Velocità di punta.

Passiamo alla risoluzione del secondo problema principale della cinematica di un punto: determinare la velocità e l'accelerazione in base al vettore, alla coordinata o al movimento naturale già dato.

1. La velocità di un punto è una grandezza vettoriale che caratterizza la velocità e la direzione del movimento di un punto. Nel sistema SI, la velocità è misurata in m/s.

un) Determinazione della velocità con il metodo vettoriale per specificare il movimento .

Sia dato il movimento del punto in modo vettoriale, cioè l'equazione vettoriale (2.1) è nota: .

Riso. 2.6. Per determinare la velocità di un punto

Lascia per tempo Dt vettore raggio punto M cambierà di . Quindi velocità media punti M in occasione Dtè chiamata quantità vettoriale

Richiamando la definizione di derivata, concludiamo:

Qui e in quanto segue, il segno denota differenziazione rispetto al tempo. Quando si lotta Dt azzerare il vettore e, di conseguenza, il vettore, ruotare attorno al punto M e nel limite coincidono con la tangente alla traiettoria a questo punto. In questo modo, il vettore velocità è uguale alla derivata prima del vettore raggio rispetto al tempo ed è sempre diretto tangenzialmente alla traiettoria del punto.

b) Velocità del punto a modo coordinato compiti di movimento.

Ricaviamo formule per determinare la velocità con il metodo delle coordinate per specificare il movimento. In accordo con l'espressione (2.5), abbiamo:

Poiché le derivate dei vettori unitari costanti in grandezza e direzione sono uguali a zero, otteniamo

Un vettore, come qualsiasi vettore, può essere espresso in termini di proiezioni:

Confrontando le espressioni (2.6) e (2.7) vediamo che le derivate temporali delle coordinate hanno una ben definita significato geometrico- sono proiezioni del vettore di velocità su assi coordinati. Conoscendo le proiezioni, è facile calcolare il modulo e la direzione del vettore velocità (Fig. 2.7):

Riso. 2.7.Per determinare l'intensità e la direzione della velocità

c) Determinazione della velocità con il modo naturale di impostare il movimento.

Riso. 2.8. Velocità del punto con impostazione del movimento naturale

Secondo (2.4) ,

dove - vettore unitario tangente. In questo modo,

Valore v=ds/dt prende il nome di velocità algebrica. Se una dS/dt>0, quindi la funzione S = S(t) aumenta e il punto si sposta nella direzione della coordinata dell'arco crescente S, quelli. il punto si muove in direzione positiva ds/dt<0 , quindi il punto si sposta nella direzione opposta.

2. accelerazione puntiforme

L'accelerazione è una grandezza vettoriale che caratterizza la velocità di variazione nel modulo e la direzione del vettore velocità. Nel sistema SI l'accelerazione è misurata in m/s 2 .

un) Determinazione dell'accelerazione con il metodo vettoriale per specificare il movimento .

Lascia il punto M al momento tè in posizione M(t) e ha una velocità V(t), e al momento t + Dtè in posizione M(t + Dt) e ha una velocità V(t + Dt)(Vedi Figura 2.9).

Riso. 2.9. Accelerazioni di un punto con il metodo vettoriale per specificare il movimento

Accelerazione media su un periodo di tempo Dtè il rapporto tra la variazione di velocità e Dt, quelli.

Limita a Dt® 0è chiamata istantanea (o semplicemente accelerazione) del punto M al momento t

Secondo (2.11), l'accelerazione con il metodo vettoriale per specificare il movimento è uguale alla derivata vettoriale della velocità rispetto al tempo.

b). In accelerazioni con il metodo delle coordinate per specificare il movimento .

Sostituendo (2.6) in (2.11) e differenziando i prodotti tra parentesi, troviamo:

Dato che le derivate dei vettori unitari sono uguali a zero, otteniamo:

Un vettore può essere espresso in termini di sue proiezioni:

Il confronto tra (2.12) e (2.13) mostra che le derivate temporali seconde delle coordinate hanno un significato geometrico ben definito: sono uguali alle proiezioni dell'accelerazione totale sugli assi delle coordinate, cioè

Conoscendo le proiezioni, è facile calcolare il modulo di accelerazione totale e i coseni di direzione che ne determinano la direzione:

in). Accelerazione di un punto con un modo naturale di specificare il movimento

Presentiamo alcune informazioni dalla geometria differenziale necessarie per determinare l'accelerazione nel modo naturale di specificare il moto.

Lascia il punto M si muove lungo una certa curva spaziale. Ciascun punto di questa curva è associato a tre direzioni reciprocamente ortogonali (tangenziale, normale e binormale) che caratterizzano in modo univoco l'orientamento spaziale di un elemento infinitamente piccolo della curva vicino al punto dato. Quella che segue è una descrizione del processo per determinare queste direzioni.

Per disegnare una tangente ad una curva in un punto M, disegna attraverso di essa e un punto vicino M1 secante MM 1.

Riso. 2.10. Definizione di una tangente alla traiettoria di un punto

Tangente ad una curva in un punto M definita come la posizione limite della secante MM 1 mentre si lotta per un punto M1 al punto M(Fig. 2.10). Il vettore tangente unitario è solitamente indicato dalla lettera greca .

Tracciamo vettori unitari di tangenti alla traiettoria nei punti M e M1. Sposta il vettore in un punto M(Fig. 2.11) e formare un piano passante per questo punto ei vettori e . Ripetere il processo di formazione di piani simili mentre si cerca un punto M1 al punto M, otteniamo al limite un piano chiamato contiguo aereo.

Riso. 2.11. Definizione di piano commovente

Ovviamente, per una curva piana, il piano di contatto coincide con il piano in cui si trova questa stessa curva. Piano passante per un punto M e si dice perpendicolare alla tangente in quel punto normale aereo. L'intersezione dei piani contigui e normali forma una retta detta normale principale (Fig. 2.12).

Vengono fornite le formule di base della cinematica di un punto materiale, la loro derivazione e la presentazione della teoria.

Contenuto

Guarda anche: Un esempio di risoluzione del problema (metodo delle coordinate per specificare il movimento di un punto)

Formule di base per la cinematica di un punto materiale

Presentiamo le formule di base per la cinematica di un punto materiale. Successivamente, diamo la loro derivazione e presentazione della teoria.

Vettore raggio di un punto materiale M in un sistema di coordinate rettangolare Oxyz :
,
dove sono i vettori unitari (orth) nella direzione degli assi x, y, z.

Velocità di punta:
;
.
.
Vettore unitario nella direzione della tangente al percorso del punto:
.

Accelerazione del punto:
;
;
;
; ;

Accelerazione tangenziale (tangenziale):
;
;
.

Accelerazione normale:
;
;
.

Vettore unitario diretto verso il centro di curvatura della traiettoria del punto (lungo la normale principale):
.

.

Vettore del raggio e traiettoria del punto

Si consideri il moto di un punto materiale M . Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare fisso Oxyz centrato in un punto fisso O . Quindi la posizione del punto M è determinata in modo univoco dalle sue coordinate (x, y, z). Queste coordinate sono componenti del vettore raggio del punto materiale.

Il vettore raggio del punto M è il vettore tracciato dall'origine del sistema di coordinate fisse O al punto M.
,
dove sono i vettori unitari nella direzione degli assi x, y, z.

Quando il punto si sposta, le coordinate cambiano nel tempo. Cioè, sono funzioni del tempo. Poi il sistema di equazioni
(1)
può essere visto come un'equazione di una curva data da equazioni parametriche. Tale curva è la traiettoria di un punto.

La traiettoria di un punto materiale è la linea lungo la quale si muove il punto.

Se il punto si sposta su un piano, puoi scegliere gli assi e i sistemi di coordinate in modo che giacciono su questo piano. Quindi la traiettoria è determinata da due equazioni

In alcuni casi, il tempo può essere escluso da queste equazioni. Quindi l'equazione della traiettoria avrà una dipendenza della forma:
,
dov'è qualche funzione. Questa dipendenza contiene solo variabili e . Non contiene un parametro.

Velocità del punto materiale

La velocità di un punto materiale è la derivata temporale del suo vettore raggio.

Secondo la definizione di velocità e la definizione di derivata:

Le derivate temporali, in meccanica, sono indicate da un punto sopra il simbolo. Sostituisci qui l'espressione per il vettore raggio:
,
dove abbiamo esplicitamente indicato la dipendenza delle coordinate dal tempo. Noi abbiamo:

,
dove
,
,

- proiezioni di velocità sugli assi delle coordinate. Si ottengono differenziando rispetto al tempo le componenti del raggio vettore
.

In questo modo
.
Modulo di velocità:
.

Tangente al percorso

Da un punto di vista matematico, il sistema di equazioni (1) può essere considerato come l'equazione di una retta (curva) data da equazioni parametriche. Il tempo, in questa considerazione, gioca il ruolo di parametro. Dal corso dell'analisi matematica, è noto che il vettore di direzione per la tangente a questa curva ha le seguenti componenti:
.
Ma queste sono le componenti del vettore di velocità del punto. Questo è la velocità del punto materiale è diretta tangenzialmente alla traiettoria.

Tutto questo può essere dimostrato direttamente. Sia al momento il punto in posizione con il vettore raggio (vedi figura). E al momento - in una posizione con un vettore raggio. Traccia una linea retta attraverso i punti. Per definizione, una tangente è una retta a cui tende la retta quando .
Introduciamo la notazione:
;
;
.
Quindi il vettore è diretto lungo la retta.

Quando tende, la retta tende alla tangente e il vettore tende alla velocità del punto in quel momento:
.
Poiché il vettore è diretto lungo la retta e la retta è a , il vettore velocità è diretto lungo la tangente.
Cioè, il vettore velocità del punto materiale è diretto lungo la tangente alla traiettoria.

Presentiamo vettore di direzione tangente di lunghezza unitaria:
.
Mostriamo che la lunghezza di questo vettore è uguale a uno. Infatti, poiché
, poi:
.

Quindi il vettore velocità punto può essere rappresentato come:
.

Accelerazione del punto materiale

L'accelerazione di un punto materiale è la derivata della sua velocità rispetto al tempo.

Analogamente alla precedente, otteniamo le componenti di accelerazione (proiezioni di accelerazione sugli assi delle coordinate):
;
;
;
.
Modulo di accelerazione:
.

Accelerazioni tangenziali (tangenziali) e normali

Consideriamo ora la questione della direzione del vettore di accelerazione rispetto alla traiettoria. Per fare ciò, applica la formula:
.
Differenziarlo rispetto al tempo utilizzando la regola di differenziazione del prodotto:
.

Il vettore è diretto tangenzialmente alla traiettoria. In quale direzione è diretta la sua derivata temporale?

Per rispondere a questa domanda, utilizziamo il fatto che la lunghezza del vettore è costante e uguale a uno. Allora anche il quadrato della sua lunghezza è uguale a uno:
.
Qui e sotto, due vettori tra parentesi denotano il prodotto scalare dei vettori. Differenzia l'ultima equazione rispetto al tempo:
;
;
.
Poiché il prodotto scalare dei vettori è uguale a zero, questi vettori sono perpendicolari tra loro. Poiché il vettore è tangente al percorso, il vettore è perpendicolare alla tangente.

Il primo componente è chiamato accelerazione tangenziale o tangenziale:
.
La seconda componente è chiamata accelerazione normale:
.
Allora l'accelerazione totale è:
(2) .
Questa formula è una scomposizione dell'accelerazione in due componenti reciprocamente perpendicolari: tangente alla traiettoria e perpendicolare alla tangente.

Da allora
(3) .

Accelerazione tangenziale (tangenziale).

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione (2) scalare a:
.
Perché poi . Quindi
;
.
Qui mettiamo:
.
Da ciò si può vedere che l'accelerazione tangenziale è uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della tangente alla traiettoria o, che è la stessa, sulla direzione della velocità del punto.

L'accelerazione tangenziale (tangenziale) di un punto materiale è la proiezione della sua piena accelerazione sulla direzione della tangente alla traiettoria (o sulla direzione della velocità).

Il simbolo indica il vettore di accelerazione tangenziale diretto lungo la tangente alla traiettoria. Allora è un valore scalare uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della tangente. Può essere sia positivo che negativo.

Sostituendo , abbiamo:
.

Sostituisci nella formula:
.
Quindi:
.
Cioè, l'accelerazione tangenziale è uguale alla derivata temporale del modulo della velocità del punto. In questo modo, l'accelerazione tangenziale porta ad una variazione del valore assoluto della velocità del punto. All'aumentare della velocità, l'accelerazione tangenziale è positiva (o diretta lungo la velocità). Al diminuire della velocità, l'accelerazione tangenziale è negativa (o opposta alla velocità).

Ora esaminiamo il vettore.

Si consideri il vettore unitario della tangente alla traiettoria. Posizioniamo la sua origine all'origine del sistema di coordinate. Quindi la fine del vettore sarà su una sfera di raggio unitario. Quando si sposta un punto materiale, l'estremità del vettore si sposterà lungo questa sfera. Cioè, ruoterà attorno alla sua origine. Sia la velocità angolare istantanea di rotazione del vettore al tempo . Quindi la sua derivata è la velocità di movimento dell'estremità del vettore. È diretto perpendicolarmente al vettore. Applichiamo la formula per il moto di rotazione. Modulo vettoriale:
.

Consideriamo ora la posizione del punto per due tempi ravvicinati. Lascia che al momento il punto sia nella posizione, e al momento - nella posizione. Siano e siano vettori unitari diretti tangenzialmente alla traiettoria in questi punti. Attraverso i punti e disegnare piani perpendicolari ai vettori e . Sia una retta formata dall'intersezione di questi piani. Rilascia una perpendicolare da un punto a una linea. Se le posizioni dei punti e sono abbastanza vicine, il movimento del punto può essere considerato come una rotazione lungo un cerchio di raggio attorno all'asse, che sarà l'asse istantaneo di rotazione del punto materiale. Poiché i vettori e sono perpendicolari ai piani e , l'angolo tra questi piani è uguale all'angolo tra i vettori e . Quindi la velocità istantanea di rotazione del punto attorno all'asse è uguale alla velocità istantanea di rotazione del vettore:
.
Ecco la distanza tra i punti e .

Quindi, abbiamo trovato il modulo della derivata temporale del vettore:
.
Come accennato in precedenza, il vettore è perpendicolare al vettore. Dal ragionamento di cui sopra si evince che esso è diretto verso il centro istantaneo di curvatura della traiettoria. Questa direzione è chiamata normale principale.

Accelerazione normale

Accelerazione normale

diretto lungo il vettore. Come abbiamo scoperto, questo vettore è diretto perpendicolarmente alla tangente, verso il centro istantaneo di curvatura della traiettoria.
Sia un vettore unitario diretto da un punto materiale al centro istantaneo di curvatura della traiettoria (lungo la normale principale). Quindi
;
.
Poiché entrambi i vettori e hanno la stessa direzione - verso il centro di curvatura della traiettoria, quindi
.

Dalla formula (2) noi abbiamo:
(4) .
Dalla formula (3) trova il modulo normale accelerazione:
.

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione (2) scalare a:
(2) .
.
Perché poi . Quindi
;
.
Ciò mostra che il modulo dell'accelerazione normale è uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della normale principale.

L'accelerazione normale di un punto materiale è la proiezione della sua piena accelerazione sulla direzione perpendicolare alla tangente alla traiettoria.

Sostituiamo. Quindi
.
Cioè, l'accelerazione normale provoca un cambiamento nella direzione della velocità del punto ed è correlata al raggio di curvatura della traiettoria.

Da qui puoi trovare il raggio di curvatura della traiettoria:
.

Infine, notiamo che la formula (4) può essere riscritto nella forma seguente:
.
Qui abbiamo applicato la formula per il prodotto incrociato di tre vettori:
,
in cui si sono inquadrati
.

Quindi abbiamo:
;
.
Identifichiamo i moduli delle parti sinistra e destra:
.
Ma i vettori e sono reciprocamente perpendicolari. Ecco perchè
.
Quindi
.
Questa è una formula ben nota della geometria differenziale per la curvatura di una curva.

Guarda anche: 1. Metodi per specificare il movimento di un punto in un dato sistema di riferimento

I compiti principali della cinematica puntuale sono:

1. Descrizione dei modi per specificare il movimento di un punto.

2. Determinazione delle caratteristiche cinematiche del movimento di un punto (velocità, accelerazione) secondo una data legge del movimento.

movimento meccanico − cambiare la posizione di un corpo rispetto a un altro (corpo di riferimento), che è associato a un sistema di coordinate chiamato sistema di riferimento .

Viene chiamato il luogo delle posizioni successive di un punto mobile nel sistema di riferimento in esame traiettoria punti.

Imposta movimento − è fornire un modo per determinare la posizione di un punto in qualsiasi momento rispetto al sistema di riferimento prescelto. I modi principali per specificare il movimento di un punto sono:

vettore, coordinato e naturale .

1.Modalità vettoriale per impostare il movimento (Fig. 1).

La posizione di un punto è determinata da un vettore raggio tracciato da un punto fisso associato al corpo di riferimento: − equazione vettoriale del moto del punto.

2. Coordinare il modo di impostare il movimento (Fig. 2).

In questo caso le coordinate del punto sono date in funzione del tempo:

- equazioni del moto di un punto in forma di coordinate.

Sono le equazioni parametriche della traiettoria di un punto in movimento, in cui il tempo svolge il ruolo di parametro. Per scrivere la sua equazione in forma esplicita, è necessario escluderli. Nel caso di una traiettoria spaziale, escludendo , otteniamo:

Nel caso di una traiettoria piatta

eliminando otteniamo:

O .

3. Il modo naturale per definire il movimento (Fig. 3).

In questo caso, impostare:

1) traiettoria del punto,

2) punto di riferimento sulla traiettoria,

3) direzione di riferimento positiva,

4) la legge di variazione della coordinata dell'arco: .

Questo metodo è comodo da usare quando la traiettoria del punto è nota in anticipo.

2. Velocità e punto di accelerazione

Considera il movimento di un punto in un breve periodo di tempo(Fig. 4):

Allora − velocità media di un punto per un periodo di tempo.

La velocità di un punto in un dato momento si trova come limite della velocità media a :

Velocità puntuale − è la misura cinematica del suo moto, uguale a derivata temporale del vettore raggio di questo punto nel quadro di riferimento in esame.

Il vettore velocità è diretto tangenzialmente alla traiettoria del punto nella direzione del movimento.

L'accelerazione media caratterizza la variazione del vettore velocità in un breve periodo di tempo(Fig. 5).

L'accelerazione di un punto in un dato momento si trova come limite dell'accelerazione media a :

Accelerazione puntuale − è una misura della variazione della sua velocità, uguale alla derivata nel tempo dalla velocità di questo punto o dalla derivata seconda del raggio vettore del punto nel tempo .

L'accelerazione di un punto caratterizza la variazione del vettore velocità in magnitudine e direzione. Il vettore di accelerazione è diretto verso la concavità della traiettoria.

3. Determinazione della velocità e dell'accelerazione di un punto con il metodo delle coordinate per specificare il movimento

La relazione tra il metodo vettoriale per specificare il movimento e il metodo delle coordinate è data dalla relazione

(Fig. 6).

Dalla definizione di velocità:

Le proiezioni di velocità sugli assi delle coordinate sono uguali alle derivate delle coordinate corrispondenti rispetto al tempo

, , . .

Il modulo e la direzione della velocità sono determinati dalle espressioni:

Qui e sotto, il punto sopra denota la differenziazione rispetto al tempo

Dalla definizione di accelerazione:

Le proiezioni di accelerazione sugli assi delle coordinate sono uguali alle seconde derivate temporali delle coordinate corrispondenti:

, , .

Il modulo e la direzione dell'accelerazione sono determinati dalle espressioni:

, , .

4 Velocità e accelerazione di un punto con un modo naturale di specificare il movimento

4.1 Assi naturali.

Determinare la velocità e l'accelerazione di un punto con un modo naturale di specificare il movimento

Gli assi naturali (tangente, normale principale, binormale) sono gli assi di un sistema di coordinate rettangolari in movimento con origine nel punto in movimento. La loro posizione è determinata dalla traiettoria del movimento. La tangente (con vettore unitario ) è diretta tangenzialmente nella direzione positiva della coordinata dell'arco di riferimento e si trova come posizione limite della secante passante per il punto dato (Fig. 9). Un piano di contatto passa attraverso la tangente (Fig. 10), che si trova come posizione limite del piano p poiché il punto M1 tende a puntare M. Il piano normale è perpendicolare alla tangente. La linea di intersezione dei piani normale e contigui è la normale principale. Il vettore unitario della normale principale è diretto verso la concavità della traiettoria. Il binormale (con vettore unitario ) è diretto perpendicolarmente alla tangente e alla normale principale in modo che l'ort , e formi la tripla destra dei vettori. I piani di coordinate del sistema di coordinate mobili introdotto (contiguo, normale e rettificante) formano un triangolo naturale che si muove con il punto mobile come un corpo rigido. Il suo movimento nello spazio è determinato dalla traiettoria e dalla legge di cambiamento della coordinata dell'arco.

Dalla definizione di velocità puntuale

dove , è il vettore unitario della tangente.

Quindi

, .

Velocità algebrica − proiezione del vettore velocità sulla tangente uguale alla derivata temporale della coordinata dell'arco. Se la derivata è positiva, il punto si sposta nella direzione positiva del riferimento della coordinata dell'arco.

Dalla definizione di accelerazione

− vettore direzionale e

La derivata è determinata solo dal tipo di traiettoria in prossimità di un dato punto, pur tenendo conto dell'angolo di rotazione della tangente si ha

Ora lascia che la funzione sia nota. Sulla fig. 5.10
e
 vettori di velocità del punto in movimento negli istanti t e  t. Per ottenere l'incremento del vettore velocità
sposta il vettore in parallelo
Esattamente M:

L'accelerazione media di un punto in un periodo di tempo  t è il rapporto tra l'incremento del vettore velocità
all'intervallo di tempo t:

Di conseguenza, l'accelerazione di un punto in un dato momento è uguale alla prima derivata temporale del vettore velocità del punto o alla seconda derivata temporale del vettore raggio

. (5.11)

accelerazione puntiforme questa è una grandezza vettoriale che caratterizza la velocità di variazione del vettore velocità rispetto al tempo.

Costruiamo un odografo di velocità (Fig.5.11). Per definizione, l'odografo di velocità è la curva che l'estremità del vettore di velocità disegna quando il punto si muove, se il vettore di velocità è tracciato dallo stesso punto.

Determinazione della velocità di un punto con il metodo delle coordinate per specificarne il movimento

Sia dato il movimento di un punto in modo coordinato in un sistema di coordinate cartesiane

X = X(t), y = y(t), z = z(t)

Il raggio vettore di un punto è uguale a

.

Poiché i vettori unitari
costante, quindi per definizione

. (5.12)

Indichiamo le proiezioni del vettore velocità sugli assi Oh, UO e Oz attraverso v X , v y , v z

(5.13)

Confrontando le uguaglianze (5.12) e (5.13) otteniamo

(5.14)

In quanto segue, la derivata temporale sarà indicata da un punto dall'alto, cioè,

.

Il modulo di velocità puntuale è determinato dalla formula

. (5.15)

La direzione del vettore velocità è determinata dai coseni di direzione:

Determinazione dell'accelerazione di un punto con il metodo delle coordinate per specificarne il movimento

Il vettore velocità nel sistema di coordinate cartesiane è

.

Per definizione

Indichiamo le proiezioni del vettore di accelerazione sugli assi Oh, UO e Oz attraverso un X , un y , un z rispettivamente, ed espandere il vettore velocità lungo gli assi:

. (5.17)

Confrontando le uguaglianze (5.16) e (5.17) otteniamo

Il modulo del vettore di accelerazione del punto è calcolato in modo simile al modulo del vettore di velocità del punto:

, (5.19)

e la direzione del vettore di accelerazione sono i coseni di direzione:

Determinare la velocità e l'accelerazione di un punto con un modo naturale di specificarne il movimento

Questo metodo utilizza assi naturali con origine nella posizione corrente del punto M sulla traiettoria (Figura 5.12) e sui vettori unitari Vettore unitario diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del riferimento positivo dell'arco, il vettore unitario diretto lungo la normale principale della traiettoria verso la sua concavità, il vettore unitario diretto lungo il binormale alla traiettoria nel punto M.

Horts e restare in piano contiguo, orts e in piano normale, orts e  dentro piano di raddrizzamento.

Il triangolo risultante è chiamato naturale.

Sia data la legge del moto di un punto S = S(t).

raggio vettore punti M rispetto a qualche punto fisso sarà una complessa funzione del tempo
.

Dalla geometria differenziale sono note le formule di Serre-Fresnet, che stabiliscono connessioni tra i vettori unitari degli assi naturali e la funzione vettoriale della curva

dove  è il raggio di curvatura della traiettoria.

Usando la definizione di velocità e la formula di Serre Frenet, otteniamo:

. (5.20)

Indica la proiezione della velocità sulla tangente e tenendo conto che il vettore velocità è diretto tangenzialmente, abbiamo

. (5.21)

Confrontando le uguaglianze (5.20) e (5.21), otteniamo formule per determinare il vettore velocità in grandezza e direzione

Valore è positivo se il punto M si muove nella direzione positiva di riferimento dell'arco S e negativo altrimenti.

Utilizzando la definizione di accelerazione e la formula di Serre Frenet, otteniamo:

Indica la proiezione dell'accelerazione del punto ad una tangente , normale principale e binormale
rispettivamente.

Allora l'accelerazione è

Dalle formule (5.23) e (5.24) segue che il vettore di accelerazione giace sempre nel piano contiguo e si espande nelle direzioni e :

(5.25)

Proiezione dell'accelerazione su una tangente
chiamato tangente o accelerazione tangenziale. Caratterizza il cambiamento nell'ampiezza della velocità.

Proiezione dell'accelerazione sulla normale principale
chiamato normale accelerazione. Caratterizza la variazione del vettore velocità nella direzione.

Il modulo del vettore di accelerazione è uguale a
.

Se una e un segno, quindi il movimento del punto sarà accelerato.

Se una e segni diversi, quindi il movimento della punta sarà lento.

La velocità di un punto è un vettore che determina in ogni momento la velocità e la direzione del movimento del punto.

La velocità del movimento uniforme è determinata dal rapporto tra il percorso percorso da un punto in un certo periodo di tempo e il valore di questo periodo di tempo.

Velocità; S-via; t-tempo.

La velocità è misurata in unità di lunghezza divisa per un'unità di tempo: m/s; cm/s; km/h, ecc.

Nel caso di moto rettilineo, il vettore velocità è diretto lungo la traiettoria nella direzione del suo moto.

Se un punto percorre percorsi disuguali in intervalli di tempo uguali, allora questo movimento è detto irregolare. La velocità è una variabile ed è una funzione del tempo.

La velocità media di un punto in un dato periodo di tempo è la velocità di un movimento rettilineo così uniforme a cui il punto riceverebbe lo stesso movimento durante questo periodo di tempo come nel suo movimento considerato.

Si consideri un punto M che si muove lungo una traiettoria curvilinea data dalla legge

Durante l'intervallo di tempo? t, il punto M si sposterà nella posizione M 1 lungo l'arco MM 1. Se l'intervallo di tempo? t è piccolo, allora l'arco MM 1 può essere sostituito da una corda e, in prima approssimazione, trovare la velocità media del punto

Questa velocità è diretta lungo la corda dal punto M al punto M 1 . Troviamo la vera velocità andando al limite quando?t> 0

Quando?t> 0, la direzione della corda nel limite coincide con la direzione della tangente alla traiettoria nel punto M.

Pertanto, il valore della velocità di un punto è definito come il limite del rapporto tra l'incremento del percorso e il corrispondente intervallo di tempo poiché quest'ultimo tende a zero. La direzione della velocità coincide con la tangente alla traiettoria nel punto dato.

accelerazione puntiforme

Si noti che nel caso generale, quando ci si sposta lungo una traiettoria curvilinea, la velocità di un punto cambia sia in direzione che in grandezza. La variazione di velocità per unità di tempo è determinata dall'accelerazione. In altre parole, l'accelerazione di un punto è una grandezza che caratterizza la velocità di variazione della velocità nel tempo. Se per un intervallo di tempo?t la velocità cambia di un valore, allora l'accelerazione media

La vera accelerazione di un punto in un dato momento t è il valore a cui tende l'accelerazione media quando? t\u003e 0, cioè

Con un intervallo di tempo tendente a zero, il vettore di accelerazione cambierà sia in grandezza che in direzione, tendendo al suo limite.

Dimensione dell'accelerazione

L'accelerazione può essere espressa in m/s 2 ; cm/s 2 ecc.

Nel caso generale, quando il moto di un punto è dato in modo naturale, il vettore di accelerazione è solitamente scomposto in due componenti dirette lungo la tangente e lungo la normale alla traiettoria del punto.

Allora l'accelerazione di un punto al tempo t può essere rappresentata come

Indichiamo i limiti costitutivi con e.

La direzione del vettore non dipende dalla dimensione dell'intervallo di tempo?t.

Questa accelerazione coincide sempre con la direzione della velocità, cioè è diretta tangenzialmente alla traiettoria del punto ed è quindi detta accelerazione tangenziale o tangenziale.

La seconda componente dell'accelerazione del punto è diretta perpendicolarmente alla tangente alla traiettoria in un dato punto verso la concavità della curva e influenza la variazione della direzione del vettore velocità. Questa componente dell'accelerazione è chiamata accelerazione normale.

Poiché il valore numerico del vettore è uguale all'incremento della velocità del punto nell'intervallo di tempo considerato?t, allora il valore numerico dell'accelerazione tangenziale

Il valore numerico dell'accelerazione tangenziale di un punto è uguale alla derivata temporale del valore numerico della velocità. Il valore numerico dell'accelerazione normale di un punto è uguale al quadrato della velocità del punto diviso per il raggio di curvatura della traiettoria nel punto corrispondente della curva

Piena accelerazione con irregolarità moto curvilineo punto è formato geometricamente dalle accelerazioni tangenziali e normali.