INTRODUZIONE
Il manuale è destinato agli insegnanti di matematica nelle scuole tecniche, nonché agli studenti del secondo anno di tutte le specialità.
In questo articolo presentiamo i concetti di base della teoria delle serie. Il materiale teorico soddisfa i requisiti dello standard educativo statale dell'istruzione professionale secondaria (Ministero dell'istruzione Federazione Russa. M., 2002).
La presentazione di materiale teorico sull'intero argomento è accompagnata dalla considerazione di un gran numero di esempi e compiti, ed è condotta in un linguaggio accessibile, se possibile, rigoroso. Alla fine del manuale ci sono esempi e compiti che gli studenti possono svolgere in modalità di autocontrollo.
Il manuale è destinato a studenti di corrispondenza e forme di studio a tempo pieno.
Tenendo conto del livello di preparazione degli studenti delle scuole tecniche, nonché del numero estremamente limitato di ore (12 ore + 4 libbre) assegnate dal programma per il superamento della matematica superiore nelle scuole tecniche, conclusioni rigorose, che presentano grandi difficoltà di assimilazione , sono omessi, limitati alla considerazione di esempi.
CONCETTI BASILARI
La soluzione di un problema presentato in termini matematici, ad esempio, come combinazione di varie funzioni, loro derivate e integrali, deve poter “portare a un numero”, che il più delle volte serve come risposta finale. Per questo, sono stati sviluppati vari metodi in vari rami della matematica.
La sezione della matematica che consente di risolvere qualsiasi problema ben posto con sufficiente accuratezza per l'uso pratico è chiamata teoria delle serie.
Anche se alcuni concetti sottili analisi matematica apparvero fuori contatto con la teoria delle serie, furono immediatamente applicati alle serie, che servirono, per così dire, come strumento per verificare il significato di questi concetti. Questa situazione continua ancora oggi.
Espressione della forma
dove ;;;…;;… sono i membri della serie; - ennesimo o un membro comune di una serie, è chiamata serie infinita (numero).
Se i membri della serie:
I. Serie numerica
1.1. Concetti di base delle serie numeriche.
Una serie numerica è una somma della forma
, (1.1)
dove ,,,…,,…, chiamati membri della serie, formano una sequenza infinita; un membro è chiamato membro comune della serie.
composte dai primi termini della serie (1.1) sono dette somme parziali di questa serie.
Ad ogni riga può essere associata una sequenza di somme parziali 
.
Se con un aumento infinito del numero n la somma parziale delle serie tende al limite, allora la serie si dice convergente e il numero si dice somma delle serie convergenti, cioè
Questa voce è equivalente alla voce
.
Se la somma parziale della serie (1.1) con aumento illimitato n non ha un limite finito ( tende a o ), allora viene chiamata tale serie divergente .
Se la fila convergente , quindi il valore per sufficientemente grande n è un'espressione approssimativa per la somma delle serie S.
La differenza è chiamata il resto della serie. Se la serie converge, allora il suo resto tende a zero, cioè, e viceversa, se il resto tende a zero, allora la serie converge.
1.2. Esempi di serie numeriche.
Esempio 1. Una serie del modulo
(1.2)
chiamato geometrico .
La serie geometrica è formata dai membri di una progressione geometrica.
È noto che la somma del suo primo n membri. Ovviamente questo è n- esima somma parziale della serie (1.2).
Possibili casi:
La serie (1.2) assume la forma:
, la serie diverge;
La serie (1.2) assume la forma:
Non ha limite, la serie diverge.
è un numero finito, la serie converge.
- la serie diverge.
Quindi, questa serie converge e diverge in .
Esempio 2. Una serie del modulo
(1.3)
chiamato armonico .
Scriviamo la somma parziale di questa serie:
L'importo è maggiore dell'importo presentato come segue:
o 
.
Se poi 
, o 
.
Pertanto, se , allora , cioè la serie armonica diverge.
Esempio 3. Una serie del modulo
(1.4)
chiamato armonica generalizzata .
Se , allora questa serie si trasforma in una serie armonica, che è divergente.
Se , allora i termini di questa serie sono maggiori dei corrispondenti termini della serie armonica e, quindi, diverge. Quando abbiamo una serie geometrica in cui ; è convergente.
Quindi, la serie armonica generalizzata converge e diverge in .
1.3. Criteri necessari e sufficienti per la convergenza.
Un criterio necessario per la convergenza di una serie.
La serie può convergere solo se il suo termine comune tende a zero con un aumento illimitato del numero: .
Se , allora la serie diverge, che è segno sufficiente divergenza di serie.
Condizioni sufficienti per la convergenza di una serie con membri positivi.
Segno di confronto di serie con membri positivi.
La serie in esame converge se i suoi membri non superano i membri corrispondenti di un'altra serie ovviamente convergente; la serie in esame diverge se i suoi termini superano i termini corrispondenti di un'altra serie ovviamente divergente.
Segno di d'Alembert.
Se per una serie con termini positivi
condizione è soddisfatta, allora la serie converge a e diverge a .
Il segno di d'Alembert non dà risposta se . In questo caso, vengono utilizzati altri metodi per studiare la serie.
Esercizi.
Scrivi una serie in base al suo termine comune dato:
Supponendo ,,,…, abbiamo una sequenza infinita di numeri:
Aggiungendo i suoi termini, otteniamo la serie
.
Facendo lo stesso, otteniamo la serie
.
Dando i valori 1,2,3,… e tenendo conto che,,,…, otteniamo le serie
.
Trova n- esimo termine della serie secondo i primi termini dati:
I denominatori dei membri della serie, a partire dal primo, sono numeri pari; Di conseguenza, n- Il esimo termine della serie ha la forma .
I numeratori dei membri della serie formano una serie naturale di numeri, ed i corrispondenti denominatori formano una serie naturale di numeri, ed i corrispondenti denominatori formano una serie naturale di numeri, a partire da 3. I segni si alternano secondo la legge o secondo alla legge. Significa, n- Il esimo termine della serie ha la forma . o .
Indagare la convergenza delle serie utilizzando il necessario test di convergenza e il test di confronto:
;
.
Noi troviamo 
.
Il criterio necessario per la convergenza delle serie è soddisfatto, ma per risolvere la questione della convergenza occorre applicare uno dei criteri di convergenza sufficienti. Confronta questa serie con la serie geometrica
,
che converge da allora.
Confrontando i termini di questa serie, a partire dalla seconda, con i corrispondenti termini della serie geometrica, otteniamo le disuguaglianze
quelli. i termini di questa serie, a partire dalla seconda, sono corrispondentemente minori dei termini della serie geometrica, da cui segue che questa serie converge.
.
Qui è soddisfatto un test sufficiente per la divergenza delle serie; quindi la serie diverge.
Noi troviamo 
.
Il criterio necessario per la convergenza delle serie è soddisfatto. Confrontiamo questa serie con la serie armonica generalizzata
,
che converge, poiché, quindi, converge anche la serie data.
Indagare la convergenza delle serie utilizzando il test di d'Alembert:
;
.
Sostituendo nel termine comune della serie invece di n numero n+ 1, otteniamo. Troviamo il limite del rapporto tra il -esimo termine e n- mu membro presso:
Pertanto, questa serie converge.
Quindi questa serie diverge.
Quelli. la fila diverge.
II. serie alternata
2.1 Il concetto di serie alternata.
Serie numerica
chiamato alternato se i suoi membri includono sia numeri positivi che negativi.
Viene chiamata la linea dei numeri alternato se due termini adiacenti hanno segni opposti.
dove per tutti (cioè una serie i cui termini positivi e negativi si susseguono a turno). Per esempio,
;
;
.
Per le serie alternate esiste un criterio di convergenza sufficiente (stabilito nel 1714 da Leibniz in una lettera a I. Bernoulli).
2.2 Segno di Leibniz. Convergenza assoluta e condizionale delle serie.
Teorema (test di Leibniz).
Una serie alternata converge se:
La sequenza dei valori assoluti dei termini della serie diminuisce monotonicamente, ad es. ;
Il termine comune della serie tende a zero:.
Inoltre, la somma S della serie soddisfa le disuguaglianze
Osservazioni.
Studio di una serie alternata della forma
(con un primo termine negativo) si riduce moltiplicando tutti i suoi termini per lo studio della serie 
.
Si chiamano serie per le quali sono soddisfatte le condizioni del teorema di Leibniz Leibniziano (o serie di Leibniz).
La relazione ci permette di ottenere una stima semplice e conveniente dell'errore che commettiamo sostituendo la somma S di questa serie per la sua somma parziale.
Anche la serie scartata (resto) è una serie alternata 
, la cui somma è minore del primo termine di questa serie, cioè l'errore è minore del modulo del primo dei termini scartati.
Esempio. Calcola approssimativamente la somma delle serie.
Soluzione: data serie di tipo Leibniz. Egli converge. Tu puoi scrivere:
.
Prendendo cinque termini, cioè sostituibile
Facciamo un errore più piccolo
come 
. Così,.
Per le serie alternate, si verifica il seguente criterio generale sufficiente per la convergenza.
Teorema. Sia data una serie alternata
Se la serie converge
composta dai moduli dei membri della serie data, allora converge la serie alternata stessa.
Il criterio di convergenza di Leibniz per le serie alternate è un criterio sufficiente per la convergenza delle serie alternate.
Si chiama la serie alternata assolutamente convergente , se converge una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri, cioè ogni serie assolutamente convergente è convergente.
Se una serie alternata converge e una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri diverge, allora questa serie è chiamata condizionatamente (non assoluto) convergente.
2.3. Esercizi.
Esaminare per convergenza (assoluta o condizionale) una serie alternata:
e
Pertanto, secondo il test di Leibniz, la serie converge. Scopriamo se questa serie converge in modo assoluto o condizionale.
Riga 
, composta dai valori assoluti della serie data, è una serie armonica divergente. Pertanto, questa serie converge condizionatamente.
I termini di questa serie diminuiscono monotonicamente in valore assoluto:
, ma
.
La serie diverge perché il test di Leibniz non regge.
Usando il test di Leibniz, otteniamo
;
,
quelli. la serie converge.
.
Questa è una serie geometrica della forma dove, che converge. Pertanto, questa serie converge assolutamente.
Usando il test di Leibniz, abbiamo
;
, cioè. la serie converge.
Consideriamo una serie composta dai valori assoluti dei termini di questa serie:
, o
.
Questa è una serie armonica generalizzata che diverge, poiché. Pertanto, questa serie converge condizionatamente.
III. Gamma funzionale
3.1. Il concetto di serie funzionale.
Viene chiamata una serie i cui membri sono funzioni di funzionale :
Dando un certo valore a , otteniamo serie numerica
che possono essere convergenti o divergenti.
Se la serie numerica risultante converge, viene chiamato il punto punto di convergenza fila funzionale; se la serie diverge punto di divergenza fila funzionale.
L'insieme dei valori numerici dell'argomento, a cui converge la serie funzionale, è detto suo regione di convergenza .
Nella regione di convergenza di una serie funzionale, la sua somma è una certa funzione di :.
È definito nella regione di convergenza dall'uguaglianza
, dove
Somma parziale di una serie.
Esempio. Trova l'area di convergenza della serie.
Soluzione. Questa serie è una serie di progressioni geometriche con denominatore. Pertanto, questa serie converge per , cioè per tutti ; la somma della serie è ;
, a .
3.2. Serie di potenze.
Una serie di potenze è una serie della forma
,
dove sono i numeri 
chiamato coefficienti di serie
, e il termine è un termine comune della serie.
Zona di convergenza serie di potenzeè l'insieme di tutti i valori per i quali converge la serie data.
Il numero è chiamato raggio di convergenza serie di potenze, se per , la serie converge e, inoltre, assolutamente, e per , la serie diverge.
Troviamo il raggio di convergenza usando il test di d'Alembert:
(non dipende da),
quelli. se la serie di potenze converge per ogni che soddisfa la condizione data e diverge per .
Ne consegue che se c'è un limite
,
allora il raggio di convergenza della serie è uguale a questo limite e la serie di potenze converge a , cioè, in mezzo al quale è chiamato intervallo (intervallo) di convergenza.
Se, allora la serie di potenze converge in un unico punto.
Alle estremità dell'intervallo, la serie può convergere (assolutamente o condizionatamente), ma può anche divergere.
La convergenza delle serie di potenze per e viene studiata utilizzando uno dei criteri di convergenza.
3.3. Esercizi.
Trova l'area di convergenza della serie:
Soluzione. Trova il raggio di convergenza di questa serie:
.
Pertanto, questa serie converge assolutamente sull'asse dei numeri interi.
Soluzione. Usiamo il segno di d'Alembert. Per questa serie abbiamo:
.
La serie converge assolutamente se o . Studiamo il comportamento delle serie agli estremi dell'intervallo di convergenza.
Perché abbiamo una serie 
Perché abbiamo una serie 
è anche una serie convergente di Leibniz. Pertanto, la regione di convergenza della serie originale è un segmento.
Soluzione. Trova il raggio di convergenza della serie:
Pertanto, la serie converge a, cioè a.
Prendiamo una serie 
, che converge secondo il test di Leibniz.
Prendiamo una serie divergente
.
Pertanto, la regione di convergenza della serie originale è l'intervallo.
IV. Decomposizione funzioni elementari nella serie di Maclaurin.
Per le applicazioni, è importante essere in grado di farlo questa funzione espandersi in una serie di potenze, cioè rappresentare la funzione come somma di una serie di potenze.
Una serie di Taylor per una funzione è chiamata serie di potenze della forma
Se , allora otteniamo un caso speciale della serie di Taylor
che è chiamato vicino a Maclaurin .
Una serie di potenze all'interno del suo intervallo di convergenza può essere differenziata termine per termine e integrata tutte le volte che si desidera e le serie risultanti hanno lo stesso intervallo di convergenza della serie originale.
Due serie di potenze possono essere sommate e moltiplicate termine per termine secondo le regole dell'addizione e della moltiplicazione dei polinomi. In questo caso, l'intervallo di convergenza della nuova serie risultante coincide con la parte comune degli intervalli di convergenza della serie originaria.
Per espandere una funzione in una serie di Maclaurin, è necessario:
Calcola i valori della funzione e le sue derivate successive nel punto , cioè,,,…,;
Componi una serie di Maclaurin sostituendo i valori di una funzione e le sue derivate successive nella formula della serie di Maclaurin;
Trova l'intervallo di convergenza della serie risultante dalla formula
, .
Esempio 1. Espandere una funzione in una serie di Maclaurin.
Soluzione. Perché 
, quindi, sostituendo nell'espansione, otteniamo:
Esempio 2. Scrivi la serie di Maclaurin della funzione 
.
Soluzione. Poiché , quindi utilizzando la formula in cui sostituiamo con , otteniamo:
,
Esempio 3. Espandere la funzione in una serie di Maclaurin.
Soluzione. Usiamo la formula. Perché
, quindi sostituendo con otteniamo:
, o
dove, cioè .
V. Compiti pratici per l'autocontrollo degli studenti.
Stabilire la convergenza utilizzando il test di confronto delle serie
;
;
VII. Riferimento storico.
La soluzione di molti problemi si riduce al calcolo dei valori di funzioni e integrali o alla soluzione di equazioni differenziali contenenti derivate o differenziali di funzioni incognite.
Tuttavia, l'esatta esecuzione di queste operazioni matematiche in molti casi risulta essere molto difficile o impossibile. In questi casi, è possibile ottenere una soluzione approssimativa di molti problemi con la precisione desiderata utilizzando le serie.
Le serie sono uno strumento semplice e perfetto di analisi matematica per il calcolo approssimativo di funzioni, integrali e soluzioni di equazioni differenziali.
E in piedi sul lato destro del funzionale.
Per mettere un segno di uguale al posto del segno “”, è necessario svolgere qualche ragionamento aggiuntivo relativo proprio all'infinito del numero di termini sul lato destro dell'uguaglianza e riguardante la regione di convergenza della serie.
Quando la formula di Taylor assume la forma in cui è chiamata formula di Maclaurin:
Colin Maclaurin (1698 - 1746), uno studente di Newton, nel suo Trattato sulle flussioni (1742) stabilì che esiste una sola serie di potenze che esprime una funzione analitica, e questa sarà la serie di Taylor generata da tale funzione. Nella formula binomiale di Newton, i coefficienti alle potenze sono i valori, dove 
.
Quindi, le file sorsero nel 18 ° secolo. come un modo per rappresentare funzioni che consentono la differenziazione infinita. Tuttavia, la funzione rappresentata dalla serie non era chiamata somma, e in generale a quel tempo non era ancora stato determinato quale fosse la somma di una serie numerica o funzionale, ci furono solo tentativi di introdurre questo concetto.
Ad esempio, L. Euler (1707-1783), dopo aver scritto una serie di potenze corrispondente a una funzione, diede alla variabile un valore specifico. Ho una linea numerica. Eulero considerava il valore della funzione originale nel punto come la somma di questa serie. Ma questo non è sempre vero.
Il fatto che la serie divergente non abbia somma, gli scienziati hanno iniziato a indovinare solo nel 19° secolo, sebbene nel 18° secolo. molti, e soprattutto L. Euler, hanno lavorato molto sui concetti di convergenza e divergenza. Eulero chiama una serie convergente se il suo termine comune tende a zero come .
Nella teoria delle serie divergenti, Eulero ottenne molti risultati significativi, ma questi risultati non trovarono applicazione per molto tempo. Già nel 1826 NG Abele (1802 - 1829) definì le file divergenti "fabbricazione diabolica". I risultati di Eulero trovarono giustificazione solo alla fine del XIX secolo.
Nella formazione del concetto di somma di una serie convergente, lo scienziato francese O.L. Cauchy (1789 - 1857); fece moltissimo non solo nella teoria delle serie, ma anche nella teoria dei limiti, nello sviluppo del concetto stesso di limite. Nel 1826 Cauchy ha affermato che una serie divergente non ha somma.
Nel 1768 Il matematico e filosofo francese J.L. D'Alembert ha studiato il rapporto tra il termine successivo e il precedente nella serie binomiale e ha mostrato che se questo rapporto è inferiore a uno in valore assoluto, allora la serie converge. Cauchy nel 1821 dimostrato un teorema affermando in vista generale un test per la convergenza di serie positive, ora chiamato test d'Alembert.
Per studiare la convergenza di serie alternate viene utilizzato il test di Leibniz.
GV Leibniz (1646 - 1716), il grande matematico e filosofo tedesco, insieme a I. Newton, è il fondatore del calcolo differenziale e integrale.
Bibliografia:
Principale:
- Bogomolov N.V., Lezioni pratiche di matematica. M., " scuola di Specializzazione”, 1990 – 495 pag.;
- Tarasov N.P., Corso di matematica superiore per le scuole tecniche. M., "Nauka", 1971 - 448 pag.;
- Zaitsev I.L., Un corso di matematica superiore per le scuole tecniche. M., Casa editrice statale delle scuole tecniche - Letterature teoriche, 1957 - 339 p.;
- Pismenny D.T., Un corso di lezioni sulla matematica superiore. M., “Iris Press”, 2005, parte 2 – 256 pag.;
- Vygodsky M.Ya., Manuale di matematica superiore. M., "Nauka", 1975 - 872 pag.;
Aggiuntivo:
- Gusak AA, matematica superiore. In 2 voll., Vol. 2: Libro di testo per studenti universitari. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 pag.;
- Griguletsky V.G., Lukyanova IV, Petunina I.A., Matematica per studenti di specialità economiche. Parte 2. Krasnodar, 2002 - 348 pag.;
- Griguletsky V.G. ecc. Libro delle attività in matematica. Krasnodar. KSAU, 2003 - 170 pag.;
- Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Compiti ed esercizi per studenti di facoltà di contabilità e finanza. Krasnodar. 2001 - 173 pag.;
- Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Matematica superiore. Krasnodar, 1998 - 186 pag.;
- Malykhin VI, Matematica in Economia. M., "Infra-M", 1999 - 356s.
File per teiere. Esempi di soluzioni
Tutti i sopravvissuti sono benvenuti al secondo anno! In questa lezione, o meglio, in una serie di lezioni, impareremo a gestire le righe. L'argomento non è molto difficile, ma per padroneggiarlo avrai bisogno delle conoscenze del primo corso, in particolare devi capire qual è il limite, ed essere in grado di trovare i limiti più semplici. Comunque va bene così, nel corso delle spiegazioni fornirò gli opportuni link alle lezioni necessarie. Per alcuni lettori, l'argomento delle serie matematiche, dei metodi di risoluzione, dei segni, dei teoremi può sembrare peculiare e persino pretenzioso, assurdo. In questo caso, non è necessario "caricare" molto, accettiamo i fatti così come sono e impariamo solo a risolvere compiti tipici e comuni.
1) File per teiere, e per i samovar immediatamente accontentati :)
Per una preparazione ultrarapida su un argomento esiste un corso express in formato pdf, con l'aiuto del quale è davvero possibile "alzare" la pratica in un solo giorno.
Il concetto di serie numerica
In generale serie numerica si può scrivere così:
Qui:
- icona matematica della somma;
– termine comune della serie(ricordate questo semplice termine);
- variabile - "contatore". Il record significa che la somma viene eseguita da 1 a "più infinito", cioè prima abbiamo, poi, poi e così via - all'infinito. A volte viene utilizzata una variabile o al posto di una variabile. La somma non inizia necessariamente da uno, in alcuni casi può iniziare da zero, da due o da qualsiasi numero naturale.
In accordo con la variabile "contatore", qualsiasi serie può essere dipinta in dettaglio: 
– e così via all'infinito.
Termini 
- questo è NUMERI, che sono chiamati membri riga. Se sono tutti non negativi (maggiore o uguale a zero), quindi viene chiamata tale serie linea numerica positiva.
Esempio 1
A proposito, questo è già un compito di "combattimento": in pratica, abbastanza spesso è necessario registrare diversi membri della serie.
Prima poi:
Allora, allora:
Allora, allora:
Il processo può essere continuato indefinitamente, ma a seconda della condizione era necessario scrivere i primi tre termini della serie, quindi scriviamo la risposta: 
Notare la differenza fondamentale da sequenza numerica,
in cui i termini non sono sommati, ma sono trattati come tali.
Esempio 2
Scrivi i primi tre termini della serie
Questo è un esempio di self-solving, la risposta è alla fine della lezione.
Anche per una serie apparentemente complessa, non è difficile descriverla in forma estesa:
Esempio 3
Scrivi i primi tre termini della serie
Infatti, il compito viene svolto oralmente: sostituire mentalmente nel termine comune della serie prima, poi e. Infine: 
Lascia la risposta in questo modo è meglio non semplificare i termini ottenuti della serie, questo è non conformarsi Azioni: , , . Come mai? Rispondi nel modulo 
molto più facile e conveniente da controllare per l'insegnante.
A volte c'è un rovescio
Esempio 4
Non esiste un chiaro algoritmo di soluzione qui. devi solo vedere lo schema.
In questo caso:
A scopo di verifica, la serie risultante può essere "dipinta" in forma espansa.
Ma l'esempio è un po' più difficile per una soluzione indipendente:
Esempio 5
Scrivi la somma in forma compressa con un termine comune della serie 
Ricontrolla scrivendo la serie in forma espansa
Convergenza delle serie numeriche
Uno degli obiettivi chiave del tema è esame di una serie per convergenza. In questo caso sono possibili due casi:
1) Rigadiverge. Ciò significa che una somma infinita è uguale a infinito: entrambe le somme in generale non esiste, come, ad esempio, nella serie 
(a proposito, ecco un esempio di serie con termini negativi). Un buon esempio di serie numerica divergente si è imbattuto all'inizio della lezione: 
. Qui è abbastanza ovvio che ogni termine successivo della serie è maggiore del precedente, quindi 
e quindi la serie diverge. Un esempio ancora più banale: 
.
2) Rigaconverge. Ciò significa che una somma infinita è uguale ad alcuni numero finale: . Per favore: 
Questa serie converge e la sua somma è zero. Un esempio più significativo è infinitamente decrescente progressione geometrica, a noi nota fin dalla scuola: 
. La somma dei membri di una progressione geometrica infinitamente decrescente si calcola con la formula: , dove è il primo membro della progressione, ed è la sua base, che, di regola, si scrive come corretta frazioni. In questo caso: , . In questo modo: 
Si ottiene un numero finito, il che significa che la serie converge, cosa che doveva essere dimostrata.
Tuttavia, nella stragrande maggioranza dei casi trova la somma delle serie non è così semplice, e quindi, in pratica, per studiare la convergenza di una serie, vengono utilizzati segni speciali, che sono stati dimostrati teoricamente.
Ci sono diversi segni di convergenza di una serie: criterio necessario per la convergenza di una serie, criteri di confronto, criterio di d'Alembert, criteri di Cauchy, segno di Leibniz e qualche altro segno. Quando applicare quale segno? Dipende dal termine comune della serie, in senso figurato, dal "ripieno" della serie. E molto presto metteremo tutto sugli scaffali.
! Per ulteriore apprendimento, è necessario capisci bene, qual è il limite ed è bene poter svelare l'incertezza della forma. Per la ripetizione o lo studio del materiale, fare riferimento all'articolo Limiti. Esempi di soluzioni.
Un criterio necessario per la convergenza di una serie
Se la serie converge, allora il suo termine comune tende a zero: .
Il contrario non è vero nel caso generale, cioè, se , allora la serie può convergere o divergere. E quindi questo segno è usato per giustificare divergenza riga:
Se il termine comune della serie non va a zero, quindi la serie diverge
O in breve: se , allora la serie diverge. In particolare, è possibile una situazione in cui il limite non esiste affatto, come, ad esempio, limite. Qui hanno subito sostanziato la divergenza di una serie :)
Ma molto più spesso il limite della serie divergente è uguale all'infinito, mentre invece di "x" funge da variabile "dinamica". Rinfreschiamo le nostre conoscenze: i limiti con "x" sono chiamati limiti di funzioni e i limiti con una variabile "en" - limiti di sequenze numeriche. L'ovvia differenza è che la variabile "en" assume valori naturali discreti (discontinui): 1, 2, 3, ecc. Ma questo fatto ha scarso effetto sui metodi per risolvere i limiti e sui metodi per svelare le incertezze.
Dimostriamo che la serie del primo esempio diverge.
Membro comune della serie:
Conclusione: riga diverge
La caratteristica necessaria viene spesso utilizzata in vere e proprie attività pratiche:
Esempio 6
Abbiamo i polinomi al numeratore e al denominatore. Colui che ha letto attentamente e compreso il metodo di divulgazione dell'incertezza nell'articolo Limiti. Esempi di soluzioni, sicuramente l'ho catturato quando le potenze massime del numeratore e del denominatore pari, allora il limite è numero finale .
Dividi numeratore e denominatore per 
Serie di studio diverge, poiché il criterio necessario per la convergenza delle serie non è soddisfatto.
Esempio 7
Esaminare la serie per la convergenza
Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione
Quindi, quando ci viene data QUALSIASI serie di numeri, Prima di tutto controlliamo (mentalmente o su una bozza): il suo termine comune tende a zero? Se non si sforza, elaboriamo una soluzione seguendo l'esempio degli esempi n. 6, 7 e diamo la risposta che la serie diverge.
Quali tipi di serie apparentemente divergenti abbiamo considerato? È immediatamente chiaro che le righe piacciono o divergono. Anche le serie degli esempi n. 6, 7 divergono: quando numeratore e denominatore contengono polinomi e il grado più alto del numeratore è maggiore o uguale al grado più alto del denominatore. In tutti questi casi, quando risolviamo e progettiamo esempi, utilizziamo il criterio necessario per la convergenza delle serie.
Perché si chiama il segno necessario? Comprendere nel modo più naturale: affinché le serie convergano, necessario in modo che il suo termine comune tenda a zero. E tutto andrebbe bene, ma questo non abbastanza. In altre parole, se il termine comune della serie tende a zero, QUESTO NON SIGNIFICA che la serie converge- può sia convergere che divergere!
Incontrare:
Questa riga è chiamata serie armonica. Per favore ricorda! Tra le serie numeriche, è una prima ballerina. Più precisamente una ballerina =)
È facile vederlo 
, MA. Nella teoria dell'analisi matematica, è dimostrato che la serie armonica diverge.
Dovresti anche ricordare il concetto di serie armonica generalizzata:
1) Questa riga diverge a . Ad esempio, le serie divergono, , .
2) Questa riga converge a . Ad esempio, la serie , , . Sottolineo ancora una volta che in quasi tutti i compiti pratici non ci importa affatto quale sia la somma, ad esempio, della serie, il fatto stesso della sua convergenza è importante.
Questi sono fatti elementari della teoria delle serie che sono già stati dimostrati, e quando si risolvono alcuni esempi pratici si può tranquillamente fare riferimento, ad esempio, alla divergenza delle serie o alla convergenza delle serie.
In generale, il materiale in esame è molto simile a studio degli integrali impropri, e coloro che hanno studiato questo argomento lo troveranno più facile. Ebbene, per chi non ha studiato, è doppiamente più facile :)
Quindi, cosa fare se il termine comune della serie VA a zero? In questi casi, per risolvere esempi, è necessario utilizzarne altri, sufficiente segni di convergenza/divergenza:
Criteri di confronto per serie numeriche positive
Attiro la tua attenzione che qui si parla solo di serie numeriche positive (con membri non negativi).
Ci sono due segni di confronto, uno dei quali lo chiamerò semplicemente segno di confronto, altro - segno limite di confronto.
Prima considera segno di confronto, o meglio, la prima parte di esso:
Consideriamo due serie numeriche positive e . Se noto, che la riga è converge, e, partendo da un certo numero , vale la disuguaglianza, quindi la serie converge anche.
In altre parole: La convergenza di una serie con termini maggiori implica la convergenza di una serie con termini minori. In pratica, la disuguaglianza è spesso soddisfatta in generale per tutti i valori di:
Esempio 8
Esaminare la serie per la convergenza
Per prima cosa, controlliamo(mentalmente o su una bozza) esecuzione: 
, il che significa che non era possibile “scendere con poco sangue”.
Esaminiamo il "pacchetto" della serie armonica generalizzata e, concentrandoci sul grado più alto, troviamo una serie simile: è noto dalla teoria che converge.
Per tutti i numeri naturali vale l'ovvia disuguaglianza:
e denominatori maggiori corrispondono a frazioni minori: 
, il che significa che, secondo il criterio del confronto, la serie oggetto di studio converge insieme a accanto a .
Se hai dei dubbi, allora la disuguaglianza può sempre essere dipinta in dettaglio! Scriviamo la disuguaglianza costruita per più numeri "en":
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
….
e ora è abbastanza chiaro che la disuguaglianza 
vale per tutti i numeri naturali "en".
Analizziamo il criterio di confronto e l'esempio risolto da un punto di vista informale. Tuttavia, perché la serie converge? Ecco perché. Se la serie converge, allora ne ha alcune finale Quantità : 
. E poiché tutti i membri della serie meno membri corrispondenti della serie, allora il moncone è chiaro che la somma della serie non può essere più numero, e ancor di più, non può essere uguale all'infinito!
Allo stesso modo, possiamo dimostrare la convergenza di serie "simili": 
, , 
eccetera.
! Nota che in tutti i casi abbiamo dei “plus” ai denominatori. La presenza di almeno un segno negativo può complicare seriamente l'uso del considerato caratteristica di confronto. Ad esempio, se la serie viene confrontata allo stesso modo con una serie convergente (annotare diverse disuguaglianze per i primi termini), la condizione non sarà affatto soddisfatta! Qui puoi schivare e scegliere per il confronto un'altra serie convergente, ad esempio , ma ciò comporterà inutili riserve e altre difficoltà inutili. Pertanto, per dimostrare la convergenza di una serie, è molto più facile da usare criterio di confronto marginale(vedi paragrafo successivo).
Esempio 9
Esaminare la serie per la convergenza
E in questo esempio, ti suggerisco di considerare tu stesso la seconda parte della funzione di confronto:
Se noto, che la riga è diverge, e partendo da un certo numero (spesso fin dall'inizio) vale la disuguaglianza, quindi la serie diverge anche.
In altre parole: La divergenza delle serie con termini più piccoli implica la divergenza delle serie con termini più grandi.
Cosa dovrebbe essere fatto?
È necessario confrontare la serie in studio con una serie armonica divergente. Per una migliore comprensione, costruisci alcune disuguaglianze specifiche e assicurati che la disuguaglianza sia vera.
Progettazione della soluzione e del campione alla fine della lezione.
Come già notato, in pratica la caratteristica di confronto appena considerata viene utilizzata raramente. Il vero "cavallo di battaglia" della serie numerica è criterio di confronto marginale, e solo in termini di frequenza di utilizzo segno di d'Alembert.
Segno limite di confronto di serie numeriche positive
Consideriamo due serie numeriche positive e . Se il limite del rapporto tra i membri comuni di queste serie è uguale a numero finito diverso da zero: , quindi entrambe le serie convergono o divergono contemporaneamente.
Quando viene utilizzato il criterio di confronto dei limiti? Il segno limite di confronto viene utilizzato quando il "riempimento" della serie è costituito da polinomi. O un polinomio al denominatore, o polinomi sia al numeratore che al denominatore. Facoltativamente, i polinomi possono essere sotto le radici.
Trattiamo la serie per la quale il precedente segno di confronto si è bloccato.
Esempio 10
Esaminare la serie per la convergenza
Confronta questa serie con la serie convergente. Usiamo il test limite di confronto. È noto che la serie converge. Se possiamo dimostrare che lo è finale diverso da zero numero, si dimostrerà che anche la serie converge.
Si ottiene un numero finito diverso da zero, il che significa che la serie in esame converge insieme a accanto a .
Perché la serie è stata scelta per il confronto? Se avessimo scelto un'altra serie dal "clip" della serie armonica generalizzata, non saremmo riusciti al limite finale diverso da zero numeri (puoi sperimentare).
Nota: quando utilizziamo la funzione di confronto marginale, irrilevante, in quale ordine comporre la relazione dei membri comuni, nell'esempio considerato, la relazione potrebbe essere tracciata al contrario: - ciò non cambierebbe l'essenza della questione.
Linee numeriche. Convergenza e divergenza di serie numeriche. Criterio di convergenza d'Alembert. Righe variabili. Convergenza assoluta e condizionale di serie. righe funzionali. Serie di potenze. Espansione delle funzioni elementari nella serie di Maclaurin.
Linee guida sul tema 1.4:
Numero righe:
Una serie numerica è una somma della forma
dove sono i numeri u 1 , u 2 , u 3 , n n , chiamati membri della serie, formano una sequenza infinita; il termine un è chiamato termine comune della serie.
. . . . . . . . .
composte dai primi termini della serie (27.1) sono dette somme parziali di questa serie.
Ad ogni riga può essere associata una sequenza di somme parziali S1, S2, S3. Se, al crescere del numero n all'infinito, la somma parziale della serie S n tende al limite S, allora la serie è detta convergente e il numero S- la somma di una serie convergente, cioè
Questa voce è equivalente alla voce
Se un importo parziale S n serie (27.1) con incremento illimitato n non ha limite finito (in particolare tende a + ¥ o a - ¥), allora tale serie si dice divergente
Se la serie converge, allora il valore S n poiché n sufficientemente grande è un'espressione approssimativa per la somma delle serie S.
Differenza r n = S - S nè chiamato il resto della serie. Se la serie converge, allora il suo resto tende a zero, cioè r n = 0, e viceversa, se il resto tende a zero, allora la serie converge.
Si chiama la serie di una specie linea geometrica.
chiamato armonico.
Se N®¥, allora S n®¥, cioè la serie armonica diverge.
Esempio 1. Scrivi una serie in base al termine comune dato:
1) assumendo n = 1, n = 2, n = 3, abbiamo una sequenza infinita di numeri: , , , Sommando i suoi termini, otteniamo la serie
2) Facendo lo stesso, otteniamo la serie
3) Dando n i valori 1, 2, 3, e tenendo conto che 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, otteniamo la serie
Esempio 2. Trova n-esimo termine della serie per i primi numeri dati:
1) ; 2) ; 3) .
Esempio 3. Trova la somma dei termini della serie:
1) Trova le somme parziali dei termini della serie:
Scriviamo la sequenza delle somme parziali: …, , … .
Il termine comune di questa sequenza è . Di conseguenza,
La sequenza delle somme parziali ha un limite pari a . Quindi la serie converge e la sua somma è .
2) Questo è un infinitamente decrescente progressione geometrica, dove a 1 = , q= . Usando la formula, otteniamo Quindi, la serie converge e la sua somma è uguale a 1.
Convergenza e divergenza di serie numeriche. Segno di convergenza d'Alembert :
Un criterio necessario per la convergenza di una serie. Una serie può convergere solo se il suo termine comune è tu n con aumento di numero illimitato n va a zero:
Se , allora la serie diverge - questo è un segno sufficiente della solubilità della serie.
Condizioni sufficienti per la convergenza di una serie a termini positivi.
Segno di confronto di serie con membri positivi. La serie in esame converge se i suoi membri non superano i membri corrispondenti di un'altra serie ovviamente convergente; la serie in esame diverge se i suoi termini superano i termini corrispondenti di un'altra serie ovviamente divergente.
Nello studio delle serie per convergenza e solubilità su questa base, viene spesso utilizzata la serie geometrica
che converge per |q|
essere divergenti.
Nello studio delle serie si usa anche la serie armonica generalizzata
Se una p= 1, allora questa serie si trasforma in una serie armonica, che è divergente.
Se una p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 abbiamo una serie geometrica in cui | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 e diverge a p£ 1.
Segno di d'Alembert. Se per una serie con termini positivi
(tu n>0)
condizione è soddisfatta, allora la serie converge a l l > 1.
Il segno di d'Alembert non dà risposta se l= 1. In questo caso, vengono utilizzati altri metodi per studiare le serie.
Righe variabili.
Convergenza assoluta e condizionale di serie:
Serie numerica
u 1 + u 2 + u 3 + u n
si dice alternato se tra i suoi membri sono presenti sia numeri positivi che negativi.
Una serie numerica è chiamata alternata di segno se due membri adiacenti hanno segni opposti. Questa serie è un caso speciale di una serie alternata.
Criterio di convergenza per serie alternate. Se i termini della serie alternata diminuiscono monotonicamente in valore assoluto e il termine comune tu n tende a zero come n® , allora la serie converge.
| Una serie si dice assolutamente convergente se converge anche la serie. Se una serie converge assolutamente, allora converge (nel senso comune). Non è vero il contrario. Una serie si dice condizionatamente convergente se essa stessa converge e la serie composta dai moduli dei suoi membri diverge. Esempio 4. Esaminare la serie per la convergenza. |
| Applichiamo il test di Leibniz sufficiente per le serie alternate. Otteniamo perché. Pertanto, questa serie converge. Esempio 5. Esaminare la serie per la convergenza. |
| Proviamo ad applicare il segno di Leibniz: Si può notare che il modulo del termine comune non tende a zero quando n→∞. Pertanto, questa serie diverge. Esempio 6. Determina se la serie è assolutamente convergente, condizionatamente convergente o divergente. |
| Applicando il test d'Alembert ad una serie composta dai moduli dei termini corrispondenti, troviamo quindi che questa serie converge assolutamente. |
Esempio 7. Esaminare la convergenza (assoluta o condizionale) di una serie alternata:
1) I termini di questa serie decrescono monotonamente in valore assoluto e . Pertanto, secondo il test di Leibniz, la serie converge. Scopriamo se questa serie converge in modo assoluto o condizionale.
2) I termini di questa serie decrescono monotonamente in valore assoluto: , ma
Serie funzionale:
La solita serie numerica è composta da numeri:
Tutti i membri della serie lo sono numeri.
La linea funzionale è composta da caratteristiche:
Nel termine generale della serie, oltre ai polinomi, ai fattoriali, ecc. di certo include la lettera "x". Si presenta così, ad esempio: Come una serie numerica, qualsiasi serie funzionale può essere scritta in forma espansa:
Come puoi vedere, tutti i membri della serie funzionale lo sono funzioni.
Il tipo più popolare di serie funzionale è serie di potenze.
Serie di potenze:
potenza successiva chiamato una serie della forma
dove sono i numeri uno 0, un 1, un 2, un n sono detti coefficienti della serie e termine un n x nè un membro comune della serie.
La regione di convergenza di una serie di potenze è l'insieme di tutti i valori X per cui la serie converge.
Numero Rè detto raggio di convergenza della serie se, per | x|
Esempio 8. Data una riga
Studia la sua convergenza nei punti X= 1 e X= 3, X= -2.
Quando x = 1, questa serie si trasforma in una serie di numeri
Indaghiamo la convergenza di questa serie mediante il test di d'Alembert. abbiamo
Quelli. la serie converge.
Per x = 3 otteniamo la serie
Che diverge, poiché il criterio necessario per la convergenza delle serie non è soddisfatto
Per x = -2 otteniamo
Questa è una serie alternata, che, secondo il test di Leibniz, converge.
Quindi ai punti X= 1 e X= -2. la serie converge, e nel punto X= 3 diverge.
Espansione delle funzioni elementari nella serie di Maclaurin:
Vicino a Taylor per funzione f(x)è chiamata serie di potenze della forma
Se una, un = 0, allora otteniamo un caso speciale della serie di Taylor
che è chiamato accanto a Maclaurin.
Una serie di potenze all'interno del suo intervallo di convergenza può essere differenziata termine per termine e integrata tutte le volte che si desidera e le serie risultanti hanno lo stesso intervallo di convergenza della serie originale.
Due serie di potenze possono essere sommate e moltiplicate termine per termine secondo le regole dell'addizione e della moltiplicazione dei polinomi. In questo caso, l'intervallo di convergenza della nuova serie risultante coincide con la parte comune degli intervalli di convergenza della serie originaria.
Per espandere una funzione in una serie di Maclaurin, è necessario:
1) calcolare i valori della funzione e le sue derivate successive nel punto x= 0, cioè , , .
8. Espandere la serie di funzioni di Maclaurin.
Prima di iniziare a lavorare con questo argomento, ti consiglio di guardare la sezione con la terminologia per le serie di numeri. Vale soprattutto la pena prestare attenzione al concetto di termine comune di una serie. Se hai dubbi sulla corretta scelta del segno di convergenza, ti consiglio di guardare l'argomento "Scelta del segno di convergenza delle serie numeriche".
Criterio necessario per la convergenza serie numerica ha una formulazione semplice: il termine comune delle serie convergenti tende a zero. Puoi scrivere questa funzione in modo più formale:
Se la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ converge, allora $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.
Spesso in letteratura, al posto della frase "un criterio necessario per la convergenza", si scrivono "una condizione necessaria per la convergenza". Ma veniamo al dunque: cosa significa questo segno? E significa quanto segue: se $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, allora la serie può essere convergere. Se $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (o semplicemente il limite non esiste), allora la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ diverge.
Vale la pena notare che l'uguaglianza $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ non significa affatto che la serie converge. Una serie può convergere o divergere. Ma se $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, allora è garantito che la serie diverge. Se queste sfumature richiedono spiegazioni dettagliate, aprire la nota.
Cosa significa la frase "condizione necessaria"? mostra nascondi
Chiariamo la nozione di condizione necessaria con un esempio. Comprare una penna per uno studente necessario avere 10 rubli. Questo può essere scritto come segue: se uno studente acquista una penna, ha 10 rubli. La presenza di dieci rubli è la condizione necessaria per l'acquisto di una penna.
Sia soddisfatta questa condizione, cioè Lo studente ne ha dieci. Questo significa che comprerà una penna? Affatto. Può comprare una penna, o può risparmiare i soldi per dopo. O comprare qualcos'altro. Oppure regalali a qualcuno - ci sono molte opzioni :) In altre parole, soddisfare le condizioni necessarie per l'acquisto di una penna (cioè avere denaro) non garantisce l'acquisto di questa penna.
Allo stesso modo, la condizione necessaria per la convergenza della serie numerica $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ non garantisce affatto la convergenza di questa serie stessa. Una semplice analogia: se ci sono soldi, uno studente può o non può comprare una penna. Se $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, la serie può convergere o divergere.
Tuttavia, cosa succede se non viene soddisfatta la condizione necessaria per l'acquisto di una penna, ad es. senza soldi? Quindi lo studente sicuramente non comprerà una penna. Lo stesso vale per le serie: se la condizione di convergenza necessaria non è soddisfatta, cioè $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, allora la serie divergerà definitivamente.
In breve, se la condizione necessaria è soddisfatta, la conseguenza può verificarsi o meno. Tuttavia, se la condizione necessaria non è soddisfatta, la conseguenza non si verificherà sicuramente.
Per chiarezza, fornirò un esempio di due serie: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ e $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Il termine comune della prima serie $u_n=\frac(1)(n)$ e il termine comune della seconda serie $v_n=\frac(1)(n^2)$ tendono a zero, cioè
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$
Tuttavia, la serie armonica $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ diverge, mentre la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ converge. Il soddisfacimento della necessaria condizione di convergenza non garantisce affatto la convergenza delle serie.
Sulla base della condizione necessaria per la convergenza delle serie, possiamo formulare segno sufficiente di divergenza linea numerica:
Se $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ diverge.
Molto spesso, negli esempi standard, il criterio di convergenza necessario viene verificato se il termine comune della serie è rappresentato da una frazione, il cui numeratore e denominatore sono alcuni polinomi. Ad esempio, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (vedi esempio #1). Oppure potrebbero esserci radici da polinomi (vedi esempio n. 2). Ci sono esempi che sono in qualche modo fuori da questo schema, ma questo è raro per i test standard (vedi esempi nella seconda parte di questo argomento). Sottolineo la cosa principale: con l'aiuto del criterio necessario, è impossibile dimostrare la convergenza delle serie. Questo criterio viene utilizzato quando è necessario dimostrare che la serie diverge.
Esempio 1
Indagare la convergenza della serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.
Poiché il limite inferiore della somma è 1, il termine comune della serie è scritto sotto il segno della somma: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Trova il limite del termine comune della serie:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$
"Il limite del rapporto di due polinomi". Poiché il limite del termine comune della serie non è uguale a zero, cioè $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, allora il criterio necessario per la convergenza non è soddisfatto. Pertanto, la serie diverge.
La soluzione è finita, tuttavia, credo, il lettore avrà una domanda abbastanza ragionevole: come abbiamo anche visto che è necessario verificare il soddisfacimento della condizione di convergenza necessaria? Ci sono molti segni di convergenza delle serie numeriche, quindi perché hanno preso questo? Questa domanda non è affatto inattiva. Ma poiché la risposta potrebbe non interessare tutti i lettori, l'ho nascosta sotto una nota.
Perché abbiamo iniziato a utilizzare il necessario criterio di convergenza? mostra nascondi
In parole povere, la questione della convergenza di questa serie viene decisa ancor prima di uno studio formale. Non toccherò un argomento come l'ordine di crescita, fornirò semplicemente un ragionamento generale. Diamo un'occhiata più da vicino al termine comune di $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Diamo prima un'occhiata al numeratore. Il numero (-1) che si trova nel numeratore può essere scartato immediatamente: se $n\to\infty$, allora questo numero sarà trascurabile rispetto al resto dei termini.
Diamo un'occhiata alle potenze $n^2$ e $n$ nel numeratore. Domanda: quale elemento ($n^2$ o $n$) crescerà più velocemente di altri?
La risposta qui è semplice: è $n^2$ che aumenterà i suoi valori più velocemente. Ad esempio, quando $n=100$, allora $n^2=10\;000$. E questo divario tra $n$ e $n^2$ aumenterà sempre di più. Pertanto, elimineremo mentalmente tutti i termini, ad eccezione di quelli che contengono $n^2$. Dopo tale "caduta" il numeratore avrà $3n^2$. E dopo aver eseguito una procedura simile per il denominatore, $5n^2$ rimarranno lì. E la frazione $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ diventerà: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Quelli. all'infinito, il termine comune ovviamente non tenderà a zero. Resta solo da mostrarlo formalmente, cosa che è stata fatta sopra.
Spesso, nel record di un membro comune di una serie, vengono utilizzati elementi come, ad esempio, $\sin\alpha$ o $\arctg\alpha$ e simili. Devi solo ricordare che i valori di tali quantità non possono andare oltre determinati limiti numerici. Ad esempio, qualunque sia il valore di $\alpha$, il valore di $\sin\alpha$ rimarrà entro $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Cioè, per esempio, possiamo scrivere che $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Ora immagina che la notazione per il termine comune della serie contenga un'espressione come $5n+\sin(n!e^n)$. Il seno, che può "oscillare" solo da -1 a 1, giocherà un ruolo significativo? Dopotutto, i valori di $n$ corrono all'infinito e il seno non può nemmeno superare uno! Pertanto, in una considerazione preliminare dell'espressione $5n+\sin(n!e^n)$, il seno può essere semplicemente scartato.
Oppure, ad esempio, prendi l'arcotangente. Qualunque sia il valore dell'argomento $\alpha$, i valori di $\arctg\alpha$ soddisferanno la disuguaglianza $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.
Per determinare quali elementi possono essere "scartati" e quali no, è necessaria un po' di abilità. Molto spesso, la questione della convergenza di una serie può essere risolta anche prima di uno studio formale. E uno studio formale in esempi standard serve solo come conferma del risultato ottenuto intuitivamente.
Risposta: la serie diverge.
Esempio #2
Esaminare la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ per la convergenza.
Poiché il limite inferiore della sommatoria è uguale a 1, il termine comune della serie è scritto sotto il segno della somma: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12)$. Trova il limite del termine comune della serie:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ sinistra|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3 )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$
Se il metodo per risolvere questo limite solleva domande, ti consiglio di fare riferimento all'argomento "Limiti con irrazionalità. La terza parte" (esempio n. 7). Poiché il limite del termine comune della serie non è uguale a zero, cioè $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, allora il criterio necessario per la convergenza non è soddisfatto. Pertanto, la serie diverge.
Parliamo un po' dalla posizione del ragionamento intuitivo. In linea di principio, qui è tutto vero quanto detto nella nota alla soluzione dell'esempio n. 1. Se "scartiamo" mentalmente tutti i termini "irrilevanti" nel numeratore e nel denominatore del termine comune della serie, allora la frazione $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ assumerà la forma: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Quelli. ancor prima di uno studio formale, diventa chiaro che per $n\to\infty$ il termine comune della serie non tenderà a zero. All'infinito - diventerà, a zero - no. Pertanto, resta solo da mostrare rigorosamente questo, che è stato fatto sopra.
Risposta: la serie diverge.
Esempio #3
Esaminare la convergenza della serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.
Poiché il limite inferiore della sommatoria è uguale a 1, il termine comune della serie è scritto sotto il segno della somma: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Trova il limite del termine comune della serie:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\sinistra|\frac(0)(0)\destra|=\sinistra| \begin(allineato)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(allineato)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$
Poiché il limite del termine comune della serie non è uguale a zero, cioè $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, allora il criterio necessario per la convergenza non è soddisfatto. Pertanto, la serie diverge.
Qualche parola sulle trasformazioni che sono state effettuate nel calcolo del limite. L'espressione $5^n$ è stata inserita nel numeratore in modo che le espressioni sia al numeratore che al denominatore diventino infinitesime. Quelli. per $n\to\infty$ abbiamo: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ e $\frac(1)(5^n)\to 0$. E se abbiamo un rapporto infinitesimo, allora possiamo tranquillamente applicare le formule indicate nel documento "Funzioni infinitesime equivalenti" (vedi la tabella alla fine del documento). Secondo una di queste formule, se $x\to 0$, allora $\sin x\sim x$. E abbiamo proprio un caso del genere: da $\frac(8)(3^n)\to 0$, allora $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. In altre parole, sostituiamo semplicemente l'espressione $\sin\frac(8)(3^n)$ con l'espressione $\frac(8)(3^n)$.
Penso che possa sorgere la domanda sul perché abbiamo trasformato l'espressione $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ nella forma di una frazione, perché la sostituzione avrebbe potuto essere eseguita senza tale trasformazione. La risposta qui è questa: una sostituzione può essere fatta, ma sarà legale? Il teorema sulle funzioni infinitesime equivalenti fornisce un'indicazione inequivocabile che tali sostituzioni sono possibili solo in espressioni della forma $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (while $\alpha(x)$ e $ \beta (x)$ - infinitesimale) situato sotto il segno limite. Quindi abbiamo trasformato la nostra espressione nella forma di una frazione, adattandola alle esigenze del teorema.
Risposta: la serie diverge.
Esempio #4
Indagare la convergenza della serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.
Poiché il limite inferiore della somma è uguale a 1, il termine comune della serie è scritto sotto il segno della somma: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. In effetti, la questione della convergenza di questa serie è facilmente risolvibile utilizzando il segno D "Alembert. Tuttavia, può essere applicato anche il segno di convergenza necessario.
Diamo un'occhiata più da vicino al termine comune della serie. Il numeratore contiene l'espressione $3^n$, che aumenta molto più velocemente all'aumentare di $n$ rispetto a quella al denominatore $n^2$. Confronta tu stesso: ad esempio, se $n=10$, allora $3^n=59049$ e $n^2=100$. E questo divario sta crescendo rapidamente con la crescita di $n$.
È abbastanza logico presumere che se $n\to\infty$, allora $u_n$ non tenderà a zero, cioè la condizione di convergenza necessaria non è soddisfatta. Resta solo da verificare questa plausibile ipotesi e calcolare $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Tuttavia, prima di calcolare questo limite, troviamo il limite ausiliario della funzione $y=\frac(3^x)(x^2)$ per $x\to +\infty$, cioè calcola $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Perché lo stiamo facendo: il fatto è che nell'espressione $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ il parametro $n$ assume solo valori naturali ($n=1,2,3, \ldots$) e l'argomento $x$ della funzione $y=\frac(3^x)(x^2)$ assume valori reali. Trovando $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ possiamo applicare la regola di L'Hopital:
$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (applicare L'Hopital's regola) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(applica la regola di L'Hopital)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$
Poiché $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, allora $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Poiché $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, la condizione necessaria per la convergenza delle serie non è soddisfatta, cioè la serie data diverge.
Risposta: la serie diverge.
Altri esempi di serie, la cui convergenza viene verificata utilizzando il necessario test di convergenza, si trovano nella seconda parte di questo argomento.
In pratica, spesso non è così importante trovare la somma di una serie quanto rispondere alla domanda sulla convergenza delle serie. A tal fine vengono utilizzati criteri di convergenza basati sulle proprietà del termine comune delle serie.
UN CRITERIO NECESSARIO PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE
TEOREMA 1.
Se la serie converge, allora il suo termine comune un n tende a zero come, cioè. .
In breve: se la serie converge, allora il suo termine comune tende a zero.
Corollario: se , allora la serie diverge.
Esempio 15.
Soluzione. Per questa serie, il termine comune e .
Pertanto, questa serie diverge.
Esempio 16. Indagare per serie di convergenza .
Soluzione.È ovvio che il termine comune di questa serie, la cui forma non è indicata per l'ingombrante espressione, tende a zero in n®¥, quelli. il criterio necessario per la convergenza della serie è soddisfatto, ma questa serie diverge, poiché la sua somma tende all'infinito.
CONDIZIONI DI CONVERGENZA SUFFICIENTI
SERIE POSITIVA
Viene chiamata una serie di numeri i cui membri sono tutti positivi segno positivo.
TEOREMA 2. (Il primo segno di confronto).
Si danno due serie positive:
un 1 + un 2 +un 3 +...+un n+...=(17)
b 1 + b 2 +b 3 +...+b n+...= ,(18)
e, partendo da un certo numero N, per chiunque n>N la disuguaglianza un n £ b n. Quindi:
1) la convergenza della serie (“maggiore”) implica la convergenza della serie (“minore”);
2) la divergenza della serie (“minore”) implica la divergenza della serie (“maggiore”).
Notazione schematica del primo segno di confronto:
un n £ b n
convergenza
exp.®exp.
Per applicare questa caratteristica, vengono spesso utilizzate tali serie standard, la cui convergenza o divergenza è nota in anticipo, ad esempio:
1) ¾ geometrica, (convergente in e diverge in );
2) - armonico (diverge);
3) - la serie di Dirichlet (converge per a > 1 e diverge per a £ 1).
Si consideri, utilizzando un esempio specifico, uno schema per studiare una serie di segni positivi per la convergenza utilizzando il primo criterio di confronto.
Esempio 17.
Soluzione. Passaggio 1. Verifichiamo il segno positivo della serie: .
Passaggio 2. Verifichiamo il soddisfacimento del criterio necessario per la convergenza delle serie: . Da allora .
(Se il calcolo del limite è difficile, puoi saltare questo passaggio.)
Passaggio 3. Usiamo il primo segno di confronto. Scegliamo una serie standard per questa serie. Poiché , allora la serie può essere presa come standard, ad es. Fila di Dirichlet. Questa serie converge perché l'esponente a= >1. Pertanto, secondo il primo criterio di confronto, converge anche la serie in esame.
Esempio 18. Esaminare la serie per la convergenza.
Soluzione. 1. Questa serie è di segno positivo, poiché per n=1,2,3,... .
2. Il criterio necessario per la convergenza delle serie è soddisfatto, perché
3. Selezioniamo una riga standard. Poiché , allora la serie geometrica () può essere presa come standard. Questa serie converge, quindi converge anche la serie in studio.
TEOREMA 3. (Il secondo segno di confronto )
Se esiste un limite finito diverso da zero per le serie con segno positivo, le serie convergono o divergono simultaneamente.
Se una un n ®0 come n®¥ (un criterio necessario per la convergenza), quindi la condizione , implica che un n e b n sono infinitesimi dello stesso ordine di piccolezza (equivalente per l=1). Pertanto, se data una serie , dove un n ®0 come n®0, quindi per questa serie possiamo prendere una serie standard, dove il termine comune b n ha lo stesso ordine di piccolezza del termine comune della serie data.
Esempio19. Indagare per serie di convergenza
Soluzione. Questa serie è di segno positivo, poiché per ogni nОN.
Poiché ~~, allora prendiamo come serie di riferimento una serie armonica divergente. Dal limite del rapporto tra i membri comuni un ed è finita e diversa da zero (è uguale a 1), quindi in base al secondo criterio di confronto, questa serie diverge.
TEOREMA 4.(Segno di d'Alembert )
Se esiste un limite finito per una serie con segno positivo, allora la serie converge per l<1 и расходится при l>1.
Appunti:
1) Se l=1, il Teorema 4 non risponde alla domanda sulla convergenza delle serie e quindi è necessario utilizzare altri criteri di convergenza.
2) Il test d'Alembert è pratico in pratica quando il termine comune della serie contiene una funzione esponenziale o un fattoriale.
Esempio 20. Indagare per serie di convergenza secondo d'Alembert.
Appunti:
1) Se l=1, il Teorema 5 non risponde alla domanda sulla convergenza delle serie, quindi è necessario utilizzare altri criteri di confronto.
2) Se l=¥ , allora la serie diverge.
Esempio 22. Esaminare la serie per la convergenza.
Soluzione. Questa serie ha un segno positivo, poiché per qualsiasi nОN. Tralasciando la verifica della fattibilità del criterio necessario per la convergenza delle serie, utilizziamo subito il Teorema 5. Poiché , allora questa serie diverge per il criterio di Cauchy.
TEOREMA 6. (Test di Cauchy integrale)
Lascia che la funzione f(x) continuo, non negativo e non crescente per tutti x³m, dove m- qualche numero non negativo. Poi la serie numerica
converge se converge l'integrale improprio