'evento che ci interessa è l'arrivo del cliente e la gamma di possibili risultati è un intervallo di un minuto. Quanti clienti arriveranno in banca in un minuto: nessuno, uno, due o più? In secondo luogo, è ragionevole presumere che la probabilità che un cliente arrivi entro un minuto sia la stessa per tutti gli intervalli di un minuto. In terzo luogo, l'arrivo di un cliente durante qualsiasi intervallo di un minuto è indipendente dall'arrivo di qualsiasi altro cliente durante qualsiasi altro intervallo di un minuto. E, infine, la probabilità che più di un cliente arrivi in ​​banca tende a zero se l'intervallo di tempo tende a zero, ad esempio, diventa inferiore a 0,1 s. Quindi, il numero di clienti che vengono in banca durante il pranzo entro un minuto è descritto dalla distribuzione di Poisson.

La distribuzione di Poisson ha un parametro, indicato dal simbolo λ (lettera greca "lambda") - il numero medio di prove riuscite in un dato intervallo di possibili risultati. Anche la varianza della distribuzione di Poisson è λ e la sua deviazione standard è . Numero di prove riuscite X La variabile casuale di Poisson varia da 0 a infinito. La distribuzione di Poisson è descritta dalla formula:

dove P(X)- probabilità X prove riuscite, λ è il numero atteso di successi, e- la base del logaritmo naturale, pari a 2,71828, X- il numero di successi per unità di tempo.

Torniamo al nostro esempio. Diciamo che durante la pausa pranzo, in media, vengono in banca tre clienti al minuto. Qual è la probabilità che due clienti arrivino in banca in un dato minuto? Qual è la probabilità che in banca arrivino più di due clienti?

Applichiamo la formula (1) con il parametro λ = 3. Allora la probabilità che due clienti arrivino in banca in un dato minuto è uguale a

La probabilità che più di due clienti arrivino alla banca è P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = ∞) . Poiché la somma di tutte le probabilità dovrebbe essere uguale a 1, i membri della serie sul lato destro della formula rappresentano la probabilità dell'addizione all'evento X ≤ 2. In altre parole, la somma di questa serie è 1 - P (X ≤ 2). Pertanto, P(X> 2) = 1 - P(X≤2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Ora, usando la formula (1), otteniamo:

Pertanto, la probabilità che non più di due clienti arrivino in banca entro un minuto è 0,423 (o 42,3%) e la probabilità che più di due clienti arrivino in banca entro un minuto è 0,577 (o 57,7%).

Tali calcoli possono sembrare noiosi, soprattutto se il parametro λ è abbastanza grande. Evitare calcoli complessi, molte probabilità di Poisson possono essere trovate in tabelle speciali (Fig. 1). Ad esempio, la probabilità che due clienti giungano in banca in un dato minuto, se in media tre clienti giungono in banca al minuto, è all'intersezione della linea X= 2 e colonna λ = 3. Pertanto, è uguale a 0,2240 o 22,4%.

Riso. 1. Probabilità di Poisson per λ = 3

Ora è improbabile che qualcuno utilizzi le tabelle se Excel è a portata di mano con la sua funzione =POISSON.DIST() (Fig. 2). Questa funzione ha tre parametri: numero di prove riuscite X, numero medio atteso di prove riuscite λ, parametro Integrante, che assume due valori: FALSE - in questo caso viene calcolata la probabilità del numero di prove riuscite X(solo X), VERO - in questo caso, la probabilità del numero di prove riuscite da 0 a X.

Riso. 2. Calcolo in Excel delle probabilità di distribuzione di Poisson per λ = 3

Approssimazione della distribuzione binomiale mediante la distribuzione di Poisson

Se numero n grande e il numero R- piccola, la distribuzione binomiale può essere approssimata utilizzando la distribuzione di Poisson. Come più numero n e meno numero R, maggiore è la precisione di approssimazione. Il seguente modello di Poisson viene utilizzato per approssimare la distribuzione binomiale.

dove P(X)- probabilità X successo con i parametri indicati n e R, n- misura di prova, R- vera probabilità di successo, eè la base del logaritmo naturale, X- numero di successi nel campione (X = 0, 1, 2, …, n).

Teoricamente, una variabile casuale che ha una distribuzione di Poisson assume valori da 0 a ∞. Tuttavia, in quelle situazioni in cui la distribuzione di Poisson viene utilizzata per approssimare la distribuzione binomiale, la variabile casuale di Poisson è il numero di successi tra n osservazioni - non può superare il numero n. Dalla formula (2) segue che con un aumento del numero n e una diminuzione del numero R la probabilità di trovare un numero elevato di successi diminuisce e tende a zero.

Come accennato in precedenza, l'aspettativa matematica µ e la varianza σ 2 della distribuzione di Poisson sono uguali a λ. Pertanto, quando si approssima la distribuzione binomiale utilizzando la distribuzione di Poisson, è necessario utilizzare la formula (3) per approssimare l'aspettativa matematica.

(3) µ = Å(Å) = λ =np

La formula (4) viene utilizzata per approssimare la deviazione standard.

Si noti che la deviazione standard calcolata dalla formula (4) tende a deviazione standard nel modello binomiale, quando la probabilità di successo p tende a zero e, di conseguenza, alla probabilità di fallimento 1 - pag tende all'unità.

Si supponga che l'8% degli pneumatici prodotti in un determinato stabilimento siano difettosi. Per illustrare l'uso della distribuzione di Poisson per approssimare la distribuzione binomiale, calcoliamo la probabilità di trovare un pneumatico difettoso in un campione di 20 pneumatici. Applichiamo la formula (2), otteniamo

Se dovessimo calcolare la vera distribuzione binomiale, piuttosto che la sua approssimazione, otterremmo il seguente risultato:

Tuttavia, questi calcoli sono piuttosto noiosi. Allo stesso tempo, se si utilizza Excel per calcolare le probabilità, l'utilizzo dell'approssimazione della distribuzione di Poisson diventa ridondante. Sulla fig. 3 mostra che la complessità dei calcoli in Excel è la stessa. Tuttavia, questa sezione, a mio avviso, è utile per capire che in determinate condizioni la distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson danno risultati ravvicinati.

Riso. 3. Confronto della complessità dei calcoli in Excel: (a) distribuzione di Poisson; (b) distribuzione binomiale

Quindi, in questa e in due note precedenti, sono state considerate tre distribuzioni numeriche discrete: , e Poisson. Per capire meglio come queste distribuzioni si relazionano tra loro, presentiamo un piccolo albero di domande (Fig. 4).

Riso. 4. Classificazione distribuzioni discrete probabilità

Vengono utilizzati i materiali del libro Levin et al.. Statistiche per manager. - M.: Williams, 2004. - p. 320–328

Considera la distribuzione di Poisson, calcola la sua aspettativa matematica, varianza, moda. Usando la funzione MS EXCEL POISSON.DIST(), tracciamo i grafici della funzione di distribuzione e della densità di probabilità. Stimiamo il parametro di distribuzione, la sua aspettativa matematica e la deviazione standard.

In primo luogo, diamo una definizione formale secca di distribuzione, quindi forniamo esempi di situazioni in cui Distribuzione di Poisson(Inglese) Poissondistribuzione) è un modello adeguato per descrivere una variabile casuale.

Se si verificano eventi casuali in un dato periodo di tempo (o in un certo volume di materia) con una frequenza media λ( lambda), quindi il numero di eventi X, avvenuto durante questo periodo di tempo avrà Distribuzione di Poisson.

Applicazione della distribuzione di Poisson

Esempi quando Distribuzione di Poissonè un modello adeguato:

• il numero di chiamate ricevute dalla centrale telefonica per un certo periodo di tempo;
• il numero di particelle che hanno subito un decadimento radioattivo in un dato periodo di tempo;
• il numero di difetti in un pezzo di tessuto di lunghezza fissa.

Distribuzione di Poissonè un modello adeguato se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

• gli eventi si verificano indipendentemente l'uno dall'altro, ad es. la probabilità di un evento successivo non dipende dal precedente;
• la frequenza media degli eventi è costante. Di conseguenza, la probabilità di un evento è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo di osservazione;
• due eventi non possono accadere contemporaneamente;
• il numero di eventi deve assumere il valore 0; uno; 2…

Nota: Un buon indizio che ha la variabile casuale osservata distribuzione di veleno,è il fatto che approssimativamente è uguale (vedi sotto).

I seguenti sono esempi di situazioni in cui Distribuzione di Poisson non può essere applicato:

• il numero di studenti che lasciano l'università entro un'ora (perché il flusso medio di studenti non è costante: gli studenti sono pochi durante le lezioni e il numero di studenti aumenta notevolmente tra le classi);
• il numero di terremoti con un'ampiezza di 5 punti all'anno in California (perché un terremoto può causare scosse ripetute di ampiezza simile - gli eventi non sono indipendenti);
• il numero di giorni che i pazienti trascorrono in terapia intensiva (perché il numero di giorni che i pazienti trascorrono in terapia intensiva è sempre maggiore di 0).

Nota: Distribuzione di Poissonè un'approssimazione di distribuzioni discrete più accurate: e .

Nota: Sulla relazione Distribuzione di Poisson e Distribuzione binomiale si può leggere nell'articolo A proposito di relazione Distribuzione di Poisson e Distribuzione esponenziale può essere trovato nell'articolo su .

Distribuzione di Poisson in MS EXCEL

In MS EXCEL, a partire dalla versione 2010, per Distribuzioni Poisson c'è una funzione POISSON.DIST() , il nome inglese è POISSON.DIST(), che ti permette di calcolare non solo la probabilità che in un dato periodo di tempo accada X eventi (funzione densità di probabilità p(x), vedi formula sopra), ma anche (probabilità che almeno in un dato periodo di tempo X eventi).

Prima di MS EXCEL 2010, EXCEL disponeva della funzione POISSON(), che consente anche di calcolare funzione di distribuzione e densità di probabilità p(x). POISSON() viene lasciato in MS EXCEL 2010 per compatibilità.

Il file di esempio contiene grafici densità di distribuzione di probabilità e funzione di distribuzione integrale.

Distribuzione di Poisson ha una forma obliqua (una lunga coda a destra della funzione di probabilità), ma all'aumentare del parametro λ diventa sempre più simmetrico.

Nota: Media e dispersione(quadrato) sono uguali al parametro Distribuzione di Poisson– λ (vedi foglio di file di esempio Esempio).

Un compito

Applicazione tipica Distribuzioni di Poisson nel controllo di qualità, è un modello del numero di difetti che possono apparire in un dispositivo o dispositivo.

Ad esempio, se il numero medio di difetti in un chip λ (lambda) è 4, la probabilità che un chip selezionato casualmente abbia 2 o meno difetti è uguale a: = DISTRIB.POISSON(2,4,VERO)=0,2381

Il terzo parametro nella funzione è impostato = TRUE, quindi la funzione verrà restituita funzione di distribuzione integrale, cioè la probabilità che il numero eventi casuali sarà compreso tra 0 e 4 inclusi.

I calcoli in questo caso vengono effettuati secondo la formula:

La probabilità che un chip selezionato casualmente abbia esattamente 2 difetti è: DISTRIB.POISSON(2,4,FALSO)=0,1465

Il terzo parametro nella funzione è impostato = FALSE, quindi la funzione restituirà la densità di probabilità.

La probabilità che un chip selezionato casualmente abbia più di 2 difetti è pari a: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, VERO) \u003d 0,8535

Nota: Se una X non è un numero intero, quindi quando si calcola la formula . Formule =DIST.POISSON( 2 ; quattro; FALSO) e =DIST.POISSON( 2,9 ; quattro; FALSO) restituirà lo stesso risultato.

Generazione di numeri casuali e stima di λ

Per i valori λ >15 , Distribuzione di Poisson ben approssimato distribuzione normale con i seguenti parametri: μ =λ , σ 2 =λ .

Puoi leggere di più sulla relazione tra queste distribuzioni nell'articolo. Vengono forniti anche esempi di approssimazione e le condizioni vengono spiegate quando è possibile e con quale accuratezza.

CONSIGLIO: Puoi leggere altre distribuzioni di MS EXCEL nell'articolo .

9. Legge di distribuzione di Poisson e Gauss

Legge di Poisson. Un altro nome per esso è la legge di ra-determinazione di eventi rari. La legge di Poisson (PP) si applica nei casi in cui è improbabile, e quindi l'applicazione di P/C/R non è appropriata.

I vantaggi della legge sono: comodità nel calcolo, capacità di calcolare la probabilità in un dato periodo di tempo, possibilità di sostituire il tempo con un altro valore continuo, ad esempio, quote lineari.

La legge di Poisson ha la seguente forma:

e si legge come segue: la probabilità del verificarsi dell'evento A in m volte in n prove indipendenti è espressa da una formula della forma (59), dove a = pr è il valore medio di p(A), e a è l'unico parametro della legge di Poisson.

Legge distribuzione normale(Legge di Gauss). La pratica conferma costantemente che le leggi della distribuzione dell'errore obbediscono alla legge di Gauss con un'approssimazione sufficiente quando si misura un'ampia varietà di parametri: dalle dimensioni lineari e angolari alle caratteristiche delle principali proprietà meccaniche dell'acciaio.

La densità di probabilità della legge di distribuzione normale (di seguito N. R.) ha la forma

dove x 0 è il valore medio di una variabile casuale;

? è la deviazione standard della stessa variabile casuale;

e \u003d 2.1783 ... - la base del logaritmo naturale;

W è un parametro che soddisfa la condizione.

La ragione dell'uso diffuso della legge della distribuzione normale è teoricamente determinata dal teorema di Lyapunov.

Con noto X 0 e? le ordinate della curva della funzione f(x) possono essere calcolate con la formula

dove t è una variabile normalizzata,

(t) densità di probabilità z. Se sostituiamo z e (t) nella formula, allora segue:

Curva Z.N.R. spesso chiamata curva gaussiana, questa legge descrive moltissimi fenomeni in natura.

Dal libro La creatività come scienza esatta [Teoria del problem solving inventivo] autore Altshuller Heinrich Saulovich

6. La legge di transizione al supersistema Avendo esaurite le possibilità di sviluppo, il sistema è incluso nel supersistema come una delle parti; in cui ulteriori sviluppi avviene a livello di supersistema. Abbiamo già parlato di questa legge. Passiamo alla dinamica. Include leggi che

Dal libro Interface: New Directions in Computer System Design autore Ruskin Jeff

Dal libro Strumentazione autore Babaev M A

4.4.1. Legge di Fitts Immaginiamo di spostare il cursore su un pulsante visualizzato sullo schermo. Il pulsante è l'obiettivo di questa mossa. La lunghezza della linea retta che collega la posizione iniziale del cursore e il punto più vicino dell'oggetto target è definita dalla legge di Fitts come distanza. Sul

Dal libro Ingegneria del calore autore Burkhanova Natalia

4.4.2. Legge di Hick Prima di spostare il cursore su un bersaglio o di eseguire qualsiasi altra azione da un insieme di opzioni, l'utente deve selezionare quell'oggetto o quell'azione. La legge di Hick afferma che quando ci sono n opzioni tra cui scegliere, è il momento di scegliere

Dal libro Linguistica computazionale per tutti: miti. Algoritmi. Lingua autore Anisimov Anatoly Vasilievich

6. Statistiche di distribuzione variabili casuali Principali caratteristiche delle variabili casuali.1. Misure di posizione Questi sono chiamati (considerati) punti attorno ai quali fluttuano le caratteristiche delle quantità La somma dei prodotti dei valori empirici di una variabile casuale xi per

Dal libro Fenomeno della scienza [Approccio cibernetico all'evoluzione] autore Turchin Valentin Fedorovich

10. Leggi di distribuzione binomiale e polinomiale. Distribuzione improbabile. Legge della distribuzione dell'eccentricità 1. Legge della distribuzione binomiale. Questa legge è espressa matematicamente dalla formula di espansione per il binomio (q + p)2 nella forma seguente dove n! - leggere

Dal libro Nanotecnologie [Scienza, innovazione e opportunità] di Foster Lynn

11. Altre leggi sulla distribuzione Nell'industria tecnica, compresa la fabbricazione di strumenti, vengono utilizzati altri tipi di leggi sulla distribuzione, oltre a quelle discusse sopra. In questo caso, la distribuzione delle variabili casuali è già secondo i loro parametri più diversi.

Dal libro Storia dell'ingegneria elettrica autore Team di autori

22. Legge di Boyle-Mariotte Una delle leggi di un gas ideale è la legge di Boyle-Mariotte, che afferma: il prodotto della pressione P e del volume V di un gas con massa e temperatura costanti è costante. Questa uguaglianza è chiamata equazione dell'isoterma. L'isoterma viene visualizzata

Dal libro Storia di scoperte e invenzioni eccezionali (ingegneria elettrica, industria dell'energia elettrica, radioelettronica) autore Shneiberg Jan Abramovich

23. Legge di Gay-Lussac La legge di Gay-Lussac dice: il rapporto tra il volume di un gas e la sua temperatura a pressione costante del gas e la sua massa è costante V / T = m / MO R / P = const a P = const, m = cost. il nome dell'equazione isobare Un isobar è rappresentato su un diagramma PV da una linea retta,

Dal libro dell'autore

24. Legge di Charles La legge di Charles afferma che il rapporto tra la pressione del gas e la sua temperatura è costante se il volume e la massa del gas sono invariati: P / T = m / MО R / V = ​​const a V = const, m = cost. .Isochora è rappresentata sul diagramma PV come una linea retta, asse parallelo Papà

Dal libro dell'autore

30. La legge di conservazione e trasformazione dell'energia La prima legge della termodinamica si basa sulla legge universale di conservazione e trasformazione dell'energia, la quale stabilisce che l'energia non si crea né scompare: i corpi che partecipano a un processo termodinamico interagiscono tra loro

Dal libro dell'autore

LA PRINCIPESSA RANA E LA LEGGE DELLA STABILITÀ Come è stato sottolineato in precedenza (la legge dell'astrazione), il pensiero primitivo è stato in grado di analizzare fenomeni concreti e sintetizzare nuovi sistemi astratti. Poiché qualsiasi oggetto costruito dalla coscienza era percepito come vivente e vivente

Dal libro dell'autore

1.1. La legge fondamentale dell'evoluzione Nel processo di evoluzione della vita, per quanto ne sappiamo, c'è sempre stato ed è ora un aumento della massa totale della materia vivente e la complicazione della sua organizzazione. Complicando l'organizzazione delle formazioni biologiche, la natura agisce secondo il metodo delle prove e

Dal libro dell'autore

4.2. Legge di Moore Nella sua forma più semplice, la legge di Moore è l'affermazione che la densità del circuito del transistor raddoppia ogni 18 mesi. La paternità della legge è attribuita a uno dei fondatori della nota società Intel, Gordon Moore. A rigor di termini, in