Un estratto che caratterizza il Numero Trascendente

numero trascendentale

un numero (reale o immaginario) che non soddisfa alcuna equazione algebrica (vedi equazione algebrica) a coefficienti interi. Pertanto, i numeri sono opposti ai numeri algebrici (vedi Numero algebrico). L'esistenza di TH fu stabilita per la prima volta da J. Liouville (1844). Il punto di partenza per Liouville era il suo teorema, secondo il quale l'ordine di approssimazione di una frazione razionale con un dato denominatore a un dato numero algebrico irrazionale non può essere arbitrariamente alto. Vale a dire, se un numero algebrico ma soddisfa un'equazione algebrica di grado irriducibile n con coefficienti interi, allora per ogni numero razionale c dipende solo da α ). Pertanto, se per un dato numero irrazionale α è possibile specificare un insieme infinito di approssimazioni razionali che non soddisfano la disuguaglianza data per nessuna da e n(lo stesso per tutte le approssimazioni), quindi α c'è T. h. Un esempio di un tale numero dà:

Un'altra prova dell'esistenza di T. h. fu data da G. Kantor (1874), notando che l'insieme di tutti i numeri algebrici è numerabile (cioè tutti numeri algebrici può essere rinumerato; vedi teoria degli insiemi), mentre l'insieme di tutti numeri reali non numerabile. Da ciò ne conseguì che l'insieme dei numeri non è numerabile e, inoltre, che i numeri costituiscono la maggior parte dell'insieme di tutti i numeri.

Il problema più importante nella teoria di T. p. è scoprire se i valori di T. p. sono funzioni analitiche che hanno determinate proprietà aritmetiche e analitiche per i valori algebrici dell'argomento. Problemi di questo tipo sono tra i problemi più difficili della matematica moderna. Nel 1873 S. Hermite dimostrò che il numero di Napier

Nel 1882, il matematico tedesco F. Lindemann ne ricevette di più risultato complessivo: se α è un numero algebrico, allora e Il risultato di α - T. h. Lipdemann è stato significativamente generalizzato dal matematico tedesco K. Siegel (1930), che ha dimostrato, ad esempio, la trascendenza del valore di un'ampia classe di funzioni cilindriche per i valori algebrici dell'argomento. Nel 1900, in un congresso di matematica a Parigi, D. Hilbert, tra i 23 problemi irrisolti della matematica, fece notare quanto segue: è un numero trascendentale α β , dove α e β - numeri algebrici, e β - un numero irrazionale, e, in particolare, se il numero e π è trascendentale (il problema della trascendenza dei numeri della forma α β fu messo in scena per la prima volta in forma privata da L. Euler, 1744). Soluzione completa questo problema (in senso affermativo) fu ottenuto solo nel 1934 da A. O. Gel’fond. Dalla scoperta di Gelfond, in particolare, ne consegue che tutti i logaritmi decimali numeri naturali(cioè, "logaritmi tabulari") sono T. T. I metodi della teoria di T. T. sono applicati a una serie di problemi nella risoluzione di equazioni in numeri interi.

Illuminato.: Gelfond A.O., Numeri trascendentali e algebrici, Mosca, 1952.

Grande enciclopedia sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Guarda cos'è il "Numero trascendente" in altri dizionari:

Un numero che non soddisfa alcuna equazione algebrica con coefficienti interi. I numeri trascendentali sono: numero??3,14159...; il logaritmo decimale di qualsiasi intero non rappresentato da un'unità con zeri; il numero e=2.71828... ecc... Grande dizionario enciclopedico

- (dal lat. trascendere passare, superare) è reale o numero complesso, che non è algebrico, cioè un numero che non può essere radice di un polinomio a coefficienti interi. Sommario 1 Proprietà 2 ... ... Wikipedia

Un numero che non soddisfa alcuna equazione algebrica con coefficienti interi. I numeri trascendenti sono: il numero π = 3,14159...; il logaritmo decimale di qualsiasi intero non rappresentato da un'unità con zeri; il numero e \u003d 2.71828 ... e altri ... dizionario enciclopedico

Un numero che non soddisfa alcuna algebra. equazione a coefficienti interi. Sono inclusi: il numero di PI \u003d 3.14159 ...; il logaritmo decimale di qualsiasi intero non rappresentato da un'unità con zeri; il numero e \u003d 2.71828 ... e altri ... Scienze naturali. dizionario enciclopedico

Un numero che non è la radice di alcun polinomio con coefficienti interi. Il dominio di definizione di tali numeri sono gli zeri dei numeri reali, complessi e radicali. L'esistenza e le costruzioni esplicite delle ore T. reali sono state confermate da J. Liouville ... ... Enciclopedia matematica

Un'equazione che non è algebrica. Di solito si tratta di equazioni contenenti esponenziale, logaritmico, trigonometrico, inverso funzioni trigonometriche, per esempio: Una definizione più rigorosa è: Un'equazione trascendentale è un'equazione ... Wikipedia

Un numero approssimativamente uguale a 2.718, che si trova spesso in matematica e Scienze naturali. Ad esempio, durante il decadimento di una sostanza radioattiva dopo il tempo t, dalla quantità iniziale di sostanza rimane una frazione pari a ekt, dove k è un numero, ... ... Enciclopedia Collier

E è una costante matematica, la base del logaritmo naturale, un numero irrazionale e trascendentale. A volte il numero e è chiamato numero di Eulero (da non confondere con i cosiddetti numeri di Eulero del primo tipo) o numero di Napier. È indicato da una lettera latina minuscola "e". ... ... Wikipedia

E è una costante matematica, la base del logaritmo naturale, un numero irrazionale e trascendentale. A volte il numero e è chiamato numero di Eulero (da non confondere con i cosiddetti numeri di Eulero del primo tipo) o numero di Napier. È indicato da una lettera latina minuscola "e". ... ... Wikipedia

In questa sezione lasceremo ancora una volta il bellissimo e accogliente regno degli interi, per il quale abbiamo girato (ho quasi detto - girovagato) studiando la teoria dei confronti. Se ripercorriamo la storia dell'emergere e dello sviluppo della conoscenza dei numeri da parte dell'umanità, allora verrà alla luce un fatto piuttosto paradossale: per quasi tutta la sua storia secolare, l'umanità ha utilizzato nella pratica e studiato da vicino una frazione eccezionalmente piccola dell'intera insieme di numeri che vivono in natura. Le persone a lungo erano completamente ignari dell'esistenza, come si è scoperto in seguito, della stragrande maggioranza dei numeri reali dotati di proprietà sorprendenti e misteriose e ora chiamati trascendentali. Giudica tu stesso (elenco le fasi approssimative nello sviluppo del concetto di numero reale):

1) Proveniente dalla profondità di millenni, un'ingegnosa astrazione matematica di un numero naturale

Il genio di questa astrazione è sorprendente, e il suo significato per lo sviluppo dell'umanità supera, forse, anche l'invenzione della ruota. Ci siamo abituati così tanto che abbiamo smesso di ammirarlo. risultato eccezionale mente umana. Prova però, per maggiore certezza, a immaginarti non come uno studente di matematica, ma come una persona primitiva, o, diciamo, uno studente di filologia, a formulare esattamente cosa c'è in comune tra tre capanne, tre tori, tre banane e tre tomografi ad ultrasuoni ( ciò che è comune tra tre compagni di bevute che non consideriamo qui). Spiegare a un non matematico qual è il numero naturale "tre" è un'impresa quasi senza speranza, tuttavia già un cucciolo umano di cinque anni sente internamente questa astrazione ed è in grado di operare ragionevolmente con essa, chiedendone tre a sua madre dolci invece di due.

2) Frazioni, cioè numeri razionali positivi

Le frazioni sono sorte naturalmente quando si risolvevano problemi sulla divisione della proprietà, misurando la terra, calcolando il tempo, ecc. IN Grecia antica i numeri razionali erano generalmente un simbolo dell'armonia del mondo circostante e una manifestazione del principio divino, e tutti i segmenti, fino a qualche tempo, erano considerati commisurati, cioè il rapporto tra le loro lunghezze doveva essere espresso da un numero razionale, altrimenti - una pipa (e gli dei non possono permetterlo).

3) Numeri negativi e zero (secondo alcune fonti scientifiche

I numeri negativi sono stati inizialmente interpretati come debiti negli accordi finanziari e di baratto, ma poi si è scoperto che senza numeri negativi non si può arrivare da nessuna parte in altri settori dell'attività umana (chi non crede, guardi il termometro fuori dalla finestra in inverno). Il numero zero, secondo me, inizialmente serviva piuttosto non come simbolo di uno spazio vuoto e dell'assenza di qualsiasi quantità, ma come simbolo di uguaglianza e completezza del processo di liquidazione (quanto dovevo al mio prossimo, gli ho dato così molto, e ora - zero, cioè scusa).

4) Numeri algebrici irrazionali

I numeri irrazionali sono stati scoperti nella scuola pitagorica quando si cercava di misurare la diagonale di un quadrato con il suo lato, ma hanno tenuto questa scoperta in un terribile segreto - non importa come fossero i problemi! Solo gli studenti mentalmente più stabili e provati furono iniziati a questa scoperta, e fu interpretata come un fenomeno disgustoso che viola l'armonia del mondo. Ma il bisogno e la guerra hanno fatto sì che l'umanità imparasse a decidere equazioni algebriche non solo di primo grado a coefficienti interi. Dopo Galileo i proiettili iniziarono a volare lungo le parabole, dopo Keplero i pianeti volarono lungo le ellissi, la meccanica e la balistica divennero scienze esatte e ovunque era necessario risolvere e risolvere equazioni, le cui radici erano numeri irrazionali. Pertanto, l'esistenza delle radici irrazionali delle equazioni algebriche doveva essere riconciliata, per quanto disgustose potessero sembrare. Inoltre, i metodi per risolvere le equazioni cubiche e le equazioni di quarto grado, scoperti nel XVI secolo dai matematici italiani Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia (Tartaglia è un soprannome che significa in traduzione - balbuziente, non so il suo vero nome) , Ludovic Ferrari e Rafael Bombelli portarono all'invenzione di numeri complessi molto “soprannaturali”, destinati a ricevere pieno riconoscimento solo nel XIX secolo. Irrazionalità algebriche entrato saldamente nella pratica umana dal 16° secolo.

In questa storia dello sviluppo del concetto di numero non c'era posto per i numeri trascendentali, cioè numeri che non sono radici di alcuna equazione algebrica con coefficienti razionali o, che è equivalente (dopo la riduzione a un denominatore comune), interi. È vero, anche gli antichi greci conoscevano il notevole numero p, che, come si è scoperto in seguito, è trascendente, ma lo conoscevano solo come rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. La questione della vera natura di questo numero era generalmente di scarso interesse per chiunque fino a quando le persone non ne ebbero abbastanza e senza successo risolsero il problema dell'antico greco della quadratura del cerchio, e il numero p stesso in qualche modo misteriosamente strisciato fuori in varie sezioni della matematica e delle scienze naturali.

Fu solo nel 1844 che Liouville costruì il primo esempio storico di numero trascendentale e il mondo matematico fu sorpreso dal fatto stesso dell'esistenza di tali numeri. Fu solo nel 19° secolo che il geniale Georg Cantor si rese conto, usando il concetto di cardinalità di un insieme, che c'è una stragrande maggioranza di numeri trascendenti sulla linea dei numeri. È solo nel quinto paragrafo di questo piccolo libro che finalmente ci rivolgiamo numeri trascendenti la tua attenzione.

Punto 24. Misura e categoria in linea retta.

In questo paragrafo darò alcune informazioni preliminari dall'analisi matematica necessarie per comprendere l'ulteriore presentazione. In matematica sono state inventate diverse formalizzazione del concetto di "piccolezza" di un insieme. Ne avremo bisogno due: insiemi di misura zero e insiemi della prima categoria secondo Baer. Entrambi questi concetti si basano sulla nozione di numerabilità di un insieme. È noto che l'insieme dei numeri razionali è numerabile (| Q|= A 0), e che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile, cioè gli insiemi numerabili sono i "più piccoli" dell'infinito. Tra qualsiasi insieme numerabile e l'insieme dei numeri naturali n esiste una mappatura biiettiva, ad es. gli elementi di qualsiasi insieme numerabile possono essere rinumerati, o, in altre parole, qualsiasi insieme numerabile può essere disposto in sequenza. Nessun intervallo sulla riga è un insieme numerabile. Ciò segue ovviamente dal seguente teorema.

Teorema 1 (Cantor). Per qualsiasi sequenza ( un) numeri reali e per qualsiasi intervallo io c'è un punto R DI io tale che P № un per chiunque n DI n .

Prova. Processi. Prendiamo un segmento (vale a dire, un segmento, insieme alle estremità) io 1M io tale che un 1 p io uno . Dal segmento io 1 prendo un segmento io 2M io 1 tale che un 2 p io 2 ecc. Continuando il processo, dal segmento In 1 prendi un segmento io n m io n-1 tale che un n p io n. Come risultato di questo processo, otteniamo una sequenza di segmenti annidati io 1° io 2 Y… Y io ennesimo ... incrocio
che, come è noto dal primo corso, non sono vuoti, cioè contiene un punto
. È ovvio che p n. a n per tutti no n .

Non credo che i lettori non abbiano incontrato in precedenza questa dimostrazione elegante (sebbene nella mia pratica ci fossero anche studenti molto oscuri), è solo che l'idea di questa dimostrazione sarà utilizzata più avanti nella dimostrazione del teorema di Baer e quindi è utile richiamarlo in anticipo.

Definizione. Molti MA stretto nell'intervallo io, se ha un'intersezione non vuota con ogni sottointervallo da io. Molti MA stretto se è stretto R. Molti MA non è denso da nessuna parte se è denso in nessun intervallo sulla linea reale, cioè ogni intervallo sulla linea contiene un sottointervallo che giace interamente nel complemento di MA .

È facile capire che molti MA non è denso da nessuna parte se e solo se il suo complemento UN contiene denso set aperto. È facile capire che molti MA non è denso da nessuna parte se e solo se la sua chiusura
non ha punti interni.

Da nessuna parte gli insiemi densi sulla linea sembrano intuitivamente piccoli, nel senso che sono pieni di buchi e i punti di un tale insieme si trovano abbastanza raramente sulla linea. Formuliamo alcune proprietà di insiemi densi in nessun luogo in massa sotto forma di teorema.

Teorema 2. 1) Qualsiasi sottoinsieme di un insieme denso da nessuna parte non è denso da nessuna parte.

2) L'unione di due (o qualsiasi numero finito) in nessun luogo insiemi densi è in nessun luogo denso.

3) La chiusura di un insieme in nessun luogo denso è in nessun luogo denso.

Prova. 1) Ovviamente.

2) Se UN 1 e UN 2 non sono da nessuna parte densi, quindi per ogni intervallo io ci sono intervalli io 1 milione ( io \ UN 1) e io 2 M ( io 1 \ UN 2). Significa, io 2M io \(UN 1 e UN 2), il che significa che UN 1 e UN 2 non è da nessuna parte stretto.

3) Ovviamente, qualsiasi intervallo aperto contenuto in UN, è contenuto anche in
.

Pertanto, la classe degli insiemi densi da nessuna parte è chiusa nell'ambito dell'operazione di prendere sottoinsiemi, l'operazione di chiusura e le unioni finite. Un'unione numerabile di insiemi densi da nessuna parte non ha bisogno, in generale, di essere un insieme denso da nessuna parte. Un esempio di ciò è l'insieme dei numeri razionali, che è ovunque denso, ma è un'unione numerabile di punti separati, ciascuno dei quali forma un insieme un elemento in nessun luogo denso in R .

Definizione. Un insieme che può essere rappresentato come un'unione finita o numerabile di insiemi densi da nessuna parte è chiamato insieme della prima categoria (secondo Baer). Un insieme che non può essere rappresentato in questa forma è chiamato insieme della seconda categoria.

Teorema 3. 1) Il complemento di qualsiasi insieme della prima categoria sulla linea è denso.

2) Nessun intervallo R non è un insieme di prima categoria.

3) L'intersezione di qualsiasi sequenza di insiemi aperti densi è un insieme denso.

Prova. Le tre proprietà formulate nel teorema sono essenzialmente equivalenti. Dimostriamo il primo. Lascia stare

– impostare la rappresentazione MA la prima categoria come unione numerabile di insiemi densi in nessun luogo, io- intervallo arbitrario. Inoltre - il processo come nella dimostrazione del teorema di Cantor. Scegliamo un segmento (vale a dire, un segmento, insieme alle estremità) io 1 milione ( io \ UN uno). Questo è possibile perché, oltre all'insieme in nessun luogo denso UN 1 intervallo interno io c'è sempre un intero sottointervallo e, a sua volta, contiene un intero segmento al suo interno. Scegliamo un segmento io 2 M ( io 1 \ UN 2). Scegliamo un segmento io 3M ( io 2 \ UN 3) ecc. Intersezione di segmenti annidati
non è vuoto, da qui il complemento io \ UN non è vuoto, il che significa che il complemento UN strettamente.

La seconda asserzione del teorema segue direttamente dalla prima, la terza asserzione segue anche dalla prima, se solo si fa uno sforzo su noi stessi e si passa ai complementi di una successione di insiemi aperti densi.

Definizione. Una classe di insiemi contenente tutte le possibili unioni finite o numerabili dei suoi membri e qualsiasi sottoinsieme dei suoi membri è chiamata s-ideale.

Ovviamente, la classe di tutti gli insiemi al massimo numerabili è una s-ideale. Dopo una piccola riflessione, è facile vedere che anche la classe di tutti i set della prima categoria sulla linea è un s-ideale. Un altro interessante esempio di s-ideale è fornito dalla classe dei cosiddetti insiemi zero (o insiemi di misura zero).

Definizione. Molti MA m Rè chiamato insieme di misure nulle (insieme nullo) se MA può essere coperto al massimo da un insieme numerabile di intervalli la cui lunghezza totale è minore di un dato numero e >0 , cioè per ogni e >0 esiste una tale sequenza di intervalli Nel, che cosa
ed e S I n S< e .

Il concetto di insieme nullo è un'altra formalizzazione del concetto intuitivo di "piccolezza" di un insieme: gli insiemi nulli sono insiemi di piccola lunghezza. È ovvio che un singolo punto è un insieme nullo e che qualsiasi sottoinsieme di un insieme nullo è esso stesso un insieme nullo. Pertanto, il fatto che gli insiemi nulli formino un ideale s deriva dal seguente teorema.

Teorema 4 (Lebesgue). Qualsiasi unione numerabile di insiemi nulli è un insieme nullo.

Prova. Lascia stare un io– insiemi nulli, io= 1, 2, ... . Poi per ciascuno io c'è una sequenza di intervalli io ij( J=1, 2, ...) tale che
e
. L'insieme di tutti gli intervalli io ij copre MA e la somma delle loro lunghezze è minore di e, poiché
. Significa, MA– azzeramento.

Nessun intervallo o segmento è un insieme nullo, perché giusto

Teorema 5 (Heine-Borel). Se una sequenza finita o infinita di intervalli Nel copre l'intervallo io, poi

S S Nel Ѕ і Ѕ io Ѕ .

Non darò qui la dimostrazione di questo teorema intuitivamente ovvio, perché può essere trovato in qualsiasi corso più o meno serio di analisi matematica.

Segue dal teorema di Heine-Borel che l'ideale s degli insiemi nulli, come gli s-deal di non più degli insiemi numerabili e degli insiemi della prima categoria, non contiene intervalli e segmenti. Ciò che questi tre s-ideali hanno anche in comune è che includono tutti gli insiemi finiti e numerabili. Inoltre, esistono innumerevoli insiemi della prima categoria di misura zero. L'esempio più familiare di un tale insieme è l'insieme Cantor perfect (*) C M, costituito da numeri in notazione ternaria di cui non c'è unità. Ricorda il processo di costruzione dell'insieme perfetto di Cantor: il segmento viene diviso in tre parti uguali e l'intervallo medio aperto viene scartato. Ciascuno dei due terzi rimanenti del segmento viene nuovamente diviso in tre parti uguali e gli intervalli medi aperti vengono scartati da esse, ecc. Ovviamente, l'insieme rimanente dopo questo processo non è da nessuna parte denso, cioè prima categoria. È facile calcolare che la lunghezza totale delle parti centrali espulse è uguale a uno, ad es. da ha misura zero. È risaputo che da non numerabile, perché innumerevoli sequenze infinite costituite da zeri e due (ogni elemento da rappresentato da una frazione ternaria in cui il punto decimale è esattamente la sequenza di zeri e due).

Invito i lettori a verificare da soli che ci sono insiemi della prima categoria che non sono insiemi nulli e ci sono insiemi nulli che non sono insiemi della prima categoria (tuttavia, se è difficile per te trovare esempi, non disperate, ma leggete questo paragrafo fino al Teorema 6) .

Pertanto, il quadro delle relazioni tra i tre s-ideali in esame è il seguente:

Pertanto, abbiamo introdotto due concetti di piccolezza degli insiemi. Non c'è nulla di paradossale nel fatto che un insieme piccolo in un senso possa essere grande in un altro senso. Il seguente teorema illustra abbastanza bene questa idea e mostra che in alcuni casi i concetti di piccolezza da noi introdotti possono risultare diametralmente opposti.

Teorema 6. La linea dei numeri può essere divisa in due insiemi complementari MA e IN così MA c'è un insieme della prima categoria, e IN ha misura zero.

Prova. Lascia stare un 1 , un 2 ,…, un n ,… è un insieme enumerato di numeri razionali (o qualsiasi altro sottoinsieme numerabile ovunque denso R). Lascia stare io ijè un intervallo aperto di lunghezza 1/2 i+j centrato in un punto un io. Considera gli insiemi:

, J =1,2,...;

; UN = R \ B = B ў .

Ovviamente per ogni e >0 si può scegliere J in modo che 1/2 j< e . Тогда

,

Di conseguenza, IN– azzeramento.

Ulteriore,
è un sottoinsieme aperto denso R perché è l'unione di una sequenza di intervalli aperti e contiene tutti i punti razionali. Ciò significa che la sua aggiunta Gj¢ non è da nessuna parte denso, quindi
è un insieme della prima categoria.

Non è un risultato sorprendente! Segue dal teorema dimostrato che ogni sottoinsieme della retta, risulta, può essere rappresentato come unione di un insieme nullo e di un insieme della prima categoria. Nella prossima sezione, considereremo una partizione specifica R in due sottoinsiemi, uno dei quali è i numeri trascendentali di Liouville - misura zero, ma secondo Baer della seconda categoria. Sbrigati al punto successivo!