Dipendenza lineare e indipendenza lineare dei vettori.
Base dei vettori. Sistema di coordinate affine

C'è un carrello con cioccolatini tra il pubblico e oggi ogni visitatore riceverà una dolce coppia: geometria analitica con algebra lineare. Questo articolo tratterà due sezioni contemporaneamente. matematica superiore e vedremo come vanno d'accordo in un involucro. Fai una pausa, mangia Twix! ... accidenti, beh, sostenendo sciocchezze. Anche se va bene, non segnerò, alla fine dovrebbe esserci un atteggiamento positivo nei confronti dello studio.

Dipendenza lineare dei vettori, indipendenza lineare dei vettori, base vettoriale e altri termini hanno non solo un'interpretazione geometrica, ma, soprattutto, un significato algebrico. Il concetto stesso di "vettore" dal punto di vista dell'algebra lineare non è sempre il vettore "ordinario" che possiamo rappresentare su un piano o nello spazio. Non è necessario cercare lontano per la prova, prova a disegnare un vettore di spazio a cinque dimensioni . O il vettore meteorologico per cui sono appena andato a Gismeteo per: - temperatura e Pressione atmosferica rispettivamente. L'esempio è ovviamente errato in termini di proprietà spazio vettoriale, ma, tuttavia, nessuno vieta di formalizzare questi parametri come vettori. Respiro d'autunno...

No, non ti annoierò con la teoria, gli spazi vettoriali lineari, il compito è farlo capire definizioni e teoremi. I nuovi termini (dipendenza lineare, indipendenza, combinazione lineare, base, ecc.) sono applicabili a tutti i vettori da un punto di vista algebrico, ma verranno forniti degli esempi geometricamente. Quindi, tutto è semplice, accessibile e visivo. Oltre ai problemi di geometria analitica, ne considereremo anche alcuni compiti tipici algebra. Per padroneggiare il materiale, è consigliabile familiarizzare con le lezioni Vettori per manichini e Come calcolare il determinante?

Dipendenza lineare e indipendenza di vettori piani.
Base piana e sistema di coordinate affine

Considera il piano della scrivania del tuo computer (solo un tavolo, comodino, pavimento, soffitto, qualunque cosa ti piaccia). L'attività consisterà nelle seguenti azioni:

1) Seleziona la base del piano. In parole povere, il piano del tavolo ha una lunghezza e una larghezza, quindi è intuitivamente chiaro che sono necessari due vettori per costruire la base. Un vettore chiaramente non è abbastanza, tre vettori sono troppi.

2) In base alla base scelta impostare il sistema di coordinate(griglia delle coordinate) per assegnare le coordinate a tutti gli elementi della tabella.

Non sorprenderti, all'inizio le spiegazioni saranno sulle dita. Inoltre, sul tuo. Si prega di posizionare dito indice della mano sinistra sul bordo del tavolo in modo che guardi il monitor. Questo sarà un vettore. Ora posto mignolo della mano destra allo stesso modo sul bordo del tavolo, in modo che sia diretto verso lo schermo del monitor. Questo sarà un vettore. Sorridi, stai benissimo! Cosa si può dire dei vettori? Vettori di dati collineare, che significa linearmente espresso l'uno attraverso l'altro:
, bene, o viceversa: , dove è un numero diverso da zero.

Puoi vedere un'immagine di questa azione nella lezione. Vettori per manichini, dove ho spiegato la regola per moltiplicare un vettore per un numero.

Le tue dita stabiliranno la base sul piano del tavolo del computer? Ovviamente no. I vettori collineari viaggiano avanti e indietro da solo direzione, mentre un piano ha una lunghezza e una larghezza.

Tali vettori sono chiamati linearmente dipendente.

Riferimento: Le parole "lineare", "lineare" denotano il fatto che non ci sono quadrati, cubi, altre potenze, logaritmi, seni, ecc. nelle equazioni matematiche, nelle espressioni. Esistono solo espressioni e dipendenze lineari (di 1° grado).

Due vettori piani linearmente dipendente se e solo se sono collineari.

Incrocia le dita sul tavolo in modo che ci sia qualsiasi angolo tra di loro tranne 0 o 180 gradi. Due vettori pianilinearmente non sono dipendenti se e solo se non sono collineari. Quindi, la base è ricevuta. Non c'è bisogno di essere imbarazzati dal fatto che la base si sia rivelata "obliqua" con vettori non perpendicolari di varie lunghezze. Molto presto vedremo che non solo un angolo di 90 gradi è adatto alla sua costruzione, e non solo vettori unitari di uguale lunghezza

Qualsiasi vettore aereo l'unico modo ampliato in termini di base:
, dove sono i numeri reali. I numeri sono chiamati coordinate vettoriali in questa base.

Lo dicono anche vettorepresentato nel modulo combinazione lineare vettori di base. Cioè, l'espressione è chiamata decomposizione vettorialebase o combinazione lineare vettori di base.

Ad esempio, puoi dire che un vettore è espanso su una base ortonormale del piano, oppure puoi dire che è rappresentato come una combinazione lineare di vettori.

Formuliamo definizione di base formalmente: base pianaè una coppia di vettori linearmente indipendenti (non collineari), , in cui qualunque il vettore piano è una combinazione lineare dei vettori di base.

Il punto essenziale della definizione è il fatto che si prendono i vettori in un certo ordine. basi Sono due basi completamente diverse! Come si suol dire, il mignolo della mano sinistra non può essere spostato al posto del mignolo della mano destra.

Abbiamo scoperto le basi, ma non è sufficiente impostare la griglia delle coordinate e assegnare le coordinate a ciascun elemento sulla scrivania del computer. Perché non abbastanza? I vettori sono liberi e vagano sull'intero piano. Quindi, come si assegnano le coordinate a quei puntini sporchi del tavolo rimasti da un weekend selvaggio? Serve un punto di partenza. E un tale punto di riferimento è un punto familiare a tutti: l'origine delle coordinate. Comprensione del sistema di coordinate:

Inizierò con il sistema "scuola". Già nella lezione introduttiva Vettori per manichini Ho evidenziato alcune delle differenze tra un sistema di coordinate rettangolare e una base ortonormale. Ecco l'immagine standard:

Quando si parla di sistema di coordinate rettangolari, quindi il più delle volte significano l'origine delle coordinate, assi coordinati e scala lungo gli assi. Prova a digitare "sistema di coordinate rettangolare" nel motore di ricerca e vedrai che molte fonti ti parleranno degli assi delle coordinate familiari dal 5° al 6° grado e come tracciare i punti su un piano.

D'altra parte, si ha l'impressione che un sistema di coordinate rettangolare possa essere ben definito in termini di una base ortonormale. E lo è quasi. La dicitura recita così:

origine, E Ortonormale set di base Sistema di coordinate cartesiane del piano . Cioè, un sistema di coordinate rettangolare decisamenteè definito da un unico punto e due vettori ortogonali unitari. Ecco perché, vedi il disegno che ho dato sopra - in problemi geometrici spesso (ma non sempre) disegna sia i vettori che gli assi delle coordinate.

Penso che tutti lo capiscano con l'aiuto di un punto (origine) e di una base ortonormale QUALSIASI PUNTO dell'aereo e QUALSIASI VETTORE dell'aereoè possibile assegnare le coordinate. In senso figurato, "tutto sull'aereo può essere numerato".

I vettori di coordinate devono essere unità? No, possono avere una lunghezza arbitraria diversa da zero. Considera un punto e due vettori ortogonali lunghezza arbitraria diversa da zero:

Tale base è chiamata ortogonale. L'origine delle coordinate con i vettori definisce la griglia delle coordinate e qualsiasi punto del piano, qualsiasi vettore ha le proprie coordinate nella base data. Ad esempio, o. L'ovvio inconveniente è che i vettori di coordinate generalmente hanno lunghezze diverse dall'unità. Se le lunghezze sono uguali a uno, si ottiene la solita base ortonormale.

! Nota : nella base ortogonale, e anche sotto in basi affini si considerano le unità piane e spaziali lungo gli assi CONDIZIONALE. Ad esempio, un'unità lungo l'ascissa contiene 4 cm, un'unità lungo l'ordinata contiene 2 cm Queste informazioni sono sufficienti per convertire le coordinate "non standard" in "nostri centimetri abituali", se necessario.

E la seconda domanda, a cui in realtà è già stata data una risposta: è necessario che l'angolo tra i vettori di base sia di 90 gradi? Non! Come dice la definizione, i vettori di base devono essere solo non lineare. Di conseguenza, l'angolo può essere qualsiasi cosa tranne 0 e 180 gradi.

Un punto sul piano chiamato origine, E non collinare vettori, , impostare sistema di coordinate affine del piano :

A volte viene chiamato questo sistema di coordinate obliquo sistema. Punti e vettori sono mostrati come esempi nel disegno:

Come capisci, il sistema di coordinate affine è ancora meno conveniente, le formule per le lunghezze di vettori e segmenti, che abbiamo considerato nella seconda parte della lezione, non funzionano in esso. Vettori per manichini, tante deliziose formule legate a prodotto scalare dei vettori. Ma valgono le regole per sommare vettori e moltiplicare un vettore per un numero, le formule per dividere un segmento a questo riguardo, così come alcuni altri tipi di problemi che prenderemo presto in considerazione.

E la conclusione è che il caso speciale più conveniente sistema affine coordinate è un sistema rettangolare cartesiano. Pertanto, lei, la sua, molto spesso deve essere vista. ... Tuttavia, tutto in questa vita è relativo: ci sono molte situazioni in cui è appropriato avere un obliquo (o qualche altro, ad esempio, polare) sistema di coordinate. Sì, e gli umanoidi tali sistemi possono venire al gusto =)

Passiamo alla parte pratica. Tutti i problemi di questa lezione sono validi sia per un sistema di coordinate rettangolare che per il caso affine generale. Non c'è niente di complicato qui, tutto il materiale è disponibile anche per uno scolaro.

Come determinare la collinearità dei vettori piani?

Cosa tipica. In ordine per due vettori piani sono collineari, è necessario e sufficiente che le rispettive coordinate siano proporzionali.Essenzialmente, questo è un perfezionamento coordinata per coordinata della relazione ovvia.

Esempio 1

a) Verificare se i vettori sono collineari .
b) I vettori costituiscono una base? ?

Soluzione:
a) Scopri se esiste per i vettori coefficiente di proporzionalità, tale da soddisfare le uguaglianze:

Ti parlerò sicuramente della versione "foppista" dell'applicazione di questa regola, che nella pratica funziona abbastanza bene. L'idea è di elaborare immediatamente una proporzione e vedere se è corretta:

Facciamo una proporzione dai rapporti delle coordinate corrispondenti dei vettori:

Accorciamo:
, quindi le coordinate corrispondenti sono proporzionali, quindi,

La relazione potrebbe essere fatta e viceversa, questa è un'opzione equivalente:

Per l'autotest, si può usare il fatto che i vettori collineari sono espressi linearmente l'uno attraverso l'altro. In questo caso, ci sono uguaglianze . La loro correttezza può essere facilmente verificata attraverso azioni elementari con vettori:

b) Due vettori piani formano una base se non sono collineari (linearmente indipendenti). Esaminiamo i vettori per la collinearità . Creiamo un sistema:

Dalla prima equazione segue che , dalla seconda equazione segue che , il che significa, il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, le coordinate corrispondenti dei vettori non sono proporzionali.

Produzione: i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Una versione semplificata della soluzione si presenta così:

Componi la proporzione dalle coordinate corrispondenti dei vettori :
, quindi, questi vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Di solito i revisori non rifiutano questa opzione, ma sorge un problema nei casi in cui alcune coordinate sono uguali a zero. Come questo: . O così: . O così: . Come lavorare con la proporzione qui? (Davvero, non puoi dividere per zero). È per questo motivo che ho chiamato la soluzione semplificata "foppish".

Risposta: a) , b) modulo.

Un piccolo esempio creativo per una soluzione indipendente:

Esempio 2

A quale valore dei vettori dei parametri sarà collineare?

Nella soluzione campione, il parametro si trova attraverso la proporzione.

C'è un modo algebrico elegante per verificare la collinearità dei vettori. Sistemiamo la nostra conoscenza e aggiungiamola come quinto punto:

Per due vettori piani, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

2) i vettori costituiscono una base;
3) i vettori non sono collineari;

+ 5) il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori, è diverso da zero.

Rispettivamente, le seguenti affermazioni opposte sono equivalenti:
1) i vettori sono linearmente dipendenti;
2) i vettori non costituiscono una base;
3) i vettori sono collineari;
4) i vettori possono essere espressi linearmente tra loro;
+ 5) il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori, è uguale a zero.

Spero vivamente che al momento abbiate già compreso tutti i termini e le affermazioni che vi sono imbattuti.

Diamo un'occhiata più da vicino al nuovo, quinto punto: due vettori piani sono collineari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero:. Per utilizzare questa funzione, ovviamente, devi essere in grado di farlo trovare determinanti.

Decideremo Esempio 1 nel secondo modo:

a) Calcolare il determinante, composto dalle coordinate dei vettori :
, quindi questi vettori sono collineari.

b) Due vettori piani formano una base se non sono collineari (linearmente indipendenti). Calcoliamo il determinante composto dalle coordinate dei vettori :
, quindi i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Risposta: a) , b) modulo.

Sembra molto più compatto e più carino della soluzione con proporzioni.

Con l'aiuto del materiale considerato, è possibile stabilire non solo la collinearità dei vettori, ma anche dimostrare il parallelismo di segmenti, linee rette. Considera un paio di problemi con forme geometriche specifiche.

Esempio 3

Si danno i vertici di un quadrilatero. Dimostra che il quadrilatero è un parallelogramma.

Prova: Non è necessario creare un disegno nel problema, poiché la soluzione sarà puramente analitica. Ricorda la definizione di parallelogramma:
Parallelogramma Si dice quadrilatero, in cui i lati opposti sono paralleli a coppie.

Pertanto, è necessario dimostrare:
1) parallelismo di lati opposti e;
2) parallelismo di lati opposti e .

Dimostriamo:

1) Trova i vettori:

2) Trova i vettori:

Il risultato è lo stesso vettore ("secondo scuola" - vettori uguali). La collinearità è abbastanza ovvia, ma è meglio prendere la decisione in modo corretto, con l'accordo. Calcola il determinante, composto dalle coordinate dei vettori:
, quindi questi vettori sono collineari e .

Produzione: I lati opposti di un quadrilatero sono paralleli a coppie, quindi è un parallelogramma per definizione. QED.

Figure più buone e diverse:

Esempio 4

Si danno i vertici di un quadrilatero. Dimostra che il quadrilatero è un trapezio.

Per una formulazione più rigorosa della dimostrazione, è meglio, ovviamente, avere la definizione di un trapezio, ma basta ricordare che aspetto ha.

Questo è un compito per una decisione indipendente. Soluzione completa alla fine della lezione.

E ora è il momento di passare lentamente dall'aereo allo spazio:

Come determinare la collinearità dei vettori spaziali?

La regola è molto simile. Affinché due vettori spaziali siano collineari, è necessario e sufficiente che le loro coordinate corrispondenti siano proporzionali a.

Esempio 5

Scopri se i seguenti vettori spaziali sono collineari:

ma) ;
B)
in)

Soluzione:
a) Verificare se esiste un coefficiente di proporzionalità per le corrispondenti coordinate dei vettori:

Il sistema non ha soluzione, il che significa che i vettori non sono collineari.

"Semplificato" si ottiene controllando la proporzione. In questo caso:
– le coordinate corrispondenti non sono proporzionali, il che significa che i vettori non sono collineari.

Risposta: i vettori non sono collineari.

b-c) Questi sono punti per una decisione indipendente. Provalo in due modi.

Esiste un metodo per verificare la collinearità dei vettori spaziali e attraverso un determinante del terzo ordine, Da questa parte trattato nell'articolo Prodotto incrociato di vettori.

Analogamente al caso piano, gli strumenti considerati possono essere utilizzati per studiare il parallelismo di segmenti e linee spaziali.

Benvenuti nella seconda sezione:

Dipendenza lineare e indipendenza di vettori spaziali tridimensionali.
Base spaziale e sistema di coordinate affine

Molte delle regolarità che abbiamo considerato sull'aereo saranno valide anche per lo spazio. Ho cercato di minimizzare il riassunto della teoria, dal momento che la parte del leone delle informazioni è già stata masticata. Tuttavia, ti consiglio di leggere attentamente la parte introduttiva, poiché appariranno nuovi termini e concetti.

Ora, invece del piano del tavolo del computer, esaminiamo lo spazio tridimensionale. Per prima cosa, creiamo le sue basi. Qualcuno ora è al chiuso, qualcuno è all'aperto, ma in ogni caso non possiamo allontanarci da tre dimensioni: larghezza, lunghezza e altezza. Pertanto, per costruire una base, tre vettore spaziale. Uno o due vettori non bastano, il quarto è superfluo.

E di nuovo ci scaldiamo sulle dita. Si prega di alzare la mano e stenderla in diverse direzioni pollice, indice e medio. Questi saranno vettori, guarderanno in direzioni diverse, avranno lunghezze diverse e angoli diversi tra loro. Congratulazioni, la base dello spazio tridimensionale è pronta! A proposito, non hai bisogno di dimostrarlo agli insegnanti, non importa come giri le dita, ma non puoi sfuggire alle definizioni =)

Successivamente, poniamo una domanda importante, se tre vettori qualsiasi formano una base di uno spazio tridimensionale? Si prega di premere con decisione tre dita sul piano del tavolo del computer. Quello che è successo? Tre vettori si trovano sullo stesso piano e, grosso modo, abbiamo perso una delle misurazioni: l'altezza. Tali vettori sono Complanare e, ovviamente, che la base dello spazio tridimensionale non è stata creata.

Va notato che i vettori complanari non devono giacere sullo stesso piano, possono trovarsi dentro piani paralleli(basta non farlo con le dita, solo Salvador Dalì è uscito così =)).

Definizione: vengono chiamati i vettori Complanare se esiste un piano a cui sono paralleli. Qui è logico aggiungere che se un tale piano non esiste, i vettori non saranno complanari.

Tre vettori complanari sono sempre linearmente dipendenti, cioè si esprimono linearmente l'uno nell'altro. Per semplicità, immagina ancora una volta che giacciono sullo stesso piano. In primo luogo, i vettori non sono solo complanari, ma possono anche essere collineari, quindi qualsiasi vettore può essere espresso attraverso qualsiasi vettore. Nel secondo caso, se ad esempio i vettori non sono collineari, allora il terzo vettore si esprime attraverso di essi in modo univoco: (e perché è facile intuire dai materiali della sezione precedente).

Vale anche il contrario: tre vettori non complanari sono sempre linearmente indipendenti, cioè non si esprimono in alcun modo l'uno nell'altro. E, ovviamente, solo tali vettori possono costituire la base di uno spazio tridimensionale.

Definizione: Le basi dello spazio tridimensionaleè chiamato una tripla di vettori linearmente indipendenti (non complanari), preso in un certo ordine, mentre qualsiasi vettore dello spazio l'unico modo si espande nella base data, dove sono le coordinate del vettore nella base data

Come promemoria, puoi anche dire che un vettore è rappresentato come combinazione lineare vettori di base.

Il concetto di sistema di coordinate viene introdotto esattamente nello stesso modo di custodia piatta, un punto e tre lineari qualsiasi vettori indipendenti:

origine, E non complanare vettori, preso in un certo ordine, impostare sistema di coordinate affine dello spazio tridimensionale :

Naturalmente, la griglia di coordinate è "obliqua" e scomoda, ma, tuttavia, il sistema di coordinate costruito ce lo consente decisamente determinare le coordinate di qualsiasi vettore e le coordinate di qualsiasi punto nello spazio. Simile al piano, nel sistema di coordinate affine dello spazio, alcune formule che ho già menzionato non funzioneranno.

Il caso speciale più familiare e conveniente di un sistema di coordinate affine, come tutti possono immaginare, è sistema di coordinate spaziali rettangolari:

punto nello spazio chiamato origine, E Ortonormale set di base Sistema di coordinate cartesiane dello spazio . immagine familiare:

Prima di procedere alle attività pratiche, sistemiamo nuovamente le informazioni:

Per tre vettori spaziali, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) i vettori sono linearmente indipendenti;
2) i vettori costituiscono una base;
3) i vettori non sono complanari;
4) i vettori non possono essere espressi linearmente tra loro;
5) il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori, è diverso da zero.

Affermazioni opposte, credo, siano comprensibili.

La dipendenza/indipendenza lineare dei vettori spaziali viene tradizionalmente verificata utilizzando il determinante (elemento 5). I restanti compiti pratici saranno di spiccata natura algebrica. È ora di appendere un bastoncino geometrico a un chiodo e impugnare una mazza da baseball di algebra lineare:

Tre vettori spaziali sono complanari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero: .

Attiro la tua attenzione su una piccola sfumatura tecnica: le coordinate dei vettori possono essere scritte non solo in colonne, ma anche in righe (il valore del determinante non cambierà da questo - vedi le proprietà dei determinanti). Ma è molto meglio nelle colonne, poiché è più vantaggioso per risolvere alcuni problemi pratici.

Per quei lettori che hanno un po' dimenticato i metodi per calcolare i determinanti, o magari sono per niente orientati, consiglio una delle mie lezioni più antiche: Come calcolare il determinante?

Esempio 6

Controlla se i seguenti vettori formano una base di uno spazio tridimensionale:

Soluzione: In effetti, l'intera soluzione si riduce al calcolo del determinante.

a) Calcolare il determinante, composto dalle coordinate dei vettori (il determinante è espanso sulla prima riga):

, il che significa che i vettori sono linearmente indipendenti (non complanari) e costituiscono la base di uno spazio tridimensionale.

Risposta: questi vettori costituiscono la base

b) Questo è un punto per una decisione indipendente. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Ci sono anche compiti creativi:

Esempio 7

A quale valore del parametro i vettori saranno complanari?

Soluzione: I vettori sono complanari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero:

In sostanza, è necessario risolvere un'equazione con un determinante. Voliamo negli zeri come gli aquiloni nei jerboa: è più redditizio aprire il determinante nella seconda riga e sbarazzarci immediatamente degli svantaggi:

Eseguiamo ulteriori semplificazioni e riduciamo la questione alla più semplice equazione lineare:

Risposta: a

È facile controllare qui, per questo è necessario sostituire il valore risultante nel determinante originale e assicurarsi che riaprendolo.

In conclusione, consideriamo un altro problema tipico, più di natura algebrica e tradizionalmente compreso nel corso dell'algebra lineare. È così comune che merita un argomento a parte:

Dimostra che 3 vettori formano una base di uno spazio tridimensionale
e trova le coordinate del 4° vettore nella base data

Esempio 8

I vettori sono dati. Mostra che i vettori formano una base dello spazio tridimensionale e trova le coordinate del vettore in questa base.

Soluzione: Affrontiamo prima la condizione. Per condizione, vengono forniti quattro vettori e, come puoi vedere, hanno già coordinate in qualche modo. Qual è la base: non siamo interessati. E la cosa seguente è interessante: tre vettori possono benissimo formare una nuova base. E il primo passaggio è completamente uguale alla soluzione dell'Esempio 6, è necessario verificare se i vettori sono davvero linearmente indipendenti:

Calcola il determinante, composto dalle coordinate dei vettori:

, quindi i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base di uno spazio tridimensionale.

! Importante : coordinate vettoriali necessariamente annotare in colonne determinante, non stringhe. Altrimenti, ci sarà confusione nell'ulteriore algoritmo di soluzione.

Una combinazione lineare di vettori è un vettore
, dove λ 1 , ... , λ m sono coefficienti arbitrari.

Sistema vettoriale
si dice linearmente dipendente se esiste la sua combinazione lineare uguale a , che ha almeno un coefficiente diverso da zero.

Sistema vettoriale
si dice linearmente indipendente se in una qualsiasi delle sue combinazioni lineari è uguale a , tutti i coefficienti sono zero.

Le basi del sistema dei vettori
viene chiamato il suo sottosistema non vuoto linearmente indipendente, attraverso il quale può essere espresso qualsiasi vettore del sistema.

Esempio 2. Trova la base del sistema di vettori = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) ed esprimi i vettori rimanenti in termini di base.

Soluzione Costruiamo una matrice in cui disponiamo le coordinate di questi vettori in colonne. Lo portiamo a una forma a gradini.

~
~
~
.

La base di questo sistema è costituita dai vettori ,,, che corrispondono agli elementi principali delle righe contrassegnate da cerchi. Per un'espressione vettoriale risolvi l'equazione x 1 +x2 +x4 =. Si riduce a un sistema di equazioni lineari, la cui matrice si ottiene dall'originale permutando la colonna corrispondente , al posto della colonna dei membri liberi. Pertanto, per risolvere il sistema, utilizziamo la matrice risultante in una forma graduale, apportando in essa le necessarie permutazioni.

Troviamo successivamente:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Osservazione 1. Se è necessario esprimere più vettori in termini di base, per ciascuno di essi viene costruito il sistema corrispondente equazioni lineari. Questi sistemi differiranno solo nelle colonne dei membri gratuiti. Pertanto, per risolverli, è possibile compilare una matrice, in cui ci saranno diverse colonne di membri liberi. In questo caso, ogni sistema viene risolto indipendentemente dagli altri.

Osservazione 2. Per esprimere un qualsiasi vettore è sufficiente utilizzare solo i vettori base del sistema che lo precedono. In questo caso, non è necessario rimodellare la matrice, è sufficiente inserire una linea verticale nel posto giusto.

Esercizio 2. Trova la base del sistema di vettori ed esprimi il resto dei vettori attraverso la base:

ma) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

B) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

in) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistema decisionale fondamentale

Un sistema di equazioni lineari si dice omogeneo se tutti i suoi termini liberi sono uguali a zero.

Il sistema fondamentale di soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari è alla base dell'insieme delle sue soluzioni.

Sia dato un sistema disomogeneo di equazioni lineari. Un sistema omogeneo associato a uno dato è un sistema ottenuto da uno dato sostituendo tutti i termini liberi con zeri.

Se un sistema disomogeneo è consistente e indefinito, allora la sua soluzione arbitraria ha la forma f н +  1 f о1 + ... +  k f о k , dove f н è una soluzione particolare sistema eterogeneo e f o1 , ... , f o k è il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo associato.

Esempio 3. Trova una soluzione particolare del sistema disomogeneo dall'Esempio 1 e il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo associato.

Soluzione Scriviamo la soluzione ottenuta nell'Esempio 1 in forma vettoriale ed espandiamo il vettore risultante in una somma sui parametri liberi che contiene e sui valori numerici fissi:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Otteniamo f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Commento. Il problema di trovare un sistema fondamentale di soluzioni per un sistema omogeneo è risolto in modo simile.

Esercizio 3.1 Trova il sistema fondamentale di soluzioni di un sistema omogeneo:

ma)

B)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

ESERCIZIO 3.2. Trova una soluzione particolare del sistema disomogeneo e il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo associato:

ma)

B)

Espressione della forma chiamata combinazione lineare di vettori A 1 , A 2 ,...,A n con coefficienti λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinazione della dipendenza lineare di un sistema di vettori

Sistema vettoriale A 1 , A 2 ,...,A n chiamata linearmente dipendente, se esiste un insieme di numeri diverso da zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, in cui la combinazione lineare di vettori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n uguale a zero vettore, ovvero il sistema di equazioni: ha una soluzione diversa da zero.
Insieme di numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n è diverso da zero se almeno uno dei numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n diverso da zero.

Determinazione dell'indipendenza lineare di un sistema di vettori

Sistema vettoriale A 1 , A 2 ,...,A n chiamata linearmente indipendente, se la combinazione lineare di questi vettori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nè uguale al vettore zero solo per un insieme zero di numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n , ovvero il sistema di equazioni: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ha una soluzione zero unica.

Esempio 29.1

Verifica se un sistema di vettori è linearmente dipendente

Soluzione:

1. Componiamo un sistema di equazioni:

2. Lo risolviamo usando il metodo di Gauss. Le trasformazioni giordane del sistema sono riportate nella Tabella 29.1. Durante il calcolo, le parti giuste del sistema non vengono annotate, poiché sono uguali a zero e non cambiano nelle trasformazioni di Jordan.

3. Dalle ultime tre righe della tabella scriviamo il sistema consentito equivalente all'originale sistema:

4. Otteniamo la soluzione generale del sistema:

5. Avendo impostato a propria discrezione il valore della variabile libera x 3 =1, otteniamo una particolare soluzione diversa da zero X=(-3,2,1).

Risposta: Quindi, con un insieme di numeri diverso da zero (-3,2,1), la combinazione lineare di vettori è uguale al vettore zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Di conseguenza, sistema di vettori linearmente dipendenti.

Proprietà dei sistemi vettoriali

Proprietà (1)
Se il sistema di vettori è linearmente dipendente, allora almeno uno dei vettori è scomposto in termini di resto, e viceversa, se almeno uno dei vettori del sistema è scomposto in termini di resto, allora il sistema di vettori è linearmente dipendente.

Proprietà (2)
Se un qualsiasi sottosistema di vettori è linearmente dipendente, l'intero sistema è linearmente dipendente.

Proprietà (3)
Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora uno qualsiasi dei suoi sottosistemi è linearmente indipendente.

Proprietà (4)
Qualsiasi sistema di vettori contenente un vettore zero è linearmente dipendente.

Proprietà (5)
Un sistema di vettori m-dimensionali è sempre linearmente dipendente se il numero di vettori n è maggiore della loro dimensione (n>m)

Base del sistema vettoriale

Le basi del sistema dei vettori A 1 , A 2 ,..., A n tale sottosistema B 1 , B 2 ,...,B r(ciascuno dei vettori B 1 ,B 2 ,...,B r è uno dei vettori A 1 , A 2 ,..., A n) che soddisfa le seguenti condizioni:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistema di vettori linearmente indipendenti;
2. qualsiasi vettore Aj del sistema A 1 , A 2 ,..., A n è espresso linearmente in termini di vettori B 1 ,B 2 ,...,B r

Rè il numero di vettori inclusi nella base.

Teorema 29.1 Sulla base unitaria di un sistema di vettori.

Se un sistema di vettori m-dimensionali contiene m differenti vettori unitari E 1 E 2 ,..., E m , allora costituiscono la base del sistema.

Algoritmo per trovare le basi di un sistema di vettori

Per trovare la base del sistema di vettori A 1 ,A 2 ,...,A n è necessario:

• Componi il corrispondente sistema di vettori sistema omogeneo equazioni A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• portare questo sistema

Lezioni di Algebra e Geometria. Semestre 1.

Lezione 9. Le basi di uno spazio vettoriale.

Sommario: sistema di vettori, combinazione lineare di un sistema di vettori, coefficienti di una combinazione lineare di un sistema di vettori, base su una retta, un piano e nello spazio, dimensioni degli spazi vettoriali su una retta, un piano e nello spazio, scomposizione di un vettore in una base, coordinate di un vettore rispetto ad una base, teorema di uguaglianza due vettori, operazioni lineari con vettori in notazione coordinata, tripla ortonormale di vettori, triple di vettori destra e sinistra, basi ortonormali, teorema fondamentale dell'algebra vettoriale.

Capitolo 9

elemento 1. Base sulla retta, sul piano e nello spazio.

Definizione. Qualsiasi insieme finito di vettori è chiamato sistema di vettori.

Definizione. Espressione dove
è chiamata combinazione lineare di un sistema di vettori
, e i numeri
sono chiamati i coefficienti di questa combinazione lineare.

Siano L, Р e S rispettivamente una retta, un piano e uno spazio di punti e
. Quindi
sono spazi vettoriali di vettori come segmenti diretti rispettivamente sulla retta L, sul piano P e nello spazio S.

viene chiamato qualsiasi vettore diverso da zero
, cioè. qualsiasi vettore diverso da zero collineare alla retta L:
e
.

Notazione di base
:
- base
.

Definizione. La base dello spazio vettoriale
è qualsiasi coppia ordinata di vettori non collineari nello spazio
.

, dove
,
- base
.

Definizione. La base dello spazio vettoriale
è qualsiasi tripla ordinata di vettori non complanari (cioè non giacenti sullo stesso piano) dello spazio
.

- base
.

Commento. La base di uno spazio vettoriale non può contenere un vettore zero: nello spazio
per definizione, nello spazio
due vettori saranno collineari se almeno uno di essi è zero, nello spazio
tre vettori saranno complanari, cioè giaceranno sullo stesso piano se almeno uno dei tre vettori è zero.

elemento 2. Decomposizione di un vettore in termini di base.

Definizione. Lascia stare è un vettore arbitrario,
– sistema arbitrario vettori. Se l'uguaglianza

poi dicono che il vettore rappresentato come una combinazione lineare di un dato sistema di vettori. Se il dato sistema di vettori
è una base dello spazio vettoriale, quindi l'uguaglianza (1) è chiamata scomposizione del vettore base
. Coefficienti di combinazione lineare
si chiamano in questo caso le coordinate del vettore rispetto alla base
.

Teorema. (Sull'espansione di un vettore in termini di base.)

Qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale può essere scomposto nella sua base e, inoltre, in un modo unico.

Prova. 1) Sia L una retta (o asse) arbitraria e
- base
. Prendi un vettore arbitrario
. Poiché entrambi i vettori e collineare alla stessa linea L, quindi
. Usiamo il teorema sulla collinearità di due vettori. Perché
, allora c'è (esiste) un tale numero
, che cosa
e così abbiamo ottenuto una scomposizione del vettore base
spazio vettoriale
.

Dimostriamo ora l'unicità di una tale scomposizione. Assumiamo il contrario. Siano presenti due scomposizioni del vettore base
spazio vettoriale
:

e
, dove
. Quindi
e usando la legge di distribuzione otteniamo:

Perché
, quindi dall'ultima uguaglianza ne consegue che
, eccetera.

2) Sia ora P un piano arbitrario e
- base
. Lascia stare
vettore arbitrario di questo piano. Rimandiamo tutti e tre i vettori da un punto qualsiasi di questo piano. Costruiamo 4 linee rette. Tracciamo una linea retta , su cui giace il vettore , diretto
, su cui giace il vettore . Attraverso la fine del vettore traccia una linea parallela al vettore e una retta parallela al vettore . Queste 4 linee tagliano un parallelogramma. Vedi sotto fig. 3. Secondo la regola del parallelogramma
, E
,
,
- base ,
- base
.

Ora, per quanto già dimostrato nella prima parte di questa dimostrazione, ci sono dei numeri
, che cosa

e
. Da qui otteniamo:

ed è dimostrata la possibilità di espansione in termini di base.

Proviamo ora l'unicità dell'espansione in termini di base. Assumiamo il contrario. Siano presenti due scomposizioni del vettore base
spazio vettoriale
:
e
. Otteniamo l'uguaglianza

Dove dovrebbe
. Se
, poi
, e da allora
, poi
e i coefficienti di dilatazione sono:
,
. Lascia ora
. Quindi
, dove
. Per il teorema sulla collinearità di due vettori, ciò implica che
. Abbiamo ottenuto una contraddizione alla condizione del teorema. Di conseguenza,
e
, eccetera.

3) Lascia
- base
Lasciarlo andare
vettore arbitrario. Eseguiamo le seguenti costruzioni.

Metti da parte tutti e tre i vettori di base
e vettore da un punto e costruisci 6 piani: il piano in cui giacciono i vettori base
, aereo
e aereo
; più avanti fino alla fine del vettore disegna tre piani paralleli ai tre piani appena costruiti. Questi 6 aerei ritagliano la scatola:

Secondo la regola dell'addizione vettoriale, otteniamo l'uguaglianza:

. (1)

Per costruzione
. Quindi, per il teorema sulla collinearità di due vettori, segue che esiste un numero
, tale che
. Allo stesso modo,
e
, dove
. Ora, sostituendo queste uguaglianze in (1), otteniamo:

ed è dimostrata la possibilità di espansione in termini di base.

Proviamo l'unicità di una tale scomposizione. Assumiamo il contrario. Siano presenti due scomposizioni del vettore base
:

E . Quindi

Si noti che, per ipotesi, i vettori
non complanari, quindi sono a coppie non collineari.

Sono possibili due casi:
o
.

a) Let
, quindi dall'uguaglianza (3) segue:

. (4)

Dall'uguaglianza (4) segue che il vettore ampliato in termini di base
, cioè. vettore giace nel piano vettoriale
e quindi i vettori
complanare, che contraddice la condizione.

b) Rimane un caso
, cioè.
. Quindi dall'uguaglianza (3) otteniamo o

Perché
è la base dello spazio dei vettori giacenti nel piano, e abbiamo già dimostrato l'unicità dell'espansione nella base dei vettori del piano, dall'uguaglianza (5) segue che
e
, eccetera.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza.

1) Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei vettori dello spazio vettoriale
e l'insieme dei numeri reali R.

2) Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei vettori dello spazio vettoriale
e piazza cartesiana

3) Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei vettori dello spazio vettoriale
e cubo cartesiano
insiemi di numeri reali R.

Prova. Proviamo la terza affermazione. I primi due sono dimostrati in modo simile.

Scegliamo e sistemiamo nello spazio
qualche base
e impostare un display
secondo la seguente regola:

quelli. ogni vettore è associato ad un insieme ordinato delle sue coordinate.

Poiché, con una base fissa, ogni vettore ha un unico insieme di coordinate, la corrispondenza data dalla regola (6) è infatti una mappatura.

Dalla dimostrazione del teorema consegue che vettori diversi hanno coordinate diverse rispetto alla stessa base, cioè la mappatura (6) è un'iniezione.

Lascia stare
un insieme ordinato arbitrario di numeri reali.

Considera il vettore
. Per costruzione, questo vettore ha coordinate
. Pertanto, la mappatura (6) è una suzione.

Una mappatura che sia sia iniettiva che suriettiva è biiettiva, cioè uno a uno, ecc.

La conseguenza è provata.

Teorema. (Sull'uguaglianza di due vettori.)

Due vettori sono uguali se e solo se le loro coordinate rispetto alla stessa base sono uguali.

La dimostrazione segue immediatamente dal corollario precedente.

voce 3. Dimensione di uno spazio vettoriale.

Definizione. Il numero di vettori nella base di uno spazio vettoriale è chiamato dimensione.

Designazione:
è la dimensione dello spazio vettoriale V.

Quindi, in accordo con questa e le precedenti definizioni, abbiamo:

1)
è lo spazio vettoriale dei vettori della retta L.

- base
,
,
,
– decomposizione vettoriale
base
,
- coordinata vettoriale rispetto alla base
.

2)
è lo spazio vettoriale dei vettori del piano Р.

- base
,
,
,
– decomposizione vettoriale
base
,
sono coordinate vettoriali rispetto alla base
.

3)
è lo spazio vettoriale dei vettori nello spazio dei punti S.

- base
,
,
– decomposizione vettoriale
base
,
sono coordinate vettoriali rispetto alla base
.

Commento. Se
, poi
e puoi scegliere la base
spazio
così
- base
e
- base
. Quindi
, E
, .

Pertanto, qualsiasi vettore della linea L, del piano P e dello spazio S può essere espanso in termini di base
:

Designazione. In virtù del teorema di uguaglianza dei vettori, possiamo identificare qualsiasi vettore con una tripla ordinata di numeri reali e scrivere:

Questo è possibile solo se la base
fisso e non c'è pericolo di aggrovigliarsi.

Definizione. Il record di un vettore sotto forma di una tripla ordinata di numeri reali è chiamato forma coordinata del record vettoriale:
.

voce 4. Operazioni lineari con vettori in notazione di coordinate.

Lascia stare
- base spaziale
e
sono i suoi due vettori arbitrari. Lascia stare
e
è la notazione di questi vettori in forma di coordinate. Lascia, inoltre,
- arbitrario numero reale. In queste notazioni vale il seguente teorema.

Teorema. (Su operazioni lineari con vettori in forma di coordinate.)

2)
.

In altre parole, per sommare due vettori devi sommare le loro coordinate corrispondenti, e per moltiplicare un vettore per un numero, devi moltiplicare ciascuna coordinata di questo vettore per un dato numero.

Prova. Poiché, secondo la condizione del teorema, quindi utilizzando gli assiomi dello spazio vettoriale, che sono soggetti alle operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero, otteniamo:

Ciò implica .

La seconda uguaglianza è dimostrata in modo simile.

Il teorema è stato dimostrato.

voce 5. Vettori ortogonali. Base ortonormale.

Definizione. Due vettori si dicono ortogonali se l'angolo tra loro è uguale all'angolo retto, cioè
.

Designazione:
– vettori e ortogonale.

Definizione. Tris di vettore
si dice ortogonale se questi vettori sono ortogonali a coppie tra loro, cioè
,
.

Definizione. Tris di vettore
si dice ortonormale se è ortogonale e le lunghezze di tutti i vettori sono uguali a uno:
.

Commento. Ne consegue dalla definizione che una terna ortogonale e, quindi, ortonormale di vettori non è complanare.

Definizione. Ordinata tripla di vettori non complanari
, staccato da un punto, è detto destra (orientato a destra) se, se osservato dalla fine del terzo vettore al piano contenente i primi due vettori e , la rotazione più breve del primo vettore al secondo avviene in senso antiorario. Altrimenti, la tripla dei vettori è chiamata sinistra (orientata a sinistra).

Qui, la Fig. 6 mostra la tripla destra di vettori
. La seguente figura 7 mostra la terzina sinistra di vettori
:

Definizione. Base
spazio vettoriale
è detto ortonormale se
tripla ortonormale di vettori.

Designazione. In quanto segue, useremo la giusta base ortonormale
, vedere la figura seguente.

Trova la base del sistema di vettori e vettori che non sono inclusi nella base, espandi sulla base:

ma 1 = {5, 2, -3, 1}, ma 2 = {4, 1, -2, 3}, ma 3 = {1, 1, -1, -2}, ma 4 = {3, 4, -1, 2}, ma 5 = {13, 8, -7, 4}.

Soluzione. Consideriamo un sistema omogeneo di equazioni lineari

ma 1 X 1 + ma 2 X 2 + ma 3 X 3 + ma 4 X 4 + ma 5 X 5 = 0

o ampliato.

Risolveremo questo sistema usando il metodo gaussiano, senza scambiare righe e colonne e, inoltre, scegliendo elemento principale non nell'angolo in alto a sinistra, ma su tutta la linea. Il compito è quello di selezionare la parte diagonale del sistema di vettori trasformato.

~ ~

~ ~ ~ .

Il sistema di vettori consentito, che è equivalente a quello originario, ha la forma

ma 1 1 X 1 + ma 2 1 X 2 + ma 3 1 X 3 + ma 4 1 X 4 + ma 5 1 X 5 = 0 ,

dove ma 1 1 = , ma 2 1 = , ma 3 1 = , ma 4 1 = , ma 5 1 = . (1)

vettori ma 1 1 , ma 3 1 , ma 4 1 formano un sistema diagonale. Quindi i vettori ma 1 , ma 3 , ma 4 costituiscono la base del sistema di vettori ma 1 , ma 2 , ma 3 , ma 4 , ma 5 .

Ora espandiamo i vettori ma 2 e ma 5 in base ma 1 , ma 3 , ma 4. Per fare ciò, espandiamo prima i vettori corrispondenti ma 2 1 e ma 5 1 sistema diagonale ma 1 1 , ma 3 1 , ma 4 1, tenendo presente che i coefficienti dell'espansione del vettore nel sistema diagonale sono le sue coordinate x io.

Da (1) abbiamo:

ma 2 1 = ma 3 1 (-1) + ma 4 1 0 + ma 1 1 1 ma 2 1 = ma 1 1 – ma 3 1 .

ma 5 1 = ma 3 1 0 + ma 4 1 1+ ma 1 1 2 ma 5 1 = 2ma 1 1 + ma 4 1 .

vettori ma 2 e ma 5 espandere in base ma 1 , ma 3 , ma 4 con gli stessi coefficienti dei vettori ma 2 1 e ma 5 1 sistema diagonale ma 1 1 , ma 3 1 , ma 4 1 (quei coefficienti x io). Di conseguenza,

ma 2 = ma 1 – ma 3 , ma 5 = 2ma 1 + ma 4 .

Compiti. uno.Trova la base del sistema di vettori e i vettori che non sono inclusi nella base, espandi in base alla base:

1. un 1 = { 1, 2, 1 }, un 2 = { 2, 1, 3 }, un 3 = { 1, 5, 0 }, un 4 = { 2, -2, 4 }.

2. un 1 = { 1, 1, 2 }, un 2 = { 0, 1, 2 }, un 3 = { 2, 1, -4 }, un 4 = { 1, 1, 0 }.

3. un 1 = { 1, -2, 3 }, un 2 = { 0, 1, -1 }, un 3 = { 1, 3, 0 }, un 4 = { 0, -7, 3 }, un 5 = { 1, 1, 1 }.

4. un 1 = { 1, 2, -2 }, un 2 = { 0, -1, 4 }, un 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Trova tutte le basi di un sistema di vettori:

1. un 1 = { 1, 1, 2 }, un 2 = { 3, 1, 2 }, un 3 = { 1, 2, 1 }, un 4 = { 2, 1, 2 }.

2. un 1 = { 1, 1, 1 }, un 2 = { -3, -5, 5 }, un 3 = { 3, 4, -1 }, un 4 = { 1, -1, 4 }.