Dimostrazione della formula .

=

= =

poiché seno e coseno non dipendono dall'addizione di un angolo multiplo di

E questa uguaglianza è già ovvia, poiché questa è la forma trigonometrica numero complesso.

Pertanto, il logaritmo esiste per tutti i punti del piano, tranne zero. Per valido numero positivo, l'argomento è 0, quindi questo insieme infinito di punti ha la forma , ovvero uno dei valori, ovvero at , cadrà sull'asse reale. Se calcoliamo il logaritmo di un numero negativo, otteniamo , cioè l'insieme dei punti viene spostato verso l'alto e nessuno di essi cade sull'asse reale.

Si può vedere dalla formula che solo quando l'argomento del numero originale è zero, uno dei valori del logaritmo cade sull'asse reale. E questo corrisponde al semiasse giusto, ed è per questo che nel corso della matematica scolastica sono stati considerati solo i logaritmi dei numeri positivi. Esistono anche i logaritmi dei numeri negativi e immaginari, ma non hanno un unico valore sull'asse reale.

Il seguente disegno mostra dove si trovano nel piano tutti i valori del logaritmo di un numero positivo. Uno di questi è sull'asse reale, gli altri sono sopra e sotto di , e così via. Per un numero negativo o complesso, l'argomento è diverso da zero, quindi questa sequenza di punti viene spostata verticalmente, risultando in nessun punto sull'asse reale.

Esempio. Calcola.

Decisione. Definiamo il modulo del numero (uguale a 2) e l'argomento 180 0 , ovvero . Allora = .

Appendice 1. Domande per la prova (per i biglietti).

Lezione #1

1. Dimostrare la formula per l'integrazione per parti.

Lezione #2

1. Dimostrare che la sostituzione , dove r = LCM (r 1 ,...,r k) riduce l'integrale

2. Dimostrare che la sostituzione riduce l'integrale della forma all'integrale di una frazione razionale.

3. Ricavare le formule di trasformazione per seno e coseno

Per il cambio trigonometrico universale.

4. Dimostrare che nel caso in cui la funzione sia dispari rispetto al coseno, la sostituzione riduce l'integrale a una frazione razionale.

5. Dimostralo nel caso in cui

sostituzione: riduce l'integrale a una frazione razionale.

6. Dimostralo per integrale della forma

7. Dimostra la formula

8. Dimostralo per integrale della forma la sostituzione ha il suo integrale in una frazione razionale.

9. Dimostralo per integrale della forma la sostituzione riduce l'integrale a una frazione razionale.

Lezione #3

1. Dimostra che la funzione è l'antiderivata della funzione .

2. Dimostrare la formula di Newton-Leibniz: .

3. Dimostrare la formula per la lunghezza di una curva data esplicitamente:

.

4. Dimostrare la formula per la lunghezza di una curva espressa in coordinate polari

Lezione #4

Dimostrare il teorema: converge, converge.

Lezione #5

1. Dedurre (dimostrare) esplicitamente la formula dell'area data superficie .

2. Derivazione di formule per il passaggio alle coordinate polari.

3. Derivazione del determinante Jacobi delle coordinate polari.

4. Derivazione di formule per il passaggio a coordinate cilindriche.

5. Derivazione del determinante Jacobi coordinate cilindriche.

6. Derivazione di formule per il passaggio a coordinate sferiche:

.

Lezione #6

1. Dimostrare che la sostituzione riduce l'equazione omogenea a un'equazione con variabili separabili.

2. Ritiro forma generale lineare equazione omogenea.

3. Ricavare una vista generale della soluzione del lineare equazione disomogenea con il metodo di Lagrange.

4. Dimostrare che la sostituzione riduce l'equazione di Bernoulli a un'equazione lineare.

Lezione numero 7.

1. Dimostrare che la sostituzione abbassa l'ordine dell'equazione di k.

2. Dimostrare che la sostituzione riduce di uno l'ordine dell'equazione .

3. Dimostrare il teorema: La funzione è una soluzione di un'equazione differenziale omogenea lineare e ha una radice caratteristica.

4. Dimostrare che il teorema combinazione lineare soluzioni di una diff. omogenea lineare. l'equazione è anche la sua soluzione.

5. Dimostrare il teorema sull'imposizione di soluzioni: Se è la soluzione di un'equazione differenziale lineare non omogenea con il membro destro, ed è la soluzione della stessa equazione differenziale, ma con il membro destro, allora la somma è la soluzione dell'equazione con il lato destro.

Lezione numero 8.

1. Dimostrare il teorema che il sistema di funzioni è linearmente dipendente.

2. Dimostrare il teorema che esistono n soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n.

3. Dimostra che se 0 è una radice di molteplicità, allora il sistema di soluzioni corrispondente a questa radice ha la forma.

Lezione numero 9.

1. Dimostra usando la forma esponenziale che quando si moltiplicano numeri complessi, i moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti.

2. Dimostrare la formula di De Moivre per la laurea n

3. Dimostrare la formula per la radice dell'ordine n di un numero complesso

.

4. Dimostralo e

sono generalizzazioni di seno e coseno, cioè per numeri reali secondo queste formule si otterrà un seno (coseno).

5. Dimostra la formula per il logaritmo di un numero complesso:

Appendice 2

Domande piccole e orali sulla conoscenza della teoria (per colloqui).

Lezione #1

1. Che cos'è un antiderivato e integrale indefinito, Qual è la differenza?

2. Spiega perché è anche antiderivata.

3. Scrivere una formula per l'integrazione per parti.

4. Quale sostituzione è richiesta nella forma integrale e come si eliminano le radici?

5. Annotare il tipo di espansione dell'integrando di una frazione razionale in quelle più semplici nel caso in cui tutte le radici siano diverse e reali.

6. Annotare il tipo di espansione dell'integrando delle frazioni razionali in semplici nel caso in cui tutte le radici siano reali e vi sia una radice multipla di molteplicità k.

Lezione numero 2.

1. Scrivi qual è la scomposizione di una frazione razionale in più semplici nel caso in cui il denominatore abbia un fattore di 2 gradi con un discriminante negativo.

2. Quale sostituzione riduce l'integrale ad una frazione razionale?

3. Che cos'è una sostituzione trigonometrica universale?

4. Quali sostituzioni si fanno nei casi in cui la funzione sotto il segno di integrale è dispari rispetto al seno (coseno)?

5. Quali sostituzioni si fanno se l'integrando contiene le espressioni , , o .

Lezione numero 3.

1. Definizione di integrale definito.

2. Elenca alcune delle principali proprietà dell'integrale definito.

3. Scrivi la formula di Newton-Leibniz.

4. Scrivi la formula per il volume di un corpo di rivoluzione.

5. Scrivi la formula per la lunghezza di una curva esplicita.

6. Scrivi la formula per la lunghezza di una curva parametrica.

Lezione numero 4.

1. Definizione di integrale improprio (con l'ausilio di un limite).

2. Qual è la differenza tra integrali impropri di 1a e 2a specie.

3. Fornire semplici esempi di integrali convergenti del 1° e 2° tipo.

4. Per quali integrali (T1) convergono.

5. Come la convergenza è correlata al limite finito dell'antiderivata (T2)

6. Che cos'è segno necessario convergenza, sua formulazione.

7. Segno di confronto nella forma finale

8. Prova di confronto nella forma limitativa.

9. Definizione di integrale multiplo.

Lezione numero 5.

1. Modifica dell'ordine di integrazione, mostra nell'esempio più semplice.

2. Scrivi la formula per la superficie.

3. Che cos'è coordinate polari, scrivi formule di transizione.

4. Qual è il Jacobiano del sistema di coordinate polari?

5. Cosa sono le coordinate cilindriche e sferiche, qual è la loro differenza.

6. Qual è il Jacobiano delle coordinate cilindriche (sferiche).

Lezione numero 6.

1. Che cos'è un'equazione differenziale del 1° ordine (vista generale).

2. Che cos'è un'equazione differenziale del 1° ordine, risolta rispetto alla derivata. Fai qualche esempio.

3. Che cos'è un'equazione con variabili separabili.

4. Che cos'è una soluzione generale, particolare, condizioni di Cauchy.

5. Che cos'è un'equazione omogenea, qual è il metodo generale per risolverla.

6. Che cos'è equazione lineare, qual è l'algoritmo per risolverlo, qual è il metodo di Lagrange.

7. Qual è l'equazione di Bernoulli, l'algoritmo per risolverla.

Lezione numero 7.

1. Quale sostituzione è necessaria per un'equazione della forma .

2. Quale sostituzione è necessaria per un'equazione della forma .

3. Mostra con esempi come può essere espresso come .

4. Che cos'è un'equazione differenziale lineare di ordine n.

5. Che cos'è polinomio caratteristico, l'equazione caratteristica.

6. Formulare un teorema su cui r la funzione sia una soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea.

7. Formulare un teorema che una combinazione lineare di soluzioni di un'equazione lineare omogenea sia anche la sua soluzione.

8. Formulare il teorema dell'imposizione della soluzione ei suoi corollari.

9. Quali sono i sistemi di funzioni linearmente dipendenti e linearmente indipendenti, fornire alcuni esempi.

10. Qual è il determinante di Wronsky di un sistema di n funzioni, fornire un esempio del determinante di Wronsky per i sistemi LZS e LNS.

Lezione numero 8.

1. Quale proprietà ha il determinante di Wronsky se il sistema è una funzione linearmente dipendente.

2. Quante soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n esistono.

3. Definizione di FSR ( sistema fondamentale soluzioni) di un'equazione lineare omogenea di ordine n.

4. Quante funzioni sono contenute nell'SRF?

5. Annotare la forma del sistema di equazioni per la ricerca con il metodo di Lagrange per n=2.

6. Annotare il tipo di soluzione particolare nel caso in cui

7. Che cos'è un sistema lineare equazioni differenziali scrivi qualche esempio.

8. Che cos'è un sistema autonomo di equazioni differenziali.

9. significato fisico sistemi di equazioni differenziali.

10. Annotare in quali funzioni è costituito l'FSR di un sistema di equazioni se sono noti gli autovalori e gli autovettori della matrice principale di questo sistema.

Lezione numero 9.

1. Che cos'è un'unità immaginaria.

2. Che cos'è un numero coniugato e cosa succede quando viene moltiplicato per l'originale.

3. Qual è la forma esponenziale trigonometrica di un numero complesso.

4. Scrivi la formula di Eulero.

5. Cos'è il modulo, l'argomento di un numero complesso.

6. cosa succede ai moduli e agli argomenti durante la moltiplicazione (divisione).

7. Scrivere la formula di De Moivre per la laurea n.

8. Scrivi la formula per la radice dell'ordine n.

9. Scrivi le formule seno e coseno generalizzate per l'argomento complesso.

10. Scrivi la formula per il logaritmo di un numero complesso.

Appendice 3. Compiti delle lezioni.

Lezione #1

Esempio. . Esempio. .

Esempio. . Esempio. .

Esempio. Esempio. .

Esempio. . Esempio. .

Lezione #2

Esempio. . Esempio. .

Esempio. . Esempio. .

Esempio. . Esempio.. , dove, numero .

Esempio. Condividere forma indicativa.

Esempio. Trova con la formula di De Moivre.

Esempio. Trova tutti i valori radice.

Definizione e proprietà

Lo zero complesso non ha logaritmo perché l'esponente complesso non assume valore zero. diverso da zero texvc può essere rappresentato in forma esponenziale:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, dove Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): k- intero arbitrario

Quindi Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \mathrm(Ln)\,z si trova secondo la formula:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla messa a punto.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Qui Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln\,r= \ln\,|z|è il vero logaritmo. Ne consegue:

Si può vedere dalla formula che uno e solo uno dei valori ha una parte immaginaria nell'intervallo Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc . Questo valore viene chiamato importanza principale logaritmo naturale complesso. Viene chiamata la funzione corrispondente (già a valore singolo). ramo principale logaritmo ed è indicato Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \ln\,z. A volte attraverso Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \ln\, z denotare anche il valore del logaritmo che non giace sul ramo principale. Se un Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): zè un numero reale, allora il valore principale del suo logaritmo coincide con il solito logaritmo reale.

Segue anche dalla formula precedente che la parte reale del logaritmo è determinata come segue attraverso le componenti dell'argomento:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

La figura mostra che la parte reale in funzione delle componenti è centralmente simmetrica e dipende solo dalla distanza dall'origine. Si ottiene ruotando il grafico del logaritmo reale attorno all'asse verticale. Quando si avvicina allo zero, la funzione tende a Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): -\infty.

Il logaritmo di un numero negativo si trova con la formula:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla messa a punto.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\punti)

Esempi di valori logaritmici complessi

Diamo il valore principale del logaritmo ( Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln) e la sua espressione generale ( Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \mathrm(Ln)) per alcuni argomenti:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

È necessario prestare attenzione quando si convertono logaritmi complessi, tenendo conto del fatto che sono multivalore e quindi l'uguaglianza dei logaritmi di qualsiasi espressione non implica l'uguaglianza di queste espressioni. Esempio errato ragionamento:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\piè un errore evidente.

Si noti che il valore principale del logaritmo è a sinistra e il valore del ramo sottostante è a destra ( Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): k=-1). Il motivo dell'errore è l'uso negligente della proprietà Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, che, in generale, implica nel caso complesso l'intero insieme infinito di valori del logaritmo, e non solo il valore principale.

Funzione logaritmica complessa e superficie di Riemann

In virtù del semplice collegamento, la superficie di Riemann del logaritmo è una copertura universale per il piano complesso senza punto Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc .

Continuazione analitica

Il logaritmo di un numero complesso può anche essere definito come la continuazione analitica del logaritmo reale sull'intero piano complesso. Lascia la curva Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc inizia da uno, non passa per zero e non attraversa la parte negativa dell'asse reale. Quindi il valore principale del logaritmo nel punto finale Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): w storto Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \Gamma può essere determinato dalla formula:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Se un Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \Gamma- una curva semplice (senza autointersezioni), quindi per i numeri adagiati su di essa si possono applicare identità logaritmiche senza timore, ad esempio:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Il ramo principale della funzione logaritmica è continuo e differenziabile sull'intero piano complesso, fatta eccezione per la parte negativa dell'asse reale, su cui la parte immaginaria salta a Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): 2\pi. Ma questo fatto è una conseguenza della limitazione artificiale della parte immaginaria del valore principale per l'intervallo Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): (-\pi, \pi]. Se consideriamo tutti i rami della funzione, la continuità avviene in tutti i punti tranne lo zero, dove la funzione non è definita. Se consente curva Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \Gamma attraversare la parte negativa dell'asse reale, quindi la prima di tali intersezioni trasferisce il risultato dal ramo del valore principale al ramo vicino e ogni intersezione successiva provoca uno spostamento simile lungo i rami della funzione logaritmica (vedi figura).

Dalla formula di continuazione analitica segue che su qualsiasi ramo del logaritmo:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Per qualsiasi cerchio Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): S racchiudendo il punto Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): 0 :

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

L'integrale è preso nella direzione positiva (in senso antiorario). Questa identità è alla base della teoria dei residui.

Si può anche definire la continuazione analitica del logaritmo complesso utilizzando la serie nota per il caso reale:

Tuttavia, dalla forma di queste serie segue che all'unità la somma delle serie è uguale a zero, cioè la serie si riferisce solo al ramo principale della funzione multivalore del logaritmo complesso. Il raggio di convergenza di entrambe le serie è 1.

Relazione con funzioni trigonometriche e iperboliche inverse

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida all'installazione.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida all'installazione.): \nomeoperatore(Arccos) z = -i \nomeoperatore(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida all'installazione.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z\ne \pm i) Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida all'installazione.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z\ne \pm i) Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- seno iperbolico inverso Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- coseno iperbolico inverso Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangente iperbolica inversa Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangente iperbolica inversa

Cenni storici

I primi tentativi di estendere i logaritmi a numeri complessi furono fatti a cavallo tra il XVII e il XVIII secolo da Leibniz e Johann Bernoulli, ma non riuscirono a creare una teoria olistica, principalmente perché il concetto stesso di logaritmo non era ancora chiaramente definito. La discussione su questo argomento fu dapprima tra Leibniz e Bernoulli, e a metà del 18° secolo tra d'Alembert ed Eulero. Bernoulli e d'Alembert credevano che fosse necessario definire Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \log(-x) = \log(x), mentre Leibniz ha sostenuto che il logaritmo di un numero negativo è numero immaginario. Teoria completa logaritmi di numeri negativi e complessi è stato pubblicato da Eulero nel 1747-1751 e sostanzialmente non è diverso da quello moderno. Sebbene la controversia continuasse (d'Alembert difese il suo punto di vista e lo argomentò in dettaglio in un articolo della sua Enciclopedia e in altre opere), l'approccio di Eulero alla fine del XVIII secolo ricevette un riconoscimento universale.

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Letteratura

Teoria dei logaritmi

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 pag.
• Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N. Teoria delle funzioni di una variabile complessa. - M.: Nauka, 1967. - 304 pag.
• Fikhtengolts G.M. Corso di calcolo differenziale e integrale. - ed. 6°. - M.: Nauka, 1966. - 680 pag.

Storia dei logaritmi

• La matematica del 18° secolo // / A cura di A.P. Yushkevich, in tre volumi. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov AN, Yushkevich AP (a cura di). La matematica del 19° secolo. Geometria. Teoria delle funzioni analitiche. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Appunti

1. funzione logaritmica. // . - M.: Enciclopedia sovietica, 1982. - T. 3.
2. , Volume II, pp. 520-522..
3. , insieme a. 623..
4. , insieme a. 92-94..
5. , insieme a. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, numero 21).
7. , Volume II, pp. 522-526..
8. , insieme a. 624..
9. , insieme a. 325-328..
10. Rybnikov K.A. Storia della matematica. In due volumi. - M.: Ed. Università statale di Mosca, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , insieme a. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - S. 159-161. - 416 pag.

Un estratto che caratterizza il logaritmo complesso

Dall'orrore selvaggio che ci ha colto, ci siamo precipitati come proiettili attraverso un'ampia valle, senza nemmeno pensare di poter andare rapidamente su un altro "piano" ... Semplicemente non abbiamo avuto il tempo di pensarci - eravamo troppo spaventati.
La creatura volò proprio sopra di noi, schioccando rumorosamente con il suo becco dentato spalancato, e noi ci precipitammo il più lontano possibile, spruzzando vili spray viscidi ai lati e pregando mentalmente che qualcos'altro potesse improvvisamente interessare questo terribile "uccello meraviglioso" ... Si sentiva che era molto più veloce e semplicemente non avevamo alcuna possibilità di staccarci. Come un male, non c'era un solo albero nelle vicinanze, non c'erano cespugli, nemmeno pietre dietro le quali nascondersi, in lontananza si poteva vedere solo una minacciosa roccia nera.
- Là! - gridò Stella, puntando il dito verso la stessa roccia.
Ma all'improvviso, inaspettatamente, proprio di fronte a noi, da qualche parte, apparve una creatura, la cui vista ci gelò letteralmente il sangue nelle vene... Sorse, per così dire, "direttamente dal nulla" ed era davvero terrificante ... L'enorme carcassa nera era completamente ricoperta di capelli lunghi e rigidi, che lo facevano sembrare un orso panciuto, solo che questo "orso" era alto come una casa a tre piani ... La testa irregolare del mostro era " sposato" con due enormi corna ricurve, e un paio di zanne incredibilmente lunghe, affilate come coltelli, adornavano la sua bocca terribile, proprio a guardare la quale, con paura, le gambe cedevano ... E poi, sorprendendoci indicibilmente, il mostro facilmente saltò in piedi e .... raccolse il "fango" volante su una delle sue enormi zanne... Ci congelammo sbalorditi.
- Corriamo!!! urlò Stella. - Corriamo mentre lui è "impegnato"!..
Ed eravamo già pronti a correre di nuovo senza voltarci indietro, quando all'improvviso una voce sottile risuonò dietro le nostre spalle:
- Ragazze, aspettate! Non c'è bisogno di scappare!.. Dean ti ha salvato, non è un nemico!
Ci voltammo bruscamente: dietro c'era una piccola, bellissima ragazza con gli occhi neri... e accarezzava con calma il mostro che si avvicinava a lei!... I nostri occhi sbucarono per la sorpresa... È stato incredibile! Di sicuro - è stata una giornata di sorprese!.. La ragazza, guardandoci, sorrise affabilmente, per niente spaventata dal mostro peloso che stava lì vicino.
Per favore, non aver paura di lui. Lui è molto gentile. Abbiamo visto che Ovara ti stava inseguendo e abbiamo deciso di aiutarti. Dean è un bravo ragazzo, ce l'ha fatta in tempo. Davvero, mio ​​bene?
"Buono" fece le fusa, che suonarono come un leggero terremoto, e, piegando la testa, leccò il viso della ragazza.
"E chi è Owara, e perché ci ha attaccato?" Ho chiesto.
Attacca tutti, è una predatrice. E molto pericoloso”, rispose con calma la ragazza. "Posso chiederti cosa ci fai qui?" Non siete di qui, ragazze, vero?
- No, non da qui. Stavamo solo camminando. Ma la stessa domanda per te: cosa ci fai qui?
Vado da mia madre... - la bambina si rattristò. “Siamo morti insieme, ma per qualche motivo è finita qui. E ora vivo qui, ma non le dico questo, perché non sarà mai d'accordo con questo. Lei pensa che sto arrivando...
"Non è meglio venire e basta?" È così terribile qui!.. - Stella contrasse le spalle.
“Non posso lasciarla qui da sola, la sto guardando in modo che non le succeda nulla. Ed ecco Dean con me... Mi aiuta.
Non riuscivo a crederci... Questa piccola ragazza coraggiosa ha lasciato volontariamente il suo bellissimo e gentile "piano" per vivere in questo mondo freddo, terribile e alieno, proteggendo sua madre, che era molto "colpevole" di qualcosa! Non molti, penso, sarebbero stati così coraggiosi e altruisti (anche adulti!) Persone che avrebbero deciso un'impresa del genere ... E ho subito pensato: forse non capiva a cosa si sarebbe condannata ?!
- E da quanto tempo sei qui, ragazza, se non è un segreto?
"Recentemente..." rispose tristemente la bambina dagli occhi neri, tirando con le dita la ciocca nera dei suoi capelli ricci. - Sono entrato in questo mondo meraviglioso quando è morta!.. Era così gentile e luminoso!.. E poi ho visto che mia madre non era con me e sono corsa a cercarla. All'inizio era così spaventoso! Per qualche ragione, non si trovava da nessuna parte... E poi sono caduto in questo mondo terribile... E poi l'ho trovata. Ero così terrorizzato qui... Così solo... La mamma mi ha detto di andarmene, mi ha persino rimproverato. Ma non posso lasciarla... Ora ho un amico, il mio buon Dean, e in qualche modo posso esistere qui.
La sua "buona amica" ringhiò di nuovo, causando enormi pelle d'oca "astrale inferiore" in Stella e in me ... Dopo essermi ripreso, ho cercato di calmarmi un po 'e ho iniziato a guardare questo miracolo peloso ... E lui, sentendosi immediatamente che se ne accorse, scoprì terribilmente la sua bocca munita di zanne... Feci un salto indietro.
- Oh, per favore non aver paura! È lui che ti sorride, - la ragazza "rassicurata".
Già... Da un tale sorriso imparerai a correre veloce... - pensavo tra me e me.
"Ma come è successo che sei diventato suo amico?" chiese Stella.
- Quando sono venuto qui per la prima volta, ero molto spaventato, specialmente quando mostri come te sono stati attaccati oggi. E poi un giorno, quando sono quasi morto, Dean mi ha salvato da un intero branco di inquietanti "uccelli". All'inizio avevo anche paura di lui, ma poi ho capito che cuore d'oro aveva... È il massimo migliore amico! Non ne ho mai avuti, nemmeno quando vivevo sulla Terra.
Come ci sei abituato così in fretta? Il suo aspetto non è del tutto, diciamo, familiare ...
- E qui ho capito una verità molto semplice, che per qualche motivo non ho notato sulla Terra - l'apparenza non importa se una persona o una creatura ha un buon cuore... Mia madre era molto bella, ma a volte anche molto arrabbiata . E poi tutta la sua bellezza è scomparsa da qualche parte ... E Dean, anche se spaventoso, è sempre molto gentile e mi protegge sempre, sento la sua bontà e non ho paura di nulla. Puoi abituarti agli sguardi...
"Sai che rimarrai qui per molto tempo, molto più a lungo di quanto le persone vivano sulla Terra?" Vuoi davvero restare qui?
“Mia madre è qui, quindi devo aiutarla. E quando lei “parte” per vivere di nuovo sulla Terra, partirò anche io... Dove c'è più bontà. In questo mondo terribile, le persone sono molto strane, come se non vivessero affatto. Perché? Ne sai qualcosa?
- E chi ti ha detto che tua madre sarebbe partita per vivere di nuovo? chiese Stella.
Decano, ovviamente. Sa molto, vive qui da molto tempo. Ha anche detto che quando noi (mia madre ed io) vivremo di nuovo, le nostre famiglie saranno diverse. E poi non avrò più questa madre... Ecco perché voglio stare con lei adesso.
"E come parli con lui, con il tuo Decano?" chiese Stella. "E perché non vuoi dirci il tuo nome?"
Ma è vero, non conoscevamo ancora il suo nome! E da dove veniva - anche loro non sapevano ...
– Mi chiamo Maria... Ma qui importa davvero?
- Sì, naturalmente! Stella rise. - E come comunicare con te? Quando te ne andrai, ti daranno un nuovo nome, ma mentre sei qui, dovrai convivere con quello vecchio. Hai parlato con qualcun altro qui, ragazza Maria? - Per abitudine, saltando da un argomento all'altro, chiese Stella.
“Sì, l'ho fatto…” disse la bambina incerta. «Ma sono così strani qui. E così miserabili... Perché sono così miserabili?
"Ma quello che vedi qui è favorevole alla felicità?" Sono rimasto sorpreso dalla sua domanda. – Anche la stessa “realtà” locale uccide in anticipo ogni speranza!.. Come si può essere felici qui?
- Non lo so. Quando sono con mia madre, mi sembra che potrei essere felice anche qui... È vero, è molto spaventoso qui, e a lei proprio non piace qui... Quando ho detto che ho accettato di stare con lei, mi ha urlato contro e ha detto che io sono la sua "sventura senza cervello" ... Ma non mi sono offesa ... so che ha solo paura. Proprio come me...
- Forse voleva solo salvarti dalla tua decisione "estrema" e voleva solo che tornassi al tuo "piano"? - Attenta, per non offendere, chiese Stella.
– No, certo che no... Ma grazie per le belle parole. La mamma mi chiamava spesso con nomi non molto buoni, anche sulla Terra ... Ma so che questo non è per cattiveria. Era solo infelice perché ero nata e spesso mi diceva che le avevo rovinato la vita. Ma non è stata colpa mia, vero? Ho sempre cercato di renderla felice, ma per qualche motivo non ci sono riuscito davvero... Ma non ho mai avuto un padre. Maria era molto triste, e la sua voce tremava, come se stesse per piangere.
Stella e io ci siamo guardati ed ero quasi sicuro che pensieri simili l'avessero visitata ... Già non mi piaceva davvero questa "madre" viziata ed egoista che, invece di preoccuparsi per suo figlio lei stessa, non si preoccupava del suo eroico sacrificio a tutti.Ho capito e, inoltre, mi ha ferito più dolorosamente.
- Ma Dean dice che sto bene e che lo rendo molto felice! - mormorò più allegra la bambina. E vuole essere mio amico. E gli altri che ho incontrato qui sono molto freddi e indifferenti, ea volte anche arrabbiati... Soprattutto quelli che hanno dei mostri attaccati...
- Mostri - cosa?.. - non abbiamo capito.
“Beh, hanno mostri spaventosi sulla schiena e dicono loro cosa dovrebbero fare. E se non ascoltano, i mostri li deridono terribilmente... Ho provato a parlare con loro, ma questi mostri non me lo lasciano fare.
Non abbiamo capito assolutamente nulla di questa “spiegazione”, ma il fatto stesso che alcuni esseri astrali torturano le persone non potevano rimanere “esplorati” da noi, quindi, le abbiamo subito chiesto come potevamo vedere questo fenomeno sorprendente.
- Oh, ovunque! Soprattutto alla Montagna Nera. Eccolo lì, dietro gli alberi. Vuoi che anche noi veniamo con te?
– Certo, saremo felici! - rispose subito Stella contentissima.
Ad essere onesto, non sorridevo nemmeno alla prospettiva di uscire con qualcun altro, "inquietante e incomprensibile", soprattutto da solo. Ma l'interesse ha vinto la paura e noi, ovviamente, saremmo andati, nonostante avessimo un po' paura... Ma quando un difensore come Dean era con noi, è diventato subito più divertente...
E ora, in un attimo, un vero inferno si è dispiegato davanti ai nostri occhi sbarrati con stupore... mondo... Certo, non era pazzo, ma era semplicemente un veggente che, per qualche ragione, poteva vedere solo l'astrale inferiore. Ma dobbiamo dargli ciò che gli è dovuto - lo ritrae in modo superbo ... Ho visto i suoi dipinti in un libro che era nella biblioteca di mio padre e ricordavo ancora quella terribile sensazione che portava la maggior parte dei suoi dipinti ...
- Che orrore!.. - sussurrò sconvolta Stella.
Si potrebbe probabilmente dire che abbiamo già visto molto qui, sui “pavimenti”… Ma nemmeno noi siamo riusciti ad immaginare una cosa del genere nel nostro incubo più terribile!.. Dietro la “roccia nera” si apriva completamente qualcosa di impensabile ... Sembrava un enorme "calderone" piatto scavato nella roccia, sul fondo del quale gorgogliava "lava" cremisi ... L'aria calda "scoppiava" ovunque con strane bolle rossastre lampeggianti, da cui fuoriusciva vapore bollente e cadde in grosse gocce per terra, o sulle persone che gli caddero sotto in quel momento... Si udirono grida strazianti, ma subito tacquero, poiché le creature più ripugnanti sedevano sulla schiena delle stesse persone, che , con sguardo soddisfatto, "gestì" le loro vittime, non prestando la minima attenzione alle loro sofferenze... Sotto i piedi nudi delle persone pietre roventi arrossavano, la calda terra cremisi ribolliva e "scioglieva" ... alto, evaporando con una leggera foschia... E proprio nel mezzo della "fossa" scorreva un ampio fiume rosso brillante, infuocato, nel quale, di tanto in tanto, gli stessi mostri disgustosi lanciavano inaspettatamente l'una o l'altra entità tormentata, che , cadendo, causò solo una breve spruzzata di scintille arancioni, e poi, trasformandosi per un momento in una soffice nuvola bianca, scomparve ... per sempre ... Era un vero inferno, e io e Stella volevamo "scomparire" da lì il prima possibile...
- Che cosa dobbiamo fare?.. - sussurrò Stella con pacato orrore. - Vuoi andare laggiù? C'è qualcosa che possiamo fare per aiutarli? Guarda quanti sono!..
Stavamo su una scogliera di colore marrone-nero, seccata dal calore, a guardare il "disordine" di dolore, disperazione e violenza che si estendeva al di sotto, inondato di orrore, e ci siamo sentiti così infantilmente impotenti che anche la mia guerriera Stella questa volta l'ha piegata categoricamente scompigliata " ali ” ed era pronta alla prima chiamata a correre verso il suo, così caro e affidabile, “piano” superiore ...

funzione logaritmica

Una funzione logaritmica è una funzione della forma f(x) = logax, definita per

Dominio: . Intervallo di valori: . La funzione è strettamente crescente per a > 1 e strettamente decrescente per 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

La linea x = 0 è l'asintoto verticale sinistro, poiché per a > 1 e per 0< a < 1.

La derivata della funzione logaritmica è:

La funzione logaritmica implementa un isomorfismo gruppo moltiplicativo positivo numeri reali e il gruppo additivo di tutti i numeri reali.

Logaritmo complesso

Definizione e proprietà

Per i numeri complessi, il logaritmo è definito allo stesso modo di quello reale. In pratica si usa quasi esclusivamente il logaritmo complesso naturale, che indichiamo e definiamo come l'insieme di tutti i numeri complessi z tali che ez = w. Il logaritmo complesso esiste per chiunque, e la sua parte reale è determinata in modo univoco, mentre l'immaginario ha un numero infinito di valori. Per questo motivo è chiamata funzione multivalore. Se rappresentiamo w in forma esponenziale:

allora il logaritmo si trova con la formula:

Qui -- logaritmo reale, r = | w | , k è un numero intero arbitrario. Il valore ottenuto quando k = 0 è chiamato valore principale del logaritmo naturale complesso; è consuetudine prendere il valore dell'argomento in esso contenuto nell'intervallo (? p, p). La funzione corrispondente (già a valore singolo) è chiamata ramo principale del logaritmo ed è indicata. A volte il valore del logaritmo che non giace sul ramo principale è anche indicato con.

Dalla formula segue:

La parte reale del logaritmo è determinata dalla formula:

Il logaritmo di un numero negativo si trova dalla formula.

La funzione esponenziale di una variabile reale (per terreno positivo) è determinato in più fasi. Innanzitutto, per i valori naturali - come prodotto di fattori uguali. La definizione viene poi estesa a valori interi negativi e diversi da zero per le regole. Inoltre, vengono considerati indicatori frazionari, a cui il valore funzione esponenziale determinato dalle radici: . Per i valori irrazionali, la definizione è già connessa con il concetto base di analisi matematica - con il passaggio al limite, per ragioni di continuità. Tutte queste considerazioni non sono in alcun modo applicabili ai tentativi di estendere la funzione esponenziale ai valori complessi dell'indicatore, e ciò, ad esempio, è del tutto incomprensibile.

Per la prima volta fu introdotto da Eulero un grado con esponente complesso a base naturale basato sull'analisi di alcune costruzioni del calcolo integrale. A volte espressioni algebriche molto simili quando integrate danno risposte completamente diverse:

Allo stesso tempo, qui il secondo integrale si ottiene formalmente dal primo sostituendolo con

Da ciò possiamo concludere che, con una corretta definizione di funzione esponenziale con esponente complesso, le funzioni trigonometriche inverse sono legate ai logaritmi e quindi la funzione esponenziale è correlata alle funzioni trigonometriche.

Eulero ebbe il coraggio e l'immaginazione di dare una definizione ragionevole per la funzione esponenziale con base, ovvero,

Questa è una definizione, e quindi questa formula non è dimostrata, si possono solo cercare argomenti a favore della ragionevolezza e dell'opportunità di una tale definizione. Analisi matematica fornisce molti argomenti di questo tipo. Ci limiteremo a uno solo.

È noto che in realtà vale la relazione limite: . Sul lato destro c'è un polinomio che ha senso anche per valori complessi per . Il limite di una sequenza di numeri complessi è definito in modo naturale. Una successione si dice convergente se le successioni delle parti reale e immaginaria convergono, e si assume che

Cerchiamo . Per fare ciò, passiamo alla forma trigonometrica e per l'argomento sceglieremo i valori dall'intervallo . Con questa scelta, è chiaro che per . Ulteriore,

Per passare al limite, bisogna verificare l'esistenza di limiti per e e trovare questi limiti. È chiaro che e

Quindi nell'espressione

la parte reale tende a, l'immaginaria - in modo che

Questo semplice argomento fornisce uno degli argomenti a favore della definizione di Eulero della funzione esponenziale.

Stabiliamo ora che moltiplicando i valori della funzione esponenziale gli esponenti si sommano. Veramente:

2. Formule di Eulero.

Mettiamo nella definizione della funzione esponenziale. Noi abbiamo:

Sostituendo b con -b, otteniamo

Sommando e sottraendo queste uguaglianze termine per termine, troviamo le formule

chiamate formule di Eulero. Stabiliscono una connessione tra funzioni trigonometriche ed esponenziale con indicatori immaginari.

3. Logaritmo naturale di un numero complesso.

Un numero complesso dato in forma trigonometrica può essere scritto nella forma Questa forma di scrittura di un numero complesso è chiamata esponenziale. Conserva tutte le buone proprietà forma trigonometrica, ma anche più breve. Inoltre, quindi, è naturale supporre che così la parte reale del logaritmo di un numero complesso sia il logaritmo del suo modulo, parte immaginariaè la sua argomentazione. Questo spiega in una certa misura la proprietà "logaritmica" dell'argomento: l'argomento del prodotto è uguale alla somma degli argomenti dei fattori.

logaritmi naturali

La derivata del logaritmo naturale ha una formula semplice:

Per questo motivo, i logaritmi naturali sono usati principalmente nella ricerca matematica. Appaiono spesso quando si risolvono differenziali equazioni, lo studio delle dipendenze statistiche (ad esempio la distribuzione di simple numeri), ecc.

Per , l'uguaglianza

Questa serie converge più velocemente e, inoltre, il lato sinistro della formula può ora esprimere il logaritmo di qualsiasi numero positivo.

Relazione con il logaritmo decimale: .

Logaritmi decimali

Riso. 2. Scala logaritmica

Logaritmi in base 10 (simbolo: lg un) prima dell'invenzione calcolatrici ampiamente utilizzato per l'informatica. scala irregolare di solito vengono applicati i logaritmi decimali regoli calcolatori. Una scala simile è ampiamente utilizzata in vari campi della scienza, ad esempio:

Fisica- intensità del suono ( decibel).

Astronomia- scala luminosità delle stelle.

Chimica- attività idrogeno ioni (pH).

Sismologia - scala Richter.

Teoria della musica- scala delle note, in relazione alle frequenze dei suoni musicali.

Storia - scala temporale logaritmica.

La scala logaritmica è anche ampiamente utilizzata per identificare l'esponente nelle dipendenze esponenziali e il coefficiente nell'esponente. Allo stesso tempo, un grafico tracciato su scala logaritmica lungo uno o due assi assume la forma di una linea retta, che è più facile da studiare.

funzione logaritmica

Una funzione logaritmica è una funzione della forma f(X) = registro un X, definito a

Studio della funzione logaritmica

Dominio:

Intervallo di valori:

Il grafico di qualsiasi funzione logaritmica passa per il punto (1; 0)

La derivata della funzione logaritmica è:

Prova [mostrare]

I. Dimostriamolo

Scriviamo l'identità e ln X = X e differenziare i suoi lati sinistro e destro

Lo capiamo , da cui ne consegue

II. Dimostriamolo

La funzione è rigorosamente crescente per un> 1 e rigorosamente decrescente a 0 a

Dritto X= 0 è rimasto asintoto verticale, perché a un> 1 e a 0 a

Logaritmo complesso

Funzione multivalore

Per numeri complessi Il logaritmo è definito allo stesso modo di quello reale. Cominciamo con il logaritmo naturale, che indichiamo e definiamo come l'insieme di tutti i numeri complessi z tale che e z = w. Il logaritmo complesso esiste per qualsiasi , e la sua parte reale è determinata in modo univoco, mentre l'immaginario ha un numero infinito di valori. Per questo motivo è chiamata funzione multivalore. Se immagina w in forma esponenziale:

allora il logaritmo si trova con la formula:

Ecco il vero logaritmo, r = | w | , K- arbitrario numero intero. Il valore ottenuto quando K= 0 viene chiamato importanza principale logaritmo naturale complesso; è consuetudine assumere il valore dell'argomento nell'intervallo (− π,π]. Viene chiamata la funzione corrispondente (già a valore singolo) ramo principale logaritmo ed è indicato da . A volte denotano anche il valore del logaritmo, che non giace sul ramo principale.

Dalla formula segue:

La parte reale del logaritmo è determinata dalla formula:

Il logaritmo di un numero negativo si trova con la formula:

Esempi (viene fornito il valore principale del logaritmo):

I logaritmi complessi con una base diversa sono considerati in modo simile. Tuttavia, bisogna fare attenzione quando si trasformano logaritmi complessi, tenendo conto che sono multivalore, e quindi l'uguaglianza di queste espressioni non deriva dall'uguaglianza dei logaritmi di nessuna espressione. Un esempio di ragionamento errato:

ioπ = ln(− 1) = ln((− io) 2) = 2ln(- io) = 2(− ioπ / 2) = - ioπ è un'ovvia assurdità.

Si noti che il valore principale del logaritmo è a sinistra e il valore del ramo sottostante è a destra ( K= - 1). Il motivo dell'errore è l'uso negligente della proprietà, che, in generale, nel caso complesso implica l'intero insieme infinito di valori del logaritmo, e non solo il valore principale.

superficie di Riemann

Funzione logaritmica complessa - esempio superficie di Riemann; la sua parte immaginaria (Fig. 3) è costituita da un'infinità di rami attorcigliati a spirale. Questa superficie semplicemente connesso; il suo unico zero (del primo ordine) è ottenuto da z= 1, punti singolari: z= 0 e (punti di diramazione di ordine infinito).

La superficie di Riemann del logaritmo è copertura universale per il piano complesso senza punto 0.

Cenni storici

Logaritmo reale

La necessità di calcoli complessi XVI secolo crebbe rapidamente e gran parte della difficoltà era associata alla moltiplicazione e alla divisione di numeri a più cifre. Alla fine del secolo, diversi matematici, quasi contemporaneamente, ebbero l'idea: sostituire la lunga moltiplicazione con la semplice addizione, confrontando utilizzando apposite tabelle geometrico e aritmetica progressione, mentre la geometrica sarà l'originale. Quindi la divisione viene automaticamente sostituita da una sottrazione incommensurabilmente più semplice e affidabile. Fu il primo a pubblicare questa idea nel suo libro Aritmetica integra» Michael Stiefel, che, tuttavia, non ha fatto seri sforzi per attuare la sua idea.

A 1614 Matematico dilettante scozzese Giovanni Napier pubblicato su latino saggio intitolato " Descrizione della straordinaria tavola dei logaritmi". Esso aveva breve descrizione logaritmi e loro proprietà, nonché tabelle di logaritmi a 8 cifre seni, coseni e tangenti, con un passo di 1". Term logaritmo, proposto da Napier, si è affermato nella scienza.

Il concetto di funzione non esisteva ancora e Napier ne definì il logaritmo cinematicamente, confrontando il movimento uniforme e logaritmicamente lento. Nella notazione moderna, il modello di Napier può essere rappresentato da un'equazione differenziale: dx/x = -dy/M, dove M è un fattore di scala introdotto per far sì che il valore risulti essere un intero con il numero di cifre richiesto (i decimali non erano ancora ampiamente utilizzati all'epoca). Napier ha preso M = 10000000.

A rigor di termini, Napier ha tabulato la funzione sbagliata, che ora è chiamata logaritmo. Se denotiamo la sua funzione come LogNap(x), allora è correlata al logaritmo naturale come segue:

Ovviamente, LogNap (M) = 0, cioè il logaritmo del "seno pieno" è zero - questo è ciò che Napier cercava con la sua definizione. LogNap(0) = ∞.

La proprietà principale del logaritmo di Napier: se le quantità si formano progressione geometrica, quindi i loro logaritmi formano una progressione aritmetica. Tuttavia, le regole per il logaritmo per la funzione non Pierian differivano dalle regole per il logaritmo moderno.

Per esempio, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Sfortunatamente, tutti i valori nella tabella di Napier contenevano un errore di calcolo dopo la sesta cifra. Tuttavia, ciò non ha impedito al nuovo metodo di calcolo di guadagnare ampia popolarità e molti matematici europei hanno iniziato a compilare tabelle logaritmiche, tra cui Keplero.

Nel 1620, Edmund Wingate e William Otre inventato il primo Regolo calcolatore, prima dell'avvento delle calcolatrici tascabili - uno strumento indispensabile per un ingegnere.

Vicino alla moderna comprensione del logaritmo - come operazione, l'inverso esponenziazione- è apparso per la prima volta in Wallis e Johann Bernoulli e infine approvato Eulero in XVIII secolo. Nel libro "Introduzione all'analisi dell'infinito" ( 1748 ) Eulero diede definizioni moderne come dimostrativo, e le funzioni logaritmiche, hanno portato la loro espansione in serie di potenze, ha sottolineato il ruolo del logaritmo naturale.

Eulero ha anche il merito di estendere la funzione logaritmica al dominio complesso.

Logaritmo complesso

I primi tentativi di estendere i logaritmi a numeri complessi furono fatti a cavallo tra il XVII e il XVIII secolo. Leibniz e Johann Bernoulli, tuttavia, non sono riusciti a creare una teoria olistica, principalmente per il motivo che a quel tempo il concetto stesso di logaritmo non era ancora chiaramente definito. La discussione su questo argomento fu prima tra Leibniz e Bernoulli, e a metà del 18° secolo - tra d'Alembert ed Eulero. Bernoulli e d'Alembert credevano che fosse necessario definire log(-x) = log(x). La teoria completa dei logaritmi dei numeri negativi e complessi fu pubblicata da Eulero nel 1747-1751 e sostanzialmente non differisce da quella moderna.

Sebbene la disputa continuasse (D'Alembert difese il suo punto di vista e lo argomentò in dettaglio in un articolo della sua Enciclopedia e in altre opere), il punto di vista di Eulero ottenne rapidamente un riconoscimento universale.

Tavole logaritmiche

Tavole logaritmiche

Dalle proprietà del logaritmo deriva che invece della lunga moltiplicazione di numeri multivalore, è sufficiente trovare (dalle tabelle) e sommare i loro logaritmi, quindi utilizzare le stesse tabelle per eseguire potenziamento, ovvero trova il valore del risultato in base al suo logaritmo. Fare divisione differisce solo per il fatto che i logaritmi vengono sottratti. Laplace Ha detto che l'invenzione dei logaritmi "ha prolungato la vita degli astronomi" accelerando notevolmente il processo di calcolo.

Quando si sposta la virgola decimale in un numero su n cifre, il valore del logaritmo decimale di questo numero viene modificato di n. Ad esempio, lg8314.63 = lg8.31463 + 3. Ne consegue che è sufficiente creare una tabella di logaritmi decimali per i numeri nell'intervallo da 1 a 10.

Le prime tavole dei logaritmi furono pubblicate da John Napier ( 1614 ), e contenevano solo i logaritmi delle funzioni trigonometriche e con errori. Indipendentemente da lui, le sue tavole furono pubblicate da Jost Bürgi, un amico Keplero (1620 ). A 1617 Oxford professore di matematica Henry Briggs tabelle pubblicate che includevano già i logaritmi decimali dei numeri stessi, da 1 a 1000, con 8 (poi - con 14) cifre. Ma c'erano anche errori nelle tabelle Briggs. Prima edizione infallibile basata sulle tavole Vega ( 1783 ) è apparso solo in 1857 a Berlino (tavoli Bremiver).

In Russia sono state pubblicate le prime tavole dei logaritmi in 1703 protagonista LF Magnitsky. Diverse raccolte di tabelle di logaritmi furono pubblicate in URSS.

Bradis V.M. Tabelle matematiche a quattro cifre. 44a edizione, M., 1973.

Tavoli Bradis ( 1921 ) sono stati utilizzati in istituzioni educative e nei calcoli ingegneristici che non richiedono grande precisione. Contenevano mantissa logaritmi decimali di numeri e funzioni trigonometriche, logaritmi naturali e altri utili strumenti di calcolo.

Letteratura

Uspensky Ya. V. Saggio sulla storia dei logaritmi. Pietrogrado, 1923. −78 p.

Vygodsky M. Ya. Manuale di matematica elementare. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

Storia della matematica a cura AP Yushkevich in tre volumi, Mosca: Nauka.

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