Determinazione dei momenti d'inerzia della sezione con traslazione parallela degli assi. Modifica dei momenti di inerzia durante la traslazione parallela degli assi coordinati Momento di inerzia durante la traslazione degli assi


Se gli assi sono centrali, gli assi del momento saranno simili a:

15.Relazione tra momenti di inerzia durante la rotazione degli assi:

J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 \u003d J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y) sin2a + J xy cos2a ;

Angolo a>0, se il passaggio dal vecchio sistema di coordinate al nuovo avviene in senso antiorario. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Vengono chiamati i valori estremi (massimo e minimo) dei momenti di inerzia principali momenti di inerzia. Si chiamano gli assi rispetto ai quali i momenti di inerzia assiali hanno valori estremi principali assi di inerzia. I principali assi di inerzia sono tra loro perpendicolari. Momenti d'inerzia centrifughi sugli assi principali = 0, cioè assi d'inerzia principali - assi rispetto ai quali il momento d'inerzia centrifugo = 0. Se uno degli assi coincide o entrambi coincidono con l'asse di simmetria, allora sono principali. Angolo che definisce la posizione degli assi principali: , se a 0 >0 Þ gli assi vengono ruotati in senso antiorario. L'asse di massimo forma sempre un angolo minore con quello degli assi, rispetto al quale il momento di inerzia ha valore maggiore. Si chiamano gli assi principali passanti per il baricentro principali assi centrali di inerzia. Momenti di inerzia su questi assi:

J max + J min = J x + J y . Momento d'inerzia centrifugo rispetto al principale assi centrali di inerzia è 0. Se sono noti i principali momenti di inerzia, le formule per il passaggio agli assi ruotati sono:

J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

L'obiettivo finale del calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione è determinare il principale momenti centrali inerzia e posizioni dei principali assi centrali di inerzia. Raggio di inerzia - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Se J x e J y sono i principali momenti di inerzia, allora i x e i y - principali raggi di rotazione. Viene chiamata un'ellisse costruita sui raggi di inerzia principali come sui semiassi ellisse di inerzia. Usando l'ellisse di inerzia, puoi trovare graficamente il raggio di rotazione i x 1 per ogni x 1 asse. Per fare ciò, traccia una tangente all'ellisse parallela all'asse x 1 e misura la distanza da questo asse alla tangente. Conoscendo il raggio di inerzia, puoi trovare il momento di inerzia della sezione sull'asse x 1:. Per sezioni con più di due assi di simmetria (ad esempio: un cerchio, un quadrato, un anello, ecc.), i momenti di inerzia assiali su tutti gli assi centrali sono uguali tra loro, J xy \u003d 0, l'ellisse di l'inerzia si trasforma in un cerchio di inerzia.

Spesso, quando si risolvono problemi pratici, è necessario determinare i momenti di inerzia di una sezione rispetto ad assi orientati in modo diverso nel suo piano. In questo caso, è conveniente utilizzare i valori già noti dei momenti di inerzia dell'intera sezione (o delle sue singole parti) rispetto ad altri assi, riportati nella letteratura tecnica, libri e tabelle di riferimento speciali, nonché calcolato con le formule disponibili. Pertanto, è molto importante stabilire la relazione tra i momenti di inerzia di una stessa sezione rispetto ad assi diversi.

Nel caso più generale, il passaggio da qualsiasi vecchio a qualsiasi nuovo sistema le coordinate possono essere considerate come due trasformazioni successive del vecchio sistema di coordinate:

1) tramite trasferimento parallelo degli assi delle coordinate in una nuova posizione e

2) ruotandoli rispetto alla nuova origine. Considera la prima di queste trasformazioni, cioè trasferimento parallelo assi coordinati.

Assumiamo che siano noti i momenti di inerzia di una data sezione rispetto ai vecchi assi (Fig. 18.5).

Prendiamo un nuovo sistema di coordinate i cui assi siano paralleli a quelli vecchi. Siano aeb le coordinate del punto (cioè la nuova origine) nel vecchio sistema di coordinate

Si consideri un'area elementare le cui coordinate nel vecchio sistema di coordinate sono y e . Nel nuovo sistema sono uguali

Sostituiamo questi valori di coordinate nell'espressione per il momento di inerzia assiale attorno all'asse

Nell'espressione risultante, il momento di inerzia, il momento statico della sezione attorno all'asse è uguale all'area F della sezione.

Di conseguenza,

Se l'asse z passa per il baricentro della sezione, allora il momento statico e

Dalla formula (25.5) si può vedere che il momento d'inerzia attorno a un qualsiasi asse che non passa per il baricentro è maggiore del momento d'inerzia attorno all'asse passante per il baricentro, di una quantità sempre positiva . Pertanto, di tutti i momenti di inerzia relativi a assi paralleli momento di inerzia assiale ha valore più piccolo rispetto all'asse passante per il baricentro della sezione.

Momento d'inerzia rispetto all'asse [per analogia con la formula (24.5)]

Nel caso particolare in cui l'asse y passa per il baricentro della sezione

Le formule (25.5) e (27.5) sono ampiamente utilizzate nel calcolo momenti assiali inerzia di sezioni complesse (composte).

Sostituiamo ora i valori nell'espressione per il momento d'inerzia centrifugo attorno agli assi

Determiniamo la relazione tra i vari momenti d'inerzia della sezione rispetto a due assi paralleli (Fig. 6.7), legati da dipendenze

1. Per momenti di inerzia statici

Finalmente,

2. Per momenti di inerzia assiali

Di conseguenza,

Se l'asse z passa quindi per il baricentro della sezione

Di tutti i momenti di inerzia attorno ad assi paralleli, il momento di inerzia assiale ha il valore più piccolo attorno all'asse passante per il baricentro della sezione.

Allo stesso modo per l'asse

Quando l'asse y passa per il baricentro della sezione

3. Per momenti centrifughi inerzia otteniamo

Finalmente puoi scrivere

Quando l'origine del sistema di coordinate yzè nel baricentro della sezione, otteniamo

Nel caso in cui uno o entrambi gli assi siano assi di simmetria,

6.7. Modifica dei momenti di inerzia durante la rotazione degli assi

Si forniscano i momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi coordinati zy.

È necessario determinare i momenti di inerzia della stessa sezione rispetto agli assi ruotati di un certo angolo rispetto al sistema di coordinate zy(Fig. 6.8).

Un angolo è considerato positivo se il vecchio sistema di coordinate deve essere ruotato in senso antiorario per passare a quello nuovo (per un sistema di coordinate cartesiano rettangolare destrorso). Nuovo e vecchio zy i sistemi di coordinate sono collegati da dipendenze che seguono dalla Fig. 6.8:

1. Definiamo le espressioni per i momenti di inerzia assiali rispetto agli assi del nuovo sistema di coordinate:

Allo stesso modo per l'asse

Se aggiungiamo i valori dei momenti di inerzia rispetto agli assi e, allora otteniamo

cioè, quando gli assi vengono ruotati, la somma dei momenti di inerzia assiali è un valore costante.

2. Ricaviamo formule per i momenti d'inerzia centrifughi.

.

6.8. Principali momenti di inerzia. Principali assi di inerzia

I valori estremi dei momenti di inerzia assiali della sezione sono chiamati i principali momenti di inerzia.

Due assi tra loro perpendicolari, rispetto ai quali i momenti d'inerzia assiali hanno valori estremi, sono detti assi d'inerzia principali.

Per trovare i principali momenti di inerzia e la posizione dei principali assi di inerzia, determiniamo la derivata prima rispetto all'angolo del momento di inerzia, determinato dalla formula (6.27)

Imposta questo risultato a zero:

dove è l'angolo per ruotare gli assi delle coordinate y e z in modo che coincidano con gli assi principali.

Confrontando le espressioni (6.30) e (6.31), possiamo stabilirlo

,

Pertanto, rispetto agli assi d'inerzia principali, il momento d'inerzia centrifugo è zero.

Gli assi reciprocamente perpendicolari, uno o entrambi coincidono con gli assi di simmetria della sezione, sono sempre gli assi di inerzia principali.

Risolviamo l'equazione (6.31) rispetto all'angolo:

.

Se >0, allora per determinare la posizione di uno degli assi di inerzia principali per il sistema di coordinate rettangolari cartesiane destro (sinistro), l'asse z ruotare di un angolo in senso antiorario (nel senso di rotazione) in senso orario. Se<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz ruotare di un angolo nel senso di rotazione (contro il senso di rotazione) in senso orario.

L'asse massimo forma sempre un angolo minore con quello degli assi ( y o z), rispetto al quale assume maggiore importanza il momento di inerzia assiale (Fig. 6.9).

L'asse massimo è diretto ad un angolo rispetto all'asse () se () e si trova in quarti pari (dispari) degli assi se ().

Determiniamo i principali momenti di inerzia e. Usando le formule della trigonometria, collegando le funzioni,,, con le funzioni, dalla formula (6.27) otteniamo

,

Si consideri la definizione dei momenti di inerzia di una figura piatta (Fig.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limiti_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

dove $(S_x)$ - momento statico della figura attorno all'asse $X$.

Allo stesso modo, rispetto all'asse $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Momento d'inerzia centrifugo sugli assi $(X_1)$ e $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + di + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A (ydA) + ab\int\limits_A (dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Viene spesso utilizzata la transizione dagli assi centrali (assi corretti di una figura piatta) a quelli paralleli arbitrari. Quindi $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, poiché gli assi $X$ e $Y$ sono centrali. Finalmente abbiamo

dove , - propri momenti di inerzia, cioè momenti di inerzia rispetto ai propri assi centrali;

$a$, $b$ - distanze dagli assi centrali a quelli in esame;

$A$ è l'area della figura.

Si noti che nel determinare il momento d'inerzia centrifugo nelle grandezze $a$ e $b$ bisogna tener conto del segno, cioè sono, appunto, le coordinate del baricentro della figura negli assi considerati. Nel determinare i momenti di inerzia assiali, queste quantità vengono sostituite modulo (come distanze), poiché salgono ancora al quadrato.

Con l'aiuto di formule di traslazione parallela, è possibile effettuare il passaggio dall'asse centrale a quello arbitrario, o viceversa- da assi centrali arbitrari. La prima transizione viene eseguita con un segno "+". Il secondo passaggio si effettua con il segno "- ".

Esempi di utilizzo di formule di transizione tra assi paralleli

Sezione rettangolare

Determiniamo i momenti di inerzia centrali del rettangolo con momenti di inerzia noti rispetto agli assi $Z$ e $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

Allo stesso modo $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

sezione triangolare

Determiniamo i momenti d'inerzia centrali del triangolo con un momento d'inerzia noto attorno alla base $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

Rispetto all'asse centrale $(Y_c)$, il triangolo ha una configurazione diversa, quindi considera quanto segue. Il momento d'inerzia dell'intera figura attorno all'asse $(Y_c)$ è uguale alla somma del momento d'inerzia del triangolo $ABD$ attorno all'asse $(Y_c)$ e del momento d'inerzia del triangolo $CBD $ sull'asse $(Y_c)$, ad es

.

Determinazione del momento d'inerzia di una sezione composta

Consideriamo composta la sezione, essa è costituita da singoli elementi di cui si conoscono le caratteristiche geometriche. L'area, il momento statico ei momenti d'inerzia di una figura composita sono uguali alla somma delle corrispondenti caratteristiche delle loro componenti. Se una sezione può essere formata ritagliando una figura da un'altra, le caratteristiche geometriche della figura tagliata vengono sottratte. Ad esempio, i momenti di inerzia della figura composita mostrata in Fig. sarà definito come

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12 )) = 72\.300$cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \right) = 1\.490\.000$cm 4

Modifica dei momenti di inerzia dell'asta con traslazione parallela degli assi.

Oltre ai momenti statici, considera i seguenti tre integrali:

Dove, come prima, xey denotano le coordinate correnti dell'area elementare dF in un sistema di coordinate arbitrario xOy. Si chiamano i primi 2 integrali momenti di inerzia assiali della sezione rispettivamente sugli assi x e y. Viene chiamato il terzo integrale momento d'inerzia centrifugo della sezione rispetto a x, y. I momenti assiali sono sempre positivi, perché l'area dF è considerata positiva. Il momento d'inerzia centrifugo può essere positivo o negativo, a seconda della posizione della sezione rispetto agli assi x, y.

Ricaviamo le formule per la trasformazione dei momenti di inerzia con spostamento parallelo degli assi. (vedi foto). Assumiamo che ci siano dati i momenti di inerzia ei momenti statici attorno agli assi x 1 e y 1 . È necessario determinare i momenti sugli assi x2 e y2.

Sostituendo qui x 2 \u003d x 1 -a e y 2 \u003d y 1 -b troviamo

Espandendo le parentesi, abbiamo.

Se gli assi x 1 e y 1 sono centrali, S x 1 \u003d S y 1 \u003d 0 e le espressioni risultanti sono semplificate:

Con una traslazione parallela degli assi (se uno degli assi è centrale), i momenti di inerzia assiali cambiano di una quantità pari al prodotto dell'area della sezione trasversale per il quadrato della distanza tra gli assi.

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