numero trascendentale è un numero complesso che non è algebrico, cioè non è una radice di alcun polinomio diverso da zero con coefficienti razionali.

L'esistenza dei numeri trascendentali fu stabilita per la prima volta da J. Liouville nel 1844; ha anche costruito i primi esempi di tali numeri. Liouville ha osservato che i numeri alebrici non possono essere approssimati "troppo bene" da numeri razionali. Vale a dire, il teorema di Liouville dice che se un numero algebrico è una radice di un polinomio di grado con coefficienti razionali, allora per ogni numero razionale la disuguaglianza

dove la costante dipende solo da . Questa affermazione implica un segno sufficiente di trascendenza: se il numero è tale che per ogni costante esiste un insieme infinito di numeri razionali che soddisfano le disuguaglianze

questo è trascendente. Successivamente, tali numeri furono chiamati numeri di Liouville. Un esempio di un tale numero è

Un'altra prova dell'esistenza dei numeri trascendentali fu ottenuta da G. Kantor nel 1874 sulla base della teoria degli insiemi da lui creata. Cantor ha dimostrato che l'insieme è numerabile numeri algebrici e un insieme incalcolabile numeri reali, da cui ne consegue che l'insieme dei numeri trascendentali non è numerabile. Tuttavia, a differenza della dimostrazione di Liouville, questi argomenti non ci consentono di fornire un esempio di almeno uno di questi numeri.

Il lavoro di Liouville ha dato origine a un intero ramo della teoria dei numeri trascendentali: la teoria dell'approssimazione dei numeri algebrici mediante numeri razionali o, più in generale, algebrici. Il teorema di Liouville è stato rafforzato e generalizzato nelle opere di molti matematici. Ciò ha permesso di costruire nuovi esempi di numeri trascendentali. Quindi, K. Mahler ha mostrato che se è un polinomio non costante che accetta valori interi non negativi per tutti i numeri naturali, allora per qualsiasi numero naturale, dove è il record del numero nel sistema numerico con base, è trascendentale , ma non è un numero di Liouville. Ad esempio, for e otteniamo il seguente risultato elegante: il numero

trascendente, ma non è un numero di Liouville.

Nel 1873 Sh. Hermite, usando altre idee, dimostrò la trascendenza del numero di Napier (la base del logaritmo naturale):

Sviluppate le idee di Hermite, F. Lindemann nel 1882 dimostrò la trascendenza del numero, ponendo così fine all'antico problema della quadratura del cerchio: usando un compasso e un righello, è impossibile costruire un quadrato uguale in dimensione (cioè avente la stessa area) a un dato cerchio. Più in generale, Lindemann ha mostrato che, per qualsiasi numero algebrico, è trascendentale. Formulazione equivalente: per ogni numero algebrico diverso da e, il suo logaritmo naturale è un numero trascendentale.

Nel 1900, in un congresso di matematici a Parigi, D. Hilbert, tra 23 problemi di matematica irrisolti, fece notare quanto segue, formulato in forma privata da L. Euler:

Lascia stare e sono numeri algebrici, e trascendente? In particolare, i numeri sono trascendenti? E?

Questo problema può essere riformulato nella forma seguente, vicino alla formulazione originale di Eulero:

Lascia stare e sono numeri algebrici diversi da e, inoltre, il rapporto dei loro logaritmi naturali irrazionale. Sarà il numero trascendente?

La prima soluzione parziale del problema fu ottenuta nel 1929 da A. O. Gel'fond, che, in particolare, dimostrò la trascendenza di un numero. Nel 1930, RO Kuzmin migliorò il metodo di Gelfond, in particolare riuscì a dimostrare la trascendenza di un numero. Soluzione completa Il problema di Eulero-Hilbert (in senso affermativo) fu ottenuto nel 1934 indipendentemente da A. O. Gelfond e T. Schneider.

A. Baker nel 1966 ha generalizzato i teoremi di Lindemann e Gelfond-Schneider, dimostrando, in particolare, la trascendenza del prodotto di un numero finito arbitrario di numeri della forma e con quelli algebrici sotto restrizioni naturali.

Nel 1996 Yu.V. Nesterenko ha dimostrato l'indipendenza algebrica dei valori della serie di Eisenstein e, in particolare, dei numeri u. Ciò significa la trascendenza di qualsiasi numero della forma dove diverso da zero è una funzione razionale con coefficienti algebrici. Ad esempio, la somma delle serie sarà trascendentale

Nel 1929-1930. K. Mahler in una serie di lavori ha proposto un nuovo metodo per dimostrare la trascendenza dei valori delle funzioni analitiche che soddisfano equazioni funzionali di un certo tipo (successivamente tali funzioni furono chiamate funzioni di Mahler).

I metodi della teoria dei numeri trascendentali hanno trovato applicazione in altri rami della matematica, in particolare nella teoria delle equazioni diofantee.

che, per a = 1, ci è servito per determinare la somma progressione geometrica. Assumendo che il teorema di Gauss sia stato dimostrato, assumiamo che a = a 1 sia una radice dell'equazione (17), quindi

	) = una n + una		un n-1			un n-2		un 1 + un

Sottraendo questa espressione da f(x) e riordinando i termini, otteniamo l'identità

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − un n 1 ) + an−1 (xn−1 − un n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1 ).

(21) Usando ora la formula (20), possiamo estrarre il fattore x − a 1 da ogni termine e poi estrarlo dalla parentesi, e il grado del polinomio rimasto tra parentesi diventerà uno in meno. Riorganizzando di nuovo i termini, otteniamo l'identità

f(x) = (x − a1 )g(x),

dove g(x) è un polinomio di grado n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Il calcolo dei coefficienti indicati con b non ci interessa qui.) Applichiamo lo stesso argomento ulteriormente al polinomio g(x). Per il teorema di Gauss, esiste una radice a2 dell'equazione g(x) = 0, quindi

g(x) = (x − a2 )h(x),

dove h(x) è un nuovo polinomio di grado già n − 2. Ripetendo questi argomenti n − 1 volte (ovviamente, l'applicazione del principio induzione matematica), arriviamo infine alla decomposizione

f(x) = (x - a1 )(x - a2 ) . . . (x - an ).

L'identità (22) implica non solo che i numeri complessi a1 , a2 ,

An sono le radici dell'equazione (17), ma anche il fatto che l'equazione (17) non ha altre radici. Infatti, se il numero y fosse la radice dell'equazione (17), allora da (22) seguirebbe

f(y) = (y - a1 )(y - a2 ) . . . (y - an ) = 0.

Ma abbiamo visto (p. 115) che il lavoro numeri complessiè zero se e solo se uno dei fattori è zero. Quindi, uno dei fattori y − ar è uguale a 0, cioè y = ar , che è ciò che doveva essere stabilito.

§ 6.

1. Definizione e questioni dell'esistenza. Un numero algebrico è qualsiasi numero x, reale o immaginario, che soddisfa alcuni equazione algebrica tipo

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6= 0),

130 SISTEMA NUMERICO MATEMATICO cap. II

dove i numeri ai sono interi. Quindi, ad esempio, il numero 2 è algebrico, poiché soddisfa l'equazione

x2 - 2 = 0.

Allo stesso modo, qualsiasi radice di qualsiasi equazione con coefficienti interi di terzo, quarto, quinto, qualsiasi grado, e indipendentemente dal fatto che sia espressa o meno in radicali, è un numero algebrico. Il concetto di numero algebrico è una generalizzazione naturale del concetto di numero razionale, che corrisponde al caso particolare n = 1.

Non tutti i numeri reali sono algebrici. Ciò segue dal seguente teorema affermato da Cantor: l'insieme di tutti i numeri algebrici è numerabile. Poiché l'insieme di tutti i numeri reali non è numerabile, devono necessariamente esserci numeri reali che non sono algebrici.

Indichiamo uno dei metodi per ricalcolare l'insieme dei numeri algebrici. Ogni equazione della forma (1) è associata a un numero intero positivo

h = |an | + |an−1 | +. . . + |a1 | + |a0 | +n,

che, per brevità, chiameremo "altezza" dell'equazione. Per ogni valore fisso di n esiste solo un numero finito di equazioni della forma (1) con altezza h. Ognuna di queste equazioni ha al massimo n radici. Pertanto, può esistere solo un numero finito di numeri algebrici generati da equazioni di altezza h; quindi tutti i numeri algebrici possono essere disposti in sequenza, elencando prima quelli generati dalle equazioni di altezza 1, poi quelli di altezza 2 e così via.

Questa dimostrazione che l'insieme dei numeri algebrici è numerabile stabilisce l'esistenza di numeri reali che non sono algebrici. Tali numeri sono chiamati trascendentali (dal latino trascendere - passare, superare); Eulero diede loro questo nome perché "superano il potere dei metodi algebrici".

La prova di Cantor dell'esistenza dei numeri trascendentali non è costruttiva. Teoricamente, si potrebbe costruire un numero trascendentale mediante una procedura diagonale eseguita su un elenco immaginario di espansioni decimali di tutti i numeri algebrici; ma una tale procedura è priva di qualsiasi valore pratico e non porterebbe a un numero la cui espansione in una frazione decimale (o in qualche altra) potrebbe essere effettivamente scritta. I problemi più interessanti associati ai numeri trascendentali risiedono nel dimostrare che certo, numeri specifici(questo include i numeri pe e, di cui vedi pp. 319–322) sono trascendentali.

NUMERI ALGEBRICI E TRASCENDENTI

**2. Il teorema di Liouville e la costruzione dei numeri trascendentali. La prova dell'esistenza dei numeri trascendentali anche prima di Cantor fu data da J. Liouville (1809–1862). Consente di costruire effettivamente esempi di tali numeri. La dimostrazione di Liouville è più difficile di quella di Cantor, e questo non sorprende, poiché costruire un esempio è, in generale, più difficile che provare l'esistenza. Nel presentare la dimostrazione di Liouville di seguito, abbiamo in mente solo un lettore esperto, sebbene la conoscenza della matematica elementare sia completamente sufficiente per comprendere la dimostrazione.

Come ha scoperto Liouville, i numeri algebrici irrazionali hanno la proprietà che non possono essere approssimati da numeri razionali con un grado di accuratezza molto elevato, a meno che i denominatori delle frazioni approssimative non siano presi estremamente grandi.

Supponiamo che il numero z soddisfi l'equazione algebrica a coefficienti interi

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = 0 (an 6= 0),

ma non soddisfa la stessa equazione di grado inferiore. Quindi

diciamo che x stesso è un numero algebrico di grado n. Per esempio,

il numero z = 2 è un numero algebrico di grado 2, poiché soddisfa l'equazione x2 − 2 = 0√ di grado 2, ma non soddisfa l'equazione di primo grado; il numero z = 3 2 è di grado 3, poiché soddisfa l'equazione x3 − 2 = 0, ma non soddisfa (come mostreremo nel Capitolo III) un'equazione di grado inferiore. Numero algebrico di grado n > 1

non può essere razionale, poiché il numero razionale z = p q soddisfa

soddisfa l'equazione qx − p = 0 di grado 1. Ogni numero irrazionale z può essere approssimato con qualsiasi grado di accuratezza utilizzando un numero razionale; questo significa che puoi sempre specificare una sequenza di numeri razionali

p1, p2, . . .

q 1 q 2

con denominatori a crescita illimitata, che ha la proprietà

Quello

p r → z. qr

Il teorema di Liouville afferma: qualunque sia un numero algebrico z di grado n > 1, non può essere approssimato da un razionale

denominatori sufficientemente grandi, la disuguaglianza

z-p q			> q n1 +1 .

SISTEMA DI NUMERI MATEMATICI

Daremo una dimostrazione di questo teorema, ma prima mostreremo come può essere usato per costruire numeri trascendentali. Considera il numero

z = a1 10−1! + a2 10−2! + a3 10-3! +. . . + am · 10-m! +. . . == 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

dove ai sta per cifre arbitrarie da 1 a 9 (sarebbe più semplice impostare tutti ai uguali a 1), e il simbolo n!, come al solito (vedi p. 36 ), sta per 1 · 2 · . . . n. Una proprietà caratteristica dell'espansione decimale di un tale numero è che gruppi di zeri che aumentano rapidamente di lunghezza si alternano in esso con singole cifre diverse da zero. Indichiamo con zm la frazione decimale finale ottenuta prendendo tutti i termini fino a am · 10−m! nell'espansione. compreso. Quindi otteniamo la disuguaglianza

Supponiamo che z sia un numero algebrico di grado n. Quindi, ponendo nella disuguaglianza di Liouville (3) p q = zm = 10 p m! , noi dobbiamo avere

|z - zm | > 10(n+1)m!

per valori sufficientemente grandi di m. Il confronto dell'ultima disuguaglianza con la disuguaglianza (4) dà

10(n+1)m!		10(m+1)!			10(m+1)!-1

da cui segue (n + 1)m! > (m+1)! − 1 per m sufficientemente grande. Ma questo non è vero per valori di m maggiori di n (che il lettore si prenda la briga di dare una prova dettagliata di questa affermazione). Siamo giunti a una contraddizione. Quindi, il numero z è trascendentale.

Resta da dimostrare il teorema di Liouville. Supponiamo che z sia un numero algebrico di grado n > 1 che soddisfi l'equazione (1), quindi

f(zm ) = f(zm ) - f(z) = a1 (zm - z) + a2 (zm 2 - z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Dividendo entrambe le parti per zm − z e usando la formula algebrica

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

noi abbiamo:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) + . . .
	zm - z
		An (zm n−1 + . . . + zn−1 ). (6)

NUMERI ALGEBRICI E TRASCENDENTI

Poiché zm tende a z, allora per m sufficientemente grande il numero razionale zm differirà da z di meno di uno. Pertanto, per m sufficientemente grandi, possiamo fare la seguente stima approssimativa:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm - z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

inoltre il numero M a destra è costante, poiché z non cambia durante la dimostrazione. Scegliamo ora m così grande che

la frazione z m = p m ha il denominatore q m era più grande di M; poi mq

|z - zm | >	|f(zm )|			|f(zm )|

|f(zm )| =							-qn
							1 p + . . . + un
Numero razionale zm =			non può essere la radice dell'equazione

poiché allora sarebbe possibile estrarre il fattore (x − zm ) dal polinomio f(x), e, quindi, z soddisferebbe un'equazione di grado minore di n. Quindi, f(zm ) 6= 0. Ma il numeratore a destra dell'uguaglianza (9) è un intero e, quindi, in valore assoluto è almeno uguale a uno. Pertanto, un confronto delle relazioni (8) e (9) implica la disuguaglianza

|z - zm | >
					qn+1

che è appunto il contenuto del teorema indicato.

Negli ultimi decenni, la ricerca sulla possibilità di approssimare i numeri algebrici con quelli razionali è andata molto oltre. Ad esempio, il matematico norvegese A. Thue (1863–1922) ha scoperto che nella disuguaglianza di Liouville (3), l'esponente n + 1 può essere sostituito da un esponente più piccolo n 2 + 1.

K. L. Siegel ha mostrato che è possibile prendere anche più piccoli (anche più piccoli

per n maggiore) esponente 2 n.

I numeri trascendentali sono sempre stati un argomento che attira l'attenzione dei matematici. Ma fino a tempi relativamente recenti, tra i numeri di per sé interessanti, si conoscevano pochissimi il cui carattere trascendentale potesse essere stabilito. (La trascendenza del numero p, di cui parleremo nel capitolo III, implica l'impossibilità di quadrare il cerchio con un righello e un compasso.) Nel suo discorso al Congresso Internazionale dei Matematici di Parigi nel 1900, David Hilbert propose trenta matematici

ALGEBRA DEGLI INsiemi

problemi che ammettono una formulazione semplice, alcuni anche abbastanza elementari e popolari, dei quali non solo non fu risolto, ma parve addirittura risolvibile con i mezzi della matematica di quell'epoca. Questi "problemi di Hilbert" ebbero un forte effetto stimolante per tutto il periodo successivo nello sviluppo della matematica. Quasi tutti sono stati risolti a poco a poco e in molti casi la loro soluzione è stata associata a chiari progressi nello sviluppo di metodi più generali e più profondi. Un problema che sembrava piuttosto disperato lo era

prova che il numero

è trascendente (o almeno irrazionale). Per tre decenni non c'è stato nemmeno un accenno di un simile approccio alla questione da parte di nessuno che avrebbe aperto speranze per il successo. Infine, Siegel e, indipendentemente da lui, il giovane matematico russo A. Gelfond scoprirono nuovi metodi per dimostrare la trascendenza di molti

numeri che contano in matematica. In particolare, è stato fissato

trascendenza non solo del numero di Hilbert 2 2 , ma anche di una classe piuttosto estesa di numeri della forma ab , dove a è un numero algebrico diverso da 0 e 1, e b è un numero algebrico irrazionale.

APPENDICE AL CAPITOLO II

Algebra degli insiemi

1. Teoria generale. Il concetto di classe, o collezione, o insieme di oggetti è uno dei più fondamentali in matematica. L'insieme è definito da una qualche proprietà (“attributo”) A, che ogni oggetto in esame deve avere o non avere; quegli oggetti che hanno la proprietà A formano un insieme A. Quindi, se consideriamo gli interi e la proprietà di A è "essere primo", allora il corrispondente insieme A consiste di tutti i numeri primi 2, 3, 5, 7, . . .

La teoria matematica degli insiemi procede dal fatto che nuovi insiemi possono essere formati da insiemi con l'aiuto di determinate operazioni (così come nuovi numeri si ottengono dai numeri attraverso le operazioni di addizione e moltiplicazione). Lo studio delle operazioni sugli insiemi è oggetto di "algebra degli insiemi", che ha molto in comune con l'algebra numerica ordinaria, sebbene in qualche modo differisca da essa. Il fatto che i metodi algebrici possano essere applicati allo studio di oggetti non numerici, come gli insiemi, è illustrativo.

ALGEBRA DEGLI INsiemi

mostra una grande generalità delle idee della matematica moderna. Di recente, è diventato chiaro che l'algebra degli insiemi genera Nuovo mondo a molte aree della matematica, ad esempio, la teoria della misura e la teoria della probabilità; è anche utile per sistematizzare concetti matematici e chiarire le loro connessioni logiche.

In quanto segue, indicherò un certo insieme costante di oggetti, la cui natura è indifferente, e che possiamo chiamare l'insieme universale (o l'universo del ragionamento), e

A, B, C, . . . ci saranno alcuni sottoinsiemi di I. Se I è la raccolta di tutti numeri naturali, allora A, diciamo, può denotare l'insieme di tutti i numeri pari, B l'insieme di tutti i numeri dispari, C l'insieme di tutti i numeri primi, ecc. Se I denota l'insieme di tutti i punti sul piano, allora A può essere il insieme di punti all'interno di alcuni poi un cerchio, B - un insieme di punti all'interno di un altro cerchio, ecc. Nel numero di "sottoinsiemi" è conveniente per noi includere I stesso, così come un insieme "vuoto" che non contiene qualsiasi elemento. L'obiettivo perseguito da tale estensione artificiale è di preservare la posizione che ad ogni proprietà di A corrisponda un certo insieme di elementi da I che hanno questa proprietà. Se A è una proprietà universalmente valida, come esemplificato (nel caso dei numeri) dalla proprietà di soddisfare l'uguaglianza banale x = x, allora il corrispondente sottoinsieme di I sarà I stesso, poiché ogni elemento possiede questa proprietà; d'altra parte, se A è una sorta di proprietà internamente contraddittoria (come x 6= x), allora il corrispondente sottoinsieme non contiene alcun elemento, è "vuoto" ed è indicato da un simbolo.

Diciamo che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B, in breve, "A è in B", oppure "B contiene A" se nell'insieme A non vi è alcun elemento che non sia anche nell'insieme B. Questo relazione corrisponde alla notazione

A B, o B A.

Ad esempio, l'insieme A di tutti gli interi divisibili per 10 è un sottoinsieme dell'insieme B di tutti gli interi divisibili per 5, poiché ogni numero divisibile per 10 è anche divisibile per 5. La relazione AB non esclude la relazione B A. Se e in entrambi i casi, quindi

Ciò significa che ogni elemento di A è anche un elemento di B, e viceversa, in modo che gli insiemi A e B contengano esattamente gli stessi elementi.

La relazione A B tra insiemi per molti aspetti assomiglia alla relazione a 6 b tra numeri. In particolare, notiamo quanto segue

ALGEBRA DEGLI INsiemi

le seguenti proprietà di questo rapporto:

1) A A.

2) Se A B e B A, allora A = B.

3) Se A B e B C, allora A C.

Per questo motivo, la relazione AB viene talvolta definita "relazione d'ordine". La principale differenza tra la relazione in esame e la relazione a 6 b tra numeri è che tra due numeri qualsiasi (reali) dati aeb, almeno una delle relazioni a 6 b o b 6 a è necessariamente svolta, mentre per la relazione AB tra insiemi un'affermazione simile è falsa. Ad esempio, se A è un insieme costituito dai numeri 1, 2, 3,

e B è l'insieme costituito dai numeri 2, 3, 4,

allora non vale né la relazione A B né la relazione B A. Per questo diciamo che i sottoinsiemi A, B, C, . . . gli insiemi I sono "parzialmente ordinati", mentre i numeri reali a, b, c, . . .

formare un insieme "ben ordinato".

Si noti, tra l'altro, che dalla definizione della relazione A B segue che, qualunque sia il sottoinsieme A dell'insieme I,

La proprietà 4) può sembrare un po' paradossale, ma a pensarci bene, corrisponde logicamente strettamente al significato esatto della definizione del segno. Infatti, la sola relazione A verrebbe violata

in nel caso in cui l'insieme vuoto contenesse un elemento che non sarebbe contenuto in A; ma poiché l'insieme vuoto non contiene alcun elemento, questo non può essere, qualunque sia A.

Definiamo ora due operazioni su insiemi che formalmente hanno molte delle proprietà algebriche di addizione e moltiplicazione di numeri, sebbene nel loro contenuto interno siano completamente diverse da queste operazioni aritmetiche. Siano A e B due insiemi. L'unione, o "somma logica", di A e B è intesa come l'insieme costituito da quegli elementi che sono contenuti o in A o in

in B (compresi quegli elementi che sono contenuti sia in A che in B). Questo insieme è indicato con A + B. 1 Per “intersezione” o “prodotto logico” di A e B si intende l'insieme costituito da quegli elementi che sono contenuti sia in A che in B. Tale insieme è indicato con AB.2

Tra le importanti proprietà algebriche delle operazioni A + B e AB, si elencano le seguenti. Il lettore potrà verificarne la validità in base alla definizione delle operazioni stesse:

	LA + (SI + DO) = (LA + SI) + DO. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		LA + (BC) = (LA + B)(LA + C).
	La relazione A B è equivalente a ciascuna delle due relazioni

Controllare tutte queste leggi è una questione della logica più elementare. Ad esempio, la regola 10) afferma che l'insieme degli elementi contenuti in A o in A è solo l'insieme A; regola 12) afferma che l'insieme di quegli elementi che sono contenuti in A e contemporaneamente sono contenuti o in B o in C coincide con l'insieme degli elementi che o sono contenuti contemporaneamente in A e B, oppure sono contenuti contemporaneamente in A e C Il ragionamento logico utilizzato nelle dimostrazioni di questo tipo di regole è convenientemente illustrato se si accetta di rappresentare gli insiemi A, B, C, . . . sotto forma di alcune figure sul piano e staremo molto attenti a non perdere nessuna delle possibilità logiche emergenti quando si tratta della presenza elementi comuni due insiemi o, al contrario, la presenza in un insieme di elementi che non sono contenuti nell'altro.

ALGEBRA DEGLI INsiemi

Il lettore ha indubbiamente attirato l'attenzione sul fatto che le leggi 6), 7), 8), 9) e 12) sono esteriormente identiche alle ben note leggi commutative, associative e distributive dell'algebra ordinaria. Ne consegue che tutte le regole dell'algebra ordinaria che seguono da queste leggi valgono anche nell'algebra degli insiemi. Al contrario, le leggi 10), 11) e 13) non hanno analoghi nell'algebra ordinaria e conferiscono all'algebra degli insiemi una struttura più semplice. Ad esempio, la formula binomiale nell'algebra degli insiemi si riduce all'uguaglianza più semplice

(LA + B)n = (LA + B) · (LA + B) . . . (LA+B) = LA+B,

che segue dalla legge 11). Le leggi 14), 15) e 17) dicono che le proprietà degli insiemi e I in relazione alle operazioni di unione e intersezione di insiemi sono molto simili alle proprietà dei numeri 0 e 1 in relazione alle operazioni delle operazioni numeriche di addizione e moltiplicazione. Ma la legge 16) non ha analoghi nell'algebra numerica.

Resta da definire un'altra operazione nell'algebra degli insiemi. Sia A un sottoinsieme dell'insieme universale I. Allora il complemento di A in I è l'insieme di tutti gli elementi di I che non sono contenuti in A. Per questo insieme introduciamo la notazione A0 . Quindi, se I è l'insieme di tutti i numeri naturali e A è l'insieme di tutti i numeri primi, allora A0 è l'insieme di tutti numeri composti e il numero 1. L'operazione di transizione da A ad A0 , che non ha analoghi nell'algebra ordinaria, ha le seguenti proprietà:

	A + A0 = Io.		AA0 = .
	0 = io.		io = .

23) LA 00 = LA.

24) La relazione A B è equivalente alla relazione B 0 LA0 .

25) (LA + B)0 = LA0 B0 . 26) (AB)0 = LA0 + B0 .

Lasciamo nuovamente al lettore la verifica di queste proprietà.

Le leggi 1)–26) sono alla base dell'algebra degli insiemi. Hanno la straordinaria proprietà di "dualità" nel senso seguente:

Se in una delle leggi 1)–26) sostituiamo la corrispondente

(in ciascuna delle loro occorrenze), allora il risultato è di nuovo una delle stesse leggi. Ad esempio, la legge 6) entra nella legge 7), 12) - in 13), 17) - in 16), ecc. Ne consegue che ogni teorema che può essere derivato dalle leggi 1)–26) corrisponde a un altro, il teorema "duale" ad esso, che si ottiene dal primo per mezzo delle indicate permutazioni di simboli. Infatti, poiché la prova

cap. II ALGEBRA DEGLI INSERTI 139

del primo teorema consiste in una successiva applicazione (a vari stadi del ragionamento) di alcune delle leggi 1–26), quindi l'applicazione delle leggi "dual" agli stadi corrispondenti costituirà una dimostrazione del teorema "duale" . (Per una simile "dualità" in geometria, vedere il Capitolo IV.)

2. Applicazione alla logica matematica. La verifica delle leggi dell'algebra degli insiemi si è basata sull'analisi del significato logico della relazione A B e delle operazioni A + B, AB e A0 . Possiamo ora invertire questo processo e considerare le leggi 1)–26) come base per "l'algebra della logica". Diciamo più precisamente: quella parte della logica che riguarda gli insiemi, o, che è essenzialmente la stessa, le proprietà degli oggetti in esame, si può ridurre a un sistema algebrico formale basato sulle leggi 1)–26). L'"universo condizionale" logico definisce l'insieme I; ogni proprietà di A definisce un insieme A costituito da quegli oggetti in I che hanno quella proprietà. Le regole per tradurre la terminologia logica ordinaria in un linguaggio definito sono chiare da

i seguenti esempi:
"Nè a nè B"			(A + B)0 , o, che è lo stesso, A0 B0
"Non è vero che sia A che B"			(AB)0 , o, che è lo stesso, A0 + B0
è B", o
"Se A, allora B"
"Da A segue B"
"Alcuni A è B"
"No A è B"			AB=
"Alcuni A non sono B"			AB0 6=
"Non c'è A"

In termini di algebra degli insiemi, il sillogismo "Barbara", che significa "se ogni A è una B e ogni B è una C, allora ogni A è una C", assume una forma semplice:

3) Se A B e B C, allora A C.

Allo stesso modo, la "legge di contraddizione", affermando che "un oggetto non può avere e non avere contemporaneamente una proprietà", è scritta come:

20) AA 0 = ,

ma "la legge del terzo escluso", che dice che "un oggetto deve avere o non avere qualche proprietà" è scritto:

19) LA + LA 0 = IO.

ALGEBRA DEGLI INsiemi

Pertanto, quella parte della logica, che è esprimibile in termini di simboli, +, · e 0 , può essere trattata come un sistema algebrico formale, soggetto alle leggi 1)–26). Basato sulla fusione dell'analisi logica della matematica e analisi matematica la logica ha creato una nuova disciplina: la logica matematica, che è attualmente in rapido sviluppo.

Da un punto di vista assiomatico, il fatto notevole che gli enunciati 1)–26), insieme a tutti gli altri teoremi dell'algebra degli insiemi, possono essere logicamente dedotti dalle seguenti tre uguaglianze:

27) LA+B = B+LA,

(LA + B) + C = LA + (SI + C),

(LA0 + B0 )0 + (LA0 + B)0 = LA.

Ne consegue che l'algebra degli insiemi può essere costruita come una teoria puramente deduttiva, come la geometria euclidea, sulla base di queste tre proposizioni prese come assiomi. Se questi assiomi sono accettati, allora l'operazione AB e la relazione A B sono definite in termini di A + B e A0 :

	denota l'insieme (A0 + B0 )0 ,
	B significa che A + B = B.

Un esempio completamente diverso di sistema matematico in cui sono soddisfatte tutte le leggi formali dell'algebra degli insiemi è dato dal sistema di otto numeri 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: qui a + b denota , di

per definizione, il minimo comune multiplo di aeb, ab è il massimo comun divisore di aeb, a b è l'affermazione "b è divisibile per a", e a0 è il numero 30 a . Su-

L'esistenza di tali esempi ha portato allo studio di sistemi algebrici generali che soddisfano le leggi 27). Tali sistemi sono chiamati "algebre booleane" in onore di George Boole (1815–1864), un matematico e logico inglese, il cui libro Un'indagine sulle leggi del pensiero apparve nel 1854.

3. Una delle applicazioni alla teoria della probabilità. L'algebra degli insiemi è strettamente correlata alla teoria della probabilità e ti consente di guardarla sotto una nuova luce. Consideriamo l'esempio più semplice: immaginiamo un esperimento con un numero finito di possibili risultati, tutti pensati come "ugualmente possibili". Un esperimento potrebbe, ad esempio, consistere nel pescare una carta a caso da un mazzo completo ben mischiato. Se indichiamo l'insieme di tutti i risultati dell'esperimento con I, e A denota un sottoinsieme di I, allora la probabilità che l'esito dell'esperimento sia nel sottoinsieme A è definita come il rapporto

p(A) = numero di elementi di A . numero di elementi I

ALGEBRA DEGLI INsiemi

Se accettiamo di denotare il numero di elementi in un insieme A con n(A), allora l'ultima uguaglianza può assumere la forma

Nel nostro esempio, supponendo che A sia un sottoinsieme di fiori, otteniamo
n(A) = 13, n(I) = 52 e p(A) =

Le idee dell'algebra degli insiemi si trovano nel calcolo delle probabilità quando è necessario, conoscendo le probabilità di alcuni insiemi, calcolare le probabilità di altri. Ad esempio, date le probabilità p(A), p(B) e p(AB), possiamo calcolare la probabilità p(A + B):

p(LA + B) = p(LA) + p(B) − p(AB).

Non sarà difficile dimostrarlo. abbiamo

n(LA + B) = n(LA) + n(B) − n(AB),

poiché gli elementi contenuti contemporaneamente in A e B, cioè gli elementi di AB, vengono contati due volte nel calcolo della somma n(A) + n(B), e quindi bisogna sottrarre n(AB) da questa somma in l'ordine per calcolare n(A + B) è stato prodotto correttamente. Quindi dividendo entrambi i membri dell'uguaglianza per n(I), otteniamo la relazione (2).

Una formula più interessante si ottiene se parliamo di tre insiemi A, B, C da I. Usando la relazione (2), abbiamo

p(LA + B + C) = p[(LA + B) + C] = p(LA + B) + p(C) − p[(LA + B)C].

La legge (12) del paragrafo precedente ci dà (A + B)C = AC + BC. Ciò implica:

p[(LA + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Sostituendo il valore p[(A + B)C] e il valore p(A + B) preso da (2) nella relazione ottenuta in precedenza, arriviamo alla formula di cui abbiamo bisogno:

p(LA + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

A titolo di esempio, considera il seguente esperimento. Tre numeri 1, 2, 3 sono scritti in qualsiasi ordine. Qual è la probabilità che almeno una delle cifre sia nella posizione corretta (in termini di numerazione)? Sia A l'insieme di permutazioni in cui il numero 1 è al primo posto, B è l'insieme di permutazioni in cui il numero 2 è al secondo posto, C è l'insieme di permutazioni in cui il numero 3 è al terzo luogo. Dobbiamo calcolare p(A + B + C). È chiaro che

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

infatti, se una cifra è al posto giusto, allora ci sono due possibilità per riordinare le restanti due cifre su un totale di 3 · 2 · 1 = 6 possibili permutazioni delle tre cifre. Ulteriore,

L'esercizio. Ricavare la formula appropriata per p(A + B + C + D) e applicarla a un esperimento che coinvolgerà 4 cifre. La probabilità corrispondente è 5 8 = 0,6250.

La formula generale per l'unione di n insiemi è

p(LA1 + LA2 + . . . + An ) =
	p(Ai ) -
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(LA1 LA2 . . . An ), (4)
dove simboli				denotare la somma di tutto il possibile

combinazioni contenenti uno, due, tre, . . . , (n − 1) lettere da A1 , A2 , . . .

un. Questa formula può essere stabilita per induzione matematica, proprio come la formula (3) è stata derivata dalla formula (2).

Dalla formula (4) possiamo concludere che se n cifre sono 1, 2, 3, . . . , n sono scritti in qualsiasi ordine, allora la probabilità che almeno una delle cifre sia al posto corretto è uguale a

pn = 1

dove l'ultimo termine è preceduto da un segno + o −, a seconda che n sia pari o dispari. In particolare, per n = 5 tale probabilità è uguale a

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

Nel Capitolo VIII vedremo che come n va all'infinito, l'espressione

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! -. . . ±n!

tende al limite 1 e , il cui valore, con cinque cifre decimali,

è uguale a 0,36788. Poiché dalla formula (5) risulta chiaro che pn = 1 − Sn, ne consegue che come n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Ilya Shchurov

Il matematico Ilya Shchurov frazioni decimali, trascendenza e irrazionalità di Pi.

In che modo l'"uno" aiutò a costruire le prime città e i grandi imperi? In che modo hai ispirato le menti eccezionali dell'umanità? Che ruolo ha giocato nell'emergere del denaro? Come "uno" unito allo zero per governare mondo moderno? La storia dell'unità è indissolubilmente legata alla storia della civiltà europea. Terry Jones intraprende un viaggio umoristico per ricostruire l'incredibile storia del nostro numero primo. Con l'aiuto della computer grafica in questo programma, l'unità prende vita in vari modi. Dalla storia dell'unità, diventa chiaro da dove provenissero i numeri moderni e come l'invenzione dello zero ci abbia salvato dal dover usare i numeri romani oggi.

Giacomo Cesiano

Sappiamo poco di Diofanto. Sembra che abbia vissuto ad Alessandria. Nessun matematico greco lo menziona prima del 4° secolo, quindi probabilmente visse a metà del 3° secolo. L'opera più importante di Diofanto, "Aritmetica" (Ἀριθμητικά), ebbe luogo all'inizio di 13 "libri" (βιβλία), cioè capitoli. Ne abbiamo oggi 10, ovvero: 6 nel testo greco e altri 4 nella traduzione araba medievale, il cui posto è al centro dei libri greci: libri I-III in greco, IV-VII in arabo, VIII-X in greco. "Aritmetica" di Diofanto è principalmente una raccolta di problemi, in totale circa 260. In verità, non esiste una teoria; ci sono solo istruzioni generali nell'introduzione del libro e osservazioni specifiche in alcuni problemi quando necessario. "Aritmetica" ha già le caratteristiche di un trattato algebrico. In primo luogo Diofanto gode segni diversi, per esprimere l'ignoto ei suoi poteri, anche alcuni calcoli; come tutto il simbolismo algebrico del Medioevo, il suo simbolismo deriva da parole matematiche. Quindi, Diofanto spiega come risolvere il problema in modo algebrico. Ma i problemi di Diofantino non sono algebrici nel senso comune, perché quasi tutti si riducono a risolvere un'equazione indefinita o sistemi di tali equazioni.

Giorgio Shabat

Programma del corso: Storia. Prime valutazioni. Il problema della commensurabilità della circonferenza di un cerchio con il suo diametro. Serie infinita, prodotti e altre espressioni per π. La convergenza e la sua qualità. Espressioni contenenti π. Successioni che convergono rapidamente a π. Metodi moderni calcolare π, usando i computer. Sull'irrazionalità e trascendenza di π e di alcuni altri numeri. Non è richiesta alcuna conoscenza preliminare per comprendere il corso.

Studiosi dell'Università di Oxford hanno affermato che il primo uso noto del numero 0 per indicare l'assenza di un valore posizionale (come nel numero 101) dovrebbe essere considerato il testo del manoscritto indiano Bakhshali.

Vasily Pispanen

Chi non ha giocato al gioco "indicare il numero più grande" da bambino? È già difficile immaginare milioni, trilioni e altri "-on" nella mente, ma cercheremo di distinguere il "mastodonte" in matematica: il numero di Graham.

Victor Kleptsyn

Un numero reale può essere arbitrariamente approssimato con precisione da numeri razionali. E quanto può essere buona tale approssimazione rispetto alla sua complessità? Ad esempio, rompendo la notazione decimale del numero x at k-esima cifra dopo la virgola si ottiene l'approssimazione x≈a/10^k con un errore dell'ordine di 1/10^k. E in generale, fissando il denominatore q della frazione approssimante, possiamo sicuramente ottenere un'approssimazione con un errore dell'ordine di 1/q. E si può fare meglio? L'approssimazione familiare π≈22/7 dà un errore dell'ordine di 1/1000, che è chiaramente molto migliore di quanto ci si potrebbe aspettare. E perché? Siamo fortunati che π abbia una tale approssimazione? Si scopre che per chiunque numero irrazionale ci sono infinite frazioni p/q che lo approssimano meglio di 1/q^2. Questo è ciò che afferma il teorema di Dirichlet - e inizieremo il corso con una dimostrazione leggermente non standard di esso.

Nel 1980, il Guinness dei primati ripeté le affermazioni di Gardner, alimentando ulteriormente l'interesse pubblico per questo numero. Il numero di Graham è un numero inimmaginabile di volte più grande di altri ben noti grandi numeri, come il googol, il googolplex e anche più del numero di Skewes e del numero di Moser. In effetti, l'intero universo osservabile è troppo piccolo per contenere l'ordinaria rappresentazione decimale del numero di Graham.

Dmitrij Anosov

Le lezioni sono lette da Anosov Dmitry Viktorovich, dottore in scienze fisiche e matematiche, professore, accademico dell'Accademia delle scienze russa. Scuola estiva"La matematica moderna", Dubna. 16-18 luglio 2002

È impossibile rispondere correttamente a questa domanda perché serie numerica non ha limite superiore. Quindi, a qualsiasi numero, basta aggiungerne uno per ottenere un numero ancora più grande. Sebbene i numeri stessi siano infiniti, non hanno molti nomi propri, poiché la maggior parte di essi si accontenta di nomi formati da numeri più piccoli. È chiaro che nell'ultima serie di numeri che l'umanità ha assegnato con il proprio nome, ce ne devono essere alcuni numero più grande. Ma come si chiama e a cosa corrisponde? Proviamo a capirlo e allo stesso tempo scopriamo come sono venuti fuori i matematici dei grandi numeri.

Il numero è chiamato algebrico, se è la radice di un polinomio a coefficienti interi

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(cioè, la radice dell'equazione a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, dove un, un n-1, ..., un 1, uno 0 --- totale numeri, n 1, uno 0).

L'insieme dei numeri algebrici sarà indicato dalla lettera .

È facile vedere che ogni numero razionale è algebrico. In effetti, è la radice dell'equazione qx-p=0 con coefficienti interi a 1 =q e a 0 =-p. Così, .

Tuttavia, non tutti i numeri algebrici sono razionali: ad esempio, il numero è la radice dell'equazione x 2 -2=0, quindi, è un numero algebrico.

A lungoè rimasta irrisolta una questione importante per la matematica: esistono numeri reali non algebrici ? Fu solo nel 1844 che Liouville diede il primo esempio di numero trascendente (cioè non algebrico).

La costruzione di questo numero e la prova della sua trascendenza sono molto difficili. È molto più facile dimostrare il teorema di esistenza per i numeri trascendentali usando considerazioni sull'equivalenza e la non equivalenza degli insiemi numerici.

Vale a dire, dimostriamo che l'insieme dei numeri algebrici è numerabile. Quindi, poiché l'insieme di tutti i numeri reali non è numerabile, stabiliremo l'esistenza di numeri non algebrici.

Costruiamo una corrispondenza biunivoca tra e qualche sottoinsieme . Questo significherà questo - certo o numerabile. Ma da allora , poi infinito, e quindi numerabile.

Sia un numero algebrico. Considera tutti i polinomi con coefficienti interi la cui radice è , e scegli tra loro il polinomio P grado minimo (cioè, non ci sarà radice di alcun polinomio con coefficienti interi di grado minore).

Ad esempio, per un numero razionale un tale polinomio ha grado 1 e per un numero ha grado 2.

Dividi tutti i coefficienti del polinomio P al loro massimo comun divisore. Otteniamo un polinomio i cui coefficienti sono relativamente primi nell'aggregato (il loro massimo comun divisore è 1). Infine, se il coefficiente principale unè negativo, moltiplichiamo tutti i coefficienti del polinomio per -1 .

Il polinomio risultante (cioè un polinomio con coefficienti interi la cui radice è il numero, avente il grado minimo possibile, coefficienti coprimi e un coefficiente direttivo positivo) è chiamato polinomio minimo numeri.

Si può dimostrare che un tale polinomio è definito in modo univoco: ogni numero algebrico ha esattamente un polinomio minimo.

Il numero di radici reali di un polinomio non è maggiore del suo grado. Quindi, è possibile enumerare (ad esempio, in ordine crescente) tutte le radici di un tale polinomio.

Ora qualsiasi numero algebrico è completamente determinato dal suo polinomio minimo (cioè l'insieme dei suoi coefficienti) e dal numero che distingue questo polinomio dalle altre radici: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Quindi, abbiamo assegnato a ciascun numero algebrico un insieme finito di interi, e questo insieme viene ripristinato in modo univoco (cioè, insiemi diversi corrispondono a numeri diversi).

Numeriamo tutto in ordine crescente numeri primi(è facile dimostrare che ce ne sono infiniti). Otteniamo una sequenza infinita (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Ora un insieme di numeri interi (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) può essere abbinato

(questo numero è positivo e razionale, ma non sempre naturale, perché tra i numeri uno 0, un 1, ..., un n-1, può essere negativo). Si noti che questo numero è una frazione irriducibile, poiché i fattori primi inclusi nelle espansioni del numeratore e del denominatore sono diversi. Si noti inoltre che due frazioni irriducibili con numeratore e denominatore positivi sono uguali se e solo se entrambi i loro numeratori sono uguali ei loro denominatori sono uguali.

Considera ora la mappatura passante:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Poiché abbiamo assegnato diversi insiemi di interi a diversi numeri algebrici ea diversi insiemi --- diverso numeri razionali, abbiamo quindi stabilito una corrispondenza biunivoca tra l'insieme e qualche sottoinsieme . Pertanto, l'insieme dei numeri algebrici è numerabile.

Poiché l'insieme dei numeri reali non è numerabile, abbiamo dimostrato l'esistenza di numeri non algebrici.

Tuttavia, il teorema di esistenza non indica come determinare se dato numero algebrico. E questa domanda a volte è molto importante per la matematica.