Quantità di movimento del sistema chiamiamo la somma geometrica delle quantità di moto di tutti i punti materiali del sistema
Per chiarire senso fisico(70) calcola la derivata di (64)
.
(71)
Risolvendo (70) e (71) insieme, otteniamo
.
(72)
Così, il vettore della quantità di moto di un sistema meccanico è determinato dal prodotto della massa del sistema per la velocità del suo centro di massa.
Calcoliamo la derivata di (72)
.
(73)
Risolvendo (73) e (67) insieme, otteniamo
.
(74)
L'equazione (74) esprime il seguente teorema.
Teorema: La derivata temporale del vettore quantità di moto del sistema è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne del sistema.
Quando si risolvono problemi, l'equazione (74) deve essere proiettata sugli assi delle coordinate:
.
(75)
L'analisi di (74) e (75) implica quanto segue legge di conservazione della quantità di moto del sistema: Se la somma di tutte le forze del sistema è uguale a zero, il suo vettore quantità di moto mantiene la sua intensità e direzione.
Se un 
, poi 
,Q
=
cost
.
(76)
In un caso particolare, questa legge può essere soddisfatta lungo uno degli assi coordinati.
Se un 
, poi, Q z =
cost.
(77)
Si consiglia di utilizzare il teorema della variazione della quantità di moto nei casi in cui corpi liquidi e gassosi entrano nel sistema.
Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema meccanico
La quantità di movimento caratterizza solo la componente traslazionale del movimento. Per caratterizzare il moto rotatorio del corpo, il concetto di momento principale delle quantità di moto del sistema relativo a questo centro(momento cinetico).
La quantità di moto del sistema circa questo centro si chiama somma geometrica momenti delle quantità di moto di tutti i suoi punti attorno allo stesso centro
.
(78)
Proiettando (22) sugli assi coordinati si ottiene l'espressione del momento angolare rispetto agli assi coordinati
.
(79)
Il momento angolare del corpo attorno agli assiè uguale al prodotto del momento d'inerzia del corpo attorno a questo asse per la velocità angolare del corpo
.
(80)
Dalla (80) segue che il momento cinetico caratterizza solo la componente rotatoria del moto.
Una caratteristica dell'azione di rotazione di una forza è il suo momento relativo all'asse di rotazione.
Il teorema del cambiamento di quantità di moto stabilisce la relazione tra la caratteristica del movimento rotatorio e la forza che causa questo movimento.
Teorema: La derivata temporale del vettore momento angolare del sistema rispetto a qualche centro è uguale alla somma geometrica dei momenti di tutte le forze esterne del sistema rispetto alo stesso centro
.
(81)
Quando si risolvono problemi di ingegneria (81), è necessario proiettare sugli assi delle coordinate
La loro analisi (81) e (82) implica legge di conservazione della quantità di moto: Se la somma dei momenti di tutte le forze esterne attorno al centro (o asse) è uguale a zero, il momento cinetico del sistema attorno a questo centro (o asse) mantiene la sua intensità e direzione.
,
o 
Il momento angolare non può essere modificato dall'azione delle forze interne del sistema, ma grazie a queste forze è possibile modificare il momento d'inerzia, e quindi la velocità angolare.
Lascia che il punto materiale si muova sotto l'azione della forza F. È necessario determinare il movimento di questo punto rispetto al sistema in movimento Oxyz(cm. movimento complesso punto materiale), che si muove in modo noto rispetto ad un sistema fisso o 1 X 1 y 1 z 1 .
L'equazione di base della dinamica in un sistema stazionario
Scriviamo l'accelerazione assoluta di un punto secondo il teorema di Coriolis
dove un addominali– accelerazione assoluta;
un rel– accelerazione relativa;
un corsia– accelerazione portatile;
un nucleoè l'accelerazione di Coriolis.
Riscriviamo (25) tenendo conto (26)
Introduciamo la notazione 
- forza d'inerzia portatile, 
è la forza di inerzia di Coriolis. Quindi l'equazione (27) assume la forma
L'equazione di base della dinamica da studiare moto relativo(28) si scrive allo stesso modo del moto assoluto, alle forze agenti sul punto devono essere sommate solo le forze di inerzia traslazionale e di Coriolis.
Teoremi generali della dinamica dei punti materiali
Quando si risolvono molti problemi, è possibile utilizzare spazi vuoti prefabbricati ottenuti sulla base della seconda legge di Newton. Tali metodi di risoluzione dei problemi sono combinati in questa sezione.
Teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto materiale
Introduciamo le seguenti caratteristiche dinamiche:
1. Quantità di movimento di un punto materialeè una quantità vettoriale uguale al prodotto della massa di un punto per il vettore della sua velocità
.
(29)
2. Impulso di forza
Impulso di forza elementale- una quantità vettoriale uguale al prodotto del vettore forza per un intervallo di tempo elementare
(30).
Quindi pieno impulso
.
(31)
In F=const otteniamo S=piedi.
L'impulso totale in un periodo di tempo finito può essere calcolato solo in due casi, quando la forza agente sul punto è costante o dipende dal tempo. In altri casi è necessario esprimere la forza in funzione del tempo.
L'uguaglianza delle dimensioni di quantità di moto (29) e quantità di moto (30) consente di stabilire una relazione quantitativa tra di loro.
Considera il movimento di un punto materiale M sotto l'azione forza arbitraria F lungo un percorso arbitrario.
o 
UD: 
.
(32)
Separiamo le variabili in (32) e integriamo
.
(33)
Di conseguenza, tenendo conto della (31), otteniamo
.
(34)
L'equazione (34) esprime il seguente teorema.
Teorema: La variazione della quantità di moto di un punto materiale in un certo periodo di tempo è uguale all'impulso della forza che agisce sul punto nello stesso intervallo di tempo.
Quando si risolvono problemi, l'equazione (34) deve essere proiettata sugli assi delle coordinate
Questo teorema è conveniente da usare quando le quantità date e incognite includono la massa di un punto, la sua velocità iniziale e finale, le forze e il tempo di movimento.
Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale
M 
momento della quantità di moto di un punto materiale rispetto al centro è uguale al prodotto del modulo di quantità di moto del punto e del braccio, cioè distanza più breve (perpendicolare) dal centro a una linea coincidente con vettore di velocità
,
(36)
.
(37)
La relazione tra il momento della forza (causa) e il momento della quantità di moto (effetto) è stabilita dal seguente teorema.
Sia il punto M di data massa m muoversi sotto l'influenza della forza F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Calcoliamo la derivata di (39)
.
(40)
Combinando (40) e (38), otteniamo infine
.
(41)
L'equazione (41) esprime il seguente teorema.
Teorema: La derivata temporale del vettore momento angolare di un punto materiale rispetto a un centro è uguale al momento della forza che agisce sul punto rispetto allo stesso centro.
Quando si risolvono problemi, l'equazione (41) deve essere proiettata sugli assi delle coordinate
Nelle equazioni (42), i momenti della quantità di moto e della forza sono calcolati rispetto agli assi delle coordinate.
Da (41) segue legge di conservazione del momento angolare (legge di Keplero).
Se il momento della forza che agisce su un punto materiale rispetto a qualsiasi centro è uguale a zero, il momento angolare del punto rispetto a questo centro mantiene la sua grandezza e direzione.
Se un 
, poi 
.
Il teorema e la legge di conservazione sono usati in problemi su moto curvilineo, soprattutto sotto l'azione delle forze centrali.
Numero di movimenti per misura movimento meccanico, se il movimento meccanico si trasforma in meccanico. Ad esempio, il movimento meccanico di una palla da biliardo (Fig. 22) prima dell'impatto passa nel movimento meccanico delle palle dopo l'impatto. Per un punto, la quantità di moto è uguale al prodotto.
La misura dell'azione della forza in questo caso è la quantità di moto della forza
.
(9.1)
La quantità di moto determina l'azione della forza 
per un periodo di tempo 
. Per un punto materiale, il teorema del cambiamento di quantità di moto può essere utilizzato in forma differenziale 
(9.2) o forma integrale (finita). 
.
(9.3)
La variazione della quantità di moto di un punto materiale in un certo periodo di tempo è uguale alla quantità di moto di tutte le forze applicate al punto nello stesso tempo.
Figura 22
Quando si risolvono problemi, il teorema (9.3) è più spesso utilizzato nelle proiezioni sugli assi delle coordinate 
;
;
(9.4)
.
Utilizzando il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto, è possibile risolvere problemi in cui un punto o un corpo in movimento traslatorio è soggetto a forze costanti o variabili che dipendono dal tempo, e dal numero di valori dati e ricercati include il tempo di movimento e la velocità all'inizio e alla fine del movimento. I problemi che utilizzano il teorema vengono risolti nella seguente sequenza:
1. scegliere un sistema di coordinate;
2. rappresentare tutte le forze e reazioni date (attive) che agiscono su un punto;
3. annotare il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto nelle proiezioni sugli assi coordinati selezionati;
4. determinare i valori desiderati.
ESEMPIO 12.
Un martello del peso di G=2t cade da un'altezza h=1m su un pezzo in un tempo t=0.01s e stampa il pezzo (Fig. 23). Determinare la forza media del martello sul pezzo.
DECISIONE.
1. La gravità del martello agisce sul pezzo 
e sostenere la reazione 
. Valore reazione di supporto cambia con il tempo, quindi considera il suo valore medio 
.
2. dirigere l'asse delle coordinate y verticalmente verso il basso e applicare il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto in proiezione su questo asse: 
, (1) dove 
- velocità del martello a fine colpo;
- la velocità iniziale del martello al momento del contatto con il pezzo.
3. Per determinare la velocità 
comporre equazione differenziale movimento del martello in proiezione sull'asse y:
.
(2)
Separare le variabili, integrare l'equazione (2) due volte: 
;
;
. Costanti di integrazione C 1 , C 2 troviamo da condizioni iniziali. A t=0 V y =0, allora C 1 =0; y \u003d 0, quindi C 2 \u003d 0. Pertanto, il martello si muove secondo la legge 
, (3) e la velocità del martello cambia a norma di legge 
. (4) Esprimeremo il tempo di movimento del martello da (3) e sostituiremo in (4) 
;
.
(5)
4. Troviamo la proiezione della quantità di moto delle forze esterne sull'asse y con la formula: 
. (6) Sostituire (5) e (6) in (1): 
, da dove troviamo la reazione del supporto e, di conseguenza, la pressione voluta del martello sul pezzo 
t.
Figura 24
Adove M è la massa del sistema, V c è la velocità centro di gravità. Il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico può essere scritto in forma differenziale e finita (integrale): 
;
.
(9.7)
. (9.5) La quantità di moto di un sistema o di un corpo rigido può essere determinata conoscendo la massa del sistema e la velocità del centro di massa 
,
(9.6)La variazione della quantità di movimento di un sistema meccanico in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi delle forze esterne che agiscono per lo stesso tempo. A volte è più conveniente utilizzare il teorema sulla variazione della quantità di moto nella proiezione sugli assi delle coordinate 
;
(9.8)
.
(9.9)
La legge di conservazione della quantità di moto stabilisce che, in assenza di forze esterne, la quantità di moto di un sistema meccanico rimane costante. L'azione delle forze interne non può cambiare la quantità di moto del sistema. L'equazione (9.6) mostra che per 
,
.
Se un 
, poi 
o 
.
D
elica o elica propulsione a jet. I calamari si muovono a scatti, gettando acqua dalla sacca muscolare secondo il principio di un cannone ad acqua (Fig. 25). L'acqua respinta ha una quantità nota di movimento all'indietro. Il calamaro guadagna la velocità corrispondente 
movimento in avanti dovuto alla spinta reattiva 
, perché prima che il calamaro salti fuori, la forza 
equilibrato dalla gravità 
.
L'applicazione del teorema di variazione della quantità di moto permette di escludere dalla considerazione tutto forze interne.
ESEMPIO 13.
Su una piattaforma ferroviaria, autoportante sui binari, è installato un argano A con tamburo di raggio r (Fig. 26). L'argano è progettato per muoversi sulla piattaforma del carico B con massa m 1 . Peso piattaforma con verricello m 2 . Il tamburo dell'argano ruota secondo la legge 
. All'inizio il sistema era mobile. Trascurando l'attrito, trova la legge del cambiamento nella velocità della piattaforma dopo aver acceso l'argano.
R 
DECISIONE.
1. Considerare la piattaforma, l'argano e il carico come un unico elemento sistema meccanico, che è interessato forze esterne: gravità del carico 
e piattaforme 
e reazioni 
e 
.
2. Poiché tutte le forze esterne sono perpendicolari all'asse x, cioè 
, applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto di un sistema meccanico in proiezione sull'asse x: 
. Al momento iniziale il sistema era fermo, quindi 
Esprimiamo la quantità di moto del sistema in un momento arbitrario. La piattaforma avanza ad una velocità 
, il carico compie un movimento complesso, consistente in un movimento relativo lungo la piattaforma con una velocità 
e movimento portatile insieme alla piattaforma con la velocità 
., dove 
. La piattaforma si muoverà nella direzione opposta al movimento relativo del carico.
ESEMPIO 14.
DECISIONE.
1. Applicare il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in proiezione sull'asse x. Poiché tutte le forze esterne che agiscono sul sistema sono verticali, quindi 
, poi 
, dove 
.
(1)
2. Esprimiamo la proiezione della quantità di movimento sull'asse x per il sistema meccanico considerato 
,
t 2) (S-in metri, t-in secondi), (Fig. 26). Determinare la velocità della piastra al tempo t 1 =1s, utilizzando il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema meccanico.dove 
,
-- la quantità di movimento della piastra e del carico, rispettivamente. 
;
, dove 
--velocità assoluta del caricoD. Dall'uguaglianza (1) segue che K 1x + K 2x \u003d C 1 o m 1 u x + m 2 V Dx \u003d C 1. (2) Per determinare V Dx, consideriamo complesso il movimento del carico D, considerando relativo il suo movimento relativo alla piastra, e portatile il movimento della piastra stessa, quindi 
,
(3)
; o nella proiezione sull'asse x: 
. (4) Sostituire (4) in (2): 
. (5) La costante di integrazione C 1 è determinata dalle condizioni iniziali: a t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 \u003d C 1. (6) Sostituendo il valore della costante C 1 nell'equazione (5), otteniamo 
SM.
Si consideri un sistema costituito da punti materiali. Componiamo le equazioni differenziali del moto (13) per questo sistema e le aggiungiamo termine per termine. Allora arriviamo
L'ultima somma per la proprietà delle forze interne è uguale a zero. Oltretutto,
Finalmente troviamo
L'equazione (20) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma differenziale: la derivata temporale della quantità di moto del sistema è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne agenti sul sistema. Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate sarà:
Troviamo un'altra espressione del teorema. Lascia che al momento la quantità di moto del sistema sia uguale e al momento diventi uguale a . Quindi, moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza (20) per e integrando, otteniamo
poiché gli integrali a destra danno gli impulsi di forze esterne.
L'equazione (21) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale: la variazione della quantità di moto del sistema in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi agenti sul sistema delle forze esterne su lo stesso periodo di tempo.
Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate sarà:
Segnaliamo la connessione tra il teorema dimostrato e il teorema sul moto del baricentro. Poiché , quindi, sostituendo questo valore nell'uguaglianza (20) e tenendo conto che otteniamo , ovvero l'equazione (16).
Pertanto, il teorema sul moto del baricentro e il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema sono, in sostanza, due forme diverse lo stesso teorema. Nei casi in cui si studia il movimento di un corpo rigido (o di un sistema di corpi), è possibile utilizzare ugualmente una qualsiasi di queste forme e l'equazione (16) è solitamente più conveniente da usare. Per un mezzo continuo (liquido, gas), quando risolvono i problemi, di solito usano il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema. Questo teorema trova importanti applicazioni anche nella teoria dell'impatto (vedi Cap. XXXI) e nello studio della propulsione a reazione (vedi § 114).
La quantità di movimento di un punto materialeè chiamata quantità vettoriale mv, uguale al prodotto della massa del punto per il vettore della sua velocità. Vettore mV attaccato a un punto in movimento.
Quantità di movimento del sistemaè chiamata quantità vettoriale Q, uguale alla somma geometrica (vettore principale) della quantità di moto di tutti i punti del sistema:
Vettore Qè un vettore libero. Nel sistema di unità SI, il modulo di quantità di moto è misurato in kg m/s o N s.
Di norma, le velocità di tutti i punti del sistema sono diverse (vedi, ad esempio, la distribuzione delle velocità dei punti di una ruota che rotola mostrata in Fig. 6.21), e quindi la somma diretta dei vettori sul lato destro di uguaglianza (17.2) è difficile. Troviamo una formula con l'aiuto della quale la quantità Q molto più facile da calcolare. Dall'uguaglianza (16.4) segue che
Prendendo la derivata temporale di entrambe le parti, otteniamo
Quindi, tenendo conto dell'uguaglianza (17.2), troviamo che
cioè, la quantità di movimento del sistema è uguale al prodotto della massa dell'intero sistema e la velocità del suo centro di massa.
Nota che il vettore Q, come il vettore principale delle forze in statica, è un vettore generalizzato caratteristico del movimento dell'intero sistema meccanico. Nel caso generale del moto di un sistema, la sua quantità di moto è Q può essere considerata come una caratteristica della parte traslazionale del moto del sistema insieme al suo baricentro. Se durante il movimento del sistema (corpo) il centro di massa è fermo, la quantità di moto del sistema sarà uguale a zero. Tale, ad esempio, è la quantità di moto di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso passante per il suo centro di massa.
Esempio. Determinare la quantità di movimento del sistema meccanico (Fig. 17.1, un), costituito da carico MA il peso t A - 2 kg, blocco omogeneo A del peso di 1 kg e ruote D il peso mD-4 kg. Carico MA muovendosi a una velocità V A - 2 m/s, ruota D rotola senza scivolare, il filo è inestensibile e senza peso. Decisione. La quantità di movimento del sistema corporeo
Corpo MA andare avanti e Q A \u003d m A V A(numericamente QA= 4 kg m/s, direzione del vettore QA coincide con la direzione VA). Bloccare A si impegna moto rotatorio attorno ad un asse fisso passante per il suo baricentro; quindi, QB- 0. Ruota D fa un piano parallelo
movimento; il suo centro istantaneo delle velocità è nel punto A, quindi la velocità del suo centro di massa (punti E)è uguale a V E = V A /2= 1 m/s. Numero di movimenti della ruota Q D - m D V E - 4 kg m/s; vettore QD diretto orizzontalmente a sinistra.
Raffiguranti vettori QA e QD in fig. 17.1, b, trova lo slancio Q sistemi secondo la formula (a). Tenendo conto delle direzioni e dei valori numerici delle quantità, otteniamo Q ~^Q A +Q E=4l/2~kg m/s, direzione del vettore Q mostrato in fig. 17.1, b.
Dato che a-dV/dt, l'equazione (13.4) della legge fondamentale della dinamica può essere rappresentata come
L'equazione (17.4) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto in forma differenziale: in ogni momento, la derivata temporale della quantità di moto di un punto è uguale alla forza agente sul punto. (In sostanza, questa è un'altra formulazione della legge fondamentale della dinamica, vicina a quella data da Newton.) Se più forze agiscono su un punto, allora sul lato destro dell'uguaglianza (17.4) ci sarà una risultante delle forze applicato al punto materiale.
Se si moltiplicano entrambi i membri dell'equazione per dt, allora otteniamo
Il valore vettoriale sul lato destro di questa uguaglianza caratterizza l'azione esercitata sul corpo dalla forza in un periodo di tempo elementare dt questo valore è indicato dS e chiama impulso elementare di forza, cioè.
Polso S forza F in un intervallo di tempo finito /, - / 0 è definito come il limite della somma integrale dei corrispondenti impulsi elementari, cioè
In un caso particolare, se la forza F costante nel modulo e nella direzione, quindi S = F(t| -/0) e S- F(t l -/ 0). Nel caso generale, il modulo dell'impulso di forza può essere calcolato dalle sue proiezioni sugli assi delle coordinate:
Ora, integrando entrambi i lati dell'uguaglianza (17.5) con t= const, otteniamo
L'equazione (17.9) esprime il teorema sulla modifica della quantità di moto di un punto in forma finita (integrale): la variazione della quantità di moto di un punto in un certo periodo di tempo è uguale alla quantità di moto della forza che agisce sul punto (o alla quantità di moto della risultante di tutte le forze applicate ad esso) per lo stesso periodo di tempo.
Quando si risolvono problemi, le equazioni di questo teorema vengono utilizzate nelle proiezioni sugli assi delle coordinate
Consideriamo ora un sistema meccanico costituito da P punti materiali. Quindi, per ogni punto, possiamo applicare il teorema di variazione della quantità di moto nella forma (17.4), tenendo conto delle forze esterne ed interne applicate ai punti:
Sommando queste uguaglianze e tenendo conto che la somma delle derivate è uguale alla derivata della somma, otteniamo
Poiché dalla proprietà delle forze interne H.F.k=0 e per definizione di quantità di moto ^fn k V/ c = Q, quindi finalmente troviamo
L'equazione (17.11) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma differenziale: in ogni momento, la derivata temporale della quantità di moto del sistema è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne agenti sul sistema.
Proiettando l'uguaglianza (17.11) sugli assi delle coordinate, otteniamo
Moltiplicando entrambi i membri della (17.11) per dt e integrando, otteniamo
dove 0, Q0 - la quantità di movimento del sistema a volte, rispettivamente, e / 0 .
L'equazione (17.13) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale: la variazione della quantità di moto del sistema in qualsiasi momento è uguale alla somma degli impulsi di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema nello stesso tempo.
Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate, otteniamo
Dal teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema si ottengono le seguenti importanti conseguenze, che esprimono legge di conservazione della quantità di moto del sistema.
- 1. Se la somma geometrica di tutte le forze esterne agenti sul sistema è uguale a zero (LF k=0), quindi dall'equazione (17.11) segue che in questo caso Q= const, ovvero il vettore della quantità di moto del sistema sarà costante in grandezza e direzione.
- 2. Se le forze esterne agenti sul sistema sono tali che la somma delle loro proiezioni su qualsiasi asse sia zero (ad esempio, io e kx = 0), quindi dalle equazioni (17.12) ne consegue che in questo caso Qx = const, ovvero la proiezione della quantità di moto del sistema su questo asse rimane invariata.
Si noti che le forze interne del sistema non partecipano all'equazione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema. Queste forze, sebbene influenzino la quantità di moto dei singoli punti del sistema, non possono modificare la quantità di moto del sistema nel suo insieme. Data questa circostanza, quando si risolvono problemi, è opportuno scegliere il sistema in esame in modo che le forze sconosciute (tutte o parte di esse) siano interne.
La legge di conservazione della quantità di moto è conveniente da applicare nei casi in cui la variazione della velocità di una parte del sistema è necessaria per determinare la velocità di un'altra parte di esso.
Problema 17.1. A pesa carrello tx- 12 kg che si muovono su un piano orizzontale liscio, in un punto MA un'asta senza peso è fissata con l'aiuto di una cerniera cilindrica ANNO DOMINI lunghezza /= 0,6 m con carico D il peso t 2 - 6 kg alla fine (Fig. 17.2). Al tempo / 0 = 0, quando la velocità del carrello e () - 0,5 m/s, asta ANNO DOMINI inizia a ruotare attorno all'asse MA, perpendicolare al piano del disegno, secondo la legge φ \u003d (tg / 6) (3 ^ 2 - 1) rad (/- in secondi). Definire: u=f.
§ 17.3. Teorema sul moto del baricentro
Il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico può essere espresso in un'altra forma, chiamata teorema sul moto del centro di massa.
Sostituendo nell'equazione (17.11) l'uguaglianza Q=MV C , noi abbiamo
Se massa M il sistema è costante, otteniamo
dove e con - accelerazione del baricentro del sistema.
L'equazione (17.15) esprime il teorema sul moto del baricentro del sistema: il prodotto della massa del sistema per l'accelerazione del suo centro di massa è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne agenti sul sistema.
Proiettando l'uguaglianza (17.15) sugli assi delle coordinate, otteniamo
dove x c , y c , z c - coordinate del baricentro del sistema.
Queste equazioni sono equazioni differenziali del moto del baricentro nelle proiezioni sull'asse sistema cartesiano coordinate.
Discutiamo dei risultati. Ricordiamo preliminarmente che il centro di massa del sistema è un punto geometrico, posto talvolta al di fuori dei confini geometrici del corpo. Le forze che agiscono sul sistema meccanico (esterno ed interno) vengono applicate a tutti i punti materiali del sistema. Le equazioni (17.15) consentono di determinare il moto del baricentro del sistema senza determinare il moto dei suoi singoli punti. Confrontando le equazioni (17.15) del teorema sul moto del centro di massa e l'equazione (13.5) della seconda legge di Newton per un punto materiale, giungiamo alla conclusione: il centro di massa di un sistema meccanico si muove come un punto materiale, la cui massa è uguale alla massa dell'intero sistema, e come se tutte le forze esterne agenti sul sistema fossero applicate a questo punto. Quindi, le soluzioni che otteniamo considerando dato corpo come punto materiale, determinare la legge del moto del centro di massa di questo corpo.
In particolare, se il corpo avanza, le caratteristiche cinematiche di tutti i punti del corpo e del suo centro di massa sono le stesse. Così un corpo in progressivo movimento può sempre essere considerato come un punto materiale con una massa, uguale alla massa di tutto il corpo.
Come si può vedere dalla (17.15), le forze interne agenti sui punti del sistema non influiscono sul moto del baricentro del sistema. Le forze interne possono influenzare il movimento del baricentro nei casi in cui le forze esterne cambiano sotto la loro influenza. Esempi di ciò verranno forniti di seguito.
Dal teorema sul moto del baricentro si ottengono le seguenti importanti conseguenze, che esprimono la legge di conservazione del moto del baricentro del sistema.
1. Se la somma geometrica di tutte le forze esterne agenti sul sistema è zero (LF k=0), quindi dall'equazione (17.15),
che dire un c = 0 o V c = const, ovvero il centro di massa di questo sistema
si muove con velocità costante in grandezza e direzione (altrimenti, uniformemente e rettilineo). In un caso particolare, se all'inizio il baricentro era fermo ( Vc=0), allora rimarrà a riposo; dove
traccia prevede che la sua posizione nello spazio non cambierà, ad es. rc = cost.
2. Se le forze esterne agenti sul sistema sono tali che la somma delle loro proiezioni su qualche asse (ad esempio l'asse X) zero (?F e kx= 0), quindi dall'equazione (17.16) segue che in questo caso x s=0 o V Cx \u003d x c \u003d const, cioè la proiezione della velocità del centro di massa del sistema su questo asse è un valore costante. In un caso speciale, se al momento iniziale Vex= 0, quindi in qualsiasi momento successivo questo valore verrà mantenuto, e quindi ne consegue che la coordinata x s il baricentro del sistema non cambierà, cioè x s - cost.
Considera degli esempi che illustrano la legge del moto del centro di massa.
Esempi. 1. Come notato, il movimento del baricentro dipende solo da forze esterne, le forze interne non possono modificare la posizione del baricentro. Ma le forze interne del sistema possono causare influenze esterne. Quindi, il movimento di una persona su una superficie orizzontale avviene sotto l'azione delle forze di attrito tra le suole delle sue scarpe e il manto stradale. Con la forza dei suoi muscoli (forze interne), una persona spinge fuori dal manto stradale con i piedi, il che provoca una forza di attrito (esterna per una persona) nei punti di contatto con la strada, diretta nella direzione del suo movimento.
- 2. L'auto si muove allo stesso modo. Le forze di pressione interne nel suo motore fanno girare le ruote, ma poiché queste ultime hanno trazione, le forze di attrito che si creano "spingono" l'auto in avanti (di conseguenza, le ruote non ruotano, ma si muovono in modo piano-parallelo) . Se la strada è assolutamente liscia, il baricentro dell'auto sarà fermo (a velocità iniziale zero) e le ruote, in assenza di attrito, scivoleranno, cioè ruoteranno.
- 3. Il movimento con l'aiuto di un'elica, un'elica, dei remi avviene a causa del rifiuto di una certa massa d'aria (o acqua). Se consideriamo la massa scartata e il corpo in movimento come un unico sistema, le forze di interazione tra di loro, come interne, non possono cambiare la quantità di moto totale di questo sistema. Tuttavia, ciascuna delle parti di questo sistema si sposterà, ad esempio, la barca in avanti e l'acqua lanciata dai remi si sposterà all'indietro.
- 4. Nello spazio senz'aria, quando il razzo è in movimento, la "massa scartata" dovrebbe essere "portata con te": il motore a reazione informa il razzo sul movimento respingendo i prodotti della combustione del carburante di cui è pieno il razzo.
- 5. Quando si scende con un paracadute, è possibile controllare il movimento del baricentro del sistema uomo-paracadute. Se con uno sforzo muscolare una persona tira le cime del paracadute in modo tale che la forma della sua calotta o l'angolo di attacco del flusso d'aria cambi, ciò causerà un cambiamento nell'influenza esterna del flusso d'aria, e quindi influenzerà il movimento dell'intero sistema.
Problema 17.2. A il compito 17.1 (vedi Figura 17.2) determina: 1) legge di moto del carrello X (= /)(/), se è noto al momento iniziale t 0 = Circa il sistema era fermo e la coordinata x 10 = 0; 2) la legge di variazione nel tempo del valore totale della reazione normale N(N = N" + N") piano orizzontale, cioè N=f 2 (t).
Decisione. Qui, come nel problema 17.1, consideriamo un sistema costituito da un carrello e un carico D, in una posizione arbitraria sotto l'azione di forze esterne ad esso applicate (vedi Fig. 17.2). Coordinare gli assi Oh disegnare in modo che l'asse x sia orizzontale e l'asse x A passato per il punto A 0 , cioè la posizione del punto MA al tempo t-t 0 - 0.
1. Determinazione della legge di moto del carro. Per determinare x, = /, (0, utilizziamo il teorema sul moto del baricentro del sistema. Componiamo un'equazione differenziale del suo moto in proiezione sull'asse x:
Poiché tutte le forze esterne sono verticali, quindi T, F e kx = 0, e quindi
Integrando questa equazione, troviamo quella Mx c \u003d B, cioè, la proiezione della velocità del centro di massa del sistema sull'asse x è un valore costante. Dal momento iniziale del tempo
Integrazione dell'equazione Mx s= 0, otteniamo
cioè coordinare x s il baricentro del sistema è costante.
Scriviamo l'espressione Mx s per una posizione arbitraria del sistema (vedi Fig. 17.2), tenendo conto che x A - x { , x D - x 2 e x 2 - x ( - io peccato f. Secondo la formula (16.5), che determina, in questo caso, la coordinata del baricentro del sistema Mx s - t(x( + t 2 x 2".
per un momento arbitrario
per punto temporale / () = 0, X (= 0 e
In accordo con l'uguaglianza (b), la coordinata x s il baricentro dell'intero sistema rimane invariato, cioè xc (t). Pertanto, eguagliando le espressioni (c) e (d), otteniamo la dipendenza della coordinata x dal tempo.
Risposta: X - 0,2 m, dove t- in secondi.
2. Definizione della reazione N. Per determinare N=f 2 (t) componiamo l'equazione differenziale del moto del baricentro del sistema in proiezione sull'asse verticale A(vedi fig. 17.2):
Quindi, denotando N=N+N", noi abbiamo
Secondo la formula che determina l'ordinata noi il centro di massa del sistema, Mu s = t (y x + t 2 e 2, dove y, = in C1,alle 2= e D = Inun ~ 1 cos Ф» otteniamo
Differenziando questa uguaglianza due volte rispetto al tempo (tenendo conto che in C1 e all'A le quantità sono costanti e, di conseguenza, le loro derivate sono pari a zero), troviamo
Sostituendo questa espressione nell'equazione (e), determiniamo la dipendenza richiesta N a partire dal t.
Risposta: N- 176,4 + 1,13,
dove φ \u003d (i / 6) (3 / -1), t- in secondi N- in newton.
Problema 17.3. Massa motore elettrico tx fissato alla superficie orizzontale della fondazione con bulloni (Fig. 17.3). Sull'albero motore ad angolo retto rispetto all'asse di rotazione, un'asta senza peso di lunghezza l è fissata a un'estremità e un peso puntuale è montato sull'altra estremità dell'asta MA il peso t 2 . L'albero ruota uniformemente ad una velocità angolare o. Trova la pressione orizzontale del motore sui bulloni. Decisione. Si consideri un sistema meccanico costituito da un motore e un peso puntuale MA, in una posizione arbitraria. Descriviamo le forze esterne che agiscono sul sistema: la gravità Rx, R2, reazione di fondazione sotto forma di una forza verticale N e forza orizzontale R. Spendiamo asse delle coordinate x orizzontalmente.
Per determinare la pressione orizzontale del motore sui bulloni (e sarà numericamente uguale alla reazione R e diretto opposto al vettore R ), componiamo l'equazione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in proiezione sull'asse orizzontale x:
Per il sistema in esame nella sua posizione arbitraria, dato che la quantità di movimento dell'alloggiamento del motore è zero, otteniamo Qx = - t 2 U A col. Tenendo conto che VA = a s/, φ = ω/ (rotazione uniforme del motore), otteniamo Q x - - m 2 co/cos co/. differenziando Qx nel tempo e sostituendo l'uguaglianza (a), troviamo R- m 2 co 2 /peccato co/.
Si noti che sono proprio tali forze che stanno forzando (vedi § 14.3), quando agiscono, vibrazioni forzate strutture.
Esercizi per lavoro indipendente
- 1. Come si chiama la quantità di moto di un punto e un sistema meccanico?
- 2. Come cambia la quantità di moto di un punto che si muove uniformemente attorno a un cerchio?
- 3. Cosa caratterizza l'impulso di forza?
- 4. Le forze interne del sistema influiscono sulla sua quantità di moto? Sul movimento del suo centro di massa?
- 5. In che modo le coppie di forze applicate ad esso influiscono sul movimento del baricentro del sistema?
- 6. In quali condizioni il baricentro del sistema è fermo? muoversi uniformemente e in linea retta?
7. In una barca ferma, in assenza di flusso d'acqua, un adulto si siede a poppa e un bambino si siede a prua della barca. In quale direzione si muoverà la barca se si scambiano i posti?
In tal caso il modulo dislocante della barca sarà grande: 1) se il bambino va dall'adulto a poppa; 2) se un adulto va dal bambino a prua della barca? Quali saranno gli spostamenti del baricentro del sistema “barca e due persone” durante questi movimenti?