Se f (x , t) = 0 (\ displaystyle f (x, \; t) = 0), allora questa equazione viene chiamata omogeneo, altrimenti - eterogeneo.

A seconda del tipo di condizioni al contorno, i problemi per l'equazione del calore possono essere suddivisi in tre tipi. Considera il caso generale ( α io 2 + β io 2 ≠ 0 , (io = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\beta _(i)^(2)\neq 0,\;(i= 1,\;2))).

Se α io = 0 , ( io = 1 , 2) (\ displaystyle \ alpha _ (i) = 0, \; (i = 1, \; 2)), allora questa condizione viene chiamata condizione del primo tipo, Se β io = 0 , (io = 1 , 2) (\ displaystyle \ beta _ (i) = 0, \; (i = 1, \; 2)) - secondo tipo, e se α io (\ displaystyle \ alfa _ (i)) e β io (\ displaystyle \ beta _ (i)) sono diversi da zero, quindi la condizione terzo tipo. Da qui otteniamo problemi per l'equazione del calore: il primo, il secondo e il terzo confine.

Principio massimo

Sia una funzione nello spazio D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\ displaystyle D \ volte, \; D \ in \ matematicabb (R) ^ (n)), soddisfa l'equazione di conduzione del calore omogenea ∂ u ∂ t - un 2 Δ u = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ u parziale) (\ t parziale)) -a ^ (2) \ Delta u = 0), e D (\ displaystyle D)- area riservata. Il principio del massimo afferma che la funzione u (x , t) (\ displaystyle u (x, \; t)) può assumere valori estremi sia al momento iniziale che al confine della regione D (\ displaystyle D).

Appunti

Quando si costruisce un modello matematico di propagazione del calore in un'asta, facciamo le seguenti ipotesi:

1) l'asta è costituita da un materiale conduttivo omogeneo con una densità ρ ;

2) la superficie laterale dell'asta è isolata termicamente, ovvero il calore può diffondersi solo lungo l'asse OH;

3) l'asta è sottile: ciò significa che la temperatura in tutti i punti di qualsiasi sezione trasversale dell'asta è la stessa.

Si consideri una parte dell'asta sul segmento [ x, x + ∆x] (vedere Fig. 6) e utilizzare la legge di conservazione della quantità di calore:

La quantità totale di calore nel segmento [ x, x + ∆x] = quantità totale di calore che passa attraverso i confini + quantità totale di calore generato dalle sorgenti interne.

La quantità totale di calore che deve essere impartita a una sezione dell'asta per aumentarne la temperatura di ∆U, si calcola con la formula: ∆Q=CρS∆x∆U, dove DA- capacità termica specifica del materiale (= la quantità di calore che deve essere riferita a 1 kg di una sostanza per alzarne la temperatura di 1°), S- area della sezione trasversale.

La quantità di calore è passata attraverso l'estremità sinistra della sezione dell'asta durante il tempo ∆t(flusso di calore) si calcola con la formula: Q 1 \u003d -kSU x (x, t) ∆t, dove K- coefficiente di conducibilità termica del materiale (= la quantità di calore che fluisce al secondo attraverso un'asta di lunghezza unitaria e sezione trasversale unitaria con una differenza di temperatura alle estremità opposte pari a 1°). In questa formula, il segno meno richiede una spiegazione speciale. Il fatto è che il flusso è considerato positivo se è diretto nella direzione di aumento. X, e questo, a sua volta, significa quello a sinistra del punto X la temperatura è più alta di quella di destra, cioè Ux< 0 . Pertanto, al fine di Q1 era positivo, c'è un segno meno nella formula.

Allo stesso modo, il flusso di calore attraverso l'estremità destra della sezione dell'asta è calcolato dalla formula: Q 2 \u003d -kSU x (x +∆x,t)∆t.

Se assumiamo che non ci siano fonti di calore interne all'asta e usiamo la legge di conservazione del calore, otteniamo:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Se questa uguaglianza è divisa per S∆x∆t e lottare ∆х e ∆t a zero avremo:

Da qui, l'equazione di conduzione del calore ha la forma

U t \u003d a 2 U xx,

dove è il coefficiente di diffusività termica.

Nel caso in cui all'interno dell'asta siano presenti fonti di calore, distribuite in modo continuo con una densità q(x,t), otteniamo un'equazione di conduzione del calore disomogenea

U t = a 2 U xx + f(x,t),
dove .

Condizioni iniziali e condizioni al contorno.

Solo per l'equazione del calore una condizione iniziale U| t=0 = φ(x)(o in un'altra voce U(x,0) = φ(x)) e fisicamente significa che la distribuzione di temperatura iniziale dell'asta ha la forma φ(x). Per le equazioni di conduzione del calore in un piano o nello spazio, la condizione iniziale ha la stessa forma, solo la funzione φ dipenderà rispettivamente da due o tre variabili.

Le condizioni al contorno nel caso dell'equazione del calore hanno la stessa forma dell'equazione d'onda, ma il loro significato fisico è già diverso. Termini primo tipo (5) significa che la temperatura è impostata alle estremità dello stelo. Se non cambia con il tempo, allora g 1 (t) ≡ T 1 e g 2 (t) ≡ T 2, dove T1 e T2- permanente. Se le estremità vengono mantenute sempre a temperatura zero, allora T 1 \u003d T 2 \u003d 0 e le condizioni saranno le stesse. Condizioni di confine secondo tipo (6) determinare il flusso di calore alle estremità dell'asta. In particolare, se g 1 (t) = g 2 (t) = 0, allora le condizioni diventano uniformi. Fisicamente significano che lo scambio di calore con l'ambiente esterno non avviene attraverso le estremità (queste condizioni sono anche dette condizioni per l'isolamento termico delle estremità). Infine, le condizioni al contorno terzo tipo (7) corrispondono al caso in cui lo scambio termico con l'ambiente avviene attraverso le estremità dell'asta secondo la legge di Newton (ricordiamo che nel derivare l'equazione del calore abbiamo considerato termicamente isolata la superficie laterale). È vero, nel caso dell'equazione del calore, le condizioni (7) sono scritte in modo leggermente diverso:

La legge fisica dello scambio termico con l'ambiente (legge di Newton) è che il flusso di calore attraverso una superficie unitaria per unità di tempo è proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo e l'ambiente. Quindi, per l'estremità sinistra dell'asta, è uguale a Qui h1 > 0- coefficiente di scambio termico con l'ambiente, g 1 (t)- temperatura ambiente all'estremità sinistra. Il segno meno viene inserito nella formula per lo stesso motivo di quando si ricava l'equazione del calore. D'altra parte, a causa della conducibilità termica del materiale, il flusso di calore attraverso la stessa estremità è uguale Applicando la legge di conservazione della quantità di calore, otteniamo:

Allo stesso modo, la condizione (14) si ottiene all'estremità destra dell'asta, solo la costante λ2 possono essere diversi, poiché, in generale, gli ambienti che circondano le estremità sinistra e destra sono diversi.

Le condizioni al contorno (14) sono più generali delle condizioni del primo e del secondo tipo. Se assumiamo che non vi sia scambio di calore con il mezzo attraverso nessuna estremità (cioè il coefficiente di trasferimento del calore è zero), si otterrà una condizione del secondo tipo. In un altro caso, supponiamo che il coefficiente di scambio termico, per esempio h1, molto grande.

Riscriviamo la condizione (14) per x = 0 come e diamoci da fare. Di conseguenza, avremo una condizione del primo tipo:

Le condizioni al contorno sono formulate in modo simile per un numero maggiore di variabili. Per il problema della propagazione del calore in una lastra piana, la condizione significa che la temperatura ai suoi bordi è mantenuta a zero. Allo stesso modo le condizioni sono esternamente molto simili, ma nel primo caso significa che si considera una lastra piana e i suoi bordi sono isolati termicamente, e nel secondo caso significa che si considera il problema della propagazione del calore in un corpo e la sua superficie è isolata termicamente.

Soluzione del primo problema del valore iniziale al contorno per l'equazione del calore.

Si consideri il problema omogeneo del primo valore limite iniziale per l'equazione del calore:

Trova una soluzione all'equazione

Ut = Uxx , 0 0,

soddisfacendo le condizioni al contorno

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

e condizione iniziale

Risolviamo questo problema con il metodo di Fourier.

Passo 1. Cercheremo soluzioni all'Eq. (15) nella forma U(x,t) = X(x)T(t).

Troviamo le derivate parziali:

Sostituisci queste derivate nell'equazione e separa le variabili:

Per il lemma principale, otteniamo

ciò implica

Ora puoi risolvere ciascuna di queste equazioni differenziali ordinarie. Prestiamo attenzione al fatto che utilizzando le condizioni al contorno (16), si può cercare non la soluzione generale dell'equazione b), ma soluzioni particolari che soddisfino le corrispondenti condizioni al contorno:

Passo 2 Risolviamo il problema di Sturm-Liouville

Questo problema coincide con il problema di Sturm-Liouville considerato in lezioni 3. Ricordiamo che gli autovalori e le autofunzioni di questo problema esistono solo per λ>0.

Gli autovalori sono

Le autofunzioni sono (Vedi soluzione del problema)

METODI ANALITICI PER LA RISOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DELLA CONDUCIBILITA' TERMICA

Attualmente, un gran numero di problemi di conduzione del calore unidimensionale è stato risolto analiticamente.

A.V.Lykov, ad esempio, considera quattro metodi per risolvere l'equazione del calore in un problema unidimensionale: il metodo di separazione delle variabili, il metodo delle sorgenti, il metodo operazionale, il metodo delle trasformazioni integrali finite.

In futuro, ci concentreremo solo sul primo metodo, che ha ricevuto la maggiore distribuzione.

Metodo di separazione delle variabili nella risoluzione dell'equazione del calore

L'equazione differenziale della conduzione del calore nelle condizioni di un problema unidimensionale e senza fonti di calore ha la forma

T /? f \u003d a? 2 t/?x 2 .(3.1)

Questa equazione è un caso speciale di un'equazione differenziale omogenea con coefficienti costanti per qualche funzione t di due variabili x e φ:

È facile verificare che una soluzione particolare a questa equazione sia l'espressione

t = C exp (bx + cf).(3.3)

Veramente:

• ?t/?x = bC exp (bx + wf); ?t/?ph = sc exp (bx + wf);
• ? 2 t /? x 2 \u003d b 2 C exp (bx + wf);
• ? 2 t /? f 2 \u003d in 2 C exp (bx + wf);? 2 t/(?x ?f) = bvS exp (bx + wf).(3.4)

Risolvere insieme le ultime sette equazioni dà

a 1 b 2 + b 1 bc + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0.(3.5)

L'ultima equazione è chiamata equazione dei coefficienti.

Passando all'equazione (3.1) e confrontandola con l'equazione (3.2), ne concludiamo

b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0; a 1 = - a; l 1 = 1. (3.6)

L'equazione dei coefficienti (3.5) per il caso particolare dell'equazione (3.1) assume la forma

B 2 a + c = 0(3.7)

c = b 2 a.(3.8)

Pertanto, la soluzione particolare (3.3) è integrale dell'equazione differenziale (3.1) e, tenendo conto della (3.8), assume la forma

t = C exp (b 2 aph + bx).(3.9)

In questa equazione, puoi impostare qualsiasi valore di numeri per C, b, a.

L'espressione (3.9) può essere rappresentata come un prodotto

t = C exp (b 2 aph) exp (bx),(3.10)

dove il fattore exp (b 2 aph) è una funzione del solo tempo φ e il fattore exp (bx) è solo una funzione della distanza x:

exp (b 2 aph) \u003d f (f); exp (bx) \u003d q (x). (3.11)

All'aumentare del tempo φ, la temperatura in tutti i punti aumenta continuamente e può diventare superiore a quella predeterminata, cosa che non si verifica nei problemi pratici. Pertanto, di solito si prendono solo quei valori di 6 per i quali 6 2 è negativo, il che è possibile quando 6 è puramente immaginario. Accettare

b = ± iq,(3.12)

dove q è un numero reale arbitrario (in precedenza, q denotava il flusso di calore specifico),

In questo caso, l'equazione (3.10) assumerà la seguente forma:

t \u003d C exp (- q 2 aph) exp (± iqx).(3.13)

Facendo riferimento alla famosa formula di Eulero

exp (± ix) = cos x ± i sin x(3.14)

e, usandolo, trasformiamo l'equazione (3.13). Otteniamo due soluzioni in forma complessa:

Sommiamo le parti sinistra e destra delle equazioni (3.15), quindi separiamo le parti reali dalle parti immaginarie nelle parti sinistra e destra della somma e le uguagliamo, rispettivamente. Allora otteniamo due soluzioni:

Introduciamo la notazione:

(DO 1 + DO 2)/2 = RE;(DO 1 - DO 2)/2 = DO(3.17)

quindi otteniamo due soluzioni che soddisfano l'equazione del calore differenziale (3.1):

t 1 \u003d D exp (- q 2 af) cos (qx); t 2 \u003d C exp (- q 2 af) sin (qx). (3.18)

È noto che se la funzione desiderata ha due soluzioni particolari, la somma di queste soluzioni particolari soddisferà anche l'equazione differenziale originale (3.1), cioè la soluzione di questa equazione sarà

t \u003d C exp (- q 2 af) sin (qx) + D exp (- q 2 af) cos (qx), (3.19)

e la soluzione generale che soddisfa questa equazione può essere scritta nella forma seguente:

Qualsiasi valore di q m , q n , C i , D i nell'equazione (3.20) soddisferà l'equazione (3.1). La specificazione nella scelta di questi valori sarà determinata dalle condizioni iniziali e al contorno di ogni particolare problema pratico, e i valori di qm e qn sono determinati dalle condizioni al contorno, e C i , e D i , -- da quelli iniziali.

Oltre alla soluzione generale dell'equazione del calore (3.20) in cui avviene il prodotto di due funzioni, una delle quali dipende da x e l'altra da φ, esistono anche soluzioni in cui tale separazione è impossibile, ad esempio:

Entrambe le soluzioni soddisfano l'equazione del calore, che è facilmente verificabile differenziandole prima rispetto a φ, e poi 2 volte rispetto a x, e sostituendo il risultato in equazione differenziale (3.1).

Un esempio particolare di campo di temperatura non stazionario in una parete

Considera un esempio di applicazione della soluzione ottenuta sopra.

Dati iniziali.

• 1. Dato un muro di cemento con uno spessore di 2X = 0,80 m.
• 2. La temperatura del fluido che circonda la parete u = 0°С.
• 3. All'istante iniziale, la temperatura della parete in tutti i punti F(x)=1°C.
• 4. Il coefficiente di scambio termico della parete b = 12,6 W/(m 2°C); coefficiente di conducibilità termica della parete l=0,7W/(m °C); densità materiale parete c=2000kg/m 3 ; capacità termica specifica c=1,13 10 3 J/(kg °C); coefficiente di diffusività termica a=1,1·10 -3 m 2 /h; coefficiente di scambio termico relativo b/l = h=18,0 1/m. È necessario determinare la distribuzione della temperatura nella parete 5 ore dopo il tempo iniziale.

Soluzione. Passando alla soluzione generale (3.20) e tenendo presente che le distribuzioni di temperatura iniziale e successive sono simmetriche rispetto all'asse della parete, concludiamo che la serie dei seni in questa soluzione generale scompare, e per x = X avrà il modulo

I valori sono determinati dalle condizioni al contorno (senza ulteriori spiegazioni qui) e sono riportati nella Tabella 3.1.

Avendo i valori della Tabella 3.1, troviamo l'intervallo di valori desiderato usando la formula

Tabella 3.1 Valori delle funzioni incluse nella formula (3.24)

cioè D1 = 1.250; D2 \u003d - 0,373; D3 = 0,188; D4 \u003d - 0,109; D5 = 0,072.

La distribuzione iniziale della temperatura nella parete considerata assumerà la seguente forma:

Per ottenere la distribuzione della temperatura calcolata 5 ore dopo il momento iniziale, è necessario determinare una serie di valori per il tempo dopo 5 ore Questi calcoli sono fatti nella Tabella 3.2.

Tabella 3.2 Valori delle funzioni incluse nella formula (3.23)

L'espressione finale per la distribuzione della temperatura nello spessore della parete 5 ore dopo il momento iniziale

La figura 3.1 mostra la distribuzione della temperatura nello spessore della parete all'istante iniziale e dopo 5 ore.A fianco della soluzione generale, sono mostrati anche quelli privati, con numeri romani che indicano curve private corrispondenti a termini di serie successivi (3.25 ) e (3.26).

Fig.3.1.

Quando si risolvono problemi pratici, di solito non è necessario determinare la temperatura in tutti i punti del muro. Puoi limitarti a calcolare la temperatura solo per un punto qualsiasi, ad esempio per un punto nel mezzo del muro. In questo caso, la quantità di lavoro di calcolo secondo la formula (3.23) sarà significativamente ridotta.

Se la temperatura iniziale nel caso sopra considerato non è uguale a 1 ° C, ma T c, allora l'equazione (3.20) assumerà la forma

Soluzione dell'equazione del calore in varie condizioni al contorno

Non forniremo un corso coerente per risolvere l'equazione del calore per altre condizioni al contorno, che sono di importanza pratica per risolvere alcuni problemi. Di seguito ci limitiamo alla formulazione delle loro condizioni con una dimostrazione delle soluzioni già pronte disponibili.

Dati iniziali. Il muro ha uno spessore di 2X. Al momento iniziale, in tutti i suoi punti, ad eccezione della superficie, la temperatura è Тс La temperatura sulla superficie è 0°С durante l'intero periodo di calcolo.

È necessario trovare t = f(x, φ).

Il serbatoio immobile era ricoperto di ghiaccio alla temperatura della massima densità dell'acqua (Тс = 4°С). La profondità del serbatoio è di 5 m (X = 5 m). Calcolare la temperatura dell'acqua nel serbatoio 3 mesi dopo il congelamento. Diffusività termica dell'acqua calma a = 4,8 10 -4 m 2 / h. Non c'è flusso di calore vicino al fondo, cioè a x = 0.

Durante il periodo di calcolo (f=3·30·24=2160 h), la temperatura sulla superficie viene mantenuta costante e uguale a zero, cioè a x = X T p = 0°C. L'intero calcolo è riassunto nella tabella. 3 e 4. Queste tabelle consentono di calcolare i valori di temperatura 3 mesi dopo il momento iniziale per profondità prossime al fondo, e poi superiori dopo 1 m, ovvero t 0 (fondo) = 4°C; t 1 \u003d 4 ° C; t 2 = 3,85°C; t 3 = 3,30°C; t 4 = 2,96°C; t 5 (pov) \u003d 0 ° C.

Tabella 3.3

Tabella 3.4

Come puoi vedere, in acqua assolutamente ferma, le perturbazioni di temperatura penetrano molto lentamente in profondità. In condizioni naturali, nei corpi idrici sotto la copertura di ghiaccio, si osservano sempre correnti, gravitazionali (che scorrono), o convettive (diversa densità), o, infine, causate dall'afflusso di acque sotterranee. Tutta la varietà di queste caratteristiche naturali dovrebbe essere presa in considerazione nei calcoli pratici e le raccomandazioni per questi calcoli possono essere trovate nei manuali e nelle opere di K.I. Rossinsky.

Il corpo è delimitato su un lato (semipiano). Nell'istante φ = 0 in tutti i punti la temperatura del corpo è uguale a T s. Per tutti i momenti φ > 0, la temperatura T p = 0°C viene mantenuta sulla superficie corporea.

È necessario trovare la distribuzione della temperatura nello spessore del corpo e la dispersione termica attraverso la superficie libera in funzione del tempo: t = f (x, f),

Soluzione. Temperatura in qualsiasi parte del corpo e in qualsiasi momento

dove è l'integrale di Gauss. I suoi valori a seconda della funzione sono riportati nella Tabella 3.5.

Tabella 3.5

In pratica, la soluzione inizia con la determinazione della relazione in cui x e φ sono dati nell'enunciato del problema.

La quantità di calore disperso da un'unità di superficie corporea nell'ambiente è determinata dalla legge di Fourier. Per l'intero periodo di regolamento dal momento iniziale al regolamento

All'istante iniziale, la temperatura del terreno dalla superficie ad una notevole profondità era costante e pari a 6°C. A questo punto la temperatura sulla superficie del suolo è scesa a 0°C.

È necessario determinare la temperatura del suolo a una profondità di 0,5 m dopo 48 ore con il valore del coefficiente di diffusività termica del suolo a = 0,001 m 2 / h, nonché stimare la quantità di calore disperso dal superficie durante questo periodo.

Secondo la formula (3.29), la temperatura del suolo a una profondità di 0,5 m dopo 48 ore è t=6·0,87=5,2°C.

La quantità totale di calore disperso da un'unità di superficie del suolo, con un coefficiente di conducibilità termica l = 0,35 W / (m ° C), capacità termica specifica c = 0,83 10 3 J / (kg ° C) e densità c = 1500 kg / m 3 determiniamo con la formula (3.30) Q \u003d l,86 10 6 J / m 2.

corpo termico di conducibilità termica integrale

Fig.3.2

A causa di qualche influenza esterna, la temperatura superficiale di un corpo delimitato su un lato (un semipiano) subisce periodiche fluttuazioni intorno allo zero. Assumiamo che queste oscillazioni siano armoniche, cioè che la temperatura superficiale vari lungo un'onda coseno:

dove è la durata dell'oscillazione (periodo), T 0 è la temperatura superficiale,

T 0 max -- la sua massima deviazione.

È necessario determinare il campo di temperatura in funzione del tempo.

L'ampiezza delle fluttuazioni di temperatura cambia da x secondo la seguente legge (Fig. 3.2):

Un esempio per il problema n. 3. La variazione di temperatura sulla superficie del suolo sabbioso asciutto durante l'anno è caratterizzata da un andamento del coseno. In questo caso la temperatura media annua è di 6°C, con deviazioni massime dalla media in estate e in inverno, raggiungendo i 24°C.

È necessario determinare la temperatura del suolo a una profondità di 1 m nel momento in cui la temperatura in superficie è di 30°C (condizionalmente 1/VII).

L'espressione del coseno (3.31) in relazione a questo caso (temperatura superficiale) a T 0 max \u003d 24 0 C assume la forma

T 0 \u003d 24 cos (2rf / 8760) + 6.

A causa del fatto che la superficie del terreno ha una temperatura media annuale di 6 ° C e non zero, come nell'equazione (3.32), l'equazione di calcolo assumerà la forma seguente:

Assumendo per il suolo il coefficiente di diffusività termica a = 0,001 m 2 / h e tenendo presente che in base alla condizione del problema è necessario determinare la temperatura al termine del periodo di calcolo (dopo 8760 ore dal momento iniziale ), noi troviamo

L'espressione di calcolo (3.34) assumerà la forma seguente: t \u003d 24e -0,6 0,825 + 6 \u003d 16,9 ° С.

Alla stessa profondità di 1 m, l'ampiezza massima della fluttuazione annuale della temperatura, secondo l'espressione (3.33), sarà

T 1 max \u003d 24e -0,6 \u003d 13,2 ° С,

e la temperatura massima a una profondità di 1 m

t 1 max \u003d T x max + 6 \u003d 13,2 + 6 \u003d 19,2 ° С.

In conclusione, notiamo che i problemi e gli approcci considerati possono essere utilizzati per risolvere i problemi relativi al rilascio di acqua calda in un serbatoio, nonché nel metodo chimico per determinare il flusso d'acqua e in altri casi.

Sulla base della descrizione matematica (modello matematico) del processo si ottengono formule per il calcolo del campo di temperatura e del flusso di calore in particolari problemi di conduzione del calore stazionaria e non stazionaria. La base del modello è l'equazione differenziale di conduzione del calore, che è derivata utilizzando la prima legge della termodinamica per i corpi che non funzionano, e la legge di Fourier di conduzione del calore. L'equazione differenziale di un processo fisico è solitamente derivata da determinate ipotesi che semplificano il processo. Pertanto, l'equazione risultante descrive la classe di processi solo all'interno delle ipotesi accettate. Ogni attività specifica è descritta dalle corrispondenti condizioni di unicità. Pertanto, la descrizione matematica del processo di conduzione del calore include un'equazione di conduzione del calore differenziale e condizioni di unicità.

Considerare la derivazione dell'equazione differenziale di conduzione del calore sotto le seguenti ipotesi:

• a) il corpo è omogeneo e anisotropo;
• b) il coefficiente di conducibilità termica dipende dalla temperatura;
• c) la deformazione del volume in esame, associata ad una variazione di temperatura, è molto ridotta rispetto al volume stesso;
• d) all'interno del corpo sono presenti fonti di calore interne uniformemente distribuite q v = f(x, y, z, m) = cost;
• e) non vi è alcun movimento delle macroparticelle del corpo l'una rispetto all'altra (convezione).

Nel corpo con le caratteristiche accettate, selezioniamo un volume elementare a forma di parallelepipedo con bordi dx, dy, dz, decisamente orientato in un sistema di coordinate ortogonali (Fig. 14.1). In accordo con la prima legge della termodinamica per i corpi che non funzionano, la variazione dell'energia interna dU sostanze nel volume assegnato nel tempo dxè uguale alla quantità di calore fornita

Riso. 14.1.

volume dovuto alla conduzione del calore dQ x , e calore rilasciato da fonti interne dQ2".

È noto dalla termodinamica che la variazione dell'energia interna di una sostanza in un volume dV nel corso dx è uguale a

dove dG = pag dv- la massa della sostanza; p - densità; da - capacità termica di massa specifica (per liquidi comprimibili c = cv (capacità termica isocorica)).

La quantità di energia allocata da fonti interne,

dove qv - densità apparente delle fonti di calore interne, W/m 3.

Il flusso di calore che entra nel volume per conducibilità termica è diviso in tre componenti secondo la direzione degli assi coordinati: Attraverso le facce opposte il calore sarà

essere rimosso rispettivamente nella quantità La differenza tra la quantità di calore fornita e quella rimossa equivale a una variazione dell'energia interna dovuta alla conducibilità termica dQ v Rappresentiamo questo valore come la somma delle componenti lungo gli assi delle coordinate:

Quindi nella direzione dell'asse x abbiamo

Nella misura in cui -

densità di flusso di calore su vie opposte.

Funzione qx+dxè continua nell'intervallo considerato dx e può essere espansa in una serie di Taylor:

Limitandoci ai primi due termini della serie e sostituendo la (14.6), otteniamo

Allo stesso modo, otteniamo:

Dopo aver sostituito (14.8)-(14.10) in (14.4) abbiamo

Sostituendo (14.2), (14.3) e (14.11) in (14.1), otteniamo un'equazione differenziale per il trasferimento di calore per conduzione di calore, tenendo conto delle sorgenti interne:

Secondo la legge di Fourier della conduzione del calore, scriviamo espressioni per le proiezioni sugli assi coordinati della densità del flusso di calore:

dove X x, X y, X z- coefficienti di conducibilità termica in direzione degli assi coordinati (corpo anisotropico).

Sostituendo queste espressioni nella (14.12), otteniamo

L'equazione (14.13) è chiamata equazione differenziale del calore per corpi anisotropi con proprietà fisiche indipendenti dalla temperatura.

Se accetta X= const, e il corpo è isotropo, l'equazione del calore assume la forma

Qui ma = Х/(ср), m 2 / s, - diffusività termica,

che è un parametro fisico di una sostanza che caratterizza la velocità di variazione della temperatura nei processi di riscaldamento o raffreddamento. I corpi costituiti da una sostanza ad alto coefficiente di diffusività termica, ceteris paribus, si riscaldano e si raffreddano più velocemente.

In un sistema di coordinate cilindrico, l'equazione del calore differenziale per un corpo isotropo con proprietà fisiche costanti ha la forma

dove g, z,Ф - coordinate rispettivamente radiali, assiali e angolari.

Le equazioni (14.13), (14.14) e (14.15) descrivono il processo di conduzione del calore nella forma più generale. I compiti specifici differiscono condizioni di unicità, cioè. descrizione delle caratteristiche del processo in esame.

condizioni di non ambiguità. Sulla base dei concetti fisici di conducibilità termica, è possibile individuare i fattori che influenzano il processo: le proprietà fisiche della sostanza; dimensione e forma del corpo; distribuzione iniziale della temperatura; condizioni di scambio termico sulla superficie (confine) del corpo. Pertanto, le condizioni di unicità sono divise in fisiche, geometriche, iniziali e di confine (confine).

condizioni fisiche vengono forniti i parametri fisici della sostanza X, s, p e distribuzione delle fonti interne.

Termini geometrici vengono impostate la forma e le dimensioni lineari del corpo in cui avviene il processo.

Condizioni iniziali viene data la distribuzione della temperatura nel corpo al momento iniziale T= /(x, y, z) a m = 0. Le condizioni iniziali sono importanti quando si considerano processi non stazionari.

A seconda della natura del trasferimento di calore al confine del corpo, le condizioni al contorno (al contorno) sono divise in quattro tipi.

Condizioni al contorno del primo tipo. Specifica la distribuzione della temperatura sulla superficie t n durante il processo

In un caso particolare, la temperatura superficiale può rimanere costante (/n = const).

Condizioni limite del primo tipo si verificano, ad esempio, durante il riscaldamento per contatto nei processi di incollaggio del compensato, pressatura di truciolare e fibra di legno, ecc.

Condizioni al contorno del secondo tipo. Viene impostata la distribuzione dei valori di densità del flusso di calore sulla superficie corporea durante il processo

In un caso particolare, il flusso di calore sulla superficie può rimanere costante (

Condizioni al contorno del terzo tipo corrispondono al trasferimento di calore convettivo sulla superficie. In queste condizioni è opportuno impostare la temperatura del liquido in cui si trova il corpo, Tf = /(t), e il coefficiente di scambio termico oc. Nel caso generale il coefficiente di scambio termico è un valore variabile, quindi occorre impostare la legge della sua variazione a = / (t). Un caso speciale è possibile: / f = const; a = cost.

Condizioni al contorno del quarto tipo caratterizzare le condizioni di scambio termico di corpi con diversi coefficienti di conducibilità termica al loro contatto ideale, quando il calore è ceduto per conducibilità termica e i flussi termici ai lati opposti della superficie di contatto sono uguali:

Le ipotesi fisiche accettate, l'equazione derivata da queste ipotesi e le condizioni di unicità costituiscono una descrizione analitica (modello matematico) dei processi di conduzione del calore. Il successo dell'utilizzo del modello ottenuto per risolvere un problema specifico dipenderà da come le ipotesi accettate e le condizioni di unicità siano adeguate alle condizioni reali.

Le equazioni (14.14) e (14.15) sono risolte analiticamente per un regime termico stazionario unidimensionale. Le soluzioni sono discusse di seguito. I metodi numerici approssimativi vengono utilizzati per processi stazionari bidimensionali e tridimensionali

Per risolvere le equazioni (14.13) - (14.15) in condizioni di regime termico non stazionario, vengono utilizzati numerosi metodi, che sono considerati in dettaglio nella letteratura speciale. Sono noti metodi analitici esatti e approssimativi, metodi numerici, ecc.

La soluzione numerica dell'equazione del calore viene eseguita principalmente con il metodo delle differenze finite. La scelta dell'uno o dell'altro metodo di soluzione dipende dalle condizioni del problema. Come risultato della risoluzione con metodi analitici, si ottengono formule applicabili alla risoluzione di una serie di problemi ingegneristici in condizioni appropriate. I metodi numerici consentono di ottenere il campo di temperatura t=f(x, y, z, m) come un insieme di valori di temperatura discreti in vari punti a orari prestabiliti per un'attività specifica. Pertanto, l'uso di metodi analitici è preferibile, ma ciò non è sempre possibile per problemi multidimensionali e condizioni al contorno complesse.