In altre parole, la dipendenza lineare di un gruppo di vettori fa sì che tra di essi vi sia un vettore che può essere rappresentato da una combinazione lineare di altri vettori di questo gruppo.
Diciamo . Quindi
Da qui il vettore X linearmente dipendente dai vettori di questo gruppo.
vettori X, y, ..., z sono detti lineari vettori indipendenti se deriva dall'uguaglianza (0) che
α=β= ...= γ=0.
Cioè, i gruppi di vettori sono linearmente indipendenti se nessun vettore può essere rappresentato da una combinazione lineare di altri vettori in quel gruppo.
Determinazione della dipendenza lineare dei vettori
Siano dati m vettori di righe di ordine n:
Fatta l'eccezione gaussiana, riportiamo la matrice (2) alla forma triangolare superiore. Gli elementi dell'ultima colonna vengono modificati solo quando le righe vengono riorganizzate. Dopo m passaggi di eliminazione, otteniamo:
dove io 1 , io 2 , ..., io m - indici di stringhe ottenuti da una possibile permutazione di stringhe. Considerando le righe ricevute dagli indici di riga, escludiamo quelle che corrispondono al vettore nullo di righe. Le righe rimanenti formano vettori linearmente indipendenti. Si noti che durante la compilazione della matrice (2), modificando la sequenza dei vettori di riga, si può ottenere un altro gruppo di vettori linearmente indipendenti. Ma il sottospazio che entrambi questi gruppi di vettori formano è lo stesso.
I concetti di dipendenza lineare e indipendenza di un sistema di vettori sono molto importanti nello studio dell'algebra vettoriale, poiché su di essi si basano i concetti di dimensione e base spaziale. In questo articolo daremo definizioni, considereremo le proprietà della dipendenza lineare e dell'indipendenza, otterremo un algoritmo per studiare un sistema di vettori per la dipendenza lineare e analizzeremo in dettaglio le soluzioni degli esempi.
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Determinazione della dipendenza lineare e dell'indipendenza lineare di un sistema di vettori.
Considera un insieme di p vettori n-dimensionali, denotali come segue. Componi una combinazione lineare di questi vettori e numeri arbitrari 
(reale o complesso): . Sulla base della definizione delle operazioni su vettori n-dimensionali, nonché delle proprietà delle operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero, si può affermare che la scritta combinazione lineareè un vettore n-dimensionale , cioè .
Si è quindi giunti alla definizione della dipendenza lineare del sistema di vettori.
Definizione.
Se una combinazione lineare può essere un vettore zero quando è tra i numeri 
ce n'è almeno uno diverso da zero, allora viene chiamato il sistema dei vettori linearmente dipendente.
Definizione.
Se la combinazione lineare è un vettore nullo solo quando tutti i numeri sono uguali a zero, allora viene chiamato il sistema dei vettori linearmente indipendente.
Proprietà di dipendenza e indipendenza lineare.
Sulla base di queste definizioni, formuliamo e dimostriamo proprietà di dipendenza lineare e di indipendenza lineare di un sistema di vettori.
Se vengono aggiunti più vettori a un sistema di vettori linearmente dipendente, il sistema risultante sarà linearmente dipendente.
Prova.
Poiché il sistema di vettori è linearmente dipendente, l'uguaglianza è possibile se c'è almeno un numero diverso da zero dai numeri . Lascia stare.
Aggiungiamo s più vettori al sistema di vettori originale 
e otteniamo il sistema. Poiché e , quindi la combinazione lineare di vettori di questo sistema della forma
è un vettore nullo, e . Pertanto, il sistema di vettori risultante è linearmente dipendente.
Se diversi vettori sono esclusi da un sistema di vettori linearmente indipendente, il sistema risultante sarà linearmente indipendente.
Prova.
Assumiamo che il sistema risultante sia linearmente dipendente. Sommando tutti i vettori scartati a questo sistema di vettori, otteniamo il sistema di vettori originale. Per condizione, è linearmente indipendente e, a causa della precedente proprietà della dipendenza lineare, deve essere linearmente dipendente. Siamo arrivati a una contraddizione, quindi la nostra ipotesi è sbagliata.
Se un sistema di vettori ha almeno un vettore zero, allora tale sistema è linearmente dipendente.
Prova.
Lascia che il vettore in questo sistema di vettori sia zero. Assumiamo che il sistema originale di vettori sia linearmente indipendente. Quindi l'uguaglianza vettoriale è possibile solo quando . Tuttavia, se prendiamo un valore diverso da zero, l'uguaglianza sarà comunque valida, poiché . Pertanto, la nostra ipotesi è sbagliata e il sistema originale di vettori è linearmente dipendente.
Se un sistema di vettori è linearmente dipendente, allora almeno uno dei suoi vettori è espresso linearmente in termini degli altri. Se il sistema di vettori è linearmente indipendente, allora nessuno dei vettori può essere espresso nei termini degli altri.
Prova.
Dimostriamo innanzitutto la prima affermazione.
Lascia che il sistema di vettori sia linearmente dipendente, allora c'è almeno un numero diverso da zero e l'uguaglianza è vera. Questa uguaglianza può essere risolta rispetto a , poiché, in questo caso, abbiamo 
Di conseguenza, il vettore è espresso linearmente in termini di vettori rimanenti del sistema, che doveva essere dimostrato.
Dimostriamo ora la seconda affermazione.
Poiché il sistema dei vettori è linearmente indipendente, l'uguaglianza è possibile solo per .
Supponiamo che qualche vettore del sistema sia espresso linearmente nei termini degli altri. Sia questo vettore, allora. Questa uguaglianza può essere riscritta come , alla sua sinistra c'è una combinazione lineare dei vettori del sistema e il coefficiente davanti al vettore è diverso da zero, il che indica una dipendenza lineare del sistema originale di vettori. Quindi siamo giunti a una contraddizione, il che significa che la proprietà è dimostrata.
Dalle ultime due proprietà segue un'affermazione importante:
se il sistema di vettori contiene vettori e , dove – numero arbitrario, allora è linearmente dipendente.
Studio del sistema di vettori per dipendenza lineare.
Impostiamo il compito: dobbiamo stabilire una dipendenza lineare o indipendenza lineare del sistema di vettori.
La domanda logica è: "come risolverlo?"
Qualcosa di utile da un punto di vista pratico può essere derivato dalle definizioni e dalle proprietà di dipendenza lineare e indipendenza di un sistema di vettori di cui sopra. Queste definizioni e proprietà ci permettono di stabilire una dipendenza lineare di un sistema di vettori nei seguenti casi:
E negli altri casi, che sono la maggioranza?
Affrontiamo questo.
Ricordiamo la formulazione del teorema sul rango di una matrice, che abbiamo citato nell'articolo.
Teorema.
Lascia stare r è il rango della matrice A di ordine p per n , 
. Sia M il minore fondamentale della matrice A . Tutte le righe (tutte le colonne) della matrice A che non partecipano alla formazione della base minore M sono espresse linearmente in termini di righe (colonne) della matrice che generano la base minore M .
E ora spieghiamo la connessione del teorema sul rango di una matrice con lo studio di un sistema di vettori per una dipendenza lineare.
Facciamo una matrice A, le cui righe saranno i vettori del sistema in esame: 
Cosa significherebbe indipendenza lineare sistemi vettoriali?
Dalla quarta proprietà dell'indipendenza lineare di un sistema di vettori, sappiamo che nessuno dei vettori del sistema può essere espresso nei termini degli altri. In altre parole, nessuna riga della matrice A sarà espressa linearmente in termini di altre righe, quindi, l'indipendenza lineare del sistema di vettori sarà equivalente alla condizione Rank(A)=p.
Cosa significherà la dipendenza lineare del sistema di vettori?
Tutto è molto semplice: almeno una riga della matrice A sarà espressa linearmente rispetto al resto, quindi, la dipendenza lineare del sistema di vettori sarà equivalente alla condizione Rango(A)
.
Quindi, il problema di studiare un sistema di vettori per una dipendenza lineare si riduce al problema di trovare il rango di una matrice composta dai vettori di tale sistema.
Si noti che per p>n il sistema di vettori sarà linearmente dipendente.
Commento: quando si compila la matrice A, i vettori del sistema possono essere presi non come righe, ma come colonne.
Algoritmo per lo studio di un sistema di vettori per una dipendenza lineare.
Analizziamo l'algoritmo con esempi.
Esempi di studio di un sistema di vettori per la dipendenza lineare.
Esempio.
Dato un sistema di vettori. Esaminalo per una relazione lineare.
Soluzione.
Poiché il vettore c è zero, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente a causa della terza proprietà.
Risposta:
Il sistema dei vettori è linearmente dipendente.
Esempio.
Esaminare il sistema di vettori per la dipendenza lineare.
Soluzione.
Non è difficile vedere che le coordinate del vettore c sono uguali alle corrispondenti coordinate del vettore moltiplicate per 3, cioè . Pertanto, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente.
Dipendenza lineare e indipendenza dei vettori
Definizioni di sistemi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti
Definizione 22
Abbiamo un sistema di n vettori e un insieme di numeri 
, poi
(11)
è chiamata combinazione lineare di un dato sistema di vettori con un dato insieme di coefficienti.
Definizione 23
Sistema vettoriale 
è detto linearmente dipendente se esiste un tale insieme di coefficienti 
, di cui almeno uno diverso da zero, tale che la combinazione lineare del dato sistema di vettori con questo insieme di coefficienti sia uguale al vettore zero:
Lascia stare 
, poi
Definizione 24 ( attraverso la rappresentazione di un vettore del sistema come combinazione lineare degli altri)
Sistema vettoriale 
si dice linearmente dipendente se almeno uno dei vettori di questo sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri vettori di questo sistema.
Dichiarazione 3
Le definizioni 23 e 24 sono equivalenti.
Definizione 25(tramite combinazione di linee zero)
Sistema vettoriale 
si dice linearmente indipendente se la combinazione lineare zero di questo sistema è possibile solo per tutti 
uguale a zero.
Definizione 26(attraverso l'impossibilità di rappresentare un vettore del sistema come combinazione lineare del resto)
Sistema vettoriale 
è detto linearmente indipendente se nessuno dei vettori di questo sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare di altri vettori di questo sistema.
Proprietà di sistemi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti
Teorema 2 (vettore zero nel sistema dei vettori)
Se c'è un vettore zero nel sistema di vettori, allora il sistema è linearmente dipendente.
Let 
, poi .
Ottenere 
, quindi, per definizione di un sistema di vettori linearmente dipendente in termini di combinazione lineare nulla (12)
il sistema è linearmente dipendente.
Teorema 3 (sottosistema dipendente nel sistema dei vettori)
Se un sistema di vettori ha un sottosistema linearmente dipendente, l'intero sistema è linearmente dipendente.
Let 
- sottosistema linearmente dipendente 
, tra cui almeno uno diverso da zero:
Quindi, per la Definizione 23, il sistema è linearmente dipendente.
Teorema 4
Qualsiasi sottosistema di un sistema linearmente indipendente è linearmente indipendente.
Al contrario. Lascia che il sistema sia linearmente indipendente e abbia un sottosistema linearmente dipendente. Ma poi, per il Teorema 3, anche l'intero sistema sarà linearmente dipendente. Contraddizione. Pertanto, un sottosistema di un sistema linearmente indipendente non può essere linearmente dipendente.
Significato geometrico della dipendenza lineare e dell'indipendenza di un sistema di vettori
Teorema 5
Due vettori 
e 
linearmente dipendente se e solo se 
.
Necessitano.
e 
- linearmente dipendente 
che la condizione 
. Quindi 
, cioè. 
.
Adeguatezza.
Dipendente lineare.
Corollario 5.1
Il vettore zero è collineare a qualsiasi vettore
Corollario 5.2
Perché due vettori siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che 
non era collineare 
.
Teorema 6
Affinché un sistema di tre vettori sia linearmente dipendente, è necessario e sufficiente che questi vettori siano complanari .
Necessitano.
- sono linearmente dipendenti, quindi un vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri due.
,
(13)
dove 
e 
. Secondo la regola del parallelogramma 
è la diagonale di un parallelogramma con i lati 
, ma un parallelogramma è una figura piatta 
Complanare 
sono anche complanari.
Adeguatezza.
- Complanare. Applichiamo tre vettori al punto O:
C
B`
– linearmente dipendente
Corollario 6.1
Il vettore zero è complanare a qualsiasi coppia di vettori.
Corollario 6.2
In ordine per i vettori 
sono linearmente indipendenti se e solo se non sono complanari.
Corollario 6.3
Qualsiasi vettore piano può essere rappresentato come una combinazione lineare di due vettori non collinari qualsiasi dello stesso piano.
Teorema 7
Qualsiasi quattro vettori nello spazio sono linearmente dipendenti .
Consideriamo 4 casi:
Disegniamo un piano attraverso i vettori, quindi un piano attraverso i vettori e un piano attraverso i vettori. Tracciamo poi i piani passanti per il punto D, paralleli alle coppie di vettori; ; rispettivamente. Costruiamo un parallelepipedo lungo le linee di intersezione dei piani OB 1 D 1 C 1 ABDC.
Ritenere OB 1
D 1
C 1
- parallelogramma per costruzione secondo la regola del parallelogramma 
.
Considera OADD 1 - un parallelogramma (dalla proprietà del parallelepipedo) 
, poi
EMBED Equazione.3 .
Per il teorema 1 
tale che. Quindi 
, e per definizione 24 il sistema dei vettori è linearmente dipendente.
Corollario 7.1
La somma di tre vettori non complanari nello spazio è un vettore che coincide con la diagonale del parallelepipedo costruito su questi tre vettori attaccati ad un'origine comune, e l'inizio del vettore di somma coincide con l'origine comune di questi tre vettori.
Corollario 7.2
Se prendiamo 3 vettori non complanari in uno spazio, allora qualsiasi vettore di questo spazio può essere scomposto in una combinazione lineare di questi tre vettori.
un 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, un 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, un 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Soluzione. Cerchiamo una soluzione generale al sistema di equazioni
un 1 X 1 + un 2 X 2 + un 3 X 3 = Θ
metodo gaussiano. Per fare ciò, scriviamo questo sistema omogeneo in coordinate:
Matrice di sistema
Il sistema consentito è simile a: 
(RA = 2, n= 3). Il sistema è coerente e indefinito. La sua soluzione generale ( X 2 – variabile libera): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . La presenza di una soluzione privata diversa da zero, ad esempio , indica che i vettori un
1 , un
2 , un
3
linearmente dipendente.
Esempio 2
Scopri se lo è questo sistema vettori linearmente dipendenti o linearmente indipendenti:
1. un 1 = { -20, -15, - 4 }, un 2 = { –7, -2, -4 }, un 3 = { 3, –1, –2 }.
Soluzione. Consideriamo il sistema omogeneo di equazioni un 1 X 1 + un 2 X 2 + un 3 X 3 = Θ
o ampliato (per coordinate)
Il sistema è omogeneo. Se non è degenerato, allora ha una soluzione unica. quando sistema omogeneoè la soluzione zero (banale). Quindi, in questo caso il sistema dei vettori è indipendente. Se il sistema è degenerato, allora ha soluzioni diverse da zero e, quindi, è dipendente.
Controllo del sistema per la degenerazione:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Il sistema non è degenerato e, quindi, i vettori un 1 , un 2 , un 3 sono linearmente indipendenti.
Compiti. Scopri se il dato sistema di vettori è linearmente dipendente o linearmente indipendente:
1. un 1 = { -4, 2, 8 }, un 2 = { 14, -7, -28 }.
2. un 1 = { 2, -1, 3, 5 }, un 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. un 1 = { -7, 5, 19 }, un 2 = { -5, 7 , -7 }, un 3 = { -8, 7, 14 }.
4. un 1 = { 1, 2, -2 }, un 2 = { 0, -1, 4 }, un 3 = { 2, -3, 3 }.
5. un 1 = { 1, 8 , -1 }, un 2 = { -2, 3, 3 }, un 3 = { 4, -11, 9 }.
6. un 1 = { 1, 2 , 3 }, un 2 = { 2, -1 , 1 }, un 3 = { 1, 3, 4 }.
7. un 1 = {0, 1, 1 , 0}, un 2 = {1, 1 , 3, 1}, un 3 = {1, 3, 5, 1}, un 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. un 1 = {-1, 7, 1 , -2}, un 2 = {2, 3 , 2, 1}, un 3 = {4, 4, 4, -3}, un 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Dimostrare che un sistema di vettori sarà linearmente dipendente se contiene:
a) due vettori uguali;
b) due vettori proporzionali.
Definizione. Combinazione lineare di vettori a 1 , ..., a n con coefficienti x 1 , ..., x n è chiamato vettore
x 1 un 1 + ... + x n un n .
banale, se tutti i coefficienti x 1 , ..., x n sono uguali a zero.
Definizione. Viene chiamata la combinazione lineare x 1 a 1 + ... + x n a n non banale, se almeno uno dei coefficienti x 1 , ..., x n è diverso da zero.
linearmente indipendente, se non esiste una combinazione non banale di questi vettori uguale al vettore zero .
Cioè, i vettori a 1 , ..., a n sono linearmente indipendenti se x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 se e solo se x 1 = 0, ..., x n = 0.
Definizione. Vengono chiamati i vettori a 1 , ..., a n linearmente dipendente, se esiste una combinazione non banale di questi vettori uguale al vettore zero .
Proprietà dei vettori linearmente dipendenti:
Per vettori n-dimensionali.
n + 1 vettori sono sempre linearmente dipendenti.
Per vettori bidimensionali e tridimensionali.
Due lineari vettori dipendenti- collineare. (I vettori collineari sono linearmente dipendenti.) .
Per vettori tridimensionali.
Tre vettori linearmente dipendenti sono complanari. (I tre vettori complanari sono linearmente dipendenti.)
Esempi di attività per la dipendenza lineare e l'indipendenza lineare dei vettori:
Esempio 1. Verificare se i vettori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) sono linearmente indipendenti .
Soluzione:
I vettori saranno linearmente dipendenti, poiché la dimensione dei vettori è inferiore al numero di vettori.
Esempio 2. Verificare se i vettori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) sono linearmente indipendenti.
Soluzione:
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + x3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
sottrarre il secondo dalla prima riga; aggiungi la seconda riga alla terza riga:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Questa soluzione mostra che il sistema ha molte soluzioni, ovvero esiste una combinazione di valori diversa da zero dei numeri x 1 , x 2 , x 3 tale che la combinazione lineare dei vettori a , b , c sia uguale al vettore zero, ad esempio:
A+b+c = 0
il che significa che i vettori a , b , c sono linearmente dipendenti.
Risposta: i vettori a , b , c sono linearmente dipendenti.
Esempio 3. Verificare se i vettori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) sono linearmente indipendenti.
Soluzione: Troviamo i valori dei coefficienti ai quali la combinazione lineare di questi vettori sarà uguale al vettore zero.
x 1 un + x 2 b + x 3 c 1 = 0Questa equazione vettoriale può essere scritta come un sistema equazioni lineari
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + 2x3 = 0 |
Risolviamo questo sistema usando il metodo di Gauss
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
sottrarre il primo dalla seconda riga; sottrarre il primo dalla terza riga:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
sottrarre il secondo dalla prima riga; aggiungi la seconda riga alla terza riga.