Guscio lineare del sistema. §7

L'articolo descrive le basi dell'algebra lineare: lo spazio lineare, le sue proprietà, il concetto di base, le dimensioni dello spazio, la campata lineare, la connessione spazi lineari e rango delle matrici.

spazio lineare

Molti l chiamato spazio lineare, se per tutti i suoi elementi le operazioni di sommare due elementi e moltiplicare un elemento per un numero soddisfacenti io gruppo Gli assiomi di Weyl. Si chiamano gli elementi di uno spazio lineare vettori. esso definizione completa; più in breve, possiamo dire che uno spazio lineare è un insieme di elementi per i quali si definiscono le operazioni di sommare due elementi e moltiplicare un elemento per un numero.

Gli assiomi di Weyl.

Herman Weil ha suggerito che in geometria abbiamo due tipi di oggetti ( vettori e punti), le cui proprietà sono descritte dai seguenti assiomi, che erano alla base della sezione algebra lineare. Gli assiomi possono essere convenientemente divisi in 3 gruppi.

Gruppo I

per ogni vettore xey l'uguaglianza x+y=y+x è soddisfatta;
per qualsiasi vettore x, yez, x+(y+z)=(x+y)+z;
esiste un vettore o tale che per ogni vettore x l'uguaglianza x + o = x è vera;
per qualsiasi vettore X esiste un vettore (-x) tale che x+(-x)=o;
per qualsiasi vettore X avviene l'uguaglianza 1x=x;
per qualsiasi vettore X e a e qualsiasi numero λ, l'uguaglianza λ( X+a)=λ X+λ a;
per qualsiasi vettore X e qualsiasi numero λ e μ abbiamo l'uguaglianza (λ+μ) X=λ X+μ X;
per qualsiasi vettore X e qualsiasi numero λ e μ, l'uguaglianza λ(μ X)=(λμ) X;

Gruppo II

Il gruppo I definisce il concetto combinazione lineare di vettori, dipendenza lineare e indipendenza lineare. Questo ci permette di formulare altri due assiomi:

ci sono n lineari vettori indipendenti;
tutti i vettori (n+1) sono linearmente dipendenti.

Per planimetria n=2, per stereometria n=3.

Gruppo III

Questo gruppo presuppone che esista un'operazione di moltiplicazione scalare che associa una coppia di vettori X e a numero ( x,y). in cui:

per qualsiasi vettore X e a vale l'uguaglianza ( x,y)=(y, x);
per qualsiasi vettore X , a e z vale l'uguaglianza ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
per qualsiasi vettore X e a e qualsiasi numero λ, l'uguaglianza (λ x,y)=λ( x,y);
per ogni vettore x, la disuguaglianza ( x, x)≥0 e ( x, x)=0 se e solo se X=0.

Proprietà dello spazio lineare

Per la maggior parte, le proprietà di uno spazio lineare si basano sugli assiomi di Weyl:

Vettore di, la cui esistenza è garantita dall'Assioma 3, è definita in modo univoco;
Vettore(- X), la cui esistenza è garantita dall'Assioma 4, è univocamente definita;
Per due vettori qualsiasi un e b appartenente allo spazio l, esiste singolo vettore X, anch'esso appartenente allo spazio l, che è una soluzione dell'equazione a+x=b e chiamò la differenza vettoriale b-a.

Definizione. Sottoinsieme l' spazio lineare l chiamato sottospazio lineare spazio l, se esso stesso è uno spazio lineare in cui la somma dei vettori e il prodotto di un vettore per un numero sono definiti allo stesso modo di l.

Definizione. Conchiglia lineare l(x1, x2, x3, …, xk) vettori x1, x2, x3, e xk chiamato l'insieme di tutti combinazioni lineari questi vettori. Per quanto riguarda l'intervallo lineare, possiamo dirlo

-la campata lineare è un sottospazio lineare;

– lo span lineare è il sottospazio lineare minimo contenente i vettori x1, x2, x3, e xk.

Definizione. Uno spazio lineare si dice n-dimensionale se soddisfa il gruppo II del sistema degli assiomi di Weyl. Viene chiamato il numero n dimensione spazio lineare e scrivere dimL=n.

Baseè qualsiasi sistema ordinato n vettori linearmente indipendenti dello spazio. Il significato della base è tale che i vettori che costituiscono la base possono essere usati per descrivere qualsiasi vettore nello spazio.

Teorema. Qualsiasi n vettori linearmente indipendenti nello spazio L formano una base.

Isomorfismo.

Definizione. Spazi lineari l e l' sono detti isomorfi se è possibile stabilire una tale corrispondenza biunivoca tra i loro elementi x↔x', che cosa:

Se x↔x', y↔y', poi x+y↔x'+y';
Se x↔x', poi λ x↔λ X'.

Questa corrispondenza è chiamata isomorfismo. L'isomorfismo permette di fare le seguenti affermazioni:

se due spazi sono isomorfi, le loro dimensioni sono uguali;
due spazi lineari qualsiasi sullo stesso campo e della stessa dimensione sono isomorfi.

Sia un sistema di vettori da . Conchiglia lineare sistemi vettoriali viene chiamato l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di un dato sistema, cioè

Proprietà della shell lineare: If , quindi for e .

Il guscio lineare ha la proprietà di essere chiuso rispetto alle operazioni lineari (operazioni di addizione e moltiplicazione per un numero).

Si chiama un sottoinsieme dello spazio che ha la proprietà di essere chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per numerisottospazio lineare dello spazio .

L'intervallo lineare di un sistema di vettori è un sottospazio lineare dello spazio.

Il sistema dei vettori da è chiamato base ,Se

Qualsiasi vettore può essere espresso come una combinazione lineare di vettori di base:

2. Il sistema dei vettori è linearmente indipendente.

Lemma Coefficienti di espansione vettoriale sono definiti in modo univoco in termini di base.

Vettore , composto dai coefficienti di espansione del vettore sulla base è chiamato vettore di coordinate del vettore in base .

Designazione . Questa voce sottolinea che le coordinate del vettore dipendono dalla base.

Spazi lineari

Definizioni

Sia dato un insieme di elementi di natura arbitraria. Si definiscano due operazioni per gli elementi di questo insieme: addizione e moltiplicazione per qualsiasi vero numero : , e impostare Chiuso riguardo a queste operazioni: . Lascia che queste operazioni obbediscano agli assiomi:

3. esiste un vettore zero con proprietà per ;

4. per ciascuno esiste un vettore inverso con la proprietà ;

6. per , ;

7. per , ;

Quindi viene chiamato un tale insieme spazio lineare (vettoriale)., i suoi elementi sono chiamati vettori, e - per sottolineare la loro differenza dai numeri da - questi ultimi sono chiamati scalari uno) . Viene chiamato uno spazio costituito da un solo vettore zero banale .

Se negli assiomi 6 - 8 consentiamo la moltiplicazione per scalari complessi, allora viene chiamato tale spazio lineare completo. Per semplificare il ragionamento, dappertutto di seguito considereremo solo spazi reali.

Uno spazio lineare è un gruppo rispetto all'operazione di addizione e un gruppo abeliano.

È elementare dimostrare l'unicità del vettore zero e l'unicità del vettore inverso al vettore: , è comunemente indicato come .

Viene chiamato un sottoinsieme di uno spazio lineare che è esso stesso uno spazio lineare (cioè chiuso per addizione vettoriale e moltiplicazione per uno scalare arbitrario) sottospazio lineare spazi. Sottospazi banali lo spazio lineare è chiamato se stesso e lo spazio costituito da un vettore zero.

Esempio. Lo spazio delle triple ordinate di numeri reali

operazioni definite da uguaglianze:

L'interpretazione geometrica è ovvia: un vettore nello spazio, "attaccato" all'origine, può essere dato nelle coordinate della sua estremità. La figura mostra anche un tipico sottospazio dello spazio: un piano passante per l'origine. Più precisamente, gli elementi sono vettori che iniziano all'origine e terminano in punti del piano. La chiusura di tale insieme con l'aggiunta di vettori e la loro espansione 2) è ovvia.

Sulla base di questa interpretazione geometrica, si parla spesso del vettore di uno spazio lineare arbitrario come punto nello spazio. Questo punto è talvolta indicato come la "fine del vettore". A parte la comodità della percezione associativa, a queste parole non viene dato alcun significato formale: il concetto di “fine vettore” è assente nell'assiomatica dello spazio lineare.

Esempio. Basandosi sullo stesso esempio, si può dare un'altra interpretazione. spazio vettoriale(inerente, tra l'altro, già all'origine stessa della parola "vettore" 3)) - definisce un insieme di "spostamenti" di punti nello spazio. Questi spostamenti - o trattini paralleli qualsiasi figura spaziale - sono selezionati parallela al piano.

In generale, con tali interpretazioni del concetto di vettore, le cose non sono così semplici. Tenta di fare appello a lui significato fisico- come un oggetto che ha valore e direzione- evocare un giusto rifiuto da parte di severi matematici. La definizione di vettore come elemento di uno spazio vettoriale ricorda molto l'episodio con sepolcri dal famoso racconto fantasy di Stanisław Lem (vedi ☞QUI). Non fissiamoci sul formalismo, ma esploriamo questo oggetto sfocato nelle sue particolari manifestazioni.

Esempio. Una generalizzazione naturale è lo spazio: uno spazio vettoriale di righe o una colonna . Un modo per definire un sottospazio in è definire un insieme di vincoli.

Esempio. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare equazioni omogenee:

forma un sottospazio lineare dello spazio. Infatti, se

La soluzione del sistema, quindi

Stessa soluzione per qualsiasi. Se una

Un'altra soluzione al sistema, quindi

Sarà anche la sua soluzione.

Perché tante soluzioni di sistema eterogeneo equazioni non forma un sottospazio lineare?

Esempio. Generalizzando ulteriormente, possiamo considerare lo spazio delle stringhe "infinite" o sequenze , che di solito è oggetto di analisi matematica - quando si considerano sequenze e serie. Puoi considerare le stringhe (sequenze) "infinite in entrambe le direzioni" - sono usate nella TEORIA DEI SEGNALI.

Esempio. Insieme di matrici con elementi reali con operazioni di addizione e moltiplicazione di matrici per numeri reali forma uno spazio lineare.

Nello spazio matrici quadrate ordine, si possono distinguere due sottospazi: il sottospazio delle matrici simmetriche e il sottospazio delle matrici asimmetriche. Inoltre, i sottospazi formano ciascuno degli insiemi: matrici triangolari superiori, triangolari inferiori e diagonali.

Esempio. Un insieme di polinomi di un grado variabile esattamente uguale ai coefficienti da (dove è uno qualsiasi degli insiemi o ) con le consuete operazioni di addizione di polinomi e moltiplicazione per un numero da non si forma spazio lineare. Come mai? - Perché non è chiuso per addizione: la somma dei polinomi e non sarà un polinomio del esimo grado. Ma ecco un insieme di polinomi di grado non superiore

forme spaziali lineari; solo a questo insieme deve essere assegnato anche un polinomio identico a zero 4) . I sottospazi ovvi sono . Inoltre, i sottospazi saranno al massimo l'insieme dei polinomi pari e l'insieme dei polinomi dispari di grado . L'insieme di tutti i possibili polinomi (senza restrizioni sui gradi) forma anche uno spazio lineare.

Esempio. La generalizzazione del caso precedente è lo spazio dei polinomi di più variabili di grado al massimo con coefficienti da . Ad esempio, l'insieme dei polinomi lineari

forma uno spazio lineare. Anche l'insieme dei polinomi omogenei (forme) di grado (con l'aggiunta di un polinomio identico zero a questo insieme) è uno spazio lineare.

Nei termini della definizione di cui sopra, l'insieme di stringhe con componenti interi

considerato rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per componenti per numero intero scalari, non è uno spazio lineare. Tuttavia, tutti gli assiomi 1 - 8 valgono se consentiamo la moltiplicazione solo per scalari interi. In questa sezione non ci concentreremo su questo oggetto, ma è abbastanza utile nella matematica discreta, ad esempio in ☞ TEORIA DEI CODICI. Gli spazi lineari su campi finiti sono discussi ☞ QUI.

Le variabili sono isomorfe allo spazio delle matrici simmetriche del th ordine. L'isomorfismo è stabilito dalla corrispondenza, che illustreremo per il caso:

Viene introdotto il concetto di isomorfismo in modo tale che lo studio di oggetti che sorgono in diverse aree dell'algebra, ma con proprietà di operazioni "simili", venga effettuato utilizzando l'esempio di un campione, elaborando su di esso risultati, che possono quindi essere economicamente replicato. Quale spazio lineare prendere "per il campione"? - Vedi la fine del paragrafo successivo

l- incrocio M tutti i sottospazi l contenente X .

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato X. Solitamente indicato. Si dice anche che la campata lineare allungato molti X .

Proprietà

Guarda anche

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vettore(o lineare) spazio- una struttura matematica, che è un insieme di elementi, detti vettori, per i quali si definiscono le operazioni di addizione tra loro e di moltiplicazione per un numero - uno scalare. Queste operazioni sono soggette a otto assiomi. Gli scalari possono essere elementi di un campo numerico reale, complesso o qualsiasi altro. Un caso speciale di tale spazio è il consueto spazio euclideo tridimensionale, i cui vettori sono usati, ad esempio, per rappresentare le forze fisiche. Va notato che un vettore, in quanto elemento di uno spazio vettoriale, non deve essere specificato come segmento diretto. La generalizzazione del concetto di "vettore" ad un elemento di uno spazio vettoriale di qualsiasi natura non solo non crea confusione di termini, ma permette anche di comprendere o addirittura anticipare una serie di risultati validi per spazi di natura arbitraria .

Gli spazi vettoriali sono oggetto di studio in algebra lineare. Una delle caratteristiche principali di uno spazio vettoriale è la sua dimensione. La dimensione è il numero massimo di elementi dello spazio linearmente indipendenti, cioè, ricorrendo a una approssimazione geometrica, il numero di direzioni che sono inesprimibili l'una rispetto all'altra attraverso le sole operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. Lo spazio vettoriale può essere dotato di strutture aggiuntive, come la norma o il prodotto scalare. Tali spazi appaiono naturalmente nel calcolo, prevalentemente come spazi di funzione a dimensione infinita (Inglese), dove i vettori sono le funzioni. Molti problemi di analisi richiedono di scoprire se una sequenza di vettori converge a dato vettore. La considerazione di tali domande è possibile in spazi vettoriali con struttura aggiuntiva, nella maggior parte dei casi una topologia adeguata, che consente di definire i concetti di prossimità e continuità. Tali spazi vettoriali topologici, in particolare gli spazi di Banach e Hilbert, consentono uno studio più approfondito.

I primi lavori che anticiparono l'introduzione del concetto di spazio vettoriale risalgono al XVII secolo. Fu allora che la geometria analitica, la dottrina delle matrici, i sistemi di equazioni lineari ei vettori euclidei ricevettero il loro sviluppo.

Definizione

Lineare o spazio vettoriale V (F) (\ displaystyle V \ sinistra (F \ destra)) sul campo F (\ displaystyle F)è una quadrupla ordinata (V , F , + , ⋅) (\ displaystyle (V, F, +, \ cdot)), dove

V (\ displaystyle V)- un insieme non vuoto di elementi di natura arbitraria, che vengono chiamati vettori;
F (\ displaystyle F)- un campo i cui elementi sono chiamati scalari;
Operazione definita aggiunte vettori V × V → V (\ displaystyle V \ volte V \ a V), abbinando ogni coppia di elementi x , y (\ displaystyle \ mathbf (x) , \ mathbf (y)) imposta V (\ displaystyle V) V (\ displaystyle V) chiamandoli somma e indicato x + y (\ displaystyle \ mathbf (x) + \ mathbf (y));
Operazione definita moltiplicazione di vettori per scalari F × V → V (\ displaystyle F \ volte V \ a V), che corrisponde a ciascun elemento λ (\ displaystyle \ lambda ) campi F (\ displaystyle F) e ogni elemento x (\ displaystyle \ mathbf (x) ) imposta V (\ displaystyle V) l'unico elemento dell'insieme V (\ displaystyle V), indicato λ ⋅ x (\ displaystyle \ lambda \ cdot \ mathbf (x)) o λ x (\ displaystyle \ lambda \ mathbf (x));

Gli spazi vettoriali definiti sullo stesso insieme di elementi ma su campi diversi saranno spazi vettoriali diversi (ad esempio, l'insieme di coppie numeri reali R 2 (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (2)) può essere uno spazio vettoriale bidimensionale sul campo dei numeri reali o unidimensionale - sul campo dei numeri complessi).

Le proprietà più semplici

Lo spazio vettoriale è un gruppo abeliano per addizione.
elemento neutro 0 ∈ V (\ displaystyle \ mathbf (0) \ in V)
0 ⋅ x = 0 (\ displaystyle 0 \ cdot \ mathbf (x) = \ mathbf (0)) per chiunque .
Per chiunque x ∈ V (\ displaystyle \ mathbf (x) \ in V) elemento opposto - X ∈ V (\ displaystyle - \ mathbf (x) \ in V)è l'unico che segue dalle proprietà del gruppo.
1 ⋅ x = x (\ displaystyle 1 \ cdot \ mathbf (x) = \ mathbf (x)) per chiunque x ∈ V (\ displaystyle \ mathbf (x) \ in V).
(- α) ⋅ x = α ⋅ (- x) = - (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) per qualsiasi e x ∈ V (\ displaystyle \ mathbf (x) \ in V).
α ⋅ 0 = 0 (\ displaystyle \ alpha \ cdot \ mathbf (0) = \ mathbf (0)) per chiunque α ∈ F (\ displaystyle \ alfa \ in F).

Definizioni e proprietà correlate

sottospazio

Definizione algebrica: Sottospazio lineare o sottospazio vettorialeè un sottoinsieme non vuoto K (\ displaystyle K) spazio lineare V (\ displaystyle V) tale che K (\ displaystyle K)è esso stesso uno spazio lineare rispetto a quelli definiti in V (\ displaystyle V) le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. L'insieme di tutti i sottospazi è generalmente indicato come L a t (V) (\ displaystyle \ mathrm (Lat) (V)). Perché un sottoinsieme sia un sottospazio, è necessario e sufficiente

Le ultime due affermazioni equivalgono alle seguenti:

Per qualsiasi vettore x , y ∈ K (\ displaystyle \ mathbf (x) , \ mathbf (y) \ in K) vettore α X + β y (\ displaystyle \ alfa \ mathbf (x) + \ beta \ mathbf (y)) apparteneva anche K (\ displaystyle K) per ogni α , β ∈ F (\ displaystyle \ alfa, \ beta \ in F).

In particolare, uno spazio vettoriale costituito da un solo vettore zero è un sottospazio di qualsiasi spazio; ogni spazio è un sottospazio di se stesso. Si chiamano sottospazi che non coincidono con questi due possedere o non banale.

Proprietà del sottospazio

Combinazioni lineari

Somma finale della vista

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\ displaystyle \ alpha _ (1) \ mathbf (x) _ (1) + \ alpha _ (2) \ mathbf (x) _ (2) + \ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

La combinazione lineare si chiama:

Base. Dimensione

vettori x 1 , x 2 , ... , x n (\ displaystyle \ mathbf (x) _ (1), \ mathbf (x) _ (2), \ ldots, \ mathbf (x) _ (n)) chiamato linearmente dipendente, se esiste una loro combinazione lineare non banale, il cui valore è uguale a zero; questo è

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\ displaystyle \ alpha _ (1) \ mathbf (x) _ (1) + \ alpha _ (2) \ mathbf (x) _ (2) +\lpunti +\alfa _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

con alcuni coefficienti α 1 , α 2 , ... , α n ∈ F , (\ displaystyle \ alpha _ (1), \ alpha _ (2), \ ldots, \ alpha _ (n) \ in F,) e almeno uno dei coefficienti α io (\ displaystyle \ alfa _ (i)) diverso da zero.

Altrimenti, questi vettori sono chiamati linearmente indipendente.

Questa definizione consente la seguente generalizzazione: un insieme infinito di vettori da V (\ displaystyle V) chiamato linearmente dipendente, se alcuni finale il suo sottoinsieme, e linearmente indipendente, se presente finale sottoinsieme è linearmente indipendente.

Proprietà di base:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\ displaystyle \ mathbf (x) = \ alpha _ (1) \ mathbf (x) _ (1) + \ alpha _ (2) \ mathbf ( x) _(2)+\lpunti +\alfa _(n)\mathbf (x) _(n)).

Conchiglia lineare

Conchiglia lineare sottoinsiemi X (\ displaystyle X) spazio lineare V (\ displaystyle V)- intersezione di tutti i sottospazi V (\ displaystyle V) contenente X (\ displaystyle X).

La shell lineare è un sottospazio V (\ displaystyle V).

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato X (\ displaystyle X). Si dice anche che la campata lineare V (X) (\ displaystyle (\ mathcal (V)) (X))- spazio, allungato molti X (\ displaystyle X).

l- incrocio M tutti i sottospazi l contenente X .

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato X. Solitamente indicato. Si dice anche che la campata lineare allungato molti X .

Proprietà

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Fondazione Wikimedia. 2010.

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Dipendenza lineare

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