introduzione

La teoria della probabilità è una delle branche classiche della matematica. Ha una lunga storia. Le basi di questo ramo della scienza furono gettate da grandi matematici. Nominerò, ad esempio, Fermat, Bernoulli, Pascal. Successivamente, lo sviluppo della teoria della probabilità è stato determinato nelle opere di molti scienziati. Un grande contributo alla teoria della probabilità è stato dato dagli scienziati del nostro paese: P.L. Chebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. Probabilistici e metodi statistici ora profondamente penetrato nelle applicazioni. Sono usati in fisica, ingegneria, economia, biologia e medicina. Il loro ruolo è particolarmente aumentato in relazione allo sviluppo informatica.

Ad esempio, per studiare fenomeni fisici fare osservazioni o esperimenti. I loro risultati sono solitamente registrati come valori di alcune grandezze osservate. Quando ripetiamo gli esperimenti, troviamo una dispersione nei loro risultati. Ad esempio, ripetendo misurazioni della stessa quantità con lo stesso dispositivo mantenendo determinate condizioni (temperatura, umidità, ecc.), otteniamo risultati che differiscono almeno leggermente, ma differiscono comunque tra loro. Anche misurazioni multiple non consentono di prevedere con precisione il risultato della misurazione successiva. In questo senso, si dice che il risultato di una misurazione è una quantità casuale. Un esempio ancora più chiaro di variabile casuale è il numero di un biglietto vincente della lotteria. Possono essere forniti molti altri esempi di variabili casuali. Tuttavia, nel mondo degli incidenti, si trovano determinati schemi. Apparato matematico studiare tali regolarità e fornisce la teoria della probabilità. Quindi, la teoria della probabilità si occupa analisi matematica eventi casuali e relative variabili casuali.

1. Variabili casuali

Il concetto di variabile casuale è fondamentale nella teoria della probabilità e nelle sue applicazioni. Le variabili casuali, ad esempio, sono il numero di punti persi in un singolo lancio dado, il numero di atomi di radio decaduti per un dato periodo di tempo, il numero di chiamate al centralino telefonico per un certo periodo di tempo, lo scostamento dal valore nominale di una certa dimensione di una parte con un processo tecnologico opportunamente stabilito, ecc. .

Pertanto, una variabile casuale è una quantità che, a seguito di un esperimento, può assumere uno o un altro valore e quale è noto in anticipo.

Le variabili casuali possono essere suddivise in due categorie.

Una variabile casuale discreta è una tale variabile che, a seguito di un esperimento, può assumere determinati valori con una certa probabilità, formando un insieme numerabile (un insieme i cui elementi possono essere numerati).

Questo insieme può essere finito o infinito.

Ad esempio, il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio è una variabile casuale discreta, perché questo valore può assumere un numero infinito, anche se numerabile, di valori.

Una variabile casuale continua è una tale variabile che può assumere qualsiasi valore da un intervallo finito o infinito.

Ovviamente, il numero di valori possibili di una variabile casuale continua è infinito.

Per impostare una variabile casuale non è sufficiente specificarne il valore, è necessario specificare anche la probabilità di tale valore.

2. Distribuzione uniforme

Sia il segmento dell'asse del Bue la scala di uno strumento. Assumiamo che la probabilità che il puntatore colpisca un certo segmento della scala sia proporzionale alla lunghezza di questo segmento e non dipenda dalla posizione del segmento sulla scala. Segno del puntatore dello strumento valore casuale

che può assumere qualsiasi valore dal segmento. Ecco perché (< ) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем , то , откуда .

così

(1)

Ora è facile trovare la funzione F(x) della distribuzione di probabilità della variabile casuale

. Se , allora non prende valori inferiori a un. Lascia ora. Secondo l'assioma dell'addizione delle probabilità. Secondo la formula (1), in cui accettiamo , abbiamo , quindi per otteniamo

Infine, se

, quindi, poiché i valori giacciono sul segmento e, quindi, non superano b. Quindi arriviamo a funzione successiva distribuzioni:

Grafico delle funzioni

mostrato in fig. uno.

Troviamo la densità della distribuzione di probabilità con la formula. Se un

o, allora. Se poi

Così,

(2)

Grafico delle funzioni

mostrato in fig. 2. Nota che ai punti un e b interruzioni di funzione.

Il valore la cui densità di distribuzione è data dalla formula (2) è chiamato variabile casuale distribuita uniformemente.

3. Distribuzione binomiale

Distribuzione binomiale nella teoria della probabilità - la distribuzione del numero di "successi" in una sequenza di n esperimenti casuali indipendenti tali che la probabilità di "successo" in ciascuno di essi sia p.

è una sequenza finita di variabili casuali indipendenti con distribuzione di Bernoulli, cioè

Costruiamo una variabile casuale Y.

Tra le leggi di distribuzione per variabili casuali discrete, la più comune è la legge di distribuzione binomiale. La distribuzione binomiale avviene nelle seguenti condizioni. Sia una variabile casuale il numero di occorrenze di un evento in prove indipendenti, la probabilità che si verifichi in una prova separata è . Questa variabile casuale è una variabile casuale discreta, i suoi possibili valori sono . La probabilità che una variabile casuale assuma un valore è calcolata dalla formula di Bernoulli: .

Definizione 15. La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è chiamata legge di distribuzione binomiale se le probabilità dei valori della variabile casuale sono calcolate utilizzando la formula di Bernoulli. La serie di distribuzione sarà simile a:

Assicuriamoci che la somma delle probabilità di diversi valori della variabile casuale sia uguale a 1. Infatti,

Poiché questi calcoli hanno portato alla formula binomiale di Newton, quindi, la legge di distribuzione è chiamata binomiale. Se una variabile casuale ha una distribuzione binomiale, le sue caratteristiche numeriche sono trovate dalle formule:

(42) (43)

Esempio 15 C'è un lotto di 50 parti. La probabilità di matrimonio per una parte. Sia una variabile casuale il numero di parti difettose in un dato lotto. Trovare valore atteso, varianza e deviazione standard della variabile casuale data. Decisione. Una variabile casuale ha una distribuzione binomiale, poiché la probabilità che assuma un valore viene calcolata utilizzando la formula di Bernoulli. Quindi la sua aspettativa matematica è trovata dalla formula (41), vale a dire, ; la varianza è trovata dalla formula (42): . Quindi la deviazione standard sarà uguale a . Domanda. 200 biglietti della lotteria acquistati, la probabilità di vincere un biglietto è 0,01. Allora il numero medio di biglietti della lotteria che vinceranno è: a) 10; b) 2; in 20; d) 1.

Legge di distribuzione di Poisson

Quando si risolvono molti problemi pratici, si ha a che fare con variabili casuali discrete che obbediscono alla legge di distribuzione di Poisson. Esempi tipici di variabile aleatoria con distribuzione di Poisson sono: il numero di chiamate alla centrale telefonica per un certo tempo; il numero di guasti di apparecchiature complesse nel tempo, se è noto che i guasti sono indipendenti l'uno dall'altro e in media ci sono guasti per unità di tempo.La serie di distribuzione sarà simile a:

Cioè, la probabilità che una variabile casuale assuma un valore è calcolata dalla formula di Poisson: quindi, questa legge è chiamata legge di distribuzione di Poisson. Una variabile casuale distribuita secondo la legge di Poisson ha le seguenti caratteristiche numeriche:

La distribuzione di Poisson dipende da un parametro, che è la media della variabile casuale. La figura 14 mostra forma generale poligono della distribuzione di Poisson per diversi valori del parametro.

La distribuzione di Poisson può essere utilizzata come approssimata nei casi in cui la distribuzione esatta di una variabile casuale è una distribuzione binomiale, mentre il numero di prove è grande e la probabilità che un evento si verifichi in una prova separata è piccola, quindi la distribuzione di Poisson La legge di distribuzione è detta legge degli eventi rari. E inoltre, se l'aspettativa matematica differisce poco dalla varianza, cioè quando . A questo proposito, la distribuzione di Poisson ha un gran numero di diverse applicazioni. Esempio 16 L'impianto invia alla base 500 prodotti di alta qualità. La probabilità che il prodotto venga danneggiato durante il trasporto è 0,002. Trova l'aspettativa matematica del numero di parti danneggiate durante il trasporto. Decisione. La variabile casuale ha una distribuzione di Poisson, quindi . Domanda. La probabilità di distorsione dei caratteri durante la trasmissione del messaggio è 0,004. Affinché il numero medio di simboli alterati sia 4, devono essere trasmessi 100 simboli.

Come è noto, variabile casuale si chiama variabile che può assumere determinati valori a seconda dei casi. Le variabili casuali sono indicate da lettere maiuscole dell'alfabeto latino (X, Y, Z) e dai loro valori - dalle corrispondenti lettere minuscole (x, y, z). Le variabili casuali si dividono in discontinue (discrete) e continue.

Variabile casuale discreta è chiamata variabile casuale che accetta solo un insieme finito o infinito (contabile) di valori con determinate probabilità diverse da zero.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è una funzione che collega i valori di una variabile casuale con le loro corrispondenti probabilità. La legge di distribuzione può essere specificata in uno dei seguenti modi.

1 . La legge di distribuzione può essere data dalla tabella:

dove λ>0, k = 0, 1, 2, … .

in) attraverso funzione di distribuzione F(x) , che determina per ogni valore x la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore di x, cioè F(x) = P(X< x).

Proprietà della funzione F(x)

3 . La legge di distribuzione può essere impostata graficamente – poligono di distribuzione (poligono) (vedi problema 3).

Si noti che per risolvere alcuni problemi non è necessario conoscere la legge di distribuzione. In alcuni casi è sufficiente conoscere uno o più numeri che rispecchiano le caratteristiche più importanti della legge di distribuzione. Può essere un numero che ha il significato di "valore medio" di una variabile casuale, oppure un numero che mostra la dimensione media della deviazione di una variabile casuale dal suo valore medio. Numeri di questo tipo sono chiamati caratteristiche numeriche di una variabile casuale.

Caratteristiche numeriche di base di una variabile casuale discreta :

• Aspettativa matematica (valore medio) di una variabile casuale discreta M(X)=Σ x io p io.
  Per la distribuzione binomiale M(X)=np, per la distribuzione di Poisson M(X)=λ
• Dispersione variabile casuale discreta D(X)=M2 o D(X) = M(X 2) − 2. La differenza X–M(X) è chiamata deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica.
  Per la distribuzione binomiale D(X)=npq, per la distribuzione di Poisson D(X)=λ
• Deviazione standard (deviazione standard) σ(X)=√D(X).

Esempi di risoluzione di problemi sull'argomento "La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta"

Compito 1.

Sono stati emessi 1.000 biglietti della lotteria: 5 di loro vinceranno 500 rubli, 10 vinceranno 100 rubli, 20 vinceranno 50 rubli e 50 vinceranno 10 rubli. Determina la legge della distribuzione di probabilità della variabile casuale X - vincite per biglietto.

Decisione. In base alla condizione del problema, sono possibili i seguenti valori della variabile casuale X: 0, 10, 50, 100 e 500.

Il numero di biglietti senza vincere è 1000 - (5+10+20+50) = 915, quindi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Allo stesso modo, troviamo tutte le altre probabilità: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Presentiamo la legge risultante sotto forma di tabella:

Trova l'aspettativa matematica di X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Compito 3.

Il dispositivo è composto da tre elementi che operano in modo indipendente. La probabilità di fallimento di ogni elemento in un esperimento è 0,1. Elabora una legge di distribuzione per il numero di elementi falliti in un esperimento, costruisci un poligono di distribuzione. Trova la funzione di distribuzione F(x) e tracciala. Trova l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard di una variabile casuale discreta.

Decisione. 1. La variabile casuale discreta X=(numero di elementi non riusciti in un esperimento) ha i seguenti valori possibili: x 1 =0 (nessuno degli elementi del dispositivo non riuscito), x 2 =1 (un elemento non riuscito), x 3 =2 ( due elementi non riusciti ) e x 4 \u003d 3 (tre elementi non riusciti).

I guasti degli elementi sono indipendenti l'uno dall'altro, le probabilità di guasto di ciascun elemento sono uguali tra loro, pertanto è applicabile La formula di Bernoulli . Dato che, per condizione, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determiniamo le probabilità dei valori:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verifica: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Pertanto, la legge di distribuzione binomiale desiderata X ha la forma:

Sull'asse delle ascisse tracciamo i possibili valori x i e sull'asse delle ordinate le probabilità corrispondenti р i . Costruiamo i punti M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Collegando questi punti con segmenti di linea, otteniamo il poligono di distribuzione desiderato.

3. Trova la funzione di distribuzione F(x) = P(X

Per x ≤ 0 abbiamo F(x) = P(X<0) = 0;
per 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
per 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
per 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
per x > 3 sarà F(x) = 1, perché l'evento è certo.

Grafico della funzione F(x)

4. Per la distribuzione binomiale X:
- aspettativa matematica М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersione D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- deviazione standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

VALORI CASUALI

Consideriamo prima alcune leggi di distribuzione per variabili casuali discrete.

4.1 Distribuzione binomiale .

Sia la variabile casuale il numero di occorrenze di un evento in una serie di prove indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità di accadimento di un evento
, ma la probabilità che l'evento non si verifichi
La serie di distribuzione di tale valore ha la forma:

dove
. Si chiama tale serie di distribuzione binomiale . Aspettativa matematica di una variabile casuale
in questo caso si presenta come:

(1)

Per calcolare questa espressione, differenziando rispetto a la seguente espressione:
noi abbiamo

Se moltiplichiamo questa equazione per , noi abbiamo

(2)

Ma
e quindi le parti destre delle uguaglianze (1) e (2) coincidono

Differenziando due volte la stessa espressione, otteniamo

Moltiplicando l'uguaglianza risultante per , noi abbiamo:

Così,

Da qui Toda

Quindi, per la distribuzione binomiale:

Esempio. 20 colpi indipendenti sono stati sparati al bersaglio. Probabilità di colpire ogni colpo
. Trova l'aspettativa matematica, la varianza e l'aspettativa quadratica media del numero di risultati.

Valore casuale
- il numero di hit, distribuito secondo la legge del binomio

4.2 Distribuzione di Poisson.

Definizione. Variabile casuale discreta
Esso ha

Legge di distribuzione di Poisson , se è data da una serie di distribuzione

in cui le probabilità sono determinate dalla formula di Poisson

(3)

dove ( - il numero medio di occorrenze di un evento in una serie di test, in ognuno dei quali la probabilità di occorrenza di un evento è un valore costante
).

Presentiamo il seguente teorema senza dimostrazione.

TEOREMA. L'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale distribuita secondo la legge di Poisson coincidono e sono uguali al parametro questa legge, cioè

Per sufficientemente grande (generalmente con
) e piccoli valori
a condizione che il lavoro
- valore costante (
), la legge di distribuzione di Poisson è una buona approssimazione della legge binomiale, cioè la distribuzione di Poisson è l'estensione asintotica della legge binomiale. A volte questa legge è chiamata la legge degli eventi rari. Secondo la legge di Poisson, ad esempio, vengono distribuiti il ​​numero di guasti di linea automatici, il numero di guasti di sistema nella “modalità normale”, il numero di guasti nel funzionamento della centrale, ecc.

4.3 Distribuzione geometrica.

Definizione. Variabile casuale discreta
Esso ha distribuzione geometrica , Se
, dove per qualche evento,

e la sua serie di distribuzione è:

In questo caso, le probabilità sono una progressione geometrica infinitamente decrescente e la sua somma

TEOREMA. Nel caso di una variabile casuale avente una distribuzione geometrica con il parametro , aspettativa matematica e varianza sono calcolate dalle formule:

Esempio. I colpi vengono sparati al bersaglio fino al primo colpo. Probabilità di colpire ogni colpo
.

Componi una serie di distribuzione di una variabile casuale
- “numero di riscontri”. Trova la sua aspettativa matematica e la deviazione standard.

Secondo il teorema

deviazione standard

Distribuzione ipergeometrica .

Fai uscire la festa
prodotti disponibili
standard. Selezionato casualmente prodotti. Sia la variabile casuale
- il numero di prodotti standard tra quelli selezionati. Ovviamente i possibili valori di questa variabile casuale sono:

Le probabilità dei possibili valori sono calcolate dalla formula:

Per questa variabile casuale, l'aspettativa matematica è calcolata dalla formula
e la varianza:

Esempio. Un'urna contiene 5 palline bianche e 3 nere. 3 palline vengono selezionate casualmente. Compila una serie di distribuzioni di una variabile casuale
- il numero di palline bianche tra quelle selezionate. Trova la sua aspettativa matematica e varianza.

Possibili valori di questa variabile casuale: 0, 1, 2, 3. trova le loro probabilità:

Otteniamo una serie di distribuzione:

L'aspettativa matematica può essere calcolata direttamente usando formule ben note, oppure puoi usare le formule del teorema. Nel nostro esempio

. Quindi

Consideriamo ora le principali leggi di distribuzione di variabili aleatorie continue.

4.5 Distribuzione uniforme.

Definizione. Una variabile casuale continua ha una distribuzione uniforme sull'intervallo
, se ha un valore costante su questo segmento ed è uguale a zero al di fuori di questo segmento, cioè il suo grafico di densità è simile a:

Poiché l'area sotto il grafico della densità di distribuzione deve essere uguale a uno, allora
Quindi

La sua funzione di distribuzione ha la forma:

e il suo programma

4.6 La distribuzione esponenziale .

Nelle applicazioni pratiche della teoria della probabilità (ad esempio,

misure, nel campo delle code, della ricerca operativa, della teoria dell'affidabilità, in fisica, biologia, ecc.) si ha spesso a che fare con variabili casuali che hanno la cosiddetta distribuzione esponenziale o esponenziale.

Definizione. Numero casuale continuo
distribuito mostra legge , se la sua densità di distribuzione di probabilità ha la forma:

Grafico di questa funzione:

0

La sua funzione di distribuzione è:

ha un programma

o

Valore atteso:

Esempio. Sia la variabile casuale
- il tempo di funzionamento di un certo meccanismo ha una distribuzione esponenziale. Determinare la probabilità che il meccanismo funzioni per almeno 1000 ore se il tempo medio del suo funzionamento è di 800 ore.

Dalla condizione del problema, l'aspettativa matematica del funzionamento del meccanismo
, un
. Quindi

Quindi,

Probabilità richiesta:

Commento. La distribuzione esponenziale si riferisce uno senza parametri leggi di distribuzione (dipende solo da ).

4.7 Distribuzione normale.

Definizione.normale è chiamata distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua, che ha una densità di distribuzione di probabilità determinata dalla formula:

(1)

Lo vediamo la distribuzione normale è definita da due parametri : e . Per specificare una distribuzione normale è sufficiente specificare questi due parametri.

La legge della distribuzione normale è molto usata nei problemi pratici. Appare quando la variabile casuale
è il risultato dell'azione di un gran numero di fattori diversi. Ciascun fattore influisce leggermente sulla variabile casuale ed è impossibile dire quale di essi influisca più degli altri. Esempi di variabili casuali con distribuzione normale sono: deviazione delle dimensioni dei pezzi realizzati dalla macchina da quelle standard; errori di misurazione; deviazioni quando si spara a un bersaglio, ecc.

Il modello principale che distingue la legge normale dalle altre leggi è che è la legge limitante, a cui si avvicinano altre leggi, cioè con un valore sufficientemente elevato somma di variabili casuali indipendenti
, soggetta a qualsiasi legge sulla distribuzione, avrà una distribuzione arbitrariamente vicina alla normale.

La funzione di distribuzione di una variabile casuale normalmente distribuita ha la forma

(2)

Per definizione dell'aspettativa matematica di una variabile casuale continua,

Introduciamo una nuova variabile

Tenendo conto che i nuovi limiti di integrazione sono uguali ai vecchi, otteniamo

Il primo termine è uguale a zero, come integrale su un intervallo simmetrico di una funzione dispari. Il secondo dei termini è (Integrale di Poisson
).

Quindi, l'aspettativa matematica di una variabile casuale normalmente distribuita

Per definizione della dispersione di una variabile aleatoria continua, dato che
, noi abbiamo

Introduciamo una nuova variabile

Ottenere
Applicando la formula dell'integrazione per parti e i calcoli precedenti, otteniamo
Quindi
Pertanto, il secondo parametro della distribuzione normale è la deviazione standard.

Nota.normalizzato è chiamata distribuzione normale con parametri
La densità della distribuzione normalizzata è data dalla funzione:

(3)

i cui valori possono essere trovati direttamente, oppure utilizzare le tabelle corrispondenti che si trovano in tutte le directory. La funzione di distribuzione normalizzata ha la forma
. Quindi la funzione di distribuzione normale generale data dalla formula (2) è espressa dalla formula
. La probabilità di colpire una variabile casuale normalizzata normalmente distribuita
nell'intervallo
determinato utilizzando la funzione di Laplace
, i cui valori sono riportati anche nelle tabelle. Infatti,

Dato che
(secondo la proprietà della densità di distribuzione), a causa della simmetria della funzione
rispetto al punto
:

Quindi

Viene chiamato il grafico della densità di distribuzione normale curva normale o curva gaussiana .

Esploriamo la funzione:

È definito sull'intera riga dei numeri ed è positivo per tutti . Con aumento illimitato questa funzione tende a zero, cioè
La derivata di questa funzione
.

La derivata è 0 al punto
e cambia il segno a questo punto da "+" a "-", cioè
- punto massimo ea questo punto
. Avendo trovato la derivata seconda della funzione, possiamo scoprire che il grafico della funzione ha inflessioni nei punti
. Schematicamente, il grafico si presenta così:

0

Per una variabile casuale normalmente distribuita, la probabilità di cadere in un dato intervallo
è calcolato come segue:

Facciamo un sostituto
.

dove
.

Così,

(4)

Esempio. La massa del carro è una variabile casuale distribuita secondo la legge normale con un'aspettativa matematica di 65 tonnellate e una deviazione standard
m. Trova la probabilità che il prossimo carro abbia una massa non superiore a 70 tonnellate e non inferiore a 60 tonnellate

A volte è necessario calcolare la probabilità che un valore casuale modulo devii dal valore medio di meno di un valore , cioè.
. Per calcolare questa probabilità, possiamo utilizzare la formula precedente. Infatti:

tenendo conto della stranezza della funzione
. Quindi,

(5)

Esempio. La probabilità che un casuale distribuito normalmente con aspettativa matematica
deviare dal valore medio di meno di
è uguale a 0,09. Qual è la probabilità che questa variabile casuale rientri nell'intervallo (30, 35)?

Per condizione,
Quindi
Secondo la tabella dei valori della funzione di Laplace, otteniamo:
Quindi la probabilità richiesta, secondo la formula (4),

Regola dei tre sigma.

Nella formula (5) impostiamo
, noi abbiamo

Se un
e quindi
, noi abbiamo:

quelli. la probabilità che la deviazione nel valore assoluto di una variabile casuale dal valore medio sia inferiore a tre volte la deviazione standard è 0,9973, cioè molto vicino all'unità.

La regola del tre sigma è quella per una variabile casuale normalmente distribuita il valore assoluto della sua deviazione dalla media non supera il triplo della deviazione quadratica media. In pratica, questa regola viene applicata come segue: se la distribuzione di una variabile casuale è sconosciuta, ma per i suoi parametri è soddisfatta la regola dei tre sigma, allora c'è motivo di presumere che sia distribuita secondo la legge normale.

Possiamo individuare le leggi più comuni di distribuzione di variabili casuali discrete:

• Legge di distribuzione binomiale
• Legge di distribuzione di Poisson
• Legge di distribuzione geometrica
• Legge di distribuzione ipergeometrica

Per date distribuzioni di variabili casuali discrete, il calcolo delle probabilità dei loro valori, nonché delle caratteristiche numeriche (aspettativa matematica, varianza, ecc.) viene effettuato secondo determinate "formule". Pertanto, è molto importante conoscere questi tipi di distribuzioni e le loro proprietà di base.

1. Legge della distribuzione binomiale.

Una variabile casuale discreta $X$ è soggetta alla distribuzione di probabilità binomiale se assume i valori $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilità $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\sinistra(1-p\destra))^(n-k)$. Infatti, la variabile casuale $X$ è il numero di occorrenze dell'evento $A$ in prove indipendenti da $n$. Legge di distribuzione di probabilità per la variabile casuale $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \punti & n \\
\hline
p_i & P_n\sinistra(0\destra) & P_n\sinistra(1\destra) & \punti & P_n\sinistra(n\destra) \\
\hline
\end(array)$

Per una tale variabile casuale, l'aspettativa è $M\left(X\right)=np$, la varianza è $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Esempio . Ci sono due bambini in famiglia. Assumendo le probabilità di nascita di un maschio e di una femmina pari a $0,5$, trova la legge di distribuzione della variabile casuale $\xi $ - il numero di maschi nella famiglia.

Sia la variabile casuale $\xi $ il numero di ragazzi nella famiglia. I valori che $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ possono assumere. Le probabilità di questi valori possono essere trovate con la formula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, dove $n =2$ - numero di prove indipendenti, $p=0,5$ - probabilità che si verifichi un evento in una serie di prove $n$. Noi abbiamo:

$P\sinistra(\xi =0\destra)=C^0_2\cpunto (0.5)^0\cpunto (\sinistra(1-0.5\destra))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\sinistra(\xi =1\destra)=C^1_2\cpunto 0.5\cpunto (\sinistra(1-0.5\destra))^(2-1)=2\cpunto 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\sinistra(\xi =2\destra)=C^2_2\cpunto (0,5)^2\cpunto (\sinistra(1-0,5\destra))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Allora la legge di distribuzione della variabile aleatoria $\xi $ è la corrispondenza tra i valori $0,\ 1,\ 2$ e le loro probabilità, ovvero:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi e 0 e 1 e 2 \\
\hline
P(\xi) e 0,25 e 0,5 e 0,25 \\
\hline
\end(array)$

La somma delle probabilità nella legge di distribuzione deve essere uguale a $1$, ovvero $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i))))=0,25+0,5+0, 25 =$1.

Aspettativa $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varianza $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, deviazione standard $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approssimativamente $0.707.

2. Legge di distribuzione di Poisson.

Se una variabile casuale discreta $X$ può assumere solo valori interi non negativi $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilità $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Commento. La particolarità di questa distribuzione è che, sulla base di dati sperimentali, troviamo le stime $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, se le stime ottenute sono vicine tra loro, allora hanno motivo di affermare che la variabile aleatoria è soggetta alla legge di distribuzione di Poisson.

Esempio . Esempi di variabili casuali soggette alla legge di distribuzione di Poisson possono essere: il numero di auto che domani saranno servite da una stazione di servizio; il numero di articoli difettosi nel prodotto fabbricato.

Esempio . L'impianto ha inviato $ 500 $ di prodotti alla base. La probabilità di danni al prodotto durante il trasporto è di $ 0,002. Trova la legge di distribuzione della variabile casuale $X$ uguale al numero di prodotti danneggiati; che è uguale a $M\sinistra(X\destra),\ D\sinistra(X\destra)$.

Sia una variabile casuale discreta $X$ il numero di prodotti danneggiati. Tale variabile casuale è soggetta alla legge di distribuzione di Poisson con il parametro $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Le probabilità dei valori sono $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\sinistra(X=0\destra)=((1^0)\sopra (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\sinistra(X=1\destra)=((1^1)\sopra (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\sinistra(X=2\destra)=((1^2)\sopra (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\sinistra(X=3\destra)=((1^3)\sopra (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\sinistra(X=4\destra)=((1^4)\sopra (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\sinistra(X=5\destra)=((1^5)\sopra (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\sinistra(X=6\destra)=((1^6)\sopra (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\sinistra(X=k\destra)=(((\lambda )^k)\sopra (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

La legge di distribuzione della variabile casuale $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\oltre (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Per una tale variabile casuale, l'aspettativa matematica e la varianza sono uguali tra loro e uguali al parametro $\lambda $, ovvero $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Legge geometrica della distribuzione.

Se una variabile casuale discreta $X$ può assumere solo valori naturali $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilità $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ destra)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, allora diciamo che tale variabile casuale $X$ è soggetta alla legge geometrica della distribuzione di probabilità. In effetti, la distribuzione geometrica sembra essere le prove di Bernoulli al primo successo.

Esempio . Esempi di variabili casuali che hanno una distribuzione geometrica possono essere: il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio; numero di test del dispositivo prima del primo guasto; il numero di lanci di monete prima del primo heads up, e così via.

L'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale soggetta ad una distribuzione geometrica sono rispettivamente pari a $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\ a destra)/p^ 2$.

Esempio . Sulla strada per il movimento dei pesci verso il luogo di deposizione delle uova c'è un lucchetto di $ 4 $. La probabilità che un pesce passi attraverso ogni chiusa è $p=3/5$. Costruisci una serie di distribuzione della variabile casuale $X$ - il numero di serrature superate dal pesce prima della prima sosta alla chiusa. Trova $M\sinistra(X\destra),\ D\sinistra(X\destra),\ \sigma \sinistra(X\destra)$.

Sia la variabile casuale $X$ il numero di chiuse superate dal pesce prima della prima sosta alla chiusa. Tale variabile casuale è soggetta alla legge geometrica della distribuzione di probabilità. I valori che la variabile casuale $X può assumere sono: 1, 2, 3, 4. Le probabilità di questi valori sono calcolate dalla formula: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, dove: $ p=2/5$ - probabilità che il pesce venga catturato attraverso la chiusa, $q=1-p=3/5$ - probabilità che il pesce passi attraverso la chiusa, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\sinistra(X=1\destra)=((2)\sopra (5))\cdot (\sinistra(((3)\sopra (5))\destra))^0=((2)\ oltre(5))=0,4;$

$P\sinistra(X=2\destra)=((2)\sopra (5))\cdot ((3)\sopra (5))=((6)\sopra (25))=0,24; $

$P\sinistra(X=3\destra)=((2)\sopra (5))\cdot (\sinistra(((3)\sopra (5))\destra))^2=((2)\ oltre (5))\cdot ((9)\oltre (25))=((18)\oltre (125))=0,144;$

$P\sinistra(X=4\destra)=((2)\sopra (5))\cdot (\sinistra(((3)\sopra (5))\destra))^3+(\sinistra(( (3)\sopra (5))\destra))^4=((27)\sopra (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i e 1 e 2 e 3 e 4 \\
\hline
P\sinistra(X_i\destra) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(array)$

Valore atteso:

$M\sinistra(X\destra)=\somma^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cpunto 0.4+2\cpunto 0.24+3\cpunto 0.144+4\cpunto 0.216=2.176.$

Dispersione:

$D\sinistra(X\destra)=\somma^n_(i=1)(p_i(\sinistra(x_i-M\sinistra(X\destra)\destra))^2=)0,4\cdot (\ sinistra(1-2,176\destra))^2+0,24\cpunto (\sinistra(2-2,176\destra))^2+0,144\cpunto (\sinistra(3-2,176\destra))^2+$

$+\ 0,216\cpunto (\sinistra(4-2,176\destra))^2\circa 1,377.$

Deviazione standard:

$\sigma \sinistra(X\destra)=\sqrt(D\sinistra(X\destra))=\sqrt(1.377)\circa 1.173.$

4. Legge di distribuzione ipergeometrica.

Se ci sono oggetti $N$, tra i quali gli oggetti $m$ hanno la proprietà data. Casualmente, senza sostituzione, vengono estratti $n$ oggetti, tra i quali ci sono $k$ oggetti che hanno una determinata proprietà. La distribuzione ipergeometrica permette di stimare la probabilità che esattamente gli oggetti $k$ in un campione abbiano una determinata proprietà. Sia la variabile casuale $X$ il numero di oggetti nel campione che hanno una data proprietà. Quindi le probabilità dei valori della variabile casuale $X$:

$P\sinistra(X=k\destra)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\sopra (C^n_N))$

Commento. La funzione statistica HYPERGEOMET della procedura guidata della funzione $f_x$ di Excel consente di determinare la probabilità che un certo numero di prove abbia esito positivo.

$f_x\a $ statistico$\a $ IPERGEOMETO$\a $ OK. Apparirà una finestra di dialogo che devi compilare. Nel grafico Numero_di_successi_nel_campione specificare il valore di $k$. misura di provaè uguale a $n$. Nel grafico Numero_di_successi_nella_popolazione specificare il valore di $m$. Popolazione_dimensioneè uguale a $N$.

L'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale discreta $X$ soggetta a una legge di distribuzione geometrica sono $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\sopra (N))\destra)\sinistra(1-((n)\sopra (N))\destra))\sopra (N-1))$.

Esempio . Il dipartimento crediti della banca impiega 5 specialisti con formazione finanziaria superiore e 3 specialisti con formazione giuridica superiore. La direzione della banca ha deciso di inviare 3 specialisti per la formazione avanzata, selezionandoli casualmente.

a) Fare una serie di distribuzione del numero di specialisti con formazione finanziaria superiore che possono essere indirizzati alla formazione avanzata;

b) Trova le caratteristiche numeriche di questa distribuzione.

Sia la variabile casuale $X$ il numero di specialisti con un'istruzione finanziaria superiore tra i tre selezionati. Valori che possono assumere $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Questa variabile casuale $X$ è distribuita secondo la distribuzione ipergeometrica con i seguenti parametri: $N=8$ - dimensione della popolazione, $m=5$ - numero di successi nella popolazione, $n=3$ - dimensione del campione, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - numero di successi nel campione. Quindi le probabilità $P\left(X=k\right)$ possono essere calcolate usando la formula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ su C_( N)^(n) ) $. Abbiamo:

$P\sinistra(X=0\destra)=((C^0_5\cpunto C^3_3)\sopra (C^3_8))=((1)\sopra (56))\circa 0,018;$

$P\sinistra(X=1\destra)=((C^1_5\cpunto C^2_3)\sopra (C^3_8))=((15)\sopra (56))\circa 0,268;$

$P\sinistra(X=2\destra)=((C^2_5\cpunto C^1_3)\sopra (C^3_8))=((15)\sopra (28))\circa 0,536;$

$P\sinistra(X=3\destra)=((C^3_5\cpunto C^0_3)\sopra (C^3_8))=((5)\sopra (28))\circa 0,179.$

Quindi la serie di distribuzione della variabile casuale $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i e 0 e 1 e 2 e 3 \\
\hline
p_i e 0,018 e 0,268 e 0,536 e 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Calcoliamo le caratteristiche numeriche della variabile aleatoria $X$ utilizzando le formule generali della distribuzione ipergeometrica.

$M\sinistra(X\destra)=((nm)\sopra (N))=((3\cpunto 5)\sopra (8))=((15)\sopra (8))=1,875.$

$D\sinistra(X\destra)=((nm\sinistra(1-((m)\sopra (N))\destra)\sinistra(1-((n)\sopra (N))\destra)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\destra))\sopra (8-1))=((225)\sopra (448))\circa 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approssimativamente 0.7085.$