VETTORI

vettori chiamati oggetti matematici ( un, b, c, …), per cui si definiscono due operazioni algebriche:

somma di due vettori a+b=c

moltiplicazione di un vettore per un numero a a = b.

La caratteristica più significativa di queste operazioni è che risultano sempre in un vettore dello stesso tipo dei vettori originali. Pertanto, avendo un insieme iniziale di vettori, possiamo espanderlo gradualmente, ad es. ricevere sempre più vettori nuovi, applicando le operazioni di addizione e moltiplicazione per un numero ai vettori già esistenti. Alla fine, arriveremo a un tale insieme di vettori che non si espanderà più, ad es. risulta essere chiuso rispetto alle operazioni specificate. Viene chiamato un tale insieme di vettori spazio vettoriale .

Se, durante l'esecuzione di queste operazioni, aggiuntivo condizioni di linearità :

un( a+b)= un un + un b

(un + b) un = un un + b b

quindi viene chiamato lo spazio risultante lineare spazio (LP) o vettore lineare spazio (HDL). LCS può, insieme ai gruppi di simmetria, servire come un altro esempio di strutture matematiche che sono insiemi chiusi oggetti dello stesso tipo e ordinati in un certo modo (con l'ausilio di operazioni algebriche).

Combinazioni lineari

Avendo le operazioni di sommare vettori e moltiplicarli per numeri, è possibile costruirne altri struttura complessa genere:

un un + b b+ g c + ..... = x

che è chiamato combinazione lineare (LC) vettori a, b, c, . . . con coefficienti a, b, g, . . . , rispettivamente.

Il concetto di LC permette di formulare alcune regole generali:

· qualsiasi LC di qualsiasi vettore di qualche LP è anche vettore dello stesso LP;

qualsiasi vettore di qualche LP può essere rappresentato come un LC di più vettori dello stesso LP;

in ogni LP c'è un tale insieme distinto di vettori chiamato set di base (o semplicemente base ) che tutti, senza eccezioni, i vettori di questo LP possono essere rappresentati come combinazioni lineari di questi vettori base selezionati. Una condizione importante è imposta ai vettori scelti come base: devono esserlo linearmente indipendente tra di loro (non dovrebbero essere espressi l'uno attraverso l'altro, cioè: X≠a × y).

Queste regole consentono di introdurre un modo speciale di descrivere qualsiasi LP. Scegliamo un insieme di base ed espandiamo tutti i vettori di nostro interesse in questa base (cioè li rappresentiamo sotto forma di vettori di base LK); quindi ogni vettore può essere specificato in modo univoco per mezzo di un insieme di coefficienti LC corrispondenti a dato vettore. Tali coefficienti sono chiamati coordinate vettore (rispetto alla base data). Sottolineiamo che le coordinate di un vettore sono numeri ordinari e la rappresentazione delle coordinate di un vettore ci permette di descriverlo per mezzo di un solo insieme di numeri, indipendentemente dallo specifico senso fisico, che inseriamo nel concetto di vettore.

Consideriamo un esempio specifico. Supponiamo di avere un insieme di diverse miscele di due puri sostanze chimiche: acqua e alcol. Tra tutte le miscele possibili, ne segnaliamo due speciali:

1) miscela S1 contenente il 100% di acqua e lo 0% di alcol;

2) miscela S2 contenente lo 0% di acqua e il 100% di alcol.

È chiaro che una miscela arbitraria può essere rappresentata come un LC di queste due miscele di base:

S = n 1 * S1 + n 2 * S2

e caratterizzarlo completamente con solo due numeri-coordinate: n 1 e n 2. In altre parole, dato l'insieme di base, possiamo stabilire l'equivalenza tra una miscela chimica arbitraria e un insieme di numeri:

S~ {n 1 , n 2 }.

Ora basta sostituire la specifica parola chimica "miscela" con una astratta. termine matematico"vettore" per ottenere un modello HDL che descrive un insieme di miscele di due sostanze.

Una combinazione lineare di vettori da è chiamata vettore st at . È chiaro che una combinazione lineare di combinazioni lineari di vettori è di nuovo una combinazione lineare di questi vettori.

Un insieme di vettori è detto linearmente indipendente se l'uguaglianza è possibile solo per . Se, invece, esistono si che contemporaneamente non sono uguali a zero e tali che st - 0, allora l'insieme dei vettori è detto linearmente dipendente. Queste definizioni sono le stesse fornite a pagina 108 per le stringhe.

Proposizione 1. Un insieme di vettori è linearmente dipendente se e solo se uno dei vettori è una combinazione lineare degli altri.

Proposizione 2. Se la raccolta di vettori è linearmente indipendente e la raccolta è linearmente dipendente, allora il vettore è una combinazione lineare di vettori

Proposizione 3. Se i vettori sono combinazioni lineari di vettori, l'insieme è linearmente dipendente.

Le dimostrazioni di queste proposizioni non sono diverse dalle prove di proposizioni simili per archi (pp. 108-110).

Un insieme di vettori si dice generazione se tutti i vettori dello spazio sono le loro combinazioni lineari. Se esiste un sistema generatore finito per lo spazio S, allora lo spazio è detto a dimensione finita, altrimenti è chiamato a dimensione infinita. In uno spazio a dimensione finita non possono esistere raccolte linearmente indipendenti di vettori arbitrariamente grandi (nel numero di vettori), poiché, secondo la Proposizione 3, qualsiasi raccolta di vettori che ecceda il numero di vettori della raccolta generatrice è linearmente dipendente.

Lo spazio delle matrici a dimensione fissa e, in particolare, lo spazio delle righe a lunghezza fissa sono a dimensione finita; come sistema generatore si possono prendere matrici con una in una posizione e con zeri nel resto.

Lo spazio di tutti i polinomi da è già infinito-dimensionale, perché l'insieme dei polinomi è linearmente indipendente per qualsiasi .

In quanto segue, considereremo gli spazi a dimensione finita.

Proposizione 4. Qualsiasi insieme minimo (per il numero di vettori) di vettori è linearmente indipendente.

Sia infatti l'insieme minimo di generazione dei vettori. Se è linearmente dipendente, allora uno dei vettori, diciamo, è una combinazione lineare degli altri, e qualsiasi combinazione lineare è una combinazione lineare di un insieme più piccolo di vettori, che quindi risulta essere generante.

Proposizione 5. Viene generato qualsiasi insieme di vettori linearmente indipendente massimo (per il numero di vettori).

Infatti, sia la massima raccolta linearmente indipendente e u qualsiasi vettore spaziale. Allora l'insieme e non sarà linearmente indipendente e, in virtù della Proposizione 2, il vettore è una combinazione lineare

Proposizione 6. Qualsiasi gruppo elettrogeno linearmente indipendente è minimo tra i generatori e massimo tra quelli linearmente indipendenti.

Sia infatti un insieme di vettori linearmente indipendente. Se - qualche altro gruppo elettrogeno, allora sono combinazioni lineari e quindi ne concludiamo, perché se lo fosse, in virtù della proposta sarebbe un insieme linearmente dipendente. Sia ora un qualsiasi insieme linearmente indipendente. I vettori sono combinazioni lineari di vettori e, di conseguenza, a parità di proposizione, costituirebbero un insieme linearmente dipendente.

Pertanto, nelle Proposizioni 4, 5, 6, viene stabilita l'identità di tre concetti: il minimo insieme di vettori, il massimo insieme di vettori linearmente indipendenti e il gruppo di generazione linearmente indipendente.

L'insieme dei vettori che soddisfa queste condizioni è chiamato base dello spazio e il numero di vettori che costituiscono la base è chiamato dimensione dello spazio. La dimensione dello spazio S è indicata da . Pertanto, la dimensione è uguale al numero massimo in modo lineare vettori indipendenti(Useremo spesso le parole “linearmente indipendente” e “linearmente indipendente” in quanto segue). vettori dipendenti” invece di dire “vettori che compongono una collezione linearmente dipendente” e - rispettivamente per una collezione linearmente indipendente) e il numero minimo di vettori generatori.

Proposizione 7. Sia un insieme linearmente indipendente di vettori, e il loro numero è minore della dimensione dello spazio. Quindi un vettore può essere collegato a loro in modo tale che la raccolta rimanga linearmente indipendente.

Prova. Considera un insieme di combinazioni lineari. Non esaurisce l'intero spazio, perché non costituiscono un gruppo elettrogeno di vettori. Prendi un vettore che non sia una combinazione lineare

Allora è una raccolta linearmente indipendente, poiché altrimenti sarebbe una combinazione lineare di vettori in virtù della Proposizione 2.

Segue dalla Proposizione 7 che qualsiasi raccolta linearmente indipendente di vettori può essere completata su una base.

La stessa proposizione e la sua dimostrazione indicano la natura dell'arbitrarietà nella scelta di una base. Infatti, se prendiamo un vettore arbitrario diverso da zero, allora può essere completato alla base prendendo il secondo vettore come preferisci, ma non una combinazione lineare del primo, il terzo come preferisci, ma non una combinazione lineare di i primi due, ecc.

Si può "scendere" alla base, partendo da un gruppo elettrogeno arbitrario.

Proposizione 8. Ogni gruppo elettrogeno di vettori contiene una base.

Sia infatti un insieme generativo di vettori. Se è linearmente dipendente, allora uno dei suoi vettori è una combinazione lineare degli altri e può essere escluso dal gruppo elettrogeno. Se i vettori rimanenti sono linearmente dipendenti, allora un altro vettore può essere eliminato, e così via, fino a quando rimane un gruppo elettrogeno linearmente indipendente, cioè una base.

Concetto di vettore

Definizione 1.Vettoreè chiamato segmento diretto (o, che è lo stesso, coppia ordinata di punti).

Designare: (il punto A è l'inizio del vettore), il punto B è la fine del vettore) o con una lettera -.

Definizione 2.Lunghezza vettore (modulo)è la distanza tra l'inizio e la fine del vettore. La lunghezza di un vettore è indicata da o.

Definizione 3.Vettore zero Viene chiamato un vettore il cui inizio e fine sono gli stessi. Designare:

Definizione 4.vettore unitarioè un vettore la cui lunghezza è uguale a uno.

Un vettore unitario che ha la stessa direzione di un dato vettore è chiamato vettore vettoriale ed è indicato dal simbolo.

Definizione 5. I vettori sono chiamati collineare, se si trovano sulla stessa linea o su linee parallele. Il vettore nullo è considerato collineare a qualsiasi vettore.

Definizione 6. I vettori sono chiamati pari se sono collineari, hanno la stessa lunghezza e la stessa direzione.

Operazioni lineari sui vettori

Definizione 7.Operazioni lineari sui vettori sono detti addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero.

Definizione 8.La somma di due vettoriè chiamato vettore che va dall'inizio del vettore alla fine del vettore, a condizione che il vettore sia attaccato alla fine del vettore (regola del triangolo). Nel caso di vettori non collineari, al posto della regola del triangolo, si può usare la regola del parallelogramma: se i vettori e sono tracciati da un'origine comune e su di essi è costruito un parallelogramma, allora la somma è un vettore che coincide con la diagonale di questo parallelogramma proveniente da un'origine comune.

Definizione 9.La differenza di due vettori e si chiama un vettore che, sommato ad un vettore, costituisce un vettore. Se due vettori e sono posticipati da un inizio comune, la loro differenza è un vettore proveniente dalla fine del vettore ("sottratto") alla fine del vettore ("ridotto").

Definizione 10. Si chiamano due vettori collineari di uguale lunghezza che puntano in direzioni opposte di fronte. Si indica il vettore opposto al vettore.

Il prodotto di un vettore per un numero è indicato con α.

Alcune proprietà delle operazioni lineari

7) ;

Teorema 1.(Su vettori collineari). Se e sono due vettori collineari e il vettore è diverso da zero, allora esiste un numero univoco x tale che = x

In particolare, un vettore diverso da zero e il suo orto sono legati dall'uguaglianza:=·.

Le proprietà formulate delle operazioni lineari consentono di trasformare espressioni composte da vettori secondo le consuete regole dell'algebra: si possono aprire parentesi, portare termini simili, trasferire alcuni termini in un'altra parte dell'uguaglianza di segno opposto, ecc.

Esempio 1

Dimostra le uguaglianze:

e scopri qual è il loro significato geometrico.

Soluzione. a) Sul lato sinistro dell'uguaglianza, apriamo le parentesi, diamo termini simili, otteniamo un vettore sul lato destro. Spieghiamo questa uguaglianza geometricamente. Si danno due vettori, si mettono da parte l'origine comune e si osserva il parallelogramma e le sue diagonali, si ottiene:

§2 Combinazione lineare di vettori

Base vettoriale sull'aereo e nello spazio.

Definizione 1.Combinazione lineare di vettori,, è la somma dei prodotti di questi vettori per alcuni numeri,,:++.

Definizione 2.base vettoriale qualsiasi coppia di vettori non collineari in questo piano è chiamata in un dato piano.

Il vettore è chiamato il primo vettore base, il secondo vettore.

È vero il seguente teorema.

Teorema 1. Se la base ,– base vettoriale in un piano, allora qualsiasi vettore di questo piano può essere rappresentato e, inoltre, l'unico modo, come combinazione lineare di vettori base: = x + y. (*)

Definizione 3. Viene chiamata l'uguaglianza (*) , e i numeri xey sono coordinate vettoriali nella base,(o rispetto alla base,). Se è chiaro in anticipo quale base viene discussa, scrivono brevemente: = (x, y). Dalla definizione delle coordinate di un vettore rispetto alla base segue che vettori uguali hanno coordinate corrispondentemente uguali.

Vengono chiamati due o più vettori nello spazio Complanare, se sono paralleli allo stesso piano o giacciono in quel piano.

Definizione 4.base vettoriale nello spazio sono chiamati tre vettori qualsiasi , ,.

In questo caso, il vettore è chiamato primo vettore base, secondo e terzo.

Commento. uno. Tre vettori = (),= () e = () formano la base dello spazio se il determinante composto dalle loro coordinate è diverso da zero:

.

2. Le principali disposizioni della teoria delle determinanti e come calcolarle sono considerate nel modulo 1 "algebra lineare".

Teorema 2. Permettere , , è una base vettoriale nello spazio. Quindi qualsiasi vettore nello spazio può essere rappresentato, e per di più in modo univoco, come una combinazione lineare di vettori di base , e:

X+y+z. (**)

Definizione 5. Viene chiamata l'uguaglianza (**). espansione del vettore in termini di base,,, e i numeri x, y, z sono le coordinate (componenti) del vettore nella base , ,.

Se è chiaro in anticipo quale base viene discussa, scrivono brevemente: = (x, y, z).

Definizione 6. Base , , è chiamato Ortonormale, se i vettori , , sono perpendicolari a coppie e hanno lunghezza unitaria. In questo caso si adotta la notazione ,.

Azioni sui vettori date dalle loro coordinate.

Teorema 3. Si scelga una base vettoriale sul piano , e rispetto ai suoi vettori e sono dati dalle loro coordinate: = (),= ().

Allora =(),=( ), cioè. quando si aggiungono o sottraggono vettori, le loro coordinate con lo stesso nome vengono sommate o sottratte; = ( ;), cioè quando un vettore viene moltiplicato per un numero, le sue coordinate vengono moltiplicate per quel numero.

Condizione di collinearità per due vettori

Teorema 4. Un vettore è collineare a un vettore diverso da zero se e solo se le coordinate del vettore sono proporzionali alle corrispondenti coordinate del vettoreat.e.

Le operazioni lineari sui vettori date dalle loro coordinate nello spazio vengono eseguite in modo simile.

Esempio 1 Siano dati vettori = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) in una base vettoriale , ,. Trova le coordinate della combinazione lineare 2+3-4.

Soluzione. Introduciamo la notazione per la combinazione lineare=2+3+(-4).

Coefficienti di combinazione lineare =2,=3,=-4. Scriviamo questa uguaglianza vettoriale nella forma delle coordinate = (x, y, z) =:

2

Ovviamente ogni coordinata di una combinazione lineare di vettori è uguale alla stessa combinazione lineare di coordinate omonime, cioè

x \u003d 2 1 + 3 3 + (-4) 1 \u003d 7,

y = 2 2+3 2+(-4) 0=10,

z= 2 (-1)+3 1+(-4) 0=-3.

Coordinate vettoriali in base , , sarà:

Risposta:= {7,10,-3}.

Sistema di coordinate cartesiane generali (affini).

Definizione 7. Sia O un punto fermo, che chiameremo inizio.

Se M è un punto arbitrario, viene chiamato il vettore raggio vettore punto M rispetto all'origine, in breve il raggio vettore del punto M.

Coordinate cartesiane (affine) su una linea

Sia data una retta nello spazio l. Scegliamo l'origine O giacente su questa linea. Inoltre, scegliamo sulla linea l vettore diverso da zero, che chiameremo vettore di base.

Definizione 8. Sia il punto M sulla retta l. Poiché i vettori sono collineari, allora = x, dove x è un numero. Chiameremo questo numero coordinata punti M della linea.

L'origine O ha coordinate positive o negative, a seconda che le direzioni dei vettori siano uguali o opposte. La retta su cui le coordinate sono chiamate asse delle coordinate o asse OX.

L'introduzione di coordinate su una retta corrisponde a un unico numero x, e viceversa esiste un unico punto M per il quale questo numero è una coordinata.

Coordinate cartesiane (affine) sul piano.

Scegliamo due vettori non collineari u sul piano O, formando delle basi. Ovviamente, le lunghezze dei vettori possono essere diverse.

Definizione 9. L'insieme (0;;) del punto O e la base del vettore , chiamato Sistema cartesiano (affino). in superficie.

Due rette passanti per O e parallele rispettivamente ai vettori , sono detti assi coordinati. Il primo è solitamente chiamato asse delle ascisse ed è indicato con Ox, il secondo è l'asse delle ordinate ed è indicato con Oy.

Rappresenteremo sempre e giaceremo sugli assi delle coordinate corrispondenti.

Definizione 10.coordinate del punto M sul piano rispetto al sistema di coordinate cartesiane (affine) (0;;) è chiamata coordinate del suo vettore raggio secondo la base:

X + y, allora i numeri xey saranno le coordinate di M relative al sistema di coordinate cartesiane (affine) (0;;). Viene chiamata la coordinata x ascissa punto M, coordinata y- ordinato punti M.

Quindi, se si sceglie un sistema di coordinate, (0;;) sul piano, allora ogni punto M del piano corrisponde a un singolo punto M sul piano: questo punto è la fine del vettore

L'introduzione di un sistema di coordinate è alla base del metodo della geometria analitica, la cui essenza è essere in grado di ridurne qualsiasi problema geometrico a problemi di aritmetica o di algebra.

Definizione 11.Coordinate vettoriali sul piano rispetto al sistema di coordinate cartesiane (0;;) sono dette le coordinate di questo vettore in base,.

Per trovare le coordinate del vettore, è necessario espanderlo in termini di base:

X+y, dove coefficienti x,y e saranno le coordinate del vettore relative a sistema cartesiano {0;;}.

Sistema di coordinate cartesiane (affine) nello spazio.

Si fissi un punto O(inizio) nello spazio e si scelga una base vettoriale

Definizione 12. Viene chiamata la raccolta (0;;;). Sistema di coordinate cartesiano nello spazio.

Definizione 13. Tre rette passanti per O e parallele ai vettori , ,, chiamato assi coordinati e denotiamo rispettivamente Oz, Oy, Oz. Rappresenteremo sempre i vettori , giacenti sui rispettivi assi.

Definizione 14.coordinate del punto M nello spazio relativo al sistema di coordinate cartesiane (0;;;) è chiamato coordinate del suo vettore raggio in questo sistema.

In altre parole, le coordinate del punto M sono tre numeri x, y, z, rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto M; la terza coordinata z è detta applicata del punto M.

L'introduzione di un sistema di coordinate cartesiane nello spazio permette di stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti M dello spazio e le triple ordinate di numeri x, y, z.

Definizione 15.Coordinate vettoriali nello spazio relativo al sistema di coordinate cartesiane (0;;;) sono le coordinate di questo vettore nella base;;.

Esempio 2

Dati tre vertici consecutivi del parallelogramma A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Trova la sua quarta coordinata D. Il sistema di coordinate è affine.

Soluzione.

I vettori sono uguali, il che significa che le loro coordinate sono uguali (coefficienti di una combinazione lineare):

= (3;2), =(4-x;-y); . Quindi D(1;-2).

Risposta: D(1;-2).

Dipendenza lineare. Concetto di base

Definizione 16. Vettori, chiamati linearmente dipendente, se ci sono numeri

Questa definizione di dipendenza lineare dei vettori equivale a questa: i vettori sono linearmente dipendenti se uno di essi può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri (o ampliato rispetto agli altri).

I vettori , sono detti linearmente dipendenti se l'uguaglianza (***) è possibile nell'unico caso in cui

Il concetto di dipendenza lineare gioca un ruolo importante nell'algebra lineare. Nell'algebra vettoriale, la dipendenza lineare ha un significato geometrico semplice.

Due vettori collineari qualsiasi sono linearmente dipendenti e, viceversa, due vettori non collineari sono linearmente indipendenti.

Tre vettori complanari sono linearmente dipendenti e, viceversa, tre vettori non complanari sono linearmente indipendenti.

Ogni quattro vettori sono linearmente dipendenti.

Definizione 17. Vengono chiamati tre vettori linearmente indipendenti la base dello spazio quelli. qualsiasi vettore può essere rappresentato come alcuni.

Definizione 18. Vengono chiamati due vettori linearmente indipendenti che giacciono su un piano base piana, quelli. qualsiasi vettore giacente su questo piano può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori.

Compiti per decisione indipendente.

vettori per trovare le coordinate in questa base.

Lezione 6

I vettori …, si dicono linearmente dipendenti se ci sono numeri , , … , tra i quali ce n'è almeno uno diverso da zero tale che

La somma dei prodotti di numeri e vettori, cioè vettore

è chiamata combinazione lineare di vettori.

Se un vettore è rappresentato come una combinazione lineare di vettori, allora si dice che anche il vettore è scomposto in vettori.

La definizione di dipendenza lineare dei vettori di cui sopra equivale a questa: i vettori sono linearmente dipendenti se uno di essi può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri (o ampliato nei termini degli altri).

Teorema 1. Perché due vettori siano linearmente dipendenti è necessario e sufficiente che siano collineari.

Prova bisogno. Dati: vettori e sono linearmente dipendenti. È necessario dimostrare che sono collineari. Poiché i vettori e sono linearmente dipendenti, ci sono numeri e che non sono uguali a zero allo stesso tempo, e tali che

Sia, per esempio, ; poi

quindi ne consegue che i vettori e sono collineari.

Dati: vettori e sono collineari. È necessario dimostrare che sono linearmente dipendenti.

Se , allora vale l'uguaglianza, il che significa che i vettori e sono linearmente dipendenti.

Se , quindi supponendo , troviamo , o ; quindi i vettori e sono linearmente dipendenti.

Tre vettori si dicono complanari se, tracciati dallo stesso punto, giacciono sullo stesso piano.

Teorema 2. Perché tre vettori , , siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che siano complanari.

Dato: i vettori , , sono linearmente dipendenti. Dobbiamo dimostrare che sono complanari.

Poiché i vettori , , sono linearmente dipendenti, esistono numeri , , , tra i quali ce n'è almeno uno; tale che

Sia, per esempio, ; poi

I vettori e sono collineari, rispettivamente, ai vettori e ; quindi la somma di tali vettori, cioè il vettore sarà complanare ai vettori e .

Prova di sufficienza. Dato: i vettori , , sono complanari. È necessario dimostrare che questi vettori sono linearmente dipendenti.

Se i vettori e sono collineari, allora sono linearmente dipendenti (Teorema 1 di questa sezione), cioè ci sono numeri e , di cui almeno uno non è uguale a zero e tali che , ma poi e , cioè i vettori , , sono linearmente dipendenti .

Siano i vettori e non siano collineari. Metti da parte i vettori e dallo stesso punto o:

Poiché i vettori , , sono complanari, i punti o, giacciono sullo stesso piano. Proietta un punto su una retta parallela alla retta; permettere Rè questa proiezione Allora e da allora

quindi, supponendo

cioè i vettori , , sono linearmente dipendenti.

Teorema 3. Qualsiasi quattro vettori , , , nello spazio sono linearmente dipendenti.

Prova. Supponiamo che i vettori , , non siano complanari. Metti da parte tutti i vettori , , , dallo stesso punto o:

Permettere R- proiezione di un punto su un piano parallelo ad una retta, e - proiezione di un punto R su una retta parallela alla retta. Quindi .

I vettori sono rispettivamente collineari ai vettori e . supponendo; ; ottenere ; ;

e quindi:

quelli. i vettori , , , sono linearmente dipendenti.

Teorema 4. Per due vettori diversi da zero e per essere collineari, è necessario e sufficiente che le loro coordinate siano proporzionali.

Dimostriamo il teorema per il caso in cui i vettori sono dati dalle loro coordinate relative al comune sistema di coordinate cartesiane nello spazio.

prova di necessità. Dati: vettori ; e collineare. È necessario dimostrare che le loro coordinate sono proporzionali.

Poiché , assumendo , otteniamo , cioè

Prova di sufficienza. Dati: coordinate dei vettori

proporzionale. È necessario dimostrare che questi vettori sono collineari.

Permettere ; cioè, , o , e quindi i vettori e sono collineari.

Teorema 5. In ordine per due vettori e , dati dalle loro coordinate relative al comune sistema di coordinate cartesiane sul piano

o relativo a un comune sistema di coordinate cartesiane nello spazio

sono collineari, è necessario e sufficiente che

(nel caso di un aereo),

(in caso di spazio).

Dimostriamo il teorema per il caso in cui i vettori e sono dati dalle loro coordinate rispetto al sistema di coordinate cartesiane generale nello spazio.

prova di necessità. Dati: vettori e sono collineari. È necessario dimostrare che le relazioni

Se i vettori sono sia diversi da zero che collineari, le loro coordinate sono proporzionali e quindi queste uguaglianze sono soddisfatte (il determinante in cui due righe sono proporzionali è uguale a zero). Se o (o ==0), allora questa uguaglianza è ovvia.

Prova di sufficienza.È dato che queste relazioni sono soddisfatte. È necessario dimostrare che i vettori e sono collineari.

Se (cioè =0), allora i vettori e sono collineari (perché il vettore zero è collineare a qualsiasi vettore). Lascia che almeno uno dei numeri sia diverso da zero, ad esempio . Permettere ; quindi e dalla relazione o (espandendo il determinante) , troviamo, , dato dalle loro coordinate relative al comune sistema di coordinate cartesiane nello spazio, appartengono ad una retta se e solo se le relazioni sono soddisfatte

Conseguenza 3. I punti , , , , dati dalle loro coordinate relative al comune sistema di coordinate cartesiane nello spazio, appartengono allo stesso piano se e solo se i vettori ; ; complanare, cioè se e solo se .