Un segno sufficiente dell'esistenza di un extremum. Estremi di funzione

Il primo segno sufficiente di un estremo è formulato sulla base della variazione del segno della derivata prima al passaggio per il punto critico. Il secondo segno di un extremum sarà discusso di seguito nel § 6.4.

Teorema (il primo segno di un estremo) : Se unX 0 è il punto critico della funzioney=f(X) e in qualche quartiere del puntoX 0 , passando per essa da sinistra a destra, la derivata cambia segno al contrario, quindiX 0 è il punto estremo. Inoltre, se il segno della derivata cambia da "+" a "-", alloraX 0 è il punto massimo, ef(X 0 ) - il massimo della funzione, e se la derivata cambia segno da "-" a "+", alloraX 0 è il punto minimo, ef(X 0 ) è il minimo della funzione.

L'estremo considerato è Locale carattere (locale) e tocca qualche piccolo quartiere del punto critico.

Punti estremi e punti di discontinuità dividono il dominio di definizione della funzione in intervalli di monotonia.

Esempio 6.3. Nell'esempio 6.1. abbiamo trovato punti critici X 1 =0 e X 2 =2.

Scopriamo se in questi punti la funzione y=2x 3 -6x 2 +1 ha un estremo. Sostituisci nella sua derivata
valori X preso a sinistra e a destra del punto X 1 =0 in un quartiere abbastanza vicino, per esempio, x=-1 e x=1. ottenere . Poiché la derivata cambia segno da "+" a "-", allora X 1 =0 è il punto massimo e il massimo della funzione
. Ora prendiamo due valori x=1 e x=3 da un quartiere di un altro punto critico X 2 =2 . È già stato dimostrato
, un
. Poiché la derivata cambia segno da "-" a "+", allora X 2 =2 è il punto minimo. E il minimo della funzione
.

Per trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione continua su un segmento
è necessario calcolarne il valore in tutti i punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegliere il più grande e il più piccolo di essi.

6.3. Segni di convessità e concavità del grafico della funzione. Punti di flessione

Viene chiamato il grafico di una funzione derivabileconvessosu un intervallo se si trova al di sotto di una qualsiasi delle sue tangenti su quell'intervallo;concavo (convesso verso il basso), se si trova al di sopra di qualsiasi tangente nell'intervallo.

6.3.1. Necessari e sufficienti segni di convessità e concavità del grafo

a) Caratteristiche richieste

Se il grafico della funzioney=f(X) convesso sull'intervallo(un, b) , quindi la derivata seconda
in questo intervallo; se il programmaconcavo sul(un, b) , poi
sul(un, b) .

P st grafico della funzione y=f(X) convesso (un, b) (Fig.6.3a). Se una tangente scorre lungo una curva convessa da sinistra a destra, la sua pendenza diminuisce (
), allo stesso tempo, diminuisce anche la pendenza della tangente, il che significa che la derivata prima diminuisce
sul (un, b) . Ma allora la derivata della derivata prima come derivata di una funzione decrescente deve essere negativa, cioè
sul (un, b) .

Se il grafico della funzione concavo sul (un, b) , quindi, argomentando in modo simile, vediamo che quando la tangente scorre lungo la curva (Fig. 6.3b), la pendenza della tangente aumenta (
), la pendenza aumenta con essa, e quindi la derivata. E quindi la derivata della derivata come funzione crescente deve essere positiva, cioè
sul (un, b) .

b ) Caratteristiche sufficienti

Se per la funzioney=f(X) in tutti i punti di un certo intervallo sarà
, quindi il grafico della funzioneconcavo su questo intervallo, e se
, poiconvesso .

"Regola della pioggia" : Per ricordare quale segno della derivata seconda associare ad un convesso, e quale ad un arco concavo del grafo, consigliamo di ricordare: “più acqua” in un foro concavo, "meno acqua" - in un foro convesso (Fig. 6.4).

punto grafico funzione continua, in cui la convessità si trasforma in concavità o viceversapunto di flesso .

Teorema (criterio sufficiente per l'esistenza di un punto di flesso).

Se un al punto funzione
è due volte derivabile e la derivata seconda a questo punto è uguale a zero o non esiste, e se passa per il punto derivata seconda
cambia segno, poi il punto c'è un punto di flesso. Coordinate del punto di flesso
.

I punti in cui la derivata seconda svanisce o non esiste sono detti punti critici del secondo tipo.

Esempio 6.4. Trova i punti di flesso e determina gli intervalli di convessità e concavità della curva
(curva di Gauss).

R soluzione. Troviamo la prima e la seconda derivata:
,. La seconda derivata esiste per qualsiasi . Uguaglialo a zero e risolvi l'equazione risultante
, dove
, poi
, dove
,
sono punti critici del secondo tipo. Verifichiamo il cambio di segno della derivata seconda passando per il punto critico
. Se un
, Per esempio,
, poi
, e se
, Per esempio,
, poi
, cioè la derivata seconda cambia segno. Quindi,
- ascissa del punto di flesso, sue coordinate
. Poiché la funzione è pari
, punto
, simmetrico al punto
, sarà anche un punto di flesso.

Biglietto numero 1

funzione antiderivativaTeoremaProva integrale indefinito

Viene chiamato il punto (X 0 ;Y 0). punto massimo punto minimo funzioni: per tutti i punti (x;y) diversi da (X 0 ;Y 0), dal quartiere δ del punto (X 0 ;Y 0) vale la seguente disuguaglianza: f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) .

Prova:

Biglietto numero 2

Provasenso geometrico

incremento privato derivata parziale senso geometrico

Biglietto numero 3

19. Determinazione dei punti di massimo e minimo della funzione z=f(x,y). Viene chiamato il punto (X 0 ;Y 0). punto massimo funzione z=f(x;y) se esiste un δ-intorno del punto (X 0 ;Y 0) tale che la disuguaglianza f(x;y) punto minimo funzioni: per tutti i punti (x;y) diversi da (X 0 ;Y 0), dal quartiere δ del punto (X 0 ;Y 0) vale la seguente disuguaglianza: f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) . Sia nel punto stazionario (X 0 ;Y 0) e in alcuni suoi dintorni la funzione f(x;y) avere derivate parziali continue fino al secondo ordine compreso. Calcola nel punto (X 0 ;Y 0) i valori A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ; Y 0). Denota Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Allora: 1) se Δ><0; минимум, если A>0; 2) se Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Biglietto numero 4 integrale definito Proprietà Prova.maggior valore funzioni y=f(x) sul segmento , (a nel punto di coordinate (x;y;z) Supponiamo che la funzione u(x;y;z) sia continua e abbia derivate continue rispetto ai suoi argomenti nel dominio D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu /δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, dove E 1 , E 2 , E 3 tendono a zero come Δl→0. Dividiamo l'intera uguaglianza per Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. L'uguaglianza può essere rappresentata come segue: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Passando al limite, otteniamo Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Biglietto numero 5

1. Funzione antiderivativa. Teorema sulla differenza di due antiderivate (con dimostrazione). Integrale indefinito: Definizione Viene chiamata la funzione F(x). funzione antiderivativa f(x) sull'intervallo (a;b) se per ogni x∈(a;b) vale l'uguaglianza F"(x)=f(x). Teorema. Se la funzione F(x) è l'antiderivata della funzione f(x) su (a;b), allora l'insieme di tutte le antiderivate per f(x) è dato dalla formula F(x)+C, dove С= cost. Prova. La funzione F(x)+C è l'antiderivata di f(x). Infatti, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Sia F(x) qualche altra funzione antiderivativa f(x) diversa da F(x), cioè Ф"(х)=f(x). Allora per ogni x∈(a;b) abbiamo (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. E questo significa che F(x)-F(x)=C, C=const. Pertanto, Ф(x)=F(x)+C Si chiama l'insieme di tutte le funzioni antiderivative F(x)+C per f(x) integrale indefinito sulla funzione f(x) ed è indicato dal simbolo ∫f(x)dx.

19. Determinazione dei punti di massimo e minimo della funzione z=f(x,y). Viene chiamato il punto (X 0 ;Y 0). punto massimo funzione z=f(x;y) se esiste un δ-intorno del punto (X 0 ;Y 0) tale che la disuguaglianza f(x;y) punto minimo funzioni: per tutti i punti (x;y) diversi da (X 0 ;Y 0), dal quartiere δ del punto (X 0 ;Y 0) vale la seguente disuguaglianza: f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) . 20. Un criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo della funzione z=f(x;y). (formulazione). Sia nel punto stazionario (X 0 ;Y 0) e in alcuni suoi dintorni la funzione f(x;y) avere derivate parziali continue fino al secondo ordine compreso. Calcola nel punto (X 0 ;Y 0) i valori A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ; Y 0). Denota Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Allora: 1) se Δ>0, allora la funzione f(x;y) nel punto (X 0 ;Y 0) ha un estremo: massimo se A<0; минимум, если A>0; 2) se Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Biglietto numero 6

3. Calcolo di un integrale definito su un segmento. Formula di Newton-Leibniz (derivazione). Se la funzione y=f(x) è continua sul segmento e F(x) è una delle sue antiderivate su (F"(x)=f(x)), allora la formula ∫(da a a b) f( x )dx=F(b)-F(a).Questa formula è la formula di Newton-Leibniz.Considera l'identità: F(b)-F(a)=F(x n)-F(x 0)=(F (x n) -F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1)- F(x 0)).Trasformiamo ogni differenza tra parentesi secondo la formula di Lagrange: f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a).Otteniamo F(b)-F(a) =F'(c n)( x n -x n -1)+F'(c n -1)(x n -1 -x n -2)+F'(c 2)(x 2 -x 1)+F'(c 1 )(x 1 -x 0 )= ΣF'(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, cioè F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, dove Ci è un punto dell'intervallo (X i -1 ,X i). poiché una funzione y=f(x) è continua su , allora è integrabile su . Pertanto, esiste un limite della somma integrale uguale all'integrale definito di f(x) su . il limite a λ=maxΔXi→0, otteniamo F(b)-F( a)=lim Σf(Ci)ΔXi, ovvero ∫(da a a b) f(x)dx=F(b)-F(a ).

Viene chiamata la funzione z=f(x;y). differenziabile

11. Proprietà di una funzione derivabile: la relazione tra la differenziabilità della funzione z=f(x;y) e la continuità della funzione z=f(x;y) in un punto (affermazione, dimostrazione). Se la funzione z=f(x;y) è differenziabile nel punto M(x;y), allora è continua a questo punto, ha derivate parziali in esso. Prova. Sia la funzione y=f(x) derivabile nel punto x 0 . Diamo un incremento Δx all'argomento a questo punto. La funzione riceverà un incremento Δу. Troviamo limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f"(x0)*0=0. Pertanto, y =f(x) è continuo a x 0 .

Biglietto numero 7

Un segno necessario di un estremo.

Se una funzione continua z=z(x,y) ha un estremo nel punto P0(x0,y0), allora tutte le sue derivate parziali del primo ordine a questo punto sono uguali a zero o non esistono

Prova: La derivata parziale della funzione z=f(x,y) rispetto a x nel punto P0(x0,y0) è la derivata della funzione di una variabile φ(x)=f(x,y0) nel punto x-x0. Ma a questo punto la funzione φ(x) ha ovviamente un estremo. Pertanto, φ'(x0)=0. )=0 . Il teorema è stato dimostrato.

Biglietto numero 8

6. Il teorema del valore medio (formulazione, dimostrazione, significato geometrico). Se la funzione f(x) è continua sul segmento , allora esiste un punto С∈ tale che ∫(da a a b) f(x)dx=f(c)*(b-a). Prova. Per la formula di Newton-Leibniz, abbiamo ∫(da a a b) f(x)dx=F(x)|(da a a b)=F(b)-F(a), dove F"(x) =f( x) Applicando alla differenza F(b)-F(a) il teorema di Lagrange (teorema sull'incremento finito di una funzione), otteniamo F(b)-F(a)=F"(c) *(b-a)=f(c) *(b-a). senso geometrico. Il teorema per f(x)≥0 ha un significato geometrico semplice: il valore dell'integrale definito è, per qualche С∈ (a;b), l'area di un rettangolo di altezza f(c) e base b-a. Il numero f(c)=1/(b-a)∫(da a a b) f(x)dx è detto valore medio della funzione f(x) sull'intervallo .

8. Incrementi parziali della funzione z=f(x;y). Derivate parziali: definizione e loro significato geometrico. Sia data la funzione z=f(x; y). Poiché xey sono variabili indipendenti, una di esse può cambiare mentre l'altra rimane costante. Diamo alla variabile x un incremento ∆x, mantenendo inalterato il valore della variabile y. Quindi la funzione z riceverà un incremento, che chiameremo incremento privato z in x e denotiamo ∆ x z. Quindi, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Analogamente otteniamo un incremento parziale di z rispetto a y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y) Se esiste un limite lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), allora si chiama derivata parziale funzioni z \u003d f (x; y) nel punto M (x; y) nella variabile x ed è indicato da uno dei simboli: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. senso geometrico. Il grafico della funzione z=f(x;y) è una superficie. Il grafico della funzione z \u003d f (x 0; y 0) è la linea di intersezione di questa superficie con il piano y \u003d y 0. Basato senso geometrico derivata per una funzione di una variabile, concludiamo che f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, dove α è l'angolo tra l'asse Ox e la tangente disegnata alla curva z \u003d f (x 0; y 0) nel punto M 0 ( x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Analogamente f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Biglietto numero 9

Prova senso geometrico

Piano tangente Normale alla superficie

Biglietto numero 10

10. Definizione di una funzione derivabile z=f(x;y) in un punto. Definizione del differenziale totale dz e sua forma. Viene chiamata la funzione z=f(x;y). differenziabile nel punto M(x;y), se il suo incremento totale a questo punto può essere rappresentato come: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, dove α=α( ∆ x;∆y)→0 e β=β(∆x;∆y)→0 per ∆x→0 e ∆y→0. Viene chiamata la parte principale dell'incremento della funzione z=f(x;y), lineare rispetto a ∆x e ∆y differenziale completo questa funzione ed è indicata dal simbolo dz: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

Biglietto numero 11

4. Definizione integrale definito lungo il segmento. Proprietà di base di un integrale definito su un segmento (con dimostrazione di uno di essi). integrale definito lungo il segmento dalla funzione f(x) si chiama il limite della somma integrale Σf(c i)Δx i se tale limite esiste e non dipende dalla divisione del segmento in parti, né dalla scelta dei punti t all'interno di ciascuna delle parti, a condizione che la lunghezza del più grande dei segmenti parziali (∆xi) tenda a zero, cioè ∫(da a a b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . Proprietà: 1) Se c è un numero costante e la funzione f(x) è integrabile su , allora ∫(da a a b) с*f(x)dx=с*∫(da a a b) f(x)dx .2) Se le funzioni f 1 (x) b f 2 (x) sono integrabili su , allora la loro somma è integrabile e ∫(da a a b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(da da a a b) f 1 (x)dx+∫(da a a b) f 2 (x)dx. 3)∫(da a a b) f(x)dx= -∫(da b a a) f(x)dx. 4) Se la funzione f(x) è integrabile su e a

10. Definizione di una funzione derivabile z=f(x;y) in un punto. Viene chiamata la funzione z=f(x;y). differenziabile nel punto M(x;y), se il suo incremento totale a questo punto può essere rappresentato come: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, dove α=α( ∆ x;∆y)→0 e β=β(∆x;∆y)→0 per ∆x→0 e ∆y→0.

12. Proprietà di una funzione derivabile: connessione tra la differenziabilità della funzione z=f(x,y) e l'esistenza di derivate parziali in un punto (affermazione, dimostrazione). Teorema: Se una funzione è derivabile in un punto, allora a questo punto ci sono derivate parziali finite, numericamente uguali ad A e B Dimostrazione: Diamo x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+ 0(│x│).ρ=√(Δx 2 +Δy 2)=│Δx│.Δ x z/Δx=A +0(│x│)/Δx.LimΔx→0 (Δx z/Δx)=lim= A.δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. Allo stesso modo: Y 0 →Δy, x=x 0 => Δy Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B.

Biglietto numero 12

Prova

8. Incrementi parziali della funzione z=f(x;y). Derivate parziali: definizione e loro significato geometrico. Sia data la funzione z=f(x; y). Poiché xey sono variabili indipendenti, una di esse può cambiare mentre l'altra rimane costante. Diamo alla variabile x un incremento ∆x, mantenendo inalterato il valore della variabile y. Quindi la funzione z riceverà un incremento, che chiameremo incremento privato z in x e denotiamo ∆ x z. Quindi, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Analogamente otteniamo un incremento parziale di z rispetto a y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y) Se esiste un limite lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), allora si chiama derivata parziale funzioni z \u003d f (x; y) nel punto M (x; y) nella variabile x ed è indicato da uno dei simboli: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. senso geometrico. Il grafico della funzione z=f(x;y) è una superficie. Il grafico della funzione z \u003d f (x 0; y 0) è la linea di intersezione di questa superficie con il piano y \u003d y 0. Sulla base del significato geometrico della derivata per una funzione di una variabile, concludiamo che f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, dove α è l'angolo tra l'asse Ox e la tangente disegnata alla curva z \ u003d f (x 0; y 0) nel punto M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Analogamente f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Biglietto numero 13

2. Il problema dell'area di un trapezio curvilineo, che porta al concetto di integrale definito su un segmento. Definizione di integrale definito su un segmento. Sia data la funzione y=f(x)≥0 sul segmento. Una figura delimitata dall'alto dal grafico della funzione y=f(x), dal basso - dall'asse Ox, dal lato dalle rette x=a e x=b, è chiamata trapezio curvilineo. Trova l'area di questo trapezio. f(c 1)Δx 1 +f(c 2)Δx 2 +..+f(c n)Δx n =Σf(c i)Δx i =Sn. Con una diminuzione di tutti i valori di Δx i, la precisione dell'approssimazione di un trapezio curvilineo da una figura a gradini e l'accuratezza della formula risultante aumentano. Pertanto, si assume come limite S il valore esatto dell'area S del trapezio curvilineo, al quale tende l'area della figura a gradini Sn quando n aumenta indefinitamente così che λ=maxΔx i →0: S=lim n→ ∞ Sn=lim n→∞(λ→0 ) Σf(c i)Δx i , ovvero S=∫(da a a b) f(x)dx. Quindi l'integrale definito della funzione indefinita è numericamente uguale all'area del trapezio curvilineo Se, in questo caso, la somma integrale Sn ha un limite I, che non dipende da come il segmento è diviso in numeri segmenti, né sulla scelta dei punti in essi, allora il numero I è detto integrale definito della funzione y=f(x) sul segmento ed è indicato con ∫(da a a b) f(x)dx. Quindi, ∫(da a a b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i .

17. Piano tangente e normale alla superficie (definizione).Piano tangente alla superficie in un punto M, si dice piano passante per questo punto della superficie se l'angolo tra questo piano e la secante passante per il punto M e un qualsiasi altro punto M 1 della superficie tende a zero poiché M tende a M 1. Normale alla superficie nel punto M si dice retta passante per questo punto perpendicolare al piano tangente.

Biglietto numero 14

5. Il teorema sulla valutazione di un integrale definito su un segmento (formulazione, dimostrazione, significato geometrico). Stima integrale. Se m e M sono rispettivamente il valore più piccolo e quello più grande della funzione y=f(x) sul segmento , (a Prova. Poiché per ogni x∈ abbiamo m≤f(x)≤M, allora ∫(da a a b) mdx≤ ∫(da a a b) f(x)dx≤∫(da a a b) Mdx. Otteniamo: m(b-a)≤∫(da a a b) f(x)dx≤M(b-a). senso geometrico. L'area di un trapezio curvilineo è racchiusa tra le aree dei rettangoli la cui base è , e le cui altezze sono m e M.

8. Incrementi parziali della funzione z=f(x;y). Derivate parziali: definizione e loro significato geometrico. Sia data la funzione z=f(x; y). Poiché xey sono variabili indipendenti, una di esse può cambiare mentre l'altra rimane costante. Diamo alla variabile x un incremento ∆x, mantenendo inalterato il valore della variabile y. Quindi la funzione z riceverà un incremento, che chiameremo incremento privato z in x e denotiamo ∆ x z. Quindi, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Analogamente otteniamo un incremento parziale di z rispetto a y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y) Se esiste un limite lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), allora si chiama derivata parziale funzioni z \u003d f (x; y) nel punto M (x; y) nella variabile x ed è indicato da uno dei simboli: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. senso geometrico. Il grafico della funzione z=f(x;y) è una superficie. Il grafico della funzione z \u003d f (x 0; y 0) è la linea di intersezione di questa superficie con il piano y \u003d y 0. Sulla base del significato geometrico della derivata per una funzione di una variabile, concludiamo che f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, dove α è l'angolo tra l'asse Ox e la tangente disegnata alla curva z \ u003d f (x 0; y 0) nel punto M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Analogamente f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Biglietto numero 15

8. Incrementi parziali della funzione z=f(x;y). Derivate parziali: definizione e loro significato geometrico. Sia data la funzione z=f(x; y). Poiché xey sono variabili indipendenti, una di esse può cambiare mentre l'altra rimane costante. Diamo alla variabile x un incremento ∆x, mantenendo inalterato il valore della variabile y. Quindi la funzione z riceverà un incremento, che chiameremo incremento privato z in x e denotiamo ∆ x z. Quindi, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Analogamente otteniamo un incremento parziale di z rispetto a y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y) Se esiste un limite lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), allora si chiama derivata parziale funzioni z \u003d f (x; y) nel punto M (x; y) nella variabile x ed è indicato da uno dei simboli: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. senso geometrico. Il grafico della funzione z=f(x;y) è una superficie. Il grafico della funzione z \u003d f (x 0; y 0) è la linea di intersezione di questa superficie con il piano y \u003d y 0. Sulla base del significato geometrico della derivata per una funzione di una variabile, concludiamo che f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, dove α è l'angolo tra l'asse Ox e la tangente disegnata alla curva z \ u003d f (x 0; y 0) nel punto M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Analogamente f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Biglietto numero 16

21. Derivata della funzione u=u(x;y;z) in direzione l (definizione). Viene chiamato il limite LimΔl→0(Δu/Δl). derivata della funzione u(x;y;z) nella direzione del vettore l nel punto con coordinate (x;y;z).

22. Gradiente della funzione u=u(x;y;z) in un punto (definizione). Viene chiamato il vettore con coordinate (δu/δx; δu/δy; δu/δz)

Biglietto numero 17

7. Integrale con limite superiore variabile. Teorema sulla derivata di un integrale con limite superiore variabile (enunciato, dimostrazione). La derivata di un integrale definito rispetto al limite superiore della variabile è uguale all'integrando in cui la variabile di integrazione è sostituita da tale limite, cioè (∫(da a a x) f(t)dt)" x = f(x ). Prova. Secondo la formula di Newton-Leibniz, abbiamo: ∫(da a a x) f(t)dt=F(t)|(da a a x)=F(x)-F(a). Pertanto, (∫(da a a x) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). Ciò significa che a l'integrale definito con un limite superiore variabile è una delle antiderivate dell'integrando.

pieno incremento continuo continuo

Biglietto numero 18

1. Funzione antiderivativa. Teorema sulla differenza di due antiderivate (con dimostrazione). Integrale indefinito: definizione, le proprietà più semplici di un integrale indefinito (con dimostrazione di una di esse). Viene chiamata la funzione F(x). funzione antiderivativa f(x) sull'intervallo (a;b) se per ogni x∈(a;b) vale l'uguaglianza F"(x)=f(x). Teorema. Se la funzione F(x) è l'antiderivata della funzione f(x) su (a;b), allora l'insieme di tutte le antiderivate per f(x) è dato dalla formula F(x)+C, dove С= cost. Prova. La funzione F(x)+C è l'antiderivata di f(x). Infatti, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Sia F(x) qualche altra funzione antiderivativa f(x) diversa da F(x), cioè Ф"(х)=f(x). Allora per ogni x∈(a;b) abbiamo (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. E questo significa che F(x)-F(x)=C, C=const. Pertanto, Ф(x)=F(x)+C Si chiama l'insieme di tutte le funzioni antiderivative F(x)+C per f(x) integrale indefinito sulla funzione f(x) ed è indicato dal simbolo ∫f(x)dx. Proprietà: 1) Il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando, e la derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx )"=f(x).d (∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. e (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) L'integrale indefinito del differenziale di qualche funzione è uguale alla somma di questa funzione e una costante arbitraria: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) Il fattore costante può essere dedotto dal segno di integrale: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) L'integrale indefinito della somma algebrica di un numero finito di funzioni continue è uguale alla somma algebrica di gli integrali dei termini delle funzioni: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫g(x)dx.5) (Invarianza della formula di integrazione). Se ∫f(x)dx=F(x)+C, allora ∫f(u)du=F(u)+C, dove u=φ(x) è una funzione arbitraria con derivata continua.

22. Gradiente della funzione u=u(x;y;z) in un punto (definizione, proprietà). Relazione tra la derivata direzionale e il gradiente di una funzione (giustificazione). Viene chiamato il vettore con coordinate (δu/δx; δu/δy; δu/δz) gradiente di funzione u=f(x;y;z) ed è indicato con gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Proprietà: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, dove u*v sono prodotti scalari dei vettori u e v. Connessione. Sia data la funzione u=u(x;y;z) e il campo dei gradienti gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Allora la derivata Δu/Δl nella direzione di un vettore l è uguale alla proiezione del vettore GradU sul vettore l.

Biglietto numero 19

4. Definizione di integrale definito su un segmento. Proprietà di base di un integrale definito su un segmento (con dimostrazione di uno di essi). integrale definito lungo il segmento dalla funzione f(x) si chiama il limite della somma integrale Σf(c i)Δx i se tale limite esiste e non dipende dalla divisione del segmento in parti, né dalla scelta dei punti t all'interno di ciascuna delle parti, a condizione che la lunghezza del più grande dei segmenti parziali (∆xi) tenda a zero, cioè ∫(da a a b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . Proprietà: 1) Se c è un numero costante e la funzione f(x) è integrabile su , allora ∫(da a a b) c*f(x)dx=c*∫(da a a b) f(x)dx . Prova. Facciamo una somma integrale per la funzione ñ*f(x). Abbiamo Σс*f(c i)Δx i =с*Σf(c i)Δx i . Allora lim n→∞ Σс*f(c i)Δx i =c*lim n→∞ f(c i)=ñ*∫(da a a b) f(x)dx. Ciò implica che la funzione c*f(x) è integrabile su e la formula ∫(da a a b) c*f(x)dx= c*∫(da a a b) f(x)dx.2) f 1 (x) b f 2 (x) sono integrabili su , quindi la loro somma è integrabile su (x)dx+∫(da a a b) f 2 (x)dx. 3)∫(da a a b) f(x)dx= -∫(da b a a) f(x)dx. 4) Se la funzione f(x) è integrabile su e a

17. Piano tangente e normale alla superficie (definizione). Teorema di esistenza del piano tangente (enunciato, dimostrazione). Piano tangente alla superficie in un punto M, si dice piano passante per questo punto della superficie se l'angolo tra questo piano e la secante passante per il punto M e qualsiasi altro punto M 1 della superficie tende a zero poiché M tende a M 1. Normale alla superficie nel punto M si dice retta passante per questo punto perpendicolare al piano tangente. Teorema. Se δF/δx; δF/δy; δF/δz sono definiti in prossimità del punto Mo e sono continui nel punto M 0 stesso e non svaniscono contemporaneamente, quindi tutte le rette tangenti alle rette sulla superficie giacciono sullo stesso piano. Prova. L: sistema(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Retta tangente (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(t o); z"(t 0)). L∈Q (superficie). F(x(t), y(t) , z(t))=0 è una funzione complessa della variabile t. Usiamo la regola di differenziabilità di una funzione complessa: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt) +(δF/δz)*( dz/dt)=0;(δF(M 0)/δx)*x"(t 0)+(δF(M 0)/δy)*y"(t 0)+( δF(M 0)/δz) *z"(t0)=0; g=(x"(t 0),y"(t 0),z"(t 0)); denota n=(δF(M 0)/δx; δF(M 0)/δy; δF(M 0) /δz); n⊥g. Poiché un insieme infinito di rette giacenti sulla superficie può essere tracciato per un dato punto, e un insieme infinito di rette tangenti ad esse, quindi, tutte le rette tangenti giacciono sullo stesso piano.

Biglietto numero 20

9. Incremento completo della funzione z=f(x;y). Continuità della funzione z=f(x;y) in un punto (due definizioni). Sia data la funzione z=f(x;y). Diamo alla variabile indipendente x un incremento ∆x e alla variabile y un incremento ∆y. Quindi pieno incremento∆z della funzione è definito dall'uguaglianza: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1) Viene chiamata la funzione z \u003d f (x; y). continuo nel punto M 0 (x 0; y 0)∈ D(z), se il suo limite a questo punto coincide con il valore della funzione a questo punto, cioè limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0 ;y 0). 2) Funzione z \u003d f (x; y) continuo su un insieme se è continuo in ogni punto di questo insieme

Biglietto numero 21

21. Derivata della funzione u=u(x;y;z) in direzione l (definizione, formula di calcolo, derivazione della formula di calcolo). Viene chiamato il limite LimΔl→0(Δu/Δl). derivata della funzione u(x;y;z) nella direzione del vettore l nel punto con coordinate (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δl u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ Supponiamo che la funzione u(x;y;z) sia continua e abbia derivate continue rispetto ai suoi argomenti nel dominio D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, dove E 1 , E 2 , E 3 tendono a zero come Δl→0. Dividiamo l'intera uguaglianza per Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. L'uguaglianza può essere rappresentata come segue: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Passando al limite, otteniamo Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Biglietto numero 22

20. Un criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo della funzione z=f(x;y). (formulazione). Sia nel punto stazionario (X 0 ;Y 0) e in alcuni suoi dintorni la funzione f(x;y) avere derivate parziali continue fino al secondo ordine compreso. Calcola nel punto (X 0 ;Y 0) i valori A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ; Y 0). Denota Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Allora: 1) se Δ>0, allora la funzione f(x;y) nel punto (X 0 ;Y 0) ha un estremo: massimo se A<0; минимум, если A>0; 2) se Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Biglietto numero 23

17. Piano tangente alla superficie (definizione).Piano tangente alla superficie in un punto M, si dice piano passante per questo punto della superficie se l'angolo tra questo piano e la secante passante per il punto M e qualsiasi altro punto M 1 della superficie tende a zero poiché M tende a M 1.

18. Equazioni di un piano tangente ad una superficie date esplicitamenteOvviamente. z=f(x;y) nel punto Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δz/δx)|M 0 (X-X 0)+(δz/δy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

Biglietto numero 24

Segni di aumento e diminuzione locale di una funzione.

Uno dei compiti principali dello studio di una funzione è trovare gli intervalli del suo aumento e diminuzione. Tale studio è facile da eseguire utilizzando la derivata. Formuliamo le asserzioni corrispondenti.

Criterio sufficiente per aumentare la funzione. Se f'(x) > 0 in ogni punto dell'intervallo I, allora la funzione f aumenta di I.

Un criterio sufficiente perché una funzione decresca. Se f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

La dimostrazione di queste caratteristiche viene effettuata sulla base della formula di Lagrange (vedi Sez. 19). Prendi due numeri qualsiasi x 1 e x2 dall'intervallo. Sia x 1 esiste un numero с∈(х 1, x 2), tale che

(1)

Il numero c appartiene all'intervallo I, poiché i punti x 1 e x2 appartengono a I. Se f"(x)>0 per x∈I allora f'(с)>0, e quindi F(x 1 )) — ciò risulta dalla formula (1), poiché x 2-x1 >0. Ciò dimostra che la funzione f aumenta su I. Se f' (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) segue dalla formula (1), poiché x 2-x1 >0. Dimostriamo che la funzione f decresce su I.

Il significato visivo dei segni è chiaro dal ragionamento fisico (per certezza, considera il segno di aumento).

Sia un punto che si muove lungo l'asse y all'istante t abbia l'ordinata y y = f(t). Allora la velocità di questo punto al tempo t è uguale a f "(t) (vedi Fig. Velocità istantanea ). Se f' (t)>0 in ogni momento dell'intervallo t, allora il punto si sposta nella direzione positiva dell'asse y, cioè se t 1 ). Ciò significa che la funzione f è crescente sull'intervallo I.

Nota 1.

Se la funzione f è continua a una qualsiasi delle estremità dell'intervallo di aumento (diminuzione), allora questo punto è collegato a questo intervallo.

Nota 2.

Per risolvere le disuguaglianze f "(x)>0 e f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di un estremo di una funzione in un punto.

Condizione necessaria per un estremo

La funzione g(x) in un punto ha un estremo (massimo o minimo) se la funzione è definita in un intorno a due lati del punto e per tutti i punti x di una certa area: , rispettivamente, la disuguaglianza

(in caso di massimo) o (in caso di minimo).

L'estremo della funzione può essere trovato dalla condizione: se la derivata esiste, cioè uguagliare a zero la derivata prima della funzione.

Condizione estrema sufficiente

1) Prima condizione sufficiente:

a) f(x) è una funzione continua ed è definita in un intorno di un punto tale che la derivata prima in un dato punto sia uguale a zero o non esista.

b) f(x) ha una derivata finita in prossimità della specificazione e continuità della funzione

c) la derivata mantiene un certo segno a destra del punto ea sinistra dello stesso punto, quindi il punto può essere caratterizzato come segue

Questa condizione non è molto conveniente, poiché è necessario controllare molte condizioni e memorizzare la tabella, ma se non si dice nulla sulle derivate di ordine superiore, allora questo è l'unico modo per trovare l'estremo della funzione.

2) Seconda condizione sufficiente

Se la funzione g(x) ha una derivata seconda, e ad un certo punto la derivata prima è uguale a zero e la derivata seconda è diversa da zero. Poi il punto funzione estrema g(x), e se , allora il punto è il massimo; se , allora il punto è il minimo.

Per trovare i massimi e i minimi della funzione, puoi utilizzare uno qualsiasi dei tre segni sufficienti di un estremo. Sebbene il più comune e conveniente sia il primo.

La prima condizione sufficiente per un estremo.

Lascia che la funzione y = f(x)è differenziabile in un -intorno del punto , ed è continuo nel punto stesso. Quindi

In altre parole:

Algoritmo.

Trovare l'ambito della funzione.

Troviamo la derivata della funzione nel dominio di definizione.

Determiniamo gli zeri del numeratore, gli zeri del denominatore della derivata e i punti del dominio in cui la derivata non esiste (questi punti sono chiamati punti di possibile estremo, passando per questi punti, la derivata può cambiare proprio segno).

Questi punti dividono il dominio della funzione in intervalli in cui la derivata mantiene il suo segno. Determiniamo i segni della derivata su ciascuno degli intervalli (ad esempio calcolando il valore della derivata della funzione in un punto qualsiasi di un singolo intervallo).

Scegliamo punti in cui la funzione è continua e, passando per i quali, la derivata cambia segno.

Esempio. Trova gli estremi della funzione.
Decisione.
Il dominio di una funzione è l'intero insieme di numeri reali, eccetto x=2.
Troviamo la derivata:

Gli zeri del numeratore sono i punti x=-1 e x=5, il denominatore svanisce quando x=2. Segna questi punti sulla linea dei numeri

Determiniamo i segni della derivata su ciascun intervallo, per questo calcoliamo il valore della derivata in uno qualsiasi dei punti di ciascun intervallo, ad esempio, nei punti x=-2, x=0, x=3 e x=6.

Pertanto, la derivata è positiva sull'intervallo (nella figura mettiamo un segno più su questo intervallo). Allo stesso modo

Pertanto, mettiamo un meno sul secondo intervallo, un meno sul terzo e un più sul quarto.

Resta da scegliere i punti in cui la funzione è continua e la sua derivata cambia segno. Questi sono i punti estremi.
Al punto x=-1 la funzione è continua e la derivata cambia segno da più a meno, quindi, secondo il primo segno di un estremo, x=-1è il punto massimo, corrisponde al massimo della funzione .
Al punto x=5 la funzione è continua e la derivata cambia segno da meno a più, quindi x=-1è il punto minimo, corrisponde al minimo della funzione .
Illustrazione grafica.

Risposta: .

Il secondo criterio sufficiente per l'estremo della funzione.
Lascia che sia,

se , allora - punto minimo;

se , allora è il punto massimo.

Come puoi vedere, questa caratteristica richiede l'esistenza di una derivata almeno fino al secondo ordine al punto .
Esempio. Trova gli estremi della funzione.
Decisione.
Cominciamo con l'ambito:

Differenziamo la funzione originale:

Il derivato svanisce quando x=1, cioè è il punto di un possibile extremum.
Troviamo la derivata seconda della funzione e ne calcoliamo il valore in x=1:

Pertanto, per la seconda condizione estrema sufficiente, x=1- punto massimo. Allora è il massimo della funzione.
Illustrazione grafica.

Risposta: .
Il terzo criterio sufficiente per l'estremo di una funzione.
Lascia che la funzione y = f(x) ha derivati fino a n-esimo ordine in -vicinanza di un punto e derivate fino a n+1 ordine nel punto stesso. Lascia e .
Quindi,

Fine del lavoro -

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Prova. Lascia a e a .

Per il teorema di Lagrange , dove Allora se , allora ; Ecco perché , quindi, , o . Se poi ; Ecco perché , quindi, o .

Pertanto, è dimostrato che in qualsiasi punto vicino a , cioè è il punto massimo della funzione.

La dimostrazione del teorema per il punto minimo si effettua in modo analogo. Teorema dimostrato.

Se la derivata non cambia segno quando passa per un punto, allora non c'è un estremo nel punto.

Teorema (la seconda condizione sufficiente per un estremo). Sia la derivata di una funzione due volte differenziabile in un punto uguale a 0 (), e la sua derivata seconda in questo punto sia diversa da zero () e sia continua in qualche intorno del punto. Allora è il punto estremo; at è il punto minimo e at è il punto massimo.

Algoritmo per trovare gli estremi di una funzione utilizzando la prima condizione di estremo sufficiente.

1. Trova la derivata.

2. Trova i punti critici della funzione.

3. Esaminare il segno della derivata a sinistra ea destra di ciascun punto critico e trarre una conclusione sulla presenza di estremi.

4. Trova i valori estremi della funzione.

Algoritmo per trovare gli estremi di una funzione utilizzando la seconda condizione di estremo sufficiente.

1. Trova la derivata.

2. Trova la derivata seconda.

3. Trova quei punti in cui .

4. Determinare il segno in questi punti.

5. Trarre una conclusione sull'esistenza e la natura di extrema.

6. Trova i valori estremi della funzione.

Esempio. Tenere conto . Cerchiamo . Inoltre, a e a . Studiamo i punti critici utilizzando la prima condizione di estremo sufficiente. Abbiamo quello per e per, e per. Nei punti e la derivata cambia segno: da "+" a "-" e da "-" a "+". Ciò significa che la funzione ha un massimo in un punto e un minimo in un punto; . Per confronto, studiamo i punti critici utilizzando la seconda condizione di estremo sufficiente. Troviamo la derivata seconda. Abbiamo: , il che significa che la funzione ha un massimo in un punto e un minimo in un punto.

Il concetto di asintoto del grafico di una funzione. Asintoti orizzontali, obliqui e verticali. Esempi.

Definizione. Un asintoto di un grafico di una funzione è una retta che ha la proprietà che la distanza da un punto a questa retta tende a zero con una distanza illimitata dall'origine del punto del grafico.

Esistono asintoti verticali (Fig. 6.6 a), orizzontali (Fig. 6.6 b) e obliqui (Fig. 6.6 c).

Sulla fig. 6.6a è mostrato asintoto verticale.

Nella Figura 6.6b - asintoto orizzontale.

Sulla fig. 6.6v - asintoto obliquo.

Teorema 1. In punti di asintoti verticali (ad esempio ) la funzione subisce un'interruzione, il suo limite a sinistra ea destra del punto è pari a:

Teorema 2. Sia definita la funzione per sufficientemente grande e siano presenti limiti finiti

E .

Allora la retta è l'asintoto obliquo del grafico della funzione.

Teorema 3. Sia definita la funzione per sufficientemente grande e che esista il limite della funzione. Allora la linea è l'asintoto orizzontale del grafico della funzione.

L'asintoto orizzontale è un caso speciale dell'asintoto obliquo quando . Pertanto, se una curva ha un asintoto orizzontale in qualsiasi direzione, non esiste un asintoto obliquo in quella direzione e viceversa.

Esempio. Trova gli asintoti del grafico della funzione.

Decisione. Nel punto la funzione non è definita, troviamo i limiti della funzione a sinistra e a destra del punto:

; .

Pertanto, è un asintoto verticale.

Schema generale per lo studio delle funzioni e la costruzione dei loro grafici. Esempio.

Schema generale di ricerca funzionale e disegnandolo.

1. Trova il dominio di definizione.

2. Esaminare la funzione di parità - disparità.

3. Trova gli asintoti verticali e i punti di discontinuità (se presenti).

4. Indagare il comportamento della funzione all'infinito; trova gli asintoti orizzontali e obliqui (se presenti).

5. Trova gli estremi e gli intervalli di monotonia della funzione.

6. Trovare i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate e, se necessario per la costruzione schematica del grafico, trovare punti aggiuntivi.

7. Costruisci schematicamente un grafico.

Schema di studio dettagliato della funzione e complottare .

1. Trova dominio .

un. Se y ha un denominatore, non deve andare a 0.

b. L'espressione radice della radice di un grado pari deve essere non negativa (maggiore o uguale a zero).

c. L'espressione sublogaritmica deve essere positiva.

2. Esaminare la funzione per pari - dispari.

un. Se , la funzione è pari.

b. Se , allora la funzione è dispari.

c. Se nessuno dei due è soddisfatto né , allora è una funzione della forma generale.

3. Trova gli asintoti verticali e i punti di interruzione (se presenti).

un. Un asintoto verticale può verificarsi solo al confine del dominio della funzione.

b. Se ( o ), allora è l'asintoto verticale del grafico.

4. Indagare il comportamento di una funzione all'infinito; trova gli asintoti orizzontali e obliqui (se presenti).

un. Se, allora è l'asintoto orizzontale del grafico.

b. Se , allora la retta è l'asintoto obliquo del grafico.

c. Se i limiti indicati nei paragrafi a, b esistono solo quando unilaterale tendente all'infinito ( o ), gli asintoti risultanti saranno unilaterali: mancini come e destrorsi come .

5. Trova gli estremi e gli intervalli di monotonia della funzione.

un. Trova derivata.

b. Trova i punti critici (quei punti in cui o dove non esistono).

c. Sull'asse numerico, segnare il dominio di definizione ei suoi punti critici.

d. Su ciascuno degli intervalli numerici ottenuti, determinare il segno della derivata.

e. Sulla base dei segni della derivata, trarre una conclusione sulla presenza di estremi in y e sul loro tipo.

f. Trova valori estremi.

g. Secondo i segni della derivata, trarre una conclusione sull'aumento e sulla diminuzione.

6. Trova i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate e, se necessario per la costruzione schematica del grafico, trova i punti aggiuntivi.

un. Per trovare i punti di intersezione del grafico con l'asse, è necessario risolvere l'equazione. I punti, dove sono gli zeri, saranno i punti di intersezione del grafico con l'asse.

b. Il punto di intersezione del grafico con l'asse ha la forma . Esiste solo se il punto rientra nell'ambito della funzione.

8. Costruisci schematicamente un grafico.

un. Costruisci un sistema di coordinate e asintoti.

b. Segna punti estremi.

c. Segna i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate.

d. Costruisci schematicamente un grafico in modo che passi attraverso i punti contrassegnati e si avvicini agli asintoti.

Esempio. Esaminare la funzione e tracciarne schematicamente il grafico.

2. è una funzione generale.

3. Poiché e , quindi le linee e sono asintoti verticali; punti e sono punti di interruzione. , for non è incluso nel dominio di definizione della funzione