Matrice non singolareè una matrice quadrata dell'n-esimo ordine, il cui determinante è diverso da zero. In caso contrario, viene chiamata la matrice degenerare.

Teorema ( unicità dell'esistenza di una matrice inversa): se una matrice ha una matrice inversa, allora è unica.

Prova.

Sia una matrice per cui e una matrice per cui .

Allora, questo è. Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per la matrice, otteniamo, dove e.

Quindi, che doveva essere dimostrato.

12. Equazioni matriciali, loro soluzione utilizzando la matrice inversa.

Le equazioni della matrice possono assomigliare a:

AX = B, XA = B, AXB = C,

dove A, B, C sono matrici date, X è la matrice desiderata.

Le equazioni matriciali vengono risolte moltiplicando l'equazione per matrici inverse.

Ad esempio, per trovare la matrice da un'equazione, devi moltiplicare questa equazione per a sinistra.

Pertanto, per trovare una soluzione all'equazione, è necessario trovare la matrice inversa e moltiplicarla per la matrice sul lato destro dell'equazione.

13. Sistemi quadrati equazioni lineari. La regola di Cramer.

Un sistema di m equazioni lineari in n incognite (o, un sistema lineare) in algebra lineare è un sistema di equazioni della forma

Il metodo di Cramer (regola di Cramer) - un modo per risolvere sistemi quadrati lineare equazioni algebriche con un determinante diverso da zero della matrice principale (inoltre, per tali equazioni, la soluzione esiste ed è unica). Prende il nome da Gabriel Cramer (1704–1752), che inventò il metodo.

Per un sistema di n equazioni lineari con n incognite (su un campo arbitrario)

con determinante della matrice di sistema Δ diverso da zero, la soluzione si scrive come

(l'i-esima colonna della matrice di sistema è sostituita da una colonna di termini liberi).

In un'altra forma, la regola di Cramer è formulata come segue: per qualsiasi coefficiente c 1 , c 2 , ..., c n l'uguaglianza è vera:

Sistema di equazioni lineari:

Per ciascuno numeri a¹0 c'è un inverso un -1 tale che il lavoro a × a -1 \u003d 1. Per matrici quadrate introduce un concetto simile.

Definizione. Se esistono matrici quadrate X e A dello stesso ordine che soddisfano la condizione:

dove E è la matrice identità dello stesso ordine della matrice A, allora viene chiamata la matrice X inversione alla matrice A ed è indicato con A -1.

Ne consegue dalla definizione che solo una matrice quadrata ha un inverso; in questo caso anche la matrice inversa è quadrata dello stesso ordine.

Tuttavia, non tutte le matrici quadrate hanno un'inversa. Se condizione a¹0è necessario e sufficiente per l'esistenza di un numero un -1, allora per l'esistenza della matrice A-1 tale condizione è il requisito DA ¹0.

Definizione. matrice quadrata n viene chiamato l'ordine non degenerato (non singolare), se il suo determinante è DA ¹0.

Se DA= 0 , allora viene chiamata la matrice A degenerato (speciale).

Teorema(richiesto e condizione sufficiente l'esistenza di una matrice inversa). Se una matrice quadrata non speciale(cioè il suo determinante non è uguale a zero), allora per esso esiste l'unica matrice inversa.

Prova.

IO. Necessitano. Lascia che la matrice A abbia un inverso A -1, cioè AA -1 \u003d A -1 A \u003d E. Di proprietà 3 determinanti ( § 11) abbiamo D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, cioè DA ¹0 e DA-1 ¹0.

io io. Adeguatezza. Sia la matrice quadrata A non singolare, cioè DA ¹0 . Scriviamo la matrice trasposta A T:

In questa matrice, sostituiamo ogni elemento con il suo complemento algebrico, otteniamo la matrice:

Viene chiamata la matrice A* Allegata matrice alla matrice A.

Trova il prodotto di AA* (e A*A):

Dove diagonale elementi = DA,

DA.(formula 11.1 §undici)

E tutto il resto fuori diagonale gli elementi della matrice AA * sono uguali a zero in proprietà 10 §11, per esempio:

eccetera. Di conseguenza,

AA * = o AA * = DA = DA×E.

Allo stesso modo, si dimostra che A * A = DA×E.

Dividendo entrambe le uguaglianze ottenute per DA, otteniamo: . Quindi, per definizione di matrice inversa, ne consegue che esiste una matrice inversa

Perché AA -1 \u003d A -1 A \u003d E.

L'esistenza della matrice inversa è dimostrata. Dimostriamo l'unicità. Supponiamo che esista un'altra matrice inversa F per la matrice A, quindi AF \u003d E e FA \u003d E. Moltiplicando entrambe le parti della prima uguaglianza per A -1 a sinistra e la seconda per A -1 a destra, abbiamo ottieni: A -1 AF \u003d A - 1 E e FA A -1 = E A -1 , da cui EF = A -1 E e FE = E A -1 . Pertanto, F \u003d A -1. L'unicità è provata.

Esempio. Data una matrice A = , trova A -1.

Algoritmo per il calcolo della matrice inversa:

Proprietà delle matrici inverse.

1) (LA -1) -1 = LA;

2) (AB) -1 = B -1 LA -1

3) (LA T) -1 = (LA -1) T .

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Considera le matrici

Inoltre, sono dati gli elementi delle matrici A e B e X 1, X 2, X 3 sono sconosciuti.

Quindi viene chiamata l'equazione A × X = B l'equazione matriciale più semplice.

Per risolverlo, cioè trovare gli elementi della matrice delle incognite X, procedere come segue:

1. Moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per la matrice A -1, inversa per la matrice A , sinistra:

A -1 (A × X) \u003d A -1 × B

2. Usando la proprietà della moltiplicazione di matrici, scriviamo

(LA -1 × LA) X = LA -1 × B

3. Dalla definizione della matrice inversa

(A -1 × A = E) abbiamo E × X = A -1 × B.

4. Utilizzando la proprietà della matrice identità (E × X = X), otteniamo infine X = A -1 × B

Commento. Se l'equazione della matrice ha la forma X × C \u003d D, per trovare la matrice sconosciuta X, l'equazione deve essere moltiplicata per C -1 sulla destra.

Esempio. Risolvi l'equazione della matrice

Soluzione. Introduciamo la notazione

Le loro definizioni di moltiplicazione matriciale, tenendo conto delle dimensioni di A e B, la matrice delle incognite X avrà la forma

Tenendo conto della notazione introdotta, abbiamo

A × X = B da cui X = A -1 × B

Troviamo A -1 dall'algoritmo per costruire la matrice inversa

Calcola il prodotto

Quindi per X otteniamo

X \u003d da dove x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 2

Grado di matrice

Si consideri una matrice A di dimensione (m x n)

Il k-esimo ordine minore di una matrice A è il determinante dell'ordine k, i cui elementi sono gli elementi della matrice A che si trovano all'intersezione di qualsiasi K righe ed eventuali K colonne. Ovviamente, k £ min (m, n).

Definizione. Il rango r(A) di una matrice A è ordine più grande un minore diverso da zero di questa matrice.

Definizione. Viene chiamato qualsiasi minore diverso da zero di una matrice il cui ordine è uguale al suo rango minore di base.

Definire e. Vengono chiamate matrici aventi lo stesso rango equivalente.

Calcolo del rango di una matrice

Definizione. La matrice è chiamata fatto un passo, se sotto il primo elemento non nullo di ciascuna delle sue righe sono presenti degli zeri nelle righe sottostanti.

Teorema. Il rango di una matrice di passi è uguale al numero delle sue righe diverse da zero.

Pertanto, trasformando la matrice in una forma a gradini, è facile determinarne il rango. Questa operazione viene eseguita utilizzando trasformazioni di matrici elementari, che non cambiano il suo rango:

— moltiplicazione di tutti gli elementi della riga della matrice per il numero l ¹ 0;

- sostituzione di righe con colonne e viceversa;

- permutazione di file parallele;

- cancellazione della riga zero;

- somma agli elementi di una certa serie dei corrispondenti elementi della serie parallela, moltiplicati per un qualsiasi numero reale.

Esempio.

Teorema (condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di una matrice inversa).

Calcola il rango di una matrice

A =

Soluzione. Trasformiamo la matrice in una forma a gradini. Per fare ciò, aggiungi la seconda riga moltiplicata per (-3) alla terza riga.

Ah~

Aggiungiamo la terza riga alla quarta riga.

Il numero di righe diverse da zero nella matrice equivalente risultante è tre, quindi r(A) = 3.

Sistemi di n equazioni lineari con n incognite.

Metodi per la loro soluzione

Si consideri un sistema di n equazioni lineari con n incognite.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n \u003d b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n \u003d b 2 (1)

……………………………….

un n 1 x 1 + un n 2 x 2 + ... + un nn x n = b n

Definizione: La soluzione del sistema (1) è un insieme di numeri (x 1, x 2, ..., x n), che trasforma ogni equazione del sistema in una vera uguaglianza.

Si chiama la matrice A, composta dai coefficienti delle incognite la matrice principale del sistema (1).

A=

Viene chiamata la matrice B, costituita dagli elementi della matrice A e dalla colonna dei membri liberi del sistema (1). matrice estesa.

B =

Metodo matriciale

Considera le matrici

X = - matrice delle incognite;

C = è la matrice dei termini liberi del sistema (1).

Quindi, secondo la regola della moltiplicazione matriciale, il sistema (1) può essere rappresentato come un'equazione matriciale

A × X = C (2)

La soluzione dell'equazione (2) è indicata sopra, cioè X = A -1 × C, dove A -1 è la matrice inversa per la matrice principale del sistema (1).

Metodo Cramer

Un sistema di n equazioni lineari con n incognite, il cui determinante principale è diverso da zero, ha sempre una soluzione e, inoltre, l'unica, che si trova dalle formule:

dove D = det A è il determinante della matrice principale A del sistema (1), che è detta principale, Dх i si ottengono dal determinante D sostituendo la i-esima colonna con una colonna di termini liberi, cioè

Dх 1 = ;

Dх 2 = ; … ;

Esempio.

Risolvi il sistema di equazioni con il metodo di Cramer

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 15

x 1 + x 2 + 5 x 3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Soluzione.

Calcoliamo il determinante della matrice principale del sistema

D = dettaglio A = = 44 ¹ 0

Calcola determinanti ausiliari

Dх 3 = = 132.

Usando le formule di Cramer, troviamo le incognite

; ; .

Pertanto, x 1 \u003d 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

Metodo Gauss

L'essenza del metodo di Gauss è la successiva eliminazione delle incognite dalle equazioni del sistema, cioè nel portare la matrice principale del sistema a una forma triangolare, quando ci sono zeri sotto la sua diagonale principale. Ciò si ottiene utilizzando trasformazioni elementari della matrice su righe. Come risultato di tali trasformazioni, l'equivalenza del sistema non viene violata e acquisisce anche una forma triangolare, cioè l'ultima equazione contiene un'incognita, le penultime due e così via. Esprimendo l'n-esima incognita dall'ultima equazione e utilizzando la mossa inversa, utilizzando una serie di sostituzioni successive, si ottengono i valori di tutte le incognite.

Esempio. Risolvi un sistema di equazioni usando il metodo di Gauss

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

Soluzione. Scriviamo la matrice estesa del sistema e riduciamo la matrice A in essa contenuta a una forma triangolare.

Scambiamo la prima e la terza riga della matrice, che equivale a permutare la prima e la terza equazione del sistema. Questo ci permetterà di evitare l'apparenza espressioni frazionarie nei calcoli successivi

In ~

Moltiplichiamo la prima riga della matrice risultante in sequenza per (-2) e (-3) e la aggiungiamo rispettivamente alla seconda e alla terza riga, mentre B apparirà come:

Dopo aver moltiplicato la seconda riga per e sommandola alla terza riga, la matrice A assumerà una forma triangolare. Tuttavia, per semplificare i calcoli, puoi fare quanto segue: moltiplica la terza riga per (-1) e aggiungila alla seconda. Quindi otteniamo:

In ~

In ~

Ripristinare dalla matrice risultante B un sistema di equazioni equivalente al dato

X 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2 x 3 = 0

- 10x 3 = -10

Dall'ultima equazione troviamo Sostituiamo il valore trovato x 3 \u003d 1 nella seconda equazione del sistema, da cui x 2 \u003d 2x 3 \u003d 2 × 1 \u003d 2.

Dopo aver sostituito x 3 \u003d 1 e x 2 \u003d 2 nella prima equazione per x 1, otteniamo x 1 \u003d 9 - 4x 2 + 3x 3 \u003d 9 - 4 × 2 + 3 × 1 \u003d 4.

Quindi, x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Commento. Per verificare la correttezza della soluzione di un sistema di equazioni, è necessario sostituire i valori trovati delle incognite in ciascuna delle equazioni di questo sistema. Inoltre, se tutte le equazioni si trasformano in identità, il sistema viene risolto correttamente.

Visita medica:

3 x 4 + 2 x 2 + 1 = 17 è corretto

2 × 4 - 2 + 2 × 1 = 8 vero

4 + 4 × 2 - 3 × 1 = 9 vero

Quindi il sistema è corretto.

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Leggi anche:

Le equazioni matriciali più semplici

dove ci sono matrici di dimensioni tali che tutte le operazioni utilizzate sono possibili e le parti sinistra e destra di queste equazioni di matrici sono matrici della stessa dimensione.

La soluzione delle equazioni (1)-(3) è possibile con l'ausilio di matrici inverse nel caso di non degenerazione delle matrici in X. Nel caso generale, la matrice X si scrive elemento per elemento e le azioni indicate in le equazioni vengono eseguite sulle matrici. Il risultato è un sistema di equazioni lineari. Dopo aver risolto il sistema, trova gli elementi della matrice X.

Metodo della matrice inversa

Questa è una soluzione per un sistema di equazioni lineari nel caso di una matrice quadrata non singolare del sistema A. Si trova dall'equazione di matrice AX=B.

A -1 (AX) \u003d A -1 B, (A -1 A) X \u003d A -1 B, EX \u003d A -1 B, X \u003d A -1 B.

Le formule di Cramer

Teorema.Sia Δ — il determinante della matrice del sistema A, e Δ j è il determinante della matrice ottenuto dalla matrice A sostituendo la j-esima colonna di termini liberi. Allora se ∆≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione determinata dalle formule:

sono le formule di Cramer.

DZ 1. 2.23, 2.27, 2.51, 2.55, 2.62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40,2.65

Argomento 4. Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e operazioni su di essi

Definizioni.

1. Un simbolo della forma a + bi , dove aeb sono numeri reali arbitrari, concorderemo di chiamare un numero complesso.

2. Concorderemo di considerare i numeri complessi a + bi e a 1 + b 1 i uguali se a = a 1 e

b = b 1 .

3. Concorderemo di considerare un numero complesso della forma a + 0i uguale a un numero reale a.

4. La somma di due numeri complessi a + bi e a 1 + b 1 i è il numero complesso (a + a 1) + (b + b 1)i.

Matrice inversa. Grado di matrice.

Il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso aa 1 - bb 1 + (a b 1 + a 1 b)i.

Numero complesso della forma 0 + bi chiamato puramente numero immaginario e di solito si scrive così: bi; numero 0 +1 io = io chiamata unità immaginaria.

Per definizione 3, ogni numero reale ma corrisponde a un numero complesso "uguale". a + 0i e viceversa per qualsiasi numero complesso a + 0i corrisponde a un numero reale "uguale". ma, cioè c'è una corrispondenza uno a uno tra questi numeri. Considerando la somma e il prodotto di numeri complessi a 1 + 0i e a 2 + 0i secondo le regole 4 e 5, otteniamo:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 - 0) + (a 1 0+a 2 0) io = a 1 a 2 + 0i.

Vediamo che la somma (o prodotto) di questi numeri complessi corrisponde a un numero reale "uguale" alla somma (o prodotto) dei corrispondenti numeri reali. Quindi la corrispondenza tra numeri complessi tipo a + 0i e numero reale maè tale che a seguito di operazioni aritmetiche sui componenti corrispondenti si ottengono i risultati corrispondenti. Viene chiamata una corrispondenza uno-a-uno che viene preservata durante l'esecuzione di azioni isomorfismo. Questo ci permette di identificare il numero a + 0i con numero reale ma e considera qualsiasi numero reale come un caso speciale di uno complesso.

Conseguenza. Numero quadrato ioè uguale a - 1.

io 2 = io io = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

Teorema.Per l'addizione e la moltiplicazione di numeri complessi restano valide le leggi fondamentali delle operazioni.

Definizioni:

1. Numero reale ed è chiamato parte reale numero complesso z = a + bi. Rez=a

2. Il numero b è chiamato parte immaginaria del numero complesso z, il numero b è chiamato coefficiente della parte immaginaria di z. Imz=b.

3. I numeri a + bi e a - bi sono detti coniugati.

Il numero coniugato z = a + bi indicato dal simbolo

= a - bi.

Esempio. z=3 + io ,= 3 - io.

Teorema.La somma e il prodotto di due numeri complessi coniugati sono reali.

Prova. abbiamo

Nell'insieme dei numeri complessi sono possibili le operazioni inverse all'addizione e alla moltiplicazione.

Sottrazione. Lascia stare z 1 = un 1 + b 1 io e z 2 = un 2 + b 2 io sono numeri complessi differenza z1 – z2 c'è un numero z = x + y io, soddisfacendo la condizione z1 = z 2 + z o

e 1 + b 1 io = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Per determinare X e y otteniamo il sistema di equazioni a 2 + x = a 1 e b2 + y = b1, che ha una soluzione unica:

x \u003d a 1 - a 2, y \u003d b 1 - b 2,

z \u003d (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) \u003d a 1 - a 2 + (b 1 - b 2) i.

La sottrazione può essere sostituita dall'addizione con il numero opposto da sottrarre:

z \u003d (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 + b 1 i) + (- a 2 - b 2 i).

Divisione.

quoziente di numeri z1 e z2≠ 0 è un numero z = x + y io, soddisfacendo la condizione z 1 = z 2 z o

un 1 + b 1 io = (un 2 + b 2 i) (x + yi),

Di conseguenza,

a 1 + b 1 io = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

da cui otteniamo il sistema di equazioni:

a 2 x - b 2 y \u003d a 1,

b 2 x + un 2 y = b 1 .

La decisione di cui sarà

Di conseguenza,

In pratica, per trovare il quoziente, moltiplica il dividendo e il divisore per il coniugato del divisore:

Per esempio,

In particolare, il reciproco di un dato numero z, può essere rappresentato come

Nota. Nell'insieme dei numeri complessi resta valido teorema: se il prodotto è uguale a zero, allora almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Infatti, se z 1 z 2 =0 e se z 1 ≠ 0, quindi moltiplicando per , otteniamo

QED

Quando si eseguono operazioni aritmetiche su numeri complessi, è necessario seguire la seguente regola generale: le azioni vengono eseguite secondo le regole usuali per le azioni su espressioni algebriche, seguite dalla sostituzione di i 2 con-1.

Teorema.Quando si sostituisce ciascuno dei componenti con il suo numero coniugato, anche il risultato dell'azione viene sostituito dal numero coniugato.

La prova consiste in una verifica diretta. Quindi, per esempio, se ogni termine z 1 = un 1 + b 1 io e z 2 = un 2 + b 2 io sostituito da un numero coniugato, otteniamo un numero coniugato alla somma z 1 + z 2 .

perciò,

Allo stesso modo, per il prodotto abbiamo:

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Equazioni matriciali

Catalino David

AX = B, dove la matrice A è invertibile

Poiché la moltiplicazione di matrici non è sempre commutativa, moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione a sinistra per $A^(-1)$.

$A^(-1)\cpunto|A\cpunto X = B$

$A^(-1)\cpunto A\cpunto X = A^(-1)\cpunto B$

$I_(n)\cpunto X = A^(-1)\cpunto B$

$\colore(rosso)(X =A^(-1)\cpunto B)$

Esempio 50
risolvere l'equazione
$\begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1 \end(pmatrix)$

Teorema 2. Criterio per l'esistenza di una matrice inversa.

Moltiplica a sinistra per la sua matrice inversa.
$\begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1 \end( pmatrice)$

$X=\begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 e 3\\ 2 e -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) -5 e 3\\ 2 e -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 e -22 \\ 4 e 9 \end(pmatrice)$

XA = B, dove la matrice A è invertibile

Poiché la moltiplicazione di matrici non è sempre commutativa, moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione a destra per $A^(-1)$.

$X\cpunto A = B |\cpunto A^(-1)$

$X\cpunto A\cpunto A^(-1) = B\cpunto A^(-1)$

$X \cpunto I_(n) =B\cpunto A^(-1)$

La soluzione dell'equazione ha la forma generale
$\colore(rosso)(X =B\cpunto A^(-1))$

Esempio 51
risolvere l'equazione
$X \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1\\ \end(pmatrix)$

Assicuriamoci che la prima matrice sia invertibile.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, quindi la matrice è invertibile.

Moltiplica a destra per la sua matrice inversa.
$X \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix ) 3 e 5\\ 2 e 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 e 3\\ 2 e 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 e 3\\ 2 e -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) 3 e 5\\ 2 e 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 e 3\\ 2 e -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 e 4\ \ -8 e 5 \end(pmatrice)$

MatriciMoltiplicazione di matriciDeterminantiClasse di matriceMatrici inverseSistemi di equazioniCalcolatrici di matrici

int. stupore, sorpresa; gioia, speranza; subitaneità, paura; dolore, disperazione. Ah, che buono! Oh, così sia! Oh, come mi hai spaventato! Oh sì, agitando le mani. Ah, ah, ma non c'è niente da aiutare. Ah, giudice, giudice: quattro piani, otto tasche.

| A volte ah si trasforma in un sostantivo. , marito. Ah, sì, oh, sì, sospiri di donna. Ciò che qui era ahov, sorpresa, gioia. Ahti, ahti me, un'esclamazione di dolore, tristezza; Ahimè; Ahti me, tutti i compagni in prigione - mi succederà qualcosa? Ohti-axmul in qualche modo si sposa? Non essere così caldo con me, non sorprendentemente, non dolorosamente buono. Akhanki per me, ahakhanki, esprime, per così dire, compassione per se stessi o per un altro. Akhanki, come i bambini piccoli, questo è una specie di saluto. sussulto, sussulto, sussulto, meraviglia; rallegrati per qualcosa, addolora, gemiti, esclama ah! Ah, sì, a casa, da solo. Zio Akhal, guardandoti, prenditi cura di tutti di te, dei tuoi affari. Sussultai, spaventato, stupito. Abbiamo anche sussultato, abbiamo visto il dolore. Un uomo single a volte geme e uno sposato geme.

matrice inversa

Alzati a cosa. Siamo rimasti senza fiato quando ne abbiamo sentito parlare. Naahali, e andiamo. Ero sbalordito da questi miracoli. Stufo, vero? Sospira ancora. Uno sussulta, l'altro sussulta. Perché ha oscillato? A malincuore ti ecciti. Non così sussulto, ancora sussulto, una presa in giro di chiamate inutili. Sprecato tutto il giorno. Una donna venne a sussultare, ma dovette sussultare; Sono venuto a guardare la gioia o il dolore di qualcun altro, ma è accaduta la mia stessa disgrazia. Akhanye cfr. un'espressione smodata di gioia, stupore, dolore, disperazione: un uomo ahal è un marito. truffatore di donna ahala vol. chi si meraviglia di tutto, loda eccessivamente quello di qualcun altro, invidia. Ci sono sette fisarmonicisti per ogni fisarmonicista. Per ogni bahar, sette akhal. Ahovaya più in basso. penz mozzafiato. delizioso, incredibilmente bello, bello, provocando un'esclamazione di stupore e approvazione. Ah sciarpa. Ahva? femmina , arch.-egli. buco, buco; un buco, un taglio nella pelle, danneggiandola da un colpo incurante, una puntura o un colpo con qualcosa. Aovnya? femmina pelle rovinata con pelle ahvoi, akhovaya o ahvodnaya. Ahvit, ahvod?, rovina la pelle con un colpo, una puntura, un taglio. Sabato terribile, con i pagamenti, quando quelli difettosi restano senza fiato.

Lemma: Per qualsiasi matrice MA il prodotto di esso per la matrice identità della dimensione corrispondente è uguale alla matrice MA: AE=EA=A.

La matrice IN chiamata inversione alla matrice MA, Se AB=BA=E. matrice inversa alla matrice MA indicato A -1 .

La matrice inversa esiste solo per una matrice quadrata.

Teorema: matrice quadrata MA ha un inverso se e solo se il determinante di questa matrice è diverso da zero (|A|≠0).

Algoritmo per trovare la matrice inversa A -1:

(per matrici di secondo e terzo ordine)

“Se vuoi imparare a nuotare, entra in acqua con coraggio e se vuoi imparare per risolvere i problemi, poi risolverli.»
D.Poya (1887-1985)

(Matematico. Ha dato un grande contributo alla divulgazione della matematica. Ha scritto diversi libri su come risolvere i problemi e come insegnare a risolverli.)

Matrice inversa · La matrice B si dice inversa alla matrice se l'uguaglianza è vera: . Designazione: − Solo quadrato matrice può avere una matrice inversa. − Non tutti i quadrati matrice ha una matrice inversa. Proprietà: 1. ; 2. ; 3. , dove le matrici sono quadrate, della stessa dimensione. In generale, se per matrici non quadrate è possibile un prodotto, che sarà una matrice quadrata, allora è possibile anche l'esistenza di una matrice inversa , sebbene la proprietà 3 sia violata in questo caso. Per trovare la matrice inversa, puoi utilizzare il metodo delle trasformazioni di riga elementari: 1. Comporre una matrice estesa assegnando una matrice identità della dimensione corrispondente a destra della matrice originale: . 2. Trasformazioni elementari di riga della matrice G portare al modulo: . − grado Matrix richiesto · Un minore del k-esimo ordine di una matrice è un determinante composto da elementi della matrice originale che si trovano all'intersezione di qualsiasi k righe e k colonne ( ). Commento. Ogni elemento di una matrice è il suo 1° ordine minore. Teorema. Se nella matrice tutti i minori di ordine k sono uguali a zero, allora tutti i minori di ordine superiore sono uguali a zero. Espandiamo il minore (determinante) ( k+1)-esimo ordine attraverso gli elementi della 1a riga: . Le aggiunte algebriche sono essenzialmente minori K- esimo ordine, che, per l'ipotesi del teorema, sono uguali a zero. Di conseguenza, . · Nella matrice dell'ordine, un ordine minore si dice elementare se non è uguale a zero e tutti i minori di ordine e superiori sono uguali a zero, o non esistono affatto, cioè corrisponde al più piccolo dei numeri o . Le colonne e le righe della matrice che compongono la base minore sono dette base. Ci possono essere diverse basi minori in una matrice che hanno lo stesso ordine. · L'ordine della base minore di una matrice è chiamato rango della matrice e indicato: , . È ovvio che. Per esempio. 1. , . 2. . La matrice IN contiene l'unico elemento diverso da zero che è un minore di 1° ordine. Tutti i determinanti di ordine superiore conterranno la riga 0 e quindi saranno uguali a 0. Pertanto, . matrice inversa 4. Sistemi di equazioni lineari. Concetti basilari. Il sistema di equazioni algebriche lineari ( sistema lineare, vengono utilizzate anche le abbreviazioni SLAU, SLN) è un sistema di equazioni, in cui ciascuna equazione è un'equazione lineare-algebrica di primo grado. Forma generale sistemi di equazioni algebriche lineari: Ecco il numero di equazioni, ed è il numero di variabili, sono le incognite da determinare, i coefficienti e i termini liberi presupposto noto. Il sistema è chiamato omogeneo, se tutti i suoi membri liberi sono uguali a zero (), altrimenti - eterogeneo. La soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari è un insieme di numeri tale che dalla sostituzione corrispondente invece che nel sistema trasforma tutte le sue equazioni in identità. Un sistema si dice consistente se ha almeno una soluzione e incoerente se non ha soluzioni. Le soluzioni sono considerate diverse se almeno uno dei valori delle variabili non corrisponde. Un sistema congiunto con un'unica soluzione si dice definito, se c'è più di una soluzione - sottodeterminato. Forma matriciale Un sistema di equazioni algebriche lineari può essere rappresentato in forma matriciale come: o: . Qui c'è la matrice del sistema, è la colonna delle incognite ed è la colonna dei membri liberi. Se alla matrice di destra viene assegnata una colonna di termini liberi, la matrice risultante viene chiamata estesa. Teorema di Kronecker - Capelli Teorema di Kronecker - Capelli stabilisce una condizione necessaria e sufficiente per la compatibilità di un sistema di equazioni algebriche lineari attraverso le proprietà delle rappresentazioni matriciali: il sistema è consistente se e solo se il rango della sua matrice coincide con il rango della matrice estesa. Metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Metodo Matrix Si fornisca un sistema di equazioni lineari con incognite (su un campo arbitrario): Riscriviamo in forma matriciale: Troviamo la soluzione del sistema con la formula Troviamo la matrice inversa con la formula: , dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici degli elementi corrispondenti della matrice . Se, allora la matrice inversa non esiste ed è impossibile risolvere il sistema con il metodo della matrice. In questo caso, il sistema viene risolto con il metodo di Gauss. Il metodo di Cramer Il metodo di Cramer (regola di Cramer) - un modo per risolvere SLAE con un numero di equazioni uguale al numero incognite con determinante di matrice principale diverso da zero. Per un sistema di equazioni lineari con incognite Sostituire la colonna i-esima della matrice con una colonna di termini liberi b Esempio: Sistema di equazioni lineari a coefficienti reali: Qualificazioni: Nei determinanti, la colonna dei coefficienti per l'incognita corrispondente è sostituita dalla colonna dei termini liberi del sistema. Soluzione: 5. Metodo di Gauss Algoritmo risolutivo: 1. Annotare la matrice aumentata 2. Portarla a una forma a gradini mediante trasformazioni elementari 3. Spostamento inverso, durante il quale esprimiamo i termini di base in termini di quelli liberi. Una matrice aumentata si ottiene aggiungendo alla matrice una colonna di termini liberi. Esistono le seguenti trasformazioni elementari: 1. Le righe della matrice possono essere riorganizzate. 2. Se nella matrice sono presenti (o sono apparse) righe proporzionali (come caso speciale - identiche), tutte queste righe devono essere eliminate dalla matrice tranne una. 3. Se durante le trasformazioni è apparsa una riga zero nella matrice, anche questa dovrebbe essere eliminata. 4. La riga della matrice può essere moltiplicata (divisa) per qualsiasi numero, diverso da zero. 5. Alla riga della matrice è possibile aggiungere un'altra riga, moltiplicata per un numero diverso da zero. Trasformazioni elementari non cambia la soluzione del sistema di equazioni Moto inverso: Solitamente, come variabili di base, si prendono quelle variabili che si trovano ai primi posti nelle righe diverse da zero della matrice trasformata del sistema, cioè sui gradini. Inoltre, i termini base sono espressi in termini di quelli gratuiti. Andiamo "dal basso verso l'alto" lungo il percorso esprimendo i termini di base e sostituendo i risultati nell'equazione superiore. Esempio: le variabili di base "siedono" sempre rigorosamente sui passaggi della matrice. In questo esempio, le variabili di base sono e le variabili libere sono tutte le restanti variabili che non hanno ottenuto un passaggio. Nel nostro caso, ce ne sono due: - variabili libere. Ora tutto è necessario variabili di base esprimere solo attraverso variabili libere. La mossa inversa dell'algoritmo gaussiano funziona tradizionalmente dalla fine del secolo

Sia una matrice quadrata dell'ennesimo ordine

Viene chiamata la matrice A -1 matrice inversa rispetto alla matrice A, se A * A -1 = E, dove E è la matrice identità dell'n-esimo ordine.

Matrice identità- una tale matrice quadrata, in cui tutti gli elementi lungo la diagonale principale, passando dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, sono uno e il resto sono zeri, ad esempio:

matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate quelli. per quelle matrici che hanno lo stesso numero di righe e colonne.

Teorema della condizione di esistenza della matrice inversa

Perché una matrice abbia una matrice inversa, è necessario e sufficiente che non sia degenerata.

Viene chiamata la matrice A = (A1, A2,...A n). non degenerato se i vettori colonna sono linearmente indipendenti. Il numero di vettori colonna linearmente indipendenti di una matrice è chiamato rango della matrice. Pertanto, possiamo dire che affinché esista una matrice inversa, è necessario e sufficiente che il rango della matrice sia uguale alla sua dimensione, cioè r = n.

Algoritmo per trovare la matrice inversa

1. Scrivi la matrice A nella tabella per risolvere i sistemi di equazioni con il metodo di Gauss e sulla destra (al posto delle parti destre delle equazioni) assegna ad essa la matrice E.
2. Usando le trasformazioni di Jordan, porta la matrice A in una matrice composta da singole colonne; in questo caso è necessario trasformare contemporaneamente la matrice E.
3. Se necessario, riordinare le righe (equazioni) dell'ultima tabella in modo da ottenere la matrice identità E sotto la matrice A della tabella originale.
4. Scrivi la matrice inversa A -1, che si trova nell'ultima tabella sotto la matrice E della tabella originale.

Esempio 1

Per la matrice A, trova la matrice inversa A -1

Soluzione: scriviamo la matrice A e sulla destra assegniamo la matrice identità E. Usando le trasformazioni di Jordan, riduciamo la matrice A alla matrice identità E. I calcoli sono mostrati nella Tabella 31.1.

Verifichiamo la correttezza dei calcoli moltiplicando la matrice originale A e la matrice inversa A -1.

Come risultato della moltiplicazione della matrice, si ottiene la matrice dell'identità. Pertanto, i calcoli sono corretti.

Risposta:

Soluzione di equazioni matriciali

Le equazioni della matrice possono assomigliare a:

AX = B, XA = B, AXB = C,

dove A, B, C sono matrici date, X è la matrice desiderata.

Le equazioni matriciali vengono risolte moltiplicando l'equazione per matrici inverse.

Ad esempio, per trovare la matrice da un'equazione, devi moltiplicare questa equazione per a sinistra.

Pertanto, per trovare una soluzione all'equazione, è necessario trovare la matrice inversa e moltiplicarla per la matrice sul lato destro dell'equazione.

Altre equazioni vengono risolte in modo simile.

Esempio 2

Risolvi l'equazione AX = B se

Soluzione: Poiché l'inverso della matrice è uguale (vedi esempio 1)

Metodo delle matrici nell'analisi economica

Insieme ad altri, trovano anche applicazione metodi matriciali. Questi metodi sono basati sull'algebra lineare e di matrice vettoriale. Tali metodi vengono utilizzati allo scopo di analizzare fenomeni economici complessi e multidimensionali. Molto spesso, questi metodi vengono utilizzati quando è necessario confrontare il funzionamento delle organizzazioni e le loro divisioni strutturali.

Nel processo di applicazione dei metodi di analisi delle matrici si possono distinguere diverse fasi.

Al primo stadio si procede alla formazione di un sistema di indicatori economici e sulla sua base si compila una matrice di dati iniziali, ovvero una tabella in cui sono riportati i numeri di sistema nelle sue singole righe (i = 1,2,....,n), e lungo i grafici verticali - numeri di indicatori (j = 1,2,....,m).

Al secondo stadio per ogni colonna verticale viene rivelato il più grande dei valori disponibili degli indicatori, che viene preso come unità.

Successivamente, tutti gli importi riportati in questa colonna vengono divisi per valore più alto e si forma una matrice di coefficienti standardizzati.

Al terzo stadio tutte le componenti della matrice sono al quadrato. Se hanno un significato diverso, a ciascun indicatore della matrice viene assegnato un determinato coefficiente di ponderazione K. Il valore di quest'ultimo è determinato da un esperto.

Sull'ultimo quarta fase valori trovati delle valutazioni Rj raggruppati in ordine crescente o decrescente.

I metodi della matrice di cui sopra dovrebbero essere utilizzati, ad esempio, quando analisi comparativa vari progetti di investimento, nonché durante la valutazione di altri indicatori di performance economica delle organizzazioni.