Definizione di base. Un sistema di vettori costituisce una base se:

1) è linearmente indipendente,

2) qualsiasi vettore dello spazio che lo attraversa è espresso linearmente.

Esempio 1 Base spaziale: .

2. Nel sistema dei vettori i vettori sono la base: , perché espresso linearmente in termini di vettori.

Commento. Per trovare le basi di un dato sistema di vettori, devi:

1) scrivere le coordinate dei vettori nella matrice,

2) attraverso trasformazioni elementari portare la matrice a una forma triangolare,

3) saranno righe di matrice diverse da zero base del sistema,

4) il numero di vettori nella base è uguale al rango della matrice.

Teorema di Kronecker-Capelli

Il teorema di Kronecker-Capelli fornisce una risposta esauriente alla questione della coerenza sistema arbitrario equazioni lineari con sconosciuto

Teorema di Kronecker-Capelli. Un sistema di equazioni algebriche lineari è consistente se e solo se il rango della matrice estesa del sistema è uguale al rango della matrice principale, .

L'algoritmo per trovare tutte le soluzioni di un sistema coerente di equazioni lineari segue dal teorema di Kronecker-Capelli e dai seguenti teoremi.

Teorema. Se il grado del sistema congiunto è uguale al numero sconosciuto, allora il sistema ha una soluzione unica.

Teorema. Se il grado del sistema congiunto inferiore al numero sconosciuto, allora il sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Algoritmo per risolvere un sistema arbitrario di equazioni lineari:

1. Trova i ranghi delle matrici principali ed estese del sistema. Se non sono uguali (), il sistema è incoerente (non ha soluzioni). Se i ranghi sono uguali ( , il sistema è coerente.

2. Per un sistema compatibile, troviamo qualche minore il cui ordine determina il rango della matrice (tale minore è detto di base). Componiamo nuovo sistema dalle equazioni in cui i coefficienti delle incognite sono inclusi nella minore di base (queste incognite sono chiamate incognite principali), scartiamo il resto delle equazioni. Lasciamo le incognite principali con i coefficienti a sinistra e trasferiamo le incognite rimanenti (sono chiamate incognite libere) sul lato destro delle equazioni.

3. Troviamo le espressioni delle principali incognite nei termini di quelle libere. Otteniamo la soluzione generale del sistema.

4. Dando valori arbitrari alle incognite libere, otteniamo i valori corrispondenti delle incognite principali. Pertanto, troviamo soluzioni particolari al sistema di equazioni originale.

Programmazione lineare. Concetti basilari

Programmazione lineareè una direzione della programmazione matematica che studia metodi per la risoluzione di problemi estremi, caratterizzati da una relazione lineare tra variabili e un criterio lineare.

Condizione necessaria affermazione del problema della programmazione lineare sono le restrizioni sulla disponibilità delle risorse, l'entità della domanda, la capacità di produzione dell'impresa e altri fattori di produzione.

L'essenza della programmazione lineare è trovare i punti di maggiore o il valore più piccolo alcune funzionano con un certo insieme di restrizioni imposte agli argomenti e ai generatori sistema di restrizioni , che di solito ha un numero infinito di soluzioni. Ogni insieme di valori variabili (argomenti di funzione F ) che soddisfa il sistema di vincoli è chiamato piano accettabile problemi di programmazione lineare. Funzione F , il cui massimo o minimo è determinato, viene chiamato funzione obiettivo compiti. Piano ammissibile su cui si raggiunge il massimo o il minimo della funzione F , è chiamato piano ottimale compiti.

Il sistema di vincoli che definisce l'insieme dei piani è dettato dalle condizioni di produzione. Un problema di programmazione lineare ( ZLP ) è la scelta del più redditizio (ottimale) dall'insieme dei piani fattibili.

La formulazione generale del problema della programmazione lineare è la seguente:

Ci sono alcune variabili x \u003d (x 1, x 2, ... x n) e la funzione di queste variabili f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , che porta il nome bersaglio funzioni. Il compito è fissato: trovare l'estremo (massimo o minimo) della funzione obiettivo f(x) a condizione che le variabili X appartengono a qualche area G :

A seconda del tipo di funzione f(x) e aree G e distinguere tra sezioni di programmazione matematica: programmazione quadratica, programmazione convessa, programmazione intera, ecc. La programmazione lineare è caratterizzata dal fatto che
una funzione f(x) è un funzione lineare variabili x 1, x 2, ... x n
b) zona G determinato dal sistema lineare uguaglianze o disuguaglianze.

Una combinazione lineare di vettori è un vettore
, dove λ 1 , ... , λ m sono coefficienti arbitrari.

Sistema vettoriale
si dice linearmente dipendente se esiste la sua combinazione lineare uguale a , che ha almeno un coefficiente diverso da zero.

Sistema vettoriale
è detto linearmente indipendente se in uno qualsiasi dei suoi combinazione lineare uguale a , tutti i coefficienti sono zero.

Le basi del sistema dei vettori
viene chiamato il suo sottosistema non vuoto linearmente indipendente, attraverso il quale può essere espresso qualsiasi vettore del sistema.

Esempio 2. Trova la base del sistema di vettori = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) ed esprimi i vettori rimanenti in termini di base.

Soluzione Costruiamo una matrice in cui disponiamo le coordinate di questi vettori in colonne. Lo portiamo a una forma a gradini.

~
~
~
.

La base di questo sistema è costituita dai vettori ,,, che corrispondono agli elementi principali delle righe contrassegnate da cerchi. Per un'espressione vettoriale risolvi l'equazione x 1 +x2 +x4 =. Si riduce a un sistema di equazioni lineari, la cui matrice si ottiene dall'originale permutando la colonna corrispondente , al posto della colonna dei termini gratuiti. Pertanto, per risolvere il sistema, utilizziamo la matrice risultante in una forma graduale, apportando in essa le necessarie permutazioni.

Troviamo successivamente:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Osservazione 1. Se è necessario esprimere più vettori attraverso la base, per ciascuno di essi viene costruito il corrispondente sistema di equazioni lineari. Questi sistemi differiranno solo nelle colonne dei membri gratuiti. Pertanto, per risolverli, è possibile compilare una matrice, in cui ci saranno diverse colonne di membri liberi. In questo caso, ogni sistema viene risolto indipendentemente dagli altri.

Osservazione 2. Per esprimere un qualsiasi vettore è sufficiente utilizzare solo i vettori base del sistema che lo precedono. In questo caso, non è necessario rimodellare la matrice, è sufficiente inserire una linea verticale nel posto giusto.

Esercizio 2. Trova la base del sistema di vettori ed esprimi il resto dei vettori attraverso la base:

un) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

in) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistema decisionale fondamentale

Un sistema di equazioni lineari si dice omogeneo se tutti i suoi termini liberi sono uguali a zero.

Sistema decisionale fondamentale sistema omogeneo equazioni lineari è chiamata base dell'insieme delle sue soluzioni.

Sia dato un sistema disomogeneo di equazioni lineari. Un sistema omogeneo associato a uno dato è un sistema ottenuto da uno dato sostituendo tutti i termini liberi con zeri.

Se un sistema disomogeneo è consistente e indefinito, allora la sua soluzione arbitraria ha la forma f o1 +  1 f o1 + ... +  k f o k , dove f o è una soluzione particolare del sistema disomogeneo e f o1 , ... , f o k è la soluzione di sistema fondamentale del sistema omogeneo associato.

Esempio 3. Trova una soluzione particolare per il sistema disomogeneo dall'Esempio 1 e sistema fondamentale soluzioni del sistema omogeneo associato.

Soluzione Scriviamo la soluzione ottenuta nell'Esempio 1 in forma vettoriale ed espandiamo il vettore risultante in una somma sui parametri liberi che contiene e sui valori numerici fissi:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Otteniamo f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Commento. Il problema di trovare un sistema fondamentale di soluzioni per un sistema omogeneo è risolto in modo simile.

Esercizio 3.1 Trova il sistema fondamentale di soluzioni di un sistema omogeneo:

un)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

ESERCIZIO 3.2. Trova una soluzione particolare del sistema disomogeneo e il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo associato:

un)

b)

In geometria, un vettore è inteso come un segmento diretto e i vettori ottenuti l'uno dall'altro trasferimento parallelo, sono considerati uguali. Tutti i vettori uguali sono trattati come lo stesso vettore. L'inizio del vettore può essere posizionato in qualsiasi punto dello spazio o del piano.

Se le coordinate degli estremi del vettore sono date nello spazio: UN(X 1 , y 1 , z 1), B(X 2 , y 2 , z 2), quindi

= (X 2 – X 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Una formula simile vale nel piano. Ciò significa che un vettore può essere scritto come una stringa di coordinate. Le operazioni sui vettori, - addizione e moltiplicazione per un numero, sulle stringhe vengono eseguite componente per componente. Ciò rende possibile espandere il concetto di vettore, intendendo un vettore come una qualsiasi stringa di numeri. Ad esempio, la soluzione di un sistema di equazioni lineari, nonché qualsiasi insieme di valori variabili di sistema, può essere visto come un vettore.

Su stringhe della stessa lunghezza, l'operazione di addizione viene eseguita secondo la regola

(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

La moltiplicazione di una stringa per un numero viene eseguita secondo la regola

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Insieme di vettori di riga di data lunghezza n con le indicate operazioni di addizione vettoriale e moltiplicazione per un numero forma una struttura algebrica chiamata spazio lineare n-dimensionale.

Una combinazione lineare di vettori è un vettore , dove λ 1 , ... , λ m sono coefficienti arbitrari.

Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se esiste la sua combinazione lineare uguale a , che ha almeno un coefficiente diverso da zero.

Un sistema di vettori si dice linearmente indipendente se in una qualsiasi delle sue combinazioni lineari uguali a , tutti i coefficienti sono zero.

Pertanto, la soluzione della questione della dipendenza lineare del sistema di vettori si riduce alla soluzione dell'equazione

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Se questa equazione ha soluzioni diverse da zero, il sistema di vettori è linearmente dipendente. Se la soluzione zero è unica, allora il sistema dei vettori è linearmente indipendente.

Per risolvere il sistema (4), per chiarezza, i vettori possono essere scritti non sotto forma di righe, ma sotto forma di colonne.

Quindi, dopo aver eseguito le trasformazioni sul lato sinistro, arriviamo a un sistema di equazioni lineari equivalenti all'equazione (4). La matrice principale di questo sistema è formata dalle coordinate dei vettori originali disposti in colonne. La colonna dei membri liberi qui non è necessaria, poiché il sistema è omogeneo.

Base sistema di vettori (finiti o infiniti, in particolare tutti spazio lineare) è il suo sottosistema linearmente indipendente non vuoto, attraverso il quale può essere espresso qualsiasi vettore del sistema.

Esempio 1.5.2. Trova la base del sistema di vettori = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) ed esprimere altri vettori attraverso la base.

Decisione. Costruiamo una matrice in cui le coordinate di questi vettori sono disposte in colonne. Questa è la matrice del sistema X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Portiamo la matrice in una forma a gradini:

~ ~ ~

La base di questo sistema di vettori è costituita dai vettori , , , che corrispondono agli elementi principali delle righe contrassegnate da cerchi. Per esprimere il vettore, risolviamo l'equazione X 1 + X 2 + X 4 = . Si riduce a un sistema di equazioni lineari, la cui matrice si ottiene dall'originale riordinando la colonna corrispondente a , al posto della colonna dei termini liberi. Pertanto, quando si riduce a una forma a gradini, sulla matrice verranno eseguite le stesse trasformazioni di cui sopra. Ciò significa che possiamo utilizzare la matrice risultante in una forma a gradini apportando le necessarie permutazioni delle colonne al suo interno: le colonne con i cerchi sono poste a sinistra della barra verticale e la colonna corrispondente al vettore è posta a destra del bar.

Troviamo successivamente:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

Commento. Se è necessario esprimere più vettori attraverso la base, per ciascuno di essi viene costruito il corrispondente sistema di equazioni lineari. Questi sistemi differiranno solo nelle colonne dei membri gratuiti. In questo caso, ogni sistema viene risolto indipendentemente dagli altri.

ESERCIZIO 1.4. Trova la base del sistema di vettori ed esprimi il resto dei vettori in termini di base:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

In un dato sistema di vettori, una base può essere generalmente distinta in modi diversi, ma tutte le basi avranno lo stesso numero di vettori. Il numero di vettori nella base di uno spazio lineare è chiamato dimensione dello spazio. Per n-spazio lineare dimensionale nè la dimensione dello spazio, poiché questo spazio ha una base standard = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Attraverso questa base, qualsiasi vettore = (a 1 , a 2 , … , a n) è espresso come segue:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Pertanto, le componenti nella riga del vettore = (a 1 , a 2 , … , a n) sono i suoi coefficienti nell'espansione in termini di base standard.

Rette su un piano

Il problema della geometria analitica - applicazione a problemi geometrici metodo delle coordinate. Questo traduce il compito in forma algebrica e si risolve con l'algebra.

Nell'articolo sui vettori n-dimensionali, siamo arrivati ​​al concetto di spazio lineare generato da un insieme di vettori n-dimensionali. Ora dobbiamo considerare concetti non meno importanti, come dimensione e base. spazio vettoriale. Sono direttamente correlati al concetto di un sistema di vettori linearmente indipendente, quindi si consiglia inoltre di ricordare a se stessi anche le basi di questo argomento.

Introduciamo alcune definizioni.

Definizione 1

Dimensione dello spazio vettoriale- numero corrispondente a il numero massimo vettori linearmente indipendenti in questo spazio.

Definizione 2

Base dello spazio vettoriale- un insieme di vettori linearmente indipendenti, ordinati e in numero pari alla dimensione dello spazio.

Considera un certo spazio di n -vettori. La sua dimensione è rispettivamente pari a n . Prendiamo un sistema di n vettori:

e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Usiamo questi vettori come componenti della matrice A: sarà unità di dimensione n per n . Il rango di questa matrice è n . Pertanto, il sistema vettoriale e (1) , e (2) , . . . , e (n) è linearmente indipendente. In questo caso, è impossibile aggiungere un singolo vettore al sistema senza violarne l'indipendenza lineare.

Poiché il numero di vettori nel sistema è n, la dimensione dello spazio dei vettori n-dimensionali è n, e vettori unitari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sono la base dello spazio specificato.

Dalla definizione ottenuta concludiamo: qualsiasi sistema di vettori n-dimensionali, in cui il numero di vettori sia minore di n, non è una base dello spazio.

Se scambiamo il primo e il secondo vettore, otteniamo un sistema di vettori e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Sarà anche la base di uno spazio vettoriale n-dimensionale. Componiamo una matrice, prendendo i vettori del sistema risultante come sue righe. La matrice può essere ottenuta dalla matrice identità scambiando le prime due righe, il suo rango sarà uguale a n . Sistema e (2) , e (1) , . . . , e (n) è linearmente indipendente ed è una base di uno spazio vettoriale n-dimensionale.

Riorganizzando altri vettori nel sistema originale, otteniamo un'altra base.

Possiamo prendere un sistema linearmente indipendente di vettori non unitari, e questo rappresenterà anche la base di uno spazio vettoriale n-dimensionale.

Definizione 3

Uno spazio vettoriale di dimensione n ha tante basi quanti sono i sistemi linearmente indipendenti di vettori n-dimensionali di numero n.

Il piano è uno spazio bidimensionale: la sua base sarà costituita da due vettori non collineari qualsiasi. Qualsiasi tre vettori non complanari serviranno come base dello spazio tridimensionale.

Si consideri l'applicazione di questa teoria su esempi specifici.

Esempio 1

Dati iniziali: vettori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

È necessario determinare se i vettori indicati sono la base di uno spazio vettoriale tridimensionale.

Decisione

Per risolvere il problema, studiamo il dato sistema di vettori per una dipendenza lineare. Facciamo una matrice, dove le righe sono le coordinate dei vettori. Determiniamo il rango della matrice.

LA = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 LA = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R e n k (A) = 3

Di conseguenza, i vettori dati dalla condizione del problema sono linearmente indipendenti e il loro numero è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale: sono la base dello spazio vettoriale.

Risposta: questi vettori sono la base dello spazio vettoriale.

Esempio 2

Dati iniziali: vettori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

È necessario determinare se il sistema di vettori indicato può essere la base di uno spazio tridimensionale.

Decisione

Il sistema di vettori specificato nella condizione del problema è linearmente dipendente, poiché il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è 3. Pertanto, questo sistema di vettori non può servire come base per uno spazio vettoriale tridimensionale. Ma vale la pena notare che il sottosistema del sistema originale a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) è una base.

Risposta: il sistema di vettori indicato non è una base.

Esempio 3

Dati iniziali: vettori

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

Possono essere la base di uno spazio quadridimensionale?

Decisione

Componi una matrice usando le coordinate dei vettori dati come righe

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Usando il metodo di Gauss determiniamo il rango della matrice:

LA = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R e n k (LA) = 4

Pertanto, il sistema di dati vettori è linearmente indipendente e il loro numero è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale: sono la base dello spazio vettoriale quadridimensionale.

Risposta: i vettori dati sono la base dello spazio quadridimensionale.

Esempio 4

Dati iniziali: vettori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Costituiscono la base di uno spazio a 4 dimensioni?

Decisione

Il sistema originale di vettori è linearmente indipendente, ma il numero di vettori in esso contenuto è insufficiente per diventare la base di uno spazio quadridimensionale.

Risposta: no, non lo fanno.

Decomposizione di un vettore in termini di base

Accettiamo che vettori arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sono la base di uno spazio n-dimensionale vettoriale. Aggiungiamo loro un vettore n-dimensionale x →: il sistema di vettori risultante diventerà linearmente dipendente. Le proprietà della dipendenza lineare affermano che almeno uno dei vettori di un tale sistema può essere espresso linearmente in termini degli altri. Riformulando questa affermazione, possiamo dire che almeno uno dei vettori di un sistema linearmente dipendente può essere espanso in altri vettori.

Siamo così giunti alla formulazione del teorema più importante:

Definizione 4

Qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale n-dimensionale l'unico modo si espande sulla base.

Prova 1

Dimostriamo questo teorema:

imposta la base dello spazio vettoriale n-dimensionale - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Rendiamo il sistema linearmente dipendente aggiungendo un vettore n-dimensionale x → ad esso. Questo vettore può essere espresso linearmente in termini di vettori originali e:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , dove x 1 , x 2 , . . . , x n - alcuni numeri.

Dimostriamo ora che una tale scomposizione è unica. Supponiamo che questo non sia il caso e che ci sia un'altra espansione simile:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n), dove x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - alcuni numeri.

Sottrarre dalle parti sinistra e destra di questa uguaglianza, rispettivamente, le parti sinistra e destra dell'uguaglianza x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Noi abbiamo:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Sistema di vettori di base e (1) , e (2) , . . . , e (n) è linearmente indipendente; Per definizione di indipendenza lineare di un sistema di vettori, l'uguaglianza sopra è possibile solo quando tutti i coefficienti sono (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) sarà uguale a zero. Da cui sarà giusto: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . E questo dimostra l'unico modo per espandere un vettore in termini di base.

In questo caso, i coefficienti x 1 , x 2 , . . . , x n sono dette coordinate del vettore x → nella base e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

La teoria dimostrata rende chiara l'espressione "è dato un vettore n-dimensionale x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": si considera un vettore x → n spazio vettoriale n-dimensionale e le sue coordinate sono date in qualche base. È anche chiaro che lo stesso vettore in una base diversa dello spazio n-dimensionale avrà coordinate diverse.

Si consideri il seguente esempio: supponiamo che in alcune basi di uno spazio vettoriale n-dimensionale sia dato un sistema di n vettori linearmente indipendenti

e viene fornito anche il vettore x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vettori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) in questo caso sono anche la base di questo spazio vettoriale.

Supponiamo che sia necessario determinare le coordinate del vettore x → nella base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n), indicato come x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Il vettore x → sarà rappresentato come segue:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Scriviamo questa espressione in forma coordinata:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . , , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + . . . + x ~ n e n (n))

L'uguaglianza risultante è equivalente a un sistema di n espressioni algebriche lineari con n variabili lineari sconosciute x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

La matrice di questo sistema sarà simile a questa:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Sia questa una matrice A , e le sue colonne siano vettori di un sistema di vettori linearmente indipendente e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Il rango della matrice è n e il suo determinante è diverso da zero. Ciò indica che il sistema di equazioni ha un'unica soluzione, che può essere determinata in qualsiasi modo conveniente: ad esempio, con il metodo Cramer o metodo matriciale. In questo modo possiamo determinare le coordinate x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n del vettore x → nella base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Applichiamo la teoria considerata su un esempio concreto.

Esempio 6

Dati iniziali: i vettori sono dati in base allo spazio tridimensionale

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

È necessario confermare il fatto che il sistema di vettori e (1) , e (2) , e (3) funge anche da base dello spazio dato e anche determinare le coordinate del vettore x nella base data .

Decisione

Il sistema di vettori e (1) , e (2) , e (3) sarà la base dello spazio tridimensionale se è linearmente indipendente. Scopriamo questa possibilità determinando il rango della matrice A , le cui righe sono i vettori dati e (1) , e (2) , e (3) .

Usiamo il metodo di Gauss:

LA = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R e n k (A) = 3 . Pertanto, il sistema di vettori e (1) , e (2) , e (3) è linearmente indipendente ed è una base.

Lascia che il vettore x → nella base abbia coordinate x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . La connessione di queste coordinate è determinata dall'equazione:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Applichiamo i valori in base alle condizioni del problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Risolviamo il sistema di equazioni con il metodo Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Quindi, il vettore x → nella base e (1) , e (2) , e (3) ha coordinate x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Risposta: x = (1 , 1 , 1)

Collegamento tra basi

Supponiamo che in alcune basi di uno spazio vettoriale n-dimensionale, siano dati due sistemi di vettori linearmente indipendenti:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Questi sistemi sono anche basi dello spazio dato.

Sia c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordinate del vettore c (1) nella base e (1) , e (2) , . . . , e (3) , allora la relazione di coordinate sarà data da un sistema di equazioni lineari:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sotto forma di matrice, il sistema può essere visualizzato come segue:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Facciamo la stessa notazione per il vettore c (2) per analogia:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Le uguaglianze di matrice sono combinate in un'unica espressione:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Determina la relazione dei vettori di due basi diverse.

Utilizzando lo stesso principio, è possibile esprimere tutti i vettori base e (1) , e (2) , . . . , e (3) attraverso la base c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Diamo le seguenti definizioni:

Definizione 5

Matrice c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) è la matrice di transizione dalla base e (1) , e (2) , . . . , e(3)

alla base c (1) , c (2) , . . . , c(n) .

Definizione 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) è la matrice di transizione dalla base c (1) , c (2) , . . . ,c(n)

alla base e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Da queste uguaglianze, è chiaro che

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

quelli. le matrici di transizione sono reciprocamente inverse.

Consideriamo la teoria su un esempio concreto.

Esempio 7

Dati iniziali:è necessario trovare la matrice di transizione dalla base

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

È inoltre necessario specificare la relazione delle coordinate di un vettore arbitrario x → nelle basi date.

Decisione

1. Sia T la matrice di transizione, quindi l'uguaglianza sarà vera:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

e prendi:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definire la matrice di transizione:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definire la relazione delle coordinate del vettore x → :

supponiamo che nella base c (1) , c (2) , . . . , c (n) vettore x → ha coordinate x 1 , x 2 , x 3 , quindi:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

e nella base e (1) , e (2) , . . . , e (3) ha coordinate x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , quindi:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Perché le parti di sinistra di queste uguaglianze sono uguali, possiamo eguagliare anche le parti di destra:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Moltiplica entrambi i lati a destra per

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

e prendi:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Dall'altro lato

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Le ultime uguaglianze mostrano la relazione delle coordinate del vettore x → in entrambe le basi.

Risposta: matrice di transizione

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Le coordinate del vettore x → nelle basi date sono legate dalla relazione:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

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