La somma della serie n 2. §4

Sia data una sequenza di numeri R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. Viene chiamata l'espressione R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… infinito vicino, o semplicemente accanto, e i numeri R 1 , R 2 , R 3 ,… - membri di un numero. Allo stesso tempo, significano che l'accumulo della somma della serie inizia con i suoi primi membri. Viene chiamata la somma S n = somma parziale riga: per n=1 - la prima somma parziale, per n=2 - la seconda somma parziale e così via.

chiamato serie convergenti, se la sequenza del suo parziale somme ha un limite, e divergente- altrimenti. Il concetto di somma di una serie può essere esteso e quindi anche alcune serie divergenti avranno delle somme. Esattamente esteso comprensione importi riga sarà utilizzato nello sviluppo di algoritmi con la seguente affermazione del problema: l'accumulazione della somma deve essere eseguita fino a quando il termine successivo della serie è maggiore in valore assoluto del valore ε dato.

Nel caso generale, tutti o parte dei membri della serie possono essere dati da espressioni a seconda del numero del membro della serie e delle variabili. Per esempio,

Quindi sorge la domanda su come ridurre al minimo la quantità di calcoli: calcolare il valore del prossimo membro della serie la formula generale di un membro della serie(nell'esempio fornito, è rappresentato da un'espressione sotto il segno di somma), da una formula ricorsiva (la sua derivazione è presentata di seguito) o utilizzare formule ricorsive solo per parti dell'espressione di un membro della serie (vedi sotto).

Derivazione di una formula ricorsiva per il calcolo di un termine di una serie

Sia richiesto di trovare una serie di numeri R 1 , R 2 , R 3 ,…, calcolandoli sequenzialmente secondo le formule

,
, …,

Per abbreviare i calcoli in questo caso, è conveniente usare ricorrente formula tipo
, consentendo di calcolare il valore di R N per N>1, conoscendo il valore del membro precedente della serie R N-1 , dove
- un'espressione ottenibile dopo aver semplificato la relazione dell'espressione nella formula (3.1) per N con l'espressione per N-1:

Pertanto, la formula ricorsiva assumerà la forma
.

Un confronto tra la formula generale per il termine della serie (3.1) e quella ricorsiva (3.2) mostra che la formula ricorsiva semplifica notevolmente i calcoli. Applichiamolo per N=2, 3 e 4 sapendo questo
:

Metodi per calcolare il valore di un membro di una serie

Per calcolare il valore di un membro della serie, a seconda del tipo, può essere preferibile utilizzare la formula generale di un membro della serie, o una formula ricorsiva, oppure metodo misto per calcolare il valore di un membro di una serie, quando si utilizzano formule ricorrenti per una o più parti di un membro della serie, e quindi i loro valori vengono sostituiti nella formula generale di un membro della serie. Ad esempio, - per una serie, è più semplice calcolare il valore di un membro della serie
secondo la sua formula generale
(paragonare con
- formula ricorrente); - per una fila
è meglio usare la formula ricorsiva
; - per una serie, dovrebbe essere applicato un metodo misto, calcolando A N \u003d X 3N usando la formula ricorsiva
, N=2, 3,… con A 1 =1 e B N =N! - anche dalla formula ricorsiva
, N=2, 3,… a B 1 =1, e poi - un membro della serie
- secondo la formula generale, che assumerà la forma
.

Esempio 3.2.1 esecuzione dell'attività

Calcolare con precisione ε per 0 o  X  45 o

utilizzando una formula ricorsiva per calcolare un termine di una serie:

il valore esatto della funzione cos X,

errori assoluti e relativi del valore approssimativo.

programma Progetto1;

(CONSOLE $ APPTYPE)

K=Pi/180; //Fattore per convertire da gradi a radianti

Eps: Esteso=1E-8;

X: Esteso=15;

R, S, Y, D: Esteso;

($IFNDEF DBG) //Dichiarazioni non utilizzate per il debug

Write("Inserisci la precisione richiesta: ");

Write("Inserisci il valore dell'angolo in gradi: ");

D:=Sqr(K*X); // Converti X in radianti e quadra

//Imposta i valori iniziali per le variabili

//Ciclo per calcolare i membri della serie e accumularne la somma.

//Esegui finché il modulo del prossimo membro della serie è maggiore di Eps.

mentre Abs(R)>Eps lo fa

se n<10 then //Вывод, используемый при отладке

ScriviLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Output dei risultati di calcolo:

WriteLn(N:14," = Numero di passi raggiunti",

"accuratezza specificata");

WriteLn(S:14:11," = valore approssimativo della funzione");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = valore esatto della funzione");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Errore assoluto");

ScriviLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = errore relativo");

Concetti e definizioni di base

Sia data una successione infinita di numeri:

, … (1.1)

L'anno scorso abbiamo definito una sequenza numerica in funzione di un argomento naturale. Ciò significa che ogni membro della sequenza è una funzione del suo numero P: . In quanto segue, a volte considereremo P uguale a zero, quindi la sequenza numerica sarà definita come una funzione numero intero argomento (dalle parole "intero").

Definizione 1. Espressione

(1.2)

chiamato linea numerica infinita, o, in breve, accanto. Membri della sequenza ,… sono chiamati membri di un numero; espressione con indice P- membro comune della serie.

È facile distinguere una sequenza da una serie: i membri della sequenza sono scritti separati da virgole, i membri della serie sono collegati da segni più.

Pertanto, il concetto di serie è una generalizzazione della somma al caso di un numero infinito di termini.

Una serie è considerata data se è nota (data) la formula del suo termine comune. Il termine comune della serie (1.2) coincide con il termine comune della successione (1.1) ed è anche funzione dell'argomento intero n, cioè. . Ad esempio, se viene fornito un termine comune come

, (1.3)

quindi, inserendo questa formula n= 1, 2, 3,..., si può trovare qualsiasi membro della serie, e quindi l'intera serie:

- membri della sequenza o membri della serie,

(1.4)

Riga numerica.

Definizione. Somma n vengono chiamati i primi membri della serie n- oh somma parziale di una serie ed è indicato dal simbolo:

Si può scrivere così: .

In particolare,

Da tutte le somme parziali delle serie (1.2) componiamo una successione numerica:

(1.7)

È chiamato sequenza di somme parziali. Come ogni sequenza numerica, può avere un limite, ad es. convergere o non avere alcun limite, ad es. divergere. Il limite di una sequenza di somme parziali, se esiste, sarà indicato con la lettera S.

Definizione. La riga è chiamata convergente(riga converge) se la successione delle somme parziali di questa serie converge. Allo stesso tempo, il limite S si chiamano sequenze di somme parziali la somma di questa serie, cioè.

. (1.8)

Per una serie convergente con somma S, possiamo formalmente scrivere l'uguaglianza:

Viene chiamata una serie che non ha una somma (1.8). divergente. In particolare, se , allora diciamo che la serie diverge a , e in questo caso usiamo l'uguaglianza simbolica

Commento. Dall'uguaglianza (1.6) segue che qualsiasi membro della serie può essere rappresentato come la differenza tra le somme parziali e:

. (1.10)

Rappresentiamo geometricamente la successione delle somme parziali. In Fig. 1.1, aeb, la serie converge, in Fig. 1.1, c diverge.

un)

Fig.1.1

Osservazione 3. A volte il numero di un membro della serie parte da zero: .

Esempi di serie numeriche. Calcolo della somma di una serie

Esempio 1º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Qui , .

Questa serie diverge Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.

Esempio 2º .

Come di consueto, l'alternanza dei segni + e - è specificata utilizzando il grado (-1). Qui la sequenza delle somme parziali ha la forma:

quelli. il valore della somma parziale dipende dalla parità del numero P:

Pertanto, le somme parziali pari e dispari tendono a due limiti diversi:

pari a zero, dispari a uno:

Fig.1.2

Pertanto, la successione non ha limiti e la serie data diverge.

Esempio 3º .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Questa è una progressione aritmetica con una differenza. Ricordiamo che il nome "aritmetica" deriva dal fatto che ogni termine di questa progressione, a partire dal secondo, è uguale a significato aritmetico membri vicini:

In questa progressione , e la sequenza delle somme parziali ha la forma:

Esempio 6º.

L'output sarà riportato di seguito. Qui, il denominatore sono solo numeri dispari.

Esempio 7º.

. L'output sarà riportato di seguito.

Esempio 8º.

L'output sarà riportato di seguito. La somma della serie è uguale al numero e- la base del logaritmo naturale.

La somma di una serie non è sempre facile da calcolare e nemmeno sempre possibile. Pertanto, nella teoria delle serie, viene spesso risolto un problema più semplice: scoprire se la serie converge o diverge. È chiamato lo studio della convergenza delle serie.

Una sequenza è un insieme numerico altamente ordinato formato secondo una data legge. Il termine "serie" denota il risultato della somma dei termini della sequenza corrispondente. Per varie sequenze numeriche, possiamo trovare la somma di tutti i suoi membri o il numero totale di elementi fino a un dato limite.

Sotto sequenza

Questo termine si riferisce a un dato insieme di elementi dello spazio numerico. Ad ogni oggetto matematico viene assegnata una certa formula per determinare l'elemento comune della sequenza e per la maggior parte degli insiemi numerici finiti esistono formule semplici per determinarne la somma. Il nostro programma è una raccolta di 8 calcolatrici online progettate per calcolare le somme degli insiemi numerici più popolari. Iniziamo con il più semplice: la serie naturale, che usiamo nella vita di tutti i giorni per contare gli oggetti.

sequenza naturale

Quando gli studenti imparano i numeri, la prima cosa che imparano è contare gli oggetti, come le mele. I numeri naturali sorgono naturalmente quando si contano gli oggetti e ogni bambino sa che 2 mele sono sempre 2 mele, né più né meno. La serie naturale è data da una semplice legge che assomiglia al n. La formula dice che l'ennesimo membro dell'insieme numerico è uguale a n: il primo è 1, il secondo è 2, il quattrocentocinquantunesimo è 451 e così via. Il risultato della somma dei primi n numeri naturali, cioè a partire da 1, è determinato da una semplice formula:

∑ = 0,5n × (n+1).

Calcolo della somma delle serie naturali

Per i calcoli, dovrai selezionare la formula della serie naturale n nel menu della calcolatrice e inserire il numero di termini nella sequenza. Calcoliamo la somma delle serie naturali da 1 a 15. Specificando n = 15, otterrai il risultato sotto forma della sequenza stessa:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

e la somma delle serie naturali pari a 120.

È facile verificare la correttezza dei calcoli utilizzando la formula sopra. Per il nostro esempio, il risultato dell'addizione sarà 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Esatto.

Sequenza di quadrati

Una sequenza quadratica è formata da una naturale quadrando ogni termine. Un numero di quadrati è formato secondo la legge n 2, quindi l'n-esimo membro della sequenza sarà uguale a n 2: il primo - 1, il secondo - 2 2 \u003d 4, il terzo - 3 2 \ u003d 9 e così via. Il risultato della somma degli n elementi iniziali della sequenza quadratica viene calcolato secondo la legge:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

Con questa formula, puoi facilmente calcolare la somma dei quadrati da 1 a n per n arbitrariamente grande. È ovvio che anche questa sequenza è infinita e, all'aumentare di n, crescerà anche il valore totale dell'insieme numerico.

Calcolo della somma di una serie quadrata

In questo caso, sarà necessario selezionare la legge della sequenza quadrata n 2 nel menu del programma, quindi selezionare il valore di n. Calcoliamo la somma dei primi dieci termini della successione (n=10). Il programma darà la sequenza stessa:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

oltre ad un importo pari a 385.

serie cubica

Una fila di cubi è una sequenza di numeri naturali al cubo. La legge di formazione di un elemento comune della successione si scrive n 3 . Pertanto, il primo membro della serie è 1 3 = 1, il secondo è 2 3 = 8, il terzo è 3 3 = 27 e così via. La somma dei primi n elementi della serie cubica è determinata dalla formula:

∑ = (0,5n × (n+1)) 2

Come nei casi precedenti, gli elementi dello spazio numerico tendono all'infinito, e maggiore è il numero di termini, maggiore è il risultato della somma.

Calcolo della somma delle serie cubiche

Per iniziare, seleziona la legge della serie cubica n 3 nel menu della calcolatrice e imposta un valore qualsiasi di n. Determiniamo la somma di una serie di 13 termini. La calcolatrice ci darà il risultato sotto forma di sequenza:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

e la somma delle serie ad essa corrispondenti, pari a 8281.

Sequenza di numeri dispari

L'insieme dei numeri naturali contiene un sottoinsieme di elementi dispari, cioè quelli che non sono divisibili per 2 senza resto. La sequenza dei numeri dispari è determinata dall'espressione 2n - 1. Secondo la legge, il primo termine della sequenza sarà uguale a 2 × 1 - 1 = 1, il secondo - 2 × 2 - 1 = 3, il terzo - 2 × 3 - 1 = 5 e così via. La somma degli n elementi iniziali di una riga dispari viene calcolata utilizzando una semplice formula:

Considera un esempio.

Calcolo della somma dei numeri dispari

Per prima cosa, seleziona la legge di formazione della serie dispari 2n−1 nel menu del programma, quindi inserisci n. Scopriamo i primi 12 termini della serie dispari e la sua somma. La calcolatrice darà immediatamente il risultato come un insieme di numeri:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

così come la somma delle serie dispari, che è 144. E infatti, 12 2 = 144. Esatto.

Numeri rettangolari

I numeri rettangolari appartengono alla classe dei numeri ricci, che sono una classe di elementi numerici necessari per costruire forme geometriche e solidi. Ad esempio, per costruire un triangolo sono necessari 3, 6 o 10 punti, un quadrato - 4, 9 o 16 punti e per disporre un tetraedro sono necessarie 4, 10 o 20 palline o cubi. I rettangoli sono facili da costruire usando due numeri consecutivi, ad esempio 1 e 2, 7 e 8, 56 e 57. I numeri rettangolari sono espressi come il prodotto di due numeri naturali consecutivi. La formula per il termine comune della serie appare come n × (n+1). I primi dieci elementi di un tale insieme numerico sono:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

Con un aumento di n, aumenta anche il valore dei numeri rettangolari, quindi aumenterà anche la somma di tale serie.

sequenza inversa

Per i numeri rettangolari, esiste una sequenza inversa definita dalla formula 1 / (n × (n+1)). Il numero impostato viene trasformato in un insieme di frazioni e si presenta così:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

La somma di una serie di frazioni è determinata dalla formula:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Ovviamente, all'aumentare del numero degli elementi della serie, il valore della frazione 1/(n + 1) tende a zero e il risultato dell'addizione si avvicina a uno. Considera degli esempi.

La somma di una serie rettangolare e la sua inversa

Calcoliamo il valore di una sequenza rettangolare per n = 20. Per fare ciò, seleziona la legge per specificare un membro comune dell'insieme numerico n × (n + 1) nel menu del calcolatore online e specifica n. Il programma restituirà il risultato istantaneo come 3080. Per calcolare la serie inversa, cambia la legge in 1 / (n × (n+1)). La somma degli elementi numerici reciproci sarà uguale a 0,952.

Serie di prodotti di tre numeri consecutivi

Un insieme di numeri rettangolari può essere modificato aggiungendo un altro moltiplicatore consecutivo. Pertanto, la formula per calcolare l'n-esimo membro dell'insieme sarà trasformata in n × (n+1) × (n+2). Secondo questa formula, gli elementi di una serie sono formati come prodotto di tre numeri consecutivi, ad esempio 1 × 2 × 3 o 10 × 11 × 12. I primi dieci elementi di tale serie sono:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Questo è un insieme numerico in rapida crescita e la somma delle serie corrispondenti va all'infinito al crescere di n.

sequenza inversa

Come nel caso precedente, possiamo invertire la formula dell'ennesimo termine e ottenere l'espressione 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Quindi l'insieme dei valori interi verrà trasformato in una serie di frazioni, il cui denominatore sarà il prodotto di tre numeri consecutivi. L'inizio di un tale set è simile a questo:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

La somma delle serie corrispondenti è determinata dalla formula:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Ovviamente, all'aumentare del numero degli elementi, la frazione 1 / ((n + 1) × (n + 2)) tende a zero e la somma delle serie si avvicina al valore 0,5 × 0,5 = 0,25. Considera degli esempi.

Una serie di prodotti di tre numeri consecutivi e il suo inverso

Per lavorare con questo insieme, devi scegliere la legge per determinare l'elemento comune n × (n + 1) × (n + 2) e impostare n, ad esempio, 100. La calcolatrice ti darà anche la sequenza stessa come valore del risultato della somma di centinaia di numeri, pari a 26 527 650. Se scegliamo la legge inversa 1 / (n × (n + 1) × (n + 2)), la somma di una serie di 100 termini sarà uguale a 0,250.

Conclusione

Il problema della somma di un insieme di termini è risolto nella teoria delle serie.

dove tu 1, tu 2, tu 3 …., tu n ... sono membri di una sequenza numerica infinita, è chiamato serie numerica.

Numeri tu 1, tu 2, tu 3 …., tu n ... sono chiamati membri di un numero, un tu n è il termine comune della serie.

La somma di un numero finito n dei primi termini della serie è detta somma n-esima parziale della serie.

S n = tu 1 + tu 2 +… + tu n

quelli. S 1 \u003d u 1; S2 = tu 1 + tu 2

S n = tu 1 + tu 2 +…+ tu n

Una serie si dice convergente se esiste un limite finito della somma parziale S n per n, questo è

Numero S si chiama somma della serie.

Altrimenti:

Allora la serie si dice divergente.

Linee di riferimento.

1. Serie geometriche (progressione geometrica)

Esempio.

2. Serie armoniche.

3. Serie armoniche generalizzate.

Esempio.

Segni di convergenza di serie di segno positivo

Teorema 1. Un criterio necessario per la convergenza.

Con questa funzione è possibile impostare la divergenza delle serie.

Esempio.

Segni sufficienti

Teorema 1. Segno di confronto in serie.

Si danno due serie positive:

Inoltre, se converge la serie (2), converge anche la serie (1).

Se la serie (1) diverge, diverge anche la serie (2).

Esempio. Esaminare la serie per la convergenza:

Confronta questa serie con la serie geometrica:

Pertanto, per confronto, la serie desiderata converge.

Teorema 2. Prova di d'Alembert.

Esempio. Esaminare la serie per la convergenza:

secondo il test d'Alembert, la serie converge.

Teorema 3. Test radicale di Cauchy.

3) per , resta aperta la questione della convergenza.

Esempio: esaminare la convergenza delle serie numeriche:

Soluzione:

Pertanto, la serie converge nel senso di Cauchy.

Teorema 4. Test integrale di Cauchy.

Lascia che i membri della serie

sono positivi e non aumentano, cioè sono i valori di una funzione continua non crescente f(X) a X= 1, 2, …, n.

Allora per la convergenza della serie è necessario e sufficiente che l'integrale improprio converga:

Esempio.

Soluzione:

Pertanto, la serie diverge perché diverge l'integrale improprio.

Righe variabili. Il concetto di convergenza assoluta e condizionale di una serie alternata.

La riga è chiamata alternato, se uno qualsiasi dei suoi termini può essere sia positivo che negativo.

Considera le serie alternate:

Teorema 1. Test di Leibniz (test sufficiente).

Se una serie alternata

i termini decrescono in valore assoluto, cioè

allora la serie converge e la sua somma non supera il primo termine, cioè S ≤ .

Esempio.

Soluzione:

Applichiamo il segno Leibniz:

Pertanto, la serie converge nel senso di Leibniz.

Teorema 2. Criterio sufficiente per la convergenza di una serie alternata.

Se per una serie alternata converge una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri, allora converge questa serie alternata.

Esempio: esaminare la serie per la convergenza:

Soluzione:

dai valori assoluti dei termini della serie originaria converge come serie armonica generalizzata a .

Pertanto, la serie originale converge.

Questo segno è sufficiente, ma non necessario, cioè ci sono serie alternate che convergono, sebbene le serie composte da valori assoluti divergano.

Definizione 1. assolutamente convergente, se converge una serie composta dai valori assoluti dei suoi termini.

Definizione 2. Si chiama la serie alternata condizionatamente convergente, se la serie stessa converge, ma diverge la serie composta dai valori assoluti dei suoi membri.

La differenza tra loro è che una serie assolutamente convergente converge per il fatto che i suoi termini decrescono rapidamente e una serie condizionatamente convergente converge per il fatto che i termini positivi e negativi si annullano a vicenda.

Esempio.

Soluzione:

Applichiamo il segno Leibniz:

Pertanto, la serie converge nel senso di Leibniz. Ma una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri diverge in quanto armonica.

Quindi la serie originale converge condizionatamente.

Poiché è tutt'altro che sempre possibile calcolare il valore esatto della somma di una serie (abbiamo considerato tali problemi), sorge il problema del calcolo approssimativo della somma di una serie con una data accuratezza.

Ricordiamo che il -esimo resto della serie ottenuto dalla serie originale scartando il primo termini:

Quindi, poiché per una serie convergente
,

il resto di una serie convergente è uguale alla differenza tra la somma della serie e esima somma parziale:

e per abbastanza grande abbiamo un'uguaglianza approssimativa

Dalla definizione del resto della serie, ne consegue che l'errore assoluto quando si sostituisce l'esatto valore sconosciuto della somma la sua somma parziale uguale al modulo del resto della serie:

Quindi, se vuoi calcolare la somma di una serie con una determinata precisione , quindi devi lasciare la somma di tale numero termini in modo che la seguente disuguaglianza valga per il resto scartato della serie:

Il metodo di calcolo approssimativo della somma viene scelto in base al tipo di serie:

se la serie è positiva e può essere esaminata per la convergenza con un criterio integrale (soddisfa le condizioni del teorema corrispondente), allora per stimare la somma, utilizziamo la formula

;

se questa è una serie di Leibniz, applichiamo la stima:

In altri problemi, puoi usare la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Compito numero 1. Quanti termini della serie dovrebbero essere presi
per ottenere la sua somma con una precisione di 0,01.

Soluzione. Innanzitutto, notiamo che questa serie converge. Ritenere -esimo resto della serie, che è l'errore nel calcolare la somma delle serie:

Stimiamo questa serie utilizzando una progressione geometrica infinitamente decrescente. Per fare ciò, sostituiamo il fattore in ogni termine sul , mentre ogni termine aumenterà:

Dopo aver tolto il fattore comune dalla parentesi, la parentesi ha lasciato una serie composta da membri di una progressione geometrica infinitamente decrescente, la cui somma abbiamo calcolato con la formula

La precisione specificata sarà raggiunta se soddisferà la condizione

Risolviamo la disuguaglianza, tenendo conto di ciò - totale.

In
noi abbiamo

A causa della monotonia della funzione
, disuguaglianza
sarà fatto per tutti
.

Pertanto, se invece del valore esatto della somma prendiamo i primi cinque (o più) termini, l'errore di calcolo non supererà 0,01.

Risposta:
.

Compito numero 2. Stimare l'errore ottenuto sostituendo la somma delle serie
la somma dei primi 100 termini.

Soluzione. Si noti che questa serie è convergente e di segno alternato. Valuteremo la serie
, costituito dai moduli della serie originale, che aumenta immediatamente l'errore di calcolo. Inoltre, dovremo passare (usando un test di confronto) a una serie convergente più ampia e più semplice:

Considera la serie . Poiché questa serie soddisfa le condizioni del teorema - il criterio integrale di convergenza, quindi per stimare l'errore nel calcolo della somma, utilizziamo la formula corrispondente:

Calcoliamo l'integrale improprio:

l'errore di calcolo può essere stimato dalla formula

per condizione
, poi.

Risposta:
.

Compito numero 3. Stimare l'errore ottenuto sostituendo la somma delle serie
la somma dei primi 10 termini.

Soluzione. Sottolineiamo ancora una volta che il problema del calcolo approssimativo della somma ha senso solo per una serie convergente, quindi, innanzitutto, notiamo che questa serie converge. Poiché la serie in studio è alternata di segno con una regola di cambio segno complessa, è necessario valutare, come nell'esempio precedente, una serie di moduli di questa serie: