Indicando il momento di forza relativo agli assi , e , possiamo scrivere:

dove , e moduli di proiezioni di forze su piani perpendicolari all'asse rispetto al quale è determinato il momento; l- spalle uguali in lunghezza

perpendicolari dal punto di intersezione dell'asse con il piano alla proiezione o alla sua continuazione; il segno più o meno viene posizionato a seconda della direzione in cui sta girando la spalla l il vettore di proiezione, se si osserva il piano di proiezione dalla direzione positiva dell'asse; quando il vettore di proiezione tende a ruotare il braccio in senso antiorario, concordiamo di considerare il momento come positivo e viceversa.

Di conseguenza, momento di forza attorno all'asse detta quantità algebrica (scalare) uguale al momento della proiezione della forza su un piano perpendicolare all'asse, rispetto al punto di intersezione dell'asse con il piano.

La figura precedente illustra la sequenza di determinazione del momento della forza attorno all'asse Z. Se la forza è data e l'asse è selezionato (o specificato), allora: a) viene selezionato un piano perpendicolare all'asse (il piano XOY) ; b) si proietta la forza F su questo piano e si determina il modulo di tale proiezione; c) dal punto 0 dell'intersezione dell'asse con il piano si abbassa la OS perpendicolare alla proiezione e si determina la spalla l = OS; d) guardando il piano XOU dal lato della direzione positiva dell'asse Z (cioè, in questo caso, dall'alto), vediamo che l'OS è ruotato dal vettore contro il clock, il che significa

Il momento della forza attorno all'asse è zero se la forza e l'asse giacciono sullo stesso piano: a) la forza interseca l'asse (in questo caso l = 0);

b) la forza è parallela all'asse ();

c) la forza agisce lungo l'asse ( l=0 e ).

Sistema spaziale di forze localizzate arbitrariamente.

Condizione di equilibrio

In precedenza, il processo per portare le forze a un punto è stato descritto in dettaglio ed è stato dimostrato che qualsiasi sistema piatto di forze è ridotto a una forza: il vettore principale e una coppia, il cui momento è chiamato momento principale e la forza e la coppia equivalente a questo sistema di forze agisce sullo stesso piano del sistema dato. Quindi se punto principale rappresentare come un vettore, quindi vettore principale e punto principale sistema piatto le forze sono sempre perpendicolari tra loro.

Argomentando in modo simile, si può portare costantemente al punto di forza del sistema spaziale. Ma ora il vettore principale è il vettore di chiusura del poligono di forza spaziale (piuttosto che piatto); il momento principale non può più essere ottenuto per addizione algebrica dei momenti di queste forze rispetto al punto di riduzione. Quando ridotte a un punto di un sistema spaziale di forze, le coppie attaccate agiscono su piani diversi ed è consigliabile rappresentare i loro momenti sotto forma di vettori e sommarli geometricamente. Pertanto, il vettore principale ottenuto come risultato della riduzione del sistema spaziale delle forze ( somma geometrica forze del sistema) e il momento principale (la somma geometrica dei momenti delle forze rispetto al punto di riduzione), in generale, non sono perpendicolari tra loro.

Uguaglianze vettoriali ed esprimono il necessario e condizione sufficiente equilibrio di un sistema spaziale di forze localizzate arbitrariamente.

Se il vettore principale è uguale a zero, anche le sue proiezioni su tre assi reciprocamente perpendicolari sono uguali a zero. Se il momento principale è uguale a zero, allora tre delle sue componenti sullo stesso asse sono uguali a zero.

Ciò significa che un sistema spaziale arbitrario di forze è determinabile staticamente solo se il numero di incognite non supera sei.

Tra i problemi di statica, ci sono spesso quelli in cui un sistema spaziale di forze parallele tra loro agisce sul corpo.

IN sistema spaziale non dovrebbero esserci più di tre forze sconosciute parallele, altrimenti il ​​problema diventa staticamente indeterminato.

Capitolo 6

Concetti di base della cinematica

Ramo della meccanica che si occupa dello studio del moto corpi materiali senza tener conto delle loro masse e delle forze che agiscono su di esse, è chiamato cinematica.

Movimento- la principale forma di esistenza dell'intero mondo materiale, pace ed equilibrio- casi speciali.

Qualsiasi movimento, compreso quello meccanico, avviene nello spazio e nel tempo.

Tutti i corpi sono costituiti da punti materiali. Per avere un'idea corretta del movimento dei corpi, è necessario iniziare a studiare con il movimento di un punto. Il movimento di un punto nello spazio è espresso in metri, nonché in unità di lunghezza, tempo - in secondi sottomultipli (cm, mm) o multipli (km). Nella pratica o nelle situazioni della vita, il tempo è spesso espresso in minuti o ore. Quando si considera l'uno o l'altro movimento di un punto, il tempo viene contato da un certo momento iniziale predeterminato ( T= 0).

Viene chiamato il luogo delle posizioni di un punto mobile nel sistema di riferimento in esame traiettoria. A seconda del tipo di traiettoria, il movimento di un punto è suddiviso in rettilineo e curvilineo. La traiettoria di un punto può essere definita e preimpostata. Ad esempio, le traiettorie satelliti artificiali Le stazioni terrestri e interplanetarie vengono calcolate in anticipo, o se prendiamo gli autobus che si spostano per la città punti materiali, quindi si conoscono anche le loro traiettorie (percorsi). In questi casi, la posizione di un punto in ogni momento è determinata dalla distanza (coordinata dell'arco) S, cioè la lunghezza della sezione della traiettoria, contata da alcuni suoi punti fissi, presa come origine. Il conteggio delle distanze dall'inizio della traiettoria può essere effettuato in entrambe le direzioni, quindi il conteggio in una direzione è condizionatamente positivo e in

opposto - per negativo , quelli. la distanza S è una quantità algebrica. Può essere positivo (S > 0) o negativo (S<0).

Quando ci si sposta, passa un punto per un certo periodo di tempo strada L , che si misura lungo il percorso nel senso di marcia.

Se il punto cominciasse a muoversi non dall'origine O, ma da una posizione alla distanza iniziale S o allora

Si chiama la grandezza vettoriale che caratterizza in un dato momento la direzione e la velocità di movimento di un punto velocità.

La velocità di un punto in ogni momento del suo movimento è diretta tangenzialmente alla traiettoria.

Si noti che questa uguaglianza vettoriale caratterizza solo la posizione e il modulo della velocità media nel tempo:

dov'è il percorso percorso dal punto nel tempo.

Il modulo della velocità media è uguale alla distanza percorsa divisa per il tempo durante il quale è stata percorsa questa traiettoria.

Viene chiamata la grandezza vettoriale che caratterizza la velocità di cambio di direzione e il valore numerico della velocità accelerazione.

Con moto uniforme lungo una traiettoria curvilinea, il punto ha anche accelerazione, poiché in questo caso cambia anche la direzione della velocità.

L'unità di accelerazione è generalmente assunta come .

6.2. Metodi per specificare il movimento di un punto

Ci sono tre modi: naturale, coordinata, vettore.

Il modo naturale per specificare il movimento di un punto. Se, oltre alla traiettoria su cui è segnata l'origine O, la dipendenza

tra la distanza S e il tempo t si chiama questa equazione la legge del moto di un punto lungo una data traiettoria.

Sia data, ad esempio, una traiettoria, il movimento di un punto lungo la quale è determinato dall'equazione . Poi a volte, cioè il punto è all'origine O; in un momento, il punto è lontano; in un momento, il punto è distante dall'origine O.

Metodo delle coordinate per specificare il movimento del punto. Quando la traiettoria di un punto non è nota in anticipo, la posizione del punto nello spazio è determinata da tre coordinate: l'ascissa X, l'ordinata Y e l'applicata Z.

O escluso il tempo.

Queste equazioni esprimono legge del moto di un punto in un sistema di coordinate rettangolari (OXYZ).

Nel caso particolare, se il punto si muove su un piano, la legge del moto del punto è espressa da due equazioni: o .

Per esempio. Il movimento di un punto in un sistema di coordinate piane è dato dalle equazioni e ( X e Y– cm, t – c). Poi alla volta e , cioè il punto è all'origine; al momento le coordinate del punto , ; al momento le coordinate del punto , eccetera.

Conoscendo la legge del moto di un punto in un sistema di coordinate rettangolare, si può determinare equazione della traiettoria del punto.

Ad esempio, eliminando il tempo t dalle equazioni precedenti e , otteniamo l'equazione della traiettoria . Come puoi vedere, in questo caso il punto si muove lungo una retta passante per l'origine.

6.3. Determinare la velocità di un punto in modo naturale
compiti del suo movimento

Lascia che il punto A si muova lungo una data traiettoria secondo l'equazione , è necessario determinare la velocità del punto all'istante t.

Per un periodo di tempo, il punto ha percorso un percorso , viene chiamato il valore della velocità media lungo questo percorso tangente, o accelerazione tangenziale. Modulo di accelerazione tangenziale

,

uguale alla derivata della velocità in un dato momento, o, altrimenti, la seconda derivata della distanza nel tempo, caratterizza la velocità di variazione del valore della velocità.

È dimostrato che il vettore è perpendicolare alla tangente in qualsiasi momento, quindi è chiamato normale accelerazione.

Ciò significa che il modulo di accelerazione normale è proporzionale alla seconda potenza del modulo di velocità in un dato momento, inversamente proporzionale al raggio di curvatura della traiettoria in un dato punto, e caratterizza la velocità di variazione nella direzione della velocità .

Modulo di accelerazione

Momento di forza attorno all'asseè il momento della proiezione di una forza su un piano perpendicolare all'asse, relativo al punto di intersezione dell'asse con questo piano

Il momento attorno a un asse è positivo se la forza tende a ruotare un piano perpendicolare all'asse in senso antiorario se vista verso l'asse.

Il momento della forza attorno all'asse è 0 in due casi:

Se la forza è parallela all'asse

Se la forza attraversa l'asse

Se la linea d'azione e l'asse giacciono sullo stesso piano, il momento di forza attorno all'asse è 0.

27. La relazione tra il momento della forza attorno a un asse e il momento della forza vettore attorno a un punto.

Mz(F)=Mo(F)*cosαIl momento della forza, relativo all'asse, è uguale alla proiezione del vettore del momento delle forze, relativo al punto dell'asse, su questo asse.

28. Il principale teorema della statica sul portare il sistema di forze in un dato centro (teorema di Poinsot). Vettore principale e momento principale del sistema di forze.

Qualsiasi sistema spaziale di forze nel caso generale può essere sostituito da un sistema equivalente costituito da una forza applicata in un punto del corpo (centro di riduzione) e uguale al vettore principale di questo sistema di forze, e da una coppia di forze, il cui momento è uguale al momento principale di tutte le forze relative al centro di riferimento selezionato.

Il vettore principale del sistema di forze chiamato vettore R uguale alla somma vettoriale di queste forze:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F io .

Per un sistema di forze piatto, il suo vettore principale giace nel piano d'azione di queste forze.

Il momento principale del sistema di forze intorno al centro O è chiamato vettore l O , uguale alla somma dei momenti vettoriali di queste forze rispetto al punto O:

l O= m O( F 1) + m O( F 2) + ... + m O( F n) = m O( F io).

Vettore R non dipende dalla scelta del centro O e del vettore l O quando si cambia la posizione del centro O generalmente può cambiare.

Teorema di Poinsot: un sistema spaziale arbitrario di forze può essere sostituito da una forza con il vettore principale del sistema di forze e una coppia di forze con il momento principale senza disturbare lo stato del corpo rigido. Il vettore principale è la somma geometrica di tutte le forze agenti su un corpo rigido e si trova nel piano d'azione delle forze. Il vettore principale è considerato attraverso le sue proiezioni sugli assi delle coordinate.

Per portare forze ad un dato centro applicate in un punto di un corpo rigido, è necessario: 1) trasferire la forza su se stessa parallelamente ad un dato centro senza modificare il modulo di forza; 2) in un dato centro, applica una coppia di forze, il cui momento vettore è uguale al momento vettore della forza trasferita rispetto al nuovo centro, questa coppia è chiamata coppia attaccata.

Dipendenza del momento principale dalla scelta del centro di riduzione. Il momento principale relativo al nuovo centro di riduzione è uguale alla somma geometrica del momento principale relativo al vecchio centro di riduzione e del prodotto vettoriale del raggio vettore che collega il nuovo centro di riduzione con il vecchio, e il vettore principale.

29 Casi particolari di riduzione del sistema spaziale delle forze

	Valori del vettore principale e del momento principale	Risultato del cast
		Il sistema di forze è ridotto a una coppia di forze, il cui momento è uguale al momento principale (il momento principale del sistema di forze non dipende dalla scelta del centro di riduzione O).
		Il sistema di forze si riduce ad una risultante uguale al passaggio per il centro O.
		Il sistema di forze è ridotto ad una risultante uguale al vettore principale e parallela ad esso e separata da esso a distanza. La posizione della linea d'azione della risultante deve essere tale che la direzione del suo momento relativo al centro di riduzione O coincida con la direzione relativa al centro O.
	, e i vettori non sono perpendicolari	Il sistema di forze è ridotto a una dinamo (vite di alimentazione), una combinazione di una forza e una coppia di forze che giacciono su un piano perpendicolare a questa forza.
		Il sistema di forze applicate a un corpo rigido è equilibrato.

30. Riduzione al dinamismo. In meccanica, una dinamo è un tale insieme di forze e una coppia di forze () che agiscono su un corpo rigido, in cui la forza è perpendicolare al piano d'azione della coppia di forze. Usando il momento vettore di una coppia di forze, si può anche definire una dinamo come una combinazione di una forza e una coppia la cui forza è parallela al momento vettore di una coppia di forze.

Equazione dell'asse elicoidale centrale Supponiamo che nel centro di riduzione, preso come origine delle coordinate, si ottenga il vettore principale con le proiezioni sugli assi delle coordinate e il momento principale con le proiezioni Quando il sistema di forze si riduce al centro di riduzione O 1 (Fig. 30), si ottiene una dinamo con il vettore principale ed il momento principale , Vettori e come formante un linam. sono paralleli e quindi possono differire solo di un fattore scalare k 0. Abbiamo, poiché .I momenti principali e , soddisfano la relazione

Lo studio delle proprietà di una coppia di forze, che è uno degli elementi base della statica, richiede l'introduzione di un importante concetto del momento della forza relativo ad un punto.

Si applichi una forza al corpo nel punto A (Fig. 89). Scegliamo un punto qualsiasi nello spazio O (di solito, l'origine è scelta come questo punto) e tracciamo un vettore raggio da esso andando al punto di applicazione di questa forza.

Il momento vettore della forza relativo al punto O è chiamato vettore libero, determinato dal prodotto incrociato di

Denotandolo attraverso abbiamo

Il vettore modulo è uguale al doppio dell'area di un triangolo costruito sui vettori e Il vettore è diretto perpendicolarmente al piano definito dai vettori in modo che se guardi questo piano dalla sua estremità, la forza tenderà a ruotare il corpo attorno al punto O in senso antiorario. Di solito, un vettore è considerato attaccato a un punto. Se la forza è diversa da zero, il momento vettore è zero solo se il punto O giace sulla linea d'azione della forza. Nel sistema di unità SI, la dimensione del momento della forza relativo a un punto è

Dalla definizione del momento vettore ne consegue che esso non cambia se la forza viene spostata lungo la linea della sua azione. Infatti, in questo caso, il piano definito dai vettori non cambia il suo

posizione nello spazio e l'area del triangolo costruito su questi vettori non cambia (Fig. 89).

Da questa proprietà consegue che il concetto di momento di un vettore rispetto ad un punto è strettamente correlato al concetto di vettore scorrevole.

Momento di forza algebrico

Se si considera un sistema piano di forze o forze che si trovano sullo stesso piano, allora è opportuno introdurre il concetto di momento algebrico di forza.

Il modulo del momento vettoriale, come indicato, è uguale al doppio dell'area di un triangolo costruito su vettori Se l'angolo tra i vettori è a, allora

Ma il lavoro

è la lunghezza della perpendicolare dal punto O alla linea d'azione della forza. Il valore è chiamato spalla della forza relativa al punto O. Poniamolo nel piano definito dai vettori e dagli assi coordinati, mentre l'asse z sarà posizionato perpendicolare a questo piano (Fig. 90). Il momento algebrico della forza è il prodotto della spalla della forza e del modulo della forza

Il segno del momento algebrico sarà più se, per un osservatore posto lungo l'asse z positivo, la forza tende a ruotare attorno al punto O in senso antiorario. In caso contrario, il segno del momento algebrico sarà negativo.

Momento di forza attorno all'asse

Il concetto di momento di forza attorno a un punto è strettamente correlato al concetto di momento di forza attorno a un asse.

Il momento della forza attorno a un asse è la proiezione del momento della forza attorno a un punto arbitrario dell'asse sull'asse.

Affinché questa definizione abbia senso, è necessario dimostrare che le proiezioni sull'asse dei momenti di forza rispetto a due punti arbitrari sull'asse sono uguali.

Per dimostrarlo, disegniamo un piano perpendicolare all'asse (Fig. 91) e proiettiamo un vettore su questo piano.

Indichiamo con a l'angolo formato dal vettore con l'asse, quindi il momento del vettore relativo all'asse è determinato dalla formula:

Quindi, poiché il valore non dipende dalla posizione del punto O sull'asse (Fig. 92), allora

La formula che determina il momento assiale permette di stabilire una regola geometrica per calcolarlo. Questa regola è la seguente: disegna un piano perpendicolare all'asse, proietta un vettore su di esso

La doppia area del triangolo formata da questa proiezione e il punto di intersezione dell'asse con il piano determina l'entità del momento assiale.

Il segno del momento sarà positivo se, per un osservatore posto lungo la direzione positiva dell'asse, la proiezione del vettore tende a ruotare attorno al punto di intersezione dell'asse con il piano in senso antiorario; se la proiezione tende a ruotare in senso orario, il segno del momento sarà negativo.

Formule per determinare i momenti mediante proiezioni

Come punto O, rispetto al quale viene calcolato il momento del vettore di scorrimento, viene solitamente scelta l'origine delle coordinate. Quindi il momento della forza verrà applicato all'origine delle coordinate e le sue proiezioni sull'asse saranno i corrispondenti momenti assiali. Dalla definizione e dalla regola geometrica per il calcolo del momento assiale, ne consegue che esso sarà uguale a zero se il vettore è parallelo all'asse, oppure la sua linea d'azione interseca l'asse. Se la forza è data dalle sue proiezioni e sono note le proiezioni del raggio vettore che definisce il punto di applicazione della forza (o semplicemente le coordinate di questo punto), allora il momento del vettore relativo al punto O e i momenti

relativi agli assi delle coordinate, come segue dal precedente, sono determinati dalla formula:

Momento di una coppia di forze

Il momento della forza relativo a un punto (centro) è un vettore numericamente uguale al prodotto del modulo di forza e del braccio, cioè la distanza più breve dal punto specificato alla linea d'azione della forza, e diretta perpendicolarmente al piano passante per il punto prescelto e la linea d'azione della forza nella direzione da cui la "rotazione" eseguita dalla forza attorno alla punto sembra verificarsi in senso antiorario. Il momento di forza caratterizza la sua azione rotatoria.

Se DI- il punto relativo al quale si trova il momento della forza F, allora il momento di forza è indicato dal simbolo M o (F). Mostriamo che se il punto di applicazione della forza F determinato dal vettore raggio R, quindi la relazione

M o (FA)=r×F. (3.6)

Secondo questo rapporto il momento della forza è uguale al prodotto vettoriale del vettore r al vettore F.

In effetti, il modulo del prodotto incrociato è

M o ( F)=RF peccato= Fh, (3.7)

dove h- braccio di forza. Nota anche che il vettore M o (F) diretta perpendicolarmente al piano passante per i vettori R e F, nella direzione da cui il giro più breve del vettore R alla direzione del vettore F sembra essere in senso antiorario. Pertanto, la formula (3.6) determina completamente il modulo e la direzione del momento di forza F.

A volte è utile scrivere la formula (3.7) nel modulo

M o ( F)=2S, (3.8)

dove S- area di un triangolo OAB.

Lascia stare X, y, z sono le coordinate del punto di applicazione della forza, e Fx, Fy, Fz sono le proiezioni della forza sugli assi delle coordinate. Allora se il punto DI situato all'origine, il momento di forza è espresso come segue:

Ne consegue che le proiezioni del momento di forza sugli assi delle coordinate sono determinate dalle formule:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Introduciamo ora il concetto di proiezione di una forza su un piano.

Possa la forza essere data F e qualche aereo. Lasciamo cadere le perpendicolari a questo piano dall'inizio e dalla fine del vettore forza.

La proiezione della forza su un piano chiamata vettore , il cui inizio e fine coincidono con la proiezione dell'inizio e la proiezione della fine della forza su questo piano.

Se prendiamo l'aereo come piano considerato hoy, quindi la proiezione della forza F su questo piano ci sarà un vettore Feh.

Momento di potere Feh rispetto al punto DI(punti di intersezione dell'asse z con aereo hoy) può essere calcolato con la formula (3.9) se prendiamo z=0, Fz=0. Ottenere

mo(Feh)=(xF y -yF x)K.

Pertanto, il momento è diretto lungo l'asse z, e la sua proiezione sull'asse z coincide esattamente con la proiezione sullo stesso asse del momento di forza F rispetto al punto DI. In altre parole,

M Oz(F)=M Oz(Feh)= xF y -yF x. (3.11)

Ovviamente lo stesso risultato si può ottenere proiettando la forza F a qualsiasi altro piano parallelo a hoy. In questo caso, il punto di intersezione dell'asse z con il piano sarà diverso (indichiamo il nuovo punto di intersezione attraverso DI uno). Tuttavia, tutte le quantità sul lato destro dell'uguaglianza (3.11) X, a, Fx, F rimangono invariati, e quindi possiamo scrivere

M Oz(F)=MO 1 z ( Feh).

In altre parole, la proiezione del momento di forza attorno ad un punto dell'asse passante per tale punto non dipende dalla scelta di un punto sull'asse . Pertanto, in quanto segue, al posto del simbolo M Oz(F) useremo il simbolo Mz(F). Questa proiezione del momento è chiamata momento di forza attorno all'asse z. Il calcolo del momento di una forza attorno a un asse è spesso più convenientemente eseguito dalla proiezione della forza. F su un piano perpendicolare all'asse e calcolando la quantità Mz(Feh).

Secondo la formula (3.7) e tenendo conto del segno della proiezione si ottiene:

Mz(F)=Mz(Feh)=± F xy h*. (3.12)

Qui h*- braccio di forza Feh rispetto al punto DI. Se l'osservatore vede dal lato della direzione positiva dell'asse z, quella è la forza Feh tende a ruotare il corpo attorno ad un asse z in senso antiorario, viene preso il segno "+" e, in caso contrario, il segno "-".

La formula (3.12) permette di formulare la seguente regola per calcolare il momento della forza attorno all'asse. Per questo hai bisogno di:

selezionare un punto arbitrario sull'asse e costruire un piano perpendicolare all'asse;

proiettare una forza su questo piano;

Determinare il braccio di proiezione della forza h*.

Il momento della forza attorno all'asse è uguale al prodotto del modulo della proiezione della forza sulla sua spalla, preso con il segno appropriato (vedi regola sopra).

Dalla formula (3.12) segue che il momento di forza attorno all'asse è zero in due casi:

· quando la proiezione della forza su un piano perpendicolare all'asse è uguale a zero, cioè quando forza e asse sono paralleli ;

quando la proiezione della spalla h*è uguale a zero, cioè quando la linea d'azione incrocia l'asse .

Entrambi questi casi possono essere combinati in uno: il momento della forza attorno all'asse è zero se e solo se la linea d'azione della forza e l'asse sono sullo stesso piano .

Compito 3.1. Calcola rispetto a un punto DI momento di potere F applicato al punto MA e una faccia diagonale di un cubo con lato ma.

Quando si risolvono tali problemi, è consigliabile calcolare prima i momenti di forza F rispetto agli assi delle coordinate X, y, z. Coordinate del punto MA applicazione della forza F volere

Proiezioni di forza F sugli assi delle coordinate:

Sostituendo questi valori in uguaglianze (3.10), troviamo

, , .

Le stesse espressioni per i momenti di forza F rispetto agli assi delle coordinate può essere ottenuto usando la formula (3.12). Per fare questo, progettiamo una forza F su un piano perpendicolare all'asse X e a. È ovvio che . Applicando la regola precedente, otteniamo, come previsto, le stesse espressioni:

, , .

Il modulo del momento è determinato dall'uguaglianza

.

Introduciamo ora il concetto di momento di coppia. Cerchiamo prima di tutto qual è la somma dei momenti delle forze che compongono la coppia, rispetto ad un punto arbitrario. Lascia stare DIè un punto arbitrario nello spazio, e F e F"- forze che compongono una coppia.

Quindi M o (FA)= OA × F, M o (F") = OV × F",

M o (FA) + M o (FA ") = OA × F+ OV × F",

ma da allora F= -F", poi

M o (FA) + M o (FA ") = OA × F- OV × F=(OA-OV)× F.

Tenendo conto dell'uguaglianza OA-OV=VA , troviamo infine:

M o (FA) + M o (FA ") = VA × F.

Di conseguenza, la somma dei momenti delle forze che compongono la coppia non dipende dalla posizione del punto rispetto al quale sono presi i momenti .

prodotto vettoriale VA × F e chiamato momento di coppia . Il momento della coppia è indicato dal simbolo M(FA, FA"), e

M(FA, FA")=VA × F= AB × F",

o, in breve,

m=VA × F= AB × F". (3.13)

Considerando il lato destro di questa uguaglianza, lo notiamo il momento di una coppia è un vettore perpendicolare al piano della coppia, uguale in valore assoluto al prodotto del modulo di una delle forze della coppia e del braccio della coppia (cioè la distanza più breve tra le linee di azione delle forze che compongono la coppia) e diretti nella direzione da cui si vede la "rotazione" della coppia avvenire in senso antiorario . Se hè la spalla della coppia, quindi M(FA, FA")=h×F.

Si può vedere dalla definizione stessa che il momento di una coppia di forze è un vettore libero, la cui linea d'azione non è definita (un'ulteriore giustificazione per questa osservazione segue dai Teoremi 2 e 3 di questo capitolo).

Affinché una coppia di forze formi un sistema equilibrato (un sistema di forze pari a zero), è necessario e sufficiente che il momento della coppia sia uguale a zero. Infatti, se il momento della coppia è zero, m=h×F, allora neanche F=0, cioè nessuna forza, o la spalla di una coppia hè uguale a zero. Ma in questo caso, le forze della coppia agiranno in linea retta; essendo uguali in valore assoluto e diretti in direzioni opposte, allora, in base all'assioma 1, costituiranno un sistema equilibrato. Viceversa, se due forze F1 e F2, che costituiscono una coppia, sono bilanciati, quindi, in base allo stesso assioma 1, agiscono lungo una retta. Ma in questo caso, la leva della coppia hè uguale a zero e quindi m=h×F=0.

Teoremi di coppia

Dimostriamo tre teoremi mediante i quali diventano possibili trasformazioni equivalenti di coppie. In tutte le considerazioni va ricordato che si riferiscono a coppie che agiscono su un qualsiasi corpo solido.

Teorema 1. Due coppie che giacciono sullo stesso piano possono essere sostituite da una coppia che giace sullo stesso piano con un momento uguale alla somma dei momenti delle due coppie date.

Per dimostrare questo teorema, consideriamo due coppie ( F1,F" 1) E ( F2,F" 2) e trasferire ai punti i punti di applicazione di tutte le forze lungo le linee della loro azione MA e IN rispettivamente. Sommando le forze secondo l'assioma 3, otteniamo

R=F1+F2 e R"=F" 1+F" 2,

ma F1=-F" 1 e F2=-F" 2.

Di conseguenza, R=-R", cioè. forza R e R" formare una coppia. Troviamo il momento di questa coppia usando la formula (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F1+F2)=VA× F1+VA× F2. (3.14)

Quando le forze che compongono la coppia vengono trasferite lungo le linee della loro azione, né il braccio né il senso di rotazione delle coppie cambiano, quindi non cambia nemmeno il momento della coppia. Significa,

VA × F 1 \u003d M(F1,F" 1)=M1, VA× F 2 \u003d M(F2,F" 2)=M2

e la formula (3.14) assume la forma

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

che dimostra la validità del teorema di cui sopra.

Facciamo due osservazioni su questo teorema.

1. Le linee d'azione delle forze che compongono le coppie possono risultare parallele. Il teorema resta valido anche in questo caso, ma per dimostrarlo si dovrebbe usare la regola dell'addizione di forze parallele.

2. Dopo l'aggiunta, potrebbe risultare così m(R, R")=0; Sulla base dell'osservazione fatta in precedenza, ciò implica che l'insieme di due coppie ( F1,F" 1, F2,F" 2)=0.

Teorema 2. Due coppie di momenti geometricamente uguali sono equivalenti.

Lascia sul corpo nell'aereo io un paio ( F1,F" 1) con momento M1. Mostriamo che questa coppia può essere sostituita da un'altra con la coppia ( F2,F" 2) situato nell'aereo II, se solo fosse il suo momento M2è uguale a M1(secondo la definizione (vedi 1.1) questo significherà che le coppie ( F1,F" 1) E ( F2,F" 2) sono equivalenti). Prima di tutto, notiamo che gli aerei io e II devono essere paralleli, in particolare possono coincidere. Anzi, dal parallelismo dei momenti M1 e M2(nel nostro caso M1=M2) ne consegue che anche i piani d'azione delle coppie, perpendicolari ai momenti, sono paralleli.

Introduciamo una nuova coppia ( F3,F" 3) e applicarlo insieme alla coppia ( F2,F" 2) al corpo, posizionando entrambe le coppie sul piano II. Per fare ciò, secondo l'assioma 2, dobbiamo scegliere una coppia ( F3,F" 3) con momento M3 in modo che il sistema di forze applicato ( F2,F" 2, F3,F" 3) era equilibrato. Questo può essere fatto, ad esempio, come segue: impostiamo F3=-F" 1 e F" 3 =-F1 e combiniamo i punti di applicazione di queste forze con le proiezioni MA 1 e IN 1 punto MA e IN all'aereo II. In base alla costruzione avremo: M 3 \u003d -M 1 o considerando questo M1 = M2,

M 2 + M 3 = 0.

Tenendo conto della seconda osservazione al teorema precedente, otteniamo ( F2,F" 2, F3,F" 3)=0. Quindi le coppie ( F2,F" 2) E ( F3,F" 3) sono reciprocamente equilibrati e il loro attaccamento al corpo non ne viola lo stato (assioma 2), per cui

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3). (3.16)

D'altra parte, le forze F1 e F3, così come F" 1 e F" 3 può essere aggiunto secondo la regola dell'addizione di forze parallele dirette in una direzione. Modulo, tutte queste forze sono uguali tra loro, quindi la loro risultante R e R" deve essere applicato nel punto di intersezione delle diagonali del rettangolo ABB 1 MA uno ; inoltre sono uguali in valore assoluto e diretti in direzioni opposte. Ciò significa che costituiscono un sistema equivalente a zero. Così,

(F1,F" 1, F3,F" 3)=(R, R")=0.

Ora possiamo scrivere

(F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3)=(F3,F" 3). (3.17)

Confrontando le relazioni (3.16) e (3.17), otteniamo ( F1,F" 1)=(F2,F" 2), che doveva essere dimostrato.

Segue da questo teorema che una coppia di forze può essere mossa nel piano della sua azione, trasferita su un piano parallelo; infine, in coppia, si possono modificare contemporaneamente le forze e la spalla, mantenendo solo il senso di rotazione della coppia e il modulo della sua quantità di moto ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

In quanto segue, faremo ampio uso di tali trasformazioni equivalenti di una coppia.

Teorema 3. Due coppie che giacciono su piani intersecanti equivalgono a una coppia il cui momento è uguale alla somma dei momenti delle due coppie date.

Lascia che le coppie ( F1,F" 1) E ( F2,F" 2) si trovano su piani intersecanti io e II rispettivamente. Usando il corollario del Teorema 2, riduciamo entrambe le coppie alla spalla AB situato sulla linea di intersezione dei piani io e II. Indichiamo le coppie trasformate con ( Q1,Q" 1) E ( Q2,Q" 2). In questo caso, le uguaglianze

M 1 = M(Q1,Q" 1)=m(F1,F" 1) E M 2 = M(Q2,Q" 2)=m(F2,F" 2).

Aggiungiamo secondo l'assioma 3 le forze applicate ai punti MA e IN rispettivamente. Allora arriviamo R \u003d Q 1 + Q 2 e R"= Q" 1 +Q" 2. Dato che Q" 1 \u003d -Q 1 e Q" 2 \u003d -Q 2, noi abbiamo R=-R". Pertanto, abbiamo dimostrato che il sistema di due coppie è equivalente a una coppia ( R,R").

Troviamo un momento m questa coppia. Sulla base della formula (3.13), abbiamo

m(R,R")=VA× (Q1+Q2)=VA× Q1+ VA× Q2=

=m(Q1,Q" 1)+m(Q2,Q" 2)=m(F1,F" 1)+m(F2,F" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

quelli. il teorema è dimostrato.

Si noti che il risultato ottenuto è valido anche per coppie che giacciono su piani paralleli. Per il Teorema 2, tali coppie possono essere ridotte ad un unico piano, e per il Teorema 1, possono essere sostituite da un'unica coppia il cui momento è uguale alla somma dei momenti delle coppie componenti.

I teoremi di coppia dimostrati sopra portano a una conclusione importante: il momento della coppia è un vettore libero e determina completamente l'azione della coppia su un corpo assolutamente rigido . Infatti, abbiamo già dimostrato che se due coppie hanno gli stessi momenti (e quindi giacciono sullo stesso piano o su piani paralleli), allora sono equivalenti tra loro (Teorema 2). D'altra parte, due coppie che giacciono su piani intersecanti non possono essere equivalenti, perché ciò significherebbe che una di esse e la coppia opposta all'altra sono equivalenti a zero, il che è impossibile, poiché la somma dei momenti di tali coppie è diversa da zero.

Pertanto, il concetto introdotto di momento di coppia è estremamente utile, poiché riflette completamente l'azione meccanica di una coppia su un corpo. In questo senso possiamo dire che il momento rappresenta esaustivamente l'azione di una coppia su un corpo rigido.

Per i corpi deformabili, la suddetta teoria delle coppie non è applicabile. Due coppie opposte, agenti, ad esempio, sulle estremità dell'asta, equivalgono a zero dal punto di vista della statica di un corpo rigido. Intanto la loro azione sull'asta deformabile provoca la sua torsione, e tanto più, tanto maggiori sono i moduli dei momenti.

Passiamo alla soluzione del primo e del secondo problema di statica, quando sul corpo agiscono solo coppie di forze.