Oggi ti invitiamo a esplorare e tracciare un grafico di funzioni con noi. Dopo un attento studio di questo articolo, non dovrai sudare a lungo per completare questo tipo di attività. Non è facile esplorare e costruire un grafico di una funzione, il lavoro è voluminoso, richiede la massima attenzione e accuratezza dei calcoli. Per facilitare la percezione del materiale, studieremo gradualmente la stessa funzione, spiegheremo tutte le nostre azioni e calcoli. Benvenuti nel fantastico e affascinante mondo della matematica! Andare!

Dominio

Per esplorare e tracciare una funzione, è necessario conoscere alcune definizioni. Una funzione è uno dei concetti di base (di base) in matematica. Riflette la dipendenza tra più variabili (due, tre o più) con le modifiche. La funzione mostra anche la dipendenza degli insiemi.

Immagina di avere due variabili che hanno un certo intervallo di cambiamento. Quindi, y è una funzione di x, a condizione che ogni valore della seconda variabile corrisponda a un valore della seconda. In questo caso, la variabile y è dipendente e viene chiamata funzione. È consuetudine dire che le variabili xey sono in Per maggiore chiarezza di questa dipendenza, viene costruito un grafico della funzione. Che cos'è un grafico di funzione? Questo è un insieme di punti piano delle coordinate dove ogni valore di x corrisponde a un valore di y. I grafici possono essere diversi: una linea retta, un'iperbole, una parabola, una sinusoide e così via.

Un grafico di funzione non può essere tracciato senza esplorazione. Oggi impareremo come condurre ricerche e tracciare un grafico di funzioni. È molto importante prendere appunti durante lo studio. Quindi sarà molto più facile affrontare il compito. Il piano di studio più conveniente:

1. Dominio.
2. Continuità.
3. Pari o dispari.
4. Periodicità.
5. Asintoti.
6. Zero.
7. Costanza.
8. Ascendente e discendente.
9. Estremi.
10. Convessità e concavità.

Partiamo dal primo punto. Troviamo il dominio di definizione, ovvero su quali intervalli esiste la nostra funzione: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Nel nostro caso, la funzione esiste per qualsiasi valore di x, ovvero il dominio di definizione è R. Questo può essere scritto come xОR.

Continuità

Ora esploreremo la funzione di discontinuità. In matematica, il termine "continuità" è apparso come risultato dello studio delle leggi del moto. Cos'è l'infinito? Spazio, tempo, alcune dipendenze (un esempio è la dipendenza delle variabili S e t in problemi di movimento), la temperatura dell'oggetto riscaldato (acqua, padella, termometro e così via), una linea continua (cioè una che si può disegnare senza toglierla dal foglio a matita).

Un grafico è considerato continuo se non si rompe a un certo punto. Uno degli esempi più ovvi di un tale grafico è un'onda sinusoidale, che puoi vedere nell'immagine in questa sezione. La funzione è continua in un punto x0 se sono soddisfatte alcune condizioni:

• una funzione è definita in un dato punto;
• i limiti destro e sinistro in un punto sono uguali;
• il limite è uguale al valore della funzione nel punto x0.

Se almeno una condizione non è soddisfatta, si dice che la funzione si interrompe. E i punti in cui la funzione si interrompe sono chiamati punti di interruzione. Un esempio di una funzione che si "spezzerà" quando visualizzata graficamente è: y=(x+4)/(x-3). Inoltre, y non esiste nel punto x = 3 (poiché è impossibile dividere per zero).

Nella funzione che stiamo studiando (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) tutto si è rivelato semplice, poiché il grafico sarà continuo.

Pari dispari

Ora esamina la funzione per la parità. Cominciamo con un po' di teoria. Una funzione pari è una funzione che soddisfa la condizione f (-x) = f (x) per qualsiasi valore della variabile x (dall'intervallo di valori). Esempi sono:

• modulo x (il grafico ha l'aspetto di una taccola, la bisettrice del primo e del secondo quarto del grafico);
• x al quadrato (parabola);
• coseno x (onda coseno).

Si noti che tutti questi grafici sono simmetrici se visti rispetto all'asse y.

Che cosa allora si chiama funzione dispari? Queste sono quelle funzioni che soddisfano la condizione: f (-x) \u003d - f (x) per qualsiasi valore della variabile x. Esempi:

• iperbole;
• parabola cubica;
• sinusoide;
• tangente e così via.

Si noti che queste funzioni sono simmetriche rispetto al punto (0:0), ovvero all'origine. In base a quanto detto in questa sezione dell'articolo, una funzione pari e dispari deve avere la proprietà: x appartiene all'insieme di definizioni e anche -x.

Esaminiamo la funzione di parità. Possiamo vedere che non corrisponde a nessuna delle descrizioni. Pertanto, la nostra funzione non è né pari né dispari.

Asintoti

Cominciamo con una definizione. Un asintoto è una curva che è il più vicino possibile al grafico, cioè la distanza da un punto tende a zero. Esistono tre tipi di asintoti:

• verticale, cioè assi paralleli si;
• orizzontale, cioè parallelo all'asse x;
• obliquo.

Per quanto riguarda il primo tipo, queste linee dovrebbero essere cercate in alcuni punti:

• spacco;
• estremità del dominio.

Nel nostro caso, la funzione è continua e il dominio di definizione è R. Pertanto, non ci sono asintoti verticali.

Il grafico di una funzione ha un asintoto orizzontale, che soddisfa il seguente requisito: se x tende all'infinito o meno all'infinito e il limite è uguale a un certo numero (ad esempio a). In questo caso, y=a è l'asintoto orizzontale. Non ci sono asintoti orizzontali nella funzione che stiamo studiando.

Un asintoto obliquo esiste solo se sono soddisfatte due condizioni:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Quindi può essere trovato con la formula: y=kx+b. Anche in questo caso, nel nostro caso non ci sono asintoti obliqui.

Zero di funzione

Il passaggio successivo consiste nell'esaminare il grafico della funzione per gli zeri. È anche molto importante notare che il compito associato alla ricerca degli zeri di una funzione si verifica non solo nello studio e nella costruzione di un grafico di una funzione, ma anche come compito indipendente, e come un modo per risolvere le disuguaglianze. Potrebbe essere necessario trovare gli zeri di una funzione su un grafico o utilizzare la notazione matematica.

Trovare questi valori ti aiuterà a tracciare la funzione in modo più accurato. Se parlare linguaggio semplice, allora lo zero della funzione è il valore della variabile x, a cui y=0. Se stai cercando gli zeri di una funzione su un grafico, dovresti prestare attenzione ai punti in cui il grafico si interseca con l'asse x.

Per trovare gli zeri della funzione, devi risolvere la seguente equazione: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Dopo aver eseguito i calcoli necessari, otteniamo la seguente risposta:

segno di costanza

La fase successiva nello studio e nella costruzione di una funzione (grafica) è trovare gli intervalli di costanza dei segni. Ciò significa che dobbiamo determinare su quali intervalli la funzione assume un valore positivo e su quali intervalli assume un valore negativo. Gli zeri delle funzioni trovate nella sezione precedente ci aiuteranno a farlo. Quindi, dobbiamo costruire una linea retta (separatamente dal grafico) e distribuire gli zeri della funzione lungo di essa nell'ordine corretto dal più piccolo al più grande. Ora devi determinare quale degli intervalli risultanti ha un segno "+" e quale ha un "-".

Nel nostro caso, la funzione assume un valore positivo sugli intervalli:

• da 1 a 4;
• da 9 a infinito.

Significato negativo:

• da meno infinito a 1;
• dalle 4 alle 9.

Questo è abbastanza facile da determinare. Sostituisci qualsiasi numero dall'intervallo nella funzione e guarda quale segno è la risposta (meno o più).

Funzione crescente e decrescente

Per esplorare e costruire una funzione, dobbiamo scoprire dove aumenterà il grafico (salire su Oy) e dove cadrà (scendere lungo l'asse y).

La funzione aumenta solo se il valore maggiore della variabile x corrisponde al valore maggiore di y. Cioè, x2 è maggiore di x1 e f(x2) è maggiore di f(x1). E osserviamo un fenomeno completamente opposto in una funzione decrescente (più x, meno y). Per determinare gli intervalli di aumento e diminuzione, è necessario trovare quanto segue:

• ambito (lo abbiamo già);
• derivata (nel nostro caso: 1/3(3x^2-28x+49);
• risolvi l'equazione 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Dopo i calcoli, otteniamo il risultato:

Otteniamo: la funzione aumenta sugli intervalli da meno infinito a 7/3 e da 7 a infinito, e diminuisce sull'intervallo da 7/3 a 7.

Estremi

La funzione studiata y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) è continua ed esiste per qualsiasi valore della variabile x. Il punto estremo mostra il massimo e il minimo di questa funzione. Nel nostro caso, non ce ne sono, il che semplifica notevolmente il compito di costruzione. Altrimenti, si trovano anche usando la funzione derivata. Dopo averli trovati, non dimenticare di segnarli sul grafico.

Convessità e concavità

Continuiamo a studiare la funzione y(x). Ora dobbiamo verificarne la convessità e la concavità. Le definizioni di questi concetti sono abbastanza difficili da percepire, è meglio analizzare tutto con esempi. Per il test: una funzione è convessa se è una funzione non decrescente. D'accordo, questo è incomprensibile!

Dobbiamo trovare la derivata della funzione del secondo ordine. Otteniamo: y=1/3(6x-28). Ora uguagliamo il lato destro a zero e risolviamo l'equazione. Risposta: x=14/3. Abbiamo trovato il punto di flesso, cioè il punto in cui il grafico cambia da convesso a concavo o viceversa. Nell'intervallo da meno infinito a 14/3, la funzione è convessa e da 14/3 a più infinito è concava. È anche molto importante notare che il punto di flesso sul grafico dovrebbe essere liscio e morbido, non dovrebbero esserci angoli acuti.

Definizione di punti aggiuntivi

Il nostro compito è esplorare e tracciare il grafico della funzione. Abbiamo completato lo studio, ora non sarà difficile tracciare la funzione. Per una riproduzione più accurata e dettagliata di una curva o di una retta sul piano delle coordinate, puoi trovare diversi punti ausiliari. È abbastanza facile calcolarli. Ad esempio, prendiamo x=3, risolviamo l'equazione risultante e troviamo y=4. Oppure x=5 e y=-5 e così via. Puoi prendere tutti i punti aggiuntivi di cui hai bisogno per costruire. Almeno 3-5 di loro vengono trovati.

Tracciare

Avevamo bisogno di studiare la funzione (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Tutti i segni necessari nel corso dei calcoli sono stati eseguiti sul piano delle coordinate. Non resta che costruire un grafico, ovvero collegare tutti i punti tra loro. Collegare i punti è fluido e preciso, questa è una questione di abilità: un po' di pratica e il tuo programma sarà perfetto.

Uno dei possibili schemi per studiare una funzione e costruirne il grafico è scomposto nelle seguenti fasi di risoluzione del problema: 1. Dominio della funzione (O.O.F.). 2. Punti di interruzione di una funzione, loro natura. Asintoti verticali. 3. Funzione pari, dispari, periodica. 4. Punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate. 5. Comportamento della funzione all'infinito. Asintoti orizzontali e obliqui. 6. Intervalli di monotonia di una funzione, punti di massimo e minimo. 7. Direzioni della convessità della curva. Punti di flessione. 8. Grafico della funzione. Esempio 1. Traccia la funzione y \u003d 1. (vereiora o ricciolo di Maria Anieei). - l'intero asse numerico. 2. Non ci sono punti di interruzione; non ci sono asintoti verticali. 3. La funzione è pari: in modo che il suo grafico sia simmetrico rispetto all'asse Oy \ non periodico. Dalla parità della funzione consegue che è sufficiente tracciare il suo grafico sulla semiretta x ^ 0, e quindi specchiarlo nell'asse y. 4. Per x = 0, abbiamo Yx, in modo che il grafico della funzione si trovi nel semipiano superiore y > 0. Schema per costruire il grafico della funzione Indagine di funzioni su un estremo mediante derivate ordine superiore Calcolo delle radici delle equazioni con i metodi di accordi e tangenti che il grafico ha un asintoto orizzontale y \u003d O, non ci sono asintoti obliqui. Quindi la funzione aumenta come e diminuisce quando. Il punto x = 0 è critico. Quando x passa per il punto x \u003d 0, la derivata y "(x) cambia segno da meno a più. Pertanto, il punto x \u003d 0 è il punto massimo, y (Q) \u003d I. Questo risultato è abbastanza ovvio: / (x) \u003d T ^ IV *. La seconda derivata svanisce nei punti x \u003d. Studiamo il punto x \u003d 4- (più avanti, le considerazioni sulla simmetria). A abbiamo. la curva è convessa verso il basso; a otteniamo (la curva è convessa verso l'alto). Pertanto, il punto x \u003d \u003d - è il grafico del punto di flesso della funzione. I risultati dello studio sono riassunti in una tabella: Punto di flesso max Punto di flesso - il intero asse reale, escluso il punto 2. Il punto di discontinuità della funzione. Quindi abbiamo la retta x = 0 - l'asintoto verticale. 3. La funzione non è né pari né dispari [funzione in posizione generale), non periodica Supponendo di ottenere il grafico della funzione interseca l'asse Ox nel punto (-1,0), non ci sono asintoti obliqui e orizzontali. dov'è il punto critico. La derivata seconda della funzione è in un punto, quindi x = è il punto minimo. La derivata seconda si trasforma in yul in un punto e cambia segno quando passa per questo punto. Pertanto, il punto è il punto di flesso della curva. Per) abbiamo e. la convessità della curva è diretta verso il basso; per -io abbiamo. la convessità della curva è diretta verso l'alto. Riassumiamo i risultati dello studio in una tabella: Non esiste Non esiste Punto di flesso Non esiste. L'asintoto verticale della derivata del toro svanisce in x = e,/2. e quando x passa per questo punto, y "cambia segno Pertanto, è l'ascissa del punto di flesso della curva. Riassumiamo i risultati dello studio in una tabella: Punto di flesso. Il grafico della funzione è mostrato in Fig. 37 Esempio 4. Rappresentare graficamente la funzione dell'intero asse numerico, escluso il punto Discontinuità punto punto del 2° tipo di funzione.Dato che Km , quindi l'asintoto verticale diretto del grafico della funzione.La funzione è in posizione generale, non- periodico.Impostando y \u003d 0, abbiamo, da cui in modo che il grafico della funzione intersechi l'asse x nel punto Pertanto, il grafico della funzione ha un asintoto obliquo Dalla condizione che otteniamo: un punto critico. Il secondo derivata della funzione y" \u003d D\u003e 0 ovunque nel dominio di definizione, in particolare, nel punto: il punto minimo della funzione. 7. Poiché, quindi, ovunque nel dominio di definizione della funzione, la convessità del suo grafico è diretta verso il basso. Riassumiamo i risultati dello studio in una tabella: Non esiste Non esiste Non esiste. x \u003d 0 - asintoto verticale Il grafico della funzione è mostrato in fig. Esempio 5. Rappresentare graficamente la funzione dell'intero asse numerico. 2. Continuo ovunque. Non ci sono asintoti verticali. 3. posizione generale, non periodico. 4. La funzione svanisce in 5. Quindi, il grafico della funzione ha un asintoto obliquo La derivata svanisce in un punto e non esiste in. Quando x passa per il punto) la derivata non cambia segno, quindi non c'è estremo nel punto x = 0. Quando il punto x passa per il punto, la derivata) cambia segno da “+” a So, la funzione ha un massimo. Quando x passa per il punto x \u003d 3 (x\u003e I), la derivata y "(x) cambia segno, ovvero, nel punto x \u003d 3, la funzione ha un minimo. 7. Trova la derivata seconda di ordine superiore Calcolo delle radici delle equazioni con i metodi delle corde e delle tangenti La derivata seconda y "(x) non esiste nel punto x = 0 e quando x passa per il punto x = 0 y" cambia segno da + a in modo che il punto (0,0) della curva è un punto non c'è punto di flesso con tangente verticale Non c'è flessione nel punto x = 3. Ovunque nel semipiano x > 0 la convessità della curva è diretta verso l'alto in Fig. 39. § 7. Indagine di funzioni a un estremo con l'aiuto di derivate di ordine superiore Per trovare i punti di massimo e minimo di funzioni, si può usare la formula di Taylor. ki xq ha una derivata dell'n-esimo ordine, continua nel punto x0 Sia 0. Allora se il numero n è dispari, allora la funzione f(x) nel punto x0 non ha estremi; quando n è pari, allora nel punto x0 la funzione f(x) ha un massimo se f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 >0, che è nell'intervallo, la differenza - /(x0) mantiene il suo segno. Per la formula di Taylor come per condizione, quindi dalla (1) otteniamo funzione continua esiste tale che nell'intervallo () non cambia e coincide con il segno /(n)(ho). Consideriamo i casi possibili: 1) n è un numero pari e / Allora I, quindi, in virtù della (2) . Secondo la definizione, ciò significa che il punto o è il punto di minimo della funzione f(r). 2) n è pari e. Allora avremo i insieme a questo e quindi il punto i sarà in questo caso il punto di massimo della funzione f(r). 3) n è un numero dispari, /- Allora, per x > x0, il segno > coinciderà con il segno di /(n)(ro), e per r, sarà opposto. Pertanto, per 0 arbitrariamente piccolo, il segno della differenza f(r) - f(r0) non sarà lo stesso per tutti x e (r0 - 6, r0 + t). Di conseguenza, in questo caso la funzione f(r) non ha uno stremum nel punto th. Esempio. Consideriamo le funzioni A. È facile vedere che il punto x = 0 è un punto critico di entrambe le funzioni. Per la funzione y = x4, la prima delle derivate diverse da zero nel punto x = 0 è la derivata di 4° ordine: quindi, qui n = 4 è pari e. Pertanto, nel punto x = 0, la funzione y = x4 ha un minimo. Per la funzione y = x), la prima delle derivate diverse da zero nel punto x = 0 è la derivata del terzo ordine. Quindi in questo caso n = 3 è dispari, e nel punto x = 0 la funzione y = x3 non ha estremi. Commento. Usando la formula di Taylor, si può dimostrare il seguente teorema, che esprime condizioni sufficienti punti di flesso. "Teorema 12. Sia la funzione /(r) in un intorno del punto r0 una derivata dell'n-esimo ordine, continua nel punto xq. Mo(x0, f(xo)) è il punto di flesso del grafico della funzione y = f(x).L'esempio più semplice è fornito dalla funzione § 8. Calcolo delle radici di equazioni con i metodi delle corde e delle tangenti Il problema è trovare la radice reale dell'equazione Supponiamo che le seguenti condizioni sono soddisfatte: 1) la funzione f(x) è continua sul segmento [a, 6]; 2) i numeri /(a) e f(b) sono di segno opposto: 3) sul segmento [a, 6] esistono derivate f"(x) ef"(x) che conservano un segno costante su tale intervallo. Dalle condizioni 1) e 2), in virtù del teorema di Bolzano-Cauchy (p. 220), ne consegue che la funzione f(x) svanisce almeno in un punto £ € ( a, b), cioè, l'equazione (1) ha almeno una radice reale £ nell'intervallo (a, b). segno, allora f(x) è monotona su [a, b] e, quindi, in int rvale (a, b) l'equazione (1) ha una sola radice reale Consideriamo un metodo per calcolare il valore approssimativo di questa unica radice reale £ € (a, 6) dell'equazione (I) con qualsiasi grado di accuratezza. Sono possibili quattro casi (Fig. 40): 1) Fig. 40 Per determinatezza, prendiamo il caso in cui f \ x) > 0, f "(x) > 0 sul segmento [a, 6) (Fig. 41). Colleghiamo i punti A (a, / (a) ) e B (b, f(b)) da una corda A B. Questo è un segmento di una retta passante per i punti A e B, la cui equazione y \u003d 0, troviamo Dalla Fig. 41 è facile per vedere che il punto a \ sarà sempre situato sul lato da cui i segni f (x) e f "(x) sono opposti. Tracciamo ora una tangente alla curva y \u003d f (x) nel punto B (b, f(b)), cioè all'estremità dell'arco ^AB in cui f(x) e /"(x) hanno lo stesso segno. Questa è una condizione essenziale: senza di essa, il punto di intersezione tangente a l'asse x potrebbe non fornire affatto un'approssimazione alla radice richiesta. Il punto b\, in cui la tangente interseca l'asse x, si trova tra t e b sullo stesso lato di 6, ed è una migliore approssimazione di di b. Questa tangente è determinata dall'equazione Assumendo in (3) y = 0, troviamo Funzioni Studio di funzioni a un estremo mediante derivate di ordine superiore Calcolo delle radici di equazioni con i metodi degli accordi e delle tangenti Quindi, abbiamo Sia dato in anticipo l'errore di approssimazione assoluto C della radice £. Per l'errore assoluto dei valori approssimativi di aj e 6, la radice £, possiamo assumere il valore |6i - ai|. Se questo errore è maggiore di quello consentito, allora, prendendo il segmento come quello originale, troviamo prossime approssimazioni radice dove. Continuando questo processo, otteniamo due successioni di valori approssimati: le successioni (an) e (bn) sono monotone e limitate e, quindi, hanno dei limiti. Si può dimostrare che se le condizioni sopra formulate sono soddisfatte 1 è l'unica radice dell'equazione / Esempio. Trova la radice (equazioni r2 - 1 = 0 sul segmento. Pertanto, tutte le condizioni che assicurano l'esistenza di una singola radice sono soddisfatte (equazioni x2 - 1 = 0 sul segmento . e il metodo dovrebbe funzionare. 8 nel nostro caso a = 0, b = 2. Quando n \u003d I da (4) e (5) troviamo Quando n \u003d 2 otteniamo ciò che fornisce un'approssimazione al valore esatto della radice (con errore assoluto Esercizi Grafici della funzione Grafico: Trova il più grande e valore più piccolo funzioni su intervalli dati: esplora il comportamento delle funzioni nei quartieri punti dati utilizzando derivati ​​di ordine superiore: Risposte

Se nel problema è necessario eseguire uno studio completo della funzione f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 con la costruzione del suo grafico, considereremo questo principio in dettaglio.

Per risolvere un problema di questo tipo si dovrebbero utilizzare le proprietà ei grafici del main funzioni elementari. L'algoritmo di ricerca comprende i seguenti passaggi:

Trovare il dominio di definizione

Poiché la ricerca viene svolta sul dominio della funzione, è necessario iniziare con questo passaggio.

Esempio 1

L'esempio fornito consiste nel trovare gli zeri del denominatore per escluderli dal DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Di conseguenza, puoi ottenere radici, logaritmi e così via. Quindi la ODZ può essere ricercata per la radice di un grado pari di tipo g (x) 4 mediante la disuguaglianza g (x) ≥ 0 , per il logaritmo log a g (x) mediante la disuguaglianza g (x) > 0 .

Indagine sui confini ODZ e ricerca di asintoti verticali

Ci sono asintoti verticali sui confini della funzione, quando i limiti unilaterali in tali punti sono infiniti.

Esempio 2

Ad esempio, considera i punti di confine uguali a x = ± 1 2 .

Quindi è necessario studiare la funzione per trovare il limite unilaterale. Quindi otteniamo che: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ciò mostra che i limiti unilaterali sono infiniti, il che significa che le linee x = ± 1 2 sono gli asintoti verticali del grafico.

Indagine della funzione e per pari o dispari

Quando la condizione y (- x) = y (x) è soddisfatta, la funzione è considerata pari. Ciò suggerisce che il grafico si trova simmetricamente rispetto a O y. Quando la condizione y (- x) = - y (x) è soddisfatta, la funzione è considerata dispari. Ciò significa che la simmetria va rispetto all'origine delle coordinate. Se almeno una disuguaglianza fallisce, otteniamo la funzione vista generale.

Il soddisfacimento dell'uguaglianza y (- x) = y (x) indica che la funzione è pari. Durante la costruzione, è necessario tenere conto del fatto che ci sarà simmetria rispetto a O y.

Per risolvere la disuguaglianza, vengono utilizzati intervalli di aumento e diminuzione con le condizioni f "(x) ≥ 0 e f" (x) ≤ 0, rispettivamente.

Definizione 1

Punti stazionari sono punti che portano a zero la derivata.

Punti critici sono punti interni del dominio in cui la derivata della funzione è uguale a zero o non esiste.

Quando si prende una decisione, devono essere presi in considerazione i seguenti punti:

• per gli intervalli esistenti di incremento e decremento della disuguaglianza della forma f "(x) > 0, i punti critici non sono compresi nella soluzione;
• i punti in cui la funzione è definita senza una derivata finita devono essere inclusi negli intervalli di aumento e diminuzione (ad esempio, y \u003d x 3, dove il punto x \u003d 0 rende la funzione definita, la derivata ha il valore di infinito a questo punto, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 è incluso nell'intervallo di aumento);
• per evitare disaccordi, si raccomanda di utilizzare la letteratura matematica, raccomandata dal Ministero dell'Istruzione.

L'inclusione di punti critici negli intervalli di crescente e decrescente nel caso in cui soddisfino il dominio della funzione.

Definizione 2

Per determinando gli intervalli di incremento e decremento della funzione, è necessario trovare:

• derivato;
• punti critici;
• spezzare il dominio di definizione con l'aiuto di punti critici in intervalli;
• determinare il segno della derivata a ciascuno degli intervalli, dove + è un aumento e - è una diminuzione.

Esempio 3

Trova la derivata sul dominio f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Decisione

Per risolvere hai bisogno di:

• trova punti stazionari, questo esempio ha x = 0 ;
• trova gli zeri del denominatore, l'esempio assume il valore zero in x = ± 1 2 .

Esponiamo punti sull'asse numerico per determinare la derivata su ciascun intervallo. Per fare ciò, è sufficiente prendere un punto qualsiasi dall'intervallo ed eseguire un calcolo. Se il risultato è positivo, tracciamo + sul grafico, che significa un aumento della funzione, e - indica la sua diminuzione.

Ad esempio, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, il che significa che il primo intervallo a sinistra ha un segno +. Considera il numero linea.

Risposta:

• c'è un aumento della funzione sull'intervallo -∞; - 1 2 e (- 1 2 ; 0 ] ;
• c'è una diminuzione sull'intervallo [ 0 ; 1 2) e 1 2 ; +∞ .

Nel diagramma, utilizzando + e -, sono rappresentate la positività e la negatività della funzione e le frecce indicano decrescente e crescente.

I punti estremi di una funzione sono i punti in cui la funzione è definita e attraverso i quali la derivata cambia segno.

Esempio 4

Se consideriamo un esempio in cui x \u003d 0, il valore della funzione in esso contenuto è f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Quando il segno della derivata cambia da + a - e passa per il punto x \u003d 0, il punto con le coordinate (0; 0) viene considerato il punto massimo. Quando il segno viene cambiato da - a +, otteniamo il punto minimo.

Convessità e concavità sono determinate risolvendo disuguaglianze della forma f "" (x) ≥ 0 e f "" (x) ≤ 0 . Meno spesso usano il nome rigonfiamento invece di concavità e rigonfiamento invece di rigonfiamento.

Definizione 3

Per determinare gli spazi di concavità e convessità necessario:

• trova la derivata seconda;
• trova gli zeri della funzione della derivata seconda;
• spezzare il dominio di definizione per i punti che appaiono in intervalli;
• determinare il segno del divario.

Esempio 5

Trova la derivata seconda dal dominio di definizione.

Decisione

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Troviamo gli zeri del numeratore e denominatore, dove, usando il nostro esempio, abbiamo che gli zeri del denominatore x = ± 1 2

Ora devi mettere punti sulla linea dei numeri e determinare il segno della derivata seconda da ciascun intervallo. Lo capiamo

Risposta:

• la funzione è convessa dall'intervallo - 1 2 ; 12;
• la funzione è concava dagli spazi - ∞ ; - 1 2 e 1 2 ; +∞ .

Definizione 4

punto di flessoè un punto della forma x 0 ; f(x0) . Quando ha una tangente al grafico della funzione, quando passa per x 0, la funzione cambia segno nel segno opposto.

In altre parole, questo è un tale punto attraverso il quale passa la derivata seconda e cambia segno, e nei punti stessi è uguale a zero o non esiste. Tutti i punti sono considerati dominio della funzione.

Nell'esempio si è visto che non ci sono punti di flesso, poiché la derivata seconda cambia segno passando per i punti x = ± 1 2 . Essi, a loro volta, non sono inclusi nel dominio di definizione.

Trovare asintoti orizzontali e obliqui

Quando si definisce una funzione all'infinito, è necessario cercare gli asintoti orizzontali e obliqui.

Definizione 5

Asintoti obliqui rappresentato da linee rette dato dall'equazione y = k x + b , dove k = lim x → ∞ f (x) x e b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Per k = 0 e b diversi dall'infinito, troviamo che l'asintoto obliquo diventa orizzontale.

In altre parole, gli asintoti sono le linee che il grafico della funzione si avvicina all'infinito. Ciò contribuisce alla rapida costruzione del grafico della funzione.

Se non ci sono asintoti, ma la funzione è definita ad entrambi gli infiniti, è necessario calcolare il limite della funzione a questi infiniti per capire come si comporterà il grafico della funzione.

Esempio 6

Ad esempio, consideralo

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

è un asintoto orizzontale. Dopo aver ricercato la funzione, puoi iniziare a costruirla.

Calcolo del valore di una funzione in punti intermedi

Per rendere il tracciato più accurato, si consiglia di trovare diversi valori della funzione nei punti intermedi.

Esempio 7

Dall'esempio che abbiamo considerato, è necessario trovare i valori della funzione nei punti x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Poiché la funzione è pari, otteniamo che i valori coincidono con i valori in questi punti, ovvero otteniamo x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Scriviamo e risolviamo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Per determinare i massimi e minimi della funzione, punti di flesso, punti intermedi, è necessario costruire degli asintoti. Per una designazione conveniente, gli intervalli di aumento, diminuzione, convessità, concavità sono fissi. Considera la figura seguente.

È necessario tracciare linee del grafico attraverso i punti contrassegnati, che ti permetteranno di avvicinarti agli asintoti, seguendo le frecce.

Questo conclude lo studio completo della funzione. Ci sono casi di costruzione di alcune funzioni elementari per le quali vengono utilizzate trasformazioni geometriche.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Per prima cosa, prova a trovare l'ambito della funzione:

Sei riuscito? Confrontiamo le risposte:

Va bene? Ben fatto!

Ora proviamo a trovare l'intervallo della funzione:

Trovato? Confrontare:

Era d'accordo? Ben fatto!

Lavoriamo di nuovo con i grafici, solo che ora è un po' più difficile: trovare sia il dominio della funzione che l'intervallo della funzione.

Come trovare sia il dominio che l'intervallo di una funzione (avanzato)

Ecco cosa è successo:

Con la grafica, penso che tu l'abbia capito. Ora proviamo a trovare il dominio della funzione secondo le formule (se non sai come fare, leggi la sezione su):

Sei riuscito? Controllo risposte:

1. , poiché l'espressione radice deve essere maggiore o uguale a zero.
2. , poiché è impossibile dividere per zero e l'espressione radicale non può essere negativa.
3. , poiché, rispettivamente, per tutti.
4. perché non puoi dividere per zero.

Tuttavia, abbiamo ancora un momento che non è stato risolto ...

Vorrei ribadire la definizione e concentrarmi su di essa:

Si accorse? La parola "solo" è un elemento molto, molto importante della nostra definizione. Proverò a spiegarti sulle dita.

Diciamo di avere una funzione data da una retta. . Quando, sostituiamo questo valore nella nostra "regola" e lo otteniamo. Un valore corrisponde a un valore. Possiamo anche creare una tabella di vari valori e tracciare una determinata funzione per verificarlo.

"Aspetto! - dici, - "" si incontra due volte!" Quindi forse la parabola non è una funzione? No, lo è!

Il fatto che "" ricorra due volte è tutt'altro che un motivo per accusare la parabola di ambiguità!

Il fatto è che, calcolando, abbiamo ottenuto un gioco. E quando calcoliamo, abbiamo un gioco. Quindi è vero, la parabola è una funzione. Guarda il grafico:

Fatto? In caso contrario, ecco un esempio di vita reale per te, lontano dalla matematica!

Diciamo che abbiamo un gruppo di candidati che si sono incontrati durante la presentazione dei documenti, ognuno dei quali ha raccontato in una conversazione dove vive:

D'accordo, è abbastanza reale che più ragazzi vivano nella stessa città, ma è impossibile che una persona viva in più città contemporaneamente. Questa è, per così dire, una rappresentazione logica della nostra "parabola" - Diverse x differenti corrispondono alla stessa y.

Ora facciamo un esempio in cui la dipendenza non è una funzione. Diciamo che questi stessi ragazzi hanno detto per quali specialità hanno fatto domanda:

Qui abbiamo una situazione completamente diversa: una persona può facilmente fare domanda per una o più direzioni. Cioè un elemento gli insiemi sono messi in corrispondenza più elementi imposta. Rispettivamente, non è una funzione.

Mettiamo alla prova le tue conoscenze nella pratica.

Determina dalle immagini cos'è una funzione e cosa non lo è:

Fatto? Ed ecco risposte:

• La funzione è - B,E.
• Non una funzione - A, B, D, D.

Ti chiedi perché? Sì, ecco perché:

In tutte le figure tranne A) e E) ce ne sono diversi per uno!

Sono sicuro che ora puoi facilmente distinguere una funzione da una non funzione, dire cos'è un argomento e cos'è una variabile dipendente e anche determinare l'ambito dell'argomento e l'ambito della funzione. Passiamo alla sezione successiva: come definire una funzione?

Modi per impostare una funzione

Cosa pensi significhino le parole "imposta funzione"? Esatto, significa spiegare a tutti di quale funzione stiamo parlando in questo caso. Inoltre, spiega in modo tale che tutti ti capiscano correttamente e che i grafici delle funzioni disegnati dalle persone secondo la tua spiegazione fossero gli stessi.

Come posso fare ciò? Come impostare una funzione? Il modo più semplice, che è già stato utilizzato più di una volta in questo articolo: usando una formula. Scriviamo una formula e, sostituendovi un valore, calcoliamo il valore. E come ricorderete, una formula è una legge, una regola secondo la quale diventa chiaro a noi e ad un'altra persona come una X si trasformi in una Y.

Di solito, questo è esattamente quello che fanno: nelle attività vediamo funzioni già pronte definite da formule, tuttavia, ci sono altri modi per impostare una funzione che tutti dimenticano, e quindi la domanda "in quale altro modo puoi impostare una funzione?" confonde. Diamo un'occhiata a tutto in ordine e iniziamo con il metodo analitico.

Modo analitico per definire una funzione

Il metodo analitico è compito di una funzione che utilizza una formula. Questo è il modo più universale, completo e inequivocabile. Se hai una formula, allora sai assolutamente tutto sulla funzione: puoi creare una tabella di valori su di essa, puoi costruire un grafico, determinare dove la funzione aumenta e dove diminuisce, in generale, esplorala in toto.

Consideriamo una funzione. Cosa importa?

"Cosa significa?" - tu chiedi. Ti spiego ora.

Lascia che ti ricordi che nella notazione, l'espressione tra parentesi è chiamata argomento. E questo argomento può essere qualsiasi espressione, non necessariamente semplice. Di conseguenza, qualunque sia l'argomento (espressione tra parentesi), lo scriveremo invece nell'espressione.

Nel nostro esempio, sarà simile a questo:

Considera un'altra attività relativa al metodo analitico per specificare una funzione che avrai nell'esame.

Trova il valore dell'espressione, in.

Sono sicuro che all'inizio eri spaventato quando hai visto un'espressione del genere, ma non c'è assolutamente nulla di spaventoso in essa!

Tutto è come nell'esempio precedente: qualunque sia l'argomento (espressione tra parentesi), lo scriveremo invece nell'espressione. Ad esempio, per una funzione.

Cosa si dovrebbe fare nel nostro esempio? Invece, devi scrivere, e invece di -:

abbreviare l'espressione risultante:

È tutto!

Lavoro indipendente

Ora prova a trovare tu stesso il significato delle seguenti espressioni:

1. , Se
2. , Se

Sei riuscito? Confrontiamo le nostre risposte: Siamo abituati al fatto che la funzione ha la forma

Anche nei nostri esempi, definiamo la funzione in questo modo, ma analiticamente è possibile definire la funzione in modo implicito, ad esempio.

Prova a costruire tu stesso questa funzione.

Sei riuscito?

Ecco come l'ho costruito.

Con quale equazione siamo finiti?

Correttamente! Lineare, il che significa che il grafico sarà una linea retta. Facciamo una tabella per determinare quali punti appartengono alla nostra linea:

È proprio di questo che stavamo parlando... Uno corrisponde a molti.

Proviamo a disegnare cosa è successo:

Quello che abbiamo è una funzione?

Esatto, no! Come mai? Prova a rispondere a questa domanda con una foto. Cosa hai preso?

"Perché un valore corrisponde a più valori!"

Quale conclusione possiamo trarre da ciò?

Esatto, una funzione non può sempre essere espressa in modo esplicito e ciò che è "mascherato" da funzione non è sempre una funzione!

Modo tabulare di definire una funzione

Come suggerisce il nome, questo metodo è un piatto semplice. Si si. Come quello che abbiamo già fatto. Per esempio:

Qui hai immediatamente notato uno schema: Y è tre volte più grande di X. E ora il compito "pensa molto bene": pensi che una funzione data sotto forma di tabella sia equivalente a una funzione?

Non parliamo a lungo, ma disegniamo!

Così. Disegniamo una funzione data in entrambi i modi:

Vedi la differenza? Non si tratta di punti segnati! Dare un'occhiata più da vicino:

L'hai visto ora? Quando impostiamo la funzione in modo tabulare, riflettiamo sul grafico solo quei punti che abbiamo nella tabella e la linea (come nel nostro caso) passa solo attraverso di essi. Quando definiamo una funzione in modo analitico, possiamo prendere qualsiasi punto e la nostra funzione non si limita a questi. Ecco una tale caratteristica. Ricordare!

Modo grafico per costruire una funzione

Il modo grafico di costruire una funzione non è meno conveniente. Disegniamo la nostra funzione e un'altra persona interessata può trovare ciò a cui y è uguale a una certa x, e così via. I metodi grafici e analitici sono tra i più comuni.

Tuttavia, qui devi ricordare di cosa abbiamo parlato all'inizio: non tutti gli "scarabocchi" disegnati nel sistema di coordinate sono una funzione! Ricordato? Per ogni evenienza, copierò qui la definizione di cosa sia una funzione:

Di norma, le persone di solito nominano esattamente questi tre modi per specificare una funzione che abbiamo analizzato: analitica (usando una formula), tabulare e grafica, dimenticando completamente che una funzione può essere descritta verbalmente. Come questo? Sì, molto facile!

Descrizione verbale della funzione

Come descrivere verbalmente la funzione? Prendiamo il nostro esempio recente - . Questa funzione può essere descritta come "ogni valore reale di x corrisponde al suo valore triplo". È tutto. Niente di complicato. Certo, obietterai: "ce ne sono così tanti funzioni complesse che è semplicemente impossibile chiedere verbalmente!” Sì, ce ne sono alcune, ma ci sono funzioni che sono più facili da descrivere verbalmente che da impostare con una formula. Ad esempio: "ogni valore naturale di x corrisponde alla differenza tra le cifre di cui è composto, mentre la cifra più grande contenuta nella voce del numero viene presa come minuendo". Consideriamo ora come viene implementata in pratica la nostra descrizione verbale della funzione:

La cifra più grande in un dato numero -, rispettivamente, - viene ridotta, quindi:

Principali tipi di funzioni

Passiamo ora al più interessante: considereremo i principali tipi di funzioni con cui hai lavorato / lavorerai e lavorerai nel corso della scuola e dell'istituto di matematica, ovvero li conosceremo, per così dire, e dare loro breve descrizione. Maggiori informazioni su ciascuna funzione nella sezione corrispondente.

Funzione lineare

Funzione del modulo in cui, - numeri reali.

Il grafico di questa funzione è una retta, quindi la costruzione funzione lineare si riduce a trovare le coordinate di due punti.

La posizione della retta sul piano delle coordinate dipende dalla pendenza.

Ambito della funzione (aka intervallo di argomenti) - .

L'intervallo di valori è .

funzione quadratica

Funzione del modulo, dove

Il grafico della funzione è una parabola, quando i rami della parabola sono diretti verso il basso, quando - verso l'alto.

Molte proprietà funzione quadratica dipendono dal valore del discriminante. Il discriminante è calcolato dalla formula

La posizione della parabola sul piano delle coordinate rispetto al valore e al coefficiente è mostrata in figura:

Dominio

L'intervallo di valori dipende dall'estremo della funzione data (il vertice della parabola) e dal coefficiente (la direzione dei rami della parabola)

Proporzionalità inversa

La funzione data dalla formula, dove

Il numero è chiamato fattore di proporzionalità inversa. A seconda del valore, i rami dell'iperbole sono in quadrati diversi:

Dominio - .

L'intervallo di valori è .

RIASSUNTO E FORMULA BASE

1. Una funzione è una regola secondo la quale ad ogni elemento di un insieme viene assegnato un elemento unico dell'insieme.

• - questa è una formula che denota una funzione, cioè la dipendenza di una variabile da un'altra;
• - variabile, o argomento;
• - valore dipendente - cambia quando cambia l'argomento, cioè secondo alcuni determinata formula, che riflette la dipendenza di una quantità dall'altra.

2. Valori di argomento validi, o l'ambito di una funzione, è ciò che è correlato al possibile in base al quale la funzione ha senso.

3. Intervallo di valori della funzione- ecco quali valori ci vogliono, con valori validi.

4. Esistono 4 modi per impostare la funzione:

• analitico (usando formule);
• tabulare;
• grafico
• descrizione verbale.

5. Principali tipi di funzioni:

• : , dove, sono numeri reali;
• : , dove;
• : , dove.

Abbastanza spesso consapevole analisi matematica puoi trovare un'attività con la seguente dicitura: "esplora la funzione e traccia". Questa formulazione parla da sé e suddivide il compito in due fasi:

• Fase 1: ricerca funzionale;
• Fase 2: tracciare la funzione studiata.

Il primo stadio è il più voluminoso e comprende la ricerca di domini di definizione e valori, estremi della funzione, punti di flesso del grafico, ecc.

Il piano completo per la ricerca della funzione $y=f(x)$, che precede l'obiettivo del tracciamento, ha i seguenti punti:

• Trovare l'ambito della funzione $D_(y)$ e il dominio dei valori validi $E_(y)$ della funzione.
• Determinazione del tipo di funzione: pari, dispari, generale.
• Determinazione dei punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi coordinati.
• Trovare gli asintoti del grafico della funzione (verticale, obliquo, orizzontale).
• Trovare intervalli di monotonia di una funzione e punti estremi.
• Trovare intervalli di convessità, concavità del grafico e punti di flesso.

La ricerca del dominio della funzione $D_(y) $ implica trovare gli intervalli su cui data funzione esiste (definito). Di norma, questo compito si riduce alla ricerca dell'ODZ (intervallo di valori accettabili), in base al quale si forma $D_(y) $.

Esempio 1

Trova il dominio della funzione $y=\frac(x)(x-1) $.

Troviamo la ODZ della funzione considerata, cioè valori della variabile per cui il denominatore non va a zero.

ODZ: $x-1\ne 0\Freccia destra x\ne 1$

Scriviamo il dominio di definizione: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.

Definizione 1

La funzione $y=f(x)$ è pari se vale la seguente uguaglianza $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.

Definizione 2

La funzione $y=f(x)$ è dispari se vale la seguente uguaglianza $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.

Definizione 3

Una funzione che non è né pari né dispari è chiamata funzione generale.

Esempio 2

Determina il tipo di funzioni: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

1) $y=\frac(x)(x-1)$

$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, quindi abbiamo una funzione generale.

2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $

$f(-x)=f(x)$, quindi abbiamo una funzione pari.

3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

$f(-x)\ne -f(x)$, quindi abbiamo una funzione dispari.

Determinare i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi delle coordinate include trovare i punti di intersezione: con l'asse OX ($y=0$), con l'asse OY ($x=0$).

Esempio 3

Trova i punti di intersezione con gli assi delle coordinate della funzione $y=\frac(x+2)(x-1) $.

1. con l'asse OX ($y=0$)

$\frac(x+2)(x-1) =0\freccia destra x+2=0\freccia destra x=-2$; prendi un punto (-2;0)

1. con asse OY ($x=0$)

$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, otteniamo il punto (0;-2)

Sulla base dei risultati ottenuti nella fase di studio della funzione, viene costruito un grafico. A volte i punti ottenuti nella prima fase non sono sufficienti per tracciare la funzione, quindi è necessario trovare punti aggiuntivi.

Esempio 4

Esplora la funzione e costruisci il suo grafico: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.

1. Dominio di definizione: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
2. Intervallo: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
3. Funzioni pari, dispari :\ \

Funzione generale, cioè non è né pari né dispari.

4) Intersezione con assi coordinati:

con l'asse OY: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, quindi il grafico passa per il punto (0;1).

con l'asse OX: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ ( radici razionali No)

5) Asintoti del grafico:

Non ci sono asintoti verticali, poiché $D_(y) =\( x|x\in R\) $

Gli asintoti obliqui verranno ricercati nella forma $y=kx+b$.

$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1)(x) =\infty $. Pertanto, non ci sono asintoti obliqui.

6) Funzione crescente, decrescente; estremi:

\ \[\begin(array)(l) (y"=0\Freccia destra 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(array)\]

Segniamo i punti sull'asse dei numeri, posizioniamo i segni della derivata prima e notiamo il comportamento della funzione:

Immagine 1.

La funzione aumenta di $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ e $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, diminuisce di $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.

$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - punto massimo; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1,172$

$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - punto minimo; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23,172$

7) Convessità, concavità del grafico:

\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Freccia destra 6x-12=0\Freccia destra x=2) \end(array)\]

Segniamo i punti sull'asse dei numeri, posizioniamo i segni della derivata seconda e notiamo il comportamento del grafico della funzione:

Figura 2.

Il grafico è convesso verso l'alto di $(-\infty ;2]$, verso il basso di $

8) Grafico delle funzioni:

Figura 3