Definizione 8.3 (1).

Lunghezza |z| il vettore z = (x,y) è detto modulo del numero complesso z = x + yi

Poiché la lunghezza di ciascun lato del triangolo non supera la somma delle lunghezze degli altri due lati, e il valore assoluto della differenza nelle lunghezze dei due lati del triangolo non è inferiore alla lunghezza del terzo lato , allora per due numeri complessi qualsiasi z 1 ez 2 valgono le disuguaglianze

Definizione 8.3 (2).

Argomento sui numeri complessi. Se φ è l'angolo formato da un vettore z diverso da zero con l'asse reale, allora qualsiasi angolo della forma (φ + 2πn, dove n è un intero, e solo un angolo di questo tipo, sarà anche un angolo formato da il vettore z con l'asse reale.

L'insieme di tutti gli angoli formati dal vettore diverso da zero z = = (x, y) con l'asse reale è chiamato argomento del numero complesso z = x + yi ed è indicato con arg z. Ciascun elemento di questo insieme è chiamato valore dell'argomento del numero z (Fig. 8.3(1)).

Riso. 8.3(1).

Poiché un vettore diverso da zero di un piano è determinato unicamente dalla sua lunghezza e dall'angolo che forma con l'asse x, allora due numeri complessi, diversi da zero, sono uguali se e solo se i loro valori assoluti e i loro argomenti sono uguali.

Se, ad esempio, si impone la condizione 0≤φ ai valori dell'argomento φ del numero z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Definizione 8.3.(3)

Forma trigonometrica di scrittura di un numero complesso. Le parti reale e immaginaria di un numero complesso z = x + уi ≠ 0 si esprimono tramite il suo modulo r= |z| e l'argomento φ come segue (dalla definizione di seno e coseno):

Il lato destro di questa uguaglianza è chiamato forma trigonometrica di scrittura del numero complesso z. Lo useremo anche per z = 0; in questo caso r = 0 e φ può assumere qualsiasi valore: l'argomento del numero 0 non è definito. Quindi ogni numero complesso può essere scritto in forma trigonometrica.

È anche chiaro che se il numero complesso z è scritto nella forma

allora il numero r è il suo modulo, poiché

E φ è uno dei valori del suo argomento

La forma trigonometrica di scrittura dei numeri complessi può essere comoda da usare quando si moltiplicano numeri complessi; in particolare, consente di scoprire il significato geometrico del prodotto di numeri complessi.

Troviamo le formule per moltiplicare e dividere i numeri complessi in forma trigonometrica. Se

quindi secondo la regola della moltiplicazione dei numeri complessi (utilizzando le formule per seno e coseno della somma)

Pertanto, quando si moltiplicano numeri complessi, i loro valori assoluti vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti:

Applicando questa formula in sequenza a n numeri complessi, otteniamo

Se tutti gli n numeri sono uguali, otteniamo

Per dove

eseguita

Quindi, per un numero complesso il cui valore assoluto è 1 (quindi ha la forma

Questa uguaglianza si chiama Le formule di Moivre

In altre parole, quando si dividono numeri complessi, i loro moduli vengono divisi,

e gli argomenti vengono sottratti.

Esempi 8.3 (1).

Disegna sul piano complesso C un insieme di punti che soddisfano le seguenti condizioni:

Un numero complesso è un numero della forma z =x + i * y, dove xey sono reali numeri, e i = unità immaginaria (cioè un numero il cui quadrato è -1). Per definire il concetto discussione completo numeri, è necessario considerare un numero complesso sul piano complesso nel sistema di coordinate polari.

Istruzioni

Il piano su cui sono rappresentati i complessi complessi numeri, è detto complesso. Su questo piano l'asse orizzontale è occupato dal reale numeri(x) e l'asse verticale è immaginario numeri(y). Su tale piano il numero è dato da due coordinate z = (x, y). Nel sistema di coordinate polari, le coordinate di un punto sono il modulo e l'argomento. Il modulo è la distanza |z| da un punto all'origine. L'argomento è l'angolo tra il vettore che collega il punto e l'origine e l'asse orizzontale del sistema di coordinate (vedi figura).

La figura mostra che il modulo complesso numeri z = x + i * y si trova utilizzando il teorema di Pitagora: |z| = ? (x^2 + y^2). Argomento successivo numeri z si trova come angolo acuto di un triangolo - attraverso i valori delle funzioni trigonometriche sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x/? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Ad esempio, sia dato il numero z = 5 * (1 + ?3 * i). Innanzitutto selezioniamo la parte reale e quella immaginaria: z = 5 +5 * ?3 * i. Risulta che la parte reale è x = 5 e la parte immaginaria è y = 5 * ?3. Calcola il modulo numeri: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Successivamente, trova il seno dell'angolo: sin = 5/10 = 1/2. Questo dà l'argomento numeri z è uguale a 30°.

Esempio 2. Sia dato il numero z = 5 * i. La figura mostra che l'angolo = 90°. Controlla questo valore utilizzando la formula sopra riportata. Annota le coordinate di questo numeri sul piano complesso: z = (0, 5). Modulo numeri|z| = 5. Tangente dell'angolo tg = 5 / 5 = 1. Ne consegue che = 90°.

Esempio 3. Sia necessario trovare l'argomento della somma di due numeri complessi z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Secondo le regole dell'addizione, aggiungi questi due complessi numeri: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Successivamente, utilizzando il diagramma sopra, calcola l'argomento: tg = 9/3 = 3.

Corrispondente a questo numero: .
Il modulo di un numero complesso z è solitamente indicato con | z| o r.

Sia e siano numeri reali tali che un numero complesso (notazione usuale). Poi

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Scopri cos'è "Modulo di un numero complesso" in altri dizionari:

modulo di un numero complesso- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modulo del numero complesso vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. modulo di un numero complesso, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (modulo) La grandezza di un numero in termini di distanza da 0. Il modulo, o valore assoluto di un numero reale x (indicato con |x|), è la differenza tra x e 0, indipendentemente dal segno. Pertanto, se x0, allora |x|=x e se x 0, allora |x|=–x... Dizionario economico

Per un numero complesso, vedere Valore assoluto. Il modulo di transizione da un sistema di logaritmi in base a ad un sistema in base b è il numero 1/logab... Grande dizionario enciclopedico

Il valore assoluto o modulo di un numero reale o complesso x è la distanza da x all'origine. Più precisamente: Il valore assoluto di un numero reale x è un numero non negativo, indicato con |x| e definito come segue: … …Wikipedia

Modulo di matematica, 1) M. (o valore assoluto) di un numero complesso z = x + iy è il numero ═ (la radice si prende con il segno più). Quando si rappresenta un numero complesso z in forma trigonometrica z = r(cos j + i sin j), il numero reale r è uguale a... ...

- (in matematica) una misura per confrontare quantità omogenee e per esprimere una di esse utilizzando un'altra; m. è espresso come un numero. Dizionario delle parole straniere incluse nella lingua russa. Pavlenkov F., 1907. MODULO (lat.). 1) un numero che si moltiplica... ... Dizionario delle parole straniere della lingua russa

MODULO di un numero complesso, vedi Valore assoluto (vedi VALORE ASSOLUTO). Il modulo di transizione da un sistema di logaritmi in base a ad un sistema in base b è il numero 1/logab... Dizionario enciclopedico

I Modulo (dal latino modulo misura) in architettura, unità convenzionale adottata per coordinare le dimensioni di parti di un edificio o complesso. Nell'architettura dei diversi popoli, a seconda delle caratteristiche della tecnologia costruttiva e della composizione degli edifici alle spalle M... ... Grande Enciclopedia Sovietica

IO; m. [dal lat. misura modulo] 1. di cosa. Specialista. Una quantità che caratterizza quale l. proprietà di un solido. M. compressione. M. elasticità. 2. Matematica. Numero reale, il valore assoluto di un numero negativo o positivo. M. numero complesso. M... Dizionario enciclopedico

Caratteristiche numeriche di qualsiasi matematica oggetto. Solitamente il valore di M è un numero reale non negativo, un elemento che possiede determinate caratteristiche. proprietà determinate dalle proprietà dell'insieme di oggetti in esame. Il concetto di M.... ... Enciclopedia matematica

$z=a+bi$ che rappresenta un dato numero complesso è chiamato modulo del dato numero complesso.

Il modulo di un dato numero complesso si calcola utilizzando la seguente formula:

Esempio 1

Calcola il modulo dei numeri complessi dati $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Calcoliamo il modulo di un numero complesso $z=a+bi$ utilizzando la formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Per il numero complesso originale $z_(1) =13$ otteniamo $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Per il numero complesso originale $\, z_(2) =4i$ otteniamo $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Per il numero complesso originale $\, z_(3) =4+3i$ otteniamo $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\quadrato(16+9) =\quadrato(25) =5$

Definizione 2

L'angolo $\varphi $ formato dalla direzione positiva dell'asse reale e dal raggio vettore $\overrightarrow(OM) $, che corrisponde a un dato numero complesso $z=a+bi$, è chiamato argomento di questo numero e è indicato con $\arg z$.

Nota 1

Il modulo e l'argomento di un dato numero complesso vengono utilizzati esplicitamente quando si rappresenta un numero complesso in forma trigonometrica o esponenziale:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - forma trigonometrica;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - forma esponenziale.

Esempio 2

Scrivere un numero complesso in forma trigonometrica ed esponenziale, dato dai seguenti dati: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Sostituisci i dati $r=3;\varphi =\pi $ nelle formule corrispondenti e ottieni:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - forma trigonometrica

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - forma esponenziale.

2) Sostituisci i dati $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ nelle formule corrispondenti e ottieni:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - forma trigonometrica

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - forma esponenziale.

Esempio 3

Determina il modulo e l'argomento dei numeri complessi dati:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Troveremo il modulo e l'argomento utilizzando formule per scrivere un dato numero complesso rispettivamente in forma trigonometrica ed esponenziale

\ \

1) Per il numero complesso originale $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ otteniamo $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Per il numero complesso iniziale $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ dobbiamo ottenere $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Per il numero complesso iniziale $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ otteniamo $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Per il numero complesso originale $z=13\cdot e^(i\pi ) $ otteniamo $r=13;\varphi =\pi $.

L'argomento $\varphi $ di un dato numero complesso $z=a+bi$ può essere calcolato utilizzando le seguenti formule:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

In pratica, per calcolare il valore dell'argomento di un dato numero complesso $z=a+bi$, si usa solitamente la formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, a

o risolvere un sistema di equazioni

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Esempio 4

Calcolare l'argomento dei numeri complessi dati: 1) $z=3$; 2)$z=4i$; 3)$z=1+i$; 4)$z=-5$; 5) $z=-2i$.

Poiché $z=3$, allora $a=3,b=0$. Calcoliamo l'argomento del numero complesso originale utilizzando la formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Poiché $z=4i$, allora $a=0,b=4$. Calcoliamo l'argomento del numero complesso originale utilizzando la formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Poiché $z=1+i$, allora $a=1,b=1$. Calcoliamo l'argomento del numero complesso originale risolvendo il sistema (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

Dal corso di trigonometria si sa che $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ per l'angolo corrispondente al primo quarto di coordinata e pari a $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Poiché $z=-5$, allora $a=-5,b=0$. Calcoliamo l'argomento del numero complesso originale utilizzando la formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Poiché $z=-2i$, allora $a=0,b=-2$. Calcoliamo l'argomento del numero complesso originale utilizzando la formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Nota 2

Il numero $z_(3)$ è rappresentato dal punto $(0;1)$, quindi la lunghezza del raggio vettore corrispondente è uguale a 1, cioè $r=1$ e l'argomento $\varphi =\frac(\pi )(2) $ secondo la Nota 3.

Il numero $z_(4)$ è rappresentato dal punto $(0;-1)$, quindi la lunghezza del raggio vettore corrispondente è 1, cioè $r=1$ e l'argomento $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ secondo la Nota 3.

Il numero $z_(5) $ è rappresentato dal punto $(2;2)$, pertanto la lunghezza del corrispondente raggio vettore è pari a $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, cioè $r=2\sqrt(2) $ e l'argomento $\varphi =\frac(\pi )(4) $ dalla proprietà di un triangolo rettangolo.

Numeri complessi

Immaginario E numeri complessi. Ascissa e ordinata

numero complesso. Coniugare i numeri complessi.

Operazioni con numeri complessi. Geometrico

rappresentazione dei numeri complessi. Piano complesso.

Modulo e argomento di un numero complesso. Trigonometrico

forma dei numeri complessi. Operazioni con complesso

numeri in forma trigonometrica. La formula di Moivre.

Informazioni di base su immaginario E numeri complessi sono riportati nella sezione “Numeri immaginari e complessi”. La necessità di questi numeri di nuovo tipo è nata durante la risoluzione di equazioni quadratiche per il casoD< 0 (здесь D– discriminante di un’equazione quadratica). Per molto tempo questi numeri non hanno trovato applicazione fisica, motivo per cui sono stati chiamati numeri “immaginari”. Tuttavia, ora sono ampiamente utilizzati in vari campi della fisica.

e tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.

Numeri complessi sono scritti nella forma:a+bi. Qui UN E B – numeri reali , UN io – unità immaginaria, cioè e. io 2 = –1. Numero UN chiamato ascissa,UN b – ordinatanumero complessoa+bi.Due numeri complessia+bi E a–bi sono chiamati coniugare numeri complessi.

Principali accordi:

1. Numero realeUNpuò anche essere scritto nella formanumero complesso:a+ 0 io O UN - 0 io. Ad esempio, registra 5 + 0io e 5 – 0 iosignificano lo stesso numero 5 .

2. Numero complesso 0 + bichiamato puramente immaginario numero. Documentazionebisignifica uguale a 0 + bi.

3. Due numeri complessia+bi Ec+disono considerati uguali seun = c E b = d. Altrimenti i numeri complessi non sono uguali.

Aggiunta. Somma di numeri complessia+bi E c+diè chiamato numero complesso (a+c ) + (b+d ) io.Così, quando si aggiunge numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono aggiunte separatamente.

Questa definizione corrisponde alle regole per le operazioni con polinomi ordinari.

Sottrazione. La differenza di due numeri complessia+bi(diminuito) e c+di(sottraendo) è chiamato numero complesso (AC ) + (b-d ) io.

Così, Quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.

Moltiplicazione. Prodotto di numeri complessia+bi E c+di si chiama numero complesso:

(ac-bd ) + (ad+bc ) io.Questa definizione deriva da due requisiti:

1) numeri a+bi E c+dideve essere moltiplicato come algebrico binomi,

2) numero ioha la proprietà principale:io 2 = – 1.

ESEMPIO ( a+bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . Quindi, lavoro

due numeri complessi coniugati sono uguali al reale

un numero positivo.

Divisione. Dividere un numero complessoa+bi (divisibile) da un altroc+di(divisore) - significa trovare il terzo numeroe + f i(chat), che se moltiplicato per un divisorec+di, si traduce nel dividendoa+bi.

Se il divisore è diverso da zero la divisione è sempre possibile.

ESEMPIO Trova (8+io ) : (2 – 3 io) .

Soluzione Riscriviamo questo rapporto come una frazione:

Moltiplicando il suo numeratore e denominatore per 2 + 3io

E Dopo aver eseguito tutte le trasformazioni, otteniamo:

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla retta numerica:

Ecco il punto UNindica il numero –3, puntoB– numero 2, e O- zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. A questo scopo scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con la stessa scala su entrambi gli assi. Quindi il numero complessoa+bi sarà rappresentato da un punto P con ascissa a e ordinata b (Guarda l'immagine). Questo sistema di coordinate si chiama piano complesso .

Modulo numero complesso è la lunghezza del vettoreOPERAZIONE, che rappresenta un numero complesso sulla coordinata ( completo) aereo. Modulo di un numero complessoa+bi indicato | a+bi| o lettera R