Le vibrazioni forzate sono chiamate vibrazioni che si verificano nel sistema sotto l'azione di una forza motrice esterna che cambia periodicamente, chiamata forza motrice.

La natura (dipendenza dal tempo) della forza motrice può essere diversa. Può essere una forza che cambia secondo la legge armonica. Ad esempio, un'onda sonora, la cui sorgente è un diapason, colpisce il timpano o la membrana del microfono. Una forza di pressione dell'aria che cambia armonicamente inizia ad agire sulla membrana.

La forza motrice può essere sotto forma di shock o brevi impulsi. Ad esempio, un adulto fa oscillare un bambino su un'altalena, spingendolo periodicamente nel momento in cui l'altalena raggiunge una delle posizioni estreme.

Il nostro compito è scoprire come sistema oscillatorio sull'effetto di una forza motrice che cambia periodicamente.

§ 1 La forza motrice cambia secondo la legge armonica

F cont = - rv x e forza motrice F out \u003d F 0 sin wt.

La seconda legge di Newton si scrive:

La soluzione dell'equazione (1) viene cercata nella forma , dove è la soluzione dell'equazione (1), se non ha il lato destro. Si può vedere che senza il lato destro, l'equazione si trasforma nell'equazione delle oscillazioni smorzate a noi note, la cui soluzione già conosciamo. Per un tempo sufficientemente lungo, le oscillazioni libere che si verificano nel sistema quando viene portato fuori dall'equilibrio si estingueranno praticamente e solo il secondo termine rimarrà nella soluzione dell'equazione. Cercheremo questa soluzione nel modulo
Raggruppiamo i termini in modo diverso:

Questa uguaglianza deve valere in qualsiasi momento t, il che è possibile solo se i coefficienti al seno e al coseno sono uguali a zero.

Quindi il corpo, su cui agisce la forza motrice, variando secondo la legge armonica, compie un moto oscillatorio con la frequenza della forza motrice.

Esaminiamo più in dettaglio la questione dell'ampiezza delle oscillazioni forzate:

1 L'ampiezza delle oscillazioni forzate stazionarie non cambia nel tempo. (Confrontare con l'ampiezza delle oscillazioni smorzate libere).

2 L'ampiezza delle oscillazioni forzate è direttamente proporzionale all'ampiezza della forza motrice.

3 L'ampiezza dipende dall'attrito nel sistema (A dipende da d e il fattore di smorzamento d, a sua volta, dipende dal coefficiente di resistenza r). Maggiore è l'attrito nel sistema, minore è l'ampiezza delle oscillazioni forzate.

4 L'ampiezza delle oscillazioni forzate dipende dalla frequenza della forza motrice w. Come? Studiamo la funzione A(w).

Quando w = 0 (una forza costante agisce sul sistema oscillatorio), lo spostamento del corpo è invariato nel tempo (si tenga presente che si tratta dello stato stazionario, quando le oscillazioni naturali si sono quasi estinte).

· Quando w ® ¥, allora, come è facile vedere, l'ampiezza A tende a zero.

È ovvio che ad una certa frequenza della forza motrice, prenderà l'ampiezza delle oscillazioni forzate valore più alto(per una data d). Il fenomeno di un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate a certo valore la frequenza della forza motrice è chiamata risonanza meccanica.

È interessante notare che il fattore di qualità del sistema oscillatorio in questo caso mostra quante volte l'ampiezza di risonanza supera lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio sotto l'azione di una forza F 0 costante.

Vediamo che sia la frequenza di risonanza che l'ampiezza di risonanza dipendono dal fattore di smorzamento d. Man mano che d diminuisce a zero, la frequenza di risonanza aumenta e tende alla frequenza delle oscillazioni naturali del sistema w 0 . In questo caso, l'ampiezza di risonanza aumenta e, a d = 0, diventa infinito. Naturalmente, in pratica, l'ampiezza delle oscillazioni non può essere infinita, poiché le forze di resistenza agiscono sempre nei sistemi oscillatori reali. Se il sistema ha un basso smorzamento, approssimativamente possiamo supporre che la risonanza avvenga alla frequenza delle oscillazioni naturali:

dove nel caso in esame è lo sfasamento tra la forza motrice e lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio.

È facile vedere che lo sfasamento tra la forza e lo spostamento dipende dall'attrito nel sistema e dalla frequenza della forza motrice esterna. Questa dipendenza è mostrata nella figura. Si vede che a< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- positivo.

Conoscendo la dipendenza dall'angolo, si può ottenere la dipendenza dalla frequenza della forza motrice.

A frequenze della forza esterna significativamente inferiori alla propria, lo spostamento è leggermente indietro rispetto alla forza motrice in fase. All'aumentare della frequenza della forza esterna, questo ritardo di fase aumenta. Alla risonanza (se piccola), lo sfasamento diventa uguale a . A >>, le fluttuazioni di spostamento e di forza si verificano in antifase. Una tale dipendenza può sembrare strana a prima vista. Per comprendere questo fatto, passiamo alle trasformazioni energetiche nel processo di oscillazioni forzate.

§ 2 Trasformazioni energetiche

Come già sappiamo, l'ampiezza dell'oscillazione è determinata dall'energia totale del sistema oscillatorio. In precedenza, è stato dimostrato che l'ampiezza delle oscillazioni forzate rimane invariata nel tempo. Ciò significa che l'energia meccanica totale del sistema oscillatorio non cambia nel tempo. Come mai? Dopotutto, il sistema non è chiuso! Due forze - una forza esterna che cambia periodicamente e una forza di resistenza - svolgono un lavoro che dovrebbe modificare l'energia totale del sistema.

Proviamo a capire qual è il problema. La potenza della forza motrice esterna può essere trovata come segue:

Vediamo che la potenza della forza esterna, che alimenta di energia il sistema oscillatorio, è proporzionale all'ampiezza dell'oscillazione.

A causa del lavoro della forza di resistenza, l'energia del sistema oscillatorio dovrebbe diminuire, trasformandosi in energia interna. Potenza della forza di resistenza:

Ovviamente, la potenza della forza di trascinamento è proporzionale al quadrato dell'ampiezza. Tracciamo entrambe le dipendenze sul grafico.

Affinché le oscillazioni siano stabili (l'ampiezza non cambia nel tempo), il lavoro della forza esterna nel periodo deve compensare le perdite di energia del sistema dovute al lavoro della forza di resistenza. Il punto di intersezione dei grafici di potenza corrisponde proprio a questa modalità. Immagina che per qualche motivo l'ampiezza delle oscillazioni forzate sia diminuita. Ciò porterà al fatto che la potenza istantanea della forza esterna sarà maggiore della potenza delle perdite. Ciò comporterà un aumento dell'energia del sistema oscillatorio e l'ampiezza dell'oscillazione ripristinerà il suo valore precedente.

Allo stesso modo, si può vedere che con un aumento casuale dell'ampiezza dell'oscillazione, la potenza dispersa supererà la potenza della forza esterna, il che comporterà una diminuzione dell'energia del sistema e, di conseguenza, una diminuzione dell'ampiezza .

Torniamo alla questione dello sfasamento tra lo spostamento e la forza motrice in risonanza. Abbiamo già mostrato che lo spostamento è in ritardo, il che significa che la forza è davanti allo spostamento di . D'altra parte, la proiezione della velocità nel processo di oscillazioni armoniche conduce sempre la coordinata di . Ciò significa che alla risonanza, la forza motrice esterna e la velocità oscillano nella stessa fase. Quindi sono co-diretti in qualsiasi momento! Il lavoro svolto dalla forza esterna in questo caso è sempre positivo. Tutto va a rifornire di energia il sistema oscillatorio.

§ 3 Azione periodica non sinusoidale

Le oscillazioni forzate di un oscillatore sono possibili sotto qualsiasi influenza esterna periodica, e non solo sinusoidale. In questo caso, le oscillazioni stazionarie, in generale, non saranno sinusoidali, ma rappresenteranno un movimento periodico con un periodo uguale al periodo dell'influenza esterna.

Un'influenza esterna può essere, ad esempio, spinte successive (ricorda come un adulto "dondola" un bambino seduto su un'altalena). Se il periodo degli shock esterni coincide con il periodo delle oscillazioni naturali, nel sistema potrebbe verificarsi una risonanza. In questo caso, le oscillazioni saranno quasi sinusoidali. L'energia impartita al sistema ad ogni spinta reintegra l'energia totale del sistema persa a causa dell'attrito. È chiaro che in questo caso sono possibili opzioni: se l'energia impartita durante la spinta è uguale o superiore alle perdite per attrito per il periodo, le oscillazioni saranno o stazionarie o la loro ampiezza aumenterà. Questo è chiaramente visibile nel diagramma di fase.

È ovvio che la risonanza è possibile anche nel caso in cui il periodo di ripetizione degli shock sia un multiplo del periodo di oscillazioni naturali. Questo è impossibile con la natura sinusoidale dell'influenza esterna.

D'altra parte, anche se la frequenza dello shock coincide con la frequenza naturale, la risonanza potrebbe non essere osservata. Se solo la perdita di attrito per periodo supera l'energia ricevuta dal sistema durante la spinta, l'energia totale del sistema diminuirà e le oscillazioni verranno smorzate.

§ 4 Risonanza parametrica

Un'influenza esterna su un sistema oscillatorio può essere ridotta a una variazione periodica dei parametri del sistema oscillatorio stesso. Le oscillazioni eccitate in questo modo sono dette parametriche e il meccanismo stesso è chiamato risonanza parametrica .

Proviamo innanzitutto a rispondere alla domanda: è possibile far oscillare le piccole oscillazioni già esistenti nel sistema modificando periodicamente alcuni dei suoi parametri in un certo modo.

Ad esempio, considera di far oscillare una persona su un'altalena. Piegando e raddrizzando le gambe nei momenti "necessari", cambia effettivamente la lunghezza del pendolo. In posizioni estreme, una persona si accovaccia, abbassando così leggermente il baricentro del sistema oscillatorio, nella posizione centrale, una persona si raddrizza, alzando il baricentro del sistema.

Per capire perché una persona oscilla contemporaneamente, considera un modello estremamente semplificato di una persona su un'altalena: un normale piccolo pendolo, cioè un piccolo peso su un filo leggero e lungo. Per simulare il sollevamento e l'abbassamento del baricentro, faremo passare l'estremità superiore del filo attraverso un piccolo foro e tireremo il filo nei momenti in cui il pendolo supera la posizione di equilibrio, e abbasseremo il filo della stessa quantità quando il pendolo supera la posizione estrema.

Il lavoro della forza di tensione del filo per il periodo (tenendo conto del fatto che il carico viene sollevato e abbassato due volte per periodo e che D l << l):

Si noti che tra parentesi non c'è altro che l'energia triplicata del sistema oscillatorio. A proposito, questo valore è positivo, quindi il lavoro della forza di tensione (il nostro lavoro) è positivo, porta ad un aumento dell'energia totale del sistema, e quindi all'oscillazione del pendolo.

È interessante notare che la variazione relativa dell'energia in un periodo non dipende dal fatto che il pendolo oscilli debolmente o fortemente. Questo è molto importante, ed ecco perché. Se il pendolo "non viene pompato" con energia, per ogni periodo perderà una certa parte della sua energia a causa della forza di attrito e le oscillazioni si smorzeranno. E affinché la gamma delle oscillazioni aumenti, è necessario che l'energia acquisita superi l'energia persa per vincere l'attrito. E questa condizione, si scopre, è la stessa, sia a una piccola ampiezza che a una grande.

Ad esempio, se in un periodo l'energia delle oscillazioni libere diminuisce del 6%, affinché le oscillazioni di un pendolo lungo 1 m non siano umide, è sufficiente ridurre la sua lunghezza di 1 cm nella posizione centrale e aumentare per la stessa quantità nella posizione estrema.

Torna all'altalena: una volta che inizi a oscillare, non è necessario accovacciarti sempre più a fondo: accovacciati sempre allo stesso modo e volerai sempre più in alto!

*** Bontà ancora!

Come abbiamo già detto, per l'accumulo parametrico delle oscillazioni, è necessario soddisfare la condizione DE > A attrito per periodo.

Trova il lavoro della forza di attrito per il periodo

Si può notare che il valore relativo del sollevamento del pendolo per il suo accumulo è determinato dal fattore di qualità del sistema.

§ 5 Significato della risonanza

Le vibrazioni e la risonanza forzate sono ampiamente utilizzate nell'ingegneria, in particolare nell'acustica, nell'ingegneria elettrica e nell'ingegneria radiofonica. La risonanza, prima di tutto, viene utilizzata quando, da un ampio insieme di oscillazioni di diverse frequenze, si vogliono selezionare oscillazioni di una certa frequenza. La risonanza viene utilizzata anche nello studio di quantità molto deboli che si ripetono periodicamente.

Tuttavia, in alcuni casi, la risonanza è un fenomeno indesiderabile, poiché può portare a grandi deformazioni e distruzione delle strutture.

§ 6 Esempi di problem solving

Task 1 Oscillazioni forzate di un pendolo a molla sotto l'azione di una forza sinusoidale esterna.

Un carico di massa m = 10 g è stato sospeso ad una molla con una rigidità k = 10 N/m e il sistema è stato posto in un mezzo viscoso con un coefficiente di resistenza r = 0,1 kg/s. Confronta le frequenze naturali e risonanti del sistema. Determinare l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo in risonanza sotto l'azione di una forza sinusoidale con un'ampiezza F 0 = 20 mN.

Decisione:

1 La frequenza naturale di un sistema oscillante è la frequenza delle oscillazioni libere in assenza di attrito. La frequenza ciclica naturale è, frequenza di oscillazione.

2 La frequenza di risonanza è la frequenza della forza motrice esterna alla quale l'ampiezza delle vibrazioni forzate aumenta bruscamente. La frequenza ciclica di risonanza è , dove è il coefficiente di attenuazione uguale a .

Pertanto, la frequenza di risonanza è . È facile vedere che la frequenza di risonanza è inferiore alla sua! Si può anche vedere che minore è l'attrito nel sistema (r), più vicina è la frequenza di risonanza alla propria.

3 L'ampiezza di risonanza è

Task 2 Ampiezza risonante e fattore di qualità di un sistema oscillatorio

Un carico di massa m = 100 g è stato sospeso ad una molla con una rigidità k = 10 N/m ed il sistema è stato posto in un mezzo viscoso con un coefficiente di resistenza aerodinamica

r = 0,02 kg/s. Determinare il fattore di qualità del sistema oscillatorio e l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo in risonanza sotto l'azione di una forza sinusoidale con un'ampiezza F 0 = 10 mN. Trova il rapporto tra l'ampiezza di risonanza e lo spostamento statico sotto l'azione di una forza costante F 0 = 20 mN e confronta questo rapporto con il fattore di qualità.

Decisione:

1 Il fattore di qualità del sistema oscillatorio è , dove è il decremento logaritmico dello smorzamento.

Il decremento logaritmico dello smorzamento è .

Troviamo il fattore di qualità del sistema oscillatorio.

2 L'ampiezza di risonanza è

3 Lo spostamento statico sotto l'azione di una forza costante F 0 = 10 mN è .

4 Il rapporto tra l'ampiezza di risonanza e lo spostamento statico sotto l'azione di una forza costante F 0 è uguale a

È facile vedere che questo rapporto coincide con il fattore di qualità del sistema oscillatorio

Compito 3 Vibrazioni di risonanza di un raggio

Sotto l'influenza del peso del motore elettrico, la vasca a sbalzo, su cui è installata, si è piegata di . A quale numero di giri dell'indotto del motore può esserci pericolo di risonanza?

Decisione:

1 Il corpo del motore e la trave su cui è installato subiscono urti periodici dal lato dell'ancora rotante del motore e, quindi, con la frequenza degli urti, compiono oscillazioni forzate.

La risonanza sarà osservata quando la frequenza di ripetizione degli urti coincide con la frequenza naturale di oscillazione del raggio con il motore. È necessario trovare la frequenza di oscillazione naturale del sistema trave-motore.

2 Un analogo del raggio del sistema oscillante - motore può essere un pendolo a molla verticale, la cui massa è uguale alla massa del motore. La frequenza naturale di oscillazione del pendolo a molla è . Ma non si conoscono la rigidità della molla e la massa del motore! Come essere?

3 Nella posizione di equilibrio del pendolo a molla, la forza di gravità del carico è bilanciata dalla forza di elasticità della molla

4 Troviamo la rotazione dell'indotto del motore, cioè frequenza di scossa

Problema 4 Oscillazioni forzate di un pendolo a molla sotto l'azione di shock periodici.

Un peso di massa m = 0,5 kg è sospeso ad una molla elicoidale con rigidità k = 20 N/m. Il decremento logaritmico dello smorzamento del sistema oscillatorio è . Vogliono far oscillare il peso con brevi scatti, agendo sul peso con una forza F = 100 mN per un tempo τ = 0,01 s. Quale dovrebbe essere la frequenza di ripetizione degli impatti affinché l'ampiezza del kettlebell sia la più grande? In quali momenti e in quale direzione dovrebbe essere spinto il kettlebell? A quale ampiezza sarà possibile far oscillare il kettlebell in questo modo?

Decisione:

1 Con qualsiasi azione periodica possono verificarsi vibrazioni forzate. In questo caso, l'oscillazione costante si verificherà con la frequenza di ripetizione dell'azione esterna. Se il periodo degli shock esterni coincide con la frequenza delle oscillazioni naturali, nel sistema si verifica una risonanza: l'ampiezza delle oscillazioni diventa la più grande. Nel nostro caso, per l'inizio della risonanza, il periodo di ripetizione degli shock deve coincidere con il periodo di oscillazione del pendolo a molla.

Il decremento logaritmico dello smorzamento è piccolo, quindi c'è poco attrito nel sistema e il periodo di oscillazione del pendolo in un mezzo viscoso coincide praticamente con il periodo di oscillazione del pendolo nel vuoto:

2 Ovviamente la direzione degli shock deve coincidere con la velocità del kettlebell. In questo caso, il lavoro della forza esterna che reintegra l'energia nel sistema sarà positivo. E le vibrazioni oscilleranno. L'energia ricevuta dal sistema durante l'impatto

sarà massimo quando il carico supera la posizione di equilibrio, perché in questa posizione la velocità del pendolo è massima.

Quindi, il sistema oscillerà più rapidamente sotto l'azione degli urti nella direzione del movimento del carico quando supera la posizione di equilibrio.

3 L'ampiezza dell'oscillazione cessa di crescere quando l'energia impartita al sistema durante l'urto sarà pari alla perdita di energia per attrito nel periodo: .

Troviamo la perdita di energia per il periodo attraverso il fattore di qualità del sistema oscillatorio

dove E è l'energia totale del sistema oscillatorio, che può essere calcolata come .

Sostituiamo al posto dell'energia delle perdite l'energia ricevuta dal sistema durante l'impatto:

La velocità massima durante l'oscillazione è . Con questo in mente, otteniamo .

§7 Compiti per soluzione indipendente

Prova "Vibrazioni forzate"

1 Quali vibrazioni si chiamano forzate?

A) Oscillazioni che si verificano sotto l'azione di forze esterne che cambiano periodicamente;

B) Oscillazioni che si verificano nel sistema a seguito di una spinta esterna;

2 Quale delle seguenti oscillazioni è forzata?

A) Oscillazione di un carico sospeso ad una molla dopo il suo unico scostamento dalla posizione di equilibrio;

B) Vibrazione del diffusore dell'altoparlante durante il funzionamento del ricevitore;

C) Oscillazione di un carico sospeso da una molla dopo un singolo urto sul carico in posizione di equilibrio;

D) Vibrazione del corpo del motore elettrico durante il suo funzionamento;

E) Vibrazioni del timpano di una persona che ascolta musica.

3 Un sistema oscillatorio a frequenza naturale è influenzato da una forza motrice esterna che cambia secondo la legge. Il coefficiente di smorzamento nel sistema oscillatorio è . Secondo quale legge le coordinate del corpo cambiano nel tempo?

C) L'ampiezza delle oscillazioni forzate rimarrà invariata, poiché le perdite di energia del sistema dovute all'attrito saranno compensate dal guadagno di energia dovuto al lavoro della forza motrice esterna.

5 Il sistema esegue oscillazioni forzate sotto l'azione di una forza sinusoidale. Specificare Tutto fattori da cui dipende l'ampiezza di queste oscillazioni.

A) Dall'ampiezza della forza motrice esterna;

B) La presenza di un sistema oscillatorio di energia al momento dell'inizio dell'azione di una forza esterna;

C) Parametri del sistema oscillatorio stesso;

D) Attrito nel sistema oscillatorio;

E) L'esistenza di oscillazioni naturali nel sistema nel momento in cui la forza esterna inizia ad agire;

E) Il tempo di stabilirsi delle oscillazioni;

G) Frequenze della forza motrice esterna.

6 Una barra di massa m esegue oscillazioni armoniche forzate lungo un piano orizzontale di periodo T e ampiezza A. Coefficiente di attrito μ. Quale lavoro svolge la forza motrice esterna in un tempo pari al periodo T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; C) μmgA; D) 0;

E) Non è possibile dare una risposta, poiché l'entità della forza motrice esterna non è nota.

7 Fai una dichiarazione corretta

La risonanza è il fenomeno...

A) Coincidenza della frequenza della forza esterna con la frequenza naturale del sistema oscillatorio;

B) Un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate.

La risonanza è osservata nella condizione

A) Riduzione dell'attrito nel sistema oscillatorio;

B) Aumento dell'ampiezza della forza motrice esterna;

C) Coincidenza della frequenza della forza esterna con la frequenza naturale del sistema oscillatorio;

D) Quando la frequenza della forza esterna coincide con la frequenza di risonanza.

8 Il fenomeno della risonanza può essere osservato in ...

A) In qualsiasi sistema oscillatorio;

B) In un sistema che esegue oscillazioni libere;

C) In un sistema auto-oscillante;

D) In ​​un sistema che esegue oscillazioni forzate.

9 La figura mostra un grafico della dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni forzate dalla frequenza della forza motrice. La risonanza avviene ad una frequenza...

10 Tre pendoli identici in diversi mezzi viscosi eseguono oscillazioni forzate. La figura mostra le curve di risonanza per questi pendoli. Quale dei pendoli subisce la maggiore resistenza dal mezzo viscoso durante il processo di oscillazione?

A) 1; B) 2; IN 3;

D) Non è possibile dare una risposta, poiché l'ampiezza delle oscillazioni forzate, oltre alla frequenza della forza esterna, dipende anche dalla sua ampiezza. La condizione non dice nulla sull'ampiezza della forza motrice esterna.

11 Il periodo delle vibrazioni naturali del sistema oscillatorio è pari a T 0 . Quale può essere il periodo di ripetizione degli shock in modo che l'ampiezza delle oscillazioni aumenti bruscamente, cioè si verifichi una risonanza nel sistema?

A) T0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Puoi oscillare l'altalena con spinte di qualsiasi frequenza.

12 Il tuo fratellino è seduto su un'altalena, lo dondoli con brevi spinte. Quale dovrebbe essere il periodo delle scosse di assestamento affinché il processo proceda nel modo più efficiente? Il periodo di oscillazioni naturali dello swing T 0 .

D) Puoi oscillare l'altalena con spinte di qualsiasi frequenza.

13 Il tuo fratellino è seduto su un'altalena, lo dondoli con brevi spinte. In quale posizione dell'oscillazione dovrebbe essere effettuata la spinta e in quale direzione dovrebbe essere effettuata la spinta affinché il processo avvenga nel modo più efficiente?

A) Spingere nella posizione estrema superiore dell'altalena nella direzione della posizione di equilibrio;

B) Spingere nella posizione estrema superiore dell'altalena nella direzione dalla posizione di equilibrio;

B) Spingere in posizione di equilibrio nella direzione di movimento dell'altalena;

D) Puoi spingere in qualsiasi posizione, ma sempre nella direzione dell'oscillazione.

14 Sembrerebbe che sparando da una fionda al ponte a tempo con le proprie vibrazioni e facendo molti colpi, possa essere fortemente scosso, ma è improbabile che ciò riesca. Come mai?

A) La massa del ponte (la sua inerzia) è grande rispetto alla massa del "proiettile" della fionda, il ponte non potrà muoversi sotto l'influenza di tali colpi;

B) La forza d'impatto del "proiettile" della fionda è così piccola che il ponte non sarà in grado di muoversi sotto l'influenza di tali impatti;

C) L'energia impartita al ponte in un colpo solo è molto inferiore alla perdita di energia dovuta all'attrito nel periodo.

15 Stai portando un secchio d'acqua. L'acqua nel secchio ondeggia e schizza fuori. Cosa si può fare per evitare che ciò accada?

A) Agitare la mano in cui si trova il secchio in tempo con il camminare;

B) Modificare la velocità di movimento, lasciando invariata la lunghezza dei gradini;

C) Fermarsi periodicamente e attendere che le vibrazioni dell'acqua si calmino;

D) Assicurarsi che durante il movimento la mano con il secchio sia posizionata rigorosamente in verticale.

Compiti

1 Il sistema esegue oscillazioni smorzate con una frequenza di 1000 Hz. Determina la frequenza v0 vibrazioni naturali, se la frequenza di risonanza

2 Determina quanto D v la frequenza di risonanza è diversa dalla frequenza naturale v0= 1000 Hz di un sistema oscillatorio caratterizzato da un coefficiente di smorzamento d = 400s -1.

3 Una massa di 100 g, sospesa su una molla di rigidità 10 N/m, compie oscillazioni forzate in un mezzo viscoso con coefficiente di resistenza r = 0,02 kg/s. Determinare il fattore di smorzamento, la frequenza di risonanza e l'ampiezza. Il valore di ampiezza della forza motrice è 10 mN.

4 Le ampiezze delle oscillazioni armoniche forzate alle frequenze w 1 = 400 s -1 e w 2 = 600 s -1 sono uguali tra loro. Determina la frequenza di risonanza.

5 I camion entrano in un magazzino di grano su una strada sterrata da un lato, scaricano ed escono dal magazzino alla stessa velocità, ma dall'altro lato. Quale lato del magazzino ha più buche sulla strada rispetto all'altro? Come determinare da quale lato del magazzino l'ingresso e quale uscita sono determinati dalle condizioni della strada? Giustifica la tua risposta

La perdita di energia meccanica in qualsiasi sistema oscillatorio dovuta alla presenza di forze di attrito è inevitabile, quindi, senza "pompare" energia dall'esterno, le oscillazioni saranno smorzate. Esistono diversi modi fondamentalmente diversi per creare sistemi oscillatori di oscillazioni non smorzate. Diamo un'occhiata più da vicino oscillazioni non smorzate sotto l'azione di una forza periodica esterna. Tali oscillazioni sono dette forzate. Continuiamo a studiare il moto di un pendolo armonico (Fig. 6.9).

Oltre alle forze elastiche e all'attrito viscoso precedentemente considerate, la palla viene agita da un esterno avvincente forza periodica che varia secondo la legge armonica

frequenza, che può differire dalla frequenza naturale del pendolo ω o. La natura di questa forza non è importante per noi in questo caso. Tale forza può essere creata in vari modi, ad esempio impartendo una carica elettrica alla palla e ponendola in un campo elettrico alternato esterno. L'equazione del moto della palla nel caso in esame ha la forma

Lo dividiamo per la massa della pallina e utilizziamo la notazione precedente per i parametri del sistema. Di conseguenza, otteniamo equazione di vibrazione forzata:

dove f o = F o /mè il rapporto tra il valore dell'ampiezza della forza motrice esterna e la massa della palla. La soluzione generale dell'Eq. (3) è piuttosto ingombrante e, ovviamente, dipende da  condizioni iniziali. La natura del movimento della palla, descritta dall'equazione (3), è comprensibile: sotto l'azione della forza motrice sorgono oscillazioni la cui ampiezza aumenterà. Questo regime transitorio è piuttosto complicato e dipende dalle condizioni iniziali. Dopo un certo periodo di tempo, si stabilirà il regime oscillatorio, la loro ampiezza cesserà di cambiare. Esattamente oscillazione in regime stazionario, in molti casi è di interesse primario. Non considereremo il passaggio del sistema allo stato stazionario, ma ci concentreremo sulla descrizione e lo studio delle caratteristiche di questo regime. Con una tale affermazione del problema, non è necessario impostare le condizioni iniziali , poiché il regime di stato stazionario che ci interessa non dipende dalle condizioni iniziali, le sue caratteristiche sono completamente determinate dall'equazione stessa. Abbiamo incontrato una situazione simile studiando il movimento di un corpo sotto l'azione di una forza esterna costante e la forza di attrito viscoso

Dopo qualche tempo, il corpo si muove con una velocità costante e costante v = F o /β , che non dipende dalle condizioni iniziali ed è completamente determinato dall'equazione del moto. Condizioni iniziali determinare la modalità di transizione al moto stazionario. Sulla base del buon senso, è ragionevole presumere che nella modalità di oscillazione a regime stazionario, la palla oscillerà con la frequenza della forza motrice esterna. Pertanto, la soluzione dell'equazione (3) va ricercata in funzione armonica con la frequenza della forza motrice. Innanzitutto, risolviamo l'equazione (3), trascurando la forza di resistenza

Proviamo a trovare la sua soluzione sotto forma di una funzione armonica

Per fare ciò, calcoliamo le dipendenze della velocità e dell'accelerazione del corpo dal tempo, come derivate della legge del moto

e sostituisci i loro valori nell'equazione (4)

Ora puoi tagliare a cosωt. Pertanto, questa espressione si trasforma in una vera identità in qualsiasi momento, a condizione che la condizione

Pertanto, la nostra ipotesi sulla soluzione dell'Eq. (4) nella forma (5)  è stata giustificata: il modo di oscillazione in regime stazionario è descritto dalla funzione

Si noti che il coefficiente UN secondo l'espressione (6) ottenuta, può essere sia positiva (per ω < ω o) e negativo (per ω > ω o). Il cambio di segno corrisponde a un cambiamento nella fase di oscillazione di π (il motivo di tale cambiamento sarà chiarito poco dopo), quindi l'ampiezza delle oscillazioni è il modulo di questo coefficiente |A|. L'ampiezza delle oscillazioni costanti, come previsto, è proporzionale all'entità della forza motrice. Inoltre, questa ampiezza dipende in modo complesso dalla frequenza della forza motrice. Un diagramma schematico di questa dipendenza è mostrato in Fig. 6.10

Riso. 6.10 Curva di risonanza

Come risulta dalla formula (6) ed è chiaramente visibile nel grafico, man mano che la frequenza della forza motrice si avvicina alla frequenza naturale del sistema, l'ampiezza aumenta bruscamente. Il motivo di un tale aumento dell'ampiezza è chiaro: la forza motrice "nel tempo" spinge la palla, con la completa coincidenza delle frequenze, lo stato stazionario è assente - l'ampiezza aumenta all'infinito. Naturalmente, in pratica, un aumento così infinito è impossibile da osservare: Prima di tutto, questo può portare alla distruzione del sistema oscillatorio stesso, In secondo luogo, a grandi ampiezze di oscillazione, le forze di resistenza del mezzo non possono essere trascurate. Un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate quando la frequenza della forza motrice si avvicina alla frequenza naturale delle oscillazioni del sistema è chiamato fenomeno di risonanza. Procediamo ora alla ricerca di una soluzione all'equazione delle oscillazioni forzate, tenendo conto della forza di resistenza

Naturalmente anche in questo caso la soluzione va ricercata nella forma  di una funzione armonica con la frequenza della forza motrice. È facile vedere che la ricerca di una soluzione nel modulo (5) in questo caso non porterà al successo. Infatti, l'equazione (8), in contrasto con l'equazione (4), contiene la velocità della particella, che è descritta dalla funzione seno. Pertanto, la parte temporale nell'equazione (8) non verrà ridotta. Pertanto, la soluzione dell'equazione (8) dovrebbe essere rappresentata nella forma generale di una funzione armonica

in cui due parametri UN o e φ deve essere trovato usando l'equazione (8). Parametro UN oè l'ampiezza delle oscillazioni forzate, φ − sfasamento tra la coordinata variabile e la forza motrice variabile. Utilizzando la formula trigonometrica per il coseno della somma, la funzione (9) può essere rappresentata nella forma equivalente

che contiene anche due parametri B=A o cosφ e C = -A o sinφ essere determinati. Usando la funzione (10), scriviamo espressioni esplicite per le dipendenze della velocità e dell'accelerazione della particella dal tempo

e sostituisci nell'equazione (8):

Riscriviamo questa espressione come

Affinché l'uguaglianza (13) valga in qualsiasi momento , è necessario che i coefficienti al coseno e al seno siano uguali a zero. Sulla base di questa condizione, otteniamo due equazioni lineari per la determinazione dei parametri della funzione (10):

La soluzione a questo sistema di equazioni ha la forma

Sulla base della formula (10), determiniamo le caratteristiche delle oscillazioni forzate: l'ampiezza

sfasamento

A basso smorzamento, questa dipendenza ha un massimo netto quando la frequenza della forza motrice si avvicina ω alla frequenza naturale del sistema ω o. Pertanto, in questo caso, può verificarsi anche la risonanza, per cui le dipendenze costruite sono spesso chiamate curva di risonanza. Tenendo conto dell'attenuazione debole mostra che l'ampiezza non aumenta all'infinito, il suo valore massimo dipende dal coefficiente di attenuazione - all'aumentare di quest'ultimo, l'ampiezza massima diminuisce rapidamente. La conseguente dipendenza dell'ampiezza di oscillazione dalla frequenza della forza motrice (16) contiene troppi parametri indipendenti ( f o , ω o , γ ) per costruire una famiglia completa di curve di risonanza. Come in molti casi, questa dipendenza può essere notevolmente semplificata passando a variabili "adimensionali". Trasformiamo la formula (16) nella forma seguente

e denotare

− frequenza relativa (rapporto tra la frequenza della forza motrice e la frequenza naturale delle oscillazioni del sistema);

− ampiezza relativa (il rapporto tra l'ampiezza delle oscillazioni e l'ampiezza della deviazione UN o = f/ω o 2 a frequenza zero);

è un parametro adimensionale che determina la quantità di attenuazione. Utilizzando queste notazioni, la funzione (16) è notevolmente semplificata

poiché contiene un solo parametro − δ . Una famiglia di curve di risonanza a un parametro descritte dalla funzione  (16 b) può essere costruita, particolarmente facilmente con l'aiuto di un computer. Il risultato di tale costruzione è mostrato in Fig. 629.

Riso. 6.11

Si noti che il passaggio alle unità di misura "normali" può essere effettuato mediante una variazione elementare della scala degli assi delle coordinate. Si noti che la frequenza della forza motrice, alla quale l'ampiezza  delle oscillazioni forzate è massima, dipende anche dal coefficiente di smorzamento, leggermente decrescente con l'aumentare di quest'ultimo. Infine, sottolineiamo che un aumento del coefficiente di smorzamento porta ad un aumento significativo dell'ampiezza della curva di risonanza. Lo sfasamento risultante tra le oscillazioni del punto e la forza motrice dipende anche  dalla frequenza delle oscillazioni e dal loro coefficiente di attenuazione. Conosceremo più in dettaglio il ruolo di questo sfasamento quando consideriamo la trasformazione dell'energia nel processo di oscillazioni forzate.

la frequenza delle oscillazioni libere non smorzate coincide con la frequenza naturale, la frequenza delle oscillazioni smorzate è leggermente inferiore alla frequenza naturale e la frequenza delle oscillazioni forzate coincide con la frequenza della forza motrice e non con la frequenza naturale.

Oscillazioni elettromagnetiche forzate

costretto chiamate tali oscillazioni che si verificano nel sistema oscillatorio sotto l'influenza di un'influenza periodica esterna.

Fig.6.12. Circuito con oscillazioni elettriche forzate

Considera i processi che si verificano in un circuito oscillatorio elettrico ( fig.6.12) collegato ad una sorgente esterna, la cui EMF varia secondo la legge armonica

,

dove  mè l'ampiezza dell'EMF esterno,

 è la frequenza ciclica dell'EMF.

Indica con u C tensione ai capi del condensatore e io - intensità di corrente nel circuito. In questo circuito, oltre alla variabile EMF  (t) è ancora valido Autoinduzione EMF  l nell'induttore.

L'EMF di autoinduzione è direttamente proporzionale alla velocità di variazione dell'intensità della corrente nel circuito

.

Per uscita equazione differenziale delle oscillazioni forzate sorgendo in un tale circuito, usiamo la seconda regola di Kirchhoff

.

Tensione di resistenza R trova per legge di Ohm

.

La forza della corrente elettrica è uguale alla carica che scorre per unità di tempo attraverso la sezione trasversale del conduttore

.

Quindi

.

Voltaggio u C sul condensatore è direttamente proporzionale alla carica sulle piastre del condensatore

.

L'EMF di autoinduzione può essere rappresentato attraverso la derivata seconda della carica rispetto al tempo

.

Sostituendo tensioni e fem nella seconda regola di Kirchhoff

.

Dividendo entrambi i lati di questa espressione per l e distribuendo i termini secondo il grado di decremento nell'ordine della derivata, otteniamo un'equazione differenziale del secondo ordine

.

Introduciamo la seguente notazione e otteniamo

è il coefficiente di attenuazione,

è la frequenza ciclica delle oscillazioni naturali del circuito.

. (1)

L'equazione (1) è eterogeneo equazione differenziale lineare del secondo ordine. Equazioni di questo tipo descrivono il comportamento di un'ampia classe di sistemi oscillatori (elettrici, meccanici) sotto l'influenza di un'azione periodica esterna (EMF esterno o forza esterna).

La soluzione generale dell'equazione (1) è la somma della soluzione generale q 1 omogeneo equazione differenziale (2)

(2)

e qualsiasi soluzione particolare q 2 eterogeneo equazioni (1)

.

Una specie di soluzione generale omogeneo l'equazione (2) dipende dal valore del coefficiente di attenuazione  . Siamo interessati al caso di smorzamento debole  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

dove B e  0 sono costanti date dalle condizioni iniziali.

La soluzione (3) descrive le oscillazioni smorzate nel circuito. Valori inclusi in (3):

è la frequenza ciclica delle oscillazioni smorzate;

è l'ampiezza delle oscillazioni smorzate;

è la fase delle oscillazioni smorzate.

Cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione (1) sotto forma di un'oscillazione armonica che si verifica con una frequenza uguale alla frequenza  influenza periodica esterna - EMF e ritardo nella fase  Da lui

dove
è l'ampiezza delle oscillazioni forzate, che dipende dalla frequenza.

Sostituiamo (4) in (1) e otteniamo l'identità

Per confrontare le fasi delle oscillazioni utilizziamo le formule di riduzione trigonometriche

.

Quindi la nostra equazione verrà riscritta nella forma

Rappresentiamo le fluttuazioni sul lato sinistro dell'identità ottenuta nella forma diagramma vettoriale (Riso.6.13)..

Il terzo termine corrispondente alle fluttuazioni della capacità Insieme a, che ha una fase (  t –  ) e ampiezza
, rappresentano un vettore orizzontale diretto a destra.

Fig.6.13. diagramma vettoriale

Il primo termine del lato sinistro, corrispondente alle oscillazioni sull'induttanza l, sarà rappresentato sul diagramma vettoriale da un vettore diretto orizzontalmente a sinistra (la sua ampiezza
).

Il secondo termine corrispondente alle oscillazioni della resistenza R, rappresentano un vettore diretto verticalmente verso l'alto (la sua ampiezza
), perché la sua fase è /2 indietro rispetto alla fase del primo termine.

Poiché la somma di tre vibrazioni a sinistra del segno di uguale dà una vibrazione armonica
, quindi la somma vettoriale sul diagramma (rettangolo diagonale) rappresenta un'oscillazione con un'ampiezza e fase  t, che è acceso  prima della fase di oscillazione del terzo termine.

Da un triangolo rettangolo, usando il teorema di Pitagora, puoi trovare l'ampiezza UN( )

(5)

e tg come rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

. (6)

Di conseguenza, la soluzione (4), tenendo conto di (5) e (6), assume la forma

. (7)

Soluzione generale di equazioni differenziali(1) è la somma q 1 e q 2

. (8)

La formula (8) mostra che quando un EMF esterno periodico viene applicato al circuito, in esso si verificano oscillazioni di due frequenze, ad es. oscillazioni non smorzate con la frequenza dell'EMF esterno  e oscillazioni smorzate con una frequenza
. Ampiezza delle oscillazioni smorzate
diventa trascurabile nel tempo e nel circuito rimangono solo oscillazioni forzate, la cui ampiezza non dipende dal tempo. Di conseguenza, le oscillazioni forzate costanti sono descritte dalla funzione (4). Cioè, nel circuito si verificano oscillazioni armoniche forzate, con una frequenza uguale alla frequenza dell'influenza esterna, e un'ampiezza
, a seconda di questa frequenza ( Riso. 3un) secondo la legge (5). In questo caso, la fase dell'oscillazione forzata è in ritardo  da costrizione.

Differenziando l'espressione (4) rispetto al tempo, troviamo la forza della corrente nel circuito

dove
è l'ampiezza della forza attuale.

Scriviamo questa espressione per la forza attuale nella forma

, (9)

dove
–sfasamento tra corrente e fem esterna.

Secondo (6) e Riso. 2

. (10)

Da questa formula ne consegue che lo sfasamento tra la corrente e la fem esterna dipende, a resistenza costante R, dal rapporto tra la frequenza dell'EMF pilota  e frequenza naturale del circuito  0 .

Se un  <  0 , quindi lo sfasamento tra la corrente e l'EMF esterno  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Se un  >  0, allora  > 0. Le fluttuazioni di corrente sono in ritardo rispetto alle fluttuazioni EMF in fase di un angolo  .

Se un  =  0 (frequenza di risonanza), poi  \u003d 0, ovvero la forza attuale e l'EMF oscillano nella stessa fase.

Risonanza- questo è un fenomeno di forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni quando la frequenza della forza motrice esterna coincide con la frequenza naturale del sistema oscillatorio.

In risonanza  =  0 e periodo di oscillazione

.

Considerando che il coefficiente di attenuazione

,

otteniamo espressioni per il fattore di qualità alla risonanza T = T 0

,

Dall'altro lato

.

Le ampiezze di tensione sull'induttanza e la capacità alla risonanza possono essere espresse in termini di fattore di qualità del circuito

, (15)

. (16)

Da (15) e (16) si può vedere che in  =  0 , l'ampiezza della tensione ai capi del condensatore e l'induttanza in Q volte l'ampiezza della fem esterna. Questa è una proprietà di un seriale RLC loop viene utilizzato per isolare un segnale radio di una certa frequenza
dallo spettro delle radiofrequenze durante la ristrutturazione del radioricevitore.

In pratica RLC i circuiti sono collegati ad altri circuiti, strumenti di misura o dispositivi di amplificazione, introducendo un'ulteriore attenuazione RLC circuito. Pertanto, il valore reale del fattore di qualità del caricato RLC circuito risulta essere inferiore al fattore di qualità, stimato dalla formula

.

Il valore reale del fattore di qualità può essere stimato come

Fig.6.14. Determinazione del fattore di qualità dalla curva di risonanza

,

dove  fè la larghezza di banda in cui l'ampiezza è 0,7 del valore massimo ( Riso. 4).

Tensione del condensatore u C, sulla resistenza attiva u R e sull'induttore u l raggiungere un massimo rispettivamente a frequenze diverse

,
,
.

Se lo smorzamento è piccolo  0 >>  , quindi tutte queste frequenze praticamente coincidono e possiamo presumerlo

.

Le oscillazioni forzate sono quelle che si verificano in un sistema oscillatorio sotto l'azione di una forza esterna che cambia periodicamente. Questa forza, di regola, svolge un duplice ruolo: in primo luogo, scuote il sistema e gli conferisce una certa energia; in secondo luogo, reintegra periodicamente le perdite di energia (consumo di energia) per vincere le forze di resistenza e di attrito.

Lascia che la forza motrice cambi nel tempo secondo la legge:

Componiamo un'equazione del moto per un sistema oscillante sotto l'influenza di tale forza. Assumiamo che il sistema sia influenzato anche dalla forza quasi elastica e dalla forza di resistenza del mezzo (che è valida nell'ipotesi di piccole oscillazioni). Quindi l'equazione del moto del sistema sarà simile a:

Dopo la sostituzione, - la frequenza naturale delle oscillazioni del sistema, otteniamo un'equazione differenziale lineare non omogenea del 2° ordine:

È noto dalla teoria delle equazioni differenziali che la soluzione generale non equazione omogeneaè uguale alla somma della soluzione generale dell'equazione omogenea e della soluzione particolare dell'equazione disomogenea.

La soluzione generale dell'equazione omogenea è nota:

Usando un diagramma vettoriale, puoi assicurarti che questa ipotesi sia vera, oltre a determinare i valori di "a" e "j".

L'ampiezza di oscillazione è determinata dalla seguente espressione:

Anche il valore di "j", che è l'entità del ritardo di fase dell'oscillazione forzata dalla forza motrice che l'ha provocata, è determinato dal diagramma vettoriale ed è:

Infine, una soluzione particolare dell'equazione disomogenea assumerà la forma:

Questa funzione riassume per dare la soluzione generale dell'equazione differenziale disomogenea che descrive il comportamento del sistema durante le oscillazioni forzate. Il termine (2) gioca un ruolo significativo nella fase iniziale del processo, durante il cosiddetto stabilirsi delle oscillazioni (Fig. 1). Nel tempo, a causa del fattore esponenziale, il ruolo del secondo termine (2) diminuisce sempre più, e dopo un tempo sufficiente può essere trascurato, mantenendo solo il termine (1) nella soluzione.

Fig. 1.

Pertanto, la funzione (1) descrive oscillazioni forzate costanti. Sono oscillazioni armoniche con frequenza uguale alla frequenza della forza motrice. L'ampiezza delle oscillazioni forzate è proporzionale all'ampiezza della forza motrice. Per un dato sistema oscillatorio (definito w 0 e b) l'ampiezza dipende dalla frequenza della forza motrice. Le oscillazioni forzate sono in ritardo rispetto alla forza motrice in fase e la quantità di ritardo "j" dipende anche dalla frequenza della forza motrice. Detlaf AA, Yavorsky BM Corso di fisica: tutorial per le università. - 4a ed., Rev. - M.: Più in alto. scuola, 2012. - 428 p.

La dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni forzate dalla frequenza della forza motrice porta al fatto che ad una certa frequenza determinata per un dato sistema, l'ampiezza dell'oscillazione raggiunge valore massimo. Il sistema oscillatorio è particolarmente sensibile all'azione della forza motrice a questa frequenza. Questo fenomeno è chiamato risonanza e la frequenza corrispondente è chiamata frequenza di risonanza.

In un certo numero di casi, un sistema oscillatorio oscilla sotto l'azione di una forza esterna, il cui lavoro compensa periodicamente la perdita di energia dovuta all'attrito e ad altre resistenze. La frequenza di tali oscillazioni non dipende dalle proprietà del sistema oscillante stesso, ma dalla frequenza dei cambiamenti nella forza periodica, sotto l'influenza di cui il sistema fa le sue oscillazioni. In questo caso si tratta di oscillazioni forzate, cioè di oscillazioni imposte al nostro sistema dall'azione di forze esterne.

Le fonti delle forze di disturbo, e di conseguenza delle oscillazioni forzate, sono molto diverse.

Soffermiamoci sulla natura delle forze perturbatrici incontrate nella natura e nella tecnologia. Come già accennato, macchine elettriche, turbine a vapore oa gas, volani a rotazione rapida, ecc. a causa dello squilibrio delle masse rotanti, provocano oscillazioni dei rotori, dei solai delle fondamenta degli edifici, ecc. Le macchine alternative, che includono motori a combustione interna e motori a vapore, a causa del movimento alternativo in corso di alcune parti (ad esempio un pistone), dei gas di scarico o del vapore, sono una fonte di forze di disturbo periodiche.

Solitamente le forze di disturbo aumentano con l'aumentare del numero di giri della macchina, quindi la lotta alle vibrazioni nelle macchine ad alta velocità diventa estremamente importante. Spesso viene eseguita realizzando una speciale fondazione elastica o mediante un dispositivo di sospensione elastica per la macchina. Se la macchina è fissata rigidamente alla fondazione, le forze perturbatrici che agiscono sulla macchina vengono trasferite quasi completamente alla fondazione e ulteriormente attraverso il terreno all'edificio in cui è installata la macchina, nonché alle strutture vicine.

Per ridurre l'azione delle forze sbilanciate sulla base, è necessario che la frequenza naturale di vibrazione della macchina sulla base elastica (pattino) sia significativamente inferiore alla frequenza delle forze di disturbo, determinata dal numero di giri della macchina.

Il motivo delle oscillazioni forzate della nave, il beccheggio delle navi sono le onde che periodicamente scorrono su una nave galleggiante. Oltre al rollio della nave nel suo insieme sotto l'azione delle onde d'acqua, si osservano anche oscillazioni forzate (vibrazioni) di singole parti dello scafo della nave. La ragione di tali vibrazioni è lo squilibrio del motore principale della nave, che fa ruotare l'elica, nonché i meccanismi ausiliari (pompe, dinamo, ecc.). Durante il funzionamento dei meccanismi della nave, sorgono forze di inerzia di masse sbilanciate, la cui frequenza di ripetizione dipende dal numero di giri della macchina. Inoltre, le vibrazioni forzate della nave possono essere causate dall'impatto periodico delle pale dell'elica sullo scafo della nave. Sommerfeld A., Meccanica. Ї Izhevsk: Centro di ricerca "Dinamica regolare e caotica", 2001. Ї168 p.

Le vibrazioni forzate del ponte possono essere causate da un gruppo di persone che lo percorrono al passo. Le oscillazioni di un ponte ferroviario possono verificarsi sotto l'azione di gemelli che collegano le ruote motrici di una locomotiva a vapore di passaggio. I motivi che causano vibrazioni forzate di un materiale rotabile (locomotiva elettrica, locomotiva a vapore o locomotiva diesel e vagoni) includono impatti periodici ripetuti delle ruote sugli incroci ferroviari. Le vibrazioni forzate delle auto sono causate da ripetuti impatti delle ruote sulle irregolarità del manto stradale. Le oscillazioni forzate degli ascensori e delle tribune di sollevamento delle miniere si verificano a causa del funzionamento irregolare della macchina di sollevamento, a causa della forma irregolare dei tamburi su cui sono avvolte le funi, ecc. Cause che causano vibrazioni forzate dei cavi di alimentazione, alti edifici, alberi e camini sono soggetti a raffiche di vento.

Di particolare interesse sono le vibrazioni forzate degli aeromobili, che possono essere causate da vari motivi. Qui, prima di tutto, bisogna tenere a mente le vibrazioni dell'aeromobile causate dal funzionamento del gruppo elica. A causa dello squilibrio del meccanismo a manovella, dei motori in funzione e delle eliche rotanti, si verificano shock periodici che supportano le oscillazioni forzate.

Insieme alle oscillazioni causate dall'azione delle forze periodiche esterne discusse sopra, negli aerei si notano anche influenze esterne di natura diversa. In particolare, vi sono vibrazioni associate a uno scarso snellimento della parte anteriore del velivolo. Lo scarso flusso attorno alle sovrastrutture sull'ala o il collegamento irregolare dell'ala con la fusoliera (corpo) dell'aeromobile porta a formazioni di vortici. Turbine d'aria, rompendosi, creano un flusso pulsante che colpisce l'unità di coda e la fa tremare. Tale scuotimento dell'aeromobile si verifica in determinate condizioni di volo e si manifesta sotto forma di shock che non si verificano abbastanza regolarmente, dopo 0,5-1 secondo.

Questo tipo di vibrazione, dovuto principalmente alla vibrazione di parti dell'aeromobile a causa della turbolenza nel flusso attorno all'ala e ad altre parti anteriori dell'aeromobile, è chiamata "buffing". Il fenomeno del buffeting causato dallo stallo alare è particolarmente pericoloso quando il periodo degli impatti sulla sezione di coda dell'aeromobile è prossimo al periodo di oscillazioni libere della coda o della fusoliera dell'aeromobile. In questo caso, le oscillazioni di "lucidatura" aumentano notevolmente.

Casi molto interessanti di lucidatura sono stati osservati durante il lancio di truppe dall'ala di un aereo. L'apparizione di persone sull'ala ha portato alla formazione di vortici, facendo vibrare l'aereo. Un altro caso di pulitura del piumaggio su un aereo a due posti è stato causato dal fatto che un passeggero era seduto nella cabina posteriore e la testa sporgente ha contribuito alla formazione di vortici nel flusso d'aria. In assenza di un passeggero nell'abitacolo posteriore, non sono state osservate oscillazioni.

Importanti sono anche le oscillazioni flessionali dell'elica, causate da forze di disturbo di natura aerodinamica. Queste forze derivano dal fatto che l'elica durante la rotazione per ogni giro passa due volte oltre il bordo d'attacco dell'ala. Le velocità del flusso d'aria nelle immediate vicinanze dell'ala e ad una certa distanza da essa sono diverse, per cui le forze aerodinamiche agenti sull'elica devono variare periodicamente due volte per ogni giro dell'elica. Questa circostanza è la ragione dell'eccitazione vibrazioni trasversali pale dell'elica.

Contrariamente alle oscillazioni libere, quando il sistema riceve solo una volta (quando il sistema viene rimosso da ), nel caso di oscillazioni forzate, il sistema assorbe questa energia da una fonte di forza periodica esterna in modo continuo. Questa energia compensa le perdite spese per il superamento e quindi il no totale rimane invariato.

Le vibrazioni forzate, a differenza di quelle libere, possono verificarsi a qualsiasi frequenza. coincide con la frequenza della forza esterna che agisce sul sistema oscillatorio. Pertanto, la frequenza delle oscillazioni forzate non è determinata dalle proprietà del sistema stesso, ma dalla frequenza dell'influenza esterna.

Esempi di vibrazioni forzate sono le vibrazioni di un'altalena per bambini, le vibrazioni di un ago in una macchina da cucire, le vibrazioni di un pistone nel cilindro di un motore di automobile, le vibrazioni delle molle di un'auto che si muove su una strada dissestata, ecc.

Risonanza

DEFINIZIONE

Risonanza- questo è il fenomeno di un forte aumento delle oscillazioni forzate quando la frequenza della forza motrice si avvicina alla frequenza naturale del sistema oscillatorio.

La risonanza si verifica perché forza esterna, agendo a tempo con vibrazioni libere, ha sempre la stessa direzione dal corpo oscillante e fa un lavoro positivo: l'energia del corpo oscillante aumenta e diventa grande. Se la forza esterna agisce "non in tempo", questa forza esegue alternativamente un lavoro negativo o positivo e, di conseguenza, l'energia del sistema cambia in modo insignificante.

La figura 1 mostra la dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni forzate dalla frequenza della forza motrice. Si può notare che questa ampiezza raggiunge un massimo ad un certo valore di frequenza, ad es. a , dove è la frequenza naturale del sistema oscillatorio. Le curve 1 e 2 differiscono per l'entità della forza di attrito. A basso attrito (curva 1), la curva di risonanza ha un massimo acuto; a una forza di attrito maggiore (curva 2), non esiste un massimo così acuto.

Incontriamo spesso il fenomeno della risonanza Vita di ogni giorno. Se i finestrini della stanza tremavano quando un camion pesante passava lungo la strada, significa che la frequenza naturale dei finestrini è uguale alla frequenza della macchina. Se le onde del mare sono in risonanza con il periodo della nave, il beccheggio diventa particolarmente forte.

Il fenomeno della risonanza deve essere preso in considerazione quando si progettano ponti, edifici e altre strutture che subiscono vibrazioni sotto carico, altrimenti, in determinate condizioni, queste strutture possono essere distrutte. Tuttavia, anche la risonanza può essere utile. Il fenomeno della risonanza viene utilizzato quando si sintonizza un ricevitore radio su una determinata frequenza di trasmissione, così come in molti altri casi.

Esempi di problem solving

ESEMPIO 1

Esercizio	All'estremità della molla di un pendolo orizzontale, il cui carico ha una massa di 1 kg, agisce una forza variabile, la cui frequenza di oscillazione è di 16 Hz. La risonanza sarà osservata se la velocità della molla è 400 N/m.
Decisione	Determiniamo la frequenza naturale del sistema oscillatorio con la formula: Hz Poiché la frequenza della forza esterna non è uguale alla frequenza naturale del sistema, il fenomeno di risonanza non sarà osservato.
Risposta	Il fenomeno di risonanza non sarà osservato.

ESEMPIO 2

Esercizio	Una pallina è sospesa su un filo lungo 1 m dal soffitto dell'auto. A quale velocità dell'auto la palla vibrerà in modo particolarmente forte sotto l'impatto delle ruote sui giunti del binario? Lunghezza del binario 12,5 m.
Decisione	La palla esegue vibrazioni forzate con una frequenza pari alla frequenza delle ruote che colpiscono i giunti del binario: Se le dimensioni della sfera sono piccole rispetto alla lunghezza del filo, si può considerare il sistema la cui frequenza naturale è: l'ampiezza delle oscillazioni forzate non smorzate è massima in caso di risonanza, cioè quando . Quindi è possibile scrivere:

In questa lezione, tutti potranno approfondire l'argomento "Trasformazione dell'energia durante moto oscillatorio. vibrazioni smorzate. Vibrazioni forzate. In questa lezione considereremo che tipo di trasformazione dell'energia avviene durante il movimento oscillatorio. Per fare ciò, condurremo un importante esperimento con un sistema a pendolo a molla orizzontale. Discuteremo anche questioni relative alle oscillazioni smorzate e alle oscillazioni forzate.

La lezione è dedicata all'argomento "Conversione dell'energia durante il movimento oscillatorio". Inoltre, considereremo la questione relativa alle oscillazioni smorzate e forzate.

Conosciamo questa domanda con il prossimo importante esperimento. Alla molla è fissato un corpo che può oscillare orizzontalmente. Tale sistema è chiamato pendolo a molla orizzontale. In questo caso, l'effetto della gravità può essere ignorato.

Riso. 1. Pendolo a molla orizzontale

Assumiamo che nel sistema delle forze di attrito non ci siano forze di resistenza. Quando questo sistema è in equilibrio e non si verificano oscillazioni, la velocità del corpo è 0 e non vi è alcuna deformazione della molla. In questo caso, questo pendolo non ha energia. Ma non appena il corpo viene spostato rispetto al punto di equilibrio a destra oa sinistra, in questo caso faremo il lavoro di comunicare l'energia in questo sistema oscillatorio. Cosa succede in questo caso? Succede quanto segue: la molla si deforma, la sua lunghezza cambia. Diamo all'energia potenziale della primavera. Se ora rilasci il carico, non trattenerlo, quindi inizierà a muoversi verso la posizione di equilibrio, la molla inizierà a raddrizzarsi e la deformazione della molla diminuirà. La velocità del corpo aumenterà e, secondo la legge di conservazione dell'energia, l'energia potenziale della molla verrà convertita nell'energia cinetica del movimento del corpo.

Riso. 2. Stadi di oscillazione di un pendolo a molla

Deformazione∆x della molla è determinato come segue: ∆x = x 0 - x. Considerata la deformazione, possiamo dire che tutta l'energia potenziale è immagazzinata in primavera: .

Durante le oscillazioni, l'energia potenziale viene costantemente convertita nell'energia cinetica della barra: .

Ad esempio, quando la barra supera il punto di equilibrio x 0 , la deformazione della molla è 0, cioè ∆x=0, quindi, l'energia potenziale della molla è 0 e tutta l'energia potenziale della molla si è trasformata nell'energia cinetica della barra: E p (al punto B) \u003d E k (al punto A). O .

Come risultato di questo movimento, l'energia potenziale viene convertita in energia cinetica. Poi entra in gioco il cosiddetto fenomeno dell'inerzia. Un corpo che ha una certa massa, per inerzia, supera il punto di equilibrio. La velocità del corpo inizia a diminuire e la deformazione, l'allungamento della molla aumenta. Si può concludere che energia cinetica il corpo diminuisce e l'energia potenziale della primavera ricomincia ad aumentare. Possiamo parlare della trasformazione dell'energia cinetica in potenziale.

Quando il corpo finalmente si ferma, la velocità del corpo sarà pari a 0, e la deformazione della molla diventerà massima, in questo caso possiamo dire che tutta l'energia cinetica del corpo si è trasformata nell'energia potenziale della molla . In futuro, tutto si ripete dall'inizio. Se una condizione è soddisfatta, tale processo si verificherà continuamente. Qual è questa condizione? Questa condizione è l'assenza di attrito. Ma la forza di attrito, la forza di resistenza è presente in ogni sistema. Pertanto, ad ogni successivo movimento del pendolo, si verificano perdite di energia. Si sta lavorando per vincere la forza di attrito. Forza di attrito alla legge di Coulomb - Amonton: F TP \u003d μ.N.

Parlando di oscillazioni, dobbiamo sempre ricordare che la forza di attrito porta al fatto che gradualmente tutta l'energia immagazzinata in un dato sistema oscillatorio viene convertita in energia interna. Di conseguenza, le oscillazioni si fermano e una volta che le oscillazioni si fermano, tali oscillazioni vengono chiamate smorzate.

vibrazioni smorzate - vibrazioni, la cui ampiezza diminuisce a causa del fatto che l'energia del sistema oscillatorio viene spesa per superare le forze di resistenza e le forze di attrito.

Riso. 3. Grafico delle oscillazioni smorzate

Il prossimo tipo di oscillazioni che considereremo, le cosiddette. vibrazioni forzate. Vibrazioni forzate chiamate tali vibrazioni che si verificano sotto l'azione di una forza esterna periodica che agisce su un dato sistema oscillatorio.

Se il pendolo oscilla, allora affinché queste oscillazioni non si fermino, ogni volta una forza esterna deve agire sul pendolo. Ad esempio, agiamo sul pendolo con la nostra mano, lo facciamo muovere, lo spingiamo. È imperativo agire con una certa forza e compensare la perdita di energia. Quindi, le vibrazioni forzate sono quelle vibrazioni che si verificano sotto l'azione di una forza motrice esterna. La frequenza di tali oscillazioni coinciderà con la frequenza della forza agente esterna. Quando una forza esterna inizia ad agire sul pendolo, accade quanto segue: all'inizio le oscillazioni avranno una piccola ampiezza, ma gradualmente questa ampiezza aumenterà. E quando l'ampiezza acquisisce un valore costante, anche la frequenza di oscillazione acquisisce un valore costante, dicono che tali oscillazioni sono state stabilite. Sono state stabilite oscillazioni forzate.

stabilito vibrazioni forzate compensare la perdita di energia dovuta proprio al lavoro di una forza motrice esterna.

Risonanza

C'è un fenomeno molto importante che è abbastanza spesso osservato in natura e tecnologia. Questo fenomeno è chiamato risonanza. "Risonanza" è una parola latina ed è tradotta in russo come "risposta". Risonanza (dal lat.resono - "Rispondo") - il fenomeno di un aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate del sistema, che si verifica quando la frequenza dell'azione esterna della forza si avvicina alla frequenza dell'oscillazione naturale del pendolo o di questo sistema oscillatorio .

Se c'è un pendolo che ha una propria lunghezza, massa o rigidità della molla, allora questo pendolo ha le sue oscillazioni, che sono caratterizzate dalla frequenza. Se una forza motrice esterna inizia ad agire su questo pendolo e la frequenza di questa forza inizia ad avvicinarsi alla frequenza naturale del pendolo (coincide con essa), si verifica un forte aumento dell'ampiezza dell'oscillazione. Questo è il fenomeno della risonanza.

Come risultato di un tale fenomeno, le oscillazioni possono essere così grandi che il corpo, lo stesso sistema oscillatorio, collasserà. C'è un caso noto in cui una fila di soldati che attraversava il ponte, a causa di un tale fenomeno, ha semplicemente fatto crollare il ponte. Un altro caso in cui, a causa del movimento di masse d'aria, raffiche di vento sufficientemente potenti, è crollato un ponte negli Stati Uniti. Anche questo è un fenomeno di risonanza. Le oscillazioni del ponte, le loro stesse vibrazioni, coincidevano con la frequenza delle raffiche di vento, forza motrice esterna. Ciò ha causato un aumento dell'ampiezza tale che il ponte è crollato.

Cercano di tenere conto di questo fenomeno durante la progettazione di strutture e meccanismi. Ad esempio, quando un treno è in movimento, può accadere quanto segue. Se un carro si muove e questo carro inizia a oscillare al ritmo del suo movimento, l'ampiezza delle oscillazioni può aumentare così tanto che il carro può deragliare. Ci sarà un crash. Per caratterizzare questo fenomeno si utilizzano delle curve, che sono dette risonanti.

Riso. 4. Curva di risonanza. Picco della curva - ampiezza massima

Naturalmente, la risonanza non viene solo combattuta, ma anche utilizzata. Viene utilizzato principalmente in acustica. Dove c'è un auditorium, una sala teatrale, una sala da concerto, bisogna tener conto del fenomeno della risonanza.

Elenco di letteratura aggiuntiva:

Conoscete la risonanza? // Quantico. - 2003. - N. 1. - P. 32-33 Fisica: Meccanica. Grado 10: Proc. per approfondimenti di fisica / M.M. Balashov, AI Gomonova, AB Dolitsky e altri; ed. G.Ya. Myakishev. - M.: Bustard, 2002. Manuale elementare di fisica. ed. G.S. Landsberg, T. 3. - M., 1974