Def.: La funzione viene chiamata infinitesimale a , se .

Nella notazione " ", lo assumiamo x0 può assumere come valore finale: x0= cost, e infinito: x0= ∞.

Proprietà delle funzioni infinitesime:

1) La somma algebrica di un numero finito di infinitamente piccolo per funzioni è infinitamente piccola per una funzione.

2) Il prodotto di un numero finito di infinitamente piccolo per funzioni è un infinitamente piccolo per funzione.

3) Il prodotto di una funzione limitata e di una funzione infinitesima è una funzione infinitesima.

4) Il quoziente di divisione di un infinitamente piccolo in una funzione per una funzione il cui limite è diverso da zero è un infinitamente piccolo in una funzione.

Esempio: Funzione y = 2 + Xè infinitesimo a , perché .

Def.: La funzione viene chiamata infinitamente grande a , se .

Proprietà di funzioni infinitamente grandi:

1) La somma di infinitamente grande per le funzioni è infinitamente grande per una funzione.

2) Il prodotto di un infinitamente grande per una funzione e una funzione il cui limite è diverso da zero è un infinitamente grande per una funzione.

3) La somma di una funzione infinitamente grande e di una funzione limitata è una funzione infinitamente grande.

4) Il quoziente di dividere un infinitamente grande per una funzione per una funzione che ha un limite finito è un infinitamente grande per una funzione.

Esempio: Funzione y= è infinitamente grande per , perché .

Teorema.Relazione tra quantità infinitesime e infinitamente grandi. Se una funzione è infinitesimale in , allora la funzione è infinitamente grande in . Al contrario, se una funzione è infinitamente grande in , allora la funzione è infinitamente piccola in .

Il rapporto di due infinitesimi è solitamente indicato dal simbolo, due infinitamente grandi - dal simbolo. Entrambe le relazioni sono indefinite nel senso che il loro limite può esistere o meno, essere uguale a un certo numero o essere infinito, a seconda del tipo di funzioni specifiche incluse nelle espressioni indefinite.

Oltre agli indeterminati della forma e indefinito sono le seguenti espressioni:

Differenza di infinitamente grandi dello stesso segno;

Il prodotto di un infinitesimo per un infinitamente grande;

Una funzione di potenza esponenziale, la cui base tende a 1, e l'indicatore - a;

Una funzione di potenza esponenziale, la cui base è infinitesimale e l'esponente è infinitamente grande;

Una funzione esponenziale la cui base ed esponente sono infinitesimi;

Una funzione esponenziale la cui base è infinitamente grande e il cui esponente è infinitamente piccolo.

Si dice che esiste un'incertezza del tipo corrispondente. In questi casi viene chiamato il calcolo del limite rivelazione dell'incertezza. Per rivelare l'incertezza, l'espressione sotto il segno limite viene convertita in una forma che non contiene incertezza.

Quando si calcolano i limiti, vengono utilizzate le proprietà dei limiti, nonché le proprietà delle funzioni infinitesime e infinitamente grandi.

Considera esempi di calcoli di vari limiti.

1) . 2) .

4) , perché il lavoro è infinito piccola funzione per funzione limitata è infinitamente piccolo.

5) . 6) .

7) = =

. In questo caso c'era un'indeterminazione del tipo, che veniva risolta fattorizzando i polinomi e riducendo di un fattore comune.

= .

In questo caso si trattava di un'indeterminatezza di tipo , che veniva risolta moltiplicando numeratore e denominatore per l'espressione , utilizzando la formula , e quindi riducendo la frazione di (+1).

9)
. In questo esempio, l'incertezza del tipo è stata rivelata dalla divisione termine per termine del numeratore e denominatore della frazione per il grado più alto.

Limiti notevoli

Primo meraviglioso limite : .

Prova. Considera un cerchio unitario (Fig. 3).

Fig.3. cerchio unitario

Permettere Xè la misura in radianti dell'angolo centrale MOA(), poi OA = R= 1, MK= peccato X, A=tg X. Confrontando le aree dei triangoli OMA, OTA e settori OMA, noi abbiamo:

,

.

Dividi l'ultima disuguaglianza per il peccato X, noi abbiamo:

.

Poiché per , quindi per proprietà 5) dei limiti

Da dove e il reciproco di at , che doveva essere dimostrato.

Commento: Se la funzione è infinitesimale in , cioè , allora il primo limite notevole ha la forma:

.

Considera esempi di calcoli di limite utilizzando il primo limite notevole.

Nel calcolare questo limite, abbiamo usato formula trigonometrica: .

.

Si considerino esempi di calcolo dei limiti utilizzando il secondo limite notevole.

2) .

3) . C'è un'ambiguità di tipo. Facciamo una sostituzione, quindi; a .

Funzioni infinitamente piccole

Viene chiamata la funzione %%f(x)%% infinitesimale(b.m.) per %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, se il limite della funzione è uguale a zero quando l'argomento tende a questo.

Il concetto di b.m. La funzione è indissolubilmente legata a un'indicazione di un cambiamento nel suo argomento. Possiamo parlare di b.m. funzioni per %%a \to a + 0%% e per %%a \to a - 0%%. Di solito b.m. le funzioni sono indicate dalle prime lettere dell'alfabeto greco %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Esempi

1. La funzione %%f(x) = x%% è b.m. at %%x \to 0%%, perché il suo limite a %%a = 0%% è zero. Secondo il teorema sulla connessione tra limite bilaterale e limite unilaterale, questa funzione è b.m. sia con %%x \to +0%% che con %%x \to -0%%.
2. Funzione %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. con %%x \to \infty%% (così come con %%x \to +\infty%% e con %%x \to -\infty%%).

Un numero costante diverso da zero, non importa quanto piccolo in valore assoluto, non è un b.m. funzione. Per i numeri costanti, l'unica eccezione è zero, poiché la funzione %%f(x) \equiv 0%% ha un limite zero.

Teorema

La funzione %%f(x)%% ha un limite finale nel punto %%a \in \overline(\mathbb(R))%% della linea numerica estesa, uguale al numero%%b%%, se e solo se questa funzione è uguale alla somma di questo numero %%b%% e b.m. funzioni %%\alpha(x)%% con %%x \to a%%, o $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Proprietà delle funzioni infinitesime

Secondo le regole di passaggio al limite, per %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, seguono le seguenti affermazioni:

1. La somma del numero finale b.m. funzioni per %%x \to a%% è f.m. con %%x \to a%%.
2. Il prodotto di un numero qualsiasi di b.m. funzioni per %%x \to a%% è f.m. con %%x \to a%%.

Il prodotto di b.m. funzioni a %%x \to a%% e una funzione delimitata in un quartiere perforato %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% del punto a, è b.m. con %%x \a una funzione%%.

È chiaro che il prodotto di una funzione costante e b.m. a %%x \a%% c'è b.m. funzione a %%x \to a%%.

Funzioni infinitesime equivalenti

Vengono chiamate funzioni infinitamente piccole %%\alpha(x), \beta(x)%% per %%x \to a%% equivalente e sono scritti %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% se

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorema sul cambio di b.m. funzioni equivalenti

Sia %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funzioni a %%x \to a%% e %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, quindi $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limiti_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

equivalente b.m. funzioni.

Sia %%\alpha(x)%% b.m. funzione a %%x \to a%%, quindi

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x))\sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x)\sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x)\sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1\sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1\sim \alpha(x)\ln(a)%%

Esempio

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Funzioni infinitamente grandi

Viene chiamata la funzione %%f(x)%% infinitamente grande(b.b.) per %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, se la funzione ha un limite infinito poiché l'argomento tende a farlo.

Come b.m. funziona il concetto di b.b. La funzione è indissolubilmente legata a un'indicazione di un cambiamento nel suo argomento. Possiamo parlare di b.b. funzioni a %%x \to a + 0%% e %%x \to a - 0%%. Con il termine “infinitamente grande” non si intende il valore assoluto della funzione, ma la natura del suo mutamento in prossimità del punto considerato. Nessun numero costante, per quanto grande in valore assoluto, è infinitamente grande.

Esempi

1. Funzione %%f(x) = 1/x%% - b.b. a %%x \to 0%%.
2. Funzione %%f(x) = x%% - b.b. a %%x \to \infty%%.

Se le condizioni delle definizioni $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(array) $$

poi ne parlano positivo o negativo b.b. alla funzione %%a%%.

Esempio

La funzione %%1/(x^2)%% è un b.b. positivo. a %%x \to 0%%.

La connessione tra b.b. e b.m. funzioni

Se %%f(x)%% è b.b. se %%x \to a%% è una funzione, allora %%1/f(x)%% è b.m.

con %%x \to a%%. Se %%\alpha(x)%% è b.m. per %%x \to a%% è una funzione diversa da zero in un quartiere perforato del punto %%a%%, quindi %%1/\alpha(x)%% è b.b. con %%x \to a%%.

Proprietà di funzioni infinitamente grandi

Presentiamo alcune proprietà di b.b. funzioni. Queste proprietà derivano direttamente dalla definizione di b.b. funzioni e proprietà di funzioni che hanno limiti finiti, nonché dal teorema di connessione tra b.b. e b.m. funzioni.

1. Il prodotto di un numero finito b.b. le funzioni per %%x \to a%% sono b.b. funzione a %%x \to a%%. Infatti, se %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% è b.b. funzioni a %%x \to a%%, quindi in qualche zona perforata del punto %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% e per il teorema di connessione b.b. e b.m. funzioni %%1/f_k(x)%% - b.m. funzione a %%x \to a%%. Si scopre che %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% è una funzione b.m per %%x \to a%% e %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. funzione a %%x \to a%%.
2. Il prodotto di b.b. funzioni a %%x \to a%% e una funzione il cui valore assoluto è maggiore di una costante positiva in un intorno perforato del punto %%a%% è un b.b. funzione a %%x \to a%%. In particolare, il prodotto di b.b. funzioni a %%x \to a%% e una funzione che ha un limite finito diverso da zero nel punto %%a%% sarà b.b. funzione a %%x \to a%%.

La somma di una funzione delimitata in un intorno perforato del punto %%a%% e b.b. le funzioni a %%x \to a%% sono b.b. funzione a %%x \to a%%.

Ad esempio, le funzioni %%x - \sin x%% e %%x + \cos x%% sono b.b. a %%x \to \infty%%.

3. La somma di due b.b. funzioni a %%x \to a%% c'è incertezza. A seconda del segno dei termini, la natura della variazione di tale somma può essere molto diversa.

   Esempio

   Sia le funzioni %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b. funzioni a %%x \to \infty%%. Quindi:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funzione a %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funzione a %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% non ha limiti a %%x \to \infty%%.

Definizioni e proprietà di funzioni infinitamente piccole e infinitamente grandi in un punto. Dimostrazioni di proprietà e teoremi. Relazione tra funzioni infinitesime e infinitamente grandi.

Contenuto

Guarda anche: Sequenze infinitamente piccole - definizione e proprietà
Proprietà di sequenze infinitamente grandi

Definizione di funzioni infinitesime e infinitamente grandi

Sia x 0 è un punto finito o all'infinito: ∞ , -∞ o +∞ .

Definizione di funzione infinitesima
Funzione α (X) chiamato infinitesimale poiché x tende a x 0 0 , ed è uguale a zero:
.

La definizione è infinita grande funzione
funzione f (X) chiamato infinitamente grande poiché x tende a x 0 , se la funzione ha un limite come x → x 0 , ed è uguale all'infinito:
.

Proprietà delle funzioni infinitesime

Proprietà di somma, differenza e prodotto di funzioni infinitesime

Somma, differenza e prodotto un numero finito di funzioni infinitamente piccole come x → x 0 è una funzione infinitesima come x → x 0 .

Questa proprietà è una diretta conseguenza delle proprietà aritmetiche dei limiti di una funzione.

Teorema sul prodotto di una funzione limitata per un infinitesimo

Il prodotto di una funzione limitata su qualche intorno perforato del punto x 0 , a un infinitesimo, come x → x 0 , è una funzione infinitesima come x → x 0 .

Proprietà di rappresentare una funzione come somma di una costante e di una funzione infinitesima

Affinché la funzione f (X) ha un limite finito, è necessario e sufficiente che
,
dove è una funzione infinitesima come x → x 0 .

Proprietà di funzioni infinitamente grandi

Teorema sulla somma di una funzione limitata e di una infinitamente grande

La somma o la differenza di una funzione limitata, su un intorno punteggiato del punto x 0 , e una funzione infinitamente grande, come x → x 0 , è una funzione infinita come x → x 0 .

Il teorema del quoziente per una funzione limitata da una infinitamente grande

Se la funzione f (X)è infinito come x → x 0 , e la funzione g (X)- delimitato su qualche intorno perforato del punto x 0 , poi
.

Teorema sul quoziente di divisione di una funzione delimitata inferiormente da una infinitesima

Se la funzione , su qualche intorno forato del punto , è delimitata dal basso da un numero positivo in valore assoluto:
,
e la funzione è infinitesima come x → x 0 :
,
e c'è un quartiere perforato del punto su cui , quindi
.

Proprietà delle disuguaglianze di funzioni infinitamente grandi

Se la funzione è infinitamente grande per:
,
e funzioni e , su qualche intorno perforato del punto soddisfano la disuguaglianza:
,
allora la funzione è anche infinitamente grande per:
.

Questa proprietà ha due casi speciali.

Siano, su qualche intorno perforato del punto, le funzioni e soddisfino la disuguaglianza:
.
Quindi se , allora e .
Se , allora e .

Relazione tra funzioni infinitamente grandi e infinitamente piccole

La connessione tra funzioni infinitamente grandi e infinitamente piccole deriva dalle due proprietà precedenti.

Se una funzione è infinitamente grande in , allora la funzione è infinitamente piccola in .

Se la funzione è infinitamente piccola per , e , allora la funzione è infinitamente grande per .

La relazione tra una funzione infinitesimale e una funzione infinitamente grande può essere espressa simbolicamente:
, .

Se una funzione infinitesimale ha un segno definito in , cioè è positiva (o negativa) su qualche intorno punteggiato del punto , allora può essere scritta come segue:
.
Allo stesso modo, se una funzione infinitamente grande ha un certo segno in , allora scrivono:
, o .

Quindi la connessione simbolica tra funzioni infinitamente piccole e infinitamente grandi può essere integrata dalle seguenti relazioni:
, ,
, .

Ulteriori formule relative ai simboli dell'infinito possono essere trovate nella pagina
"Punti all'infinito e loro proprietà".

Dimostrazione di proprietà e teoremi

Dimostrazione del teorema sul prodotto di una funzione limitata per un infinitesimo

Per dimostrare questo teorema useremo . Usiamo anche la proprietà delle successioni infinitesime, secondo la quale

Sia la funzione infinitesimale in , e la funzione sia limitata in un intorno perforato del punto :
a .

Poiché esiste un limite, esiste un intorno perforato del punto su cui è definita la funzione. Sia un'intersezione di quartieri e . Quindi le funzioni e sono definite su di esso.

.
,
una successione è infinitesima:
.

Usiamo il fatto che il prodotto di una sequenza limitata per una sequenza infinitesimale è una sequenza infinitesimale:
.
.

Il teorema è stato dimostrato.

Dimostrazione di una proprietà sulla rappresentazione di una funzione come somma di una costante e di una funzione infinitesimale

Bisogno. Lascia che la funzione abbia un limite finito in un punto
.
Considera una funzione:
.
Usando la proprietà del limite della differenza di funzioni si ha:
.
Cioè, esiste una funzione infinitesima per .

Adeguatezza. Lascia e . Applichiamo la proprietà limit della somma delle funzioni:
.

La proprietà è stata dimostrata.

Dimostrazione del teorema sulla somma di una funzione limitata e di una infinitamente grande

Per dimostrare il teorema utilizzeremo la definizione di Heine del limite di una funzione

a .

Poiché esiste un limite , esiste un intorno perforato del punto su cui è definita la funzione. Sia un'intersezione di quartieri e . Quindi le funzioni e sono definite su di esso.

Sia una successione arbitraria convergente a , i cui elementi appartengono all'intorno :
.
Quindi le sequenze e sono definite. E la sequenza è limitata:
,
una sequenza è infinita:
.

Poiché la somma o la differenza di una successione limitata e di una infinitamente grande
.
Quindi, secondo la definizione di Heine del limite di una successione,
.

Il teorema è stato dimostrato.

Dimostrazione del teorema del quoziente per una funzione limitata da una infinitamente grande

Per la dimostrazione utilizzeremo la definizione di Heine del limite di una funzione. Usiamo anche la proprietà delle successioni infinitamente grandi, secondo la quale è un infinito piccola sequenza.

Sia la funzione infinitamente grande in , e la funzione sia limitata in un intorno perforato del punto :
a .

Poiché la funzione è infinitamente grande, esiste un intorno perforato del punto su cui è definita e non svanisce:
a .
Sia un'intersezione di quartieri e . Quindi le funzioni e sono definite su di esso.

Sia una successione arbitraria convergente a , i cui elementi appartengono all'intorno :
.
Quindi le sequenze e sono definite. E la sequenza è limitata:
,
una successione è infinita con termini diversi da zero:
, .

Poiché il quoziente di divisione di una successione limitata per una infinitamente grande è una successione infinitesimale, allora
.
Quindi, secondo la definizione di Heine del limite di una successione,
.

Il teorema è stato dimostrato.

Dimostrazione del teorema sul quoziente di divisione di una funzione delimitata inferiormente da una infinitesima

Per dimostrare questa proprietà useremo la definizione di Heine del limite di una funzione. Usiamo anche la proprietà delle sequenze infinitamente grandi, secondo la quale è una sequenza infinitamente grande.

Sia la funzione infinitesimale in , e la funzione sia delimitata in valore assoluto dal basso da un numero positivo, su un intorno perforato del punto:
a .

Per ipotesi, esiste un intorno perforato del punto su cui la funzione è definita e non svanisce:
a .
Sia un'intersezione di quartieri e . Quindi le funzioni e sono definite su di esso. E e.

Sia una successione arbitraria convergente a , i cui elementi appartengono all'intorno :
.
Quindi le sequenze e sono definite. Inoltre, la sequenza è delimitata da sotto:
,
e la successione è infinitesima con termini diversi da zero:
, .

Poiché il quoziente di divisione di una successione delimitata al di sotto per una infinitesimale è una successione infinitamente grande, allora
.
E lascia che ci sia un quartiere perforato del punto su cui
a .

Prendi una sequenza arbitraria convergente a . Quindi, a partire da un certo numero N , gli elementi della successione apparterranno a questo intorno:
a .
Quindi
a .

Secondo la definizione di Heine del limite di una funzione,
.
Quindi, per la proprietà delle disuguaglianze di successioni infinitamente grandi,
.
Poiché la sequenza è arbitraria, convergente a , quindi, per la definizione del limite di una funzione secondo Heine,
.

La proprietà è stata dimostrata.

Riferimenti:
LD Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.

Guarda anche:

Funzione y=f(x) chiamato infinitesimale a x→a o quando X→∞ se o , cioè Una funzione infinitesimale è una funzione il cui limite in un dato punto è zero.

Esempi.

1. Funzione f(x)=(X-1) 2 è infinitamente piccolo per X→1, poiché (vedi Fig.).

2. Funzione f(x)=tg Xè infinitamente piccolo a X→0.

3. f(x)= registro(1+ X) è infinitamente piccolo a X→0.

4. f(x) = 1/Xè infinitamente piccolo a X→∞.

Stabiliamo la seguente relazione importante:

Teorema. Se la funzione y=f(x) rappresentabile a x→a come somma di un numero costante b e infinitamente piccolo α(x): f(x)=b+ α(x) poi .

Viceversa, se , allora f(x)=b+α(x), dove ascia)è infinitamente piccolo a x→a.

Prova.

1. Dimostriamo la prima parte dell'asserzione. Dall'uguaglianza f(x)=b+α(x) dovrebbe |f(x) – b|=| α|. Ma da allora ascia)è infinitesimale, allora per ε arbitrario c'è δ, un intorno del punto un, per tutti X da cui, valori ascia) soddisfare la relazione |α(x)|< ε. Quindi |f(x) – b|< ε. E questo significa che.

2. Se , allora per qualsiasi ε >0 per tutti X da alcuni δ è un intorno del punto un sarà |f(x) – b|< ε. Ma se indichiamo f(x) – b= α, poi |α(x)|< ε, il che significa questo un- infinitamente piccolo.

Consideriamo le principali proprietà delle funzioni infinitesime.

Teorema 1. La somma algebrica di due, tre e in generale qualsiasi numero finito di infinitesimi è una funzione infinitesima.

Prova. Diamo una dimostrazione per due termini. Permettere f(x)=α(x)+β(x), dove e . Dobbiamo dimostrarlo per ε arbitrariamente arbitrariamente piccolo > 0 lì δ> 0, tale che per X soddisfare la disuguaglianza |x – a|<δ , eseguita |f(x)|< ε.

Quindi, fissiamo un numero arbitrario ε > 0. Poiché, secondo l'ipotesi del teorema, α(x)è una funzione infinitesimale, allora esiste δ 1 > 0, che a |x – a|< δ 1 abbiamo |α(x)|< ε / 2. Allo stesso modo, poiché β(x)è infinitesimo, allora esiste un tale δ 2 > 0, che a |x – a|< δ 2 abbiamo | β(x)|< ε / 2.

Prendiamo δ=min(δ1 , δ2 } .Poi in un quartiere del punto un raggio δ ciascuna delle disuguaglianze sarà soddisfatta |α(x)|< ε / 2 e | β(x)|< ε / 2. Pertanto, in questo quartiere ci sarà

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

quelli. |f(x)|< ε, che doveva essere dimostrato.

Teorema 2. Prodotto di una funzione infinitesima ascia) per funzione limitata f(x) a x→a(o quando x→∞) è una funzione infinitesima.

Prova. Poiché la funzione f(x)è limitato, quindi c'è un numero M tale che per tutti i valori X da qualche quartiere del punto a|f(x)|≤M. Inoltre, poiché ascia)è una funzione infinitesima per x→a, quindi per ε arbitrario > 0 c'è un intorno del punto un, in cui la disuguaglianza |α(x)|< ε /M. Poi nel più piccolo di questi quartieri abbiamo | af|< ε /M= ε. E questo significa questo af- infinitamente piccolo. Per il caso x→∞ la dimostrazione viene eseguita in modo simile.

Dal teorema dimostrato segue:

Conseguenza 1. Se e , allora .

Conseguenza 2. Se e c= const, allora.

Teorema 3. Rapporto di una funzione infinitesima α(x) per funzione f(x), il cui limite è diverso da zero, è una funzione infinitesima.

Prova. Permettere . Poi 1 /f(x) c'è funzione limitata. Pertanto, una frazione è un prodotto di una funzione infinitesimale e di una funzione limitata, cioè la funzione è infinitesimale.

Viene data la definizione di sequenza infinitamente grande. Si considerano i concetti di intorni di punti infinitamente distanti. Viene data una definizione universale del limite di una successione, che si applica sia ai limiti finiti che infiniti. Vengono considerati esempi di applicazione della definizione di una sequenza infinitamente grande.

Contenuto

Guarda anche: Determinazione del limite di una sequenza

Definizione

Sotto sequenza (βn) è chiamata sequenza infinita, se del caso, arbitrariamente un largo numero M, c'è numero naturale N M dipendente da M tale che per tutti gli interi positivi n > N M la disuguaglianza
|β n | >M.
In questo caso, scrivi
.
O a .
Dicono che tenda all'infinito, o converge all'infinito.

Se, partendo da un certo numero N 0 , poi
( converge a più infinito).
Se poi
( converge a meno infinito).

Scriviamo queste definizioni usando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità:
(1) .
(2) .
(3) .

Le sequenze con limiti (2) e (3) sono casi speciali di una sequenza infinitamente grande (1). Da queste definizioni segue che se il limite di una successione è più o meno infinito, allora è anche uguale all'infinito:
.
Il contrario, ovviamente, non è vero. I membri della sequenza possono avere caratteri alternati. In questo caso, il limite può essere uguale all'infinito, ma senza un segno definito.

Si noti inoltre che se una certa proprietà vale per una sequenza arbitraria con un limite uguale all'infinito, la stessa proprietà vale per una sequenza il cui limite è più o meno infinito.

In molti libri di testo di calcolo, la definizione di sequenza infinitamente grande afferma che il numero M è positivo: M > 0 . Tuttavia, questo requisito è ridondante. Se viene cancellato, non sorgono contraddizioni. Solo i valori piccoli o negativi non ci interessano. Siamo interessati al comportamento della sequenza per valori positivi arbitrariamente grandi di M . Pertanto, se se ne presenta la necessità, allora M può essere limitato dal basso da un qualsiasi numero a, cioè supponiamo che M > a.

Quando abbiamo definito ε - l'intorno del punto finale, allora il requisito ε > 0 è un importante. In valori negativi, la disuguaglianza non può reggere affatto.

Quartieri di punti all'infinito

Quando abbiamo considerato i limiti finiti, abbiamo introdotto il concetto di intorno di un punto. Ricordiamo che l'intorno di un punto finale è un intervallo aperto che contiene questo punto. Possiamo anche introdurre il concetto di intorni di punti all'infinito.

Sia M un numero arbitrario.
Il quartiere del punto "infinito", , è chiamato insieme.
L'intorno del punto "più infinito", , è chiamato insieme.
L'intorno del punto "meno infinito", , è chiamato insieme.

A rigor di termini, l'intorno del punto "infinito" è l'insieme
(4) ,
dove M 1 e M 2 sono numeri positivi arbitrari. Useremo la prima definizione, , perché è più semplice. Tuttavia, tutto quanto detto di seguito è vero anche quando si utilizza la definizione (4).

Possiamo ora dare una definizione unificata del limite di una successione che si applica sia ai limiti finiti che infiniti.

Definizione universale di limite di sequenza.
Un punto a (finito o all'infinito) è il limite di una successione se per ogni intorno di questo punto esiste un numero naturale N tale che tutti gli elementi della successione con numeri appartengano a questo intorno.

Quindi, se il limite esiste, allora al di fuori dell'intorno del punto a può esserci solo un numero finito di membri della sequenza o un insieme vuoto. Questa condizione è necessaria e sufficiente. La dimostrazione di questa proprietà è esattamente la stessa dei limiti finiti.

Proprietà di vicinato di una successione convergente
Affinché il punto a (finito o all'infinito) sia il limite della successione, è necessario e sufficiente che al di fuori di ogni intorno di questo punto vi sia un numero finito di membri della successione o un insieme vuoto.
Prova .

Inoltre, vengono talvolta introdotti i concetti di ε - quartieri di punti infinitamente distanti.
Ricordiamo che l'ε-intorno del punto finale a è l'insieme.
Introduciamo la seguente notazione. Denotiamo ε - intorno di un punto a . Quindi per il punto finale,
.
Per punti all'infinito:
;
;
.
Utilizzando i concetti di ε - quartieri, si può dare un'altra definizione universale del limite di una successione:

Un punto a (finito o all'infinito) è il limite di una successione se per qualsiasi numero positivo ε > 0 esiste un numero naturale N ε dipendente da ε tale che per tutti i numeri n > N ε i termini x n appartengano all'intorno ε del punto a :
.

Usando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, questa definizione può essere scritta come segue:
.

Esempi di sequenze infinitamente grandi

Esempio 1

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Scriviamo la definizione di sequenza infinitamente grande:
(1) .
Nel nostro caso
.

Introduciamo i numeri e , collegandoli con le disuguaglianze:
.
Per le proprietà delle disuguaglianze , se e , allora
.
Si noti che quando questa disuguaglianza vale per qualsiasi n . Quindi puoi scegliere in questo modo:
a ;
a .

Quindi, per chiunque può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza. Poi per tutti
.
Significa che . Cioè, la sequenza è infinitamente grande.

Esempio 2

Usando la definizione di una sequenza infinitamente grande, mostralo
.

(2) .
Il termine comune della sequenza data ha la forma:
.

Inserisci i numeri e:
.
.

Allora per chiunque può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza, in modo che per tutti,
.
Significa che .

.

Esempio 3

Usando la definizione di una sequenza infinitamente grande, mostralo
.

Scriviamo la definizione del limite di una successione uguale a meno infinito:
(3) .
Il termine comune della sequenza data ha la forma:
.

Inserisci i numeri e:
.
Questo mostra che se e , allora
.

Poiché per chiunque può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza , allora
.

Dato , come N, puoi prendere qualsiasi numero naturale che soddisfi la seguente disuguaglianza:
.

Esempio 4

Usando la definizione di una sequenza infinitamente grande, mostralo
.

Scriviamo il termine comune della sequenza:
.
Scriviamo la definizione del limite di una successione uguale a più infinito:
(2) .

Poiché n è un numero naturale, n = 1, 2, 3, ... , poi
;
;
.

Introduciamo i numeri e M , mettendoli in relazione con le disuguaglianze:
.
Questo mostra che se e , allora
.

Quindi, per qualsiasi numero M, puoi trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza . Poi per tutti
.
Significa che .

Riferimenti:
LD Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
CENTIMETRO. Nicolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.

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