Metodo di induzione matematica

introduzione

Parte principale

1. Induzione completa e incompleta
2. Principio di induzione matematica
3. Metodo di induzione matematica
4. Soluzione di esempi
5. Uguaglianza
6. Divisione numerica
7. disuguaglianze

Conclusione

Elenco della letteratura usata

introduzione

I metodi deduttivi e induttivi sono alla base di qualsiasi ricerca matematica. Il metodo deduttivo del ragionamento è il ragionamento dal generale al particolare, cioè ragionamento che inizia con risultato complessivo, e il punto finale è un risultato parziale. L'induzione si applica quando si passa da risultati particolari a risultati generali, cioè è l'opposto del metodo deduttivo.

Il metodo dell'induzione matematica può essere paragonato al progresso. Partiamo dal più basso, di conseguenza pensiero logico arriviamo al più alto. L'uomo ha sempre cercato il progresso, la capacità di sviluppare logicamente il suo pensiero, il che significa che la natura stessa lo ha destinato a pensare in modo induttivo.

Sebbene il campo di applicazione del metodo dell'induzione matematica sia cresciuto, in curriculum scolastico ha poco tempo. Bene, supponiamo che una persona utile sarà portata da quelle due o tre lezioni per le quali ascolta cinque parole di teoria, risolve cinque problemi primitivi e, di conseguenza, ottiene un cinque per non sapere nulla.

Ma questo è così importante: essere in grado di pensare in modo induttivo.

Parte principale

Nel suo significato originale, la parola "induzione" viene applicata al ragionamento, con l'aiuto del quale si ottengono conclusioni generali, basate su una serie di affermazioni particolari. Il metodo più semplice di ragionamento di questo tipo è l'induzione completa. Ecco un esempio di tale ragionamento.

Sia richiesto di stabilire che ogni numero naturale pari n entro 4< n < 20 представимо в виде суммы двух numeri primi. Per fare ciò, prendiamo tutti questi numeri e scriviamo le espansioni corrispondenti:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Queste nove uguaglianze mostrano che ciascuno dei numeri di nostro interesse è effettivamente rappresentato come la somma di due termini primi.

Pertanto, l'induzione completa è che l'affermazione generale è dimostrata separatamente in ciascuno di un numero finito di casi possibili.

A volte il risultato complessivo può essere previsto dopo aver considerato non tutto, ma abbastanza un largo numero casi particolari (la cosiddetta induzione incompleta).

Il risultato ottenuto dall'induzione incompleta, tuttavia, rimane solo un'ipotesi fino a quando non viene dimostrato da un ragionamento matematico esatto, che copre tutti i casi speciali. In altre parole, l'induzione incompleta in matematica non è considerata un metodo legittimo di dimostrazione rigorosa, ma è un metodo potente per scoprire nuove verità.

Sia, ad esempio, necessario trovare la somma dei primi n numeri dispari consecutivi. Considera casi speciali:

1+3+5+7+9=25=5 2

Dopo aver considerato questi pochi casi speciali, si suggerisce la seguente conclusione generale:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

quelli. la somma dei primi n numeri dispari consecutivi è n 2

Naturalmente, l'osservazione fatta non può ancora servire come prova della validità della formula di cui sopra.

L'induzione completa ha solo applicazioni limitate in matematica. Molte affermazioni matematiche interessanti coprono un numero infinito di casi speciali e non possiamo verificare un numero infinito di casi. L'induzione incompleta spesso porta a risultati errati.

In molti casi, la via d'uscita da questo tipo di difficoltà è ricorrere a un metodo di ragionamento speciale, chiamato metodo dell'induzione matematica. È il seguente.

Sia necessario provare la validità di una certa affermazione per qualsiasi numero naturale n (per esempio, devi dimostrare che la somma dei primi n numeri dispari è n 2). Una verifica diretta di questa affermazione per ogni valore di n è impossibile, poiché l'insieme dei numeri naturali è infinito. Per dimostrare questa affermazione, verifica prima la sua validità per n=1. Quindi si dimostra che per qualsiasi valore naturale di k, la validità dell'affermazione in esame per n=k implica la sua validità anche per n=k+1.

Allora l'affermazione si considera provata per tutte le n. In effetti, l'affermazione è vera per n=1. Ma allora vale anche per il numero successivo n=1+1=2. La validità dell'asserzione per n=2 implica la sua validità per n=2+

1=3. Ciò implica la validità dell'affermazione per n=4, e così via. È chiaro che, alla fine, raggiungeremo un qualsiasi numero naturale n. Quindi, l'affermazione è vera per qualsiasi n.

Riassumendo quanto detto, formuliamo il seguente principio generale.

Il principio dell'induzione matematica.

Se la proposizione A(n), che dipende da un numero naturale n, è vera per n=1, e dal fatto che è vera per n=k (dove k è un qualsiasi numero naturale), ne segue che è anche true per il numero successivo n=k +1, quindi l'assunzione A(n) è vera per qualsiasi numero naturale n.

In un certo numero di casi può essere necessario dimostrare la validità di una certa affermazione non per tutti i numeri naturali, ma solo per n>p, dove p è un numero naturale fisso. In questo caso, il principio di induzione matematica è formulato come segue.

Se la proposizione A(n) è vera per n=p e se A(k)ÞA(k+1) per ogni k>p, allora la proposizione A(n) è vera per ogni n>p.

La dimostrazione con il metodo dell'induzione matematica viene eseguita come segue. In primo luogo, l'asserzione da dimostrare viene verificata per n=1, cioè, la verità dell'affermazione A(1) è accertata. Questa parte della dimostrazione è chiamata base di induzione. Questa è seguita da una parte della dimostrazione chiamata fase di induzione. In questa parte, la validità dell'affermazione per n=k+1 è dimostrata partendo dal presupposto che l'affermazione sia vera per n=k (assunzione di induzione), cioè dimostrare che A(k)ÞA(k+1).

Dimostra che 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Soluzione: 1) Abbiamo n=1=1 2 . Di conseguenza,

l'affermazione è vera per n=1, cioè A(1) è vero.

2) Dimostriamo che A(k)ÞA(k+1).

Sia k un qualsiasi numero naturale e sia vera l'affermazione per n=k, cioè

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Dimostriamo che allora l'asserzione vale anche per il successivo numero naturale n=k+1, cioè che cosa

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Infatti,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Quindi A(k)ÞA(k+1). Basandoci sul principio dell'induzione matematica, concludiamo che l'assunzione A(n) è vera per ogni nОN.

Prova che

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), dove x¹1

Soluzione: 1) Per n=1 otteniamo

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

quindi, per n=1 la formula è vera; A(1) è vero.

2) Sia k un qualsiasi numero naturale e sia vera la formula per n=k, cioè

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

Proviamo che poi l'uguaglianza

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Infatti

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Quindi A(k)ÞA(k+1). Basandoci sul principio dell'induzione matematica, concludiamo che la formula è vera per qualsiasi numero naturale n.

Dimostra che il numero di diagonali di un n-gon convesso è n(n-3)/2.

Soluzione: 1) Per n=3, l'affermazione è vera

E 3 è corretto, perché in un triangolo

 A 3 =3(3-3)/2=0 diagonali;

A 2 A(3) è vero.

2) Supponiamo che in qualsiasi

convesso k-gon ha-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonali.

A k Dimostriamolo allora in un convesso

(k+1)-numero gon

diagonali A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Sia À 1 À 2 À 3 …A k A k+1 -angolo convesso (k+1). Disegniamo una diagonale A 1 A k al suo interno. Per contare il numero totale di diagonali di questo (k + 1)-gon, devi contare il numero di diagonali nel k-gon A 1 A 2 ...A k , aggiungi k-2 al numero risultante, ad es. occorre tenere conto del numero di diagonali della (k+1)-gon proveniente dal vertice A k+1 , e, inoltre, della diagonale A 1 A k.

In questo modo,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Quindi A(k)ÞA(k+1). A causa del principio dell'induzione matematica, l'affermazione è vera per qualsiasi n-gon convesso.

Dimostra che per ogni n l'affermazione è vera:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Soluzione: 1) Sia n=1, allora

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

Quindi, per n=1 l'affermazione è vera.

2) Assumiamo che n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) Considera questa affermazione per n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Abbiamo dimostrato la validità dell'uguaglianza per n=k+1, quindi, in virtù del metodo di induzione matematica, l'affermazione è vera per ogni n naturale.

Dimostra che per ogni n naturale l'uguaglianza è vera:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Soluzione: 1) Sia n=1.

Allora X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Vediamo che per n=1 l'affermazione è vera.

2) Assumiamo che l'uguaglianza sia vera per n=k

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4.

3) Proviamo la verità di questa affermazione per n=k+1, cioè

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Dalla dimostrazione di cui sopra è chiaro che l'affermazione è vera per n=k+1, quindi l'uguaglianza è vera per ogni n naturale.

Prova che

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), dove n>2.

Soluzione: 1) Per n=2 l'identità è simile a: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

quelli. è corretto.

2) Assumiamo che l'espressione sia vera per n=k

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) Dimostreremo la correttezza dell'espressione per n=k+1.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

Abbiamo dimostrato la validità dell'uguaglianza per n=k+1, quindi, grazie al metodo di induzione matematica, l'affermazione è vera per ogni n>2

Prova che

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

per ogni naturale n.

Soluzione: 1) Sia n=1, allora

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) Assumiamo che n=k, allora

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) Dimostriamo la verità di questa affermazione per n=k+1

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

Si dimostra anche la validità dell'uguaglianza per n=k+1, quindi l'affermazione vale per qualsiasi numero naturale n.

Dimostrare la validità dell'identità

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

per ogni naturale n.

1) Per n=1 l'identità è vera 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) Si supponga che per n=k

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) Dimostriamo che l'identità è vera per n=k+1.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

Si può vedere dalla dimostrazione di cui sopra che l'asserzione è vera per qualsiasi numero naturale n.

Dimostra che (11 n+2 +12 2n+1) è divisibile per 133 senza resto.

Soluzione: 1) Sia n=1, allora

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.

Ma (23´133) è divisibile per 133 senza resto, quindi per n=1 l'affermazione è vera; A(1) è vero.

2) Supponiamo che (11 k+2 +12 2k+1) sia divisibile per 133 senza resto.

3) Dimostriamolo in questo caso

(11 k+3 +12 2k+3) è divisibile per 133 senza resto. Infatti, 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

La somma risultante è divisibile per 133 senza resto, poiché il suo primo termine è divisibile per 133 senza resto per assunzione, e nel secondo uno dei fattori è 133. Quindi, А(k)ÞА(k+1). In virtù del metodo dell'induzione matematica, l'affermazione è dimostrata.

Dimostra che per ogni n 7 n -1 è divisibile per 6 senza resto.

Soluzione: 1) Sia n=1, allora X 1 =7 1 -1=6 è diviso per 6 senza resto. Quindi per n=1 l'affermazione è vera.

2) Si supponga che per n=k

7 k -1 è divisibile per 6 senza resto.

3) Dimostriamo che l'affermazione è vera per n=k+1.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

Il primo termine è divisibile per 6, poiché 7 k -1 è divisibile per 6 per ipotesi, e il secondo termine è 6. Quindi 7 n -1 è un multiplo di 6 per ogni n naturale. In virtù del metodo dell'induzione matematica, l'affermazione è dimostrata.

Dimostra che 3 3n-1 +2 4n-3 per n naturale arbitrario è divisibile per 11.
Soluzione: 1) Sia n=1, allora

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 è diviso per 11 senza resto. Quindi, per n=1 l'affermazione è vera.

2) Si supponga che per n=k

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 è divisibile per 11 senza resto.

3) Dimostriamo che l'affermazione è vera per n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

Il primo termine è divisibile per 11 senza resto, poiché 3 3k-1 +2 4k-3 è divisibile per 11 per assunzione, il secondo è divisibile per 11, perché uno dei suoi fattori è il numero 11. Quindi, la somma è anche divisibile per 11 senza resto per nessun n. In virtù del metodo dell'induzione matematica, l'affermazione è dimostrata.

Dimostra che 11 2n -1 per un intero positivo arbitrario n è divisibile per 6 senza resto.

Soluzione: 1) Sia n=1, allora 11 2 -1=120 è divisibile per 6 senza resto. Quindi per n=1 l'affermazione è vera.

2) Si supponga che per n=k

11 2k -1 è divisibile per 6 senza resto.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

Entrambi i termini sono divisibili per 6 senza resto: il primo contiene un multiplo di 6 numero 120, e il secondo è divisibile per 6 senza resto per ipotesi. Quindi la somma è divisibile per 6 senza resto. In virtù del metodo dell'induzione matematica, l'affermazione è dimostrata.

Dimostra che 3 3n+3 -26n-27 per un intero positivo arbitrario n è divisibile per 26 2 (676) senza resto.

Soluzione: Proviamo prima che 3 3n+3 -1 è divisibile per 26 senza resto.

1. Per n=0

3 3 -1=26 è divisibile per 26

2. Supponiamo che per n=k

3 3k+3 -1 è divisibile per 26

3. Proviamo che l'affermazione

vero per n=k+1.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) – divisibile per 26

Proviamo ora l'asserzione formulata nella condizione del problema.

1) È ovvio che per n=1 l'affermazione è vera

3 3+3 -26-27=676

2) Si supponga che per n=k

l'espressione 3 3k+3 -26k-27 è divisibile per 26 2 senza resto.

3) Dimostriamo che l'affermazione è vera per n=k+1

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

Entrambi i termini sono divisibili per 26 2 ; il primo è divisibile per 26 2 perché abbiamo dimostrato che l'espressione tra parentesi è divisibile per 26, e il secondo è divisibile per l'ipotesi induttiva. In virtù del metodo dell'induzione matematica, l'affermazione è dimostrata.

Dimostra che se n>2 e x>0, allora la disuguaglianza

(1+x) n >1+n´x.

Soluzione: 1) Per n=2, la disuguaglianza è vera, poiché

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

Quindi A(2) è vero.

2) Dimostriamo che A(k)ÞA(k+1) se k> 2. Supponiamo che A(k) sia vera, cioè che la disuguaglianza

(1+x) k >1+k´x. (3)

Dimostriamo che allora è anche vera A(k+1), cioè che la disuguaglianza

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Infatti, moltiplicando entrambi i lati della disuguaglianza (3) per numero positivo 1+x, otteniamo

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

Considera il lato destro dell'ultimo disuguale

stva; noi abbiamo

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

Di conseguenza, lo otteniamo

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Quindi A(k)ÞA(k+1). Basandosi sul principio dell'induzione matematica, si può sostenere che la disuguaglianza di Bernoulli è valida per qualsiasi

Dimostra che la disuguaglianza è vera

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 per a> 0.

Soluzione: 1) Per m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 entrambe le parti sono uguali.

2) Si supponga che per m=k

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) Dimostriamo che per m=k+1 la non uguaglianza è vera

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

Abbiamo dimostrato la validità della disuguaglianza per m=k+1, quindi, a causa del metodo di induzione matematica, la disuguaglianza è vera per ogni m naturale.

Dimostra che per n>6 la disuguaglianza

3 n >n´2 n+1 .

Soluzione: riscriviamo la disuguaglianza nel modulo

1. Per n=7 abbiamo

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

la disuguaglianza è vera.

2. Supponiamo che per n=k

3) Dimostriamo la correttezza della disuguaglianza per n=k+1.

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

Poiché k>7, l'ultima disuguaglianza è ovvia.

In virtù del metodo dell'induzione matematica, la disuguaglianza vale per qualsiasi n naturale.

Dimostra che per n>2 la disuguaglianza

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

Soluzione: 1) Per n=3 la disuguaglianza è vera

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. Supponiamo che per n=k

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1,7-(1/k).

3) Dimostreremo la validità del non

uguaglianze per n=k+1

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

Dimostriamo che 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

w(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

Quest'ultimo è ovvio, e quindi

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

In virtù del metodo dell'induzione matematica, la non uguaglianza è dimostrata.

Conclusione

In particolare, dopo aver studiato il metodo dell'induzione matematica, ho accresciuto le mie conoscenze in quest'area della matematica e ho anche imparato a risolvere problemi che prima erano al di là delle mie capacità.

Fondamentalmente, questi erano compiti logici e divertenti, ad es. solo quelli che accrescono l'interesse per la matematica stessa come scienza. La soluzione di tali problemi diventa un'attività divertente e può attirare persone sempre più curiose nei labirinti matematici. Secondo me, questa è la base di qualsiasi scienza.

Continuando a studiare il metodo dell'induzione matematica, cercherò di imparare ad applicarlo non solo in matematica, ma anche nella risoluzione di problemi di fisica, chimica e della vita stessa.

MATEMATICA:

LEZIONI, COMPITI, SOLUZIONI

Libro di testo / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin. Pot-pourri LLC 1996.

L'ALGEBRA EI PRINCIPI DI ANALISI

Libro di testo / IT Demidov, AN Kolmogorov, SI Shvartsburg, OS Ivashev-Musatov, BE Veyts. "Illuminismo" 1975.

Lezione 6. Metodo di induzione matematica.

Le nuove conoscenze nella scienza e nella vita si ottengono in modi diversi, ma tutte (se non si entra nei dettagli) sono divise in due tipi: il passaggio dal generale al particolare e dal particolare al generale. La prima è la detrazione, la seconda è l'induzione. Il ragionamento deduttivo è ciò che di solito viene chiamato in matematica ragionamento logico e nella scienza matematica la deduzione è l'unico metodo legittimo di indagine. Le regole del ragionamento logico furono formulate due millenni e mezzo fa dall'antico scienziato greco Aristotele. Ha creato un elenco completo del ragionamento corretto più semplice, sillogismi– "mattoni" della logica, indicando al tempo stesso ragionamenti tipici, molto simili a quelli giusti, ma sbagliati (spesso incontriamo tali ragionamenti "pseudologici" nei media).

Induzione (induzione - in latino guida) è illustrato dalla famosa leggenda di come Isaac Newton formulò la legge di gravitazione universale dopo che una mela gli cadde in testa. Un altro esempio dalla fisica: in un fenomeno come l'induzione elettromagnetica, un campo elettrico crea, "induce" un campo magnetico. La "mela di Newton" è un tipico esempio di una situazione in cui uno o più casi particolari, ad es. osservazioni, "portare" a un'affermazione generale, la conclusione generale è fatta sulla base di casi particolari. Il metodo induttivo è il principale per ottenere schemi generali sia nelle scienze naturali che in quelle umanistiche. Ma ha un inconveniente molto significativo: sulla base di esempi particolari, si può trarre una conclusione errata. Le ipotesi derivanti da osservazioni private non sono sempre corrette. Consideriamo un esempio dovuto a Eulero.

Calcoleremo il valore del trinomio per alcuni primi valori n:

Si noti che i numeri ottenuti come risultato dei calcoli sono primi. E lo si può verificare direttamente per ciascuno n Da 1 a 39 valore polinomiale
è un numero primo. Tuttavia, quando n=40 otteniamo il numero 1681=41 2 , che non è primo. Quindi, l'ipotesi che potrebbe sorgere qui, cioè l'ipotesi che per ciascuno n numero
è semplice, risulta essere falso.

Leibniz dimostrò nel XVII secolo che per ogni intero positivo n numero
divisibile per 3
è divisibile per 5 e così via. Sulla base di questo, lo ha suggerito per ogni quota K e qualsiasi naturale n numero
diviso per K, ma se ne accorse presto
non è divisibile per 9.

Gli esempi considerati ci consentono di trarre una conclusione importante: un'affermazione può essere vera in un certo numero di casi speciali e allo stesso tempo ingiusta in generale. La questione della validità dell'affermazione nel caso generale può essere risolta applicando uno speciale metodo di ragionamento chiamato per induzione matematica(induzione completa, induzione perfetta).

6.1. Il principio dell'induzione matematica.

♦ Si basa il metodo dell'induzione matematica principio di induzione matematica , composto da quanto segue:

1) si verifica la validità della presente affermazionen=1 (base di induzione) ,

2) si presume che questa affermazione sia vera pern= K, doveKè un numero naturale arbitrario 1(ipotesi di induzione) , e tenuto conto di tale presupposto, se ne stabilisce la validitàn= K+1.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè supponiamo che l'affermazione non sia vera per ogni naturale n. Poi c'è un tale naturale m, che cosa:

1) approvazione per n=m non è giusto,

2) per tutti n, più piccoli m, l'affermazione è vera (in altre parole, mè il primo numero naturale per il quale l'asserzione non riesce).

È ovvio che m>1, perché per n=1 l'affermazione è vera (condizione 1). Di conseguenza,
- numero naturale. Si scopre che per un numero naturale
l'affermazione è vera, e per il numero naturale successivo m non è giusto. Ciò contraddice la condizione 2. ■

Si noti che la dimostrazione utilizzava l'assioma che qualsiasi raccolta di numeri naturali contiene il numero più piccolo.

Viene chiamata una dimostrazione basata sul principio dell'induzione matematica per induzione matematica completa .

 Esempio6.1. Dimostralo per qualsiasi naturale n numero
è divisibile per 3.

Soluzione.

1) Quando n=1, quindi un 1 è divisibile per 3 e l'affermazione è vera per n=1.

2) Assumiamo che l'affermazione sia vera per n=K,
, cioè quel numero
è divisibile per 3 e trovalo n=K+1 numero è divisibile per 3.

Infatti,

Perché ogni termine è divisibile per 3, quindi anche la loro somma è divisibile per 3. ■ 

 Esempio6.2. Dimostra che la somma del primo n i numeri dispari naturali sono uguali al quadrato del loro numero, cioè .

Soluzione. Usiamo il metodo dell'induzione matematica completa.

1) Verifichiamo la validità di questa affermazione per n=1: 1=1 2 è corretto.

2) Supponiamo che la somma dei primi K (
) di numeri dispari è uguale al quadrato del numero di questi numeri, cioè . Sulla base di questa uguaglianza, stabiliamo che la somma del primo K+1 numeri dispari è uguale a
, cioè .

Usiamo la nostra ipotesi e otteniamo

. ■ 

Il metodo dell'induzione matematica completa viene utilizzato per dimostrare alcune disuguaglianze. Proviamo la disuguaglianza di Bernoulli.

 Esempio6.3. Dimostralo quando
e qualsiasi naturale n la disuguaglianza
(Disuguaglianza di Bernoulli).

Soluzione. 1) Quando n=1 otteniamo
, che è corretto.

2) Assumiamo che a n=K c'è una disuguaglianza
(*). Usando questa ipotesi, lo dimostriamo
. Nota che quando
questa disuguaglianza vale, e quindi è sufficiente considerare il caso
.

Moltiplica entrambe le parti della disuguaglianza (*) per il numero
e prendi:

Cioè (1+
. ■ 

Dimostrazione per metodo induzione matematica incompleta qualche affermazione a seconda n, dove
eseguita in modo simile, ma all'inizio si stabilisce la giustizia per il valore più piccolo n.

Alcuni problemi non formulano esplicitamente un'affermazione che può essere dimostrata per induzione matematica. In tali casi, è necessario stabilire una regolarità ed esprimere un'ipotesi sulla validità di tale regolarità, quindi verificare l'ipotesi proposta con il metodo dell'induzione matematica.

 Esempio6.4. Trova l'importo
.

Soluzione. Troviamo le somme S 1 , S 2 , S 3. abbiamo
,
,
. Ipotizziamo che per qualsiasi naturale n la formula è valida
. Per verificare questa ipotesi, utilizziamo il metodo dell'induzione matematica completa.

1) Quando n=1 l'ipotesi è vera, perché
.

2) Assumiamo che l'ipotesi sia vera per n=K,
, cioè
. Usando questa formula, stabiliamo che l'ipotesi è vera e pro n=K+1, cioè

Infatti,

Quindi, supponendo che l'ipotesi sia vera per n=K,
, è dimostrato che è vero per n=K+1, e sulla base del principio dell'induzione matematica, concludiamo che la formula è valida per qualsiasi naturale n. ■ 

 Esempio6.5. In matematica, è dimostrato che la somma di due funzioni uniformemente continue è una funzione uniformemente continua. Sulla base di questa affermazione, dobbiamo dimostrare che la somma di qualsiasi numero
di funzioni uniformemente continue è una funzione uniformemente continua. Ma poiché non abbiamo ancora introdotto il concetto di "funzione uniformemente continua", poniamo il problema in modo più astratto: si sappia che la somma di due funzioni che hanno qualche proprietà S, di per sé possiede la proprietà S. Dimostriamo che la somma di un numero qualsiasi di funzioni ha la proprietà S.

Soluzione. La base dell'induzione qui è contenuta nella formulazione stessa del problema. Facendo l'ipotesi induttiva, considera
funzioni F 1 , F 2 , …, F n , F n+1 che hanno la proprietà S. Quindi . Sul lato destro, il primo termine ha la proprietà S per l'ipotesi di induzione, il secondo termine ha la proprietà S per condizione. Pertanto, la loro somma ha la proprietà S– per due mandati, la base dei “lavori” di induzione.

Questo dimostra l'affermazione e la utilizzerà ulteriormente. ■ 

 Esempio6.6. Trova tutto naturale n, per cui la disuguaglianza

.

Soluzione. Ritenere n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Abbiamo: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 . Possiamo quindi fare un'ipotesi: la disuguaglianza
ha un posto per tutti
. Per provare la veridicità di questa ipotesi, utilizziamo il principio dell'induzione matematica incompleta.

1) Come detto sopra, questa ipotesi è vera per n=5.

2) Supponiamo che sia vero per n=K,
, cioè la disuguaglianza
. Usando questa ipotesi, dimostriamo che la disuguaglianza
.

T. a.
e a
c'è una disuguaglianza

a
,

allora lo capiamo
. Quindi, la verità dell'ipotesi n=K+1 deriva dal presupposto che sia vero per n=K,
.

Dalle pp. 1 e 2, in base al principio dell'induzione matematica incompleta, ne consegue che la disuguaglianza
vero per ogni naturale
. ■ 

 Esempio6.7. Dimostralo per qualsiasi numero naturale n vale la formula di differenziazione
.

Soluzione. In n=1 questa formula ha la forma
, o 1=1, cioè è vero. Facendo l'ipotesi induttiva, abbiamo:

QED ■ 

 Esempio6.8. Dimostra che il set composto da n elementi, ha sottoinsiemi.

Soluzione. Un set con un elemento ma, ha due sottoinsiemi. Questo è vero perché tutti i suoi sottoinsiemi sono l'insieme vuoto e l'insieme stesso, e 2 1 =2.

Assumiamo che qualsiasi insieme di n elementi ha sottoinsiemi. Se l'insieme A è composto da n+1 elementi, quindi fissiamo un elemento in esso - indichiamolo D e dividere tutti i sottoinsiemi in due classi, non contenenti D e contenente D. Tutti i sottoinsiemi della prima classe sono sottoinsiemi dell'insieme B ottenuto da A rimuovendo l'elemento D.

L'insieme B è composto da n elementi, e quindi, per l'ipotesi di induzione, ha sottoinsiemi, quindi nella prima classe sottoinsiemi.

Ma nella seconda classe ci sono lo stesso numero di sottoinsiemi: ognuno di essi si ottiene esattamente da un sottoinsieme della prima classe sommando l'elemento D. Pertanto, in totale, l'insieme A
sottoinsiemi.

Così l'affermazione è provata. Nota che è valido anche per un insieme composto da 0 elementi - un insieme vuoto: ha un singolo sottoinsieme - se stesso e 2 0 =1. ■ 

Uno dei metodi più importanti di dimostrazione matematica è giustamente metodo di induzione matematica. La stragrande maggioranza delle formule relative a tutti i numeri naturali n può essere dimostrata per induzione matematica (ad esempio la formula per la somma di n primi termini di una progressione aritmetica, la formula binomiale di Newton, ecc.).

In questo articolo, ci soffermeremo prima sui concetti di base, quindi considereremo il metodo dell'induzione matematica stesso e analizzeremo esempi della sua applicazione nel dimostrare uguaglianze e disuguaglianze.

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Induzione e deduzione.

per induzione chiamato il passaggio dalle affermazioni particolari a quelle generali. Al contrario, si chiama il passaggio dalle affermazioni generali a quelle particolari deduzione.

Un esempio di dichiarazione privata: 254 è divisibile per 2 senza resto.

Da questa particolare affermazione, si possono formulare molte affermazioni più generali, sia vere che false. Ad esempio, l'affermazione più generale che tutti i numeri interi che terminano con 4 sono divisibili per 2 senza resto è vera, ma l'affermazione che tutti i numeri a tre cifre sono divisibili per 2 senza resto è falsa.

Pertanto, l'induzione consente di ottenere molte affermazioni generali basate su fatti noti o ovvi. E il metodo dell'induzione matematica è progettato per determinare la validità delle affermazioni ricevute.

A titolo di esempio, consideriamo la sequenza numerica: , n è un numero naturale arbitrario. Quindi la sequenza delle somme dei primi n elementi di questa sequenza sarà la seguente

Sulla base di questo fatto, per induzione si può sostenere che .

Presentiamo la dimostrazione di questa formula.

Metodo di induzione matematica.

Il metodo di induzione matematica si basa su principio di induzione matematica.

Consiste nel seguente: una certa affermazione è vera per ogni n naturale se

1. è valido per n = 1 e
2. dalla validità dell'asserzione per ogni naturale arbitrario n = k segue che è vera per n = k+1 .

Cioè, la dimostrazione con il metodo dell'induzione matematica viene eseguita in tre fasi:

1. in primo luogo, viene verificata la validità dell'affermazione per qualsiasi numero naturale n (di solito il controllo viene eseguito per n = 1 );
2. in secondo luogo, si assume la validità dell'enunciato per ogni n=k naturale;
3. in terzo luogo, si dimostra la validità dell'enunciato per il numero n=k+1, partendo dall'assunto del secondo punto.

Esempi di dimostrazioni di equazioni e disequazioni con il metodo dell'induzione matematica.

Torniamo all'esempio precedente e dimostriamo la formula .

Prova.

Il metodo dell'induzione matematica prevede una dimostrazione in tre punti.

Pertanto, tutti e tre i passaggi del metodo di induzione matematica sono stati completati, e quindi è stata dimostrata la nostra ipotesi sulla formula.

Esaminiamo il problema trigonometrico.

Esempio.

Dimostra identità .

Soluzione.

Innanzitutto, controlliamo l'uguaglianza per n = 1 . Per fare ciò, abbiamo bisogno delle formule di base della trigonometria.

Cioè, l'uguaglianza è vera per n = 1 .

In secondo luogo, supponiamo che l'uguaglianza sia vera per n = k , cioè l'identità

METODO DI INDUZIONE MATEMATICA

La parola induzione in russo significa guida e quelle induttive sono chiamate conclusioni basate su osservazioni, esperimenti, ad es. ottenuto per deduzione dal particolare al generale.

Ad esempio, ogni giorno osserviamo che il Sole sorge da est. Pertanto, puoi essere sicuro che domani apparirà a est e non a ovest. Traiamo questa conclusione senza ricorrere ad alcuna ipotesi sulla causa del movimento del Sole attraverso il cielo (inoltre, questo movimento stesso risulta essere evidente, poiché il globo si sta effettivamente muovendo). Eppure, questa derivazione induttiva descrive correttamente le osservazioni che faremo domani.

Il ruolo delle inferenze induttive nelle scienze sperimentali è molto grande. Danno quelle disposizioni, dalle quali si traggono poi ulteriori conclusioni per deduzione. E sebbene la meccanica teorica sia basata sulle tre leggi del moto di Newton, queste stesse leggi erano il risultato di una profonda riflessione sui dati sperimentali, in particolare le leggi del moto planetario di Keplero, da lui ricavate durante l'elaborazione delle osservazioni a lungo termine dell'astronomo danese Tycho Brahe. L'osservazione e l'induzione si rivelano utili in futuro per affinare le ipotesi formulate. Dopo gli esperimenti di Michelson sulla misurazione della velocità della luce in un mezzo in movimento, si è rivelato necessario chiarire le leggi della fisica e creare una teoria della relatività.

In matematica, il ruolo dell'induzione è in gran parte quello alla base dell'assiomatica scelta. Dopo una lunga pratica ha mostrato che un percorso rettilineo è sempre più corto di uno curvo o spezzato, è stato naturale formulare un assioma: per tre punti A, B e C qualsiasi, la disuguaglianza

La nozione di base dell'aritmetica da seguire è emersa anche dall'osservazione della formazione di soldati, navi e altri insiemi ordinati.

Tuttavia, non si deve pensare che questa sia la fine del ruolo dell'induzione in matematica. Naturalmente non si devono verificare sperimentalmente teoremi che si deducono logicamente dagli assiomi: se nella derivazione non sono stati commessi errori logici, allora sono veri in quanto sono veri gli assiomi che abbiamo accettato. Ma molte affermazioni possono essere dedotte da questo sistema di assiomi. E la selezione di quelle affermazioni che devono essere dimostrate è di nuovo suggerita dall'induzione. È lei che ci permette di separare i teoremi utili da quelli inutili, indica quali teoremi possono rivelarsi veri e aiuta anche a delineare il percorso della dimostrazione.

L'essenza del metodo di induzione matematica

In molte sezioni di aritmetica, algebra, geometria, analisi, si deve provare la verità degli enunciati A(n) che dipendono da una variabile naturale. La dimostrazione della verità della proposizione A(n) per tutti i valori della variabile può essere spesso effettuata con il metodo dell'induzione matematica, che si basa sul seguente principio.

La frase A(n) è considerata vera per tutti i valori naturali della variabile se sono soddisfatte le seguenti due condizioni:

La proposizione A(n) vale per n=1.

Dal presupposto che A(n) è vero per n=k (dove k è un qualsiasi numero naturale), ne segue che è vero per il valore successivo n=k+1.

Questo principio è chiamato il principio dell'induzione matematica. Di solito è scelto come uno degli assiomi che definiscono la serie naturale dei numeri, e quindi accettato senza prove.

Il metodo di induzione matematica è inteso come il seguente metodo di dimostrazione. Se è necessario dimostrare la verità della proposizione A(n) per ogni n naturale, allora, in primo luogo, si dovrebbe verificare la verità della proposizione A(1) e, in secondo luogo, assumere la verità della proposizione A(k) , prova a dimostrare che la proposizione A(k +1) è vera. Se ciò può essere dimostrato, e la dimostrazione rimane valida per ogni valore naturale di k, allora, secondo il principio dell'induzione matematica, la proposizione A(n) è riconosciuta vera per tutti i valori di n.

Il metodo dell'induzione matematica è ampiamente utilizzato nella dimostrazione di teoremi, identità, disuguaglianze, nella risoluzione di problemi di divisibilità, nella risoluzione di alcuni problemi geometrici e molti altri.

Il metodo dell'induzione matematica nella risoluzione di problemi su

divisibilità

Usando il metodo dell'induzione matematica, si possono provare varie affermazioni riguardanti la divisibilità dei numeri naturali.

La seguente affermazione può essere dimostrata in modo relativamente semplice. Mostriamo come si ottiene usando il metodo dell'induzione matematica.

Esempio 1. Se n è un numero naturale, allora il numero è pari.

Per n=1 vale la nostra affermazione: - un numero pari. Supponiamo che sia un numero pari. Poiché , un 2k è un numero pari, quindi Anche. Quindi, la parità è dimostrata per n=1, la parità è dedotta dalla parità .Quindi, anche per tutti i valori naturali di n.

Esempio 2Dimostra la verità della frase

A(n)=(il numero 5 è un multiplo di 19), n è un numero naturale.

Soluzione.

L'affermazione A(1)=(numero è un multiplo di 19) è vera.

Supponiamo che per qualche valore n=k

A(k)=(il numero è un multiplo di 19) è vero. Poi, da allora

Ovviamente, anche A(k+1) è vero. Infatti, il primo termine è divisibile per 19 in virtù dell'assunto che A(k) sia vero; anche il secondo termine è divisibile per 19, perché contiene un fattore 19. Sono soddisfatte entrambe le condizioni del principio di induzione matematica, pertanto la proposizione A(n) vale per tutti i valori di n.

Applicazione del metodo dell'induzione matematica a

sommatoria in serie

Esempio 1Dimostra la formula

, n è un numero naturale.

Soluzione.

Per n=1, entrambe le parti dell'uguaglianza diventano una e, quindi, la prima condizione del principio di induzione matematica è soddisfatta.

Supponiamo che la formula sia vera per n=k, cioè

.

Aggiungiamo entrambi i lati di questa uguaglianza e trasformiamo il lato destro. Allora arriviamo

Quindi, dal fatto che la formula è vera per n=k, ne consegue che è vera anche per n=k+1. Questa affermazione è vera per qualsiasi valore naturale di k. Quindi è soddisfatta anche la seconda condizione del principio di induzione matematica. La formula è stata provata.

Esempio 2Dimostra che la somma dei primi n numeri della serie naturale è .

Soluzione.

Indichiamo l'importo richiesto, ad es. .

Per n=1, l'ipotesi è vera.

Lascia stare . Mostriamolo .

Infatti,

Problema risolto.

Esempio 3Dimostra che la somma dei quadrati dei primi n numeri della serie naturale è uguale a .

Soluzione.

Lascia stare.

.

Facciamo finta che . Quindi

E infine.

Esempio 4 Prova che .

Soluzione.

Se poi

Esempio 5 Prova che

Soluzione.

Per n=1, l'ipotesi è ovviamente vera.

Lascia stare.

Dimostriamolo.

Veramente,

Esempi di applicazione del metodo di induzione matematica a

prova delle disuguaglianze

Esempio 1Dimostralo per ogni numero naturale n>1

.

Soluzione.

Denota il lato sinistro della disuguaglianza con .

Pertanto, per n=2, la disuguaglianza è vera.

Lascia per qualche k. Proviamo che allora e . abbiamo , .

Confrontando e , abbiamo , cioè. .

Per ogni k naturale, il lato destro dell'ultima uguaglianza è positivo. Ecco perché . Ma , quindi, e .

Esempio 2Trova un errore nel ragionamento.

Dichiarazione. Per ogni n naturale, la disuguaglianza è vera.

Prova.

. (1)

Dimostriamo che allora la disuguaglianza vale anche per n=k+1, cioè

.

Infatti, almeno 2 per ogni k naturale. Aggiungiamo la disuguaglianza (1) a sinistra e 2 a destra. Otteniamo una disuguaglianza equa o . L'affermazione è stata provata.

Esempio 3Prova che , dove >-1, , n è un numero naturale maggiore di 1.

Soluzione.

Per n=2, la disuguaglianza è vera, poiché .

Sia vera la disuguaglianza per n=k, dove k è un numero naturale, cioè

. (1)

Mostriamo che allora la disuguaglianza vale anche per n=k+1, cioè

. (2)

Infatti, per ipotesi, , quindi, la disuguaglianza

, (3)

ottenuto dalla disuguaglianza (1) moltiplicando ciascuna parte di essa per . Riscriviamo la disuguaglianza (3) come segue: . Scartando il termine positivo a destra dell'ultima disuguaglianza, otteniamo la disuguaglianza valida (2).

Esempio 4 Prova che

(1)

dove , , n è un numero naturale maggiore di 1.

Soluzione.

Per n=2, la disuguaglianza (1) assume la forma

. (2)

Dal , quindi la disuguaglianza

. (3)

Sommando a ciascuna parte della disuguaglianza (3) di , otteniamo la disuguaglianza (2).

Ciò dimostra che la disuguaglianza (1) vale per n=2.

Sia la disuguaglianza (1) valida per n=k, dove k è un numero naturale, cioè

. (4)

Dimostriamo che allora la disuguaglianza (1) deve valere anche per n=k+1, cioè

(5)

Moltiplichiamo entrambe le parti della disuguaglianza (4) per a+b. Poiché, per condizione, otteniamo la seguente giusta disuguaglianza:

. (6)

Per dimostrare la disuguaglianza (5), è sufficiente dimostrarlo

, (7)

oppure, che è lo stesso,

. (8)

La disuguaglianza (8) è equivalente alla disuguaglianza

. (9)

Se , allora , e sul lato sinistro della disuguaglianza (9) abbiamo il prodotto di due numeri positivi. Se , allora , e sul lato sinistro della disuguaglianza (9) abbiamo il prodotto di due numeri negativi. In entrambi i casi vale la disuguaglianza (9).

Ciò dimostra che la validità della disuguaglianza (1) per n=k implica la sua validità per n=k+1.

Metodo di induzione matematica applicato ad altri

compiti

L'applicazione più naturale del metodo dell'induzione matematica in geometria, prossima all'uso di questo metodo nella teoria dei numeri e nell'algebra, è l'applicazione alla soluzione di problemi computazionali geometrici. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1Calcola il lato del corretto: un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio R.

Soluzione.

Per n=2 corretto 2 n - un quadrato è un quadrato; suo fianco. Inoltre, secondo la formula del raddoppio

trova che il lato di un ottagono regolare , lato di un esagono regolare , il lato di un angolo regolare di trentadue . Possiamo quindi assumere che il lato di una regolare inscritta 2 n - un quadrato per ogni è uguale

. (1)

Assumiamo che il lato di un -gon regolare inscritto sia espresso dalla formula (1). In questo caso, con la formula del raddoppio

,

da cui ne consegue che la formula (1) vale per tutti i n.

Esempio 2In quanti triangoli può essere diviso un n-gon (non necessariamente convesso) per le sue diagonali non intersecanti?

Soluzione.

Per un triangolo, questo numero è uguale a uno (non è possibile disegnare diagonali in un triangolo); per un quadrilatero questo numero è ovviamente uguale a due.

Supponiamo di sapere già che ogni k-gon, dove k 1 A 2 ... A n in triangoli.

Un

A 1 A 2

Sia А 1 А k una delle diagonali di questa partizione; divide l'n-gon А 1 А 2 …А n nel k-gon A 1 A 2 …A k e il (n-k+2)-gon А 1 А k A k+1 …A n . In virtù dell'ipotesi fatta, il numero totale di triangoli di partizione sarà uguale a

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

così la nostra affermazione è provata per tutti i n.

Esempio 3Specificare una regola per calcolare il numero P(n) dei modi in cui un n-gon convesso può essere diviso in triangoli da diagonali non intersecanti.

Soluzione.

Per un triangolo, questo numero è ovviamente uguale a uno: P(3)=1.

Supponiamo di aver già determinato i numeri P(k) per ogni k 1 A 2 ... A n . Per ogni sua partizione in triangoli, il lato A 1 A 2 sarà il lato di uno dei triangoli di partizione, il terzo vertice di questo triangolo può coincidere con ciascuno dei punti A 3 , À 4 , …, À n . Il numero di modi per partizionare un n-gon in cui questo vertice coincide con il punto A 3 , è uguale al numero di modi per triangolare il (n-1)-gon A 1 A 3 A 4 ... A n , cioè. è uguale a P(n-1). Il numero di modi di partizionamento in cui questo vertice coincide con A 4 , è uguale al numero di modi per partizionare il (n-2)-gon A 1 A 4 A 5 ... A n , cioè. è uguale a P(n-2)=P(n-2)P(3); il numero di modi di partizionamento in cui coincide con A 5 , è uguale a P(n-3)P(4), poiché ciascuna delle partizioni di (n-3)-gon A 1 A 5 ... A n abbinabile a ciascuna delle partizioni del quadrilatero A 2 A 3 A 4 A 5 , eccetera. Si arriva così alla seguente relazione:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -uno).

Usando questa formula, otteniamo successivamente:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

eccetera.

Inoltre, usando il metodo dell'induzione matematica, puoi risolvere problemi con i grafici.

Sia data una rete di rette sul piano, che collegano alcuni punti tra loro e non hanno altri punti. Chiameremo una tale rete di linee una mappa, dati punti dai suoi vertici, segmenti di curve tra due vertici adiacenti - i bordi della mappa, parti del piano in cui è divisa dai confini - i paesi della mappa.

Lascia che sia data una mappa sull'aereo. Diremo che è colorato correttamente se ciascuno dei suoi paesi è dipinto in un determinato colore e due paesi qualsiasi che condividono un confine comune sono dipinti con colori diversi.

Esempio 4Ci sono n cerchi sul piano. Dimostra che per qualsiasi disposizione di questi cerchi, la mappa da essi formata può essere correttamente colorata con due colori.

Soluzione.

Per n=1 la nostra affermazione è ovvia.

Supponiamo che la nostra affermazione sia vera per qualsiasi mappa formata da n cerchi, e siano dati n + 1 cerchi sul piano. Rimuovendo uno di questi cerchi, otteniamo una mappa che, in virtù del presupposto fatto, può essere correttamente colorata con due colori, ad esempio bianco e nero.

In molte aree della matematica, si deve dimostrare la verità di un'affermazione che dipende, cioè, verità della proposizione p(n) per " nнN (per qualsiasi n SU p(n) Giusto).

Questo può essere spesso dimostrato metodo di induzione matematica.

Questo metodo si basa sul principio dell'induzione matematica. Di solito è scelto come uno degli assiomi dell'aritmetica e quindi accettato senza prove. Secondo il principio dell'induzione matematica, la frase p(n)è considerato vero per tutti i valori naturali della variabile se sono soddisfatte due condizioni:

1. Offerta p(n) vero per n= 1.

2. Dalla frase che p(n) vero per n =K (K - numero naturale arbitrario) ne segue che è vero per n =K+ 1.

Il metodo di induzione matematica è inteso come il seguente metodo di dimostrazione

1. Verificare la veridicità della dichiarazione per n= 1 è la base dell'induzione.

2. Assumiamo che l'affermazione sia vera per n = k - assunzione induttiva.

3. Dimostra che allora vale anche per n =K+ 1 transizione induttiva.

A volte un suggerimento p(n) risulta essere vero non per tutto naturale n, e partendo da alcuni per n = n 0. In questo caso, la verità è verificata nella base di induzione p(n) a n = n 0.

Esempio 1 Lascia stare. Prova che

1. Base a induzione: quando n= 1 per definizione S 1 = 1 e dalla formula otteniamo un risultato. L'affermazione è corretta.

n=k E .

n=k+ 1. Dimostriamo che .

Infatti, per ipotesi induttiva

Trasformiamo questa espressione

La transizione induttiva è dimostrata.

Commento.È utile scrivere ciò che è dato (un'ipotesi induttiva) e ciò che deve essere dimostrato!

Esempio 2 Dimostra

1. Base di induzione. In n= 1, l'affermazione è ovviamente vera.

2. Assunzione induttiva. Lascia stare n=k e

3. Transizione induttiva. Lascia stare n=k+ 1. Dimostriamo:

Infatti, quadra il lato destro come somma di due numeri:

Usando l'ipotesi induttiva e la formula per la somma di una progressione aritmetica: , otteniamo

Esempio 3 Dimostra la disuguaglianza

1. La base dell'induzione in questo caso è la verifica della verità dell'affermazione per , cioè la disuguaglianza deve essere controllata. Per fare ciò, è sufficiente quadrare la disuguaglianza: o 63< 64 – неравенство верно.

2. Sia vera la disuguaglianza per , cioè

3. Dimostriamo:

Usiamo l'ipotesi di induzione

Sapendo come dovrebbe apparire il lato destro nella disuguaglianza dimostrata, selezioniamo questa parte

Resta da stabilire che il fattore aggiuntivo non ecceda l'unità. Veramente,

Esempio 4 Dimostra che per ogni numero naturale termina con una cifra.

1. Il numero naturale più piccolo da cui l'affermazione è vera è uguale a . .

2. Lascia che il numero per finisca con . Ciò significa che questo numero può essere scritto come , dove è un numero naturale. Quindi .

3. Lascia. Dimostriamo che finisce in . Usando la rappresentazione risultante, otteniamo

L'ultimo numero ha esattamente quelli.

Appendice

1.4. Metodo di induzione matematica

Come sapete, le affermazioni matematiche (teoremi) devono essere motivate, dimostrate. Ora faremo conoscenza con uno dei metodi di dimostrazione: il metodo dell'induzione matematica.

In senso lato, l'induzione è un modo di ragionare che consente di passare da affermazioni particolari a affermazioni generali. Il passaggio inverso, dalle affermazioni generali a quelle particolari, è chiamato deduzione.

La deduzione porta sempre a conclusioni corrette. Ad esempio, conosciamo il risultato generale: tutti gli interi che terminano con zero sono divisibili per 5. Da questo, ovviamente, possiamo concludere che qualsiasi numero specifico che termina con 0, come 180, è divisibile per 5.

Allo stesso tempo, l'induzione può portare a conclusioni errate. Ad esempio, notando che il numero 60 è divisibile per i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, non abbiamo il diritto di concludere che 60 sia divisibile per qualsiasi numero.

Il metodo dell'induzione matematica permette in molti casi di provare rigorosamente la validità dell'asserzione generale P(n), la cui formulazione include un numero naturale n.

L'applicazione del metodo prevede 3 fasi.

1) Base di induzione: verifichiamo la validità dell'enunciato P(n) per n = 1 (o per altro, valore privato di n, a partire dal quale si assume la validità di P(n)).

2) Assunzione di induzione: assumiamo che P(n) sia vero per n = k.

3) Passo di induzione: usando l'ipotesi, dimostriamo che P(n) è vero per n = k + 1.

Di conseguenza, possiamo concludere che P(n) è valido per ogni n ∈ N. Infatti, per n = 1 l'asserzione è vera (la base dell'induzione). E quindi vale anche per n = 2, poiché il passaggio da n = 1 a n = 2 è giustificato (passo di induzione). Applicando ripetutamente il passo di induzione, otteniamo la validità di P(n) per n = 3, 4, 5, . . ., ovvero la validità di P(n) per tutti i n.

Esempio 14. La somma dei primi n numeri naturali dispari è n2: 1 + 3 + 5 + ...

+ (2n - 1) = n2.

La dimostrazione sarà effettuata con il metodo dell'induzione matematica.

1) Base: per n=1, c'è un solo termine a sinistra, otteniamo: 1 = 1.

L'affermazione è corretta.

2) Assunzione: assumiamo che per alcuni k l'uguaglianza sia vera: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2.

Risolvere problemi sulla probabilità di colpi durante i colpi

L'affermazione generale del problema è la seguente:

La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è pari a $p$. $n$ colpi sparati. Trova la probabilità che il bersaglio venga colpito esattamente $k$ volte (ci saranno $k$ colpi).

Applichiamo la formula di Bernoulli e otteniamo:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k).

Qui $C_n^k$ è il numero di combinazioni da $n$ a $k$.

Se il problema riguarda diverse frecce con probabilità diverse raggiungere l'obiettivo, teoria, esempi di soluzioni e una calcolatrice che puoi trovare qui.

Video tutorial e modello Excel

Guarda il nostro video sulla risoluzione dei problemi di ripresa di Bernoulli, impara come utilizzare Excel per risolvere problemi comuni.

Il file di calcolo Excel del video può essere scaricato gratuitamente e utilizzato per risolvere i tuoi problemi.

Esempi di risoluzione dei problemi nel colpire il bersaglio in una serie di colpi

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi tipici.

Esempio 1 Sparato 7 colpi. La probabilità di colpire con un colpo è 0,705. Trova la probabilità che ci siano esattamente 5 risultati.

Otteniamo che il problema riguarda test indipendenti ripetuti (tiri al bersaglio), $n=7$ colpi vengono sparati in totale, la probabilità di colpire con ogni $p=0,705$, la probabilità di mancare $q=1-p =1-0,705=0,295$.

Dobbiamo scoprire che ci saranno esattamente $k=5$ hit. Sostituiamo tutto nella formula (1) e otteniamo: $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318. $$

Esempio 2 La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,4.

Quattro colpi indipendenti vengono sparati al bersaglio. Trova la probabilità che ci sia almeno un colpo sul bersaglio.

Studiamo il problema e scriviamo i parametri: $n=4$ (tiro), $p=0.4$ (probabilità di successo), $k \ge 1$ (ci sarà almeno un colpo).

Usiamo la formula per la probabilità dell'evento opposto (non c'è hit):

$$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$ $$ =1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 ,6 ^4 =1- 0,6^4=1- 0,13=0,87. $$

La probabilità di colpire almeno una volta su quattro è 0,87 o 87%.

Esempio 3 La probabilità di colpire il bersaglio da parte del tiratore è 0,3.

Trova la probabilità che con 6 colpi il bersaglio venga colpito da tre a sei volte.

A differenza dei problemi precedenti, qui devi trovare la probabilità che il numero di hit sia in un certo intervallo (e non esattamente uguale a un certo numero). Ma la formula è la stessa.

Troviamo la probabilità che il bersaglio venga colpito da tre a sei volte, cioè ci saranno 3, o 4, o 5 o 6 colpi.

Queste probabilità sono calcolate dalla formula (1):

$$ P_6(3)=C_(6)^3 \cpunto 0,3^3\cpunto 0,7^3 = 0,185. $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cpunto 0,3^4\cpunto 0,7^2 = 0,06. $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cpunto 0,3^5\cpunto 0,7^1 = 0,01. $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cpunto 0,3^6\cpunto 0,7^0 = 0,001.

Poiché gli eventi sono incompatibili, la probabilità desiderata può essere trovata utilizzando la formula di addizione delle probabilità: $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6) =$$ $$ = 0,185+0,06+0,01+0,001=0,256.$$

Esempio 4 La probabilità di almeno un colpo sul bersaglio con quattro colpi è 0,9984. Trova la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo.

Indichiamo la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo. Inseriamo un evento:
$A = $ (Di quattro colpi, almeno uno andrà a segno),
così come il suo evento opposto, che può essere scritto come:
$\overline(A) = $ (tutti i 4 colpi mancheranno il bersaglio, nessun colpo).

Scriviamo la formula per la probabilità dell'evento $A$.

Scriviamo i valori noti: $n=4$, $P(A)=0,9984$. Sostituisci nella formula (1) e ottieni:

$$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1- (1-p)^4=0,9984.

Risolviamo l'equazione risultante:

$$ 1-(1-p)^4=0,9984,\\ (1-p)^4=0,0016,\\ 1-p=0,2,\\ p=0,8. $$

Quindi, la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,8.

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link utili

Trova attività già pronte nella soluzione:

Calcoli online con la formula di Bernoulli

Risolvere una disuguaglianza con una calcolatrice

La disuguaglianza in matematica si applica a tutte le equazioni, dove "=" è sostituito da uno dei seguenti caratteri: \ [> \] \ [\geq \] \ [

* lineare;

* quadrato;

* frazionario;

* indicativo;

* trigonometrico;

* logaritmico.

A seconda di ciò, le disuguaglianze sono dette lineari, parziali, ecc.

Dovresti essere consapevole di questi segni:

* disuguaglianze con maggiore di (>) o minore di (

* Le disuguaglianze con icone maggiori o uguali a \[\geq\] minori o uguali a [\leq\] sono dette non professionali;

* l'icona non è la stessa \[\ne\] da sola, ma i casi con questa icona devono essere sempre risolti.

Tale disuguaglianza è risolta dalle trasformazioni delle identità.

Leggi anche il nostro articolo "Risolvi la soluzione completa per un'equazione online"

Assumiamo che valga la seguente disuguaglianza:

Lo risolviamo allo stesso modo di un'equazione lineare, ma dovremmo monitorare attentamente il segno di disuguaglianza.

Per prima cosa, spostiamo i termini dall'ignoto a sinistra, dal noto a destra, invertendo i simboli:

Quindi dividiamo entrambi i membri per -4 e invertiamo il segno di disuguaglianza:

Questa è la risposta a questa equazione.

Dove posso risolvere la disuguaglianza su Internet?

Puoi risolvere l'equazione sul nostro sito web pocketteacher.ru.

Calcolatrice della disuguaglianza di Bernoulli

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E se hai domande, puoi farle nel nostro gruppo Vkontakte: pocketteacher. Unisciti al nostro gruppo, saremo felici di aiutarti.

Metodo di induzione matematica completo

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