Proprietà della densità di distribuzione
Innanzitutto, ricordiamo qual è la densità di distribuzione:
Considera le proprietà della densità di distribuzione:
Proprietà 1: La funzione di densità di distribuzione $\varphi (x)$ non è negativa:
Prova.
Sappiamo che la funzione di distribuzione $F(x)$ è una funzione non decrescente. Dalla definizione consegue che $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, e la derivata di una funzione non decrescente -- è una funzione non negativa.
Geometricamente, questa proprietà significa che il grafico della funzione di densità di distribuzione $\varphi \left(x\right)$ è sopra o sull'asse $Ox$ stesso (Fig. 1)
Figura 1. Illustrazione della disuguaglianza $\varphi (x)\ge 0$.
Proprietà 2: L'integrale improprio della funzione di densità di distribuzione all'interno di $-\infty $ a $+\infty $ è uguale a 1:
Prova.
Richiama la formula per trovare la probabilità che valore casuale l'intervallo $(\alpha ,\beta)$ cadrà:
Figura 2.
Troviamo la probabilità che la variabile casuale rientri nell'intervallo $(-\infty ,+\infty $):
Figura 3
Ovviamente, la variabile casuale cadrà sempre nell'intervallo $(-\infty ,+\infty $), quindi la probabilità di un tale successo è uguale a uno. Noi abbiamo:
Geometricamente, la seconda proprietà significa che l'area di un trapezio curvilineo delimitata dal grafico della funzione di densità di distribuzione $\varphi (x)$ e l'asse delle ascisse è numericamente uguale a uno.
Puoi anche formulare la proprietà inversa:
Proprietà 3: Qualsiasi funzione non negativa $f(x)\ge 0$ che soddisfi l'uguaglianza $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ è una funzione di densità di distribuzione una variabile casuale continua.
Il significato probabilistico della densità di distribuzione
Diamo alla variabile $x$ un incremento $\triangolo x$.
Significato probabilistico della densità di distribuzione: La probabilità che una variabile casuale continua $X$ assuma valori dall'intervallo $(x,x+\triangolo x)$ è approssimativamente uguale al prodotto della densità di distribuzione di probabilità nel punto $x $ e l'incremento $\triangolo x$:
Figura 4. Illustrazione geometrica del significato probabilistico della densità di distribuzione di una variabile casuale continua.
Esempi di risoluzione dei problemi utilizzando le proprietà della densità di distribuzione
Esempio 1
La funzione di densità della distribuzione di probabilità ha la forma:
Figura 5
- Trova il coefficiente $\alfa $.
- Costruisci un grafico della densità di distribuzione.
- Considera l'integrale improprio $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$, otteniamo:
Figura 6
Usando la proprietà 2, otteniamo:
\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]
Cioè, la funzione di densità di distribuzione ha la forma:
Figura 7
- Tracciamolo:
Figura 8
Esempio 2
La funzione di densità di distribuzione ha la forma $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$
(Ricordiamo che $chx$ è un coseno iperbolico).
Trova il valore del coefficiente $\alpha $.
Soluzione. Usiamo la seconda proprietà:
\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limits^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]
Poiché $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, allora
\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arco^x+C\]
\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]
Di conseguenza:
\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]
Legge distribuzioni di probabilità la variabile casuale può essere specificata utilizzando la funzione di distribuzione integrale. Funzione di distribuzione cumulativa chiamata funzione F(X), per ogni valore X che determina la probabilità che la variabile casuale X assumere un valore minore...Funzione di distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua
Funzione F(X) esiste sia per variabili casuali discrete che continue. Notiamo le proprietà più importanti della funzione di distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua. 1. Per i valori della funzione di distribuzione F(x) avviene 2. F(x)è una funzione non decrescente, cioè 3. Probabilità...(TEORIA DELLA PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA)
Variabile casuale continua. Densità di distribuzione
Definizione 3.6. SW % chiamato continuo, se esiste una tale funzione p(x) chiamato densità di probabilità o densità di distribuzione di probabilità, cos'è FR SV?, è uguale a If al punto X densità p(x)è continuo, quindi, differenziando la sinistra e la destra...4.3. Variabile casuale bidimensionale continua. Distribuzione della densità articolare
Per analogia con la variabile casuale n-dimensionale, diamo la seguente definizione. Definizione 4.8. 2D vettore casuale(?, p) viene chiamato continuo, se esiste una tale funzione non negativa p(x, y), chiamato densità di distribuzione articolare variabili casuali? e p quello di...(PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA PER ECONOMISTI)
Densità di distribuzione
Riso. 1.9. Caratteristiche principali distribuzione normale a significati diversi deviazione standard: un- densità di probabilità /(/); b- probabilità di non fallimento dell'operazione р(/); in- tasso di guasto X(/) La distribuzione ha due parametri indipendenti: matematico ...(AFFIDABILITA' DEGLI IMPIANTI TECNICI)
Legge di distribuzione di probabilità per una variabile casuale bidimensionale discreta
legge di distribuzione Una variabile casuale bidimensionale discreta è un elenco di possibili valori di questa variabile, ad es. coppie di numeri (x., e loro probabilità /? (x., u.)(?= 1,2....."; j= 1,2,...,"?). Di solito, la legge di distribuzione è data sotto forma di una tabella a partita doppia (Tabella 2). Prima linea...(TEORIA DELLA PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA)
Trovare le densità di probabilità delle componenti di una variabile casuale bidimensionale
Si noti la densità della distribuzione di probabilità congiunta di un sistema di due variabili casuali. Troviamo la densità di distribuzione di ciascuno dei componenti. Troviamo prima la densità di distribuzione del componente X. Indica con Fx(x) funzione di distribuzione dei componenti X. Per definizione...(TEORIA DELLA PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA)
Il risultato di qualsiasi esperimento casuale può essere caratterizzato qualitativamente e quantitativamente. qualitativo il risultato di un esperimento casuale - a caso evento. Qualunque caratteristica quantitativa, che a seguito di un esperimento casuale può assumere uno di un certo insieme di valori, - valore casuale. Valore casuale è uno dei concetti centrali della teoria della probabilità.
Sia uno spazio di probabilità arbitrario. Variabile casualeè una funzione numerica reale x \u003d x (w), w W , tale che per qualsiasi reale X 
.
Evento di solito scritto come x< X. Di seguito, le variabili casuali saranno denotate da lettere greche minuscole x, h, z, …
La variabile casuale è il numero di punti ottenuti dado, o la crescita di una scelta casuale da gruppo di studio alunno. Nel primo caso, abbiamo a che fare con discreto variabile casuale(prende valori da un discreto numero impostato M=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; nel secondo caso, con continuo variabile casuale(prende valori da un insieme di numeri continui - dall'intervallo della linea numerica io=).
Ogni variabile casuale è completamente determinata dalla sua funzione di distribuzione.
Se x è una variabile casuale, allora la funzione F(X) = Fx(X) = P(X< X) è chiamato funzione di distribuzione variabile casuale x. Qui P(X<X) - la probabilità che la variabile casuale x assuma un valore inferiore a X.
È importante capire che la funzione di distribuzione è un "passaporto" di una variabile casuale: contiene tutte le informazioni sulla variabile casuale e quindi lo studio di una variabile aleatoria consiste nello studio della sua funzioni di distribuzione, spesso indicato semplicemente distribuzione.
La funzione di distribuzione di qualsiasi variabile casuale ha le seguenti proprietà:
Se x è una variabile casuale discreta che assume i valori X 1 <X 2 < … <x io < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида
| X 1 | X 2 | … | x io | … |
| p 1 | p 2 | … | pi | … |
chiamato distribuzione di una variabile casuale discreta.
La funzione di distribuzione di una variabile casuale con tale distribuzione ha la forma
Una variabile casuale discreta ha una funzione di distribuzione graduale. Ad esempio, per un numero casuale di punti che sono caduti in un lancio di dadi, il grafico della distribuzione, della funzione di distribuzione e della funzione di distribuzione è simile a:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Se la funzione di distribuzione Fx(X) è continua, quindi viene chiamata la variabile casuale x variabile casuale continua.
Se la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua differenziabile, quindi fornisce una rappresentazione più visiva della variabile casuale densità di probabilità della variabile casuale p x(X), che è correlato alla funzione di distribuzione Fx(X) formule
e 
.
Da ciò, in particolare, ne consegue che per ogni variabile casuale .
Quando si risolvono problemi pratici, è spesso necessario trovare il valore X, in cui la funzione di distribuzione Fx(X) la variabile casuale x assume un dato valore p, cioè. devi risolvere l'equazione Fx(X) = p. Soluzioni a tale equazione (i valori corrispondenti X) nella teoria della probabilità sono chiamati quantili.
quantile x p ( p-quantile, quantile di livello p) una variabile casuale avente una funzione di distribuzione Fx(X), è chiamata soluzione xp equazioni Fx(X) = p, p(0, 1). Per alcuni p l'equazione Fx(X) = p può avere diverse soluzioni, per alcuni - nessuna. Ciò significa che per la variabile casuale corrispondente, alcuni quantili non sono definiti in modo univoco e alcuni quantili non esistono.
Una variabile casuale continua può essere specificata non solo con l'aiuto di una funzione di distribuzione. Introduciamo il concetto di densità di probabilità di una variabile casuale continua.
Considera la probabilità che una variabile casuale continua rientri nell'intervallo [ X, X + Δ X]. La probabilità di un tale evento
P(X ≤ X ≤ X + Δ X) = F(X+ Δ X) – F(X),
quelli. uguale all'incremento della funzione di distribuzione F(X) in quest 'area. Quindi la probabilità per unità di lunghezza, cioè densità di probabilità media nell'area da X prima X+ Δ X, è uguale a
Passaggio al limite Δ X→ 0, otteniamo la densità di probabilità nel punto X:
che rappresenta la derivata della funzione di distribuzione F(X). Ricordalo per una variabile casuale continua F(X) è una funzione derivabile.
Definizione. Densità di probabilità (densità di distribuzione ) f(X) la variabile casuale continua X è la derivata della sua funzione di distribuzione
| f(X) = F′( X). | (4.8) |
A proposito di una variabile casuale X si dice che abbia una distribuzione con una densità f(X) su una certa parte dell'asse x.
Densità di probabilità f(X), così come la funzione di distribuzione F(X) è una forma di diritto di distribuzione. Ma a differenza della funzione di distribuzione, esiste solo per variabili casuali continue.
La densità di probabilità è talvolta chiamata funzione differenziale o legge di distribuzione differenziale. Viene chiamato il grafico della densità di probabilità curva di distribuzione.
Esempio 4.4. Usando i dati dell'Esempio 4.3, trova la densità di probabilità di una variabile casuale X.
Soluzione. Troveremo la densità di probabilità di una variabile casuale come derivata della sua funzione di distribuzione f(X) = F"(X).
◄
Notiamo le proprietà della densità di probabilità di una variabile casuale continua.
1. La densità di probabilità è una funzione non negativa, cioè.
Geometricamente, la probabilità di cadere nell'intervallo [ α , β ,] è uguale all'area della figura delimitata dall'alto dalla curva di distribuzione e basata sul segmento [ α , β ,] (Figura 4.4).
Riso. 4.4 Fig. 4.5
3. La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua può essere espressa in termini di densità di probabilità mediante la formula:
Proprietà geometriche 1 e 4 densità di probabilità significano che il suo grafico - la curva di distribuzione - non si trova al di sotto dell'asse delle ascisse e l'area totale della figura delimitata dalla curva di distribuzione e dall'asse delle ascisse è uguale a uno.
Esempio 4.5. Funzione f(X) è dato come:
Trova: a) valore MA; b) espressione della funzione di distribuzione F(X); c) la probabilità che la variabile casuale X assumerà un valore sull'intervallo.
Soluzione. a) Per f(X) era la densità di probabilità di una variabile casuale X, deve essere non negativo, quindi il valore MA. Con riserva di proprietà 4 noi troviamo:
, dove MA = .
b) Troviamo la funzione di distribuzione utilizzando la proprietà 3 :
Se una X≤ 0, quindi f(X) = 0 e, quindi, F(X) = 0.
Se 0< X≤ 2, quindi f(X) = X/2 e, quindi,
Se una X> 2, quindi f(X) = 0 e, quindi,
c) La probabilità che la variabile casuale X assume un valore sul segmento, lo troviamo utilizzando la proprietà 2 .
Densità di probabilità di una variabile casuale discreta
Lascia che una variabile casuale prenda valori con probabilità, . Quindi la sua funzione di distribuzione di probabilità
dov'è la funzione di salto dell'unità. È possibile determinare la densità di probabilità di una variabile casuale mediante la sua funzione di distribuzione, tenendo conto dell'uguaglianza. Tuttavia, in questo caso sorgono difficoltà matematiche, dovute al fatto che la funzione di salto di unità in (34.1) ha una discontinuità del primo tipo a. Pertanto, la derivata della funzione non esiste nel punto.
Per superare questa complessità, viene introdotta una -funzione. La funzione di salto dell'unità può essere rappresentata in termini di -funzione dalla seguente uguaglianza:
Quindi formalmente la derivata
e la densità di probabilità di una variabile casuale discreta è determinata dalla relazione (34.1) come derivata della funzione:
La funzione (34.4) ha tutte le proprietà della densità di probabilità. Considera un esempio. Lascia che una variabile casuale discreta prenda valori con probabilità e lascia, . Quindi la probabilità che la variabile casuale assuma un valore dal segmento può essere calcolata in base alle proprietà generali della densità secondo la formula:
poiché il punto singolare della funzione definita dalla condizione è all'interno della regione di integrazione in, e al punto singolare è al di fuori della regione di integrazione. In questo modo,
La funzione (34.4) soddisfa anche la condizione di normalizzazione:
Si noti che in matematica, un record della forma (34.4) è considerato errato (errato) e il record (34.2) è considerato corretto. Ciò è dovuto al fatto che la -funzione con un argomento zero e dice che non esiste. D'altra parte, nella (34.2) la -funzione è contenuta nell'integrale. In questo caso, il lato destro della (34.2) è un valore finito per qualsiasi, cioè l'integrale della -funzione esiste. Nonostante ciò, in fisica, ingegneria e altre applicazioni della teoria della probabilità, viene spesso utilizzata la rappresentazione della densità nella forma (34.4), che, in primo luogo, consente di ottenere risultati corretti applicando proprietà - funzioni e, in secondo luogo, ha un'ovvia interpretazione fisica .
Esempi di densità e distribuzioni di probabilità
35.1. Una variabile casuale si dice distribuita uniformemente su un segmento se la sua densità di distribuzione di probabilità
dove è un numero determinato dalla condizione di normalizzazione:
La sostituzione (35.1) in (35.2) porta ad un'uguaglianza la cui soluzione ha relativamente la forma: .
La funzione di distribuzione di probabilità di una variabile casuale uniformemente distribuita può essere trovata dalla formula (33.5), che determina attraverso la densità:
Sulla fig. 35.1 vengono presentati grafici di funzioni e una variabile casuale uniformemente distribuita.
Riso. 35.1. Grafici della funzione e densità di distribuzione
variabile casuale distribuita uniformemente.
35.2. Una variabile casuale si dice normale (o gaussiana) se la sua densità di distribuzione di probabilità è:
dove, sono numeri chiamati parametri di funzione. Quando la funzione assume il suo valore massimo: . Il parametro ha il significato di larghezza effettiva. Oltre a questa interpretazione geometrica, i parametri hanno anche un'interpretazione probabilistica, che sarà discussa in seguito.
Dalla (35.4) segue l'espressione per la funzione di distribuzione di probabilità
dov'è la funzione di Laplace. Sulla fig. 35.2 vengono presentati grafici di funzioni e una normale variabile casuale. Per indicare che una variabile casuale ha una distribuzione normale con parametri e viene spesso utilizzata la notazione.
Riso. 35.2. Grafici di densità e funzioni di distribuzione
normale variabile casuale.
35.3. Una variabile casuale ha una densità di probabilità di Cauchy se
Questa densità corrisponde alla funzione di distribuzione
35.4. Una variabile casuale si dice distribuita esponenzialmente se la sua densità di distribuzione di probabilità ha la forma:
Definiamo la sua funzione di distribuzione di probabilità. Infatti da (35.8) segue. Se poi
35.5. La distribuzione di probabilità di Rayleigh di una variabile casuale è determinata dalla densità della forma
Questa densità corrisponde alla funzione di distribuzione di probabilità per e uguale a
35.6. Considera esempi di costruzione della funzione di distribuzione e della densità di una variabile casuale discreta. Sia la variabile casuale il numero di successi in una sequenza di prove indipendenti. Quindi la variabile casuale assume valori, con una probabilità, determinata dalla formula di Bernoulli:
dove, sono le probabilità di successo e fallimento in un esperimento. Pertanto, la funzione di distribuzione di probabilità di una variabile casuale ha la forma
dov'è la funzione di salto dell'unità. Da qui la densità di distribuzione:
dov'è la funzione delta.