Tormentando a scuola per la risoluzione di equazioni nelle lezioni di matematica, molti studenti sono spesso sicuri di perdere tempo e, nel frattempo, una tale abilità tornerà utile nella vita non solo per coloro che decideranno di seguire le orme di Cartesio, Eulero o Lobachevskij.

In pratica, ad esempio, in medicina o in economia, ci sono spesso situazioni in cui uno specialista deve scoprire quando la concentrazione del principio attivo di un determinato farmaco raggiunge il livello richiesto nel sangue del paziente, oppure è necessario calcolare il tempo necessario affinché una determinata attività diventi redditizia.

Molto spesso, stiamo parlando di risolvere equazioni non lineari vari tipi. Per farlo il più rapidamente possibile, soprattutto con l'uso dei computer, i metodi numerici lo consentono. Sono ben studiati e hanno da tempo dimostrato la loro efficacia. Tra questi c'è il metodo della tangente di Newton, che è l'argomento di questo articolo.

Formulazione del problema

In questo caso esiste una funzione g, che è definita sul segmento (a, b) e lo assume determinati valori, ovvero ciascuna x appartenente a (a, b) può essere associata numero specifico g(x).

È necessario stabilire tutte le radici dell'equazione dall'intervallo tra i punti aeb (comprese le estremità), per cui la funzione è impostata a zero. Ovviamente questi saranno i punti di intersezione di y = g(x) con OX.

In alcuni casi è più conveniente sostituire g(x)=0 con uno simile, g 1 (x) = g 2 (x). In questo caso, le ascisse (valore x) dei punti di intersezione dei grafici g 1 (x) e g 2 (x) fungono da radici.

La soluzione di un'equazione non lineare è importante anche per problemi di ottimizzazione per i quali la condizione estremo locale- conversione a 0 della derivata della funzione. In altre parole, un tale problema può essere ridotto a trovare le radici dell'equazione p(x) = 0, dove p(x) è identico a g"(x).

Metodi di soluzione

Per alcuni tipi di equazioni non lineari, come equazioni quadrate o semplici trigonometriche, le radici possono essere trovate in modi abbastanza semplici. In particolare ogni studente conosce le formule, utilizzando le quali si possono facilmente trovare i valori dell'argomento dei punti dove si azzera il trinomio quadrato.

I metodi per estrarre le radici delle equazioni non lineari sono generalmente divisi in analitici (diretti) e iterativi. Nel primo caso, la soluzione desiderata ha la forma di una formula, utilizzando la quale, per un certo numero di operazioni aritmetiche, è possibile trovare il valore delle radici desiderate. Metodi simili sono stati sviluppati per esponenziale, trigonometrico, logaritmico e semplice equazioni algebriche. Per il resto, bisogna usare metodi numerici speciali. Sono facili da implementare con l'aiuto dei computer, che consentono di trovare le radici con la precisione richiesta.

Tra questi c'è il cosiddetto metodo numerico delle tangenti, quest'ultimo proposto dal grande scienziato Isaac Newton alla fine del XVII secolo. Nei secoli successivi il metodo fu più volte migliorato.

Localizzazione

I metodi numerici per la risoluzione di equazioni complesse che non hanno soluzioni analitiche vengono generalmente eseguiti in 2 fasi. Per prima cosa devi localizzarli. Questa operazione consiste nel trovare tali segmenti su OX su cui esiste una radice dell'equazione da risolvere.

Consideriamo un segmento. Se g(x) su di esso non ha discontinuità e assume valori di segni diversi ai punti finali, allora tra aeb o in se stessi c'è almeno 1 radice dell'equazione g(x) = 0. Affinché possa essere unico, è necessario che g(x) fosse monotono. Come è noto, avrà tale proprietà a condizione che g'(x) sia di segno costante.

In altre parole, se g(x) non ha discontinuità e aumenta o diminuisce monotonicamente, e i suoi valori ai punti finali non hanno gli stessi segni, allora c'è 1 e solo 1 radice g(x).

In questo caso, dovresti sapere che questo criterio non funzionerà per le radici di equazioni multiple.

Risolvere l'equazione dividendo a metà

Prima di considerare tangenti numeriche più complesse e le sue varietà), vale la pena conoscerne di più in modo semplice identificare le radici. Si chiama dicotomia e si riferisce al ritrovamento intuitivo delle radici basato sul teorema che se per g (x), continuo su, è soddisfatta la condizione di segni diversi, allora sul segmento in esame c'è almeno 1 radice g ( x) = 0.

Per trovarlo, devi dividere il segmento a metà e designare punto medio come x 2 . Quindi sono possibili due opzioni: g (x 0) * g (x 2) o g (x 2) * g (x 1) sono uguali o inferiori a 0. Scegliamo quella per cui una di queste disuguaglianze è vera. Ripetiamo la procedura sopra descritta finché la lunghezza non diventa inferiore a un certo valore preselezionato che determina l'accuratezza della determinazione della radice dell'equazione su .

I vantaggi del metodo includono la sua affidabilità e semplicità, e lo svantaggio è la necessità di identificare inizialmente i punti in cui g(x) assume segni diversi, quindi non può essere utilizzato per le radici anche con molteplicità. Inoltre, non si generalizza al caso di un sistema di equazioni o quando si tratta di radici complesse.

Esempio 1

Vogliamo risolvere l'equazione g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Per non cercare a lungo un segmento adatto, costruiamo un grafico usando, ad esempio, il noto programma Excel . Vediamo che è meglio prendere valori dall'intervallo come segmento per localizzare la radice. Possiamo essere sicuri che su di essa esiste almeno una radice dell'equazione desiderata.

g "(x) \u003d 10x 4 + 1, ad es. questa è una funzione monotonicamente crescente, quindi c'è solo 1 radice sul segmento selezionato.

Sostituisci i punti finali nell'equazione. Abbiamo rispettivamente 0 e 1. Al primo passaggio, prendiamo il punto 0.5 come soluzione. Quindi g(0,5) = -0,4375. Quindi, sarà il prossimo segmento da dividere a metà. Il suo punto medio è 0,75. In esso, il valore della funzione è 0,226. Prendiamo in considerazione il segmento e il suo punto medio, che si trova nel punto 0,625. Calcola il valore di g(x) su 0,625. È uguale a -0,11, cioè negativo. Sulla base di questo risultato, scegliamo il segmento . Otteniamo x = 0,6875. Allora g(x) = -0,00532. Se l'accuratezza della soluzione è 0,01, possiamo supporre che il risultato desiderato sia 0,6875.

Base teorica

Questo metodo per trovare le radici usando il metodo della tangente di Newton è popolare a causa della sua convergenza molto veloce.

Si basa sul fatto provato che se xn è un'approssimazione di una radice f(x)=0 tale che f" C 1 , allora l'approssimazione successiva sarà nel punto in cui l'equazione della tangente a f(x) svanisce , cioè

Sostituisci x = x n+1 e poni y a zero.

Quindi la tangente si presenta così:

Esempio 2

Proviamo ad utilizzare il classico metodo della tangente di Newton e troviamo una soluzione a qualche equazione non lineare che è difficile o impossibile da trovare analiticamente.

Sia richiesto di rivelare le radici per x 3 + 4x - 3 = 0 con una certa precisione, ad esempio 0,001. Come sapete, il grafico di qualsiasi funzione nella forma di un polinomio di grado dispari deve attraversare l'asse OX almeno una volta, cioè non c'è motivo di dubitare dell'esistenza delle radici.

Prima di risolvere il nostro esempio usando il metodo della tangente, tracciamo f (x) \u003d x 3 + 4x - 3 punto per punto. Questo è molto facile da fare, ad esempio, utilizzando un foglio di calcolo Excel. Dal grafico risultante, si vedrà che si interseca con l'asse OX e la funzione y \u003d x 3 + 4x - 3 aumenta monotonicamente. Possiamo essere sicuri che l'equazione x 3 + 4x - 3 = 0 ha una soluzione ed è unica.

Algoritmo

Qualsiasi soluzione di equazioni con il metodo della tangente inizia con il calcolo di f "(x). Abbiamo:

Quindi la derivata seconda apparirà come x * 6.

Usando queste espressioni, possiamo scrivere una formula per identificare le radici dell'equazione usando il metodo della tangente nella forma:

Successivamente, è necessario scegliere un'approssimazione iniziale, cioè determinare quale punto considerare come punto di partenza (rev. x 0) per il processo iterativo. Consideriamo le estremità del segmento. Quello per cui è vera la condizione della funzione e la sua derivata 2a in x 0 è adatto a noi. Come puoi vedere, quando si sostituisce x 0 = 0, viene violato, ma x 0 = 1 è abbastanza adatto.

allora se siamo interessati alla soluzione con il metodo delle tangenti con accuratezza e, allora il valore di x n può essere considerato soddisfacente ai requisiti del problema, a patto che la disuguaglianza |f(x n) / f'(x n)|< e.

Al primo passo delle tangenti abbiamo:

x 1 \u003d x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) \u003d 1- 0,2857 \u003d 0,71429;
poiché la condizione non è soddisfatta, andiamo oltre;
otteniamo un nuovo valore per x 2 , che è uguale a 0,674;
notiamo che il rapporto tra il valore della funzione e la sua derivata in x 2 è inferiore a 0,0063, fermiamo il processo.

Metodo tangente in Excel

Puoi risolvere l'esempio precedente in modo molto più semplice e veloce se non esegui calcoli manualmente (su una calcolatrice), ma utilizzi le capacità di un elaboratore di fogli di calcolo di Microsoft.

Per fare ciò, in Excel, è necessario creare nuova pagina e riempi le sue celle con le seguenti formule:

in C7 scriviamo "= POTENZA (B7; 3) + 4 * B7 - 3";
in D7 inseriamo "= 4 + 3 * GRADI (B7; 2)";
in MI7 scriviamo "= (POWER (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * POWER (B7; 2) + 4)";
in D7 inseriamo l'espressione "= B7 - E7";
in B8 inseriamo la formula-condizione “= IF (E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

In un'attività specifica, già nella cella B10, apparirà la scritta "Completamento delle iterazioni" e per risolvere il problema dovrai prendere il numero scritto nella cella situata una riga sopra. Per questo, puoi anche selezionare una colonna "estensibile" separata inserendo lì una formula condizionale, in base alla quale il risultato verrà scritto lì se il contenuto nell'una o nell'altra cella della colonna B assume la forma "Completamento delle iterazioni".

Implementazione in Pascal

Proviamo a ottenere la soluzione dell'equazione non lineare y = x 4 - 4 - 2 * x usando il metodo della tangente in Pascal.

Utilizziamo una funzione ausiliaria che ci aiuterà a eseguire un calcolo approssimativo f "(x) \u003d (f (x + delta) - f (x)) / delta. Come condizione per completare il processo iterativo, sceglieremo il compimento della disuguaglianza | x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Il programma è notevole in quanto non richiede il calcolo manuale della derivata.

metodo degli accordi

Considera un altro modo per identificare le radici delle equazioni non lineari. Il processo di iterazione consiste nel fatto che come approssimazioni successive alla fondamentale voluta per f(x)=0, vengono presi i valoridei punti di intersezione della corda con le ascisse dei punti finali aeb con OX , indicato come x 1 , ..., xn . Abbiamo:

Per il punto in cui la corda si interseca con l'asse OX, l'espressione sarà scritta come:

Sia la derivata seconda positiva per x £ (il caso opposto si riduce a quello in esame se scriviamo f(x) = 0). In questo caso, il grafico y \u003d f (x) è una curva convessa nella parte inferiore e situata sotto la corda AB. I casi possono essere 2: quando la funzione è positiva al punto a oppure è negativa al punto b.

Nel primo caso, scegliamo l'estremità a come fissa e prendiamo il punto b per x 0. Quindi approssimazioni successive secondo la formula presentata sopra formano una sequenza che decresce monotonicamente.

Nel secondo caso, l'estremità b è fissata a x 0 = a. I valori x ottenuti ad ogni passaggio dell'iterazione formano una sequenza che aumenta in modo monotono.

Possiamo quindi affermare che:

fissata nel metodo degli accordi è quell'estremità del segmento dove i segni della funzione e la sua derivata seconda non coincidono;
approssimazioni per la radice x - x m - giacciono da essa sul lato dove f (x) ha un segno che non coincide con il segno di f "" (x).

Le iterazioni possono essere continuate fino a quando le condizioni per la vicinanza delle radici non sono soddisfatte in questo e nel passaggio dell'iterazione precedente modulo abs(x m - x m - 1)< e.

Metodo modificato

Il metodo combinato di accordi e tangenti consente di stabilire le radici dell'equazione, avvicinandole da lati diversi. Tale valore, in corrispondenza del quale il grafico f(x) interseca OX, consente di affinare la soluzione molto più rapidamente rispetto all'utilizzo di ciascuno dei metodi separatamente.

Supponiamo di dover trovare le radici f(x)=0 se esistono su . È possibile utilizzare uno qualsiasi dei metodi sopra descritti. Tuttavia, è meglio provare una loro combinazione, che aumenterà significativamente la precisione della radice.

Consideriamo il caso con un'approssimazione iniziale corrispondente alla condizione che la prima e la seconda derivata abbiano segni diversi in un particolare punto x.

In tali condizioni, la soluzione di equazioni non lineari con il metodo della tangente consente di trovare una radice con un eccesso se x 0 =b, e il metodo che utilizza accordi all'estremità fissa b porta a trovare una radice approssimativa con uno svantaggio.

Formule utilizzate:

Ora la radice x desiderata deve essere cercata nell'intervallo. Nel passaggio successivo, devi già applicare il metodo combinato a questo segmento. Procedendo in questo modo, otteniamo formule della forma:

Se c'è differenza di segno tra la prima e la seconda derivata, allora, ragionando in modo simile, per affinare la radice, otteniamo le seguenti formule ricorsive:

Come condizione, la disuguaglianza stimata | b n +1 - un n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Se la disuguaglianza di cui sopra è vera, allora la radice dell'equazione non lineare su un dato intervallo viene presa come un punto che si trova esattamente nel mezzo tra le soluzioni trovate in un particolare passaggio iterativo.

Il metodo combinato è facilmente implementabile nell'ambiente TURBO PASCAL. Con un forte desiderio, puoi provare a eseguire tutti i calcoli utilizzando il metodo tabulare nel programma Excel.

In quest'ultimo caso vengono selezionate più colonne per risolvere il problema mediante accordi e separatamente per il metodo proposto da Isaac Newton.

In questo caso, ogni riga viene utilizzata per registrare i calcoli in un passaggio iterativo specifico per due metodi. Quindi, nella parte sinistra dell'area della soluzione, nella pagina di lavoro attiva, viene evidenziata una colonna in cui viene inserito il risultato del calcolo del modulo della differenza nei valori del passaggio di iterazione successivo per ciascuno dei metodi. Un altro può essere utilizzato per inserire i risultati dei calcoli secondo la formula di calcolo della costruzione logica "IF", utilizzata per scoprire se la condizione è soddisfatta o meno.

Ora sai come risolvere equazioni complesse. Il metodo della tangente, come hai già visto, è implementato in modo molto semplice, sia in Pascal che in Excel. Pertanto, puoi sempre stabilire le radici di un'equazione difficile o impossibile da risolvere utilizzando le formule.

Tutte le persone cercano naturalmente la conoscenza. (Aristotele. Metafisica)

Metodi numerici: risoluzione di equazioni non lineari

I problemi di risoluzione delle equazioni sorgono costantemente in pratica, ad esempio, in economia, quando si sviluppa un'impresa, si desidera sapere quando il profitto raggiunge un certo valore, in medicina, quando si studia l'effetto dei farmaci, è importante sapere quando la concentrazione di una sostanza raggiunge un determinato livello, ecc.

Nei problemi di ottimizzazione è spesso necessario determinare i punti in cui la derivata di una funzione diventa 0, condizione necessaria Locale estremo.

In statistica, quando si costruiscono stime usando il metodo dei minimi quadrati o il metodo della massima verosimiglianza, si devono anche risolvere equazioni non lineari e sistemi di equazioni.

Quindi, c'è un'intera classe di problemi relativi alla ricerca di soluzioni non lineare equazioni, ad esempio equazioni o equazioni, ecc.

Nel caso più semplice, abbiamo una funzione definita sull'intervallo ( un, b ) e assumendo determinati valori.

Ogni valore X da questo segmento possiamo abbinare il numero , questo è funzionale dipendenza, un concetto chiave della matematica.

Dobbiamo trovare un tale valore al quale siano chiamati le radici della funzione

Visivamente, dobbiamo determinare il punto di intersezione del grafico della funzionecon l'asse delle ascisse.

Metodo di bisezione

Il metodo più semplice per trovare le radici di un'equazione è il metodo di bisezione, o dicotomia.

Questo metodo è intuitivo e tutti agirebbero in modo simile quando risolvono un problema.

L'algoritmo è il seguente.

Supponiamo di aver trovato due punti e tali e di averlo diverso segni, allora tra questi punti c'è almeno una radice della funzione .

Dividi il segmento a metà ed entra mezzo punto .

Allora neanche , o .

Lasciamo quella metà del segmento per cui i valori alle estremità hanno segni diversi. Ora dividiamo nuovamente questo segmento a metà e lasciamo quella parte di esso, sui cui limiti la funzione ha segni diversi, e così via, per ottenere la precisione richiesta.

Ovviamente, restringeremo gradualmente l'area in cui si trova la radice della funzione e, quindi, la determineremo con un certo grado di accuratezza.

Si noti che l'algoritmo descritto è applicabile a qualsiasi funzione continua.

I vantaggi del metodo di bisezione includono la sua elevata affidabilità e semplicità.

Lo svantaggio del metodo è il fatto che prima di iniziare la sua applicazione, è necessario trovare due punti, i valori della funzione in cui hanno segni diversi. È ovvio che il metodo non è applicabile a radici di molteplicità pari e non può essere nemmeno generalizzato al caso di radici complesse ea sistemi di equazioni.

L'ordine di convergenza del metodo è lineare, ad ogni passo l'accuratezza raddoppia, più iterazioni vengono fatte, più accuratamente viene determinata la radice.

Il metodo di Newton: fondamenti teorici

Metodo classico di Newton o tangenti sta nel fatto che if è una qualche approssimazione alla radice dell'equazione , quindi l'approssimazione successiva è definita come la radice della tangente alla funzione disegnata nel punto.

L'equazione della tangente ad una funzione in un punto ha la forma:

Nell'equazione tangente, mettiamo e .

Quindi l'algoritmo dei calcoli sequenziali nel metodo di Newton è il seguente:

La convergenza del metodo della tangente è quadratica, l'ordine di convergenza è 2.

Pertanto, la convergenza del metodo della tangente di Newton è molto veloce.

Ricorda questo fatto meraviglioso!

Senza alcuna modifica, il metodo è generalizzato al caso complesso.

Se la radice è una radice della seconda molteplicità o superiore, l'ordine di convergenza diminuisce e diventa lineare.

Esercizio 1. Usando il metodo delle tangenti, trova la soluzione dell'equazione sull'intervallo (0, 2).

Esercizio 2. Usando il metodo delle tangenti, trova la soluzione dell'equazione sull'intervallo (1, 3).

Gli svantaggi del metodo di Newton includono la sua località, poiché è garantito che converge per un'approssimazione iniziale arbitraria solo se la condizione , altrimenti c'è convergenza solo in qualche intorno della radice.

Lo svantaggio del metodo di Newton è la necessità di calcolare le derivate ad ogni passaggio.

Visualizzazione del metodo di Newton

Il metodo di Newton (metodo della tangente) viene applicato se l'equazione F(X) = 0 ha una radice e sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1) funzione y= F(X) è definito e continuo per ;

2) F(un)· F(B) < 0 (la funzione assume valori di segni diversi alle estremità del segmento [ un; B]);

3) derivati F"(X) e F""(X) tieni il segno sul segmento [ un; B] (cioè funzione F(X) aumenta o diminuisce sul segmento [ un; B], pur mantenendo la direzione della convessità);

L'idea principale del metodo è la seguente: sul segmento [ un; B] viene scelto un tale numero X 0 , sotto il quale F(X 0 ) ha lo stesso segno di F"" (X 0 ), cioè, la condizione F(X 0 )· F"" (X) > 0 . Pertanto, viene scelto un punto con un'ascissa X 0 , dove la tangente alla curva y= F(X) sul segmento [ un; B] incrocia l'asse Bue. Per un punto X 0 Innanzitutto, è conveniente scegliere una delle estremità del segmento.

Considera il metodo di Newton su un esempio specifico.

Diamo una funzione crescente y \u003d f (x) \u003d x 2 -2, continuo sull'intervallo (0;2) e avente F"(x) = 2 X > 0 e F "" (x) = 2 > 0 .

Foto1 . f(x)=x 2 -2

Equazione tangente in vista generale ha la rappresentazione:

y-y 0 = f" (x 0) (x-x 0).

Nel nostro caso: y-y 0 \u003d 2x 0 (x-x 0). Come punto x 0 scegli un punto B 1 (b; f(b)) = (2,2). Tracciamo una tangente alla funzione y = f(x) nel punto B 1 , e denotare il punto di intersezione della tangente e dell'asse Bue punto x 1. Otteniamo l'equazione della prima tangente: y-2=2 2(x-2), y=4x-6.

Bue: x 1 =

Foto2. Risultato della prima iterazione

y=f(x) Bue attraverso un punto x 1, otteniamo un punto B 2 =(1,5; 0,25). Disegna di nuovo una tangente alla funzione y = f(x) nel punto B 2, e denotare il punto di intersezione della tangente e dell'asse Bue punto x2.

Equazione della seconda tangente: y-0.25=2*1.5(X-1.5), y = 3 X - 4.25.

Punto di intersezione tra tangente e asse Bue: x 2 =.

Foto3. Seconda iterazione del metodo di Newton

Quindi troviamo il punto di intersezione della funzione y=f(x) e una perpendicolare all'asse Bue per il punto x 2 otteniamo il punto B 3 e così via.

Foto4. Il terzo passo del metodo della tangente

La prima approssimazione della radice è determinata dalla formula:

= 1.5.

La seconda approssimazione della radice è determinata dalla formula:

La terza approssimazione della radice è determinata dalla formula:

In questo modo , io-esima approssimazione della radice è determinata dalla formula:

I calcoli vengono eseguiti fino a quando le cifre decimali necessarie nella risposta corrispondono o viene raggiunta l'accuratezza e specificata - fino a quando la disuguaglianza non viene soddisfatta | xi- xi-1 | < e.

Nel nostro caso confrontiamo l'approssimazione ottenuta nel terzo passaggio con la risposta reale calcolata sulla calcolatrice:

Figura 5. Radice di 2 calcolata su una calcolatrice

Come puoi vedere, già al terzo passaggio abbiamo ricevuto un errore inferiore a 0.000002.

In questo modo è possibile calcolare il valore del valore "radice quadrata di 2" con qualsiasi grado di accuratezza. Questo meraviglioso metodo è stato inventato da Newton e permette di trovare le radici di equazioni molto complesse.

Metodo di Newton: applicazione C++

In questo articolo, automatizziamo il processo di calcolo delle radici delle equazioni scrivendo un'applicazione console in C++. Lo svilupperemo in Visual C++ 2010 Express, che è un ambiente di sviluppo C++ gratuito e molto conveniente.

Iniziamo con Visual C++ 2010 Express. Apparirà la finestra di avvio del programma. Nell'angolo sinistro, fai clic su "Crea progetto".

Riso. uno. pagina iniziale Visual C++ 2010 Express

Nel menu che appare, seleziona "Applicazione console Win32", inserisci il nome dell'applicazione "Newton_Method".

Riso. 2. Crea un progetto

// Newton_method.cpp: definisce il punto di ingresso per l'applicazione console

#include "stdafx.h"

#includere

usando lo spazio dei nomi std;

float f(double x) //restituisce il valore della funzione f(x) = x^2-2

float df(float x) //restituisce il valore della derivata

float d2f(float x) // valore della seconda derivata

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv)

int exit = 0, i=0;//exit e variabili di ciclo

double x0,xn;// approssimazioni calcolate per la radice

double a, b, eps;// confini del segmento e accuratezza richiesta

cout<<"Please input \n=>";

cin>>a>>b; // inserisci i confini del segmento su cui cercheremo la radice

cout<<"\nPlease input epsilon\n=>";

cin>>eps; // inserire la precisione di calcolo desiderata

if (a > b) // se l'utente ha confuso i confini del segmento, scambiali

se (f(a)*f(b)>0) // se i segni della funzione sui bordi del segmento sono gli stessi, allora non c'è radice

cout<<"\nError! No roots in this interval\n";

se (f(a)*d2f(a)>0) x0 = a; // per selezionare un punto di partenza, seleziona f(x0)*d2f(x0)>0 ?

xn = x0-f(x0)/df(x0); // conta la prima approssimazione

cout<<++i<<"-th iteration = "<

while(fabs(x0-xn) > eps) // finché non raggiungiamo la precisione richiesta, continueremo a calcolare

xn = x0-f(x0)/df(x0); // direttamente la formula di Newton

cout<<++i<<"-th iteration = "<

cout<<"\nRoot = "<

cout<<"\nExit?=>";

) mentre (uscita!=1); // finché l'utente non immette exit = 1

Vediamo come funziona. Fare clic sul triangolo verde nell'angolo in alto a sinistra dello schermo o premere F5.

Se si verifica un errore di compilazione "Errore errore LNK1123: mancata conversione in COFF: file non valido o danneggiato", questo viene trattato installando il primo Service Pack 1 o nelle impostazioni del progetto Proprietà -> Linker, disabilita il collegamento incrementale.

Riso. 4. Risoluzione dell'errore di compilazione del progetto

Cercheremo le radici della funzione F(x) =x2-2.

Per prima cosa, testiamo l'applicazione sui dati di input "errati". Non ci sono root sul segmento, il nostro programma dovrebbe dare un messaggio di errore.

Abbiamo una finestra dell'applicazione:

Riso. 5. Immissione dei dati di input

Introduciamo i confini del segmento 3 e 5 e la precisione è 0,05. Il programma, come dovrebbe, ha fornito un messaggio di errore che non ci sono root su questo segmento.

Riso. 6. Errore "Non ci sono radici su questo segmento!"

Non ce ne andremo ancora, quindi il messaggio "Uscire?" inserisci "0".

Ora testiamo l'applicazione sui dati di input corretti. Introduciamo un segmento e una precisione di 0,0001.

Riso. 7. Calcolo della radice con la precisione richiesta

Come possiamo vedere, la precisione richiesta è stata già raggiunta alla 4a iterazione.

Per uscire dall'applicazione, immettere "Uscita?" => 1.

Il metodo secante

Per evitare il calcolo della derivata, il metodo di Newton può essere semplificato sostituendo la derivata con un valore approssimativo calcolato dai due punti precedenti:

Il processo iterativo è simile a:

Questo è un processo iterativo in due fasi, poiché utilizza i due precedenti per trovare l'approssimazione successiva.

L'ordine di convergenza del metodo delle secanti è inferiore a quello del metodo delle tangenti ed è uguale nel caso di una sola radice.

Questo meraviglioso valore è chiamato rapporto aureo:

Lo verifichiamo assumendo per comodità che .

Quindi, fino agli infinitesimi di ordine superiore

Scartando il termine residuo, otteniamo una relazione di ricorrenza, la cui soluzione è naturalmente ricercata nella forma .

Dopo la sostituzione, abbiamo: e

Per la convergenza è necessario che sia positiva, quindi .

Poiché la conoscenza della derivata non è richiesta, quindi con la stessa quantità di calcoli nel metodo delle secanti (nonostante l'ordine di convergenza inferiore), si può ottenere una maggiore precisione rispetto al metodo della tangente.

Si noti che vicino alla radice, si deve dividere per un piccolo numero, e questo porta ad una perdita di accuratezza (soprattutto nel caso di radici multiple), quindi, scegliendo un relativamente piccolo, si eseguono calcoli fino all'esecuzione e continuarli fino a quando il modulo della differenza tra approssimazioni vicine diminuisce.

Non appena inizia la crescita, i calcoli vengono interrotti e l'ultima iterazione non viene utilizzata.

Questa procedura per determinare la fine delle iterazioni è chiamata tecnica Harvik.

Metodo della parabola

Si consideri un metodo in tre fasi in cui l'approssimazione è determinata dai tre punti precedenti , e .

Per fare ciò sostituiamo, analogamente al metodo delle secanti, la funzione con una parabola di interpolazione passante per i punti , e .

Nella forma di Newton, sembra:

Un punto è definito come quello delle radici di questo polinomio, che è più vicino in modulo al punto.

L'ordine di convergenza del metodo della parabola è superiore a quello del metodo delle secanti, ma inferiore a quello del metodo di Newton.

Un'importante differenza rispetto ai metodi precedentemente considerati è il fatto che anche se è reale per reale e le approssimazioni di partenza sono scelte reali, il metodo della parabola può portare a una radice complessa del problema originale.

Questo metodo è molto utile per trovare le radici di polinomi di alto grado.

Metodo di iterazione semplice

Il problema di trovare soluzioni alle equazioni può essere formulato come un problema di trovare le radici: , o come un problema di trovare un punto fisso.

Lascia stare e - compressione: (in particolare, il fatto che - compressione, come è facile intuire, significa proprio questo).

Per il teorema di Banach, esiste un punto fisso unico

Può essere trovato come il limite di una semplice procedura iterativa

dove l'approssimazione iniziale è un punto arbitrario nell'intervallo.

Se la funzione è derivabile, un comodo criterio di compressione è il numero . Infatti, per il teorema di Lagrange

Quindi, se la derivata è minore di uno, allora è una contrazione.

Condizione è essenziale, perché se, ad esempio, su , allora non c'è punto fisso, sebbene la derivata sia uguale a zero. Il tasso di convergenza dipende dal valore di . Più piccolo è, più veloce è la convergenza.

Uguale all'approssimazione. Il termine P. è talvolta usato nel senso di un oggetto approssimativo (ad esempio, l'iniziale P.) ... Enciclopedia matematica

Il metodo di Newton- Il metodo di Newton, l'algoritmo di Newton (noto anche come metodo della tangente) è un metodo numerico iterativo per trovare la radice (zero) di una data funzione. Il metodo fu proposto per la prima volta dal fisico, matematico e astronomo inglese Isaac Newton ... ... Wikipedia

Un metodo tangente

Gauss - Metodo di Newton- Il metodo di Newton (noto anche come metodo della tangente) è un metodo numerico iterativo per trovare la radice (zero) di una data funzione. Il metodo fu proposto per la prima volta dal fisico, matematico e astronomo inglese Isaac Newton (1643 1727), con il nome ... ... Wikipedia

Metodo Newton-Raphson- Il metodo di Newton (noto anche come metodo della tangente) è un metodo numerico iterativo per trovare la radice (zero) di una data funzione. Il metodo fu proposto per la prima volta dal fisico, matematico e astronomo inglese Isaac Newton (1643 1727), con il nome ... ... Wikipedia

Metodo tangente- Il metodo di Newton (noto anche come metodo della tangente) è un metodo numerico iterativo per trovare la radice (zero) di una data funzione. Il metodo fu proposto per la prima volta dal fisico, matematico e astronomo inglese Isaac Newton (1643 1727), con il nome ... ... Wikipedia

Metodo tangente (metodo di Newton)- Il metodo di Newton (noto anche come metodo della tangente) è un metodo numerico iterativo per trovare la radice (zero) di una data funzione. Il metodo fu proposto per la prima volta dal fisico, matematico e astronomo inglese Isaac Newton (1643 1727), con il nome ... ... Wikipedia

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Sia separata sul segmento la radice dell'equazione f(x)=0 e la derivata prima e seconda di f'(x) e f""(x) sono continui e di segno costante per хн .

Si ottenga (scelta) la successiva approssimazione alla radice x n in qualche passaggio dell'affinamento della radice . Supponiamo quindi che la successiva approssimazione ottenuta con l'ausilio della correzione h n , risulta il valore esatto della radice

x \u003d x n + h n. (1.2.3-6)

Conteggio h n piccolo valore, rappresentiamo f(x n + h n) come una serie di Taylor, limitandoci a termini lineari

f(x n + h n) "f(x n) + h n f'(x n). (1.2.3-7)

Considerando che f(x) = f(х n + h n) = 0, otteniamo f(х n) + h n f '(х n) » 0.

Quindi h n "- f (x n) / f'(x n). Sostituisci il valore h n in (1.2.3-6) e al posto del valore esatto della radice X otteniamo un'altra approssimazione

La formula (1.2.3-8) consente di ottenere una sequenza di approssimazioni x 1, x 2, x 3 ..., che, in determinate condizioni, converge al valore esatto della radice X, cioè

Interpretazione geometrica del metodo di Newtonè come segue
(Fig.1.2.3-6). Prendiamo l'estremità destra del segmento b come approssimazione iniziale x 0 e nel punto corrispondente B 0 sul grafico della funzione y \u003d f (x) costruiamo una tangente. Il punto di intersezione della tangente con l'asse x viene preso come una nuova approssimazione più accurata x 1 . Ripetere più volte questa procedura consente di ottenere una sequenza di approssimazioni x 0, x 1, x 2 , . . ., che tende al valore esatto della radice X.

La formula di calcolo del metodo di Newton (1.2.3-8) può essere ottenuta da una costruzione geometrica. Quindi in un triangolo rettangolo x 0 B 0 x 1 gamba
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. Considerando che il punto B 0 è sul grafico della funzione f(x), e l'ipotenusa è formata da una tangente al grafico f (x) nel punto B 0, otteniamo

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Questa formula coincide con (1.2.3-8) per l'ennesima approssimazione.

Dalla Fig. 1.2.3-6 si può vedere che la scelta del punto a come approssimazione iniziale può portare al fatto che l'approssimazione successiva x 1 sarà esterna al segmento su cui è separata la radice X. In questo caso, la convergenza del processo non è garantita. Nel caso generale, la scelta dell'approssimazione iniziale viene effettuata secondo la seguente regola: per l'approssimazione iniziale, si dovrebbe prendere tale punto x 0 н, in cui f (x 0) × f '' (x 0) > 0, cioè i segni della funzione e la sua seconda derivata corrispondenza.

Le condizioni di convergenza per il metodo di Newton sono formulate nel seguente teorema.

Se la radice dell'equazione è separata sul segmento, e f'(x 0) e f''(x) sono diversi da zero e mantengono i loro segni a xo, quindi se scegliamo un punto come l'approssimazione iniziale x 0 О , che cosa f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , quindi la radice dell'equazione f(x)=0 può essere calcolato con qualsiasi grado di precisione.

La stima dell'errore del metodo di Newton è determinata dalla seguente espressione:

(1.2.3-11)

dove è il valore più piccolo a

Valore più alto a

Il processo di calcolo è terminato se ,

dove è la precisione specificata.

Inoltre, le seguenti espressioni possono servire come condizione per ottenere una data accuratezza quando si raffina la radice con il metodo di Newton:

Lo schema dell'algoritmo del metodo di Newton è mostrato in fig. 1.2.3-7.

Il lato sinistro dell'equazione originale f(x) e la sua derivata f'(x) nell'algoritmo sono progettati come moduli software separati.

Riso. 1.2.3-7. Diagramma algoritmico del metodo di Newton

Esempio 1.2.3-3 Affina le radici dell'equazione x-ln(x+2) = 0 usando il metodo di Newton, a condizione che le radici di questa equazione siano separate sui segmenti x 1 н[-1.9;-1.1] e x 2 í [-0,9;2].

La derivata prima f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) mantiene il suo segno su ciascuno dei segmenti:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f'(x)>0 a xО [-0,9; 2].

La seconda derivata f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 per qualsiasi x.

Le condizioni di convergenza sono quindi soddisfatte. Poiché f "" (x)> 0 sull'intero intervallo di valori consentiti, per affinare la radice per l'approssimazione iniziale x 1 scegli x 0 \u003d -1,9 (da f (-1,9) × f ”(-1,9)> 0). Otteniamo una sequenza di approssimazioni:

Continuando i calcoli, otteniamo la seguente sequenza delle prime quattro approssimazioni: -1.9; –1,8552, -1,8421; -1.8414 . Il valore della funzione f(x) nel punto x=-1.8414 è uguale a f(-1.8414)=-0.00003 .

Per affinare la radice x 2 н[-0.9;2], scegliamo come approssimazione iniziale 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). Sulla base di x 0 = 2, otteniamo una sequenza di approssimazioni: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. Il valore della funzione f(x) nel punto x=1,1461 è uguale a f(1,1461)= -0,00006.

Il metodo di Newton ha un alto tasso di convergenza, ma ad ogni passo richiede il calcolo non solo del valore della funzione, ma anche della sua derivata.

metodo degli accordi

Interpretazione geometrica del metodo degli accordiè come segue
(Fig.1.2.3-8).

Tracciamo un segmento di retta passante per i punti A e B. La prossima approssimazione x 1 è l'ascissa del punto di intersezione della corda con l'asse 0x. Costruiamo l'equazione di un segmento di retta:

Mettiamo y=0 e troviamo il valore x=x 1 (un'altra approssimazione):

Ripetiamo il processo di calcolo per ottenere la prossima approssimazione alla radice - x 2 :

Nel nostro caso (Fig.1.2.11) e apparirà la formula di calcolo del metodo dell'accordo

Questa formula è valida quando il punto b è preso come punto fisso e il punto a funge da approssimazione iniziale.

Consideriamo un altro caso (Fig. 1.2.3-9), quando .

L'equazione della retta per questo caso ha la forma

La prossima approssimazione x 1 a y = 0

Quindi la formula ricorsiva per il metodo degli accordi per questo caso ha la forma

Si noti che per il punto fisso nel metodo degli accordi si sceglie l'estremità del segmento per cui è soddisfatta la condizione f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Quindi, se il punto a è preso come punto fisso , allora x 0 = b funge da approssimazione iniziale e viceversa.

Le condizioni sufficienti che assicurino il calcolo della fondamentale dell'equazione f(x)=0 utilizzando la formula degli accordi saranno le stesse del metodo delle tangenti (metodo di Newton), ma al posto dell'approssimazione iniziale si sceglie un punto fisso . Il metodo degli accordi è una modifica del metodo di Newton. La differenza è che l'approssimazione successiva nel metodo di Newton è il punto di intersezione della tangente con l'asse 0X, e nel metodo delle corde - il punto di intersezione della corda con l'asse 0X - le approssimazioni convergono alla fondamentale da lati diversi.

La stima dell'errore del metodo dell'accordo è determinata dall'espressione

(1.2.3-15)

Condizione di conclusione del processo di iterazione con il metodo degli accordi

(1.2.3-16)

Se M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Esempio 1.2.3-4. Specificare la radice dell'equazione e x - 3x = 0, separata su un segmento con una precisione di 10 -4 .

Verifichiamo la condizione di convergenza:

Pertanto, a=0 dovrebbe essere scelto come punto fisso e x 0 \u003d 1 dovrebbe essere preso come approssimazione iniziale, poiché f (0) \u003d 1> 0 e f (0) * f "(0)> 0 .