Definizione. Normale detta distribuzione di probabilità continua variabile casuale, che è descritto dalla densità di probabilità

Si chiama anche distribuzione normale Legge di Gauss.

La legge della distribuzione normale è centrale nella teoria della probabilità. Ciò è dovuto al fatto che questa legge si manifesta in tutti i casi in cui una variabile casuale è il risultato dell'azione di un numero elevato vari fattori. Tutte le altre leggi di distribuzione si avvicinano alla legge normale.

Si può facilmente dimostrare che i parametri e , incluse nella densità di distribuzione sono, rispettivamente, l'aspettativa matematica e la deviazione standard della variabile casuale X.

Troviamo la funzione di distribuzione F(X) .

Viene chiamato il grafico della densità di distribuzione normale curva normale o curva gaussiana.

Una curva normale ha le seguenti proprietà:

1) La funzione è definita sull'intero asse numerico.

2) Per tutti X la funzione di distribuzione assume solo valori positivi.

3) L'asse OX è l'asintoto orizzontale del grafico della densità di probabilità, poiché con un aumento illimitato del valore assoluto dell'argomento X, il valore della funzione tende a zero.

4) Trova l'estremo della funzione.

Perché a y’ > 0 a X < m e y’ < 0 a X > m, quindi al punto x = t la funzione ha un massimo uguale a
.

5) La funzione è simmetrica rispetto ad una retta x = a, perché differenza

(x - a) entra nella funzione di densità di distribuzione al quadrato.

6) Per trovare i punti di flesso del grafico, troviamo la derivata seconda della funzione di densità.

In X = m+  e X = m-  la derivata seconda è uguale a zero, e passando per questi punti cambia segno, cioè in questi punti la funzione ha un'inflessione.

A questi punti, il valore della funzione è
.

Costruiamo un grafico della funzione di densità di distribuzione (Fig. 5).

I grafici sono stati costruiti per T=0 e tre possibili valori della deviazione standard  = 1,  = 2 e  = 7. Come puoi vedere, all'aumentare del valore della deviazione standard, il grafico diventa più piatto e il valore massimo diminuisce.

Se ma> 0, il grafico si sposterà in direzione positiva se ma < 0 – в отрицательном.

In ma= 0 e  = 1 viene chiamata la curva normalizzato. Equazione della curva normalizzata:

Funzione Laplace

Trova la probabilità che una variabile casuale distribuita secondo la legge normale rientri in un dato intervallo.

Denota

Perché integrante
non è espressa in termini di funzioni elementari, quindi la funzione

,

che è chiamato Funzione Laplace o integrale di probabilità.

I valori di questa funzione per vari valori X calcolati e presentati in apposite tabelle.

Sulla fig. 6 mostra un grafico della funzione di Laplace.

La funzione di Laplace ha le seguenti proprietà:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Viene anche chiamata la funzione di Laplace funzione di errore e denota erf X.

Ancora in uso normalizzato la funzione di Laplace, che è correlata alla funzione di Laplace dalla relazione:

Sulla fig. 7 mostra un grafico della funzione di Laplace normalizzata.

P regola dei tre sigma

Quando si considera la distribuzione normale, si distingue un caso speciale importante, noto come regola dei tre sigma.

Scriviamo la probabilità da cui deriva la deviazione di una variabile aleatoria normalmente distribuita aspettativa matematica inferiore al valore impostato :

Se accettiamo  = 3, allora otteniamo utilizzando le tabelle dei valori della funzione di Laplace:

Quelli. la probabilità che una variabile casuale devii dalla sua aspettativa matematica di un importo superiore a tre volte la deviazione standard è praticamente zero.

Questa regola è chiamata regola dei tre sigma.

In pratica, si considera che se per una qualsiasi variabile aleatoria è soddisfatta la regola del tre sigma, allora questa variabile aleatoria ha una distribuzione normale.

Conclusione della lezione:

Nella lezione abbiamo considerato le leggi della distribuzione delle quantità continue.In preparazione alla lezione successiva e alle esercitazioni pratiche, dovresti integrare autonomamente le tue dispense con uno studio approfondito della letteratura consigliata e risolvere i problemi proposti.

Sostituendo φ(x)=π /4 ,f(x)=1/(b-a)

D[π /4]=( /720) ).

№319 Bordo del cubo X misurato approssimativamente un . Considerando il bordo del cubo come una variabile casuale X distribuita uniformemente nell'intervallo (a,b), trova l'aspettativa matematica e la varianza del volume del cubo.

1. Troviamo l'aspettativa matematica dell'area del cerchio: una variabile casuale Y=φ(K)= - secondo la formula

M[φ(X)]=

Mettendo φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) e dopo l'integrazione, otteniamo

M( )=
.

2. Trova la dispersione dell'area del cerchio usando la formula

D[φ(X)]= - .

Sostituendo φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) e dopo l'integrazione, otteniamo

D = .

№320 Le variabili casuali X e Y sono indipendenti e distribuite uniformemente: X-nell'intervallo (a,b), Y-nell'intervallo (c,d) Trova l'aspettativa matematica del prodotto XY.

L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche, cioè

M(XY)=

№321 Le variabili casuali X e Y sono indipendenti e distribuite uniformemente: X - nell'intervallo (a,b), Y - nell'intervallo (c,d). Trova la varianza del prodotto XY.

Usiamo la formula

D(XY)=M[

L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali indipendenti è quindi uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche

Troviamo M con la formula

M[φ(X)]=

Sostituendo φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) e integrando, otteniamo

m (**)

Allo stesso modo, troviamo

m (***)

Sostituendo M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2, così come (***) e (**) in (*), finalmente otteniamo

D(XY)= -[ .

№322 L'aspettativa matematica di una variabile casuale X normalmente distribuita è a = 3 e la deviazione standard σ = 2. Scrivi la densità di probabilità di X.

Usiamo la formula:

f(x)= .

Sostituendo i valori disponibili otteniamo:

f(x)= = f(x)= .

№323 Scrivi la densità di probabilità di una variabile casuale X normalmente distribuita, sapendo che M(X)=3, D(X)=16.

Usiamo la formula:

f(x)= .

Per trovare il valore di σ, utilizziamo la proprietà che è la deviazione standard di una variabile casuale Xè uguale a radice quadrata dalla sua dispersione. Quindi σ=4, M(X)=a=3. Sostituendo nella formula otteniamo

f(x)= = .

№324 Una variabile casuale X normalmente distribuita è data dalla densità

f(x)= . Trova l'aspettativa matematica e la varianza di X.

Usiamo la formula

f(x)= ,

dove un-valore atteso, σ -deviazione standard X. Da questa formula segue che a=M(X)=1. Per trovare la varianza, utilizziamo la proprietà che la deviazione standard di una variabile casuale Xè uguale alla radice quadrata della sua varianza. Di conseguenza D(X)= =

Risposta: l'aspettativa matematica è 1; la varianza è 25.

Bondarchuk Rodion

Data la funzione di distribuzione della legge normale normalizzata . Trova la densità di distribuzione f(x).

Sapendo che , troviamo f(x).

Risposta:

Dimostra che la funzione di Laplace . strano: .

Faremo una sostituzione

Facciamo la sostituzione inversa e otteniamo:

= =

In vari rami della scienza e della tecnologia, così come nella pratica metrologica, la legge della distribuzione normale (o semplicemente la legge normale) ha trovato la massima applicazione. Molte variabili continue casuali obbediscono a questa legge. L'uso diffuso della legge della distribuzione normale è spiegato dal teorema del limite centrale. Segue da questo teorema che se la variabile casuale Xè la somma di variabili casuali reciprocamente indipendenti x p x 2, ..., X, l'influenza di ciascuno dei quali sull'intero importo è insignificante, quindi indipendentemente dalle leggi di distribuzione a cui obbedisce ciascuno dei termini x p, il valore stesso X avrà una distribuzione di probabilità vicina al normale e più accurata di più numero termini.

Funzione differenziale distribuzione o densità di distribuzione di probabilità di un casuale valore continuo, obbedendo alla legge normale, ha la forma:

dove x è una variabile casuale variabile (il risultato di osservazioni); Oh, a d è la deviazione standard dei risultati delle osservazioni della componente casuale del loro errore; tx- matematico

aspettativa; inè la base dei logaritmi naturali, e = 2, 71828.

Va ricordato che Oh= un d.

La funzione differenziale della distribuzione normale è espressa graficamente come una curva a campana (curva gaussiana), mostrata in fig. 5.8.

La funzione Ф(А) della distribuzione normale normalizzata (integrale gaussiano) è presentata in forma tabellare nell'Appendice A.

Come si vede in fig. 5.8, la curva di distribuzione normale di una variabile casuale x dei risultati della misurazione è simmetrica rispetto all'aspettativa matematica.

Se x sono i risultati di più osservazioni dello stesso deterministico quantità fisica, allora la curva sopra è simmetrica rispetto all'aspettativa matematica dei risultati di queste osservazioni.

Come accennato in precedenza, se un errore casuale A con una deviazione standard ad è preso come variabile casuale, questa curva è simmetrica rispetto all'asse y (Fig. 5.9).

Posizione della curva P x (x)=/(x) relativo all'origine è determinato dal valore dell'aspettativa matematica. E di solito, in pratica, non viene presa l'aspettativa matematica, ma la media aritmetica dei risultati di osservazioni multiple X.

La forma della curva di distribuzione normale è determinata dal parametro a. Come mostrato in precedenza, più piccola a, più alta diventa la curva e i suoi rami convergono (vedi Fig. 5.4).

La probabilità che il risultato dell'osservazione rientri in un dato intervallo [x p x 2] è uguale all'area sotto la curva di distribuzione normale, delimitata dai limiti inferiore Xj e superiore x 7 dell'intervallo di confidenza (Fig. 5.10).

Esprimiamolo matematicamente:

Modificando le variabili e sostituendole, otteniamo

In teoria della probabilità e metrologia, la cosiddetta funzione di Laplace normalizzata Ф(Z) =

= che è tabulato. Condizioni di razionamento

sono che il valore della media aritmetica dei risultati della misurazione Xè preso uguale a zero e la deviazione standard o = 1. In questo caso, il parametro è il valore

I valori della funzione di Laplace sono riportati nell'Appendice B. Utilizzando la funzione di Laplace, si può determinare la probabilità di ottenere il risultato dell'osservazione come segue X nell'intervallo (x, x 2):

L'espressione sopra dice che la probabilità che il risultato dell'osservazione rientri nell'intervallo dato [х р x-,] è uguale alla differenza tra i valori della funzione di Laplace nei punti dei limiti superiore e inferiore dell'intervallo di confidenza .

Quando si considera questa formula, tenere presente che O(-Z) = -0(Z).

Momenti della funzione di distribuzione dell'errore casuale A, distribuiti secondo la legge normale:

La funzione integrale della distribuzione normale presentata in fig. 5.11 è espresso in termini di differenziale come segue:

Regola dei tre sigma. In pratica, molto spesso è necessario stimare la probabilità che la deviazione di una quantità normalmente distribuita X in valore assoluto non supera una certa dimensione, che di solito viene considerata uguale a numero positivo 8.

In altre parole, è necessario trovare la probabilità che la disuguaglianza Xa 5.

Questa disuguaglianza è equivalente a quanto segue: - b o (a-b) +5).

Usando la regola che la probabilità che una variabile casuale normalmente distribuita cada in un dato intervallo è uguale alla differenza nei valori della funzione di Laplace ai confini di questo intervallo, cioè P(a(3) =

= ", noi abbiamo

In un = 0 otteniamo

Se assumiamo che 5 = Per, otteniamo

Pertanto, la probabilità di deviazione del valore vero della variabile casuale X in valore assoluto sarà inferiore a tre volte la deviazione standard. Questa è la regola dei tre sigma.

È formulato come segue: se la variabile casuale è normalmente distribuita, allora il valore assoluto deviazione massima il risultato della misurazione dall'aspettativa matematica non supera il triplo della deviazione standard.

Questa regola si applica anche come segue: se la distribuzione di una variabile casuale è sconosciuta, ma la condizione specificata nella regola dei tre sigma è soddisfatta, allora c'è motivo di presumere che la variabile casuale oggetto di studio sia normalmente distribuita, altrimenti no.

domande di prova

• 1. Funzione di distribuzione differenziale dei risultati della misurazione e dell'errore casuale, obbedendo alla legge normale. Dipendenza analitica, rappresentazione grafica, momenti iniziali e centrali.
• 2. Funzione integrale corrispondente alla legge di distribuzione normale.
• 3. Regola dei tre sigma.

La legge della distribuzione normale è la più comune nella pratica. La caratteristica principale che la distingue dalle altre leggi è che si tratta di una legge limitante, alla quale si avvicinano altre leggi di distribuzione in condizioni tipiche che molto spesso si incontrano (vedi Capitolo 6).

Definizione. Una variabile casuale continua X halegge di distribuzione normale (Legge di Gauss)con i parametri a e un 2, se la sua densità di probabilità ha la forma

Il termine "normale" non ha del tutto successo. Molti segni obbediscono alla legge normale, ad esempio l'altezza di una persona, la portata di un proiettile e così via. Ma se un segno obbedisce a un altro, diverso dalla normale legge di distribuzione, allora questo non parla affatto dell'"anomalia" del fenomeno associato a questo segno.

Viene chiamata la curva di distribuzione normale normale, o gaussiano, storto. Sulla fig. 4.6, ma, 6 è data la curva normale φ, (x) con i parametri d00 2, cioè io [a a 2), e il grafico della funzione di distribuzione di una variabile casuale X, che ha una legge normale. Si noti che una curva normale è simmetrica rispetto a una retta. x = a, ha un massimo al punto X= ma,

pari , cioè.

E due punti di flesso x = a±

con ordinata

Si può vedere che nell'espressione per la densità della legge normale, i parametri sono indicati dalle lettere ma e st 2 , con cui indichiamo l'aspettativa matematica M(X) e dispersione OH). Una tale coincidenza non è casuale. Consideriamo un teorema che stabilisca il significato probabilistico dei parametri della legge normale.

Teorema. L'aspettativa matematica di una variabile casuale X distribuita secondo la legge normale è uguale al parametro a di questa legge, quelli.

ma la sua varianza - parametro a 2 , cioè

Aspettativa matematica di una variabile casuale X:

Facciamo un cambio di variabile impostando

Quindi i limiti di integrazione non cambiano

e quindi

(il primo integrale è uguale a zero come integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine delle coordinate e il secondo integrale è l'integrale di Eulero-Poisson).

Varianza di una variabile casuale X:

Facciamo lo stesso cambio di variabile x = a + o^2 t, come nel calcolo dell'integrale precedente. Quindi

Applicando il metodo di integrazione per parti, otteniamo

Scopri come cambierà la curva normale quando si cambiano i parametri ma e con 2 (o a). Se a = const, e il parametro cambia a (a x a 3), cioè il centro di simmetria della distribuzione, quindi la curva normale si sposterà lungo l'asse x senza cambiarne la forma (Fig. 4.7).

Se un = const e il parametro a 2 (o a) cambia, quindi cambia l'ordinata

massimo della curva All'aumentare dell'ordinata del massimo

la curva diminuisce, ma poiché l'area sotto qualsiasi curva di distribuzione deve rimanere uguale all'unità, la curva diventa più piatta, allungandosi lungo l'asse x; quando decrescente su, al contrario, la curva normale si allunga verso l'alto, ritirandosi contemporaneamente dai lati. Sulla fig. 4.8 mostra le curve normali con i parametri a 1 (o 2 e a 3, dove o, ma(aka aspettativa matematica) caratterizza la posizione del centro e il parametro a 2 (aka dispersione) caratterizza la forma della curva normale.

Distribuzione normale di una variabile casuale X con parametri ma= 0, m 2 = 1, g.u. X ~ N( 0; 1), viene chiamato standard o normalizzato e la curva normale corrispondente è standard o normalizzato.

La difficoltà di trovare direttamente la funzione di distribuzione di una variabile aleatoria distribuita secondo la legge normale secondo la formula (3.23) e la probabilità che cada in un certo intervallo secondo la formula (3.22) è connessa al fatto che l'integrale della la funzione (4.26) è "non riscuotibile" in funzioni elementari. Pertanto, sono espressi attraverso la funzione

- funzione (integrale di probabilità) Laplace, per cui sono fatte le tavole. Ricordiamo che abbiamo già incontrato la funzione di Laplace considerando il teorema integrale di Moivre - Laplace (vedi Paragrafo 2.3). Anche le sue proprietà sono state considerate lì. Geometricamente, la funzione di Laplace Ф(.с) è l'area sotto la curva normale standard sul segmento [-X; X] (Fig. 4.9) 1 .

Riso. 4.10

Riso. 4.9

Teorema. La funzione di distribuzione di una variabile aleatoria X, distribuita secondo la legge normale, è espressa in termini di funzione di LaplaceФ(х) secondo la formula

Secondo la formula (3.23), la funzione di distribuzione:

Facciamo un cambio di variabile, assumendo X-> -oo? -" -00, quindi

1 Insieme all'integrale di probabilità della forma (4.29), che rappresenta la funzione Ф(х), le sue espressioni sono usate in letteratura anche sotto forma di altre funzioni tabulate:

quali sono le aree della curva normale standard, rispettivamente, sugli intervalli (0; x], (-oo; x], [-x>/2; Xl/2 .

Primo integrale

(a causa dell'uniformità dell'integrando e del fatto che l'integrale di Eulero-Poisson è uguale a [a).

Il secondo integrale, tenendo conto della formula (4.29), è

Geometricamente, la funzione di distribuzione è l'area sotto la curva normale sull'intervallo (-co, x) (Fig. 4.10). Come puoi vedere, si compone di due parti: la prima, sull'intervallo (-oo, ma), uguale a 1/2, cioè metà dell'intera area sotto la curva normale e la seconda, sull'intervallo (i, x),

pari

Considera le proprietà di una variabile casuale distribuita secondo la legge normale.

1. La probabilità di colpire una variabile casuale X, distribuita secondo la legge normale, in intervallo[x 1(x 2 ], è uguale a

Considerato che, secondo la proprietà (3.20), la probabilità P(x,

dove e à 2 sono determinati dalla formula (4.33) (Fig. 4.11). ?

2. La probabilità che la deviazione di una variabile casuale X, distribuita secondo la legge normale, dall'aspettativa matematica a non superi il valore A > 0 ( in valore assoluto), è uguale a

così come la proprietà oddity della funzione di Laplace, otteniamo

dove? \u003d D / o (Fig. 4.12). ?

Sulla fig. 4.11 e 4.12 danno un'interpretazione geometrica delle proprietà della legge normale.

Commento. Considerato nel cap. 2 la formula integrale approssimativa di Moivre - Laplace (2.10) deriva dalla proprietà (4.32) di una variabile aleatoria normalmente distribuita con x (= a, x 2 = b) a = pr e Così

come legge binomiale di distribuzione di una variabile aleatoria x=t con parametri P e R, per cui questa formula è stata ottenuta, a n -> oc tende alla legge normale (vedi cap. 6).

Allo stesso modo, le conseguenze (2.13), (2.14) e (2.16) della formula integrale di Moivre-Laplace per il numero x=t verificarsi di un evento in P test indipendenti e la sua frequenza t/n seguono dalle proprietà (4.32) e (4.34) della legge normale.

Calcoliamo con la formula (4.34) le probabilità P(X-a e) a vari valori di D (usiamo la tabella II delle appendici). Ottenere

Da qui deriva la "regola dei tre sigma".

Se una variabile casuale X ha una legge di distribuzione normale con parametri a e un 2 , cioè M(a; a 2), quindi è quasi certo che i suoi valori siano nell'intervallo(a - per, ma+ Per).

Violazione della "regola dei tre sigma", cioè deviazione di una variabile casuale normalmente distribuita X maggiore di 3a (ma in valore assoluto), è un evento praticamente impossibile, poiché la sua probabilità è molto piccola:

Si noti che la deviazione D in, a cui , è chiamato

probabile deviazione. Per la legge normale D in « 0.675a, cioè per intervallo (ma - 0,675a, ma+ 0,675a) rappresenta la metà dell'area totale sotto la curva normale.

Trova il coefficiente di asimmetria e la curtosi della variabile casuale X, distribuito a norma di legge.

Ovviamente per la simmetria della curva normale rispetto alla verticale x = a, passando per il centro di distribuzione a \u003d M (X), il coefficiente di asimmetria della distribuzione normale L \u003d 0.

Curtosi di una variabile aleatoria normalmente distribuita X troviamo dalla formula (3.37), cioè

dove l'hai imparato momento centrale 4° ordine, trovato dalla formula (3.30) tenendo conto della definizione (4.26), cioè

(omettiamo il calcolo dell'integrale).

In questo modo, la curtosi della distribuzione normale è zero e la pendenza delle altre distribuzioni è definita rispetto a quella normale (ne abbiamo già parlato nel Paragrafo 3.7).

O Esempio 4.9. Assumendo che l'altezza degli uomini di una certa fascia di età sia una variabile casuale normalmente distribuita X con parametri ma= 173 e un 2 = 36:

• 1) Trovare: a) l'espressione per la densità di probabilità e la funzione di distribuzione di una variabile casuale X; b) la proporzione dei costumi della 4a altezza (176-182 cm) e della 3a altezza (170-176 cm), che deve essere prevista nel volume totale di produzione per questa fascia di età; c) quantile x 07 e 10% di punti variabili casuali X.
• 2) Formulare la "regola del tre sigma" per una variabile casuale X. Decisione. 1, a) Usando le formule (4.26) e (4.30), scriviamo

1, b) La quota di semi della 4a altezza (176-182 cm) nella produzione totale è determinata dalla formula (4.32) come probabilità

(Fig. 4.14), poiché secondo le formule (4.33)

La proporzione dei semi della 3a altezza (170-176 cm) potrebbe essere determinata in modo simile alla formula (4.32), ma è più facile farlo usando la formula (4.34), dato che questo intervallo è simmetrico rispetto all'aspettativa matematica ma = M(X) = 173 cioè disuguaglianza 170 X X -173|

(vedi Fig. 4.14;.

1, c) Quantile x 07(vedi paragrafo 3.7) variabile casuale X troviamo dall'equazione (3.29) tenendo conto della formula (4.30):

dove

Secondo la tabella 11 applicazioni che troviamo IO- 0,524 e

Ciò significa che il 70% degli uomini in questa fascia di età ha un'altezza inferiore a 176 cm.

• 10% punto - ego quantile x 09 \u003d 181 cm (trovato in modo simile), cioè Il 10% degli uomini è alto almeno 181 cm.
• 2) È quasi certo che la crescita degli uomini di questa fascia d'età rientri nei limiti da ma- Z = 173 - 3 6 = 155 a un + Zet \u003d 173 + 3 - 6 \u003d \u003d 191 (cm), ad es. 155

  Per le caratteristiche della legge di distribuzione normale osservate all'inizio del paragrafo (e nel capitolo 6), essa occupa un posto centrale nella teoria e nella pratica dei metodi probabilistico-statistici. Il grande significato teorico della legge normale sta nel fatto che con il suo aiuto si ottengono un certo numero di distribuzioni importanti, che vengono considerate di seguito.

  • Le frecce in Fig. 4.11-4.13 contrassegnava condizionatamente l'area e d e le figure corrispondenti sotto la curva normale.
  • I valori della funzione di Laplace F(x) sono determinati dalla tabella. II applicazioni.

Considera la distribuzione normale. Usando la funzioneMS EXCELDISTRIB.NORM.() tracciamo i grafici della funzione di distribuzione e della densità di probabilità. Generiamo un array numeri casuali distribuito secondo la legge normale, stimeremo i parametri di distribuzione, il valore medio e la deviazione standard.

Distribuzione normale(chiamata anche distribuzione gaussiana) è la più importante sia nella teoria che nelle applicazioni del sistema di controllo della qualità. importanza del valore distribuzione normale(Inglese) Normaledistribuzione) in molte aree della scienza deriva dalla teoria della probabilità.

Definizione: valore casuale X distribuito da legge normale se lei ha:

Distribuzione normale dipende da due parametri: μ (mu)- è , e σ ( sigma)- è un ( deviazione standard). Il parametro μ determina la posizione del centro densità di probabilità distribuzione normale, e σ è lo spread rispetto al centro (media).

Nota: L'influenza dei parametri μ e σ sulla forma della distribuzione è descritta nell'articolo su , e in file di esempio nel foglio di lavoro Impostazioni di influenza puoi usare per osservare il cambiamento nella forma della curva.

Distribuzione normale in MS EXCEL

In MS EXCEL, a partire dalla versione 2010, per distribuzione normale esiste una funzione NORM.DIST(), il nome inglese è NORM.DIST(), che consente di calcolare densità di probabilità(vedi formula sopra) e funzione di distribuzione integrale(probabilità che una variabile casuale X sia distribuita su legge normale, assume un valore minore o uguale a x). I calcoli in quest'ultimo caso vengono effettuati secondo la seguente formula:

La distribuzione di cui sopra ha la notazione n(μ; σ). È anche spesso usato con la notazione n(μ; σ 2).

Nota: prima di MS EXCEL 2010, EXCEL disponeva solo della funzione NORMDIS(), che consente anche di calcolare la funzione di distribuzione e la densità di probabilità. DISTRIB.NORM() è stato lasciato in MS EXCEL 2010 per motivi di compatibilità.

distribuzione normale standard

distribuzione normale standard chiamata distribuzione normale con μ=0 e σ=1. La distribuzione di cui sopra ha la notazione n(0;1).

Nota: In letteratura, per una variabile casuale distribuita su standard diritto normale, la designazione speciale z è fissa.

Qualsiasi distribuzione normale può essere convertito in standard tramite sostituzione di variabili z=(X-μ)/σ . Questo processo di trasformazione è chiamato standardizzazione.

Nota: MS EXCEL ha una funzione NORMALIZE() che esegue la trasformazione precedente. Sebbene in MS EXCEL questa trasformazione sia chiamata per qualche motivo normalizzazione. Formule =(x-μ)/σ e =NORMALIZZAZIONE(x;μ;σ) restituirà lo stesso risultato.

In MS EXCEL 2010 per a disposizione funzione speciale NORM.ST.DIST() e la sua legacy NORMSDIST() , che esegue calcoli simili.

Dimostriamo come viene eseguito il processo di standardizzazione in MS EXCEL distribuzione normale n(1,5; 2).

Per fare ciò, calcoliamo la probabilità che una variabile casuale si distribuisca legge normale N(1.5; 2), minore o uguale a 2.5. La formula si presenta così: =DIST.NORM(2.5, 1.5, 2, VERO)=0,691462. Facendo un cambio di variabile z=(2,5-1,5)/2=0,5 , scrivi la formula per il calcolo Distribuzione normale standard:=DIST.ST.NORM(0.5, VERO)=0,691462.

Naturalmente, entrambe le formule danno gli stessi risultati (vedi Fig. foglio di file di esempio Esempio).

notare che standardizzazione si applica solo a (discussione integranteè uguale a VERO), non a densità di probabilità.

Nota: In letteratura, per una funzione che calcola le probabilità di una variabile casuale distribuita su standard diritto normale, la designazione speciale Ф(z) è fissa. In MS EXCEL, questa funzione è calcolata dalla formula
=DIST.ST.NORM(z,TRUE). I calcoli vengono effettuati secondo la formula

Poiché la funzione è pari distribuzione f(x), ovvero f(x)=f(-x), la funzione distribuzione normale standard ha la proprietà Ф(-x)=1-Ф(x).

Funzioni inverse

Funzione STANDARDS.DIST(x;TRUE) calcola la probabilità P che la variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a x. Ma spesso devi fare il calcolo inverso: conoscendo la probabilità P, vuoi calcolare il valore di x. Viene chiamato il valore calcolato di x standard distribuzione normale.

In MS EXCEL per il calcolo quantili utilizzare le funzioni INV.ST.NORM() e INV.NORM.().

Grafici delle funzioni

Il file di esempio contiene grafici della densità di distribuzione probabilità e funzione di distribuzione integrale.

Come sapete, circa il 68% dei valori selezionati dalla popolazione con distribuzione normale, sono entro 1 deviazione standard (σ) da μ (media o aspettativa matematica); circa il 95% è compreso tra 2 σ e già il 99% dei valori è compreso tra 3 σ. Assicurati di questo per distribuzione normale standard puoi scrivere la formula:

=DISTRIB.ST.NORM(1,TRUE)-DIST.ST.NORM(-1,TRUE)

che restituirà un valore di 68,2689% - questa è la percentuale di valori che si trovano entro +/- 1 deviazione standard di mezzo(cm. foglio Grafico nel file di esempio).

Poiché la funzione è pari standard di densità normale distribuzioni: F(X)= F(-X), funzione distribuzione normale standard ha la proprietà F(-x)=1-F(x). Pertanto, la formula di cui sopra può essere semplificata:

=2*DIST.ST.NORM(1;TRUE)-1

Per arbitrario funzioni di distribuzione normale N(μ; σ) calcoli simili dovrebbero essere effettuati usando la formula:

2* DISTRIB.NORM(μ+1*σ;μ;σ;TRUE)-1

I calcoli di probabilità di cui sopra sono necessari per .

Nota: Per comodità di scrittura nel file di esempio vengono create delle formule per i parametri di distribuzione: μ e σ.

Generazione di numeri casuali

Generiamo 3 array di 100 numeri con μ e σ diversi. Per fare questo, nella finestra Generazione numeri casuali impostare i seguenti valori per ogni coppia di parametri:

Nota: Se si imposta l'opzione Dispersione casuale (Seme casuale), quindi puoi scegliere un determinato insieme casuale di numeri generati. Ad esempio, impostando questa opzione su 25, puoi generare gli stessi insiemi di numeri casuali su computer diversi (se, ovviamente, gli altri parametri di distribuzione sono gli stessi). Il valore dell'opzione può assumere valori interi da 1 a 32767. Nome dell'opzione Dispersione casuale può confondere. Sarebbe meglio tradurlo come Imposta il numero con numeri casuali.

Di conseguenza avremo 3 colonne di numeri, sulla base delle quali è possibile stimare i parametri della distribuzione da cui è stato ricavato il campione: μ e σ . Una stima per μ può essere fatta usando la funzione MEDIA(), e per σ usando la funzione DEV.ST.V(), vedi sotto. esempio di foglio di file Generazione.

Nota: Per generare una matrice di numeri distribuiti su legge normale, puoi usare la formula =INV.NORM(RAND();μ;σ). La funzione RAND() genera da 0 a 1, che corrisponde proprio all'intervallo di variazione di probabilità (vedi sotto). esempio di foglio di file Generazione).

Compiti

Compito 1. L'azienda produce fili di nylon con una resistenza media di 41 MPa e una deviazione standard di 2 MPa. Il consumatore desidera acquistare fili con una forza di almeno 36 MPa. Calcola la probabilità che i lotti di filo prodotti da un'azienda per un consumatore soddisfino o superino i requisiti.
Soluzione 1: =1-DIST.NORM(36,41,2,TRUE)

Compito2. L'azienda produce tubi con un diametro esterno medio di 20,20 mm e una deviazione standard di 0,25 mm. Secondo le specifiche, i tubi sono considerati idonei se il diametro è compreso tra 20,00 +/- 0,40 mm. Quale percentuale di tubi fabbricati soddisfa le specifiche?
Soluzione 2: = DISTRIB.NORM(20.00+0.40;20.20;0.25;VERO)- DISTRIB.NORM(20.00-0.40;20.20;0.25)
Nella figura sottostante è evidenziato il range di valori diametrali, che soddisfa i requisiti della specifica.

La soluzione è data foglio di file di esempio Attività.

Compito 3. L'azienda produce tubi con un diametro esterno medio di 20,20 mm e una deviazione standard di 0,25 mm. Il diametro esterno non deve superare certo valore(supponendo che il limite inferiore non sia importante). Quale limite superiore nelle specifiche tecniche deve essere fissato affinché ad esso corrisponda il 97,5% di tutti i prodotti realizzati?
Soluzione 3: =INV.NORM(0.975, 20.20, 0.25)=20,6899 o
=NORM.ST.OBR(0.975)*0.25+20.2(prodotto "de-standardizzazione", vedi sopra)

Compito 4. Trovare parametri distribuzione normale dai valori di 2 (o ).
Supponiamo di sapere che una variabile casuale ha una distribuzione normale, ma i suoi parametri non sono noti, ma solo la 2a percentile(ad esempio, 0,5- percentile, cioè. mediana e 0,95 percentile). Perché è noto, quindi sappiamo, cioè μ. Per trovare è necessario utilizzare .
La soluzione è data foglio di file di esempio Attività.

Nota: prima di MS EXCEL 2010, EXCEL disponeva delle funzioni NORMINV() e NORMINV(), che sono equivalenti a NORM.INV() e NORM.INV() . INV.NORM() e INV.NORM() vengono lasciati in MS EXCEL 2010 e versioni successive solo per motivi di compatibilità.

Combinazioni lineari di variabili casuali normalmente distribuite

È risaputo che combinazione lineare variabili casuali normalmente distribuite X(io) con parametri μ (io) e σ (io) anche normalmente distribuito. Ad esempio, se una variabile casuale Y=x(1)+x(2), allora Y avrà una distribuzione con parametri μ (1)+μ(2) e RADICE(σ(1)^2+ σ(2)^2). Lo verificheremo utilizzando MS EXCEL.