Piano:

1 Logaritmo reale
- 1.1 Proprietà
- 1.2 funzione logaritmica
- 1.3 logaritmi naturali
- 1.4 Logaritmi decimali
2 Logaritmo complesso
- 2.1 Definizione e proprietà
- 2.2 Esempi
- 2.3 Continuazione analitica
- 2.4 superficie di Riemann
3 Cenni storici
- 3.1 Logaritmo reale
- 3.2 Logaritmo complesso
4 Tavole logaritmiche
5 Applicazioni

introduzione

Riso. 1. Grafici delle funzioni logaritmiche

Logaritmo di un numero B per ragione un (dal greco. λόγος - "parola", "atteggiamento" e ἀριθμός - “numero”) è definito come indicatore del grado di elevazione della base un per ottenere il numero B. Designazione: . Dalla definizione consegue che le voci e sono equivalenti.

Ad esempio, perché .

1. Logaritmo reale

Logaritmo di un logaritmo di numeri reali un B ha senso quando. Come sapete, la funzione esponenziale y = un X è monotono e ogni valore richiede solo una volta e l'intervallo dei suoi valori contiene tutti i numeri reali positivi. Ne consegue che il valore del logaritmo reale numero positivo esiste sempre ed è determinato in modo univoco.

I più utilizzati sono i seguenti tipi di logaritmi.

1.1. Proprietà

Prova

Dimostriamolo.

(perché per condizione bc > 0). ■

Prova

Dimostriamolo

(perché per condizione ■

Prova

Usiamo l'identità per dimostrarlo. Logaritmiamo entrambi i lati dell'identità in base c. Noi abbiamo:

Prova

Dimostriamolo.

(perché B P> 0 per condizione). ■

Prova

Dimostriamolo

Prova

Prendi il logaritmo dei lati sinistro e destro alla base C :

Lato sinistro: Lato destro:

L'uguaglianza delle espressioni è evidente. Poiché i logaritmi sono uguali, quindi, a causa della monotonia della funzione logaritmica, le espressioni stesse sono uguali. ■

1.2. funzione logaritmica

Se consideriamo un numero logaritmico come una variabile, otteniamo funzione logaritmica y= registro un X (vedi fig. 1). È definito in . Intervallo di valori: .

La funzione è rigorosamente crescente per un> 1 e rigorosamente decrescente a 0< un < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Dritto X= 0 è l'asintoto verticale sinistro, perché at un> 1 e a 0< un < 1 .

La derivata della funzione logaritmica è:

Prova

I. Dimostriamolo

Scriviamo l'identità e ln X = X e differenziare i suoi lati sinistro e destro

Lo otteniamo, da cui ne consegue

II. Dimostriamolo

La funzione logaritmica implementa un isomorfismo gruppo moltiplicativo positivo numeri reali e il gruppo additivo di tutti i numeri reali.

1.3. logaritmi naturali

Relazione con il logaritmo decimale: .

Come detto sopra, la derivata del logaritmo naturale ha una formula semplice:

Per questo motivo, i logaritmi naturali sono usati principalmente nella ricerca matematica. Appaiono spesso quando si risolvono equazioni differenziali, studiano le dipendenze statistiche (ad esempio, distribuzioni numeri primi) eccetera.

L'integrale indefinito del logaritmo naturale è facile da trovare integrando per parti:

L'espansione della serie di Taylor può essere rappresentata come segue:
quando l'uguaglianza

(1)

In particolare,

Questa serie converge più velocemente e, inoltre, il lato sinistro della formula può ora esprimere il logaritmo di qualsiasi numero positivo.

1.4. Logaritmi decimali

Riso. 2a. Scala logaritmica

Riso. 2b. Scala logaritmica con simboli

Logaritmi in base 10 (simbolo: lg un) prima dell'invenzione delle calcolatrici erano ampiamente utilizzate per i calcoli. La scala non uniforme dei logaritmi decimali viene solitamente applicata anche ai regoli calcolatori. Una scala simile è utilizzata in molti campi della scienza, ad esempio:

Fisica - intensità del suono (decibel).
L'astronomia è una scala per la luminosità delle stelle.
Chimica - attività degli ioni idrogeno (pH).
Sismologia - Scala Richter.
Teoria musicale - la scala musicale, in relazione alle frequenze dei suoni musicali.
La storia è una scala temporale logaritmica.

La scala logaritmica è anche ampiamente utilizzata per identificare l'esponente nelle dipendenze esponenziali e il coefficiente nell'esponente. Allo stesso tempo, un grafico tracciato su scala logaritmica lungo uno o due assi assume la forma di una linea retta, che è più facile da studiare.

2. Logaritmo complesso

2.1. Definizione e proprietà

Per i numeri complessi, il logaritmo è definito allo stesso modo di quello reale. In pratica si usa quasi esclusivamente il logaritmo complesso naturale, che indichiamo e definiamo come l'insieme di tutti i numeri complessi z tale che e z = w . Il logaritmo complesso esiste per qualsiasi , e la sua parte reale è determinata in modo univoco, mentre l'immaginario ha un numero infinito di valori. Per questo motivo è chiamata funzione multivalore. Se immagina w in forma indicativa:

allora il logaritmo si trova con la formula:

Ecco il vero logaritmo, R = | w | , Kè un numero intero arbitrario. Il valore ottenuto quando K= 0 viene chiamato importanza principale logaritmo naturale complesso; è consuetudine assumere il valore dell'argomento nell'intervallo (− π,π] . Viene chiamata la funzione corrispondente (già a valore singolo) ramo principale logaritmo ed è indicato da . A volte denotano anche il valore del logaritmo, che non giace sul ramo principale.

Dalla formula segue:

La parte reale del logaritmo è determinata dalla formula:

Il logaritmo di un numero negativo si trova con la formula:

Poiché le funzioni trigonometriche complesse sono associate all'esponenziale (formula di Eulero), il logaritmo complesso, in quanto inverso della funzione esponenziale, è associato all'inversa funzioni trigonometriche. Un esempio di tale connessione:

2.2. Esempi

Ecco il valore principale del logaritmo per alcuni argomenti:

È necessario prestare attenzione quando si convertono logaritmi complessi, tenendo conto del fatto che sono multivalore e quindi l'uguaglianza dei logaritmi di qualsiasi espressione non implica l'uguaglianza di queste espressioni. Un esempio di ragionamento errato:

ioπ = ln(− 1) = ln((− io) 2) = 2ln(- io) = 2(− ioπ / 2) = - ioπ - una palese assurdità.

Si noti che il valore principale del logaritmo è a sinistra e il valore del ramo sottostante è a destra ( K= - 1). Il motivo dell'errore è l'uso negligente della proprietà, che, in generale, nel caso complesso implica l'intero insieme infinito di valori del logaritmo, e non solo il valore principale.

2.3. Continuazione analitica

Riso. 3. Logaritmo complesso (parte immaginaria)

Il logaritmo di un numero complesso può anche essere definito come la continuazione analitica del logaritmo reale sull'intero piano complesso. Lascia che la curva Γ inizi da 1, non passi per zero e non intersechi la parte negativa dell'asse reale. Quindi il valore principale del logaritmo nel punto finale w la curva Γ può essere determinata dalla formula:

Se Γ è una curva semplice (senza autointersezioni), allora per i numeri che giacciono su di essa, le identità logaritmiche possono essere applicate senza paura, ad esempio

Se la curva Γ può intersecare la parte negativa dell'asse reale, la prima di tali intersezioni trasferisce il risultato dal ramo del valore principale al ramo vicino e ogni intersezione successiva provoca uno spostamento simile lungo i rami della funzione logaritmica ( Guarda la figura).

Dalla formula di continuazione analitica ne consegue che su qualsiasi ramo del logaritmo

Per qualsiasi cerchio S racchiudendo il punto 0:

L'integrale è preso nella direzione positiva (in senso antiorario). Questa identità è alla base della teoria dei residui.

Si può anche definire la continuazione analitica del logaritmo complesso utilizzando la serie (1) di cui sopra, generalizzata al caso argomento complesso. Tuttavia, dal tipo di espansione deriva che è uguale a zero all'unità, cioè la serie si riferisce solo al ramo principale della funzione multivalore del logaritmo complesso.

2.4. superficie di Riemann

La funzione logaritmica complessa è un esempio di superficie di Riemann; la sua parte immaginaria (Fig. 3) è costituita da un numero infinito di rami attorcigliati a forma di spirale. Questa superficie è semplicemente collegata; il suo unico zero (del primo ordine) è ottenuto da z= 1 , punti speciali: z= 0 e (punti di diramazione di ordine infinito).

La superficie di Riemann del logaritmo è la copertura universale per piano complesso senza punto 0.

3. Cenni storici

3.1. Logaritmo reale

La necessità di calcoli complessi nel XVI secolo crebbe rapidamente e gran parte della difficoltà era associata alla moltiplicazione e alla divisione di numeri a più cifre, nonché all'estrazione di radici. Alla fine del secolo, diversi matematici, quasi contemporaneamente, ebbero l'idea: sostituire la lunga moltiplicazione con la semplice addizione, confrontando progressioni geometriche e aritmetiche tramite apposite tabelle, mentre quella geometrica sarà quella originale. Quindi la divisione viene automaticamente sostituita da una sottrazione incommensurabilmente più semplice e affidabile, e l'estrazione della radice del grado n si riduce a dividere il logaritmo dell'espressione radicale per n. Fu il primo a pubblicare questa idea nel suo libro Aritmetica integra» Michael Stiefel, che però non fece sforzi seri per realizzare la sua idea.

Nel 1614, il matematico dilettante scozzese John Napier pubblicò latino saggio intitolato " Descrizione della straordinaria tavola dei logaritmi"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Esso aveva breve descrizione logaritmi e loro proprietà, nonché tabelle a 8 cifre di logaritmi di seno, coseno e tangente, con un passo di 1". Termine logaritmo, proposto da Napier, si è affermato nella scienza. Napier ha delineato la teoria dei logaritmi nel suo altro libro " Costruire una straordinaria tavola di logaritmi"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), pubblicato postumo nel 1619 dal figlio.

Il concetto di funzione non esisteva ancora e Napier determinò il logaritmo cinematicamente, confrontando il movimento uniforme e logaritmicamente lento; ad esempio, ha definito il logaritmo del seno come segue:

Il logaritmo di un dato seno è un numero che aumenta sempre aritmeticamente alla stessa velocità in cui il seno pieno inizia a diminuire geometricamente.

Nella notazione moderna, può essere rappresentato il modello cinematico di Napier equazione differenziale: dx/x = -dy/M, dove M è il fattore di scala introdotto per rendere il valore un intero con il numero di cifre desiderato ( decimali non ancora ampiamente utilizzato). Napier ha preso M = 10000000.

A rigor di termini, Napier ha tabulato la funzione sbagliata, che ora è chiamata logaritmo. Se indichiamo la sua funzione come LogNap(x), allora è correlata al logaritmo naturale come segue:

Ovviamente, LogNap (M) = 0, cioè il logaritmo del "seno pieno" è zero - questo è ciò che Napier cercava con la sua definizione. .

La proprietà principale del logaritmo di Napier: se le quantità si formano progressione geometrica, allora i loro logaritmi formano una progressione aritmetica. Tuttavia, le regole per il logaritmo per la funzione non Pierian differivano dalle regole per il logaritmo moderno.

Per esempio, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Sfortunatamente, tutti i valori nella tabella di Napier contenevano un errore di calcolo dopo la sesta cifra. Tuttavia, ciò non ha impedito al nuovo metodo di calcolo di guadagnare ampia popolarità e molti matematici europei, incluso Keplero, hanno iniziato a compilare tabelle logaritmiche. Già 5 anni dopo, nel 1619, l'insegnante di matematica londinese John Spydell ( John Spidell) ha ripubblicato le tabelle di Napier, trasformate in modo che diventassero effettivamente tabelle di logaritmi naturali (sebbene Spydell abbia mantenuto il ridimensionamento a numeri interi). Il termine "logaritmo naturale" è stato coniato dal matematico italiano Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) a metà del XVI secolo.

Nel 1620, Edmund Wingate e William Oughtred inventarono il primo regolo calcolatore, prima dell'avvento delle calcolatrici tascabili, uno strumento indispensabile per un ingegnere.

Vicino alla moderna comprensione del logaritmo - come operazione inversa all'elevazione a potere - apparve per la prima volta in Wallis e Johann Bernoulli, e fu infine legalizzato da Eulero nel XVIII secolo. In Introduzione all'analisi degli infiniti (1748), Eulero diede definizioni moderne funzioni sia esponenziali che logaritmiche, hanno portato alla loro espansione serie di potenze, ha sottolineato il ruolo del logaritmo naturale.

Eulero ha anche il merito di estendere la funzione logaritmica al dominio complesso.

3.2. Logaritmo complesso

I primi tentativi di estendere i logaritmi a numeri complessi Leibniz e Johann Bernoulli si impegnarono a cavallo tra il XVII e il XVIII secolo, ma non riuscirono a creare una teoria olistica, principalmente perché a quel tempo il concetto stesso di logaritmo non era ancora chiaramente definito. La discussione su questo tema fu dapprima tra Leibniz e Bernoulli e, a metà del XVIII secolo, tra d'Alembert ed Eulero. Bernoulli e d'Alembert credevano che fosse necessario definire log(-x) = log(x). Teoria completa logaritmi di numeri negativi e complessi è stato pubblicato da Eulero nel 1747-1751 e sostanzialmente non è diverso da quello moderno.

Sebbene la controversia continuasse (D'Alembert difese il suo punto di vista e lo argomentò in dettaglio in un articolo della sua Enciclopedia e in altre opere), il punto di vista di Eulero ottenne rapidamente un riconoscimento generale.

4. Tavole logaritmiche

Tavole logaritmiche

Dalle proprietà del logaritmo consegue che invece della lunga moltiplicazione di numeri multivalore, è sufficiente trovare (dalle tabelle) e sommare i loro logaritmi, quindi eseguire il potenziamento usando le stesse tabelle, cioè trovare il valore del risultato per il suo logaritmo. Fare divisione differisce solo per il fatto che i logaritmi vengono sottratti. Laplace ha affermato che l'invenzione dei logaritmi "ha prolungato la vita degli astronomi" accelerando notevolmente il processo di calcolo.

Quando si sposta la virgola decimale in un numero su n cifre, il valore del logaritmo decimale di questo numero viene modificato di n. Ad esempio, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Ne consegue che è sufficiente fare una tabella di logaritmi decimali per numeri compresi tra 1 e 10.

Le prime tavole dei logaritmi furono pubblicate da John Napier (1614) e contenevano solo i logaritmi delle funzioni trigonometriche e con errori. Indipendentemente da lui, Joost Burgi, amico di Keplero, pubblicò le sue tavole (1620). Nel 1617 il professore di matematica di Oxford Henry Briggs pubblicò tabelle che includevano già i logaritmi decimali dei numeri stessi, da 1 a 1000, con 8 (poi 14) cifre. Ma c'erano anche errori nelle tabelle Briggs. La prima edizione infallibile basata sulle tavole Vega (1783) apparve solo nel 1857 a Berlino (tavole Bremiver).

In Russia, le prime tavole dei logaritmi furono pubblicate nel 1703 con la partecipazione di L. F. Magnitsky. Diverse raccolte di tabelle di logaritmi furono pubblicate in URSS.

Bradis V.M. Tabelle matematiche a quattro cifre. 44a edizione, M., 1973.

Le tavole di Bradys (1921) sono state utilizzate in istituzioni educative e nei calcoli ingegneristici che non richiedono grande precisione. Contenevano mantisse di logaritmi decimali di numeri e funzioni trigonometriche, logaritmi naturali e alcuni altri utili strumenti di calcolo.

Vega G. Tabelle dei logaritmi a sette cifre, 4a edizione, M., 1971.

Collezione professionale per calcoli accurati.

Tabelle a cinque cifre dei valori naturali delle quantità trigonometriche, dei loro logaritmi e logaritmi dei numeri, 6a ed., M.: Nauka, 1972.
Tavole dei logaritmi naturali, 2a edizione, in 2 volumi, Mosca: Nauka, 1971.

Allo stato attuale, con la diffusione delle calcolatrici, è scomparsa la necessità di utilizzare le tabelle dei logaritmi.

M, Caratteristica (analisi complessa).

Definizione e proprietà

Lo zero complesso non ha logaritmo perché l'esponente complesso non assume valore zero. diverso da zero texvc può essere rappresentato in forma esponenziale:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, dove Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): k- intero arbitrario

Quindi Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \mathrm(Ln)\,z si trova secondo la formula:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla messa a punto.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Qui Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln\,r= \ln\,|z|è il vero logaritmo. Ne consegue:

Si può vedere dalla formula che uno e solo uno dei valori ha una parte immaginaria nell'intervallo Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc . Questo valore viene chiamato importanza principale logaritmo naturale complesso. Viene chiamata la funzione corrispondente (già a valore singolo). ramo principale logaritmo ed è indicato Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \ln\,z. A volte attraverso Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \ln\, z denotare anche il valore del logaritmo che non giace sul ramo principale. Se Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): zè un numero reale, allora il valore principale del suo logaritmo coincide con il solito logaritmo reale.

Segue anche dalla formula precedente che la parte reale del logaritmo è determinata come segue attraverso le componenti dell'argomento:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

La figura mostra che la parte reale in funzione delle componenti è centralmente simmetrica e dipende solo dalla distanza dall'origine. Si ottiene ruotando il grafico del logaritmo reale attorno all'asse verticale. Quando si avvicina allo zero, la funzione tende a Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): -\infty.

Il logaritmo di un numero negativo si trova con la formula:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla messa a punto.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\punti)

Esempi di valori logaritmici complessi

Diamo il valore principale del logaritmo ( Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln) e la sua espressione generale ( Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \mathrm(Ln)) per alcuni argomenti:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\piè un errore evidente.

Si noti che il valore principale del logaritmo è a sinistra e il valore del ramo sottostante è a destra ( Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): k=-1). Il motivo dell'errore è l'uso negligente della proprietà Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, che, in generale, implica nel caso complesso l'intero insieme infinito di valori del logaritmo, e non solo il valore principale.

Funzione logaritmica complessa e superficie di Riemann

In virtù del semplice collegamento, la superficie di Riemann del logaritmo è una copertura universale per il piano complesso senza punto Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc .

Continuazione analitica

Il logaritmo di un numero complesso può anche essere definito come la continuazione analitica del logaritmo reale sull'intero piano complesso. Lascia la curva Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc inizia da uno, non passa per zero e non attraversa la parte negativa dell'asse reale. Quindi il valore principale del logaritmo nel punto finale Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): w storto Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \Gamma può essere determinato dalla formula:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Se Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \Gamma- una curva semplice (senza autointersezioni), quindi per i numeri adagiati su di essa si possono applicare identità logaritmiche senza timore, ad esempio:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Il ramo principale della funzione logaritmica è continuo e differenziabile sull'intero piano complesso, fatta eccezione per la parte negativa dell'asse reale, su cui la parte immaginaria salta a Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): 2\pi. Ma questo fatto è una conseguenza della limitazione artificiale della parte immaginaria del valore principale per l'intervallo Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): (-\pi, \pi]. Se consideriamo tutti i rami della funzione, la continuità avviene in tutti i punti tranne lo zero, dove la funzione non è definita. Se consente curva Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \Gamma attraversare la parte negativa dell'asse reale, quindi la prima di tali intersezioni trasferisce il risultato dal ramo del valore principale al ramo vicino e ogni intersezione successiva provoca uno spostamento simile lungo i rami della funzione logaritmica (vedi figura).

Dalla formula di continuazione analitica segue che su qualsiasi ramo del logaritmo:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Per qualsiasi cerchio Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): S racchiudendo il punto Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): 0 :

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

L'integrale è preso nella direzione positiva (in senso antiorario). Questa identità è alla base della teoria dei residui.

Si può anche definire la continuazione analitica del logaritmo complesso utilizzando la serie nota per il caso reale:

Tuttavia, dalla forma di queste serie segue che all'unità la somma delle serie è uguale a zero, cioè la serie si riferisce solo al ramo principale della funzione multivalore del logaritmo complesso. Il raggio di convergenza di entrambe le serie è 1.

Relazione con funzioni trigonometriche e iperboliche inverse

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida all'installazione.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida all'installazione.): \nomeoperatore(Arccos) z = -i \nomeoperatore(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida all'installazione.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z\ne \pm i) Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida all'installazione.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z\ne \pm i) Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- seno iperbolico inverso Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- coseno iperbolico inverso Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangente iperbolica inversa Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangente iperbolica inversa

Cenni storici

I primi tentativi di estendere i logaritmi a numeri complessi furono fatti a cavallo tra il XVII e il XVIII secolo da Leibniz e Johann Bernoulli, ma non riuscirono a creare una teoria olistica, principalmente perché il concetto stesso di logaritmo non era ancora chiaramente definito. La discussione su questo argomento fu dapprima tra Leibniz e Bernoulli, e a metà del 18° secolo tra d'Alembert ed Eulero. Bernoulli e d'Alembert credevano che fosse necessario definire Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \log(-x) = \log(x), mentre Leibniz ha sostenuto che il logaritmo di un numero negativo è un numero immaginario. La teoria completa dei logaritmi dei numeri negativi e complessi fu pubblicata da Eulero nel 1747-1751 e sostanzialmente non differisce da quella moderna. Sebbene la controversia continuasse (d'Alembert difese il suo punto di vista e lo argomentò in dettaglio in un articolo della sua Enciclopedia e in altre opere), l'approccio di Eulero alla fine del XVIII secolo ricevette un riconoscimento universale.

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Letteratura

Teoria dei logaritmi

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Storia dei logaritmi

La matematica del 18° secolo // / A cura di A.P. Yushkevich, in tre volumi. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov AN, Yushkevich AP (a cura di). La matematica del 19° secolo. Geometria. Teoria delle funzioni analitiche. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Appunti

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Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - S. 159-161. - 416 pag.

Un estratto che caratterizza il logaritmo complesso

Dall'orrore selvaggio che ci ha colto, ci siamo precipitati come proiettili attraverso un'ampia valle, senza nemmeno pensare di poter andare rapidamente su un altro "piano" ... Semplicemente non abbiamo avuto il tempo di pensarci - eravamo troppo spaventati.
La creatura volò proprio sopra di noi, schioccando rumorosamente con il suo becco dentato spalancato, e noi ci precipitammo il più lontano possibile, spruzzando vili spray viscidi ai lati e pregando mentalmente che qualcos'altro potesse improvvisamente interessare questo terribile "uccello meraviglioso" ... Si sentiva che era molto più veloce e semplicemente non avevamo alcuna possibilità di staccarci. Come un male, non un solo albero cresceva nelle vicinanze, non c'erano cespugli, nemmeno pietre dietro cui nascondersi, in lontananza si vedeva solo una minacciosa roccia nera.
- Là! - gridò Stella, puntando il dito verso la stessa roccia.
Ma all'improvviso, inaspettatamente, proprio di fronte a noi, da qualche parte, apparve una creatura, la cui vista ci gelò letteralmente il sangue nelle vene... Sorse, per così dire, "direttamente dal nulla" ed era davvero terrificante ... L'enorme carcassa nera era completamente ricoperta di capelli lunghi e rigidi, che lo facevano sembrare un orso panciuto, solo che questo "orso" era alto come una casa a tre piani ... La testa irregolare del mostro era " sposato" con due enormi corna ricurve, e un paio di zanne incredibilmente lunghe, affilate come coltelli, adornavano la sua bocca terribile, proprio a guardare la quale, con paura, le gambe cedevano ... E poi, sorprendendoci indicibilmente, il mostro facilmente saltò in piedi e .... raccolse il "fango" volante su una delle sue enormi zanne... Ci congelammo sbalorditi.
- Corriamo!!! urlò Stella. - Corriamo mentre lui è "impegnato"!..
Ed eravamo già pronti a correre di nuovo senza voltarci indietro, quando all'improvviso una voce sottile risuonò dietro le nostre spalle:
- Ragazze, aspettate! Non c'è bisogno di scappare!.. Dean ti ha salvato, non è un nemico!
Ci voltammo bruscamente: dietro c'era una ragazza minuscola e molto bella con gli occhi neri... che accarezzava con calma il mostro che si avvicinava a lei!... I nostri occhi sbucarono per la sorpresa... È stato incredibile! Di sicuro - è stata una giornata di sorprese!.. La ragazza, guardandoci, sorrise affabilmente, per niente spaventata dal mostro peloso che stava lì vicino.
Per favore, non aver paura di lui. Lui è molto gentile. Abbiamo visto che Ovara ti stava inseguendo e abbiamo deciso di aiutarti. Dean è un bravo ragazzo, ce l'ha fatta in tempo. Davvero, mio bene?
"Buono" fece le fusa, che suonarono come un leggero terremoto, e, piegando la testa, leccò il viso della ragazza.
"E chi è Owara, e perché ci ha attaccato?" Ho chiesto.
Attacca tutti, è una predatrice. E molto pericoloso”, rispose con calma la ragazza. "Posso chiederti cosa ci fai qui?" Non siete di qui, ragazze, vero?
- No, non da qui. Stavamo solo camminando. Ma la stessa domanda per te: cosa ci fai qui?
Vado da mia madre... - la bambina si rattristò. “Siamo morti insieme, ma per qualche motivo è finita qui. E ora vivo qui, ma non le dico questo, perché non sarà mai d'accordo con questo. Lei pensa che sto arrivando...
"Non è meglio venire e basta?" È così terribile qui!.. - Stella contrasse le spalle.
“Non posso lasciarla qui da sola, la sto guardando in modo che non le succeda nulla. Ed ecco Dean con me... Mi aiuta.
Non riuscivo proprio a crederci... Questa piccola ragazza coraggiosa ha lasciato volontariamente il suo bellissimo e gentile "piano" per vivere in questo mondo freddo, terribile e alieno, proteggendo sua madre, che era molto "colpevole" di qualcosa! Non molti, penso, sarebbero stati così coraggiosi e altruisti (anche adulti!) Persone che avrebbero deciso un'impresa del genere ... E ho subito pensato: forse non capiva a cosa si sarebbe condannata ?!
- E da quanto tempo sei qui, ragazza, se non è un segreto?
"Recentemente..." rispose tristemente la bambina dagli occhi neri, tirando con le dita la ciocca nera dei suoi capelli ricci. - Sono entrato in questo mondo meraviglioso quando è morta!.. Era così gentile e luminoso!.. E poi ho visto che mia madre non era con me e sono corsa a cercarla. All'inizio era così spaventoso! Per qualche ragione, non si trovava da nessuna parte... E poi sono caduto in questo mondo terribile... E poi l'ho trovata. Ero così terrorizzato qui... Così solo... La mamma mi ha detto di andarmene, mi ha persino rimproverato. Ma non posso lasciarla... Ora ho un amico, il mio buon Dean, e in qualche modo posso esistere qui.
La sua "buona amica" ringhiò di nuovo, causando enormi pelle d'oca "astrale inferiore" in Stella e in me ... Dopo essermi ripreso, ho cercato di calmarmi un po 'e ho iniziato a guardare questo miracolo peloso ... E lui, sentendosi immediatamente che se ne accorse, scoprì terribilmente la sua bocca munita di zanne... Feci un salto indietro.
- Oh, per favore non aver paura! È lui che ti sorride, - la ragazza "rassicurata".
Già... Da un tale sorriso imparerai a correre veloce... - pensavo tra me e me.
"Ma come è successo che sei diventato suo amico?" chiese Stella.
- Quando sono venuto qui per la prima volta, ero molto spaventato, specialmente quando mostri come te sono stati attaccati oggi. E poi un giorno, quando sono quasi morto, Dean mi ha salvato da un intero branco di inquietanti "uccelli". All'inizio avevo anche paura di lui, ma poi ho capito che cuore d'oro aveva... È il massimo migliore amico! Non ne ho mai avuti, nemmeno quando vivevo sulla Terra.
Come ci sei abituato così in fretta? Il suo aspetto non è del tutto, diciamo, familiare ...
- E qui ho capito una verità molto semplice, che per qualche motivo non ho notato sulla Terra - l'apparenza non importa se una persona o una creatura ha un buon cuore... Mia madre era molto bella, ma a volte anche molto arrabbiata . E poi tutta la sua bellezza è scomparsa da qualche parte ... E Dean, anche se spaventoso, è sempre molto gentile e mi protegge sempre, sento la sua bontà e non ho paura di nulla. Puoi abituarti agli sguardi...
"Sai che rimarrai qui per molto tempo, molto più a lungo di quanto le persone vivano sulla Terra?" Vuoi davvero restare qui?
“Mia madre è qui, quindi devo aiutarla. E quando lei “parte” per vivere di nuovo sulla Terra, partirò anche io... Dove c'è più bontà. In questo mondo terribile, le persone sono molto strane, come se non vivessero affatto. Perché? Ne sai qualcosa?
- E chi ti ha detto che tua madre sarebbe partita per vivere di nuovo? chiese Stella.
Decano, ovviamente. Sa molto, vive qui da molto tempo. Ha anche detto che quando noi (mia madre ed io) vivremo di nuovo, le nostre famiglie saranno diverse. E poi non avrò più questa madre... Ecco perché voglio stare con lei adesso.
"E come parli con lui, con il tuo Decano?" chiese Stella. "E perché non vuoi dirci il tuo nome?"
Ma è vero, non conoscevamo ancora il suo nome! E da dove veniva - anche loro non sapevano ...
– Mi chiamo Maria... Ma qui importa davvero?
- Certamente! Stella rise. - E come comunicare con te? Quando te ne andrai, ti daranno un nuovo nome, ma mentre sei qui, dovrai convivere con quello vecchio. Hai parlato con qualcun altro qui, ragazza Maria? - Per abitudine, saltando da un argomento all'altro, chiese Stella.
“Sì, l'ho fatto…” disse la bambina incerta. «Ma sono così strani qui. E così miserabili... Perché sono così miserabili?
"Ma quello che vedi qui è favorevole alla felicità?" Sono rimasto sorpreso dalla sua domanda. – Anche la stessa “realtà” locale uccide in anticipo ogni speranza!.. Come si può essere felici qui?
- Non lo so. Quando sono con mia madre, mi sembra che potrei essere felice anche qui... È vero, è molto spaventoso qui, e a lei proprio non piace qui... Quando ho detto che ho accettato di stare con lei, mi ha urlato contro e ha detto che io sono la sua "sventura senza cervello" ... Ma non mi sono offesa ... so che ha solo paura. Proprio come me...
- Forse voleva solo salvarti dalla tua decisione "estrema" e voleva solo che tornassi al tuo "piano"? - Attenta, per non offendere, chiese Stella.
– No, certo che no... Ma grazie per le belle parole. La mamma spesso mi chiamava con nomi non molto buoni, anche sulla Terra ... Ma so che questo non è per cattiveria. Era solo infelice perché ero nata e spesso mi diceva che le avevo rovinato la vita. Ma non è stata colpa mia, vero? Ho sempre cercato di renderla felice, ma per qualche motivo non ci sono riuscito molto... Ma non ho mai avuto un padre. Maria era molto triste, e la sua voce tremava, come se stesse per piangere.
Stella e io ci siamo guardati ed ero quasi sicuro che pensieri simili l'avessero visitata ... Già non mi piaceva davvero questa "madre" viziata ed egoista che, invece di preoccuparsi per suo figlio lei stessa, non si preoccupava del suo eroico sacrificio a tutti.Ho capito e, inoltre, mi ha ferito più dolorosamente.
- Ma Dean dice che sto bene e che lo rendo molto felice! - mormorò più allegra la bambina. E vuole essere mio amico. E gli altri che ho incontrato qui sono molto freddi e indifferenti, ea volte anche arrabbiati... Soprattutto quelli che hanno dei mostri attaccati...
- Mostri - cosa?.. - non abbiamo capito.
“Beh, hanno mostri spaventosi sulla schiena e dicono loro cosa dovrebbero fare. E se non ascoltano, i mostri li deridono terribilmente... Ho provato a parlare con loro, ma questi mostri non me lo lasciano fare.
Non abbiamo capito assolutamente nulla di questa “spiegazione”, ma il fatto stesso che alcuni esseri astrali torturano le persone non potevano rimanere “esplorati” da noi, quindi, le abbiamo subito chiesto come potevamo vedere questo fenomeno sorprendente.
- Oh, ovunque! Soprattutto alla Montagna Nera. Eccolo lì, dietro gli alberi. Vuoi che anche noi veniamo con te?
– Certo, saremo felici! - rispose subito Stella contentissima.
Ad essere onesto, non sorridevo nemmeno alla prospettiva di uscire con qualcun altro, "inquietante e incomprensibile", soprattutto da solo. Ma l'interesse ha vinto la paura e noi, ovviamente, saremmo andati, nonostante avessimo un po' paura... Ma quando un difensore come Dean era con noi, è diventato subito più divertente...
E ora, in un attimo, un vero inferno si è aperto davanti ai nostri occhi sbarrati con stupore... mondo... Certo, non era pazzo, ma era semplicemente un veggente che, per qualche ragione, poteva vedere solo l'astrale inferiore. Ma dobbiamo dargli ciò che gli è dovuto - lo ritrae in modo superbo ... Ho visto i suoi dipinti in un libro che era nella biblioteca di mio padre e ricordavo ancora quella terribile sensazione che portava la maggior parte dei suoi dipinti ...
- Che orrore!.. - sussurrò sconvolta Stella.
Si potrebbe probabilmente dire che abbiamo già visto molto qui, sui “pavimenti”… Ma nemmeno noi siamo riusciti ad immaginare una cosa del genere nel nostro incubo più terribile!.. Dietro la “roccia nera” si apriva completamente qualcosa di impensabile ... Sembrava un enorme "calderone" piatto scavato nella roccia, in fondo al quale gorgogliava "lava" cremisi ... L'aria calda "scoppiava" ovunque con strane bolle rossastre lampeggianti, da cui fuoriusciva vapore bollente e cadde in grosse gocce per terra, o sulle persone che gli caddero sotto in quel momento... Si udirono grida strazianti, ma subito tacquero, poiché le creature più disgustose sedevano sulle spalle delle stesse persone, che , con sguardo soddisfatto, "gestì" le loro vittime, non prestando la minima attenzione alle loro sofferenze... Sotto i piedi nudi delle persone pietre roventi arrossavano, la calda terra cremisi ribolliva e "scioglieva" ... alto, evaporando con una leggera foschia... E proprio nel mezzo della "fossa" scorreva un ampio fiume rosso brillante, infuocato, nel quale, di tanto in tanto, gli stessi mostri disgustosi lanciavano inaspettatamente l'una o l'altra entità tormentata, che , cadendo, causò solo una breve spruzzata di scintille arancioni, e poi, trasformandosi per un momento in una soffice nuvola bianca, scomparve ... per sempre ... Era un vero inferno, e io e Stella volevamo "scomparire" da lì il prima possibile...
- Che cosa dobbiamo fare?.. - sussurrò Stella con pacato orrore. - Vuoi andare laggiù? C'è qualcosa che possiamo fare per aiutarli? Guarda quanti sono!..
Stavamo su una scogliera di colore marrone-nero, seccata dal calore, a guardare il "disordine" di dolore, disperazione e violenza che si estendeva al di sotto, inondato di orrore, e ci siamo sentiti così infantilmente impotenti che anche la mia guerriera Stella questa volta l'ha piegata categoricamente scompigliata " ali ” ed era pronta alla prima chiamata a correre verso il suo, così caro e affidabile, “piano” superiore ...

La funzione esponenziale di una variabile reale (per terreno positivo) è determinato in più fasi. Innanzitutto, per i valori naturali - come prodotto di fattori uguali. La definizione viene poi estesa a valori interi negativi e diversi da zero per le regole. Inoltre, vengono considerati indicatori frazionari, a cui il valore funzione esponenziale determinato dalle radici: . Per i valori irrazionali, la definizione è già connessa con il concetto base di analisi matematica - con il passaggio al limite, per ragioni di continuità. Tutte queste considerazioni non sono in alcun modo applicabili ai tentativi di estendere la funzione esponenziale ai valori complessi dell'indicatore, e ciò, ad esempio, è del tutto incomprensibile.

Per la prima volta fu introdotto da Eulero un grado con esponente complesso a base naturale basato sull'analisi di alcune costruzioni del calcolo integrale. A volte espressioni algebriche molto simili quando integrate danno risposte completamente diverse:

Allo stesso tempo, qui il secondo integrale si ottiene formalmente dal primo sostituendolo con

Da ciò si può concludere che, con una corretta definizione di funzione esponenziale con esponente complesso, le funzioni trigonometriche inverse sono legate ai logaritmi e quindi la funzione esponenziale è correlata alle funzioni trigonometriche.

Eulero ebbe il coraggio e l'immaginazione di dare una definizione ragionevole per la funzione esponenziale con base, ovvero,

Questa è una definizione, e quindi questa formula non è dimostrata, si possono solo cercare argomenti a favore della ragionevolezza e dell'opportunità di una tale definizione. Analisi matematica fornisce molti argomenti di questo tipo. Ci limiteremo a uno solo.

È noto che in realtà vale la relazione limite: . Sul lato destro c'è un polinomio che ha senso anche per valori complessi per . Il limite di una sequenza di numeri complessi è definito in modo naturale. Si dice che una successione converge se le successioni di reale e parti immaginarie e accettato

Cerchiamo . Per fare ciò, passiamo alla forma trigonometrica e per l'argomento sceglieremo i valori dall'intervallo . Con questa scelta, è chiaro che per . Ulteriore,

Per passare al limite, bisogna verificare l'esistenza di limiti per e e trovare questi limiti. È chiaro che e

Quindi nell'espressione

la parte reale tende a, l'immaginaria - in modo che

Questo semplice argomento fornisce uno degli argomenti a favore della definizione di Eulero della funzione esponenziale.

Stabiliamo ora che moltiplicando i valori della funzione esponenziale gli esponenti si sommano. Veramente:

2. Formule di Eulero.

Mettiamo nella definizione della funzione esponenziale. Noi abbiamo:

Sostituendo b con -b, otteniamo

Sommando e sottraendo queste uguaglianze termine per termine, troviamo le formule

chiamate formule di Eulero. Stabiliscono una connessione tra funzioni trigonometriche ed esponenziali con esponenti immaginari.

3. Logaritmo naturale di un numero complesso.

Un numero complesso dato in forma trigonometrica può essere scritto nella forma Questa forma di scrittura di un numero complesso è chiamata esponenziale. Conserva tutte le buone proprietà della forma trigonometrica, ma è ancora più concisa. Inoltre, è naturale supporre che così la parte reale del logaritmo di un numero complesso sia il logaritmo del suo modulo, e la parte immaginaria ne sia l'argomento. Questo spiega in una certa misura la proprietà "logaritmica" dell'argomento: l'argomento del prodotto è uguale alla somma degli argomenti dei fattori.

funzione logaritmica

Una funzione logaritmica è una funzione della forma f(x) = logax, definita per

Dominio: . Intervallo di valori: . La funzione è strettamente crescente per a > 1 e strettamente decrescente per 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

La linea x = 0 è l'asintoto verticale sinistro, poiché per a > 1 e per 0< a < 1.

La derivata della funzione logaritmica è:

La funzione logaritmica implementa un isomorfismo tra il gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi e il gruppo additivo di tutti i numeri reali.

Logaritmo complesso

Definizione e proprietà

Per i numeri complessi, il logaritmo è definito allo stesso modo di quello reale. In pratica si usa quasi esclusivamente il logaritmo complesso naturale, che indichiamo e definiamo come l'insieme di tutti i numeri complessi z tali che ez = w. Il logaritmo complesso esiste per chiunque, e la sua parte reale è determinata in modo univoco, mentre l'immaginario ha un numero infinito di valori. Per questo motivo è chiamata funzione multivalore. Se rappresentiamo w in forma esponenziale:

allora il logaritmo si trova con la formula:

Qui -- logaritmo reale, r = | w | , k è un numero intero arbitrario. Il valore ottenuto quando k = 0 è chiamato valore principale del logaritmo naturale complesso; è consuetudine prendere il valore dell'argomento in esso contenuto nell'intervallo (? p, p). La funzione corrispondente (già a valore singolo) è chiamata ramo principale del logaritmo ed è indicata. A volte il valore del logaritmo che non giace sul ramo principale è anche indicato con.

Dalla formula segue:

La parte reale del logaritmo è determinata dalla formula:

Il logaritmo di un numero negativo si trova dalla formula.