Funzione y=f(x) chiamata infinitesimale A x→a o quando X→∞ se o , cioè infinitamente piccola funzioneè una funzione il cui limite in un dato punto è uguale a zero.

Esempi.

1. Funzione f(x)=(X-1) 2 è infinitamente piccolo per X→1, poiché (vedi Fig.).

2. Funzione f(x)=tg Xè infinitamente piccolo a X→0.

3. f(x)= registro(1+ X) è infinitamente piccolo a X→0.

4. f(x) = 1/Xè infinitamente piccolo a X→∞.

Stabiliamo la seguente relazione importante:

Teorema. Se la funzione y=f(x) rappresentabile a x→a come somma di un numero costante b e infinitamente piccolo α(x): f(x)=b+ α(x) poi .

Viceversa, se , allora f(x)=b+α(x), dove ascia)è infinitamente piccolo a x→a.

Prova.

1. Dimostriamo la prima parte dell'asserzione. Dall'uguaglianza f(x)=b+α(x) Dovrebbe |f(x) – b|=| α|. Ma da allora ascia)è infinitesimale, allora per ε arbitrario c'è δ, un intorno del punto un, per tutti X da cui, valori ascia) soddisfare la relazione |α(x)|< ε. Quindi |f(x) – b|< ε. E questo significa che.

2. Se , allora per qualsiasi ε >0 per tutti X da alcuni δ è un intorno del punto un volere |f(x) – b|< ε. Ma se indichiamo f(x) – b= α, poi |α(x)|< ε, il che significa questo un- infinitamente piccolo.

Consideriamo le principali proprietà delle funzioni infinitesime.

Teorema 1. La somma algebrica di due, tre e in generale qualsiasi numero finito di infinitesimi è una funzione infinitesima.

Prova. Diamo una dimostrazione per due termini. Lascia stare f(x)=α(x)+β(x), dove e . Dobbiamo dimostrarlo per ε arbitrariamente arbitrariamente piccolo > 0 lì δ> 0, tale che per X soddisfare la disuguaglianza |x – a|<δ , eseguita |f(x)|< ε.

Quindi, fissiamo un numero arbitrario ε > 0. Poiché, secondo l'ipotesi del teorema, α(x)è una funzione infinitesimale, allora esiste δ 1 > 0, che a |x – a|< δ 1 abbiamo |α(x)|< ε / 2. Allo stesso modo, poiché β(x)è infinitesimo, allora esiste un tale δ 2 > 0, che a |x – a|< δ 2 abbiamo | β(x)|< ε / 2.

Prendiamo δ=min(δ1 , δ2 } .Poi in un quartiere del punto un raggio δ ciascuna delle disuguaglianze sarà soddisfatta |α(x)|< ε / 2 e | β(x)|< ε / 2. Pertanto, in questo quartiere ci sarà

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

quelli. |f(x)|< ε, che doveva essere dimostrato.

Teorema 2. Prodotto di una funzione infinitesima ascia) per funzione limitata f(x) A x→a(o quando x→∞) è una funzione infinitesima.

Prova. Poiché la funzione f(x)è limitato, quindi c'è un numero M tale che per tutti i valori X da qualche quartiere del punto a|f(x)|≤M. Inoltre, poiché ascia)è una funzione infinitesima per x→a, quindi per ε arbitrario > 0 c'è un intorno del punto un, in cui la disuguaglianza |α(x)|< ε /M. Poi nel più piccolo di questi quartieri abbiamo | af|< ε /M= ε. E questo significa questo af- infinitamente piccolo. Per l'occasione x→∞ la dimostrazione viene eseguita in modo simile.

Dal teorema dimostrato segue:

Conseguenza 1. Se e , allora .

Conseguenza 2. Se c= const, allora.

Teorema 3. Rapporto di una funzione infinitesima α(x) per funzione f(x), il cui limite è diverso da zero, è una funzione infinitesima.

Prova. Lascia stare. Poi 1 /f(x) c'è una funzione limitata. Pertanto, una frazione è un prodotto di una funzione infinitesimale e di una funzione limitata, cioè la funzione è infinitesimale.

Funzioni infinitamente piccole

Viene chiamata la funzione %%f(x)%% infinitesimale(b.m.) per %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, se il limite della funzione è uguale a zero quando l'argomento tende a questo.

Il concetto di b.m. La funzione è indissolubilmente legata a un'indicazione di un cambiamento nel suo argomento. Possiamo parlare di b.m. funzioni per %%a \to a + 0%% e per %%a \to a - 0%%. Di solito b.m. le funzioni sono indicate dalle prime lettere dell'alfabeto greco %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Esempi

1. La funzione %%f(x) = x%% è b.m. at %%x \to 0%%, perché il suo limite a %%a = 0%% è zero. Secondo il teorema sulla connessione tra limite bilaterale e limite unilaterale, questa funzione è b.m. sia con %%x \to +0%% che con %%x \to -0%%.
2. Funzione %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. con %%x \to \infty%% (così come con %%x \to +\infty%% e con %%x \to -\infty%%).

Un numero costante diverso da zero, non importa quanto piccolo in valore assoluto, non è un b.m. funzione. Per i numeri costanti, l'unica eccezione è zero, poiché la funzione %%f(x) \equiv 0%% ha un limite zero.

Teorema

La funzione %%f(x)%% ha un limite finale nel punto %%a \in \overline(\mathbb(R))%% della linea numerica estesa, uguale al numero%%b%%, se e solo se questa funzione è uguale alla somma di questo numero %%b%% e b.m. funzioni %%\alpha(x)%% con %%x \to a%%, o $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Proprietà delle funzioni infinitesime

Secondo le regole per il superamento del limite, per %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, seguono le seguenti affermazioni:

1. La somma del numero finale b.m. funzioni per %%x \to a%% è f.m. con %%x \to a%%.
2. Il prodotto di un numero qualsiasi di b.m. funzioni per %%x \to a%% è f.m. con %%x \to a%%.

Il prodotto di b.m. funzioni a %%x \to a%% e una funzione delimitata in un quartiere perforato %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% del punto a, è b.m. con %%x \a una funzione%%.

È chiaro che il prodotto di una funzione costante e b.m. a %%x \a%% c'è b.m. funzione a %%x \to a%%.

Funzioni infinitesime equivalenti

Vengono chiamate funzioni infinitamente piccole %%\alpha(x), \beta(x)%% per %%x \to a%% equivalente e sono scritti %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% se

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorema sulla sostituzione di b.m. funzioni equivalenti

Sia %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funzioni a %%x \to a%% e %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, quindi $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limiti_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

equivalente b.m. funzioni.

Sia %%\alpha(x)%% b.m. funzione a %%x \to a%%, quindi

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x))\sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x)\sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x)\sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1\sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1\sim \alpha(x)\ln(a)%%

Esempio

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Funzioni infinitamente grandi

Viene chiamata la funzione %%f(x)%% infinitamente grande(b.b.) per %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, se la funzione ha un limite infinito poiché l'argomento tende a farlo.

Come b.m. funziona il concetto di b.b. La funzione è indissolubilmente legata a un'indicazione di un cambiamento nel suo argomento. Possiamo parlare di b.b. funzioni a %%x \to a + 0%% e %%x \to a - 0%%. Con il termine “infinitamente grande” non si intende il valore assoluto della funzione, ma la natura del suo mutamento in prossimità del punto considerato. Nessun numero costante, per quanto grande in valore assoluto, è infinitamente grande.

Esempi

1. Funzione %%f(x) = 1/x%% - b.b. a %%x \to 0%%.
2. Funzione %%f(x) = x%% - b.b. a %%x \to \infty%%.

Se le condizioni delle definizioni $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(array) $$

poi ne parlano positivo o negativo b.b. alla funzione %%a%%.

Esempio

La funzione %%1/(x^2)%% è un b.b. positivo. a %%x \to 0%%.

La connessione tra b.b. e b.m. funzioni

Se %%f(x)%% è b.b. se %%x \to a%% è una funzione, allora %%1/f(x)%% è b.m.

con %%x \to a%%. Se %%\alpha(x)%% è b.m. per %%x \to a%% è una funzione diversa da zero in un quartiere perforato del punto %%a%%, quindi %%1/\alpha(x)%% è b.b. con %%x \to a%%.

Proprietà di funzioni infinitamente grandi

Presentiamo alcune proprietà di b.b. funzioni. Queste proprietà derivano direttamente dalla definizione di b.b. funzioni e proprietà di funzioni che hanno limiti finiti, nonché dal teorema di connessione tra b.b. e b.m. funzioni.

1. Il prodotto di un numero finito b.b. le funzioni per %%x \to a%% sono b.b. funzione a %%x \to a%%. Infatti, se %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% è b.b. funzioni a %%x \to a%%, quindi in qualche zona perforata del punto %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% e per il teorema di connessione b.b. e b.m. funzioni %%1/f_k(x)%% - b.m. funzione a %%x \to a%%. Si scopre che %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% è una funzione b.m per %%x \to a%% e %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. funzione a %%x \to a%%.
2. Il prodotto di b.b. funzioni a %%x \to a%% e una funzione il cui valore assoluto è maggiore di una costante positiva in un intorno perforato del punto %%a%% è un b.b. funzione a %%x \to a%%. In particolare, il prodotto di b.b. funzioni a %%x \to a%% e una funzione che ha un limite finito diverso da zero nel punto %%a%% sarà b.b. funzione a %%x \to a%%.

La somma di una funzione delimitata in un intorno perforato del punto %%a%% e b.b. le funzioni a %%x \to a%% sono b.b. funzione a %%x \to a%%.

Ad esempio, le funzioni %%x - \sin x%% e %%x + \cos x%% sono b.b. a %%x \to \infty%%.

3. La somma di due b.b. funzioni a %%x \to a%% c'è incertezza. A seconda del segno dei termini, la natura della variazione di tale somma può essere molto diversa.

   Esempio

   Sia le funzioni %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b. funzioni a %%x \to \infty%%. Quindi:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funzione a %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funzione a %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% non ha limiti a %%x \to \infty%%.

Data la definizione all'infinito grande sequenza. Si considerano i concetti di intorni di punti infinitamente distanti. Viene data una definizione universale del limite di una successione, che si applica sia ai limiti finiti che infiniti. Vengono considerati esempi di applicazione della definizione di una sequenza infinitamente grande.

Contenuto

Guarda anche: Determinazione del limite di una sequenza

Definizione

Sotto sequenza (βn) è chiamata sequenza infinita, se del caso, arbitrariamente un largo numero M , esiste un numero naturale N M dipendente da M tale che per tutti i numeri naturali n > N M la disuguaglianza
|β n | >M.
In questo caso, scrivi
.
O a .
Dicono che tenda all'infinito, o converge all'infinito.

Se, partendo da un certo numero N 0 , poi
( converge a più infinito).
Se poi
( converge a meno infinito).

Scriviamo queste definizioni usando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità:
(1) .
(2) .
(3) .

Le sequenze con limiti (2) e (3) sono casi speciali di una sequenza infinitamente grande (1). Da queste definizioni segue che se il limite di una successione è uguale a più o meno infinito, allora è anche uguale a infinito:
.
Il contrario, ovviamente, non è vero. I membri della sequenza possono avere caratteri alternati. In questo caso, il limite può essere uguale all'infinito, ma senza un segno definito.

Si noti inoltre che se una certa proprietà vale per una sequenza arbitraria con un limite uguale all'infinito, la stessa proprietà vale per una sequenza il cui limite è più o meno infinito.

In molti libri di testo di calcolo, la definizione di sequenza infinitamente grande afferma che il numero M è positivo: M > 0 . Tuttavia, questo requisito è ridondante. Se viene cancellato, non sorgono contraddizioni. Solo i valori piccoli o negativi non ci interessano. Siamo interessati al comportamento della sequenza per valori positivi arbitrariamente grandi di M . Pertanto, se se ne presenta la necessità, allora M può essere limitato dal basso da un qualsiasi numero a, cioè supponiamo che M > a.

Quando abbiamo definito ε - l'intorno del punto finale, allora il requisito ε > 0 è un importante. In valori negativi, la disuguaglianza non può reggere affatto.

Quartieri di punti all'infinito

Quando abbiamo considerato i limiti finiti, abbiamo introdotto il concetto di intorno di un punto. Ricordiamo che l'intorno di un punto finale è un intervallo aperto che contiene questo punto. Possiamo anche introdurre il concetto di intorni di punti all'infinito.

Sia M un numero arbitrario.
Il quartiere del punto "infinito", , è chiamato insieme.
L'intorno del punto "più infinito", , è chiamato insieme.
L'intorno del punto "meno infinito", , è chiamato insieme.

A rigor di termini, l'intorno del punto "infinito" è l'insieme
(4) ,
dove M 1 e M 2 sono numeri positivi arbitrari. Useremo la prima definizione, , perché è più semplice. Tuttavia, tutto quanto detto di seguito è vero anche quando si utilizza la definizione (4).

Possiamo ora dare una definizione unificata del limite di una successione che si applica sia ai limiti finiti che infiniti.

Definizione universale di limite di sequenza.
Un punto a (finito o all'infinito) è il limite di una successione se per ogni intorno di questo punto esiste un numero naturale N tale che tutti gli elementi della successione con numeri appartengano a questo intorno.

Quindi, se il limite esiste, allora al di fuori dell'intorno del punto a può esserci solo un numero finito di membri della sequenza o un insieme vuoto. Questa condizione è necessaria e sufficiente. La dimostrazione di questa proprietà è esattamente la stessa dei limiti finiti.

Proprietà di vicinato di una successione convergente
Affinché il punto a (finito o all'infinito) sia il limite della successione, è necessario e sufficiente che al di fuori di ogni intorno di questo punto vi sia un numero finito di membri della successione o un insieme vuoto.
Prova .

Inoltre, vengono talvolta introdotti i concetti di ε - quartieri di punti infinitamente distanti.
Ricordiamo che l'ε-intorno del punto finale a è l'insieme.
Introduciamo la seguente notazione. Denotiamo ε - intorno di un punto a . Quindi per il punto finale,
.
Per punti all'infinito:
;
;
.
Utilizzando i concetti di ε - quartieri, si può dare un'altra definizione universale del limite di una successione:

Un punto a (finito o all'infinito) è il limite di una sequenza, se esiste numero positivo ε > 0 esiste un numero naturale N ε dipendente da ε tale che per tutti i numeri n > N ε i termini x n appartengono all'intorno ε del punto a :
.

Usando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, questa definizione può essere scritta come segue:
.

Esempi di sequenze infinitamente grandi

Esempio 1

.

.
Scriviamo la definizione di sequenza infinitamente grande:
(1) .
Nel nostro caso
.

Introduciamo i numeri e , collegandoli con le disuguaglianze:
.
Secondo le proprietà delle disuguaglianze , se e , allora
.
Si noti che quando questa disuguaglianza vale per qualsiasi n . Quindi puoi scegliere in questo modo:
A ;
A .

Quindi, per chiunque può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza. Poi per tutti
.
Significa che . Cioè, la sequenza è infinitamente grande.

Esempio 2

Usando la definizione di una sequenza infinitamente grande, mostralo
.

(2) .
Il termine comune della sequenza data ha la forma:
.

Inserisci i numeri e:
.
.

Allora per chiunque può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza, in modo che per tutti,
.
Significa che .

.

Esempio 3

Usando la definizione di una sequenza infinitamente grande, mostralo
.

Scriviamo la definizione del limite di una successione uguale a meno infinito:
(3) .
Il termine comune della sequenza data ha la forma:
.

Inserisci i numeri e:
.
Questo mostra che se e , allora
.

Poiché per chiunque può trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza , allora
.

Dato , come N, puoi prendere qualsiasi numero naturale che soddisfi la seguente disuguaglianza:
.

Esempio 4

Usando la definizione di una sequenza infinitamente grande, mostralo
.

Scriviamo il termine comune della sequenza:
.
Scriviamo la definizione del limite di una successione uguale a più infinito:
(2) .

Poiché n è un numero naturale, n = 1, 2, 3, ... , poi
;
;
.

Introduciamo i numeri e M , mettendoli in relazione con le disuguaglianze:
.
Questo mostra che se e , allora
.

Quindi, per qualsiasi numero M, puoi trovare un numero naturale che soddisfi la disuguaglianza . Poi per tutti
.
Significa che .

Riferimenti:
LD Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
CM. Nicolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.

Guarda anche:

La funzione viene chiamata infinitamente piccolo a
o quando
, Se
o
.

Ad esempio: funzione
infinitesimo a
; funzione
infinitesimo a
.

Nota 1. Nessuna funzione senza specificare la direzione di cambiamento dell'argomento può essere chiamata infinitesimale. Sì, la funzione
A
è infinitesimale, e
non è più infinitesimale
).

Nota 2. Dalla definizione del limite di una funzione in un punto, per le funzioni infinitesime, la disuguaglianza
Useremo ripetutamente questo fatto in quanto segue.

Imposta qualcosa di importante proprietà delle funzioni infinitesime.

Teorema (sulla relazione tra una funzione, il suo limite e un infinitesimo): Se la funzione
può essere rappresentato come la somma di un numero costante MA e una funzione infinitesimale
A
, quindi il numero

Prova:

Dalle condizioni del teorema deriva che la funzione
.

Esprimi da qui
:
. Poiché la funzione
infinitesimale, soddisfa la disuguaglianza
, quindi per l'espressione (
) soddisfa anche la disuguaglianza

E questo significa questo
.

Teorema (rovescio): se
, quindi la funzione
può essere rappresentato come la somma di un numero MA e infinitamente piccolo a
funzioni
, cioè.
.

Prova:

Come
, quindi per
la disuguaglianza
(*) Considera la funzione
come uno singolo e riscrivi la disuguaglianza (*) nella forma

Dall'ultima disuguaglianza deriva che la quantità (
) è infinitesimo a
. Indichiamolo
.

In cui si
. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 1 . La somma algebrica di un numero finito di funzioni infinitamente piccole è una funzione infinitamente piccola.

Prova:

Eseguiamo la dimostrazione per due termini, poiché per ogni numero finito di termini è data in modo simile.

Lascia stare
e
infinitesimo a
funzioni e
è la somma di queste funzioni. Dimostriamolo per
, c'è tale
quello per tutti X soddisfare la disuguaglianza
, la disuguaglianza
.

Poiché la funzione
funzione infinitesimale,
quello per tutti
la disuguaglianza
.

Poiché la funzione
funzione infinitesimale,
, e quindi c'è quello per tutti
la disuguaglianza
.

Prendiamo uguale al numero più piccolo e , poi dentro –quartiere del punto un le disuguaglianze saranno soddisfatte
,
.

Comporre un modulo funzione
e valutarne il valore.

Cioè
, allora la funzione è infinitesima, che doveva essere dimostrata.

Teorema 2. Prodotto di una funzione infinitesima
A
per funzione limitata
è una funzione infinitesima.

Prova:

Poiché la funzione
limitato, allora c'è un numero positivo
quello per tutti la disuguaglianza
.

Poiché la funzione
infinitesimo a
, allora esiste -quartiere del punto quello per tutti il loro quartiere soddisfa la disuguaglianza
.

Considera la funzione
e valutarne il modulo

Così
, e poi
- infinitamente piccolo.

Il teorema è stato dimostrato.

Teoremi limite.

Teorema 1. Il limite della somma algebrica di un numero finito di funzioni è uguale alla somma algebrica dei limiti di queste funzioni

Prova:

Per dimostrarlo basta considerare due funzioni, il che non viola la generalità del ragionamento.

Lascia stare
,
.

Secondo il teorema sulla connessione tra una funzione, il suo limite e una funzione infinitamente piccola
e
può essere rappresentato come
dove
e
sono infinitamente piccoli a
.

Troviamo la somma delle funzioni
e

Valore
è un valore costante
è una quantità infinitesima. Quindi la funzione
rappresentato come la somma di un valore costante e di una funzione infinitesimale.

Poi il numero
è il limite della funzione
, cioè.

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2 . Il limite di un prodotto di un numero finito di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni

Prova:

Senza violare la generalità del ragionamento, dimostriamo per due funzioni
e
.

Lascia allora
,

Troviamo il prodotto delle funzioni
e

Valore
è un valore costante, una funzione infinitamente piccola. Pertanto, il numero
è il limite della funzione
, cioè l'uguaglianza

Conseguenza:
.

Teorema 3. Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore è diverso da zero

.

Prova: Let
,

Quindi
,
.

Troviamo un privato ed eseguire alcune trasformazioni identiche su di esso

Valore costante, frazione
infinitamente piccolo. Pertanto, la funzione rappresentato come la somma di un numero costante e di una funzione infinitesimale.

Quindi
.

Commento. I teoremi 1–3 sono dimostrati per il caso
. Tuttavia, possono essere applicabili a
, poiché la dimostrazione dei teoremi in questo caso viene eseguita in modo simile.

Per esempio. Trova limiti:

Il primo e il secondo meraviglioso limite.

Funzione non definito a
. Tuttavia, esistono i suoi valori in prossimità del punto zero. Pertanto, possiamo considerare il limite di questa funzione a
. Questo limite è chiamato primo meraviglioso limite .

Sembra:
.

Per esempio . Trova i limiti: 1.
. designare
, Se
, poi
.
; 2.
. Trasformiamo questa espressione in modo che il limite si riduca al primo limite notevole.
; 3..

Considera una variabile della forma
, in cui prende i valori dei numeri naturali in ordine crescente. Diamo valori diversi: se

Dando i valori successivi dal set
, è facile vedere che l'espressione
A
volere
. Inoltre, è dimostrato che
ha un limite. Questo limite è indicato dalla lettera :
.

Numero irrazionale:
.

Consideriamo ora il limite della funzione
A
. Questo limite è chiamato secondo limite notevole

Sembra
.

Per esempio.

un)
. Espressione
sostituire il prodotto fattori identici
, applicare il teorema del limite del prodotto e il secondo limite notevole; b)
. Mettiamo
, poi
,
.

Il secondo limite notevole viene utilizzato in problema del calcolo continuo degli interessi

Quando si calcola il reddito in contanti sui depositi, viene spesso utilizzata la formula dell'interesse composto, che assomiglia a:

,

dove - investimento iniziale

- interessi bancari annuali,

- il numero di pagamenti di interessi all'anno,

- tempo, in anni.

Tuttavia, negli studi teorici, quando si motivano le decisioni di investimento, viene utilizzata più spesso la formula della legge di crescita esponenziale (esponenziale)

.

La formula della legge esponenziale di crescita si ottiene applicando il secondo limite notevole alla formula dell'interesse composto

Continuità delle funzioni.

Considera la funzione
definito ad un certo punto e qualche quartiere del punto . Lascia che nel punto specificato la funzione abbia il valore
.

Definizione 1. Funzione
chiamata continuo in un punto , se è definito in un intorno di un punto, compreso il punto stesso e
.

La definizione di continuità può essere formulata diversamente.

Lascia che la funzione
definito per un certo valore ,
. Se l'argomento incremento
, quindi la funzione verrà incrementata

Lascia che la funzione in un punto continuo (secondo la prima definizione della continuità di una funzione in un punto),

Cioè, se la funzione è continua in un punto , quindi un incremento infinitesimo dell'argomento
a questo punto corrisponde un incremento infinitesimo della funzione.

Vale anche la proposizione inversa: se un incremento infinitesimo dell'argomento corrisponde ad un incremento infinitesimo della funzione, allora la funzione è continua.

Definizione 2. Funzione
si chiama continuo
(al punto ) se è definito a questo punto e parte del suo vicinato e se
.

Tenendo conto della prima e della seconda definizione della continuità di una funzione in un punto, possiamo ottenere la seguente affermazione:

o
, ma
, poi
.

Pertanto, per trovare il limite di una funzione continua a
abbastanza nell'espressione analitica della funzione invece dell'argomento sostituirne il valore .

Definizione 3. Viene chiamata una funzione che è continua in ogni punto di un dominio continuo in questa regione.

Per esempio:

Esempio 1. Dimostra che la funzione
è continua in tutti i punti del dominio di definizione.

Usiamo la seconda definizione della continuità di una funzione in un punto. Per fare ciò, prendi qualsiasi valore dell'argomento e dargli un incremento
. Troviamo l'incremento corrispondente della funzione

Esempio 2. Dimostra che la funzione
continuo in tutti i punti a partire dal
.

Diamo un argomento incremento
, quindi la funzione verrà incrementata

Troviamo poiché la funzione
, che è limitato.

Allo stesso modo, si può dimostrare che tutte le funzioni elementari di base sono continue in tutti i punti del loro dominio di definizione, cioè il dominio di definizione di una funzione elementare coincide con il suo dominio di continuità.

Definizione 4. Se la funzione
è continua in ogni punto di un intervallo
, allora la funzione si dice continua su questo intervallo.

Calcolo degli infinitesimi e dei grandi

Calcolo infinitesimale- calcoli eseguiti con valori infinitesimi, in cui il risultato derivato è considerato come somma infinita di valori infinitesimi. Il calcolo infinitesimale è concetto generale per il calcolo differenziale e integrale, che costituiscono la base della moderna matematica superiore. Il concetto di quantità infinitesimale è strettamente correlato al concetto di limite.

Infinitesimale

Sotto sequenza un n chiamata infinitesimale, Se . Ad esempio, una sequenza di numeri è infinitamente piccola.

La funzione viene chiamata infinitesimo in un intorno di un punto X 0 se .

La funzione viene chiamata infinitesimo all'infinito, Se o .

Anche infinitamente piccola è una funzione che è la differenza tra una funzione e il suo limite, cioè se , poi f(X) − un = α( X) , .

infinitamente grande

Sotto sequenza un n chiamata infinitamente grande, Se .

La funzione viene chiamata infinitamente grande in un intorno di un punto X 0 se .

La funzione viene chiamata infinitamente grande all'infinito, Se o .

In tutti i casi, si presume che l'infinito a destra dell'uguaglianza abbia un certo segno ( "più" o "meno"). Questa è, ad esempio, la funzione X peccato X non è infinitamente grande per .

Proprietà degli infinitesimi e degli infinitesimi

Confronto di infinitesimi

Come confrontare quantità infinitesime?
Il rapporto delle quantità infinitesime forma la cosiddetta incertezza.

Definizioni

Supponiamo di avere infinitamente piccolo per lo stesso valore α( X) e β( X) (o, cosa non importante per la definizione, sequenze infinitesime).

Per calcolare tali limiti conviene utilizzare la regola di L'Hopital.

Esempi di confronto

Usando o-i simboli dei risultati ottenuti possono essere scritti nella forma seguente X 5 = o(X 3). In questo caso, le voci 2X 2 + 6X = o(X) e X = o(2X 2 + 6X).

Quantità equivalenti

Definizione

Se , allora si chiamano quantità infinitesime α e β equivalente ().
Ovviamente, le quantità equivalenti sono un caso particolare di quantità infinitesime dello stesso ordine di piccolezza.

Per , valgono le seguenti relazioni di equivalenza: , , .

Teorema

Il limite del quoziente (rapporto) di due quantità infinitesime non cambia se una di esse (o entrambe) viene sostituita da un valore equivalente.

Questo teorema è di importanza pratica per trovare i limiti (vedi esempio).

Esempio di utilizzo

Sostituzione Sion 2X valore equivalente 2 X, noi abbiamo

Cenni storici

Il concetto di "infinitamente piccolo" è stato discusso nell'antichità in connessione con il concetto di atomi indivisibili, ma non è entrato nella matematica classica. Ancora una volta, fu ripreso con l'apparizione nel XVI secolo del "metodo degli indivisibili": la divisione della figura studiata in sezioni infinitesime.

L'algebraizzazione del calcolo infinitesimale avvenne nel XVII secolo. Cominciarono a essere definiti come valori numerici inferiori a qualsiasi valore finito (diverso da zero) e tuttavia non uguali a zero. L'arte dell'analisi consisteva nell'elaborare una relazione contenente gli infinitesimi (differenziali), e poi nell'integrarla.

I matematici della vecchia scuola hanno sottoposto il concetto infinitesimale aspre critiche. Michel Rolle ha scritto che il nuovo calcolo è " serie di errori geniali»; Voltaire ha sottolineato velenosamente che questo calcolo è l'arte di calcolare e misurare accuratamente cose la cui esistenza non può essere provata. Persino Huygens ha ammesso di non comprendere il significato dei differenziali di ordine superiore.

Per ironia della sorte, si può considerare l'apparizione a metà del secolo di un'analisi fuori standard, che ha dimostrato che anche il punto di vista originario - gli infinitesimi attuali - è coerente e potrebbe essere preso come base per l'analisi.

Guarda anche

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In matematica, una variabile che, in un dato processo di cambiamento, diventa e rimane in valore assoluto maggiore di qualsiasi numero predeterminato. B. sta studiando. le quantità possono essere ridotte allo studio degli infinitesimi (Vedi ... ... Grande enciclopedia sovietica