Logaritmo di un numero complesso. Logaritmi complessi

Piano:

1 Logaritmo reale
- 1.1 Proprietà
- 1.2 funzione logaritmica
- 1.3 logaritmi naturali
- 1.4 Logaritmi decimali
2 Logaritmo complesso
- 2.1 Definizione e proprietà
- 2.2 Esempi
- 2.3 Continuazione analitica
- 2.4 superficie di Riemann
3 Cenni storici
- 3.1 Logaritmo reale
- 3.2 Logaritmo complesso
4 Tavole logaritmiche
5 Applicazioni

introduzione

Riso. 1. Grafici delle funzioni logaritmiche

Logaritmo di un numero B per ragione un (dal greco. λόγος - "parola", "atteggiamento" e ἀριθμός - “numero”) è definito come indicatore del grado di elevazione della base un per ottenere il numero B. Designazione: . Dalla definizione consegue che le voci e sono equivalenti.

Ad esempio, perché .

1. Logaritmo reale

Logaritmo di un logaritmo di numeri reali un B ha senso quando. Come sapete, la funzione esponenziale y = un X è monotono e ogni valore richiede solo una volta e l'intervallo dei suoi valori contiene tutti i numeri reali positivi. Ne consegue che il valore del logaritmo reale numero positivo esiste sempre ed è determinato in modo univoco.

I più utilizzati sono i seguenti tipi di logaritmi.

1.1. Proprietà

Prova

Dimostriamolo.

(perché per condizione bc > 0). ■

Prova

Dimostriamolo

(perché per condizione ■

Prova

Usiamo l'identità per dimostrarlo. Logaritmiamo entrambi i lati dell'identità in base c. Noi abbiamo:

Prova

Dimostriamolo.

(perché B P> 0 per condizione). ■

Prova

Dimostriamolo

Prova

Prendi il logaritmo dei lati sinistro e destro alla base C :

Lato sinistro: Lato destro:

L'uguaglianza delle espressioni è evidente. Poiché i logaritmi sono uguali, quindi, per la monotonia funzione logaritmica le espressioni stesse sono uguali. ■

1.2. funzione logaritmica

Se consideriamo un numero logaritmico come una variabile, otteniamo funzione logaritmica y= registro un X (vedi fig. 1). È definito in . Intervallo di valori: .

La funzione è rigorosamente crescente per un> 1 e rigorosamente decrescente a 0< un < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Dritto X= 0 è l'asintoto verticale sinistro, perché at un> 1 e a 0< un < 1 .

La derivata della funzione logaritmica è:

Prova

I. Dimostriamolo

Scriviamo l'identità e ln X = X e differenziare i suoi lati sinistro e destro

Lo otteniamo, da cui ne consegue

II. Dimostriamolo

La funzione logaritmica implementa un isomorfismo gruppo moltiplicativo positivo numeri reali e il gruppo additivo di tutti i numeri reali.

1.3. logaritmi naturali

Relazione con il logaritmo decimale: .

Come detto sopra, la derivata del logaritmo naturale ha una formula semplice:

Per questo motivo, i logaritmi naturali sono usati principalmente nella ricerca matematica. Appaiono spesso quando equazioni differenziali, lo studio delle dipendenze statistiche (ad esempio la distribuzione numeri primi) eccetera.

L'integrale indefinito del logaritmo naturale è facile da trovare integrando per parti:

L'espansione della serie di Taylor può essere rappresentata come segue:
quando l'uguaglianza

(1)

In particolare,

Questa serie converge più velocemente e, inoltre, il lato sinistro della formula può ora esprimere il logaritmo di qualsiasi numero positivo.

1.4. Logaritmi decimali

Riso. 2a. Scala logaritmica

Riso. 2b. Scala logaritmica con simboli

Logaritmi in base 10 (simbolo: lg un) prima dell'invenzione delle calcolatrici erano ampiamente utilizzate per i calcoli. La scala non uniforme dei logaritmi decimali viene solitamente applicata anche ai regoli calcolatori. Una scala simile è utilizzata in molti campi della scienza, ad esempio:

Fisica - intensità del suono (decibel).
L'astronomia è una scala per la luminosità delle stelle.
Chimica - attività degli ioni idrogeno (pH).
Sismologia - Scala Richter.
Teoria musicale - la scala musicale, in relazione alle frequenze dei suoni musicali.
La storia è una scala temporale logaritmica.

La scala logaritmica è anche ampiamente utilizzata per identificare l'esponente nelle dipendenze esponenziali e il coefficiente nell'esponente. Allo stesso tempo, un grafico costruito su scala logaritmica lungo uno o due assi assume la forma di una linea retta, che è più facile da studiare.

2. Logaritmo complesso

2.1. Definizione e proprietà

Per i numeri complessi, il logaritmo è definito allo stesso modo di quello reale. In pratica si usa quasi esclusivamente il logaritmo complesso naturale, che indichiamo e definiamo come l'insieme di tutti i numeri complessi z tale che e z = w . Il logaritmo complesso esiste per qualsiasi , e la sua parte reale è determinata in modo univoco, mentre l'immaginario ha un numero infinito di valori. Per questo motivo è chiamata funzione multivalore. Se immagina w in forma esponenziale:

allora il logaritmo si trova con la formula:

Ecco il vero logaritmo, R = | w | , Kè un numero intero arbitrario. Il valore ottenuto quando K= 0 viene chiamato importanza principale logaritmo naturale complesso; è consuetudine assumere il valore dell'argomento nell'intervallo (− π,π] . Viene chiamata la funzione corrispondente (già a valore singolo) ramo principale logaritmo ed è indicato da . A volte denotano anche il valore del logaritmo, che non giace sul ramo principale.

Dalla formula segue:

La parte reale del logaritmo è determinata dalla formula:

Il logaritmo di un numero negativo si trova con la formula:

Poiché le funzioni trigonometriche complesse sono associate all'esponenziale (formula di Eulero), il logaritmo complesso, in quanto inverso della funzione esponenziale, è associato all'inversa funzioni trigonometriche. Un esempio di tale connessione:

2.2. Esempi

Ecco il valore principale del logaritmo per alcuni argomenti:

È necessario prestare attenzione quando si convertono logaritmi complessi, tenendo conto del fatto che sono multivalore e quindi l'uguaglianza dei logaritmi di qualsiasi espressione non implica l'uguaglianza di queste espressioni. Un esempio di ragionamento errato:

ioπ = ln(− 1) = ln((− io) 2) = 2ln(- io) = 2(− ioπ / 2) = - ioπ - una palese assurdità.

Si noti che il valore principale del logaritmo è a sinistra e il valore del ramo sottostante è a destra ( K= - 1). Il motivo dell'errore è l'uso negligente della proprietà, che, in generale, nel caso complesso implica l'intero insieme infinito di valori del logaritmo, e non solo il valore principale.

2.3. Continuazione analitica

Riso. 3. Logaritmo complesso (parte immaginaria)

Logaritmo numero complesso può anche essere definita come la continuazione analitica del logaritmo reale sull'intero piano complesso. Lascia che la curva Γ inizi da 1, non passi per zero e non intersechi la parte negativa dell'asse reale. Quindi il valore principale del logaritmo nel punto finale w la curva Γ può essere determinata dalla formula:

Se Γ è una curva semplice (senza autointersezioni), allora per i numeri che giacciono su di essa, le identità logaritmiche possono essere applicate senza paura, ad esempio

Se la curva Γ può intersecare la parte negativa dell'asse reale, la prima di tali intersezioni trasferisce il risultato dal ramo del valore principale al ramo vicino e ogni intersezione successiva provoca uno spostamento simile lungo i rami della funzione logaritmica ( Guarda la figura).

Dalla formula di continuazione analitica ne consegue che su qualsiasi ramo del logaritmo

Per qualsiasi cerchio S racchiudendo il punto 0:

L'integrale è preso nella direzione positiva (in senso antiorario). Questa identità è alla base della teoria dei residui.

Si può anche definire la continuazione analitica del logaritmo complesso utilizzando la serie (1) di cui sopra, generalizzata al caso argomento complesso. Tuttavia, dal tipo di espansione deriva che è uguale a zero all'unità, cioè la serie si riferisce solo al ramo principale della funzione multivalore del logaritmo complesso.

2.4. superficie di Riemann

La funzione logaritmica complessa è un esempio di superficie di Riemann; la sua parte immaginaria (Fig. 3) è costituita da un numero infinito di rami attorcigliati a forma di spirale. Questa superficie è semplicemente collegata; il suo unico zero (del primo ordine) è ottenuto da z= 1 , punti speciali: z= 0 e (punti di diramazione di ordine infinito).

La superficie di Riemann del logaritmo è la copertura universale per piano complesso senza punto 0.

3. Cenni storici

3.1. Logaritmo reale

La necessità di calcoli complessi nel XVI secolo crebbe rapidamente e gran parte della difficoltà era associata alla moltiplicazione e alla divisione di numeri a più cifre, nonché all'estrazione di radici. Alla fine del secolo, diversi matematici, quasi contemporaneamente, ebbero l'idea: sostituire la lunga moltiplicazione con la semplice addizione, confrontando progressioni geometriche e aritmetiche tramite apposite tabelle, mentre quella geometrica sarà quella originale. Quindi la divisione viene automaticamente sostituita da una sottrazione incommensurabilmente più semplice e affidabile, e l'estrazione della radice del grado n si riduce a dividere il logaritmo dell'espressione radicale per n. Fu il primo a pubblicare questa idea nel suo libro Aritmetica integra» Michael Stiefel, che però non fece sforzi seri per realizzare la sua idea.

Nel 1614, il matematico dilettante scozzese John Napier pubblicò latino saggio intitolato " Descrizione della straordinaria tavola dei logaritmi"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Esso aveva breve descrizione logaritmi e loro proprietà, nonché tabelle a 8 cifre di logaritmi di seno, coseno e tangente, con un passo di 1". Termine logaritmo, proposto da Napier, si è affermato nella scienza. Napier ha delineato la teoria dei logaritmi nel suo altro libro " Costruire una straordinaria tavola di logaritmi"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), pubblicato postumo nel 1619 dal figlio.

Il concetto di funzione non esisteva ancora e Napier determinò il logaritmo cinematicamente, confrontando il movimento uniforme e logaritmicamente lento; ad esempio, ha definito il logaritmo del seno come segue:

Il logaritmo di un dato seno è un numero che aumenta sempre aritmeticamente alla stessa velocità in cui il seno pieno inizia a diminuire geometricamente.

Nella notazione moderna, il modello cinematico di Napier può essere rappresentato da un'equazione differenziale: dx/x = -dy/M, dove M è il fattore di scala introdotto per rendere il valore un intero con il numero di cifre desiderato ( decimali non ancora ampiamente utilizzato). Napier ha preso M = 10000000.

A rigor di termini, Napier ha tabulato la funzione sbagliata, che ora è chiamata logaritmo. Se denotiamo la sua funzione come LogNap(x), allora è correlata al logaritmo naturale come segue:

Ovviamente, LogNap (M) = 0, cioè il logaritmo del "seno pieno" è zero - questo è ciò che Napier cercava con la sua definizione. .

La proprietà principale del logaritmo di Napier: se le quantità si formano progressione geometrica, allora i loro logaritmi formano una progressione aritmetica. Tuttavia, le regole per il logaritmo per la funzione non Pierian differivano dalle regole per il logaritmo moderno.

Per esempio, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Sfortunatamente, tutti i valori nella tabella di Napier contenevano un errore di calcolo dopo la sesta cifra. Tuttavia, ciò non ha impedito al nuovo metodo di calcolo di guadagnare ampia popolarità e molti matematici europei, incluso Keplero, hanno iniziato a compilare tabelle logaritmiche. Già 5 anni dopo, nel 1619, l'insegnante di matematica londinese John Spydell ( John Spidell) ha ripubblicato le tabelle di Napier, trasformate in modo che diventassero effettivamente tabelle di logaritmi naturali (sebbene Spydell abbia mantenuto il ridimensionamento a numeri interi). Il termine "logaritmo naturale" è stato coniato dal matematico italiano Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) a metà del XVI secolo.

Nel 1620, Edmund Wingate e William Oughtred inventarono il primo regolo calcolatore, prima dell'avvento delle calcolatrici tascabili, uno strumento indispensabile per un ingegnere.

Vicino alla moderna comprensione del logaritmo - come operazione inversa all'elevazione a potere - apparve per la prima volta in Wallis e Johann Bernoulli, e fu infine legalizzato da Eulero nel XVIII secolo. In Introduzione all'analisi degli infiniti (1748), Eulero diede definizioni moderne funzioni sia esponenziali che logaritmiche, hanno portato alla loro espansione in serie di potenze, in particolare ha notato il ruolo del logaritmo naturale.

Eulero ha anche il merito di estendere la funzione logaritmica al dominio complesso.

3.2. Logaritmo complesso

I primi tentativi di estendere i logaritmi a numeri complessi furono fatti a cavallo tra il XVII e il XVIII secolo da Leibniz e Johann Bernoulli, ma non riuscirono a creare una teoria olistica, principalmente perché il concetto di logaritmo stesso non era ancora chiaramente definito. La discussione su questo tema fu dapprima tra Leibniz e Bernoulli e, a metà del XVIII secolo, tra d'Alembert ed Eulero. Bernoulli e d'Alembert credevano che fosse necessario definire log(-x) = log(x). Teoria completa logaritmi di numeri negativi e complessi è stato pubblicato da Eulero nel 1747-1751 e sostanzialmente non è diverso da quello moderno.

Sebbene la controversia continuasse (D'Alembert difese il suo punto di vista e lo argomentò in dettaglio in un articolo della sua Enciclopedia e in altre opere), il punto di vista di Eulero ottenne rapidamente un riconoscimento generale.

4. Tavole logaritmiche

Tavole logaritmiche

Dalle proprietà del logaritmo consegue che invece della lunga moltiplicazione di numeri multivalore, è sufficiente trovare (dalle tabelle) e sommare i loro logaritmi, quindi eseguire il potenziamento usando le stesse tabelle, cioè trovare il valore del risultato per il suo logaritmo. Fare divisione differisce solo per il fatto che i logaritmi vengono sottratti. Laplace ha affermato che l'invenzione dei logaritmi "ha prolungato la vita degli astronomi" accelerando notevolmente il processo di calcolo.

Quando si sposta la virgola decimale in un numero su n cifre, il valore del logaritmo decimale di questo numero viene modificato di n. Ad esempio, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Ne consegue che è sufficiente fare una tabella di logaritmi decimali per numeri compresi tra 1 e 10.

Le prime tavole dei logaritmi furono pubblicate da John Napier (1614), e contenevano solo i logaritmi delle funzioni trigonometriche, e con errori. Indipendentemente da lui, Joost Burgi, amico di Keplero, pubblicò le sue tavole (1620). Nel 1617 il professore di matematica di Oxford Henry Briggs pubblicò tabelle che includevano già i logaritmi decimali dei numeri stessi, da 1 a 1000, con 8 (poi 14) cifre. Ma c'erano anche errori nelle tabelle Briggs. La prima edizione infallibile basata sulle tavole Vega (1783) apparve solo nel 1857 a Berlino (tavole Bremiver).

In Russia, le prime tavole dei logaritmi furono pubblicate nel 1703 con la partecipazione di L. F. Magnitsky. Diverse raccolte di tabelle di logaritmi furono pubblicate in URSS.

Bradis V.M. Tabelle matematiche a quattro cifre. 44a edizione, M., 1973.

Le tavole di Bradys (1921) sono state utilizzate in istituzioni educative e nei calcoli ingegneristici che non richiedono grande precisione. Contenevano mantisse di logaritmi decimali di numeri e funzioni trigonometriche, logaritmi naturali e alcuni altri utili strumenti di calcolo.

Vega G. Tabelle dei logaritmi a sette cifre, 4a edizione, M., 1971.

Collezione professionale per calcoli accurati.

Tabelle a cinque cifre dei valori naturali delle quantità trigonometriche, dei loro logaritmi e logaritmi dei numeri, 6a ed., M.: Nauka, 1972.
Tavole dei logaritmi naturali, 2a edizione, in 2 volumi, Mosca: Nauka, 1971.

Allo stato attuale, con la diffusione delle calcolatrici, è scomparsa la necessità di utilizzare le tabelle dei logaritmi.

M, Caratteristica (analisi complessa).

(dal greco λόγος - "parola", "relazione" e ἀριθμός - "numero") numeri B per ragione un(log α B) è chiamato tale numero C, E B= corrente alternata, cioè log α B=C e b=aC sono equivalenti. Il logaritmo ha senso se a > 0, a ≠ 1, b > 0.

In altre parole logaritmo numeri B per ragione ma formulato come un esponente a cui un numero deve essere elevato un per ottenere il numero B(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

Da questa formulazione segue che il calcolo x= log α B, equivale a risolvere l'equazione a x =b.

Per esempio:

log 2 8 = 3 perché 8=2 3 .

Notiamo che la formulazione indicata del logaritmo permette di determinare immediatamente valore del logaritmo quando il numero sotto il segno del logaritmo è una certa potenza della base. Infatti, la formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=a c, quindi il logaritmo del numero B per ragione unè uguale a da. È anche chiaro che l'argomento del logaritmo è strettamente correlato all'argomento grado di numero.

Si fa riferimento al calcolo del logaritmo logaritmo. Il logaritmo è l'operazione matematica di prendere un logaritmo. Quando si prende un logaritmo, i prodotti dei fattori si trasformano in somme di termini.

Potenziamentoè l'operazione matematica inversa al logaritmo. Quando si potenzia, la base data viene elevata alla potenza dell'espressione su cui viene eseguito il potenziamento. In questo caso, le somme dei termini si trasformano nel prodotto dei fattori.

Molto spesso vengono utilizzati logaritmi reali con base 2 (binaria), e numero di Eulero e ≈ 2.718 (logaritmo naturale) e 10 (decimale).

In questa fase, vale la pena considerare campioni di logaritmi registro 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

E le voci lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 non hanno senso, poiché nella prima di esse un numero negativo è posto sotto il segno del logaritmo, nella seconda - un numero negativo in la base, e nel terzo - e un numero negativo sotto il segno del logaritmo e dell'unità nella base.

Condizioni per la determinazione del logaritmo.

Vale la pena considerare separatamente le condizioni a > 0, a ≠ 1, b > 0. definizione di un logaritmo. Consideriamo perché queste restrizioni vengono prese. Questo ci aiuterà con un'uguaglianza della forma x = log α B, chiamata identità logaritmica di base, che segue direttamente dalla definizione del logaritmo data sopra.

Prendi la condizione a≠1. Poiché uno è uguale a uno per qualsiasi potenza, allora l'uguaglianza x=log α B può esistere solo quando b=1, ma log 1 1 sarà qualsiasi numero reale. Per eliminare questa ambiguità, prendiamo a≠1.

Proviamo la necessità della condizione a>0. In a=0 secondo la formulazione del logaritmo, può esistere solo quando b=0. E poi di conseguenza registro 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. Per eliminare questa ambiguità, la condizione a≠0. E quando un<0 dovremmo rifiutare l'analisi dei valori razionali e irrazionali del logaritmo, poiché l'esponente con esponente razionale e irrazionale è definito solo per basi non negative. È per questo motivo che la condizione a>0.

E l'ultima condizione b>0 deriva dalla disuguaglianza a>0, perché x=log α B, e il valore del grado con base positiva un sempre positivo.

Caratteristiche dei logaritmi.

Logaritmi caratterizzato da distintivo caratteristiche, che ha portato al loro uso diffuso per facilitare notevolmente calcoli accurati. Nella transizione "al mondo dei logaritmi", la moltiplicazione si trasforma in un'addizione molto più facile, la divisione in sottrazione e l'elevazione a potenza e la radice si trasformano rispettivamente in moltiplicazione e divisione per esponente.

La formulazione dei logaritmi e una tabella dei loro valori (per le funzioni trigonometriche) fu pubblicata per la prima volta nel 1614 dal matematico scozzese John Napier. Le tabelle logaritmiche, ingrandite e dettagliate da altri scienziati, furono ampiamente utilizzate nei calcoli scientifici e ingegneristici e rimasero rilevanti fino a quando non iniziarono a essere utilizzate calcolatrici elettroniche e computer.

Vengono fornite le principali proprietà del logaritmo, il grafico del logaritmo, il dominio di definizione, l'insieme dei valori, le formule di base, l'incremento e il decremento. Viene considerata la derivata del logaritmo. E anche l'integrale, l'espansione in serie di potenze e rappresentazione mediante numeri complessi.

Contenuto

Dominio, insieme di valori, ascendente, discendente

Il logaritmo è funzione monotona, quindi non ha estremi. Le principali proprietà del logaritmo sono presentate nella tabella.


Dominio	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Intervallo di valori	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotono	aumenta in modo monotono	diminuisce in modo monotono
Zero, y= 0	x= 1	x= 1
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	No	No
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valori privati

Viene chiamato il logaritmo in base 10 logaritmo decimale ed è contrassegnato in questo modo:

logaritmo di base e chiamata logaritmo naturale:

Formule logaritmiche di base

Proprietà del logaritmo che seguono dalla definizione della funzione inversa:

La proprietà principale dei logaritmi e le sue conseguenze

Formula sostitutiva della base

Il logaritmo è l'operazione matematica di prendere un logaritmo. Quando si prende un logaritmo, i prodotti dei fattori vengono convertiti in somme di termini.
Il potenziamento è l'operazione matematica inversa al logaritmo. Quando si potenzia, la base data viene elevata alla potenza dell'espressione su cui viene eseguito il potenziamento. In questo caso, le somme dei termini vengono convertite in prodotti di fattori.

Dimostrazione delle formule di base per i logaritmi

Le formule relative ai logaritmi derivano dalle formule per le funzioni esponenziali e dalla definizione di una funzione inversa.

Considera la proprietà funzione esponenziale
.
Quindi
.
Applicare la proprietà della funzione esponenziale
:
.

Dimostriamo la formula del cambio di base.
;
.
Ponendo c = b , abbiamo:

Funzione inversa

Il reciproco del logaritmo in base a è la funzione esponenziale con esponente a.

Se poi

Derivata del logaritmo

Derivata del logaritmo modulo x :
.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Derivazione di formule > > >

Per trovare la derivata di un logaritmo bisogna ridurlo alla base e.
;
.

Integrante

L'integrale del logaritmo si calcola integrando per parti: .
Così,

Espressioni in termini di numeri complessi

Considera la funzione dei numeri complessi z:
.
Esprimiamo un numero complesso z tramite modulo R e argomento φ :
.
Quindi, usando le proprietà del logaritmo, abbiamo:
.
o

Tuttavia, l'argomento φ non chiaramente definito. Se mettiamo
, dove n è un numero intero,
quindi sarà lo stesso numero per diverso n.

Pertanto, il logaritmo, in quanto funzione di una variabile complessa, non è una funzione a valore singolo.

Espansione della serie di potenze

Per , l'espansione avviene:

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

Guarda anche:

La funzione esponenziale di una variabile reale (per terreno positivo) è determinato in più fasi. Innanzitutto, per i valori naturali - come prodotto di fattori uguali. La definizione viene poi estesa a valori interi negativi e diversi da zero per le regole. Vengono inoltre considerati indicatori frazionari, in cui il valore della funzione esponenziale viene determinato utilizzando le radici: . Per i valori irrazionali, la definizione è già connessa con il concetto base di analisi matematica - con il passaggio al limite, per ragioni di continuità. Tutte queste considerazioni non sono in alcun modo applicabili ai tentativi di estendere la funzione esponenziale ai valori complessi dell'indicatore, e ciò, ad esempio, è del tutto incomprensibile.

Per la prima volta fu introdotto da Eulero un grado con esponente complesso a base naturale basato sull'analisi di alcune costruzioni del calcolo integrale. A volte espressioni algebriche molto simili quando integrate danno risposte completamente diverse:

Allo stesso tempo, qui il secondo integrale si ottiene formalmente dal primo sostituendolo con

Da ciò si può concludere che, con una corretta definizione di funzione esponenziale con esponente complesso, le funzioni trigonometriche inverse sono legate ai logaritmi e quindi la funzione esponenziale è correlata alle funzioni trigonometriche.

Eulero ebbe il coraggio e l'immaginazione di dare una definizione ragionevole per la funzione esponenziale con base, ovvero,

Questa è una definizione, e quindi questa formula non è dimostrata, si possono solo cercare argomenti a favore della ragionevolezza e dell'opportunità di una tale definizione. Analisi matematica fornisce molti argomenti di questo tipo. Ci limiteremo a uno solo.

È noto che in realtà vale la relazione limite: . Sul lato destro c'è un polinomio che ha senso anche per valori complessi per . Il limite di una sequenza di numeri complessi è definito in modo naturale. Una successione è considerata convergente se le successioni delle parti reale e immaginaria convergono e viene presa

Cerchiamo . Per fare ciò, passiamo alla forma trigonometrica e per l'argomento sceglieremo i valori dall'intervallo . Con questa scelta, è chiaro che per . Ulteriore,

Per passare al limite, bisogna verificare l'esistenza di limiti per e e trovare questi limiti. È chiaro che e

Quindi nell'espressione

la parte reale tende a, l'immaginaria - in modo che

Questo semplice argomento fornisce uno degli argomenti a favore della definizione di Eulero della funzione esponenziale.

Stabiliamo ora che moltiplicando i valori della funzione esponenziale gli esponenti si sommano. Veramente:

2. Formule di Eulero.

Mettiamo nella definizione della funzione esponenziale. Noi abbiamo:

Sostituendo b con -b, otteniamo

Sommando e sottraendo queste uguaglianze termine per termine, troviamo le formule

chiamate formule di Eulero. Stabiliscono una connessione tra funzioni trigonometriche ed esponenziali con esponenti immaginari.

3. Logaritmo naturale di un numero complesso.

Un numero complesso dato in forma trigonometrica può essere scritto nella forma Questa forma di scrittura di un numero complesso è chiamata esponenziale. Conserva tutte le buone proprietà della forma trigonometrica, ma è ancora più concisa. Inoltre, quindi, è naturale supporre che così la parte reale del logaritmo di un numero complesso sia il logaritmo del suo modulo, parte immaginariaè la sua argomentazione. Questo spiega in una certa misura la proprietà "logaritmica" dell'argomento: l'argomento del prodotto è uguale alla somma degli argomenti dei fattori.

Dimostrazione della formula .

= =

poiché seno e coseno non dipendono dall'addizione di un angolo multiplo di

E questa uguaglianza è già ovvia, poiché questa è la forma trigonometrica di un numero complesso.

Pertanto, il logaritmo esiste per tutti i punti del piano, tranne zero. Per un numero positivo reale, l'argomento è 0, quindi questo insieme infinito di punti lo è , cioè uno dei valori, cioè at , cadrà sull'asse reale. Se calcoliamo il logaritmo di un numero negativo, otteniamo , cioè l'insieme dei punti viene spostato verso l'alto e nessuno di essi cade sull'asse reale.

Si può vedere dalla formula che solo quando l'argomento del numero originale è zero, uno dei valori del logaritmo cade sull'asse reale. E questo corrisponde al semiasse giusto, ed è per questo che nel corso della matematica scolastica sono stati considerati solo i logaritmi dei numeri positivi. Esistono anche i logaritmi dei numeri negativi e immaginari, ma non hanno un unico valore sull'asse reale.

Il seguente disegno mostra dove si trovano nel piano tutti i valori del logaritmo di un numero positivo. Uno di questi è sull'asse reale, gli altri sono sopra e sotto di , e così via. Per un numero negativo o complesso, l'argomento è diverso da zero, quindi questa sequenza di punti viene spostata verticalmente, risultando in nessun punto sull'asse reale.

Esempio. Calcola.

Soluzione. Definiamo il modulo del numero (uguale a 2) e l'argomento 180 0 , ovvero . Allora = .

Appendice 1. Domande per la prova (per i biglietti).

Lezione #1

1. Dimostrare la formula per l'integrazione per parti.

Lezione #2

1. Dimostrare che la variazione , dove r = LCM (r 1 ,...,r k) riduce l'integrale all'integrale di una frazione razionale.

2. Dimostrare che la sostituzione riduce l'integrale della forma all'integrale di una frazione razionale.

3. Ricavare le formule di trasformazione per seno e coseno

Per il cambio trigonometrico universale.

4. Dimostrare che nel caso in cui la funzione sia dispari rispetto al coseno, la sostituzione riduce l'integrale a una frazione razionale.

5. Dimostralo nel caso in cui

sostituzione: riduce l'integrale a una frazione razionale.

6. Dimostralo per integrale della forma

7. Dimostra la formula

8. Dimostralo per integrale della forma la sostituzione ha il suo integrale in una frazione razionale.

9. Dimostralo per integrale della forma la sostituzione riduce l'integrale a una frazione razionale.

Lezione #3

1. Dimostra che la funzione è l'antiderivata della funzione .

2. Dimostrare la formula di Newton-Leibniz: .

3. Dimostrare la formula per la lunghezza di una curva data esplicitamente:

4. Dimostrare la formula per la lunghezza di una curva espressa in coordinate polari

Lezione #4

Dimostrare il teorema: converge, converge.

Lezione #5

1. Dedurre (dimostrare) esplicitamente la formula dell'area data superficie .

2. Derivazione di formule per il passaggio alle coordinate polari.

3. Derivazione del determinante Jacobi delle coordinate polari.

4. Derivazione di formule per il passaggio a coordinate cilindriche.

5. Derivazione del determinante Jacobi coordinate cilindriche.

6. Derivazione di formule per il passaggio a coordinate sferiche:

Lezione #6

1. Dimostrare che la sostituzione riduce l'equazione omogenea a un'equazione con variabili separabili.

2. Ritiro forma generale lineare equazione omogenea.

3. Ricavare una vista generale della soluzione di un'equazione lineare disomogenea mediante il metodo di Lagrange.

4. Dimostrare che la sostituzione riduce l'equazione di Bernoulli a un'equazione lineare.

Lezione numero 7.

1. Dimostrare che la sostituzione abbassa l'ordine dell'equazione di k.

2. Dimostrare che la sostituzione riduce di uno l'ordine dell'equazione .

3. Dimostrare il teorema: La funzione è una soluzione di un'equazione differenziale omogenea lineare e ha una radice caratteristica.

4. Dimostrare che il teorema combinazione lineare soluzioni di una diff. omogenea lineare. l'equazione è anche la sua soluzione.

5. Dimostrare il teorema sull'imposizione di soluzioni: Se è la soluzione di un'equazione differenziale lineare non omogenea con il membro destro, ed è la soluzione della stessa equazione differenziale, ma con il membro destro, allora la somma è la soluzione dell'equazione con il lato destro.

Lezione numero 8.

1. Dimostrare il teorema che il sistema di funzioni è linearmente dipendente.

2. Dimostrare il teorema che esistono n soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n.

3. Dimostra che se 0 è una radice di molteplicità, allora il sistema di soluzioni corrispondente a questa radice ha la forma.

Lezione numero 9.

1. Dimostrare usando la forma esponenziale che moltiplicando i numeri complessi si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

2. Dimostrare la formula di De Moivre per la laurea n

3. Dimostrare la formula per la radice dell'ordine n di un numero complesso

4. Dimostralo e

sono generalizzazioni di seno e coseno, cioè per numeri reali secondo queste formule si otterrà un seno (coseno).

5. Dimostra la formula per il logaritmo di un numero complesso:

Appendice 2

Domande piccole e orali sulla conoscenza della teoria (per colloqui).

Lezione #1

1. Che cos'è un antiderivato e integrale indefinito, Qual è la differenza?

2. Spiega perché è anche antiderivata.

3. Scrivere una formula per l'integrazione per parti.

4. Quale sostituzione è richiesta nella forma integrale e come si eliminano le radici?

5. Annotare il tipo di espansione dell'integrando di una frazione razionale in quelle più semplici nel caso in cui tutte le radici siano diverse e reali.

6. Annotare il tipo di espansione dell'integrando delle frazioni razionali in semplici nel caso in cui tutte le radici siano reali e vi sia una radice multipla di molteplicità k.

Lezione numero 2.

1. Scrivi qual è la scomposizione di una frazione razionale in più semplici nel caso in cui il denominatore abbia un fattore di 2 gradi con un discriminante negativo.

2. Quale sostituzione riduce l'integrale a una frazione razionale?

3. Che cos'è una sostituzione trigonometrica universale?

4. Quali sostituzioni si fanno nei casi in cui la funzione sotto il segno di integrale è dispari rispetto al seno (coseno)?

5. Quali sostituzioni si fanno se l'integrando contiene le espressioni , , o .

Lezione numero 3.

1. Definizione di integrale definito.

2. Elenca alcune delle principali proprietà dell'integrale definito.

3. Scrivi la formula di Newton-Leibniz.

4. Scrivi la formula per il volume di un corpo di rivoluzione.

5. Scrivi la formula per la lunghezza di una curva esplicita.

6. Scrivi la formula per la lunghezza di una curva parametrica.

Lezione numero 4.

1. Definizione di integrale improprio (con l'ausilio di un limite).

2. Qual è la differenza tra integrali impropri di 1a e 2a specie.

3. Fornire semplici esempi di integrali convergenti del 1° e 2° tipo.

4. Per quali integrali (T1) convergono.

5. Come la convergenza è correlata al limite finito dell'antiderivata (T2)

6. Che cos'è caratteristica necessaria convergenza, sua formulazione.

7. Segno di confronto nella forma finale

8. Prova di confronto nella forma limitativa.

9. Definizione di integrale multiplo.

Lezione numero 5.

1. Modifica dell'ordine di integrazione, mostra nell'esempio più semplice.

2. Scrivi la formula per la superficie.

3. Che cos'è coordinate polari, scrivi formule di transizione.

4. Qual è il Jacobiano del sistema di coordinate polari?

5. Cosa sono le coordinate cilindriche e sferiche, qual è la loro differenza.

6. Qual è il Jacobiano delle coordinate cilindriche (sferiche).

Lezione numero 6.

1. Che cos'è un'equazione differenziale del 1° ordine (vista generale).

2. Che cos'è un'equazione differenziale del 1° ordine, risolta rispetto alla derivata. Fai qualche esempio.

3. Che cos'è un'equazione con variabili separabili.

4. Che cos'è una soluzione generale, particolare, condizioni di Cauchy.

5. Che cos'è un'equazione omogenea, qual è il metodo generale per risolverla.

6. Che cos'è equazione lineare, qual è l'algoritmo per risolverlo, qual è il metodo di Lagrange.

7. Qual è l'equazione di Bernoulli, l'algoritmo per risolverla.

Lezione numero 7.

1. Quale sostituzione è necessaria per un'equazione della forma .

2. Quale sostituzione è necessaria per un'equazione della forma .

3. Mostra con esempi come può essere espresso come .

4. Che cos'è un'equazione differenziale lineare di ordine n.

5. Che cos'è un polinomio caratteristico, un'equazione caratteristica.

6. Formulare un teorema su cui r la funzione sia una soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea.

7. Formulare un teorema che una combinazione lineare di soluzioni di un'equazione lineare omogenea sia anche la sua soluzione.

8. Formulare il teorema dell'imposizione della soluzione ei suoi corollari.

9. Quali sono i sistemi di funzioni linearmente dipendenti e linearmente indipendenti, fornire alcuni esempi.

10. Qual è il determinante di Wronsky di un sistema di n funzioni, fornire un esempio del determinante di Wronsky per i sistemi LZS e LNS.

Lezione numero 8.

1. Quale proprietà ha il determinante di Wronsky se il sistema è una funzione linearmente dipendente.

2. Quante soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n esistono.

3. Definizione di FSR ( sistema fondamentale soluzioni) di un'equazione lineare omogenea di ordine n.

4. Quante funzioni sono contenute nell'SRF?

5. Annotare la forma del sistema di equazioni per la ricerca con il metodo di Lagrange per n=2.

6. Annotare il tipo di soluzione particolare nel caso in cui

7. Che cos'è sistema lineare equazioni differenziali, scrivi un esempio.

8. Che cos'è un sistema autonomo di equazioni differenziali.

9. significato fisico sistemi di equazioni differenziali.

10. Annotare in quali funzioni è costituito l'FSR del sistema di equazioni, se noto autovalori e autovettori della matrice principale di questo sistema.

Lezione numero 9.

1. Che cos'è un'unità immaginaria.

2. Che cos'è un numero coniugato e cosa succede quando viene moltiplicato per l'originale.

3. Cos'è il trigonometrico, forma indicativa numero complesso.

4. Scrivi la formula di Eulero.

5. Cos'è il modulo, l'argomento di un numero complesso.

6. cosa succede ai moduli e agli argomenti durante la moltiplicazione (divisione).

7. Scrivere la formula di De Moivre per la laurea n.

8. Scrivi la formula per la radice dell'ordine n.

9. Scrivi le formule seno e coseno generalizzate per l'argomento complesso.

10. Scrivi la formula per il logaritmo di un numero complesso.

Appendice 3. Compiti delle lezioni.

Lezione #1

Esempio. . Esempio. .

Esempio. Esempio. .

Esempio. . Esempio. .

Lezione #2

Esempio. . Esempio. .

Esempio. . Esempio.. , dove, numero .

Esempio. Dividi in forma esponenziale.

Esempio. Trova con la formula di De Moivre.

Esempio. Trova tutti i valori radice.