1

Viene proposto un metodo di frequenza per risolvere il problema delle vibrazioni longitudinali di barre a sezione variabile a gradini, con o senza tener conto della dissipazione di energia all'impatto con un ostacolo rigido. L'equazione delle vibrazioni longitudinali dell'asta viene trasformata secondo Laplace in presenza di condizioni iniziali diverse da zero. Viene risolto un problema di valore al contorno, che consiste nel trovare le forze longitudinali del bordo trasformate da Laplace in funzione degli spostamenti del bordo. Quindi viene compilato un sistema di equazioni per l'equilibrio dei nodi, risolvendo le quali vengono costruite le caratteristiche di ampiezza-fase-frequenza (APFC) per le sezioni di interesse dell'asta. Eseguendo la trasformata inversa di Laplace, si costruisce un processo transitorio. Come esempio di prova, viene considerata una barra di sezione costante di lunghezza finita. Viene fornito un confronto con la soluzione d'onda nota. Il metodo proposto per il calcolo dinamico di un'asta in collisione con un ostacolo rigido consente generalizzazioni ad un sistema di aste arbitrario in presenza di un numero illimitato di masse fissate elasticamente, con una forza arbitraria applicata alle estremità e lungo la lunghezza della asta.

metodo di frequenza

vibrazioni longitudinali dell'asta

1. Biderman, V.L. Teoria applicata vibrazioni meccaniche/ V.L. Biderman. - M.: scuola di Specializzazione, 1972. - 416 pag.

2. Lavrentiev, MA Metodi della teoria delle funzioni di una variabile complessa / M.A. Lavrentiev, B.V. Shabbat. – M.: Nauka, 1973. – 736 pag.

3. Sankin, Yu.N. Caratteristiche dinamiche di sistemi viscoelastici a parametri distribuiti / Yu.N. Affondò. - Saratov: casa editrice Sarat. un-ta, 1977. - 312 p.

4. Sankin, Yu.N. Vibrazioni non stazionarie di sistemi di aste in collisione con un ostacolo / Yu.N. Sankin, NA Yuganova; sotto totale ed. Yu.N. Affondò. - Ulyanovsk: UlGTU, 2010. - 174 pag.

5. Sankin, Y.N. Vibrazioni longitudinali di barre elastiche di sezione variabile a gradino che collidono con un ostacolo rigido \ Yu. N. Sankin e N.A. Yuganova, J. Appl. Meccanismi matematici, vol. 65, n. 3, pp. 427-433, 2001.

Consideriamo il metodo della frequenza per risolvere il problema delle vibrazioni longitudinali di barre a sezione variabile a gradini, con o senza la dissipazione di energia all'impatto con un ostacolo rigido, che confronteremo con la soluzione d'onda nota e la soluzione sotto forma di una serie di modi di vibrazione (14) .

L'equazione differenziale delle vibrazioni longitudinali dell'asta, tenendo conto delle forze di resistenza interna, ha la forma:

Impostiamo il seguente confine e condizioni iniziali:

. (2)

Trasformiamo l'equazione (1) e le condizioni al contorno (2) secondo Laplace per date condizioni iniziali (2). Quindi l'equazione (2) e le condizioni al contorno (2) saranno scritte come segue:

; (3)

,

dove sono gli spostamenti trasformati da Laplace delle punte dell'asta; p è il parametro di trasformazione di Laplace.

L'equazione (3) senza tener conto della dissipazione di energia (a = 0) assumerà la forma:

. (4)

Per l'equazione differenziale disomogenea risultante, viene risolto un problema di valore al contorno, che consiste nel trovare le forze longitudinali del bordo trasformate da Laplace in funzione degli spostamenti del bordo.

Per questo, consideriamo l'equazione omogenea delle vibrazioni longitudinali dell'asta, tenendo conto della dissipazione di energia

(5)

denotando

e passando ad una nuova variabile otteniamo invece di (5)

(6)

Se, dove è il parametro di frequenza, allora

.

Decisione equazione omogenea(6) ha la forma:

Le costanti di integrazione c1 e c2 si trovano dalle condizioni iniziali:

u = u0 ; N = N0,

Quelli. ;

Questa soluzione corrisponde alla seguente matrice di trasferimento:

. (7)

Sostituendo le espressioni ottenute per gli elementi della matrice di trasferimento nelle formule del metodo dello spostamento, otteniamo:

; (8)

;

Gli indici n e k indicano rispettivamente l'inizio e la fine della sezione dell'asta. E le costanti geometriche e fisiche con gli indici nk e kn si riferiscono ad una specifica sezione dell'asta.

Spezzando l'asta in elementi, utilizzando le formule (8), comporremo le equazioni di equilibrio dinamico dei nodi. Queste equazioni sono un sistema di equazioni per spostamenti nodali sconosciuti. Poiché i coefficienti corrispondenti sono ottenuti per integrazione esatta, la lunghezza delle sezioni dell'asta non è limitata.

Risolvendo il sistema di equazioni risultante per , costruiamo le caratteristiche ampiezza-fase-frequenza per le sezioni dell'asta che ci interessano. Questi AFC possono essere visti come un'immagine grafica di una trasformata di Fourier unilaterale, che coincide con la trasformata di Laplace sotto azioni impulsive. Poiché tutti i punti singolari delle espressioni corrispondenti giacciono a sinistra dell'asse immaginario, la trasformazione inversa può essere eseguita impostando , cioè utilizzando l'AFC costruito. Il compito di costruire l'AFC, dove il campo delle velocità iniziali moltiplicato per la densità dell'asta appare come una forza, è ausiliario. Di solito, le AFC sono costruite dall'influenza di forze perturbatrici, quindi la trasformata di Laplace inversa viene eseguita mediante integrazione numerica o in qualche altro modo.

Come semplice esempio si consideri un'asta dritta di lunghezza l, che urta longitudinalmente con un ostacolo rigido a velocità V0 (Fig. 1).

Determiniamo lo spostamento delle punte dell'asta dopo l'impatto. Assumiamo che dopo l'urto si mantenga il contatto tra l'ostacolo e l'asta, cioè il rimbalzo dell'asta non si verifica. Se la connessione non è di ritenzione, il problema può essere considerato lineare a tratti. Il criterio per il passaggio ad un'altra soluzione è il cambio di segno della velocità nel punto di contatto.

Nella monografia di Lavrentiev M.A., Shabat B.V. la soluzione d'onda dell'equazione (4) è data:

e ha trovato il suo originale

, (9)

dov'è la funzione del passo unitario.

Un altro approccio per risolvere questo problema può essere effettuato con il metodo della frequenza descritto in . Per questo problema avremo:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Troviamo l'originale (11)

Risolviamo lo stesso problema in modo frequenza. Dall'equazione di equilibrio del 1° nodo:

(12)

otteniamo una formula per spostare l'estremità dell'asta.

Ora, se l'asta di prova di sezione trasversale costante è divisa in due sezioni arbitrarie di lunghezza l1 e l2 (vedi Fig. 1), le condizioni per l'equilibrio dei nodi saranno le seguenti:

(13)

Come risultato del sistema risolutivo (13), otteniamo grafici della risposta di fase per spostamenti nella 1a e 2a sezione (rispettivamente U1 e U2). Quindi, l'immagine per lo spostamento del bordo in una forma chiusa, tenendo conto della dissipazione di energia, nel caso di (12) e (13) coincide e ha la forma:

. (14)

Verifichiamo la coincidenza dei risultati all'estremità dell'asta. Sulla fig. La figura 2 mostra i grafici della soluzione (10) per x = l0.1 e come risultato del sistema risolutivo (13). Si abbinano perfettamente.

La trasformata discreta di Fourier può essere utilizzata per ottenere il processo transitorio. Il risultato può essere ottenuto eseguendo l'integrazione numerica a t=0… con la formula

. (15)

Sull'AFC (vedi Fig. 2), solo una bobina visibile si manifesta in modo significativo. Pertanto, dovrebbe essere preso un termine della serie (15). Dai grafici di figura 3, si può vedere come la soluzione (9) e la soluzione secondo i modi di oscillazione (11) coincidano con la soluzione di frequenza proposta. L'errore non supera il 18%. La discrepanza risultante è spiegata dal fatto che le soluzioni (9) e (11) non tengono conto della dissipazione di energia nel materiale dell'asta.

Riso. 3. Processo transitorio per l'estremità dell'asta; 1, 2, 3 - grafici costruiti secondo le formule (9), (11), (15), rispettivamente.

come più esempio complesso Consideriamo il problema delle vibrazioni longitudinali di un'asta a gradini (Fig. 4) con un carico all'estremità, che urta un ostacolo rigido ad una velocità V0, e lasciamo che la massa del carico sia uguale alla massa della sezione adiacente della canna:.

Riso. 4. Schema di calcolo delle vibrazioni longitudinali di un'asta a gradini con un carico all'estremità

Introduciamo i tratti caratteristici 1,2,3 dell'asta, in cui calcoleremo gli spostamenti. Componiamo un sistema di equazioni risolutive:

(16)

Come risultato del sistema di risoluzione (16), otteniamo i grafici AFC (Fig. 5) per gli spostamenti nella seconda e terza sezione (rispettivamente U2 () e U3 (). I calcoli sono stati effettuati con i seguenti valori delle costanti: l = 2 m; E = 2,1 × 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Sugli AFC ottenuti, solo due turni visibili si mostrano in modo significativo. Pertanto, quando costruiamo il processo transitorio nelle sezioni selezionate, prendiamo due termini della serie (16). Per fare ciò, devi prima definire

Riso. Fig. 5. AFC degli spostamenti nella seconda e terza sezione di un'asta a gradini (vedi Fig. 4)

Allo stesso modo, secondo la formula (15), viene costruito un processo transitorio.

Conclusione: è stato sviluppato un metodo per calcolare le vibrazioni longitudinali delle aste all'impatto con un ostacolo.

Revisori:

Lebedev A.M., Dottore in Scienze Tecniche, Professore Associato, Professore dell'Ulyanovsk Higher scuola di aviazione(Istituto), Ulyanovsk.

Antonets IV, dottore in scienze tecniche, professore dello stato di Ulyanovsk Università Tecnica, Ulyanovsk.

Collegamento bibliografico

Yuganova NA VIBRAZIONI LONGITUDINALI DI ASTE IN COLLISIONE CON OSTACOLI RIGIDI // Questioni contemporanee scienza e istruzione. - 2014. - N. 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (data di accesso: 15/01/2020). Portiamo alla vostra attenzione le riviste pubblicate dalla casa editrice "Accademia di Storia Naturale"

DEFINIZIONE

Onda longitudinale- questa è un'onda, durante la cui propagazione avviene lo spostamento delle particelle del mezzo nella direzione della propagazione dell'onda (Fig. 1, a).

La causa del verificarsi di un'onda longitudinale è la compressione / estensione, ad es. la resistenza di un mezzo a una variazione del suo volume. Nei liquidi o nei gas, tale deformazione è accompagnata da rarefazione o compattazione delle particelle del mezzo. Le onde longitudinali possono propagarsi in qualsiasi mezzo: solido, liquido e gassoso.

Esempi onde longitudinali sono onde in un'asta elastica o onde sonore nei gas.

onde trasversali

DEFINIZIONE

Onda trasversale- si tratta di un'onda, durante la cui propagazione avviene lo spostamento delle particelle del mezzo nella direzione perpendicolare alla propagazione dell'onda (Fig. 1b).

La causa di un'onda trasversale è la deformazione a taglio di uno strato del mezzo rispetto a un altro. Quando un'onda trasversale si propaga in un mezzo, si formano creste e depressioni. Liquidi e gas, a differenza solidi, non hanno elasticità rispetto al taglio degli strati, cioè non resistere al cambiamento di forma. Pertanto, le onde trasversali possono propagarsi solo nei solidi.

Esempi di onde trasversali sono le onde che viaggiano lungo una corda tesa o lungo una corda.

Le onde sulla superficie di un liquido non sono né longitudinali né trasversali. Se lanci un galleggiante sulla superficie dell'acqua, puoi vedere che si muove, ondeggiando sulle onde, in modo circolare. Pertanto, un'onda su una superficie liquida ha componenti sia trasversali che longitudinali. Sulla superficie di un liquido possono verificarsi anche onde di tipo speciale: le cosiddette onde superficiali. Sorgono come risultato dell'azione e della forza della tensione superficiale.

Esempi di problem solving

ESEMPIO 1

Esercizio

Determinare la direzione di propagazione dell'onda trasversale se il galleggiante in un determinato momento ha la direzione della velocità indicata nella figura.

Decisione

Facciamo un disegno. Portiamo la superficie dell'onda vicino al galleggiante dopo un certo intervallo di tempo, considerando che durante questo tempo il galleggiante è sceso, poiché era diretto verso il basso in quel momento. Continuando la linea a destra ea sinistra, mostriamo la posizione dell'onda alla volta. Confrontando la posizione dell'onda al momento iniziale (linea continua) e al momento (linea tratteggiata), concludiamo che l'onda si propaga a sinistra.

Consideriamo un'asta di lunghezza uniforme, cioè un corpo di forma cilindrica o di altra forma, per l'allungamento o la flessione di cui deve essere applicata una certa forza. L'ultima circostanza distingue anche l'asta più sottile dalla corda, che, come sappiamo, si piega liberamente.

In questo capitolo applicheremo il metodo delle caratteristiche allo studio delle vibrazioni longitudinali di un'asta, e ci limiteremo a studiare solo quelle vibrazioni in cui le sezioni trasversali, muovendosi lungo l'asse dell'asta, rimangono piatte e parallele a l'un l'altro (Fig. 6). Tale ipotesi è giustificata se le dimensioni trasversali dell'asta sono piccole rispetto alla sua lunghezza.

Se l'asta viene leggermente allungata o compressa lungo l'asse longitudinale e quindi lasciata a se stessa, si verificheranno vibrazioni longitudinali. Orientiamo l'asse lungo l'asse dell'asta e assumiamo che a riposo le estremità dell'asta siano in punti, sia l'ascissa di qualche tratto dell'asta quando quest'ultima è ferma. Indichiamo con lo spostamento di questa sezione al momento, quindi lo spostamento della sezione con l'ascissa sarà uguale a

Da qui è chiaro che l'allungamento relativo dell'asta nella sezione con l'ascissa x è espresso dalla derivata

Supponendo ora che l'asta esegua piccole vibrazioni, possiamo calcolare la tensione Reale in questa sezione, applicando la legge di Hooke, troviamo che

dove è il modulo elastico del materiale dell'asta, la sua area della sezione trasversale. Prendi l'elemento dell'asta, racchiuso

tra due sezioni, le cui ascisse a riposo sono rispettivamente uguali Questo elemento risente delle forze di trazione applicate in queste sezioni, e dirette lungo l'asse La risultante di queste forze ha il valore

e anche diretto lungo . D'altra parte, l'accelerazione dell'elemento è uguale, quindi possiamo scrivere l'uguaglianza

dove è la densità apparente dell'asta. Mettendo

e riducendo di otteniamo l'equazione differenziale delle vibrazioni longitudinali di un'asta omogenea

La forma di questa equazione mostra che le oscillazioni longitudinali dell'asta sono di natura ondulatoria e la velocità a di propagazione delle onde longitudinali è determinata dalla formula (4).

Se una forza esterna calcolata per unità del suo volume agisce anche sull'asta, allora invece di (3) otteniamo

Questa è l'equazione delle vibrazioni longitudinali forzate dell'asta. Come nella dinamica in generale, un'equazione del moto (6) non è sufficiente definizione completa movimento dell'asta. È necessario impostare le condizioni iniziali, cioè impostare gli spostamenti delle sezioni di stelo e le loro velocità al momento iniziale del tempo

dove e funzioni predefinite nell'intervallo (

Inoltre, devono essere specificate le condizioni al contorno alle estremità della barra. Per esempio.

Un'asta è un corpo, una delle cui dimensioni, chiamata longitudinale, supera notevolmente le sue dimensioni su un piano perpendicolare alla direzione longitudinale, ad es. dimensioni incrociate. La proprietà principale dell'asta è la resistenza alla compressione longitudinale (tensione) e alla flessione. Questa proprietà distingue fondamentalmente la canna dalla corda, che non si allunga e non resiste alla flessione. Se la densità del materiale dell'asta è la stessa in tutti i suoi punti, l'asta è chiamata omogenea.

Solitamente, i corpi estesi delimitati da una superficie cilindrica chiusa sono considerati aste. In questo caso, l'area della sezione trasversale rimane costante. Studieremo il comportamento di un'asta così omogenea di lunghezza l, supponendo che sia soggetto solo a compressione o tensione, pur rispettando la legge di Hooke. Quando si studiano piccole deformazioni longitudinali di un'asta, le cosiddette ipotesi di sezioni pianeggianti. Sta nel fatto che le sezioni trasversali, muovendosi sotto compressione o tensione lungo l'asta, rimangono piatte e parallele tra loro.

Dirigiamo l'asse X lungo l'asse longitudinale dell'asta (Fig. 19) e assumeremo che nell'istante iniziale le estremità dell'asta siano nei punti x=0 e x=l. Prendiamo una sezione arbitraria dell'asta con la coordinata X. Indica con tu(X,t) lo spostamento di questa sezione alla volta t, quindi l'offset della sezione con la coordinata allo stesso tempo sarà uguale a

Poi l'allungamento relativo dell'asta nella sezione X sarà uguale a

La forza di resistenza a questo allungamento, secondo la legge di Hooke, sarà uguale a

dove eè il modulo elastico del materiale dell'asta (modulo di Young) e S- area della sezione trasversale. Ai confini di una sezione di un'asta con una lunghezza dx le forze agiscono su di esso Tx e Tx + dx, diretto lungo l'asse X. La risultante di queste forze sarà uguale a

,

e l'accelerazione della sezione dell'asta in esame è , quindi l'equazione del moto di questa sezione dell'asta sarà simile a:

, (67)

dove ρ – densità del materiale dell'asta. Se questa densità e il modulo di Young sono costanti, puoi inserire il valore attraverso e dividendo entrambi i lati dell'equazione per sdx, finalmente ottenere equazione delle vibrazioni longitudinali di un'asta nell'assenza forze esterne

(68)

Questa equazione è simile nella forma a l'equazione delle vibrazioni trasversali della corda e i metodi di soluzione per esso sono gli stessi, tuttavia, per il coefficiente un queste equazioni rappresentano quantità diverse. Nell'equazione delle stringhe, la quantità un 2 rappresenta una frazione, al numeratore di cui c'è una forza di tensione della corda costante - T, e al denominatore la densità lineare ρ , e nell'equazione delle stringhe il modulo di Young è nei numeratori e nel denominatore – volumetrico densità del materiale dell'asta ρ . Quindi e significato fisico le quantità un in queste equazioni è diverso. Se per una stringa questo coefficiente è la velocità di propagazione di un piccolo spostamento trasversale, allora per un'asta è la velocità di propagazione di una piccola tensione o compressione longitudinale ed è chiamato velocità di propagazione del suono, poiché è con questa velocità che piccole vibrazioni longitudinali che rappresentano il suono si propagheranno lungo l'asta.

Per l'equazione (68), vengono impostate le condizioni iniziali, che determinano lo spostamento e la velocità di spostamento di qualsiasi sezione dell'asta nel momento iniziale del tempo:

Per un'asta limitata, le condizioni per il fissaggio o l'applicazione di una forza alle sue estremità sono riportate nel modulo condizioni al contorno 1°, 2° e 3° tipo.

Condizioni al contorno del primo tipo definiscono lo spostamento longitudinale alle estremità dell'asta:

Se le estremità dell'asta sono fisse immobili, allora nelle condizioni (6) . In questo caso, proprio come nel problema della vibrazione di una corda pizzicata, applichiamo il metodo della separazione delle variabili.

Nelle condizioni al contorno del secondo tipo, le forze elastiche sono stabilite alle estremità dell'asta, che si formano per deformazione secondo la legge di Hooke a seconda del tempo. Secondo la formula (66), queste forze, fino a un fattore costante, sono uguali alla derivata tu x, quindi, queste derivate sono date agli estremi come funzioni del tempo:

Se una delle estremità dell'asta è libera, allora a questa estremità tu x = 0.

Le condizioni al contorno del terzo tipo possono essere rappresentate come condizioni in cui una molla è fissata a ciascuna estremità dell'asta, l'altra estremità della quale si muove lungo l'asse secondo una data legge del tempo θ (t), come mostrato in Fig. 20. Queste condizioni possono essere scritte come segue

, (72)

dove K 1 e K 2 - rigidità delle molle.

Se una forza esterna agisce anche sull'asta lungo l'asse p(X,t) calcolato per unità di volume, quindi al posto dell'equazione (50) si dovrebbe scrivere equazione disomogenea

,

Che, dopo aver diviso per , assumerà la forma

, (73)

dove . L'equazione (73) è un'equazione per le vibrazioni longitudinali forzate di un'asta, che viene risolta per analogia con l'equazione vibrazioni forzate stringhe.

Commento. Da notare che sia la corda che la canna sono modelli di corpi reali, che in realtà possono esibire sia le proprietà della corda che della canna, a seconda delle condizioni in cui si trovano. Inoltre, le equazioni ottenute non tengono conto delle forze di resistenza ambiente e le forze di attrito interno, a seguito delle quali queste equazioni descrivono oscillazioni non smorzate. Per tenere conto dell'effetto di smorzamento, nel caso più semplice, viene utilizzata una forza dissipativa, proporzionale alla velocità e diretta nella direzione opposta al moto, cioè velocità. Di conseguenza, l'equazione (73) assume la forma

(74)

MECCANICA

UDC 531.01/534.112

VIBRAZIONI LONGITUDINALI DI UN PACCO DI CANNE

SONO. Pavlov, AN Temnov

MSTU im. NE Bauman, Mosca, la Federazione Russa e-mail: [email protetta]; [email protetta]

In questioni di dinamica dei razzi liquidi ruolo importante svolge il problema della stabilità del movimento del razzo in caso di oscillazioni elastiche longitudinali. La comparsa di tali oscillazioni può portare all'instaurazione di auto-oscillazioni che, se il razzo è instabile nella direzione longitudinale, può portare alla sua rapida distruzione. Viene formulato il problema delle oscillazioni longitudinali di un razzo a pacchetto, come modello di calcolo viene utilizzato un pacchetto di aste. Si presume che il liquido nei serbatoi dei razzi sia "congelato", ad es. non vengono presi in considerazione i movimenti fluidi corretti. Viene formulata la legge di bilancio energetico totale per il problema in esame e viene fornita la sua dichiarazione dell'operatore. Viene fornito un esempio numerico, per il quale vengono determinate le frequenze e vengono costruiti e analizzati gli automodi.

Parole chiave: vibrazioni longitudinali, frequenza e forma delle vibrazioni, pacco stelo, legge di bilancio energetico totale, operatore autoaggiunto, spettro di vibrazioni, POGO.

SISTEMA DI ASTE VIBRAZIONI LONGITUDINALI A.M. Pavlov, Al. Temnov

Bauman Moscow State Technical University, Mosca, Federazione Russa e-mail: [email protetta]; [email protetta]

Nelle questioni di dinamica dei razzi a combustibile liquido il problema della stabilità del movimento per questo razzo ha un ruolo importante con la comparsa di vibrazioni elastiche longitudinali. Il verificarsi di questo tipo di vibrazioni può evocare vibrazioni proprie che possono causare una rapida distruzione del razzo in caso di instabilità del razzo in direzione longitudinale. Il problema sulle vibrazioni longitudinali del razzo a combustibile liquido basato sullo schema a pacchetto è stato formulato utilizzando le barre del pacchetto come modello computazionale. Si presume che il liquido nei serbatoi dei razzi sia "congelato", ad es. i movimenti corretti del liquido non sono inclusi. Per questo problema è stato formulato il principio di conservazione dell'energia e viene data la sua stadiazione dell'operatore. C'è un esempio numerico, per il quale sono state determinate le frequenze, sono state costruite e analizzate forme di vibrazione Eigen.

Parole chiave: vibrazioni modi longitudinali, automodi e frequenze, modello di aste, principio di conservazione dell'energia, operatore autoaggiunto, spettro di vibrazioni, POGO.

Introduzione. Attualmente, in Russia e all'estero, per lanciare un carico utile nell'orbita richiesta, vengono spesso utilizzati veicoli di lancio (LV) con layout a pacchetto con blocchi laterali identici distribuiti uniformemente attorno al blocco centrale.

Gli studi sulle oscillazioni delle strutture del pacchetto incontrano alcune difficoltà associate all'azione dinamica dei blocchi laterali e centrali. Nel caso della simmetria della disposizione del veicolo di lancio, la complessa interazione spaziale dei blocchi di un progetto di pacchetto può essere suddivisa in un numero finito di tipi di vibrazioni, uno dei quali è costituito dalle vibrazioni longitudinali dei blocchi centrali e laterali. Modello matematico delle vibrazioni longitudinali disegno simile sotto forma di un pacchetto di aste a parete sottile è considerato in dettaglio nel lavoro. Riso. 1. Schema della centrale

vibrazioni significative di un pacco di aste, integrando lo studio svolto da A.A. pietoso.

Formulazione del problema. Si considerino altre vibrazioni longitudinali di un pacco di aste, costituito da un'asta centrale di lunghezza l0 e N aste laterali della stessa lunghezza j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, fissate a punto A (xA = l) (Fig. 1) con elementi elastici centrali di rigidità k.

Introduciamo un sistema di riferimento fisso OX e assumiamo che la rigidità delle aste EFj (x), la massa distribuita mj (x) e la perturbazione q (x,t) siano funzioni limitate coordinate x:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Siano presenti gli spostamenti Uj (x, t) nelle sezioni trasversali delle aste di coordinata x, che sono determinati dalle equazioni

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

condizioni al contorno per l'assenza di forze normali alle estremità delle aste

3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

condizioni di uguaglianza delle forze normali che sorgono nelle aste,

EF-3 = F x = l

forze elastiche degli elementi elastici

FпPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

la condizione di uguaglianza degli spostamenti nel punto xa dell'asta centrale

W (ha-o) \u003d W (ha + o) e condizioni iniziali

W y (x, 0) - W (x); , _

u(x, 0) = u(x),

dove u(x, 0) = "q^1(x, 0).

La legge del bilancio energetico totale. Moltiplichiamo l'equazione (2) per u(x, t), integriamo sulla lunghezza di ciascuna asta e aggiungiamo i risultati utilizzando le condizioni al contorno (3) e la condizione di corrispondenza (4). Di conseguenza, otteniamo

(( 1 ^ [ (diL 2

tz (x) "BT" (x +

dt | 2^ J 3 w V dt

N x „ h 2 .. N „ i.

1 ⩽ Г „„ , f dn3\ , 1 ⩽ Гj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Yo N (x - -)(no - Uj)2 dx

= / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6)

dove 8(x - y) è la funzione delta di Dirac. Nell'equazione (6), il primo termine tra parentesi graffe è l'energia cinetica T (¿) del sistema, il secondo è l'energia potenziale Pr (£) dovuta alla deformazione delle aste e il terzo è l'energia potenziale Pk (£) degli elementi elastici, che in presenza di deformazioni elastiche si possono scrivere aste come

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Ey.

L'equazione (6) mostra che la variazione dell'energia totale per unità di tempo del sistema meccanico considerato è uguale alla potenza

influenza esterna. In assenza di una perturbazione esterna q(x,t), otteniamo la legge di conservazione dell'energia totale:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

Impostazione dell'operatore. La legge di bilancio energetico mostra che per ogni tempo t le funzioni Uj (x, t) possono essere considerate come elementi dello spazio di Hilbert L2j(; m3 (x)), definito sulla lunghezza ¡i dal prodotto scalare

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

e il relativo regolamento.

Introduciamo lo spazio di Hilbert H, che è uguale alla somma ortogonale L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N, la funzione vettoriale U = (uo, Ui,..., uN)m, e l'operatore A che agisce nello spazio H secondo la relazione

AU = diag(A00U0, A11U1, ..., Annun).

mj(x)dx\jdx"

operatori definiti su

impostare B (A33) C H di funzioni che soddisfano le condizioni (3) e (4).

Il problema originale (1)-(5) insieme alle condizioni iniziali può essere scritto come

Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7)

dove f (*) = (a (*) ,51 (*),..., Yam (¿)) cioè

Lemma. 1. Se le prime due condizioni (1) sono soddisfatte, allora l'operatore A nel problema di evoluzione (7) è un operatore illimitato, autoaggiunto, definito positivo nello spazio H

(Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u, u)n.

2. L'operatore A genera uno spazio energetico HA con norma pari al doppio del valore dell'energia potenziale di oscillazione del pacco di bacchette

3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - MI Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

Dai risultati di cui sopra segue che la norma energetica dell'operatore A è espressa dalla formula (8).

Risolvibilità del problema evolutivo. Formuliamo il seguente teorema.

Teorema 1. Siano le condizioni

U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H),

allora il problema (7) ha un'unica soluzione debole U(t) sul segmento definito dalla formula

U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sen ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 in assenza di una perturbazione esterna f (£), la legge di conservazione dell'energia è soddisfatta

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Vibrazioni naturali di un pacco di canne. Assumiamo che il campo delle forze esterne non agisca sul sistema di aste: f (t) = 0. In questo caso il moto delle aste sarà detto libero. I moti liberi delle aste, che dipendono dal tempo t secondo la legge exp (iwt), saranno detti autooscillazioni. Considerando l'equazione (7) U (x, t) = U (x) eiWU, otteniamo il problema spettrale per l'operatore A:

AU - AEU \u003d 0, L \u003d w2. (nove)

Le proprietà dell'operatore A consentono di formulare un teorema sullo spettro e le proprietà delle autofunzioni.

Teorema 2. Il problema spettrale (9) sulle oscillazioni naturali di un pacchetto di bacchette ha uno spettro positivo discreto

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

e un sistema di autofunzioni (Uk (x))^=0, completo e ortogonale negli spazi H e HA, mentre le seguenti formule ortogonalità:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Regno Unito= £/U^) d*+

K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=io

Indagine del problema spettrale nel caso di un pacco omogeneo di bastoncelli. Rappresentando la funzione di spostamento m-(x, t) nella forma m-(x, t) = m-(x), dopo aver separato le variabili, otteniamo problemi spettrali per ogni asta:

^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

che scriviamo in forma matriciale

4 £ + Li = 0,

A = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t«

u = (u0, u1, u2,..., u') cioè

Soluzione e analisi dei risultati ottenuti. Indichiamo le funzioni di spostamento per l'asta centrale nella sezione come u01 e nella sezione come u02 (g). In questo caso, per la funzione u02, spostiamo l'origine delle coordinate nel punto con coordinata /. Per ogni asta rappresentiamo la soluzione dell'equazione (10) nella forma

Per trovare le costanti sconosciute in (11), utilizziamo le condizioni al contorno formulate sopra. Da condizioni al contorno omogenee si possono determinare alcune costanti, ovvero:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

Di conseguenza, resta da trovare N + 3 costanti: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Per fare ciò, risolviamo N + 3 equazioni per N + 3 incognite.

Scriviamo il sistema risultante in forma matriciale: (A) (C) = (0) . Qui (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m è il vettore delle incognite; (A) - matrice caratteristica,

cos (L1) EF0 L sin (L1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 e 00 00 0 000Y

a \u003d k coe ^ ^AL^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1 / 2 ^;

7 \u003d (A4 "-1 l) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + ai gufi ((A "1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ LA = ^ LA] ; LA-- : 3 = 0.

Per trovare una soluzione non banale, prendiamo come variabile la costante C01 € M. Abbiamo due opzioni: C01 = 0; C01 = 0.

Sia С01 = 0, quindi С03 = С04 = 0. In questo caso, una soluzione non banale può essere ottenuta se 7 = 0 da (12) nella condizione aggiuntiva

£ c-1 = 0, (13)

che si ottiene dalla terza equazione del sistema (12). Di conseguenza, otteniamo una semplice equazione di frequenza

EP (LA "1 L) 1/2 w ((LA" 1 ^ 1/2 P +

zz y \ V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

coincidente con l'equazione della frequenza per un'asta fissata elasticamente ad un'estremità, che può essere considerata come il primo sistema parziale.

In questo caso, tutte le possibili combinazioni di movimenti delle aste laterali che soddisfano la condizione (13) possono essere suddivise condizionatamente in gruppi corrispondenti a diverse combinazioni di fasi (nel caso in esame la fase è determinata dal segno di S.d). Se prendiamo le aste laterali identiche, abbiamo due opzioni:

1) Cd \u003d 0, quindi il numero di tali combinazioni n per N diversi può essere calcolato con la formula n \u003d N 2, dove è la funzione di divisione senza resto;

2) qualsiasi (o qualsiasi) delle costanti C- è uguale a 0, quindi il numero di possibili combinazioni aumenta e può essere determinato dalla formula

£ [(N - m) div 2].

Sia Coi = 0, quindi Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t), dove c e y sono complessi in (12). Dal sistema (12) abbiamo anche: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), ovvero tutte le costanti sono espresse tramite C01. L'equazione della frequenza assume la forma

EFo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) -

K2 cos | ia!-,1 L

Si consideri ad esempio un sistema con quattro aste laterali. Oltre al metodo sopra descritto, per questo esempio, puoi scrivere l'equazione della frequenza per l'intero sistema calcolando il determinante della matrice A e uguagliandolo a zero. Vi presentiamo la sua forma

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+

L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4v)) -

4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0.

I grafici delle equazioni di frequenza trascendentale per i casi sopra considerati sono mostrati in fig. 2. I seguenti dati sono stati presi come dati iniziali: EF = 2109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/mq; mese = 6000 kg/mq; /=23; /o = 33 M. Di seguito sono riportati i valori delle prime tre frequenze di oscillazione dello schema in esame:

n.....................................

e, rad/s......................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Riso. 2. Grafici delle equazioni di frequenza trascendentale per Coi = 0 (i) e Coi = 0 (2)

Presentiamo i modi di vibrazione corrispondenti alle soluzioni ottenute (nel caso generale i modi di vibrazione non sono normalizzati). Le forme d'onda corrispondenti alla prima, seconda, terza, quarta, 13a e 14a frequenza sono mostrate in fig. 3. Alla prima frequenza di oscillazione le aste laterali oscillano con la stessa forma, ma a coppie in antifase

Fig.3. Modi di vibrazione delle aste laterali (1) e centrale (2) corrispondenti alla prima V = 3,20 Hz (a), la seconda V = 5,02 Hz (b), la terza V = 10,11 Hz (c), la quarta V = 13,60 Hz (d), 13 V = 45,90 Hz (d) e 14 V = 50,88 Hz (e) frequenze

(Fig. 3, a), al secondo - l'asta centrale oscilla e quelle laterali oscillano nella stessa forma in fase (Fig. 3, b). Si noti che la prima e la seconda frequenza di oscillazione del sistema di aste considerato corrispondono alle oscillazioni di un sistema costituito da corpi solidi.

Quando il sistema oscilla con la terza frequenza naturale, i nodi compaiono per la prima volta (Fig. 3c). La terza e le successive frequenze (Fig. 3d) corrispondono a oscillazioni già elastiche del sistema. Con un aumento della frequenza delle oscillazioni associato a una diminuzione dell'influenza degli elementi elastici, le frequenze e le forme delle oscillazioni tendono ad essere parziali (Fig. 3, e, f).

Le curve di funzioni, i cui punti di intersezione con l'asse delle ascisse sono soluzioni di equazioni trascendentali, sono mostrate in fig. 4. Secondo la figura, le frequenze di oscillazione naturale del sistema si trovano vicino alle frequenze parziali. Come notato sopra, all'aumentare della frequenza, aumenta la convergenza delle frequenze naturali con quelle parziali. Di conseguenza, le frequenze alle quali oscilla l'intero sistema sono suddivise condizionatamente in due gruppi: quelle vicine alle frequenze parziali dell'asta laterale e quelle vicine alle frequenze parziali dell'asta centrale.

Risultati. Viene considerato il problema delle vibrazioni longitudinali di un pacco di aste. Le proprietà del consegnato problema del valore limite e il suo spettro autovalori. Una soluzione del problema spettrale per numero arbitrario barre laterali uniformi. Per un esempio numerico si trovano i valori delle prime frequenze di oscillazione e si costruiscono le forme corrispondenti. Sono state anche rivelate alcune proprietà caratteristiche dei modi di vibrazione costruiti.

Riso. 4. Curve di funzioni, i cui punti di intersezione con l'asse delle ascisse sono soluzioni di equazioni trascendentali, per Cox = 0 (1), Cox = 0 (2) coincidono con il primo sistema parziale (asta laterale fissata sull'elemento elastico nel punto x = I) e del secondo sistema parziale (5) (asta centrale fissata su quattro elementi elastici nel punto A)

LETTERATURA

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L'articolo è stato ricevuto dalla redazione il 28 aprile 2014

Pavlov Arseniy Mikhailovich - studente del dipartimento "Veicoli spaziali e veicoli di lancio" dell'Università tecnica statale di Mosca. NE Bauman. È specializzato nel campo della tecnologia missilistica e spaziale.

MSTU im. NE Baumash, Federazione Russa, 105005, Mosca, 2° Baumanskaya st., 5.

Pavlov AM - studente del dipartimento "Veicoli spaziali e veicoli di lancio" dell'Università tecnica statale di Mosca Bauman. Specialista nel campo della tecnologia missilistica e spaziale. Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Mosca, 105005 Federazione Russa.

Temnov Alexander Nikolaevich - Ph.D. Fisica-Matematica. Sci., Professore associato, Dipartimento di veicoli spaziali e veicoli di lancio, Università tecnica statale di Mosca. NE Bauman. Autore di oltre 20 opere scientifiche nel campo della meccanica dei fluidi e dei gas e della tecnologia missilistica e spaziale. MSTU im. NE Baumash, Federazione Russa, 105005, Mosca, 2° Baumanskaya st., 5.

Temnov AN - Can. sci. (Fis.-Mat.), assoc. professore del dipartimento "Veicoli spaziali e veicoli di lancio" dell'Università tecnica statale di Mosca Bauman. Autore di oltre 20 pubblicazioni nel campo della meccanica dei fluidi e dei gas e della tecnologia missilistica e spaziale.

Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Mosca, 105005 Federazione Russa.