Integrazione di equazioni differenziali mediante serie di potenze. Serie di potenze

Con l'aiuto delle serie di potenze è possibile integrare equazioni differenziali.

Consideriamo un'equazione differenziale lineare della forma:

Se tutti i coefficienti e il lato destro di questa equazione si espandono in serie di potenze convergenti in un certo intervallo, allora esiste una soluzione a questa equazione in qualche piccola vicinanza del punto zero che soddisfa le condizioni iniziali.

Questa soluzione può essere rappresentata come una serie di potenze:

Per trovare una soluzione, resta da determinare le costanti sconosciute c io .

Questo compito è risolto metodo di confronto dei coefficienti incerti. Sostituiamo l'espressione scritta per la funzione desiderata nell'equazione differenziale originale, mentre eseguiamo tutte le azioni necessarie con serie di potenze (differenziazione, addizione, sottrazione, moltiplicazione, ecc.)

Quindi uguagliamo i coefficienti alle stesse potenze X ai lati sinistro e destro dell'equazione. Di conseguenza, tenendo conto delle condizioni iniziali, otteniamo un sistema di equazioni, da cui determiniamo successivamente i coefficienti c io .

Si noti che questo metodo è applicabile anche alle equazioni differenziali non lineari.

Esempio. Trova una soluzione all'equazione
con condizioni iniziali y(0)=1, y’(0)=0.

Cercheremo la soluzione dell'equazione nella forma

Sostituiamo le espressioni ottenute nell'equazione originale:

Da qui otteniamo:

………………

Otteniamo sostituendo condizioni iniziali in espressioni per la funzione desiderata e la sua derivata prima:

Infine otteniamo:

Totale:

C'è un altro metodo per risolvere le equazioni differenziali usando le serie. Porta il nome metodo di differenziazione successiva.

Consideriamo lo stesso esempio. Cercheremo la soluzione dell'equazione differenziale nella forma di un'espansione della funzione incognita nella serie di Maclaurin.

Se le condizioni iniziali date y(0)=1, y’(0)=0 sostituendo nell'equazione differenziale originale, lo otteniamo

Successivamente, scriviamo l'equazione differenziale nella forma
e lo differenziamo in sequenza rispetto a X.

Dopo aver sostituito i valori ottenuti, otteniamo:

Criterio di Cauchy.

(condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza delle serie)

In ordine per la sequenza
era convergente, è necessario e sufficiente che per qualsiasi
c'era un numeroN, che an > Ne qualsiasip> 0, dove p è un numero intero, vale la seguente disuguaglianza:

Prova. (Bisogno)

Lascia stare
, quindi per qualsiasi numero
esiste un numero N tale che la disuguaglianza

viene eseguita per n>N. Per n>N e qualsiasi intero p>0, vale anche la disuguaglianza
. Considerando entrambe le disuguaglianze, otteniamo:

La necessità è stata dimostrata. Non prenderemo in considerazione la prova di sufficienza.

Formuliamo il criterio di Cauchy per la serie.

In ordine per un numero
era convergente necessario e sufficiente che per qualsiasi
c'era un numeroNtale che an> Ne qualsiasip>0 soddisferebbe la disuguaglianza

Tuttavia, in pratica, non è molto conveniente utilizzare direttamente il criterio di Cauchy. Pertanto, di norma, vengono utilizzati criteri di convergenza più semplici:

Conseguenza. Se un f(X) e  (X) – funzioni continue sull'intervallo (a, b] e
poi gli integrali
e
comportarsi allo stesso modo in termini di convergenza.

serie di potenze.

Con l'aiuto delle serie di potenze è possibile integrare equazioni differenziali.

Consideriamo un'equazione differenziale lineare della forma:

Questa soluzione può essere rappresentata come una serie di potenze:

Per trovare una soluzione, resta da determinare le costanti sconosciute c io.

Questo compito è risolto metodo di confronto dei coefficienti incerti. Sostituiamo l'espressione scritta per la funzione desiderata nell'equazione differenziale originale, mentre eseguiamo tutte le azioni necessarie con serie di potenze (differenziazione, addizione, sottrazione, moltiplicazione, ecc.)

Si noti che questo metodo è applicabile anche alle equazioni differenziali non lineari.

Esempio. Trova una soluzione all'equazione con le condizioni iniziali y(0)=1, y'(0)=0.

Cercheremo la soluzione dell'equazione nella forma

Sostituiamo le espressioni ottenute nell'equazione originale:

Da qui otteniamo:

………………

Otteniamo sostituendo le condizioni iniziali nelle espressioni per la funzione desiderata e la sua derivata prima:

Infine otteniamo:

C'è un altro modo per risolvere equazioni differenziali usando le righe. Porta il nome metodo di differenziazione successiva.

Consideriamo lo stesso esempio. Cercheremo la soluzione dell'equazione differenziale nella forma di un'espansione della funzione incognita nella serie di Maclaurin.

Se le condizioni iniziali date y(0)=1, y'(0)=0 sostituendo nell'equazione differenziale originale, lo otteniamo

Dopo aver sostituito i valori ottenuti, otteniamo:

Serie di Fourier.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) - matematico francese)

serie trigonometriche.

Definizione. serie trigonometriche chiamato una serie della forma:

o, in breve,

Numeri reali a io, b io sono detti coefficienti della serie trigonometrica.

Se una serie del tipo presentato sopra converge, allora la sua somma è una funzione periodica con un periodo di 2p, perché funzioni del peccato nx e cos nx anche funzioni periodiche con periodo 2p.

Lascia che la serie trigonometrica converga uniformemente sull'intervallo [-p; p] e, di conseguenza, su qualsiasi segmento per periodicità, e la sua somma è uguale a f(x).

Determiniamo i coefficienti di questa serie.

Per risolvere questo problema, utilizziamo le seguenti uguaglianze:

La validità di queste uguaglianze deriva dall'applicazione all'integrando formule trigonometriche. Vedere Integrazione delle funzioni trigonometriche per i dettagli.

Perché funzione f(x) continuo sul segmento [-p; p], allora c'è un integrale

Questo risultato si ottiene in conseguenza del fatto che .

Da qui otteniamo:

Allo stesso modo, moltiplichiamo l'espressione dell'espansione della funzione in una serie per sin nx e integra da -p a p.

Noi abbiamo:

Espressione per coefficiente uno 0è un caso speciale per esprimere i coefficienti un.

Quindi, se la funzione f(x)– qualsiasi funzione periodica di periodo 2p, continua sull'intervallo [-p; p] o avendo un numero finito di punti di discontinuità del primo tipo su questo segmento, quindi i coefficienti

esistono e sono chiamati Coefficienti di Fourier per funzione f(x).

Definizione. Vicino a Fourier per funzione f(x)è detta serie trigonometrica i cui coefficienti sono i coefficienti di Fourier. Se la serie di Fourier della funzione f(x) converge ad esso in tutti i suoi punti di continuità, allora diciamo che la funzione f(x) si espande in una serie di Fourier.

Segni sufficienti espandibilità in una serie di Fourier.

Teorema. (teorema di Dirichlet) Se la funzione f(x) ha periodo 2p e sull'intervallo

[-p;p] è continuo o ha un numero finito di punti di discontinuità del primo tipo, e il segmento

[-p;p] può essere suddiviso in un numero finito di segmenti in modo che all'interno di ciascuno di essi la funzione f(x) sia monotona, quindi la serie di Fourier per la funzione f(x) converge per tutti i valori di x, e nei punti di continuità della funzione f(x) la sua somma è uguale a f(x), e nei punti di discontinuità la sua somma è uguale a , cioè la media aritmetica dei valori limite a sinistra e a destra. In questo caso, la serie di Fourier della funzione f(x) converge uniformemente su qualsiasi segmento che appartiene all'intervallo di continuità della funzione f(x).

Viene chiamata la funzione f(x) per la quale sono soddisfatte le condizioni del teorema di Dirichlet a tratti monotono sul segmento [-p;p].

Teorema. Se la funzione f(x) ha periodo 2p, inoltre, f(x) e la sua derivata f'(x) sono funzioni continue sul segmento [-p;p] o hanno un numero finito di punti di discontinuità della primo tipo su questo segmento, poi la serie La funzione di Fourier f(x) converge per tutti i valori di x, e nei punti di continuità la sua somma è uguale a f(x), e nei punti di discontinuità è uguale a . In questo caso, la serie di Fourier della funzione f(x) converge uniformemente su qualsiasi segmento che appartiene all'intervallo di continuità della funzione f(x).

Viene chiamata una funzione che soddisfa le condizioni di questo teorema liscio a tratti sul segmento [-p;p].

Espansione di Fourier di una funzione non periodica.

Il problema dell'espansione di una funzione non periodica in una serie di Fourier non differisce in linea di principio dall'espansione in una serie di Fourier di una funzione periodica.

Diciamo la funzione f(x)è dato su un segmento ed è monotono a tratti su questo segmento. Considera un periodico arbitrario a tratti funzione monotona f 1 (x) con un periodo 2Т ³ ïb-aï, coincidente con la funzione f(x) sul segmento .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Quindi la funzione f(x)è stato integrato. Ora la funzione f 1 (x) si espande in una serie di Fourier. La somma di questa serie in tutti i punti del segmento coincide con la funzione f(x), quelli. possiamo assumere che la funzione f(x) ampliato in una serie di Fourier sull'intervallo.

Quindi, se la funzione f(x) è data su un segmento uguale a 2p, non differisce in alcun modo dall'espansione in serie di una funzione periodica. Se l'intervallo su cui è data la funzione è inferiore a 2p, la funzione si estende all'intervallo (b, a + 2p) in modo da preservare le condizioni di espansione di Fourier.

In generale, in questo caso, l'estensione della funzione data ad un segmento (intervallo) di lunghezza 2p può essere fatta in un numero infinito di modi, quindi le somme delle serie risultanti saranno diverse, ma coincideranno con il dato funzione f(x) sul segmento .

Serie di Fourier per funzioni pari e dispari.

Notiamo le seguenti proprietà delle funzioni pari e dispari:

2) Il prodotto di due funzioni pari e dispari è una funzione pari.

3) Il prodotto delle funzioni pari e dispari è una funzione dispari.

La validità di queste proprietà può essere facilmente dimostrata sulla base della definizione di funzioni pari e dispari.

Se f(x) è una funzione periodica pari con periodo 2p che soddisfa le condizioni di espansione di Fourier, allora possiamo scrivere:

Quindi, per una funzione pari, si scrive la serie di Fourier:

Allo stesso modo, otteniamo un'espansione in una serie di Fourier per una funzione dispari:

Esempio. Espandere in una serie di Fourier una funzione periodica con periodo T = 2p sull'intervallo [-p;p].

Imposta la funzioneè dispari, quindi cerchiamo i coefficienti di Fourier nella forma:

Definizione. Accanto a Fourier sistema ortogonale funzioni j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) è una serie della forma:

i cui coefficienti sono determinati dalla formula:

dove f(x)= - la somma di una serie convergente uniformemente su un segmento in un sistema di funzioni ortogonale. f(x) - qualsiasi funzione che sia continua o abbia un numero finito di punti di discontinuità del primo tipo sull'intervallo.

Nel caso di un sistema di funzioni ortonormale, i coefficienti sono determinati:

Quando si utilizza la versione PC di “ Corso di matematica superiore” è possibile eseguire un programma che espande una funzione arbitraria in una serie di Fourier.

Ministero dell'Istruzione della Repubblica di Bielorussia

Istituto d'Istruzione

"Mogilevskij Università Statale intitolato ad A.A. Kuleshov"

Dipartimento di MA&VT

Costruzione di soluzioni di equazioni differenziali mediante serie

Corso di lavoro

Completato da: studente B gruppo 3 corso

Facoltà di Fisica e Matematica

Yuskaeva Alessandra Maratovna

Supervisore:

Morozov Nikolai Porfirievich

MOGILEV, 2010

introduzione

1. Equazioni differenziali di ordine superiore

1.1. Il concetto di equazione differenziale lineare dell'n-esimo ordine

2. Integrazione di equazioni differenziali mediante serie

2.1. Integrazione di equazioni differenziali mediante serie di potenze.

2.2. Integrazione di equazioni differenziali mediante serie di potenze generalizzate.

3. Casi particolari di utilizzo delle serie di potenze generalizzate nell'integrazione di equazioni differenziali.

3.1. Equazione di Bessel.

3.2. Equazione ipergeometrica o equazione di Gauss.

4. Applicazione pratica del metodo di integrazione di equazioni differenziali ordinarie mediante serie.

Conclusione

Letteratura

introduzione

Nel caso generale, trovare una soluzione esatta a un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine integrandola è impossibile. Inoltre, ciò non è fattibile per un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Questa circostanza ha portato alla creazione di un gran numero di metodi approssimati per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e dei loro sistemi. Esistono tre gruppi di metodi approssimativi: analitico, grafico e numerico. Naturalmente, una tale classificazione è alquanto arbitraria. Ad esempio, il metodo grafico della linea spezzata di Eulero è alla base di uno dei metodi per risolvere numericamente un'equazione differenziale.

L'integrazione di equazioni differenziali ordinarie mediante serie di potenze è un metodo analitico approssimativo applicato, di regola, a equazioni lineari almeno di secondo ordine.

I metodi analitici si trovano nel corso delle equazioni differenziali. Per equazioni del primo ordine (con variabili separabili, omogenee, lineari, ecc.), nonché per alcuni tipi di equazioni di ordine superiore (ad esempio, lineare con coefficienti costanti) è possibile ottenere soluzioni sotto forma di formule mediante trasformazioni analitiche.

Lo scopo del lavoro è quello di analizzare uno dei metodi analitici approssimati, come l'integrazione di equazioni differenziali ordinarie mediante serie, e la loro applicazione nella risoluzione di equazioni differenziali.

Equazioni differenziali di ordine superiore

Un'equazione differenziale ordinaria dell'ennesimo ordine è una relazione della forma

dove F è una funzione nota dei suoi argomenti, data in qualche dominio;

x - variabile indipendente;

y è una funzione della variabile x da determinare;

y’, y”, …, y (n) sono le derivate della funzione y.

Ciò presuppone che y (n) sia effettivamente incluso nell'equazione differenziale. Qualsiasi degli argomenti rimanenti della funzione F non può partecipare esplicitamente a questa relazione.

Qualsiasi funzione che soddisfi una data equazione differenziale è chiamata soluzione o integrale. Risolvere un'equazione differenziale significa trovare tutte le sue soluzioni. Se per la funzione y desiderata è possibile ottenere una formula che dia tutte le soluzioni dell'equazione differenziale data e solo loro, allora diciamo di aver trovato la sua soluzione generale, o integrale generale.

La soluzione generale dell'equazione differenziale dell'n-esimo ordine contiene n costanti arbitrarie c 1 , c 2 ,..., c n e ha la forma.

1.1. Il concetto di equazione differenziale linearen-esimo ordine

Un'equazione differenziale dell'n-esimo ordine si dice lineare se è di primo grado rispetto alla totalità delle quantità y, y ', ..., y (n) . Pertanto, l'equazione differenziale lineare dell'n-esimo ordine ha la forma:

dove sono note funzioni continue di x.

Questa equazione è chiamata equazione lineare disomogenea o equazione con il lato destro. Se il lato destro dell'equazione è identico a zero, allora equazione lineareè chiamata equazione lineare differenziale omogenea e ha la forma

Se n è uguale a 2, allora otteniamo un'equazione lineare del secondo ordine, che è scritta come Come un'equazione lineare dell'n-esimo ordine, un'equazione del secondo ordine può essere omogenea () e disomogenea.

Integrazione di equazioni differenziali mediante serie.

Le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria al di sopra del primo ordine con coefficienti variabili non sono sempre espresse in termini di funzioni elementari e l'integrazione di tale equazione è raramente ridotta a quadrature.

2.1. Integrazione di equazioni differenziali mediante serie di potenze.

Il metodo più comune per integrare queste equazioni è rappresentare la soluzione desiderata sotto forma di serie di potenze. Consideriamo equazioni del secondo ordine a coefficienti variabili

Nota 1. Una classe abbastanza ampia di funzioni può essere rappresentata come

dove, sono alcune costanti. Questa espressione è chiamata serie di potenze. Se i suoi valori sono uguali ai valori corrispondenti della funzione per qualsiasi x dell'intervallo (x 0 - T; x 0 + T), allora tale serie viene chiamata convergente in questo intervallo.

Assumiamo che le funzioni a(x), b(x) siano funzioni analitiche dell'equazione (2.1) sull'intervallo (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, cioè ampliato in serie di potenze:

Vale il seguente teorema (omettendo la dimostrazione, presentiamo solo la sua affermazione).

Teorema_1. Se le funzioni a(x), b(x) hanno la forma (2.2), allora qualsiasi soluzione y(x) dell'equazione differenziale ordinaria (2.1) può essere rappresentata come convergente per |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Questo teorema non solo permette di rappresentare la soluzione sotto forma di serie di potenze, ma, soprattutto, giustifica la convergenza delle serie (2.3).

L'algoritmo per tale rappresentazione è il seguente. Per comodità, poniamo x 0 = 0 in (2.2) e (2.3) e cerchiamo una soluzione all'equazione differenziale ordinaria (2.1) nella forma

Sostituendo (2.4) in (2.1), otteniamo l'uguaglianza

Perché la (2.5) sia soddisfatta, è necessario che il coefficiente ad ogni potenza di x sia uguale a zero. Da questa condizione otteniamo un sistema infinito di lineare equazioni algebriche

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Dal sistema infinito di equazioni algebriche lineari ottenuto, si può trovare sequenzialmente, …, se si impostano i valori e (nel caso del problema di Cauchy per l'equazione differenziale ordinaria (2.1), si possono introdurre le condizioni iniziali = , =).

Se le funzioni a(x), b(x) sono razionali, cioè , b , dove sono i polinomi, quindi negli intorni di punti in cui o, la soluzione sotto forma di serie di potenze potrebbe non esistere e, se esiste, potrebbe divergere ovunque, tranne che per il punto x = 0. Questa circostanza era già noto a L. Euler , che considerò l'equazione del primo ordine

Questa equazione è soddisfatta dalla serie di potenze

Tuttavia, è facile vedere che questa serie diverge per qualsiasi. La soluzione di un'equazione differenziale ordinaria sotto forma di serie di potenze divergenti è chiamata formale.

Uno degli esempi più sorprendenti e comprensibili dell'applicazione questo metodo l'integrazione è l'equazione di Airy o

Tutte le soluzioni di questa equazione sono intere funzioni di x. Si cercherà quindi la soluzione dell'equazione di Airy sotto forma di serie di potenze (2.4). Quindi l'uguaglianza (2.5) assume la forma

Uguagliamo il coefficiente di ogni potenza di x a zero. abbiamo

……………………………

Il coefficiente al grado zero di x è uguale a 2у 2 . Pertanto, y 2 = 0. Quindi, dall'uguaglianza a zero del coefficiente, troviamo = . Il coefficiente a è uguale. Da qui.

Da questa formula otteniamo

I coefficienti e rimangono indefiniti. Per trovare il sistema fondamentale di soluzioni, poniamo prima = 1, = 0, e poi viceversa. Nel primo caso abbiamo

e nel secondo

Sulla base del Teorema_1, queste serie sono convergenti ovunque sulla retta reale.

Le funzioni e sono chiamate funzioni Airy. Per grandi valori di x, il comportamento asintotico di queste funzioni è descritto da le seguenti formule e.

I grafici di queste funzioni sono mostrati in fig. 2.1. Otteniamo che con un aumento illimitato di x, gli zeri di qualsiasi soluzione dell'equazione di Airy convergono indefinitamente, il che è evidente anche dalla rappresentazione asintotica di queste soluzioni, ma non è affatto ovvio dalla rappresentazione delle funzioni di Airy nella forma di serie di potenze convergenti. Ne consegue che il metodo di ricerca della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria utilizzando una serie, in generale, è di scarsa utilità nella risoluzione di problemi applicati, e la stessa rappresentazione della soluzione come serie rende difficile l'analisi qualitativa proprietà della soluzione risultante.

2.2. Integrazione di equazioni differenziali mediante serie di potenze generalizzate.

Quindi, se nell'equazione (2.1) le funzioni a(x), b(x) sono razionali, allora i punti in cui o sono detti punti singolari dell'equazione (2.1).

Per l'equazione del secondo ordine

dove a(x), b(x) sono funzioni analitiche nell'intervallo |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

In prossimità del punto singolare x = x 0, possono non esistere soluzioni sotto forma di serie di potenze, nel qual caso le soluzioni devono essere ricercate sotto forma di serie di potenze generalizzate:

dove λ e, …, () devono essere determinati.

Teorema_2. Affinché l'equazione (2.6) abbia almeno una soluzione particolare sotto forma di serie di potenze generalizzate (2.7) in prossimità del punto singolare x = x 0, è sufficiente che tale equazione abbia la forma

L'essenza è una serie di potenze convergenti, e i coefficienti non sono uguali a zero allo stesso tempo, perché altrimenti il punto x = x 0 non è un punto singolare e ci sono due soluzioni linearmente indipendenti che sono olomorfe nel punto x = x 0 . In questo caso, se le serie (2.7") che entrano nei coefficienti dell'equazione (2.7') convergono nella regione | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Considera l'equazione (2.6) per x > 0. Sostituendo l'espressione (2.7) in questa equazione per x 0 = 0, abbiamo

Uguagliando a zero i coefficienti alle potenze di x, otteniamo un sistema di equazioni ricorrente:

……..........................……………………………………………. (2.8)

dove indicato

Poiché, allora λ deve soddisfare l'equazione

che è chiamata equazione di definizione. Sia le radici di questa equazione. Se la differenza non è un intero, allora per nessun intero k > 0, il che significa che il metodo sopra può costruire due soluzioni linearmente indipendenti dell'Eq. (2.6):

Se la differenza è un numero intero, il metodo sopra può essere utilizzato per costruire una soluzione sotto forma di serie generalizzata. Conoscendo questa soluzione, usando la formula di Liouville - Ostrogradsky, puoi trovare la seconda soluzione linearmente indipendente con:

Dalla stessa formula segue che la soluzione può essere cercata nella forma

(il numero A può essere uguale a zero).

Casi particolari di utilizzo di serie di potenze generalizzate nell'integrazione di equazioni differenziali.

3.1. Equazione di Bessel.

L'equazione di Bessel è una delle equazioni differenziali importanti in matematica e nelle sue applicazioni. Soluzioni all'equazione di Bessel che la compongono sistema fondamentale le funzioni non lo sono funzioni elementari. Ma si espandono in serie di potenze, i cui coefficienti sono calcolati in modo molto semplice.

Considera l'equazione di Bessel in forma generale:

Molti problemi di fisica matematica sono ridotti a questa equazione.

Poiché l'equazione non cambia quando x viene sostituito da -x, è sufficiente considerare i valori non negativi di x. L'unico punto singolare è x=0. L'equazione di definizione corrispondente a x=0 è, . Se 0, l'equazione di definizione ha due radici: e. Troviamo una soluzione data equazione sotto forma di serie di potenze generalizzate

quindi, sostituendo y, y" e y" nell'equazione originale, otteniamo

Quindi, riducendo di, abbiamo

Affinché questa uguaglianza sia identica, i coefficienti devono soddisfare le equazioni

Troviamo la soluzione corrispondente alla radice dell'equazione determinante λ = n. Sostituendo λ = n nelle ultime uguaglianze, vediamo che qualsiasi numero diverso da zero può essere preso come numero = 0, e per k = 2, 3, ... abbiamo

Quindi, per ogni m = 0, 1, 2, … .

Quindi, tutti i coefficienti sono stati trovati, il che significa che la soluzione dell'Eq. (3.1) può essere scritta nella forma

Introduciamo la funzione

chiamata funzione gamma di Eulero. Considerando cosa e cosa per gli interi, e anche scegliere una costante arbitraria come verrà scritta nel modulo

è chiamata funzione di Bessel del primo tipo dell'n-esimo ordine.

La seconda soluzione particolare dell'equazione di Bessel, linearmente indipendente con, è ricercata nella forma

Le equazioni per determinare a hanno la forma

Ammesso che troviamo

Per ipotesi, n non è un numero intero, quindi tutti i coefficienti pari sono espressi in modo univoco in termini di:

Così,

Supponendo di rappresentare y 2 (x) nella forma

è chiamata funzione di Bessel del primo tipo con indice negativo.

Quindi, se n non è un numero intero, allora tutte le soluzioni dell'equazione di Bessel originale lo sono combinazioni lineari Funzioni di Bessel e: .

3.2. Equazione ipergeometrica o equazione di Gauss.

Un'equazione ipergeometrica (o equazione gaussiana) è un'equazione della forma

dove α, β, γ sono numeri reali.

I punti sono i punti singolari dell'equazione. Entrambi sono regolari, poiché in prossimità di questi punti i coefficienti dell'equazione gaussiana, scritti in forma normale

può essere rappresentato come una serie di potenze generalizzate.

Lo verificheremo per il punto. Infatti, notando che

l'equazione (3.2) può essere scritta come

Questa equazione è un caso speciale dell'equazione

e qui, in modo che il punto x=0 sia un punto singolare regolare dell'equazione di Gauss.

Costruiamo un sistema fondamentale di soluzioni dell'equazione di Gauss in prossimità del punto singolare x=0.

L'equazione di definizione corrispondente al punto x=0 ha la forma

Le sue radici e la loro differenza non è un numero intero.

Pertanto, in prossimità del punto singolare x=0, si può costruire un sistema fondamentale di soluzioni sotto forma di serie di potenze generalizzate

la prima delle quali corrisponde alla radice zero dell'equazione determinante ed è una serie di potenze ordinarie, per cui la soluzione è olomorfa in un intorno del punto singolare x=0. La seconda soluzione è ovviamente non olomorfa in x=0. Costruiamo prima una soluzione particolare corrispondente alla radice zero dell'equazione di definizione.

Pertanto, cercheremo una soluzione particolare dell'Eq. (3.2) nella forma

Sostituendo (3.3) in (3.2), otteniamo

Uguagliando il termine libero a zero, otteniamo.

Prendiamolo allora.

Uguagliando il coefficiente a zero, troviamo:

Pertanto, la soluzione particolare desiderata ha la forma:

La serie a destra è detta serie ipergeometrica, poiché per α=1, β=γ si trasforma in una progressione geometrica

Secondo il Teorema_2, la serie (3.4) converge per |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

La seconda soluzione particolare si presenta come:

Invece di trovare con il metodo dei coefficienti indefiniti, faremo una sostituzione della funzione desiderata nell'equazione di Gauss secondo la formula

Otteniamo l'equazione di Gauss

in cui il ruolo dei parametri α, β e γ è svolto da e.

Pertanto, dopo aver costruito una soluzione particolare di questa equazione corrispondente alla radice zero dell'equazione di definizione e sostituendola nella (3.6), otteniamo la seconda soluzione particolare di questa equazione gaussiana nella forma:

La soluzione generale dell'equazione di Gauss (3.2) sarà:

Utilizzando il sistema fondamentale di soluzioni costruito dell'equazione di Gauss in prossimità del punto singolare x=0, si può facilmente costruire il sistema fondamentale di soluzioni di questa equazione in prossimità del punto singolare x=1, che è anche regolare punto singolare.

A tal fine, trasferiamo il punto singolare x = 1 di nostro interesse nel punto t = 0 e, insieme ad esso, il punto singolare x = 0 nel punto t = 1 utilizzando una variazione lineare della variabile indipendente x = 1 - t.

Eseguendo questa sostituzione in questa equazione di Gauss, otteniamo

Questa è l'equazione di Gauss con i parametri. Ha nelle vicinanze |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Ritornando alla variabile x, cioè ponendo t = 1 - x, otteniamo un sistema fondamentale di soluzioni dell'equazione di Gauss originale in prossimità del punto | x - 1|< 1 особой точки х = 1

La soluzione generale dell'equazione di Gauss (3.2) nel dominio è

Applicazione pratica del metodo di integrazione di equazioni differenziali ordinarie mediante serie.

Esempio 1. (#691) Calcola i primi coefficienti della serie (fino al coefficiente x 4 compreso) con condizioni iniziali

Dalle condizioni iniziali consegue che ora troviamo i coefficienti rimanenti:

Esempio_2. (#696) Calcola i primi coefficienti della serie (fino al coefficiente x 4 compreso) con condizioni iniziali

Soluzione: cercheremo la soluzione dell'equazione nella forma

Sostituiamo le espressioni ottenute nell'equazione originale:

Rappresentando il lato destro come una serie di potenze ed eguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x in entrambi i lati dell'equazione, otteniamo:

Poiché, a seconda della condizione, è necessario calcolare i coefficienti della serie fino al coefficiente x 4 compreso, è sufficiente calcolare i coefficienti.

Dalle condizioni iniziali segue che e 2. Ora troviamo i coefficienti rimanenti:

Pertanto, la soluzione dell'equazione può essere scritta nella forma

Esempio_3. (№700) Trova soluzioni linearmente indipendenti sotto forma di serie di potenze di un'equazione. Se possibile, esprimi la somma delle serie risultanti usando le funzioni elementari.

Decisione. Cercheremo la soluzione dell'equazione sotto forma di serie

Differenziando questa serie due volte e sostituendola in questa equazione, abbiamo

Scriviamo i primi termini della serie nell'equazione risultante:

Uguagliando i coefficienti a zero alle stesse potenze di x, otteniamo un sistema di equazioni per determinare:

………………………………….

Da queste equazioni troviamo

Assumiamo che allora solo i coefficienti saranno diversi da zero. Lo capiamo

Si costruisce una soluzione dell'equazione

La seconda soluzione, linearmente indipendente da quella trovata, si ottiene assumendo. Quindi solo i coefficienti saranno diversi da zero:

Le serie che rappresentano e convergono per qualsiasi valore di x e sono funzioni analitiche. Pertanto, tutte le soluzioni dell'equazione originale sono funzioni analitiche per tutti i valori di x. Tutte le soluzioni sono espresse dalla formula, dove C 1 , C 2 sono costanti arbitrarie:

Poiché la somma delle serie risultanti è facilmente esprimibile utilizzando le funzioni elementari, sarà scritta come:

Esempio_4. (N. 711) Risolvi l'equazione 2x 2 y "+ (3x - 2x 2) y" - (x + 1) y \u003d 0.

Decisione. Il punto x = 0 è un punto singolare regolare di questa equazione. Componiamo l'equazione di definizione: le sue radici λ 1 \u003d 1/2 e λ 2 \u003d - 1. Cerchiamo la soluzione dell'equazione originale corrispondente alla radice λ \u003d λ 1 nella forma

Sostituendo, e nell'equazione originale, abbiamo

Quindi, riducendo di, otteniamo

Uguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x, abbiamo equazioni per determinare:

Ponendo y 0 = 1, troviamo

Così,

Cerchiamo la soluzione dell'equazione originale corrispondente alla radice λ = λ 2 nella forma

Sostituendo questa espressione nell'equazione originale e uguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x, otteniamo o Mettendo y 0 = 1, troviamo

Scriviamo la soluzione generale dell'equazione originale nella forma in cui e sono costanti arbitrarie.

Conclusione

Risolvere un'equazione contenente funzioni sconosciute e loro derivate in una potenza superiore alla prima o in un modo più complicato è spesso molto difficile.

Negli ultimi anni, tali equazioni differenziali hanno attirato una crescente attenzione. Poiché le soluzioni delle equazioni sono spesso molto complesse e difficili da rappresentare con formule semplici, una parte significativa della teoria moderna è dedicata all'analisi qualitativa del loro comportamento, ad es. lo sviluppo di metodi che consentano, senza risolvere le equazioni, di dire qualcosa di significativo sulla natura delle soluzioni nel loro insieme: ad esempio, che sono tutte limitate, o hanno carattere periodico, o dipendono in un certo modo da i coefficienti.

Nel corso del corso è stata analizzata il metodo di integrazione di equazioni differenziali mediante potenze e serie di potenze generalizzate.

Letteratura:

Matveev N.V. Metodi di integrazione di equazioni differenziali ordinarie. ed. 4°, riv. e aggiuntivo Minsk, “Altissimo. scuola”, 1974. - 768s. da malato.
Agafonov SA, tedesco d.C., Muratova T.V. Equazioni differenziali: Proc. per le università / Ed. AVANTI CRISTO. Zarubina, A.P. Krishchenko. - 3a edizione, stereotipo. -M.: Casa editrice di MSTU im. NE Bauman, 2004. - 352 pag.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. matematica superiore. T.3: Equazioni differenziali. Integrali multipli. Righe. Funzioni di una variabile complessa: Proc. per le università: In 3 volumi / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; ed. V. A. Sadovnichy. - 6a ed., Stereotipo. — M.: Otarda, 2004. —— 512p.: ill.
Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Equazioni differenziali: esempi e problemi. Proc. indennità. - 2a ed., riveduta. - M.: Più in alto. scuola, 1989. - 383 p.: ill.
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MINISTERO DELL'ISTRUZIONE E DELLE SCIENZE DELLA REPUBBLICA DEL KAZAKISTAN

Università statale del Kazakistan settentrionale

loro. M. Kozybayeva

Facoltà di Informatica

Dipartimento di "Matematica"

Corsi difesi

valutato "_____________"

"___"___________ anno 2013

testa Dipartimento ____________

A. Tajigitov

tesina del CORSO in matematica

"INTEGRAZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

CON L'AIUTO DELLA SERIE POWER»

CAPO Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

AҢDAPTA

Berilgen kurstyk zhұmysta katarlarmen zhane differenzialedy tendemelermen baylanysty theorylyk suraқtar karastyrylgan. Differenziali endemenin integraldauynyn mysaldary zhane mangaz katarlardyn kömegimen karastyrylgan.

ANNOTAZIONE

In questo tesina Vengono considerate questioni teoriche relative alle equazioni serie e differenziali. Vengono considerati esempi di integrazione di equazioni differenziali con l'ausilio di serie di potenze.

il lavoro dato sono considerati questioni teoriche relative alle equazioni serie e differenziali. Sono stati considerati esempi di equazioni differenziali alle derivate parziali di integrazione che utilizzano serie di potenze.

INTRODUZIONE

CONCETTI DI BASE RELATIVI A SERIE ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1 righe. Concetti basilari. Criterio necessario per la convergenza

2 serie di potenze. Proprietà delle serie di potenze

3 serie Taylor. serie Maclaurin

4 Equazioni differenziali

5 Integrazione di equazioni differenziali mediante serie

ESEMPI DI UTILIZZO DELLA SERIE POWER IN INTEGRAZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1 Equazione ariosa

2 Equazione di Bessel

3 Esempi di integrazione

4 Esempi di integrazione in acero

CONCLUSIONE

INTRODUZIONE

Il termine "equazione differenziale" è dovuto a Leibniz (1676, pubblicato nel 1684). L'inizio della ricerca sulle equazioni differenziali risale al tempo di Leibniz e Newton, nei cui lavori furono studiati i primi problemi che portavano a tali equazioni. Leibniz, Newton ei fratelli J. e I. Bernoulli hanno sviluppato metodi per integrare le equazioni differenziali ordinarie. Come metodo universale, sono state utilizzate espansioni degli integrali delle equazioni differenziali nelle serie di potenze.

Ora la diffusa introduzione di metodi computazionali nella scienza, associata all'emergere di strumenti di calcolo ad alta potenza, richiede una rivalutazione dell'importanza di vari rami della matematica e, in particolare, sezioni della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Attualmente, è cresciuta l'importanza dei metodi per lo studio qualitativo delle soluzioni di equazioni differenziali, nonché dei metodi per trovare soluzioni approssimative.

Le soluzioni a molte equazioni differenziali non sono espresse in funzioni elementari o quadrature. In questi casi vengono utilizzati metodi approssimati di integrazione di equazioni differenziali. Uno di questi metodi consiste nel rappresentare la soluzione di un'equazione come serie di potenze; la somma di un numero finito di termini in questa serie sarà approssimativamente uguale alla soluzione desiderata. Questo determina la rilevanza del tema di ricerca scelto.

Scopo di questo lavoro: mostrare l'applicazione del metodo delle serie di potenze nell'integrazione di equazioni differenziali.

L'oggetto della ricerca è il processo di integrazione di equazioni differenziali mediante il metodo delle serie di potenze.

L'oggetto dello studio sono le forme, i metodi ei mezzi per integrare le equazioni differenziali per serie di potenze.

In accordo con l'obiettivo, possiamo formulare i compiti principali di questo lavoro:

Considera i concetti di base associati alle serie e alle equazioni differenziali.

Analizzare il metodo di integrazione delle equazioni differenziali utilizzando le serie di potenze.

Applicare il metodo delle serie di potenze per risolvere vari problemi.

La struttura del lavoro: frontespizio, modulo di assegnazione del lavoro, abstract, contenuto, introduzione, parte principale, conclusione, elenco dei riferimenti.

La parte principale del lavoro si compone di due capitoli. Il primo capitolo svela i concetti di serie, serie di potenze, serie di Taylor, equazioni differenziali. Nel secondo capitolo vengono considerati esempi di integrazione di equazioni differenziali per serie di potenze.

Per lo studio della parte teorica del lavoro sono stati utilizzati materiali tratti dalla letteratura didattica e dai periodici indicati nell'elenco della letteratura utilizzata.

Ambito di lavoro: 26 pagine.

1. CONCETTI DI BASE RELATIVI A SERIE ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1.1 Righe. Concetti basilari. Criterio necessario per la convergenza

Nelle applicazioni matematiche, oltre che nella risoluzione di alcuni problemi di economia, statistica e altro, vengono considerate somme con un numero infinito di termini. Definiamo qui cosa si intende per tali importi.

Sia data una successione infinita di numeri. Una serie numerica o semplicemente una serie è un'espressione (somma) della forma

,(1.1)

i numeri sono chiamati membri della serie, - membro comune o n-esimo della serie.

Per impostare la serie (1.1) è sufficiente impostare la funzione dell'argomento naturale per calcolare l'ennesimo membro della serie con il suo numero

Esempio 1.1. Lascia stare. Riga

(1.2)

chiamata serie armonica.

Dai termini della serie (1.1) formiamo una successione numerica di somme parziali dove - la somma dei primi termini della serie, che è detta somma parziale n-esima, cioè

(1.3)

Sequenza numerica con un aumento illimitato del numero può:

) hanno un limite finito;

) non hanno un limite finito (il limite non esiste o è uguale all'infinito).

Una serie (1.1) si dice convergente se la successione delle sue somme parziali (1.3) ha un limite finito, cioè

In questo caso, il numero si chiama somma della serie (1.1) e si scrive

Una serie (1.1) si dice divergente se la successione delle sue somme parziali non ha un limite finito. Nessuna somma è assegnata alla serie divergente.

Pertanto, il problema di trovare la somma delle serie convergenti (1.1) equivale a calcolare il limite della successione delle sue somme parziali.

La dimostrazione del teorema deriva dal fatto che , e se

S è quindi la somma delle serie (1.1).

La condizione (1.4) è una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Cioè, se il termine comune della serie tende a zero in , questo non significa che la serie converge. Ad esempio, per la serie armonica (1.2)

tuttavia, diverge.

Conseguenza (Un criterio sufficiente per la divergenza della serie): se il termine comune della serie non tende a zero, allora questa serie diverge.

Esempio 1.2. Indagare per serie di convergenza

Per questa serie Pertanto, questa serie diverge.

1.1 1.2 Serie di potenze. Proprietà delle serie di potenze

Le serie di potenza sono un caso speciale di serie funzionali.

Una serie di potenze è una serie funzionale della forma

qui - numeri reali costanti, chiamati coefficienti della serie di potenze;

Un certo numero costante;

Una variabile che prende valori dall'insieme dei numeri reali.

In , assume la forma la serie di potenze (1.5).

(1.6)

Una serie di potenze (1.5) è chiamata serie di potenze di differenza serie (1.6) - una serie di potenze Se a una variabile viene assegnato un valore, la serie di potenze (1.5) (o (1.6)) si trasforma in una serie numerica che possono convergere o divergere.

La regione di convergenza di una serie di potenze è l'insieme di quei valori per i quali converge la serie di potenze.

Teorema 1.2 (Teorema di Abel): se la serie di potenze (1.6) converge per allora converge assolutamente per tutti i valori che soddisfano la disuguaglianza, se la serie (1.6) diverge per allora diverge per tutti i valori che soddisfano la disuguaglianza

Il teorema di Abel dà un'idea chiara della struttura della regione di convergenza di una serie di potenze.

Teorema 1.3: La regione di convergenza delle serie di potenze (1.6) coincide con uno dei seguenti intervalli:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

dove è un numero reale non negativo o

Il numero è chiamato raggio di convergenza, l'intervallo è chiamato intervallo di convergenza delle serie di potenze (1.6).

Se allora l'intervallo di convergenza è l'intero asse reale

Se allora l'intervallo di convergenza degenera in un punto

Nota: se è l'intervallo di convergenza per la serie di potenze (1.2), allora è l'intervallo di convergenza per la serie di potenze (1.5).

Segue dal Teorema 1.3 che per la determinazione pratica della regione di convergenza della serie di potenze (1.6), basta trovare il suo raggio di convergenza e chiarire la questione della convergenza di questa serie agli estremi dell'intervallo di convergenza, cioè., a e

Il raggio di convergenza di una serie di potenze può essere trovato utilizzando una delle seguenti formule:

La formula di d'Alembert:

Formula di Cauchy:

Esempio 1.3. Trova il raggio di convergenza, l'intervallo di convergenza e l'area di convergenza di una serie di potenze

Trova il raggio di convergenza di questa serie con la formula

Nel nostro caso

Pertanto, l'intervallo di convergenza di questa serie ha la forma

Studiamo la convergenza delle serie agli estremi dell'intervallo di convergenza.

che diverge come una serie armonica.

Quando la serie di potenze si trasforma in una serie di numeri

Questa è una serie alternata, i cui termini decrescono in valore assoluto e

Pertanto, secondo il test di Leibniz, questa serie numerica converge.

Pertanto, l'intervallo è la regione di convergenza di una data serie di potenze.

La serie di potenze (1.6) è una funzione definita nell'intervallo di convergenza cioè

Ecco alcune proprietà della funzione

Proprietà 1. La funzione è continua su qualsiasi segmento appartenente all'intervallo di convergenza

Proprietà 2. La funzione è differenziabile su un intervallo e la sua derivata può essere trovata mediante differenziazione termine per termine della serie (1.6), cioè

per tutti

Proprietà 3. L'integrale indefinito di una funzione per tutti si ottiene mediante integrazione termine per termine della serie (1.6), cioè

per tutti

Va notato che quando la differenziazione e l'integrazione termine per termine di una serie di potenze, il suo raggio di convergenza non cambia, tuttavia, la sua convergenza agli estremi dell'intervallo può cambiare.

Le proprietà di cui sopra sono valide anche per le serie di potenze (1.5).

Esempio 1.4. Considera la serie di potenze

La regione di convergenza di questa serie, come mostrato nell'Esempio 1.3, è l'intervallo

Differenziamo questa serie termine per termine:

(1.7)

Studiamo il comportamento di questa serie agli estremi dell'intervallo di convergenza.

Questa serie numerica diverge, poiché il necessario criterio di convergenza non è soddisfatto

che non esiste.

Per , la serie di potenze (1.7) diventa una serie numerica

che diverge anche perché il criterio di convergenza richiesto non è soddisfatto.

Pertanto, la regione di convergenza delle serie di potenze ottenuta dalla differenziazione termine per termine delle serie di potenze originarie è cambiata e coincide con l'intervallo .

1.3 Serie di Taylor. serie Maclaurin

Sia una funzione infinitamente differenziabile in un intorno di un punto cioè ha derivati di qualsiasi ordine. La serie di Taylor di una funzione in un punto è chiamata serie di potenze

(1.8)

Nel caso particolare di , la serie (1.8) è chiamata serie di Maclaurin:

Sorge la domanda: in quali casi la serie di Taylor per una funzione differenziata un numero infinito di volte in un intorno di un punto coincide con la funzione?

Ci sono casi in cui la serie di Taylor della funzione converge, ma la sua somma non è uguale a

Diamo una condizione sufficiente per la convergenza della serie di Taylor di una funzione a questa funzione.

Teorema 1.4: se nell'intervallo la funzione ha derivate di qualsiasi ordine e tutte sono limitate dallo stesso numero in valore assoluto, cioè quindi la serie di Taylor di questa funzione converge per uno qualsiasi di questo intervallo quelli. c'è un'uguaglianza

Per chiarire il soddisfacimento di questa uguaglianza alle estremità dell'intervallo di convergenza, sono necessari studi separati.

Va notato che se una funzione viene espansa in una serie di potenze, allora questa serie è la serie di Taylor (Maclaurin) di questa funzione e questa espansione è unica.

1.4 Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale ordinaria dell'ennesimo ordine per una funzione di un argomento è una relazione della forma

dove è una data funzione dei suoi argomenti.

In nome di questa classe di equazioni matematiche, il termine "differenziale" sottolinea che includono le derivate (funzioni formate come risultato della differenziazione); il termine - "ordinario" dice che la funzione desiderata dipende da un solo argomento reale.

Un'equazione differenziale ordinaria può non contenere esplicitamente l'argomento della funzione desiderata e una delle sue derivate, ma la derivata più alta deve essere inclusa nell'equazione di ordine n.

Per esempio,

A) - equazione del primo ordine;

B) è un'equazione del terzo ordine.

Quando si scrivono equazioni differenziali ordinarie, viene spesso utilizzata la notazione delle derivate attraverso differenziali:

A) - equazione del secondo ordine;

G) - un'equazione del primo ordine che, dopo aver diviso per la forma equivalente di impostazione dell'equazione:

Una funzione è chiamata soluzione di un'equazione differenziale ordinaria se, quando sostituita in essa, diventa un'identità.

Trovare con un metodo o con l'altro, ad esempio, la selezione, una funzione che soddisfi un'equazione non significa risolverla. Risolvere un'equazione differenziale ordinaria significa trovare tutte le funzioni che formano un'identità quando sostituite nell'equazione. Per l'equazione (1.10), la famiglia di tali funzioni è formata utilizzando costanti arbitrarie ed è chiamata soluzione generale di un'equazione differenziale ordinaria dell'n-esimo ordine e il numero di costanti coincide con l'ordine dell'equazione: integrale dell'equazione (1.10 ).

Impostando alcuni valori ammissibili per tutte le costanti arbitrarie nella soluzione generale o nell'integrale generale, otteniamo una determinata funzione che non contiene più costanti arbitrarie. Questa funzione è chiamata soluzione particolare o integrale particolare dell'equazione (1.10). Per trovare i valori di costanti arbitrarie, e quindi la soluzione particolare, vengono utilizzate varie condizioni aggiuntive per l'equazione (1.10). Ad esempio, le cosiddette condizioni iniziali per:

Sul lato destro delle condizioni iniziali (1.11), sono riportati i valori numerici della funzione e delle derivate e il numero totale di condizioni iniziali è uguale al numero di costanti arbitrarie da determinare.

Il compito di trovare una soluzione particolare all'equazione (1.10) secondo le condizioni iniziali è chiamato problema di Cauchy.

1.5 Integrazione di equazioni differenziali mediante serie

Nel caso generale, trovare una soluzione esatta a un'equazione differenziale ordinaria (ODE) del primo ordine integrandola è impossibile. Inoltre, questo non è fattibile per il sistema ODE. Questa circostanza ha portato alla creazione di un gran numero di metodi approssimati per la risoluzione delle ODE e dei loro sistemi. Esistono tre gruppi di metodi approssimativi: analitico, grafico e numerico. Naturalmente, una tale classificazione è alquanto arbitraria. Ad esempio, il metodo grafico della linea spezzata di Eulero è alla base di uno dei metodi per risolvere numericamente un'equazione differenziale.

L'integrazione delle ODE mediante serie di potenze è un metodo analitico approssimativo, solitamente applicato a equazioni lineari di almeno secondo ordine. Per semplicità ci limitiamo a considerare una ODE lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti variabili

(1.12)

Nota: una classe abbastanza ampia di funzioni può essere rappresentata come

dove sono alcune costanti. Questa espressione è chiamata serie di potenze.

Supponiamo che le funzioni possano essere espanse in serie convergenti nell'intervallo:

Vale il seguente teorema (omettendo la dimostrazione, presentiamo solo la sua formulazione).

Teorema 1.5: se le funzioni hanno la forma (1.13), allora qualsiasi soluzione di ODE (1.12) può essere rappresentata come una serie di potenze convergenti in:

(1.14)

Questo teorema non solo permette di rappresentare la soluzione sotto forma di serie di potenze, ma, soprattutto, giustifica la convergenza delle serie (1.14). Per semplicità, inseriamo (1.13) e (1.14) e cerchiamo una soluzione per ODE (1.12) nella forma

(1.15)

Sostituendo (1.15) in (1.12), otteniamo l'uguaglianza

Perché la (1.16) sia soddisfatta, è necessario che il coefficiente ad ogni potenza sia uguale a zero.

Da questa condizione otteniamo un sistema infinito di equazioni algebriche lineari

da cui si possono trovare successivamente se i valori e sono specificati (nel caso del problema di Cauchy per ODE (1.12) sono inclusi nelle condizioni iniziali ).

Se le funzioni sono razionali, cioè

dove sono i polinomi, allora in prossimità di punti in cui o la soluzione in forma di serie di potenze può non esistere, e se esiste, può divergere ovunque, tranne che per il punto.Questa circostanza era nota anche a L. Euler, che considerava l'equazione del primo ordine

Questa equazione è soddisfatta dalla serie di potenze

Tuttavia, è facile vedere che questa serie diverge per qualsiasi

La soluzione di una ODE sotto forma di serie di potenze divergenti è detta formale.

2. ESEMPI DI UTILIZZO DELLA SERIE POWER IN INTEGRAZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Equazione ariosa

Soluzione dell'equazione di Airy

cercheremo sotto forma di serie di potenze (1.15). Allora l'uguaglianza (1.16) prende la forma

Il coefficiente a uguale Pertanto, dall'uguaglianza a zero del coefficiente a, troviamo il Coefficiente a uguale Da qui

Da questa formula otteniamo

Allo stesso modo, troviamo

I coefficienti e rimangono indefiniti. Per trovare il sistema fondamentale di soluzioni, abbiamo prima impostato e poi viceversa. Nel primo caso abbiamo

e nel secondo

Sulla base del Teorema 1.5, queste serie convergenti ovunque sulla retta reale

Le funzioni sono chiamate funzioni Airy. Per valori elevati, il comportamento asintotico di queste funzioni è descritto dalle formule

I grafici di queste funzioni sono mostrati nella Figura 1.

Immagine 1

Con un aumento illimitato, gli zeri di qualsiasi soluzione dell'equazione di Airy convergono indefinitamente, il che è evidente dalla rappresentazione asintotica di queste soluzioni, ma non è affatto ovvio dalla rappresentazione delle funzioni di Airy sotto forma di serie di potenze convergenti. Ne consegue che il metodo per trovare una soluzione a una ODE utilizzando una serie è, in generale, di scarsa utilità nella risoluzione di problemi applicati, e la stessa rappresentazione della soluzione sotto forma di serie rende difficile analizzare le proprietà qualitative di la soluzione risultante.

2.1 Equazione di Bessel

Equazione differenziale lineare a coefficienti variabili, di forma

prende il nome di equazione di Bessel.

Cercheremo la soluzione dell'equazione (2.1) sotto forma di serie di potenze generalizzate, cioè prodotti di un certo grado sulla serie della steppa:

(2.2)

Sostituendo la serie di potenze generalizzate nell'equazione (2.1) ed eguagliando a zero i coefficienti ad ogni potenza sul lato sinistro dell'equazione, otteniamo il sistema

Supponendo che da questo sistema troviamo Let Then dalla seconda equazione del sistema che troviamo e dall'equazione, dando i valori 3,5,7, ..., concludiamo che Per coefficienti con numeri pari otteniamo il espressioni

Sostituendo i coefficienti trovati nella serie (2.2), otteniamo la soluzione

dove il coefficiente rimane arbitrario.

Poiché tutti i coefficienti sono determinati in modo simile solo nel caso in cui non sia uguale a un intero. Quindi la soluzione può essere ottenuta sostituendo il valore nella soluzione precedente con:

Le serie di potenze risultanti convergono per tutti i valori di , che è facilmente determinabile sulla base del criterio d'Alembert. Le soluzioni e sono linearmente indipendenti, poiché il loro rapporto non è costante.

Soluzione moltiplicata per una costante è chiamata funzione di Bessel (o funzione cilindrica) dell'ordine del primo tipo ed è indicata dal simbolo La soluzione è indicata

La scelta generalmente accettata di una costante coinvolge la funzione gamma, che è determinata da un integrale improprio:

Di conseguenza, la soluzione generale dell'equazione (2.1) quando non è uguale a un intero ha la forma dove e sono costanti arbitrarie .

2.2 Esempi di integrazione

Nei casi in cui l'equazione richiede la risoluzione del problema di Cauchy nella condizione iniziale, la soluzione può essere cercata utilizzando la serie di Taylor:

dove e ulteriori derivate si trovano per successiva differenziazione dell'equazione originale e sostituzione nel risultato della differenziazione invece dei valori e di tutte le altre derivate successive trovate. Allo stesso modo, le equazioni di ordine superiore possono essere integrate utilizzando la serie di Taylor.

Esempio 2.1. Integrare l'equazione approssimativamente usando la serie di Taylor, prendendo i primi sei termini diversi da zero dell'espansione.

Dall'equazione delle condizioni iniziali troviamo Differenziando questa equazione, otteniamo successivamente

Impostazione e utilizzo dei valori in sequenza troviamo La soluzione desiderata ha la forma

Esempio 2.2. Trova i primi quattro (diversi da zero) termini dell'espansione. e

Sostituendo i valori trovati in serie (2.3), otteniamo la soluzione desiderata con la precisione specificata:

2.3 Esempi di integrazione in Maple

Per trovare soluzioni analitiche alle equazioni differenziali in Maple, viene utilizzato il comando dsolve(eq,var,options), dove eq è un'equazione differenziale, var sono funzioni sconosciute e options sono opzioni. I parametri possono specificare un metodo per risolvere il problema, ad esempio, per impostazione predefinita, viene ricercata una soluzione analitica: tipo=esatta. Quando si compilano equazioni differenziali, il comando diff viene utilizzato per denotare la derivata, ad esempio, un'equazione differenziale viene scritta come: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Per trovare una soluzione approssimativa di un'equazione differenziale sotto forma di serie di potenze, nel comando dsolve, specificare il parametro tipo=serie (o semplicemente serie) dopo le variabili. Per specificare l'ordine di espansione, ad es. l'ordine del grado in cui viene eseguita la scomposizione, prima del comando dsolve, inserire la definizione dell'ordine utilizzando il comando Order:=n.

Se si cerca una soluzione generale di un'equazione differenziale sotto forma di un'espansione in una serie di potenze, i coefficienti ai gradi dell'espansione trovata conterranno valori sconosciuti della funzione a zero e delle sue derivate, e così via. L'espressione ottenuta nella riga di output avrà una forma simile all'espansione di Maclaurin della soluzione desiderata, ma con coefficienti diversi alle potenze di . Per isolare una soluzione particolare, si dovrebbero impostare le condizioni iniziali, ecc., e il numero di queste condizioni iniziali dovrebbe coincidere con l'ordine della corrispondente equazione differenziale.

L'espansione in una serie di potenze è di tipo serie, quindi per lavorare ulteriormente con questa serie, dovrebbe essere convertita in un polinomio usando il comando convert(%,polynom), quindi il lato destro dell'espressione risultante dovrebbe essere selezionato con il comando rhs(%).

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, ( [email protetta]@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=destra(%):

> dsolve((de,cond),y(x),serie);

Nota: il tipo di soluzione di un'equazione differenziale sotto forma di serie è una serie, quindi, per un ulteriore utilizzo di tale soluzione (calcoli o tracciati), deve essere convertita in un polinomio utilizzando il comando convert.

numero di equazioni differenziali grado

> convert(%,polynom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1, x=-3..3, spessore=2, colore=nero):

> p2:=plot(y2, x=-3..3, stile linea=3, spessore=2, colore=nero):

> con(trame): display(p1,p2);

La figura 2 mostra che la migliore approssimazione della soluzione esatta per una serie di potenze si ottiene approssimativamente sull'intervallo

figura 2

CONCLUSIONE

Gli obiettivi fissati nel lavoro del corso sono stati pienamente raggiunti, sono stati risolti i seguenti compiti:

Vengono definiti i concetti di base relativi alle serie e alle equazioni differenziali.

Viene considerato un metodo per integrare equazioni differenziali con l'aiuto di serie di potenze.

Problemi risolti su questo argomento.

In questo lavoro del corso, il materiale è stato studiato e sistematizzato per la sua applicazione da parte degli studenti durante lo studio indipendente del metodo di integrazione di equazioni differenziali utilizzando serie di potenze. Vengono presi in considerazione i concetti di serie e di equazioni differenziali. I calcoli approssimativi vengono eseguiti utilizzando le serie.

L'opera può essere utilizzata come sussidio didattico per studenti di specialità tecniche e matematiche.

I risultati del lavoro possono servire come base per ulteriori ricerche.

ELENCO DELLA LETTERATURA USATA

1 Tricomi F. Equazioni differenziali. Traduzione dall'inglese. - M.: Bookinist, 2003. - 352 p.

Vlasova B. A., Zarubin V. C., Kuvyrkin G. N. Metodi approssimativi di fisica matematica: libro di testo per le università. - M.: Casa editrice di MSTU im. NE Bauman, 2001. - 700 p.

Budak BM Fomin SV Integrali multipli e serie. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 pag.

Demidovich B.P. Raccolta di problemi ed esercizi su analisi matematica. - M.: Casa editrice di Mosca. Università CheRo, 2000. - 624 pag.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko GI, et al.. All Higher Mathematics: Textbook. T. 3. - M.: Editoriale URSS, 2005. - 240 p.

Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. et al.Matematica superiore: Corso generale: libro di testo. - M.: Più in alto. scuola., 2000.- 351 p.

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