DEFINIZIONE

Momento d'inerzia assiale (o equatoriale). la sezione relativa all'asse è chiamata valore, che è definito come:

L'espressione (1) significa, per calcolare il momento d'inerzia assiale, la somma dei prodotti di aree infinitamente piccole () moltiplicata per i quadrati delle distanze da esse all'asse di rotazione è presa sull'intera area S:

La somma dei momenti di inerzia assiali della sezione attorno agli assi reciprocamente perpendicolari (ad esempio, attorno agli assi X e Y in sistema cartesiano coordinate) forniscono il momento di inerzia polare () rispetto al punto di intersezione di questi assi:

DEFINIZIONE

momento polare d'inerzia è chiamato momento d'inerzia come una sezione rispetto a un punto.

I momenti di inerzia assiali sono sempre maggiori di zero, poiché nelle loro definizioni (1) sotto il segno di integrale si trovano il valore dell'area dell'area elementare (), che è sempre positiva e il quadrato della distanza da tale area all'asse.

Se abbiamo a che fare con una sezione di forma complessa, spesso nei calcoli usano il fatto che il momento d'inerzia assiale di una sezione complessa rispetto all'asse è uguale alla somma dei momenti d'inerzia assiali delle parti di questa sezione rispetto allo stesso asse. Tuttavia, va ricordato che è impossibile riassumere i momenti di inerzia che si trovano rispetto a diversi assi e punti.

Il momento d'inerzia assiale rispetto all'asse passante per il baricentro della sezione ha valore più piccolo di tutti i momenti attorno agli assi ad esso paralleli. Il momento d'inerzia rispetto a qualsiasi asse () purché parallelo all'asse passante per il baricentro è:

dove è il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse passante per il baricentro della sezione; - area della sezione trasversale; - distanza tra gli assi.

Esempi di problem solving

ESEMPIO 1

L'obiettivo	Qual è il momento d'inerzia assiale di una sezione triangolare isoscele attorno all'asse Z passante per il baricentro () del triangolo, parallelamente alla sua base? L'altezza del triangolo è .
Soluzione	Selezioniamo un'area elementare rettangolare su una sezione triangolare (vedi Fig. 1). Si trova a una distanza dall'asse di rotazione, dalla lunghezza di uno dei suoi lati, dall'altro lato. Dalla Fig. 1 segue che: L'area del rettangolo selezionato, tenendo conto della (1.1), è uguale a: Per trovare il momento di inerzia assiale, utilizziamo la sua definizione nella forma:
Risposta

ESEMPIO 2

L'obiettivo	Trova i momenti di inerzia assiali attorno agli assi perpendicolari X e Y (Fig. 2) della sezione sotto forma di un cerchio il cui diametro è d.
Soluzione	Per risolvere il problema, è più conveniente iniziare trovando il momento polare relativo al centro della sezione (). Dividiamo l'intera sezione in anelli di spessore infinitamente sottili, il cui raggio è indicato da . Allora troviamo l'area elementare come:

Considera alcune altre caratteristiche geometriche delle figure piane. Viene chiamata una di queste funzionalità assiale o equatoriale momento d'inerzia. Questa caratteristica rispetto agli assi e
(Fig.4.1) assume la forma:

;
. (4.4)

La principale proprietà del momento di inerzia assiale è che non può essere minore o uguale a zero. Questo momento di inerzia è sempre maggiore di zero:
;
. L'unità di misura del momento d'inerzia assiale è (lunghezza 4).

Collega l'origine delle coordinate con un segmento di linea retta con area infinitesima
e denota questo segmento con la lettera (Fig.4.4). Il momento d'inerzia della figura relativa al polo - l'origine - è chiamato momento d'inerzia polare:

. (4.5)

Questo momento di inerzia, come quello assiale, è sempre maggiore di zero (
) e ha dimensione – (lunghezza 4).

Scriviamo condizione di invarianza somme di momenti di inerzia equatoriali attorno a due assi reciprocamente perpendicolari. La Figura 4.4 lo mostra
.

Sostituiamo questa espressione nella formula (4.5), otteniamo:

La condizione di invarianza è formulata come segue: la somma dei momenti di inerzia assiali attorno a due assi qualsiasi tra loro perpendicolari è un valore costante ed uguale al momento di inerzia polare attorno al punto di intersezione di questi assi.

Viene chiamato il momento d'inerzia di una figura piana attorno a due assi reciprocamente perpendicolari contemporaneamente biassiale o centrifugo momento d'inerzia. Il momento d'inerzia centrifugo ha la seguente forma:

. (4.7)

Il momento d'inerzia centrifugo ha dimensione - (lunghezza 4). Può essere positivo, negativo o zero. Vengono chiamati gli assi attorno ai quali il momento d'inerzia centrifugo è zero principali assi di inerzia. Dimostriamo che l'asse di simmetria di una figura piana è asse principale.

Si consideri la figura piatta mostrata nella Figura 4.5.

Scegliamo a sinistra ea destra dell'asse di simmetria due elementi di area infinitesima
. Il baricentro dell'intera figura è nel punto C. Poniamo l'origine nel punto C e indichiamo le coordinate verticali degli elementi selezionati con la lettera “ ”, orizzontalmente – per l'elemento sinistro “
”, per l'elemento giusto “ ". Calcoliamo la somma dei momenti d'inerzia centrifughi per gli elementi selezionati con un'area infinitamente piccola rispetto agli assi e :

Se integriamo l'espressione (4.8) a sinistra ea destra, otteniamo:

, (4.9)

poiché se l'asse è un asse di simmetria, quindi per ogni punto che giace a sinistra di questo asse, ce ne sarà sempre uno simmetrico.

Analizzando la soluzione ottenuta, giungiamo alla conclusione che l'asse di simmetria è il principale asse di inerzia. asse centrale è anche l'asse principale, sebbene non sia un asse di simmetria, poiché il momento di inerzia centrifuga è stato calcolato contemporaneamente per due assi e e si è rivelato zero.

Se disegniamo assi coordinati attraverso il punto O, rispetto a questi assi, i momenti di inerzia centrifuga (o prodotti di inerzia) sono le quantità definite dalle uguaglianze:

dove sono le masse di punti; - le loro coordinate; mentre è ovvio che, ecc.

Per i corpi solidi, le formule (10), per analogia con (5), assumono la forma

A differenza dei momenti di inerzia centrifughi assiali, possono essere sia valori positivi che negativi e, in particolare, con determinati assi scelti in un certo modo, possono svanire.

Principali assi di inerzia. Si consideri un corpo omogeneo con un asse di simmetria. Disegniamo gli assi coordinati Oxyz in modo che l'asse sia diretto lungo l'asse di simmetria (Fig. 279). Quindi, per simmetria, ad ogni punto del corpo con massa mk e coordinate corrisponderà un punto con indice diverso, ma con la stessa massa e con coordinate uguali a . Di conseguenza, otteniamo che poiché in queste somme tutti i termini sono identici a coppie in valore assoluto e opposti in segno; quindi, tenendo conto delle uguaglianze (10), troviamo:

Pertanto, la simmetria nella distribuzione delle masse attorno all'asse z è caratterizzata dall'annullamento di due momenti d'inerzia centrifughi. L'asse Oz, per il quale i momenti d'inerzia centrifughi contenenti il ​​nome di tale asse nei loro indici, sono pari a zero, è detto asse d'inerzia principale del corpo per il punto O.

Ne consegue da quanto precede che se il corpo ha un asse di simmetria, allora questo asse è l'asse di inerzia principale del corpo per uno qualsiasi dei suoi punti.

L'asse di inerzia principale non è necessariamente l'asse di simmetria. Si consideri un corpo omogeneo con un piano di simmetria (in Fig. 279, il piano di simmetria del corpo è il piano). Tracciamo alcuni assi su questo piano e un asse perpendicolare ad essi, quindi, per simmetria, ogni punto con massa e coordinate corrisponderà ad un punto con la stessa massa e coordinate uguali a . Di conseguenza, come nel caso precedente, troviamo che o da dove ne consegue che l'asse è l'asse di inerzia principale per il punto O. Quindi, se il corpo ha un piano di simmetria, allora qualsiasi asse perpendicolare a questo piano sarà l'asse di inerzia principale del corpo per il punto O, in cui l'asse interseca il piano.

Le uguaglianze (11) esprimono le condizioni che l'asse è l'asse principale di inerzia del corpo per il punto O (l'origine delle coordinate).

Allo stesso modo, se allora l'asse Oy sarà l'asse di inerzia principale per il punto O. Pertanto, se tutti i momenti d'inerzia centrifughi sono uguali a zero, cioè

quindi ciascuno degli assi delle coordinate è l'asse principale di inerzia del corpo per il punto O (l'origine delle coordinate).

Ad esempio, in fig. 279 tutti e tre gli assi sono per il punto O i principali assi di inerzia (l'asse come asse di simmetria e gli assi Ox e Oy come perpendicolari ai piani di simmetria).

I momenti di inerzia del corpo attorno ai principali assi di inerzia sono chiamati i principali momenti di inerzia del corpo.

I principali assi di inerzia costruiti per il centro di massa del corpo sono chiamati i principali assi centrali di inerzia del corpo. Ne consegue da quanto sopra che se il corpo ha un asse di simmetria, allora questo asse è uno dei principali assi centrali inerzia del corpo, poiché il centro di massa giace su questo asse. Se il corpo ha un piano di simmetria, l'asse perpendicolare a questo piano e passante per il centro di massa del corpo sarà anche uno dei principali assi centrali di inerzia del corpo.

Negli esempi riportati sono stati considerati corpi simmetrici, sufficienti per risolvere i problemi che dovremo affrontare. Tuttavia, si può dimostrare che almeno tre di questi assi reciprocamente perpendicolari possono essere tracciati attraverso qualsiasi punto di qualsiasi corpo, per il quale saranno soddisfatte le uguaglianze (11), cioè quali saranno i principali assi di inerzia del corpo per questo punto .

Il concetto dei principali assi di inerzia gioca ruolo importante nella dinamica corpo solido. Se gli assi delle coordinate Oxyz sono diretti lungo di essi, tutti i momenti di inerzia centrifuga si azzerano e le equazioni o formule corrispondenti vengono notevolmente semplificate (vedi § 105, 132). Connesso a questo concetto è anche la soluzione di problemi sull'equazione dinamica dei corpi rotanti (vedi § 136), sul centro di impatto (vedi § 157), ecc.

CARATTERISTICHE GEOMETRICHE DELLE SEZIONI PIATTE.

Come mostra l'esperienza, la resistenza dell'asta a varie deformazioni dipende non solo dalle dimensioni della sezione trasversale, ma anche dalla forma.

Le dimensioni e la forma della sezione trasversale sono caratterizzate da diverse caratteristiche geometriche: area della sezione trasversale, momenti statici, momenti di inerzia, momenti di resistenza, ecc.

1. Momento statico dell'area(momento di inerzia del primo grado).

Momento d'inerzia statico area relativa a qualsiasi asse, è la somma dei prodotti delle aree elementari a distanza da tale asse, estesa all'intera area (Fig. 1)

Fig. 1

Proprietà del momento statico dell'area:

1. Il momento statico dell'area è misurato in unità di lunghezza del terzo grado (ad esempio cm 3).

2. Il momento statico può essere minore di zero, maggiore di zero e, quindi, uguale a zero. Gli assi rispetto ai quali il momento statico è uguale a zero passano per il baricentro della sezione e sono detti assi centrali.

Se xc e yc sono le coordinate del baricentro, quindi

3. Il momento d'inerzia statico di una sezione complessa rispetto a qualsiasi asse è uguale alla somma dei momenti statici dei componenti sezioni semplici circa lo stesso asse.

Il concetto di momento d'inerzia statico nella scienza della forza viene utilizzato per determinare la posizione del baricentro delle sezioni, anche se va ricordato che nelle sezioni simmetriche il baricentro si trova all'intersezione degli assi di simmetria.

2. Momento d'inerzia sezioni piatte(cifre) (momenti di inerzia di secondo grado).

ma) assiale Momento d'inerzia (equatoriale).

Momento d'inerzia assiale l'area di una figura relativa a un qualsiasi asse è la somma dei prodotti delle aree elementari per quadrato della distanza di questo asse di distribuzione sull'intera area (Fig. 1)

Proprietà del momento d'inerzia assiale.

1. Il momento d'inerzia assiale dell'area è misurato in unità della lunghezza della quarta potenza (ad esempio cm 4).

2. Il momento d'inerzia assiale è sempre maggiore di zero.

3. Il momento d'inerzia assiale di una sezione complessa rispetto a un qualsiasi asse è uguale alla somma dei momenti assiali delle sezioni semplici costituenti rispetto allo stesso asse:

4. Il valore del momento di inerzia assiale caratterizza la capacità di un'asta (trave) di una certa sezione trasversale di resistere alla flessione.

B) Momento d'inerzia polare.

Momento d'inerzia polare L'area di una figura relativa a un polo è la somma dei prodotti delle aree elementari per quadrato della distanza dal polo, estesa all'intera area (Fig. 1).

Proprietà del momento d'inerzia polare:

1. Il momento d'inerzia polare dell'area è misurato in unità di lunghezza della quarta potenza (ad esempio cm 4).

2. Il momento d'inerzia polare è sempre maggiore di zero.

3. Il momento d'inerzia polare di una sezione complessa rispetto a un qualsiasi polo (centro) è uguale alla somma dei momenti polari dei componenti di sezioni semplici rispetto a tale polo.

4. Il momento d'inerzia polare di una sezione è uguale alla somma dei momenti d'inerzia assiali di questa sezione attorno a due assi tra loro perpendicolari passanti per il polo.

5. L'entità del momento di inerzia polare caratterizza la capacità di un'asta (trave) di una certa forma della sezione trasversale di resistere alla torsione.

c) momento d'inerzia centrifugo.

IL MOMENTO CENTRIFUGO DI INERZIA dell'area della figura relativa a qualsiasi sistema di coordinate è la somma dei prodotti delle aree elementari per coordinate, estesa all'intera area (Fig. 1)

Proprietà del momento d'inerzia centrifuga:

1. Il momento d'inerzia centrifuga dell'area è misurato in unità di lunghezza della quarta potenza (ad esempio cm 4).

2. Il momento d'inerzia centrifugo può essere maggiore di zero, minore di zero e uguale a zero. Gli assi attorno ai quali il momento d'inerzia centrifugo è zero sono detti assi d'inerzia principali. Due assi tra loro perpendicolari, di cui almeno uno è un asse di simmetria, saranno gli assi principali. Gli assi principali passanti per il baricentro dell'area sono chiamati assi centrali principali e i momenti di inerzia assiali dell'area sono chiamati principali momenti centrali inerzia.

3. Il momento di inerzia centrifuga di una sezione complessa in qualsiasi sistema di coordinate è uguale alla somma dei momenti di inerzia centrifuga delle figure costituenti nello stesso schema di coordinate.

MOMENTI DI INERZIA RELATIVI AD ASSI PARALLELI.

Fig.2

Dato: assi x, y- centrale;

quelli. il momento d'inerzia assiale in una sezione attorno ad un asse parallelo a quello centrale è uguale al momento assiale attorno al suo asse centrale più il prodotto dell'area per il quadrato della distanza tra gli assi. Ne consegue che il momento d'inerzia assiale della sezione rispetto all'asse centrale ha un valore minimo nel sistema di assi paralleli.

Dopo aver effettuato calcoli simili per il momento d'inerzia centrifugo, otteniamo:

Jx1y1=Jxy+Aab

quelli. il momento centrifugo di inerzia della sezione attorno ad assi paralleli al sistema di coordinate centrale è uguale al momento centrifugo nel sistema di coordinate centrale più il prodotto dell'area per la distanza tra gli assi.

MOMENTI DI INERZIA IN UN SISTEMA A COORDINATE ROTATE

quelli. la somma dei momenti d'inerzia assiali della sezione è un valore costante, non dipende dall'angolo di rotazione degli assi coordinati ed è uguale al momento d'inerzia polare rispetto all'origine. Il momento d'inerzia centrifugo può cambiare il suo valore e portarsi a "0".

Gli assi attorno ai quali il momento centrifugo è uguale a zero saranno gli assi di inerzia principali e, se passano per il baricentro, sono chiamati assi di inerzia principali e sono indicati " u" e "".

I momenti di inerzia attorno agli assi centrali principali sono chiamati momenti di inerzia centrali principali e sono indicati , e i principali momenti centrali di inerzia hanno valori estremi, cioè uno è "min" e l'altro è "max".

Lascia che l'angolo "a 0" caratterizzi la posizione degli assi principali, quindi:

in base a questa dipendenza determiniamo la posizione degli assi principali. Il valore dei principali momenti di inerzia dopo alcune trasformazioni è determinato dalla seguente dipendenza:

ESEMPI DI DETERMINAZIONE DI MOMENTI ASSIALI DI INERZIA, MOMENTI DI INERZIA POLARI E MOMENTI DI RESISTENZA DI SEMPLICI FIGURE.

1. Sezione rettangolare

assi X e y - qui e in altri esempi - i principali assi centrali di inerzia.

Determiniamo i momenti assiali di resistenza:

2. Sezione solida rotonda. momenti di inerzia.

Assumiamo che esista un sistema di coordinate con origine nel punto O e assi OX; OY; oncia In relazione a questi assi, i momenti d'inerzia centrifughi (prodotti di inerzia) sono detti quantità, che sono determinati dalle uguaglianze:

dove sono le masse punti materiali in cui il corpo è rotto; - coordinate dei punti materiali corrispondenti.

Il momento d'inerzia centrifugo ha una proprietà di simmetria, che segue dalla sua definizione:

I momenti centrifughi del corpo possono essere positivi e negativi, con una certa scelta degli assi OXYZ, possono svanire.

Per i momenti di inerzia centrifughi, esiste un analogo del teorema di Steinberg. Se consideriamo due sistemi di coordinate: e . Uno di questi sistemi ha l'origine delle coordinate al centro di massa del corpo (punto C), gli assi dei sistemi di coordinate sono paralleli a coppie (). Lascia che nel sistema di coordinate le coordinate del centro di massa del corpo siano (), quindi:

dov'è la massa del corpo.

Principali assi di inerzia del corpo

Lascia che un corpo omogeneo abbia un asse di simmetria. Costruiamo gli assi delle coordinate in modo che l'asse OZ sia diretto lungo l'asse di simmetria del corpo. Quindi, come conseguenza della simmetria, ad ogni punto del corpo con massa e coordinate corrisponde un punto che ha indice diverso, ma stessa massa e coordinate: . Di conseguenza, otteniamo che:

poiché in queste somme tutti i termini hanno la loro uguale in grandezza, ma opposti nella coppia di segni. Le espressioni (4) equivalgono a scrivere:

Abbiamo ottenuto che la simmetria assiale della distribuzione delle masse rispetto all'asse OZ è caratterizzata dall'uguaglianza a zero di due momenti d'inerzia centrifughi (5), che contengono tra i loro indici il nome di tale asse. In questo caso, l'asse OZ è chiamato asse di inerzia principale del corpo per il punto O.

L'asse principale di inerzia non è sempre l'asse di simmetria del corpo. Se il corpo ha un piano di simmetria, allora qualsiasi asse perpendicolare a questo piano è l'asse di inerzia principale per il punto O, in corrispondenza del quale l'asse interseca il piano in esame. Le uguaglianze (5) riflettono le condizioni che l'asse OZ è l'asse principale di inerzia del corpo per il punto O (l'origine delle coordinate). Se le condizioni sono soddisfatte:

quindi l'asse OY sarà l'asse di inerzia principale per il punto O.

Se le uguaglianze sono soddisfatte:

quindi tutti e tre gli assi delle coordinate del sistema di coordinate OXYZ sono i principali assi di inerzia del corpo per l'origine.

I momenti di inerzia del corpo rispetto agli assi di inerzia principali sono detti i momenti di inerzia principali del corpo. I principali assi di inerzia, che sono costruiti per il centro di massa del corpo, sono chiamati i principali assi centrali di inerzia del corpo.

Se il corpo ha un asse di simmetria, allora è uno dei principali assi centrali di inerzia del corpo, poiché il centro di massa si trova su questo asse. Nel caso in cui il corpo abbia un piano di simmetria, l'asse normale a questo piano e passante per il centro di massa del corpo è uno dei principali assi centrali di inerzia del corpo.

Il concetto di principali assi di inerzia nella dinamica di un corpo rigido è essenziale. Se gli assi coordinati OXYZ sono diretti lungo di essi, tutti i momenti di inerzia centrifuga diventano uguali a zero, mentre le formule che dovrebbero essere utilizzate per risolvere problemi di dinamica sono notevolmente semplificate. Il concetto dei principali assi di inerzia è connesso con la soluzione di problemi sull'equazione dinamica di un corpo in rotazione e sul centro di impatto.

Il momento d'inerzia di un corpo (anche centrifugo) nel sistema internazionale di unità si misura in:

Momento d'inerzia centrifugo della sezione

Il momento d'inerzia centrifugo di una sezione (figura piatta) attorno a due assi tra loro normali (OX e OY) è un valore pari a:

l'espressione (8) dice che il momento d'inerzia centrifugo della sezione relativa ad assi tra loro perpendicolari è la somma dei prodotti delle aree elementari () per le distanze da esse agli assi considerati, sull'intera area S.

L'unità di misura dei momenti di inerzia di una sezione in SI è:

Il momento d'inerzia centrifugo di una sezione complessa rispetto a due assi qualsiasi tra loro normali è uguale alla somma dei momenti d'inerzia centrifughi delle sue parti costituenti rispetto a questi assi.

Esempi di problem solving

ESEMPIO 1

L'obiettivo

Ottieni un'espressione per il momento d'inerzia centrifugo di una sezione rettangolare attorno agli assi (X,Y).

Soluzione

Facciamo un disegno. Per determinare il momento di inerzia centrifugo, selezioniamo dal rettangolo esistente un elemento della sua area (Fig. 1), la cui area è uguale a: Nella prima fase di risoluzione del problema, troviamo il momento d'inerzia centrifugo () di una striscia verticale di altezza e larghezza , che si trova a una distanza dall'asse Y (tenere presente che quando si integra per tutti i siti nel striscia verticale selezionata, il valore è costante):