Quindi, il problema di studiare un sistema di vettori per una dipendenza lineare si riduce al problema di trovare il rango di una matrice composta dai vettori di tale sistema.

Si noti che per p>n il sistema di vettori sarà linearmente dipendente.

Commento: quando si compila la matrice A, i vettori del sistema possono essere presi non come righe, ma come colonne.

Algoritmo per lo studio di un sistema di vettori per una dipendenza lineare.

Analizziamo l'algoritmo con esempi.

Esempi di studio di un sistema di vettori per la dipendenza lineare.

Esempio.

Dato un sistema di vettori. Esaminalo per una relazione lineare.

Decisione.

Poiché il vettore c è zero, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente a causa della terza proprietà.

Risposta:

Il sistema dei vettori è linearmente dipendente.

Esempio.

Esaminare il sistema di vettori per la dipendenza lineare.

Decisione.

Non è difficile vedere che le coordinate del vettore c sono uguali alle corrispondenti coordinate del vettore moltiplicate per 3, cioè . Pertanto, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente.

Vettori, loro proprietà e azioni con essi

Vettori, azioni vettoriali, lineare spazio vettoriale.

I vettori sono una raccolta ordinata di un numero finito di numeri reali.

Azioni: 1. Moltiplicando un vettore per un numero: lambda * vector x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21). )

2. Aggiunta di vettori (appartengono allo stesso spazio vettoriale) vettore x + vettore y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vettore 0=(0,0…0)---n E n – vettore n-dimensionale (spazio lineare) x + vettore 0 = vettore x

Teorema. Affinché un sistema di n vettori in uno spazio lineare n-dimensionale sia linearmente dipendente, è necessario e sufficiente che uno dei vettori sia una combinazione lineare degli altri.

Teorema. Qualsiasi insieme di n+ 1° vettore dello spazio lineare n-dimensionale yavl. linearmente dipendente.

Somma di vettori, moltiplicazione di vettori per numeri. Sottrazione di vettori.

La somma di due vettori è il vettore diretto dall'inizio del vettore alla fine del vettore, a condizione che l'inizio coincida con la fine del vettore. Se i vettori sono dati dalle loro espansioni in termini di vettori di base, sommando i vettori si sommano le rispettive coordinate.

Consideriamolo usando l'esempio di un sistema di coordinate cartesiane. Lascia stare

Mostriamolo

La figura 3 lo mostra

La somma di un qualsiasi numero finito di vettori si trova usando la regola del poligono (Fig. 4): per costruire la somma di un numero finito di vettori basta far coincidere l'inizio di ogni vettore successivo con la fine del precedente e costruire un vettore che colleghi l'inizio del primo vettore con la fine dell'ultimo.

Proprietà dell'operazione di addizione vettoriale:

In queste espressioni m, n sono numeri.

La differenza di vettori si chiama vettore Il secondo termine è un vettore opposto al vettore in direzione, ma uguale ad esso in lunghezza.

Pertanto, l'operazione di sottrazione vettoriale viene sostituita dall'operazione di addizione

Il vettore, il cui inizio è all'origine delle coordinate e la fine al punto A (x1, y1, z1), è chiamato vettore raggio del punto A ed è indicato o semplicemente. Poiché le sue coordinate coincidono con le coordinate del punto A, la sua espansione in termini di vettori ha la forma

Un vettore che inizia nel punto A(x1, y1, z1) e termina nel punto B(x2, y2, z2) può essere scritto come

dove r 2 è il vettore raggio del punto B; r 1 - vettore raggio del punto A.

Pertanto, l'espansione del vettore in termini di orts ha la forma

La sua lunghezza è uguale alla distanza tra i punti A e B

MOLTIPLICAZIONE

Quindi nel caso problema aereo il prodotto di un vettore per a = (ax; ay) e un numero b è trovato dalla formula

a b = (ax b; ay b)

Esempio 1. Trova il prodotto del vettore a = (1; 2) per 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Quindi nel caso problema spaziale il prodotto del vettore a = (ax; ay; az) e il numero b si trova dalla formula

a b = (ax b; ay b; az b)

Esempio 1. Trova il prodotto del vettore a = (1; 2; -5) per 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Prodotto scalare di vettori e dove è l'angolo tra i vettori e ; se uno dei due, allora

Dalla definizione del prodotto scalare ne consegue che

dove, ad esempio, è il valore della proiezione del vettore sulla direzione del vettore.

Quadrato scalare di un vettore:

Proprietà del prodotto a punti:

Dot prodotto in coordinate

Se un poi

Angolo tra vettori

Angolo tra vettori - l'angolo tra le direzioni di questi vettori (angolo più piccolo).

Prodotto vettoriale(Il prodotto vettoriale di due vettori.)-è uno pseudovettore perpendicolare al piano costruito da due fattori, che è il risultato dell'operazione binaria "moltiplicazione vettoriale" sui vettori nello spazio euclideo tridimensionale. Il prodotto non è né commutativo né associativo (è anticommutativo) ed è diverso dal prodotto scalare dei vettori. In molti problemi di ingegneria e fisica, è necessario essere in grado di costruire un vettore perpendicolare a due esistenti: il prodotto vettoriale offre questa opportunità. Il prodotto incrociato è utile per "misurare" la perpendicolarità dei vettori: la lunghezza del prodotto incrociato di due vettori è uguale al prodotto delle loro lunghezze se sono perpendicolari e diminuisce a zero se i vettori sono paralleli o antiparalleli.

Il prodotto vettoriale è definito solo negli spazi tridimensionali e settedimensionali. Il risultato di un prodotto vettoriale, come un prodotto scalare, dipende dalla metrica dello spazio euclideo.

A differenza della formula per calcolare il prodotto scalare dalle coordinate dei vettori in un sistema di coordinate rettangolare tridimensionale, la formula per il prodotto vettoriale dipende dall'orientamento del sistema di coordinate rettangolare, o, in altre parole, dalla sua "chiralità"

Collinearità dei vettori.

Due vettori diversi da zero (diversi da 0) sono detti collineari se giacciono su rette parallele o sulla stessa retta. Consentiamo, ma non è consigliabile, un sinonimo: vettori "paralleli". I vettori collineari possono essere diretti nella stessa direzione ("co-diretti") o diretti in modo opposto (in quest'ultimo caso sono talvolta chiamati "anticollineari" o "antiparalleli").

Prodotto misto di vettori( a,b,c)- prodotto scalare del vettore a e prodotto vettoriale dei vettori b e c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

a volte chiamato triplo prodotto scalare vettori, apparentemente per il fatto che il risultato è uno scalare (più precisamente, uno pseudoscalare).

senso geometrico: Il modulo del prodotto misto è numericamente uguale al volume del parallelepipedo formato dai vettori (a,b,c) .

Proprietà

prodotto misto skew-simmetrico rispetto a tutti i suoi argomenti: cioè, e. una permutazione di due fattori qualsiasi cambia il segno del prodotto. Ne consegue che il prodotto misto nel sistema di coordinate cartesiane retto (in base ortonormale) è uguale al determinante della matrice composta dai vettori e:

Il prodotto misto nel sistema di coordinate cartesiane sinistro (in base ortonormale) è uguale al determinante di una matrice composta da vettori e presa con segno meno:

In particolare,

Se due vettori sono paralleli, con qualsiasi terzo vettore formano un prodotto misto uguale a zero.

Se tre vettori sono linearmente dipendenti (cioè complanari, giacciono sullo stesso piano), il loro prodotto misto è zero.

Significato geometrico - Il prodotto misto in valore assoluto è uguale al volume del parallelepipedo (vedi figura) formato dai vettori e; il segno dipende dal fatto che questa tripla di vettori sia destra o sinistra.

Complanarità dei vettori.

Tre vettori (o più) si dicono complanari se, essendo ridotti ad un'origine comune, giacciono sullo stesso piano

Proprietà di complanarità

Se almeno uno dei tre vettori è zero, anche i tre vettori sono considerati complanari.

Una tripla di vettori contenenti una coppia di vettori collineari è complanare.

Prodotto misto di vettori complanari. Questo è un criterio per la complanarità di tre vettori.

I vettori complanari sono linearmente dipendenti. Anche questo è un criterio di complanarità.

Nello spazio tridimensionale, 3 vettori non complanari costituiscono una base

Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

Sistemi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti.Definizione. Viene chiamato il sistema dei vettori linearmente dipendente, se esiste almeno una combinazione lineare non banale di questi vettori uguale al vettore zero. Altrimenti, cioè se solo una banale combinazione lineare di dati vettori è uguale al vettore nullo, i vettori vengono chiamati linearmente indipendente.

Teorema (criterio di dipendenza lineare). Perché un sistema di vettori in uno spazio lineare sia linearmente dipendente, è necessario e sufficiente che almeno uno di questi vettori sia una combinazione lineare degli altri.

1) Se c'è almeno un vettore zero tra i vettori, allora l'intero sistema di vettori è linearmente dipendente.

Infatti, se, ad esempio, , allora, assumendo , abbiamo una combinazione lineare non banale .▲

2) Se alcuni dei vettori formano un sistema linearmente dipendente, l'intero sistema è linearmente dipendente.

Siano infatti i vettori , , linearmente dipendenti. Quindi, esiste una combinazione lineare non banale uguale al vettore zero. Ma poi, ammesso , otteniamo anche una combinazione lineare non banale uguale al vettore zero.

2. Base e dimensione. Definizione. Il sistema è lineare vettori indipendenti viene chiamato lo spazio vettoriale base questo spazio, se qualsiasi vettore da può essere rappresentato come una combinazione lineare dei vettori di questo sistema, cioè per ogni vettore ci sono numeri reali tale che vale l'uguaglianza Questa uguaglianza è chiamata decomposizione vettoriale secondo la base e i numeri chiamata coordinate vettoriali relative alla base(o in base) .

Teorema (sull'unicità dell'espansione in termini di base). Ogni vettore spaziale può essere espanso in termini di base l'unico modo, cioè. coordinate di ogni vettore nella base sono definiti in modo inequivocabile.

Il valore principale della base sta nel fatto che le operazioni di aggiunta di vettori e moltiplicazione per numeri quando si imposta la base si trasformano nelle corrispondenti operazioni sui numeri: le coordinate di questi vettori. Vale a dire, quanto segue è vero.

Teorema. Quando si aggiungono due vettori qualsiasi di uno spazio lineare, vengono aggiunte le loro coordinate (relative a qualsiasi base dello spazio); quando si moltiplica un vettore arbitrario per qualsiasi numero, tutte le coordinate di questo vettore vengono moltiplicate per .

Definizione -dimensionale, se contiene vettori linearmente indipendenti e tutti i vettori sono già linearmente dipendenti. Il numero è chiamato dimensione spazi.

Si presume che la dimensione di uno spazio vettoriale costituito da un vettore zero sia zero.

La dimensione dello spazio è solitamente indicata dal simbolo .

Definizione. Viene chiamato lo spazio vettoriale infinito-dimensionale, se contiene un numero qualsiasi di vettori linearmente indipendenti. In questo caso, scrivi .

Chiariamo il collegamento tra i concetti di base e dimensione spaziale.

Teorema. Se è uno spazio vettoriale di dimensione , tutti i vettori linearmente indipendenti di questo spazio ne costituiscono la base.

Teorema. Se uno spazio vettoriale ha una base costituita da vettori, allora .

Informazioni simili.

Lascia stare l è lo spazio lineare sul campo R . Lascia stare A1, a2, ... , an (*) un sistema finito di vettori da l . Vettore A = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chiamato Una combinazione lineare di vettori ( *), o dire vettore A espresso linearmente attraverso un sistema di vettori (*).

Definizione 14. Viene chiamato il sistema dei vettori (*) linearmente dipendente , se e solo se esiste un insieme di coefficienti diverso da zero a1, a2, … , tale che a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Se a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, allora viene chiamato il sistema (*) linearmente indipendente.

Proprietà di dipendenza e indipendenza lineare.

10. Se un sistema di vettori contiene un vettore zero, allora è linearmente dipendente.

Infatti, se nel sistema (*) il vettore A1 = 0, Quindi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Se un sistema di vettori contiene due vettori proporzionali, allora è linearmente dipendente.

Lascia stare A1 = l×a2. Quindi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× MA N= 0.

30. Un sistema finito di vettori (*) per n ³ 2 è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare degli altri vettori di tale sistema.

Þ Sia (*) linearmente dipendente. Allora c'è un insieme diverso da zero di coefficienti a1, a2, … , un tale che a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Senza perdita di generalità, possiamo assumere che a1 ¹ 0. Allora esiste A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× MA N. Quindi, il vettore A1 è una combinazione lineare dei vettori rimanenti.

Ü Sia uno dei vettori (*) una combinazione lineare degli altri. Possiamo supporre che questo sia il primo vettore, cioè A1 = B2 A2+ … + mld MA N, quindi (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld MA N= 0 , ovvero (*) è linearmente dipendente.

Commento. Utilizzando l'ultima proprietà, si può definire la dipendenza lineare e l'indipendenza di un sistema infinito di vettori.

Definizione 15. Sistema vettoriale A1, a2, ... , an , … (**) è chiamato linearmente dipendente, Se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare di un numero finito di altri vettori. In caso contrario, viene chiamato il sistema (**). linearmente indipendente.

40. Un sistema finito di vettori è linearmente indipendente se e solo se nessuno dei suoi vettori può essere espresso linearmente nei termini dei suoi altri vettori.

50. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora anche uno qualsiasi dei suoi sottosistemi è linearmente indipendente.

60. Se qualche sottosistema di un dato sistema di vettori è linearmente dipendente, anche l'intero sistema è linearmente dipendente.

Siano dati due sistemi di vettori A1, a2, ... , an , … (16) e В1, в2, … , вs, … (17). Se ciascun vettore del sistema (16) può essere rappresentato come una combinazione lineare di un numero finito di vettori del sistema (17), allora diciamo che il sistema (17) è espresso linearmente attraverso il sistema (16).

Definizione 16. Si chiamano i due sistemi di vettori equivalente , se ciascuno di essi è espresso linearmente nei termini dell'altro.

Teorema 9 (teorema di base sulla dipendenza lineare).

Lascia e - Due sistemi finali vettori da l . Se il primo sistema è linearmente indipendente ed espresso linearmente nei termini del secondo, allora N£s.

Prova. Facciamo finta che N> S. Secondo il teorema

giunto. Dal numero di equazioni più numero incognite, allora il sistema ha infinite soluzioni. Pertanto, ha un diverso da zero x10, x20, …, xN0. Per questi valori, sarà vera l'uguaglianza (18), che contraddice il fatto che il sistema di vettori è linearmente indipendente. Quindi la nostra ipotesi è sbagliata. Quindi, N£s.

Conseguenza. Se due sistemi di vettori equivalenti sono finiti e linearmente indipendenti, allora contengono lo stesso numero di vettori.

Definizione 17. Viene chiamato il sistema dei vettori Il massimo sistema di vettori linearmente indipendenti spazio lineare l , se è linearmente indipendente, ma aggiungendovi qualsiasi vettore da l non incluso in questo sistema, diventa linearmente dipendente.

Teorema 10. Qualsiasi due sistemi finiti di vettori massimali linearmente indipendenti da l Contengono lo stesso numero di vettori.

Prova deriva dal fatto che due sistemi di vettori massimali linearmente indipendenti sono equivalenti .

È facile dimostrare che qualsiasi sistema linearmente indipendente di vettori spaziali l può essere completato al massimo sistema linearmente indipendente di vettori di questo spazio.

Esempi:

1. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici collineari, qualsiasi sistema costituito da un vettore diverso da zero è massima linearmente indipendente.

2. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici complanari, due vettori non collineari qualsiasi costituiscono un sistema massimale linearmente indipendente.

3. Nell'insieme di tutti i possibili vettori geometrici dello spazio euclideo tridimensionale, qualsiasi sistema di tre vettori non complanari è il massimo linearmente indipendente.

4. Nell'insieme di tutti i polinomi, il grado è al massimo N Con coefficienti reali (complessi), un sistema di polinomi 1, x, x2, …, xnÈ massima linearmente indipendente.

5. Nell'insieme di tutti i polinomi con coefficienti reali (complessi), esempi di un sistema massimale linearmente indipendente sono

un) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. L'insieme delle matrici di dimensione M´ Nè un spazio lineare(controllalo). Un esempio di sistema massimale linearmente indipendente in questo spazio è il sistema di matrici E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Sia dato un sistema di vettori C1, c2, ... , cfr (*). Viene chiamato il sottosistema dei vettori da (*) Massima linearmente indipendente Sottosistema Sistemi ( *) , se è linearmente indipendente, ma quando ad esso viene aggiunto qualsiasi altro vettore di questo sistema, diventa linearmente dipendente. Se il sistema (*) è finito, allora uno qualsiasi dei suoi sottosistemi massimali linearmente indipendenti contiene lo stesso numero di vettori. (Prova da solo.) Viene chiamato il numero di vettori nel sottosistema linearmente indipendente massimo del sistema (*) rango Questo sistema. Ovviamente, sistemi di vettori equivalenti hanno gli stessi ranghi.

Espressione della forma chiamata combinazione lineare di vettori A 1 , A 2 ,...,A n con coefficienti λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinazione della dipendenza lineare di un sistema di vettori

Sistema vettoriale A 1 , A 2 ,...,A n chiamata linearmente dipendente, se esiste un insieme di numeri diverso da zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, in cui la combinazione lineare di vettori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n uguale a zero vettore, ovvero il sistema di equazioni: ha una soluzione diversa da zero.
Insieme di numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n è diverso da zero se almeno uno dei numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n diverso da zero.

Determinazione dell'indipendenza lineare di un sistema di vettori

Sistema vettoriale A 1 , A 2 ,...,A n chiamata linearmente indipendente, se la combinazione lineare di questi vettori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nè uguale al vettore zero solo per un insieme zero di numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n , ovvero il sistema di equazioni: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ha una soluzione zero unica.

Verifica se un sistema di vettori è linearmente dipendente

Decisione:

1. Componiamo un sistema di equazioni:

2. Lo risolviamo usando il metodo di Gauss. Le trasformazioni giordane del sistema sono riportate nella Tabella 29.1. Durante il calcolo, le parti giuste del sistema non vengono annotate, poiché sono uguali a zero e non cambiano nelle trasformazioni di Jordan.

3. Dalle ultime tre righe della tabella scriviamo il sistema consentito equivalente all'originale sistema:

4. Otteniamo la soluzione generale del sistema:

5. Avendo impostato a propria discrezione il valore della variabile libera x 3 =1, otteniamo una particolare soluzione diversa da zero X=(-3,2,1).

Risposta: Quindi, con un insieme di numeri diverso da zero (-3,2,1), la combinazione lineare di vettori è uguale al vettore zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Quindi, sistema di vettori linearmente dipendenti.

Proprietà dei sistemi vettoriali

Proprietà (1)
Se il sistema di vettori è linearmente dipendente, allora almeno uno dei vettori è scomposto in termini di resto, e viceversa, se almeno uno dei vettori del sistema è scomposto in termini di resto, allora il sistema di vettori è linearmente dipendente.

Proprietà (2)
Se un qualsiasi sottosistema di vettori è linearmente dipendente, l'intero sistema è linearmente dipendente.

Proprietà (3)
Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora uno qualsiasi dei suoi sottosistemi è linearmente indipendente.

Proprietà (4)
Qualsiasi sistema di vettori contenente un vettore zero è linearmente dipendente.

Proprietà (5)
Un sistema di vettori m-dimensionali è sempre linearmente dipendente se il numero di vettori n è maggiore della loro dimensione (n>m)

Base del sistema vettoriale

Le basi del sistema dei vettori A 1 , A 2 ,..., A n tale sottosistema B 1 , B 2 ,...,B r(ciascuno dei vettori B 1 ,B 2 ,...,B r è uno dei vettori A 1 , A 2 ,..., A n) che soddisfa le seguenti condizioni:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistema di vettori linearmente indipendenti;
2. qualsiasi vettore Aj del sistema A 1 , A 2 ,..., A n è espresso linearmente in termini di vettori B 1 ,B 2 ,...,B r

rè il numero di vettori inclusi nella base.

Teorema 29.1 Sulla base unitaria di un sistema di vettori.

Se un sistema di vettori m-dimensionali contiene m distinti vettori unitari E 1 E 2 ,..., E m , allora costituiscono la base del sistema.

Algoritmo per trovare le basi di un sistema di vettori

Per trovare la base del sistema di vettori A 1 ,A 2 ,...,A n è necessario:

• Componi il corrispondente sistema di vettori sistema omogeneo equazioni A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• portare questo sistema