Coefficienti polinomiali. Array Influenza dei coefficienti di un polinomio cubico su un grafico

Se per un polinomio ennesimo grado trovata una radice, allora puoi abbassare il grado del polinomio costruendo un polinomio di grado che ha tutte le radici uguali alle radici del polinomio, tranne per il fatto che non ha una radice.

Scriviamo la relazione che collega i polinomi:

Tenendo conto della relazione 6.3 sull'uguaglianza di due polinomi dello stesso grado, possiamo scrivere una relazione che connette i coefficienti di questi polinomi. Queste relazioni non sono difficili da risolvere rispetto a coefficienti sconosciuti. Di conseguenza, otteniamo:

(6.4)

Nota che ci sono solo incognite e le equazioni possono essere costruite -. Ma l'ultima equazione è una conseguenza delle precedenti e serve per controllare i calcoli.

Puoi applicare lo stesso processo a un nuovo polinomio: trova la sua radice e quindi abbassa il grado del polinomio. In realtà abbassare il grado non semplifica molto il problema di trovare le radici, quindi spesso è più facile trovare le radici del polinomio originale cambiando prime approssimazioni in un processo iterativo o cercando intervalli diversi ai quali il polinomio cambia segno.

Trovare i coefficienti di un polinomio in base alle sue radici

Finora abbiamo considerato il problema di trovare le radici di un polinomio con coefficienti dati. A volte devi risolvere il problema inverso - trovare i coefficienti di un polinomio se le sue radici sono note -. Esistono infiniti polinomi con le stesse radici. Tuttavia, tra questi c'è un unico polinomio con un coefficiente uguale a uno. Questo polinomio si chiama ridotto e lo costruiremo. Tutti gli altri polinomi si ottengono dal polinomio ridotto moltiplicando tutti i coefficienti per numero arbitrario, da cui si richiede solo che non sia uguale a zero. Pertanto, per un'unica soluzione del problema, è necessario porre n radici e il coefficiente al termine più alto del polinomio. Allora possiamo scrivere la seguente uguaglianza:

Per trovare i coefficienti del polinomio utilizziamo, come di consueto, la relazione 6.3. Ma applicarlo direttamente è difficile. Pertanto, utilizziamo il processo inverso al processo di abbassamento del grado. Per prima cosa, costruiamo un polinomio di primo grado, che abbia un'unica radice. Quindi aumentiamo il grado e costruiamo un polinomio di secondo grado -, che ha una radice in più -. Continuando questo processo, raggiungiamo il polinomio richiesto. Nel calcolare i coefficienti di un nuovo polinomio, utilizzeremo i coefficienti del polinomio già calcolato di un grado in meno. Le relazioni risultanti sono vicine a quelle date per il caso di abbassamento del grado del polinomio.

I coefficienti del polinomio di primo grado sono scritti esplicitamente:

Coefficienti polinomiali k-esimo grado sono calcolati attraverso i coefficienti del polinomio di grado k-1:

Passando ai coefficienti, otteniamo le seguenti equazioni:

(6.5)

Nella relazione 6.5, i coefficienti del polinomio di grado sono indicati con . Lo schema infatti è sicuro e permette di calcolare i coefficienti nello stesso punto senza richiedere memoria aggiuntiva. Darò un algoritmo per calcolare i coefficienti di un polinomio in base alle sue radici sotto forma di uno schema vicino al linguaggio C#.

Calcolare:

//Calcola i coefficienti del polinomio di primo grado a= 1; a = -x; //esegui il ciclo sul numero di polinomi for(int k=2;k<=n; k++) { //Вычисляем коэффициенты полинома степени k //Вначале старший коэффициент a[k]= a; //затем остальные коэффициенты, кроме последнего for(int i=k-1;i>0; i--) ( a[i] = a- a[i]*x; ) //ora coefficiente basso a= -a*x; ) //L'ultimo passaggio consiste nel moltiplicare i coefficienti per un for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = a[i]*an;

Polinomio di Lagrange

Sia dato un punto sul piano: . Un polinomio di Lagrange è un polinomio dell'ennesimo grado passante per tutti i punti. Se i punti non formano ritorni, allora tale polinomio esiste ed è unico. Il ritorno è inteso come una situazione in cui ci sono due punti e tali che .

Come costruire un tale polinomio? Lagrange ha proposto il seguente algoritmo. Il polinomio si costruisce come somma di polinomi dell'ennesimo grado:

Ciascuno dei polinomi inclusi nella somma è costruito come segue. Le radici del polinomio sono tutti punti tranne il punto. L'unicità è assicurata dal fatto che il coefficiente al termine più alto an è scelto in modo che il polinomio passi per il punto. Nella notazione di Lagrange, il polinomio si presenta così.

LABORATORIO #7

INTERPOLAZIONE DI UNA FUNZIONE PER POLINOMI

LAGRANGE

L'obiettivo. Calcola il valore approssimativo della funzione per un dato valore dell'argomento x* usando il polinomio di interpolazione di Lagrange; tracciare il polinomio di Lagrange attraverso i sei punti dati.

Breve descrizione del metodo.

Iniziamo col considerare il problema dell'interpolazione nel caso più semplice e più investigato dell'interpolazione per polinomi algebrici. Per una data tabella di dati)

polinomio di interpolazione se soddisfa le condizioni

L'uguaglianza (7.2) può essere scritta come un sistema di equazioni

rispetto ai coefficienti del polinomio un a. Questo sistema è risolvibile in modo univoco, poiché il sistema di funzioni 1, x, x 2,…x n linearmente indipendente nei punti x 0, x e .x pag. La solvibilità unica del sistema (7.3) deriva dal fatto ben noto che il determinante di tale sistema ( determinante di Vandermonde)

diverso da zero se i nodi di interpolazione sono distinti a coppie. Quindi vale il seguente teorema.

Teorema 7.1.Esiste un unico polinomio di interpolazione di grado n che soddisfa le condizioni(7.2).

Commento. In pratica, il sistema (7.3) non viene mai utilizzato per calcolare i coefficienti del polinomio di interpolazione. Il fatto è che spesso è mal condizionato. Inoltre, ci sono varie convenienti forme esplicite di scrittura del polinomio di interpolazione, che vengono utilizzate nell'interpolazione. Infine, nella maggior parte delle applicazioni del polinomio di interpolazione, il calcolo esplicito dei coefficienti un a non c'è bisogno.

Problema di interpolazione consiste nel costruire una funzione (x) che soddisfi la condizione In altre parole, il compito è costruire una funzione il cui grafico passi per i punti dati (xi ,yi) Poiché la funzione (x) passa per tutti i punti dati, questo metodo è chiamata interpolazione globale. Il caso più semplice e più approfondito è l'interpolazione di polinomi algebrici. Una delle forme di scrittura del polinomio di interpolazione -Polinomio di Lagrange:

Come è facile vedere, è un polinomio che soddisfa le condizioni

Pertanto, il polinomio di Lagrange è effettivamente un polinomio di interpolazione.

Nella pratica ingegneristica, viene spesso utilizzata l'interpolazione per polinomi di primo, secondo e terzo grado. Ecco le formule corrispondenti per scrivere i polinomi di Lagrange di primo e secondo grado:

Esempio 7.1. Sia data la tabella dei valori delle funzioni a=lnx:

X	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
In	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,336472

Per un calcolo approssimativo del valore di ln(1.23), utilizziamo l'interpolazione lineare e quadratica.

Prendiamo x 0 \u003d 1.2 e x 1 \u003d 1.3. Il calcolo con la formula (7.4) fornisce il valore 1n(1.23) 0.206335 .

Per applicare l'interpolazione quadratica, prendi x 0 \u003d 1.1, x 1 \u003d 1.2, x 2 \u003d 1.3 - i tre più vicini al punto x \u003d 1.23

nodo. Calcolando con la formula (7.5), abbiamo 1n(1.23) 0.207066.

Presentiamo senza dimostrazione il più famoso teorema sull'errore di interpolazione.

Teorema 7.1. Lascia che la funzione f(x) differenziabile n+1

una volta in un segmento [a, b], contenente nodi di interpolazione Quindi per l'errore di interpolazione nel punto equa uguaglianza

in quale

- un punto appartenente all'intervallo (a,b).

L'inconveniente principale nell'uso di questo teorema è che il punto è sconosciuto. Pertanto, molto spesso non viene utilizzato il teorema stesso, ma il suo corollario.

Conseguenza.Una stima equa dell'errore di interpolazione al punto , avendo la forma

nonché una stima del modulo massimo dell'errore di interpolazione sul segmento, che ha la forma

Esempio 7.2. Stimiamo l'errore di approssimazione a

ln(1,23), ottenuto nell'Esempio 7.1 mediante interpolazione per polinomi di primo e secondo grado. In questi casi prende forma la disuguaglianza (7.7).

Nota che per noi abbiamo e . Ecco

Quindi, a causa delle disuguaglianze (7.9) e (7.10), otteniamo le seguenti stime di errore:

Se sul segmento , la derivata cambia leggermente, quindi l'entità dell'errore assoluto è quasi completamente determinata dal valore della funzione . Un'idea del comportamento tipico di questa funzione può essere ricavata dalla Fig. 1. Prestiamo attenzione al fatto che quando l'argomento x va oltre il segmento di osservazione, il valore diventa rapidamente molto grande. Questo spiega l'inaffidabilità dell'estrapolazione della funzione per i valori degli argomenti che sono lontani dal segmento di osservazione.

Lascia ora e lascia io esimo passo della tabella, e stima leggermente grossolana (7.8), possiamo ottenere la seguente disuguaglianza

Ci permette di affermare che per una funzione sufficientemente liscia per un grado fisso del polinomio di interpolazione, l'errore di interpolazione sul segmento [x 0 , x n ] tende a zero non più lentamente di un valore proporzionale a . Questo fatto è solitamente formulato come segue: interpolazione per un polinomio di grado P ha (n+1)-esimo ordine di precisione rispetto a h max . In particolare, l'interpolazione lineare e quadratica sono rispettivamente del secondo e del terzo ordine di accuratezza.

Opzioni	X*	x io	si io	Opzioni	X*	x io	si io
	0,702	0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973		0,152	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
	0,512		0,174
	0,645		0,185
	0,736		0,203
	0,526	0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64	2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310		0,616	0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72	2,57418 2,32513 2,09336 1,?6203 1,74260 1,62098
	0,453		0,478
. 15	0,482		0,665
	0,552		0,537
	0,896	0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99	0.80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368		0,314	0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0.40	9,05421 6,61659 4,69170 3,35106 2,73951 2,36522
	0,812		0,235
	0,774		0,332
	0,915		0,275

Algoritmo di programma

Usa i moduli crt e grafico;

definizione di variabili;

inizio della parte eseguibile del programma

impostare i valori degli elementi dell'array x[i] e y[i]; impostare il valore dell'argomento xz; yz = 0; in un ciclo per io da 0 a 5 fare

| in un loop over ] da 0 a 5 esegue if * / then |xx =xx (хz - x[j]/(x[i] - x[j]);

| yz=yz+y[i] x x

fine ciclo io;

visualizzazione dei valori xz e uz;.

in attesa che venga premuto il tasto Invio;

passare alla modalità grafica;

immagine di punti dati (х i , у i);

immagine del grafico del polinomio di Lagrange;

in attesa della pressione di un tasto qualsiasi a fine programma.

Istruzione. Se stai lavorando in modalità grafica, usa i programmi dei laboratori precedenti.

domande di prova

1. Qual è il compito dell'interpolazione?

2. Quale polinomio è chiamato polinomio di interpolazione?

3. Qual è la differenza tra interpolazione globale e locale?

4. In che modo il grado del polinomio di interpolazione di Lagrange dipende dal numero di nodi?

5. Quanti polinomi esistono che soddisfano la condizione di interpolazione?

6. Quali sono gli svantaggi del polinomio di interpolazione di Lagrange?

7. Come viene stimato l'errore di interpolazione?

8. Come cambia la precisione dell'interpolazione a seconda della distanza dal segmento di osservazione e perché?

Il rapporto dovrebbe contenere i dati iniziali, la dichiarazione del problema, le informazioni sul metodo di soluzione, il testo del programma, i risultati ottenuti e il grafico.

Adatta curve e superfici ai dati utilizzando la regressione, l'interpolazione e l'arrotondamento

Curve Fitting Toolbox™ fornisce un'applicazione e funzioni per adattare curve e superfici ai dati. La casella degli strumenti consente di eseguire analisi esplorative dei dati, preelaborare e postelaborare i dati, confrontare i modelli candidati e rimuovere i valori anomali. È possibile eseguire un'analisi di regressione utilizzando una libreria di modelli lineari e non lineari fornita oppure definire le proprie equazioni. La libreria fornisce parametri risolutori ottimizzati e condizioni di partenza per migliorare la qualità dei tuoi adattamenti. Il toolbox supporta anche tecniche di modellazione non parametriche come spline, interpolazione e smoothing.

Una volta creato un adattamento, è possibile applicare una varietà di tecniche di post-elaborazione per il tracciamento, l'interpolazione e l'estrapolazione; stima degli intervalli di confidenza; e calcolare integrali e derivate.

Inizio del lavoro

Impara le nozioni di base della casella degli strumenti di adattamento della curva

Regressione lineare e non lineare

Adatta curve o superfici con modelli di librerie lineari e non lineari e modelli personalizzati

Interpolazione

Adatta curve o superfici di interpolazione, stima valori tra punti dati noti

Levigante

Adatto per l'uso di slot di livellamento e regressione localizzata, dati uniformi con media mobile e altri filtri

Post-elaborazione adeguata

Tracciamento, valori anomali, residui, intervalli di confidenza, dati di convalida, integrali e derivati, generano codice MATLAB®

Spline

Crea spline con o senza dati; ppform, B-form, prodotto tensoriale, spline di lastre sottili razionali e stform

Coefficienti polinomiali

Quote multinomiali sono i coefficienti di espansione in termini di monomi :

Il valore del coefficiente multinomiale definito per tutti gli interi non negativi n e tale che:

Coefficiente binomiale per non negativo n,Kè un caso speciale del coefficiente multinomiale (per m= 2 ), vale a dire

In senso combinatorio, il coefficiente multinomiale è uguale al numero di partizioni ordinate n-elemento inserito m sottoinsiemi di potenza.

Proprietà

Guarda anche

Fondazione Wikimedia. 2010.

Guarda cosa sono i "Coefficienti polinomiali" in altri dizionari:

- (dall'inglese spline, da spline a flexible pattern, una striscia di metallo usata per disegnare linee curve) una funzione il cui dominio di definizione è suddiviso in un numero finito di segmenti, su ciascuno dei quali la spline coincide con alcuni ... ... Wikipedia

Coefficienti di coefficienti multinomiali (polinomiali) in espansione monomio: formula esplicita Il valore del coefficiente multinomiale ... Wikipedia

"Polinomiale" reindirizza qui; vedi anche altri significati. Un polinomio (o polinomio) in n variabili è una somma formale finita della forma in cui è presente un insieme di interi non negativi (chiamati multi-indice), il numero ... ... Wikipedia

In matematica, i polinomi oi polinomi in una variabile sono funzioni della forma in cui ci sono coefficienti fissi e x è una variabile. I polinomi costituiscono una delle classi più importanti di funzioni elementari. Lo studio delle equazioni polinomiali e delle loro soluzioni ... ... Wikipedia

Viene chiamata una tabella rettangolare composta da t righe ed n colonne, i cui elementi appartengono a un insieme K. Viene chiamata la tabella (1). anche una matrice su K, o una matrice di dimensione su K. Sia la raccolta di tutte le matrici su K. Se m = n, allora (1) chiama quadrato ... ... Enciclopedia matematica

In si osserva che nel caso in cui la caratteristica di un elemento non lineare sia approssimata da un'espressione contenente più di tre punti, è opportuno scegliere il valore della funzione a valori equidistanti dell'argomento. Inoltre, se il numero di punti dati supera il numero di coefficienti di approssimazione da determinare, si consiglia di utilizzare il "metodo dei minimi quadrati", in cui l'errore quadratico medio della radice è minimo, cioè con questo metodo la somma delle deviazioni al quadrato di un polinomio di un dato grado dalla curva è la più piccola.

In accordo con ciò, nonostante i programmi informatici esistenti, è consigliabile fornire una breve ricetta per l'utilizzo di questo metodo, che consentirà allo studente di comprendere l'essenza matematica del metodo e, utilizzando semplici microcalcolatori, eseguire qualsiasi approssimazione in modo ottimale e breve volta.

In esso si nota che è molto razionale calcolare i coefficienti di un polinomio con il metodo dei minimi quadrati usando quelli introdotti da Yu.B. Kobzarev di polinomi ortogonali per un dato numero N di punti equidistanti.

Indichiamo con il polinomio di grado l. Allora il sistema dei polinomi sarà ortogonale per un dato numero di punti, se ce ne sono
uguaglianza

. (16)

Utilizzando i noti polinomi ortogonali di Chebyshev secondo il metodo di Yu.B. Kobzarev ha trovato tutti e sette i polinomi che formano un tale sistema sull'intervallo
per N=11 punti equidistanti, cioè a
; –0,8; … 0 … 0,8; 1.0 abbiamo:

(17)

Il sistema (17) di polinomi ortogonali ha la notevole proprietà che l'espansione di una data funzione nei loro termini fornisce la migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Pertanto, al posto, ad esempio, dell'espressione (18) per il coefficiente di trasferimento di tensione
a coefficienti sconosciuti, può essere scritto come somma (19) dei polinomi di cui sopra:

(18)

. (19)

Qui Rè il grado del polinomio; Rè un numero intero uguale al numero del termine; è un coefficiente avente la dimensione
, che può essere chiamata la pendenza dell'ordine R, cioè. c'è una pendenza di ordine zero, - primo ordine, ecc.

Il valore qui incluso X proporzionale alla tensione
, contato a partire dalla metà della sezione di approssimazione
, cioè. quando cambia
entro
,X varia da -1 a 1, quindi

. (20)

Per determinare il coefficiente
in (19) moltiplichiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per il polinomio
e somma su tutti i punti . Quindi, usando la proprietà di ortogonalità (16), troviamo

. (21)

, (22)

dove
è il polinomio normalizzato

. (23)

Poiché il nodo zero corrisponde all'estremità sinistra della sezione di approssimazione, cioè
, allora la somma (22) può essere convenientemente divisa in somme, dove X<0 и X>0, poiché i polinomi pari ( R= 0, 2, 4, 6) non differiscono in queste aree e dispari ( R=1, 3, 5, 7) differiscono solo per i segni. A questo proposito, è opportuno introdurre una dispari
e persino
componenti di guadagno A:

(24)

dove
- cambia passaggio X(nel nostro caso con n=11
);

- il valore del guadagno in punti
.

Ora invece di somme su valori positivi e negativi è possibile prendere somme solo su quelle positive utilizzando le componenti pari e dispari del guadagno. Quindi

(25)

Riassumendo nella tabella. 1 valori del coefficiente di polinomi normalizzati
e usandoli, è facile trovare i coefficienti
secondo le formule (25), quindi in (19) raggruppare i termini per poteri X e si passa alla rappresentazione del guadagno sotto forma di polinomio in potenze
. I coefficienti di questo polinomio saranno scelti nel migliore dei modi nel senso dei minimi quadrati, in cui la curva sperimentale
si fonderà praticamente con la curva teorica
.

Considereremo il calcolo dei coefficienti del polinomio utilizzato nell'analisi armonica per determinare i coefficienti ei parametri della non linearità e, infine, per selezionare la modalità ottimale del dispositivo di amplificazione utilizzando un esempio specifico.

Tabella 1