Proprietà

Espositore collettivo

Gruppo elettrogeno

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))è un gruppo ciclico se e solo se Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \varphi(n)=\lambda(n). Nel caso di un gruppo ciclico, il generatore è chiamato radice primitiva.

Esempio

Sistema ridotto dei residui modulo Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): 10 comprende Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): 4 classi di detrazione: Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica/README per la guida alla configurazione.): _(10), _(10), _(10), _(10). Rispetto alla moltiplicazione definita per le classi di residui, formano un gruppo, e Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc e Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica/README per la guida alla configurazione.): _(10) reciproco (cioè Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica/README per la guida alla configurazione.): _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), un Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica/README per la guida alla configurazione.): _(10) e Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere matematica/README per la guida alla configurazione.): _(10) sono inversi a se stessi.

Struttura del gruppo

Registrazione Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): C_n significa "gruppo ciclico di ordine n".

Applicazione

Storia

Il contributo allo studio della struttura del gruppo moltiplicativo dell'anello residuo è stato dato da Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange ha dimostrato il lemma che se Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): f(x) \in k[x], e k è un campo, allora f ha al massimo n radici distinte, dove n è la potenza di f. Si è dimostrato anche un importante corollario di questo lemma, che consiste nel confrontare Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): x^(p-1)-1 ≡ Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla messa a punto.): (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Eulero dimostrò il piccolo teorema di Fermat. Waring formulò il teorema di Wilson e Lagrange lo dimostrò. Eulero suggerì l'esistenza di radici primitive modulo un numero primo. Gauss lo ha dimostrato. Artin ha avanzato la sua ipotesi sull'esistenza e la quantificazione numeri primi, modulo che l'intero dato è una radice primitiva. Brouwer ha contribuito allo studio del problema dell'esistenza di insiemi di interi consecutivi, ciascuno dei quali è la k-esima potenza modulo p. Bielhartz si è rivelato un analogo della congettura di Artin. Hooley ha dimostrato la congettura di Artin assumendo che l'ipotesi di Riemann estesa sia valida nei campi numerici algebrici.

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Appunti

Letteratura

• Irlanda K., Rosen M. Una classica introduzione alla moderna teoria dei numeri. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin AV Fondamenti di crittografia. - Mosca: "Helios ARV", 2002.
• Rostovtsev AG, Makhovenko EB Crittografia teorica. - San Pietroburgo: ONLUS "Professional", 2004.

Collegamenti

• Bukhshtab A. A. Teoria dei numeri. - M.: Istruzione, 1966.
• Weisstein, Eric W.(inglese) sul sito web Wolfram MathWorld.

Un estratto che caratterizza il Gruppo Moltiplicativo dell'Anello Residuo

Teorema 7.

Prova.

In quanto segue, per semplicità, indicheremo addizione e moltiplicazione modulo con i soliti segni + e ∙ (a volte omettendo il segno di moltiplicazione), e aggiungeremo

5) Il numero di elementi reversibili nell'anello residuo.

Possiamo dimostrare la seguente formula per la funzione di Eulero: (3) dove p1,….,ps è l'elenco di tutti i divisori primi di n. Questa formula può essere spiegata come segue:

6) Sottogruppi.

10. Se è un sottogruppo di un gruppo finito, allora divide.

11. Prova.

12. Corollario 8.1.

13. 7) Un sottogruppo generato da un elemento di un gruppo.

14. Se il gruppo S è finito, la sequenza sarà periodica (l'elemento successivo è determinato dal precedente, quindi una volta ripetuto, el

15. Gli elementi t specificati formano un sottogruppo, perché l'operazione di gruppo corrisponde all'addizione di "esponenti". Questo sottogruppo è chiamato

16. Ecco alcuni sottogruppi del gruppo Z6 generati da vari elementi: . Un esempio simile per un gruppo moltiplicativo: qui Da quanto detto

17. Sia un gruppo finito. Se, allora il numero di elementi nel sottogruppo generato da a coincide con l'ordine di a (cioè).

18. Corollario 9.1.

19. Corollario 9.2.

20. 8) Soluzione di equazioni diofantine lineari.

21. Ricordiamo che indichiamo il sottogruppo generato dall'elemento a (in questo caso il sottogruppo del gruppo Zn). Per definizione, quindi, le equazioni

22. Sia l'equazione risolvibile e sia la sua soluzione. Allora l'equazione ha d =gcd(a,n) soluzioni in Zn date dalla formula, dove i = 0,1,2,... , n - 1.

23. Prova.

24. Sia n > 1. Se gcd(a, n) = 1, allora l'equazione ha una soluzione unica (in Zn). Il caso b=1 è particolarmente importante: qui troviamo l'elemento inverso di x

25. Corollario 10.2

26. 9) Teorema cinese del resto.

27. Sia rappresentato un certo numero n come prodotto di numeri coprimi a coppie. Il teorema cinese del resto afferma che il numero di

28. 10) Gradi di un elemento.

29. 11) Teorema 11 (Eulero).

30. 12) Teorema 12 (Piccolo teorema di Fermat).

31. Corollario 12.1. Sia p un numero primo Corollario 12.2. Sia p un numero primo, allora il teorema di Fermat sarà applicabile ad a=0.

32. 13) Teorema 13 (Potenziamento del teorema di Eulero).

33. h.t.d.

34. 14) Calcolo delle potenze per quadratura ripetuta.

35. Vogliamo calcolare ab mod n, dove a è il residuo modulo n, e b è un intero non negativo che ha la forma (bk,bk-1,...,b1,b0) in notazione binaria ( numero 3

36. Moltiplicando c per 2, il numero ac è quadrato, aumentando c di 1, il numero ac è moltiplicato per a. Ad ogni passo, la rappresentazione binaria di c viene spostata

37. Stimare il tempo di esecuzione della procedura. Se i tre numeri che sono i suoi dati iniziali non hanno più di β bit, allora il numero di operazioni aritmetiche ec

38.

Modulo m, che è indicato $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash volte)$ o $U(\backslash mathbb(Z)\_m)$ .

Se una m primi, quindi, come notato sopra, gli elementi 1, 2, ..., m-1 compreso in $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash volte)$. In questo caso $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash volte)$è un campo.

Forme di ingresso

Anello residuo modulo n designare $\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)$ o $\backslash mathbb(Z)\_n$. Il suo gruppo moltiplicativo, come nel caso generale dei gruppi di elementi invertibili di anelli, è indicato $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^*,$ $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^\backslash volte,$ $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $E(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $\backslash mathbb(Z)\_n^(\backslash volte),$ $U(\backslash mathbb(Z)\_n)$.

Il caso più semplice

Per capire la struttura del gruppo $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$, possiamo considerare il caso speciale $n=p^a$, dove $p$- un numero primo e generalizzarlo. Considera il caso più semplice quando $a=1$, cioè. $n=p$.

Teorema: $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$è un gruppo ciclico.

Esempio : Considera un gruppo $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$

$U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$= (1,2,4,5,7,8) Il generatore di gruppi è il numero 2. $2^1\; \backslash equiv\; 2\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^2\; \backslash equiv\; 4\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^3\; \backslash equiv\; 8\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^4\; \backslash equiv\; 7\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^5\; \backslash equiv\; 5\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^6\; \backslash equiv\; 1\backslash \; \backslash pmod\; 9$ Come puoi vedere, qualsiasi elemento del gruppo $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$ può essere presentato nel modulo $2^l$, dove . Quello è un gruppo $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$- ciclico.

Caso generale

Per considerare il caso generale, è necessario definire una radice primitiva. Radice primitiva modulo primo $p$è un numero che, insieme alla sua classe residua, genera un gruppo $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$.

Nel caso di un intero modulo $n$ la definizione è la stessa.

La struttura del gruppo è determinata dal seguente teorema: se p è un numero primo dispari e l è un intero positivo, allora ci sono radici primitive modulo $p^(l)$, questo è $U(\backslash mathbb(Z)/p^(l)\backslash mathbb(Z))$è un gruppo ciclico.

Sottogruppo Testimone della semplicità

Permettere $m$- un numero dispari maggiore di 1. Numero $m-1$ chiaramente presentato nel modulo $m-1\; =\; 2^s\; \backslash cpunto\; t$, dove $t$ strano. Numero intero $un$, , è chiamato testimonia la semplicità numeri $m$ se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

• $a^t\backslash equiv\; 1\backslash pmod\; m$

• c'è un numero intero $K$,

Se numero $m$- composito, esiste un sottogruppo del gruppo moltiplicativo dell'anello residuo, chiamato sottogruppo dei testimoni della semplicità. I suoi elementi elevati al potere $m-1$, coincidere con $1$ modulo $m$.

Esempio : $m=9$. C'è $6$ residui coprimi con $9$, questo è $1,2,4,5,7$ e $8$. $8$ equivalente a $-1$ modulo $9$, significa $8^\{8\}$ equivalente a $1$ modulo $9$. Significa, $1$ e $8$- testimoni della semplicità del numero $9$. In questo caso (1, 8) è un sottogruppo di testimoni della semplicità.

Proprietà

Espositore collettivo

Gruppo elettrogeno

$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$è un gruppo ciclico se e solo se $\backslash varphi(n)=\backslash lambda(n).$ Nel caso di un gruppo ciclico, il generatore è chiamato radice primitiva.

Esempio

Sistema ridotto dei residui modulo $10$ comprende $4$ classi di detrazione: $\_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\}$. Rispetto alla moltiplicazione definita per le classi di residui, formano un gruppo, e $\_\{10\}$ e $\_\{10\}$ reciproco (cioè $\_(10)(\backslash cdot)\_(10)\; =\; \_(10)$), un $\_\{10\}$ e $\_\{10\}$ sono inversi a se stessi.

Struttura del gruppo

Registrazione $C\_n$ significa "gruppo ciclico di ordine n".

Applicazione

Storia

Il contributo allo studio della struttura del gruppo moltiplicativo dell'anello residuo è stato dato da Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange ha dimostrato il lemma che se $f(x)\; \backslash in\; k[x]$, e k è un campo, allora f ha al massimo n radici distinte, dove n è la potenza di f. Si è dimostrato anche un importante corollario di questo lemma, che consiste nel confrontare $x^(p-1)-1$ ≡ $(x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p)$. Eulero dimostrò il piccolo teorema di Fermat. Waring formulò il teorema di Wilson e Lagrange lo dimostrò. Eulero suggerì l'esistenza di radici primitive modulo un numero primo. Gauss lo ha dimostrato. Artin ha avanzato la sua ipotesi sull'esistenza e la quantificazione dei numeri primi modulo di cui un dato intero è una radice primitiva. Brouwer ha contribuito allo studio del problema dell'esistenza di insiemi di interi consecutivi, ciascuno dei quali è la k-esima potenza modulo p. Bielhartz si è rivelato un analogo della congettura di Artin. Hooley ha dimostrato la congettura di Artin assumendo che l'ipotesi di Riemann estesa sia valida nei campi numerici algebrici.

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Appunti

Letteratura

• Irlanda K., Rosen M. Una classica introduzione alla moderna teoria dei numeri. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin AV Fondamenti di crittografia. - Mosca: "Helios ARV", 2002.
• Rostovtsev AG, Makhovenko EB Crittografia teorica. - San Pietroburgo: ONLUS "Professional", 2004.

Collegamenti

• Bukhshtab A. A. Teoria dei numeri. - M.: Istruzione, 1966.
• Weisstein, Eric W.(inglese) sul sito web Wolfram MathWorld.

Un estratto che caratterizza il Gruppo Moltiplicativo dell'Anello Residuo

- Ma bonne amie, [Mio buon amico,] - disse la piccola principessa la mattina del 19 marzo dopo colazione, e la sua spugna con i baffi si alzò dal vecchio saio; ma come in tutto non solo i sorrisi, ma i suoni dei discorsi, anche le andature in questa casa, dal giorno in cui è stata ricevuta la terribile notizia, c'era tristezza, anche adesso il sorriso della piccola principessa, che ha ceduto all'umore generale, sebbene non ne conosceva la causa, era tale che ricordava ancora di più la tristezza generale.
- Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Foka - cuoco) de ce matin ne m "aie pas fait du mal. [Amico mio, temo che l'attuale frischtik (come lo chiama Chef Foka) non lo farebbe mi fai stare male.]
E tu, anima mia? Sei pallido. Oh, sei molto pallida, disse spaventata la principessa Marya, correndo verso la nuora con i suoi passi pesanti e morbidi.
"Eccellenza, perché non mandi a chiamare Marya Bogdanovna?" - disse una delle cameriere che erano qui. (Marya Bogdanovna era un'ostetrica di una città distrettuale, che viveva a Lysy Gory da un'altra settimana.)
«E in effetti», riprese la principessa Marya, «forse, certo. Andrò. Coraggio, mon ange! [Non aver paura, angelo mio.] Baciò Lisa e voleva lasciare la stanza.
- Oh, no, no! - E oltre al pallore, il volto della piccola principessa esprimeva una paura infantile per l'inevitabile sofferenza fisica.
- Non, c "est l" estomac ... dites que c "est l" estomac, dites, Marie, dites ..., [No, questo è lo stomaco ... dimmi, Masha, che questo è lo stomaco ...] - e la principessa cominciò a piangere infantilmente, soffrendo, capricciosamente e anche un po' fintamente, rompendo loro le manine. La principessa corse fuori dalla stanza dopo Marya Bogdanovna.
— Lun Dieu! Lun Dieu! [Mio Dio! Mio Dio!] Oh! ha sentito dietro di lei.
Sfregandosi le mani piene, piccole e bianche, la levatrice stava già camminando verso di lei, con un viso considerevolmente calmo.
- Maria Bogdanovna! Sembra che sia iniziato ", ha detto la principessa Marya, guardando sua nonna con gli occhi spalancati e spaventati.
"Bene, grazie a Dio, principessa", disse Marya Bogdanovna senza aggiungere un passo. Voi ragazze non avete bisogno di saperlo.
"Ma perché il dottore non è ancora arrivato da Mosca?" - disse la principessa. (Su richiesta di Lisa e del principe Andrei, furono mandati a Mosca per un ostetrico entro la scadenza e lo stavano aspettando ogni minuto.)
"Va tutto bene, principessa, non preoccuparti", disse Marya Bogdanovna, "e senza un dottore andrà tutto bene".
Cinque minuti dopo la principessa sentì dalla sua stanza che veniva trasportato qualcosa di pesante. Guardò fuori - per qualche motivo i camerieri stavano portando in camera da letto un divano in pelle che si trovava nell'ufficio del principe Andrei. C'era qualcosa di solenne e tranquillo sui volti delle persone che trasportavano.
La principessa Marya sedeva da sola nella sua stanza, ascoltando i rumori della casa, aprendo di tanto in tanto la porta quando passavano e osservando da vicino cosa stava succedendo nel corridoio. Diverse donne camminavano avanti e indietro con passi silenziosi, si voltavano a guardare la principessa e si voltavano da lei. Non osò chiedere, chiuse la porta, tornò nella sua stanza e si sedette sulla sua sedia, o prese il suo libro di preghiere, o si inginocchiò davanti al kiot. Con sua disgrazia e sorpresa, sentì che la preghiera non calmava la sua eccitazione. Improvvisamente la porta della sua stanza si aprì silenziosamente e sulla soglia apparve la sua vecchia infermiera, Praskovya Savishna, legata con un fazzoletto, che quasi mai, a causa del divieto del principe, non entrava nella sua stanza.
"Sono venuta a sedermi con te, Mashenka", disse la tata, "sì, ha portato ad accendere le candele nuziali del principe davanti al santo, angelo mio", disse con un sospiro.
“Oh, quanto sono felice, bambinaia.
“Dio è misericordioso, colomba. - La tata accese candele intrecciate d'oro davanti alla custodia delle icone e si sedette alla porta con una calza. La principessa Mary prese il libro e iniziò a leggere. Solo quando si sentivano dei passi o delle voci la principessa sembrava spaventata, interrogativa, e la tata si guardava l'un l'altra in modo rassicurante. A tutte le estremità della casa, la stessa sensazione che la principessa Mary provava mentre era seduta nella sua stanza era traboccante e possedeva tutti. Secondo la convinzione che meno persone conoscono le sofferenze del puerperale, meno soffre, tutti hanno cercato di fingere di essere ignoranti; nessuno ne parlava, ma in tutte le persone, a parte il consueto grado e rispetto delle buone maniere che regnavano nella casa del principe, si vedeva una specie di preoccupazione generale, il cuore addolcito e la coscienza di qualcosa di grande, di incomprensibile, che accadeva a quel momento.
Non c'erano risate nella stanza delle ragazze grandi. Nella stanza del cameriere, tutta la gente sedeva in silenzio, pronta a qualcosa. Nel cortile bruciavano torce e candele e non dormivano. Il vecchio principe, calpestandolo, fece il giro dello studio e mandò Tikhon da Marya Bogdanovna a chiedere: cosa? - Dimmi solo: il principe ha ordinato di chiedere cosa? e vieni a dirmi cosa dirà.
"Riferisci al principe che la nascita è iniziata", disse Marya Bogdanovna, guardando in modo significativo il messaggero. Tikhon andò a riferire al principe.
«Molto bene» disse il principe, chiudendosi la porta alle spalle, e Tikhon non udì più il minimo rumore nello studio. Poco dopo, Tikhon entrò nell'ufficio, come per aggiustare le candele. Vedendo che il principe era sdraiato sul divano, Tikhon guardò il principe, la sua faccia sconvolta, scosse la testa, gli si avvicinò in silenzio e, baciandolo sulla spalla, uscì senza aggiustare le candele e senza dire perché fosse venuto. Il sacramento più solenne del mondo continuò ad essere celebrato. Passò la sera, venne la notte. E il sentimento di attesa e di rammollimento del cuore davanti all'incomprensibile non cadde, ma si alzò. Nessuno ha dormito.

Era una di quelle notti di marzo in cui l'inverno sembra voler farsi sentire e riversare le sue ultime nevicate e tempeste di neve con rabbia disperata. Per incontrare il medico tedesco di Mosca, atteso ogni minuto e per il quale è stato inviato un assetto sulla strada principale, al svoltare in una strada di campagna, sono stati inviati cavalieri con lanterne per condurlo lungo dossi e avvallamenti.
La principessa Mary aveva lasciato il libro da tempo: sedeva in silenzio, fissando i suoi occhi radiosi sul volto rugoso, familiare fin nei minimi dettagli, della tata: alla ciocca di capelli grigi che era uscita da sotto la sciarpa, alla sacco appeso di pelle sotto il mento.
La tata Savishna, con una calza in mano, a bassa voce, senza ascoltare o capire le proprie parole, ha raccontato centinaia di volte di come la principessa defunta a Chisinau abbia dato alla luce la principessa Marya, con una contadina moldava, invece di una nonna .
"Dio abbia pietà, non hai mai bisogno di un dottore", ha detto. Improvvisamente una folata di vento soffiò su uno dei telai a vista della stanza (per volontà del principe, in ogni stanza era sempre allestito un telaio con le allodole) e, dopo aver tolto il chiavistello mal spinto, arruffò la tenda di damasco, e puzzando di freddo, neve, spegne la candela. La principessa Mary rabbrividì; la tata, deponendo la calza, si avvicinò alla finestra e sporgendosi cominciò ad afferrare l'intelaiatura aperta. Un vento freddo le scompigliava le punte del fazzoletto e delle ciocche grigie e disperse.
- Principessa, mamma, qualcuno sta guidando lungo la prefettura! disse, tenendo il telaio e non chiudendolo. - Con le lanterne, deve essere, dokhtur ...
- Dio mio! Grazie Dio! - disse la principessa Mary, - dobbiamo incontrarlo: non conosce il russo.
La principessa Marya indossò lo scialle e corse incontro ai viaggiatori. Quando passò davanti all'ingresso, vide attraverso la finestra che una specie di carrozza e lampade erano in piedi all'ingresso. Uscì per le scale. Una candela di sego stava sul montante della ringhiera e svolazzava dal vento. Il cameriere Filippo, con la faccia spaventata e con un'altra candela in mano, era in piedi sotto, sul primo pianerottolo delle scale. Ancora più in basso, dietro la curva, sulle scale, si sentivano dei passi che si muovevano con stivali caldi. E una specie di voce familiare, come sembrava alla principessa Mary, stava dicendo qualcosa.

I corpi sono un gruppo, i cui elementi sono tutti elementi diversi da zero del corpo dato, e l'operazione è la stessa dell'operazione di moltiplicazione nel corpo. I campi M. g. sono un gruppo abeliano. O. A. Ivanova... Enciclopedia matematica

Il sistema ridotto di residui modulo m è l'insieme di tutti i numeri del sistema completo di residui modulo m coprime a m. Il sistema ridotto dei residui modulo m consiste di φ(m) numeri, dove φ( ) è la funzione di Eulero. Come un sistema ridotto di detrazioni ... ... Wikipedia

Teoria dei gruppi ... Wikipedia

Un gruppo in algebra astratta è un insieme non vuoto con un'operazione binaria definita su di esso che soddisfa i seguenti assiomi. La branca della matematica che riguarda i gruppi è chiamata teoria dei gruppi. Tutti i numeri reali familiari sono dotati di ... ... Wikipedia

Il gruppo di automorfismi di alcune forme sesquilinee f a destra K modulo E, dove K è un anello; inoltre f ed E (e talvolta K) soddisfano condizioni aggiuntive. Non esiste una definizione esatta di K. g. Si assume che f sia zero o non degenerato... ... Enciclopedia matematica

Il gruppo di tutte le matrici invertibili di grado n sull'anello associativo K con identità; notazione comune: GLn(K) o GL(n, K). P. l. d. GL(n, K) può anche essere definito come il gruppo di automorfismi АutK(V) di un modulo K libero Vñ… … Enciclopedia matematica

Per una descrizione generale della teoria dei gruppi, vedere Teoria dei gruppi (matematica) e Teoria dei gruppi. Il corsivo indica un collegamento a questo dizionario. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

Sia A?<А, ·>- gruppo moltiplicativo,

H è un sottoinsieme dell'insieme A, H?.

Definizione 1.<Н,·>- chiamato sottogruppo del gruppo moltiplicativo E se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. H - chiuso rispetto all'operazione binaria "*" a, b H, ab H;

2. C'è eH = eA - l'unico elemento relativo a "°";

3. esiste una H a-1 H.

Definizione 2. Se H = A o H = (e), allora<Н,·>è chiamato sottogruppo improprio del gruppo A.

Se H A, H è un sottoinsieme proprio dell'insieme A, viene chiamato il sottogruppo proprio sottogruppo del gruppo A.

H \u003d A - il gruppo A stesso.

H \u003d (e) - un singolo sottogruppo.

gruppo moltiplicativo di sottogruppi ciclici

Esempio. è<А, ·>, dove A \u003d (1, - 1, i, - i), i è l'unità immaginaria, un gruppo?

1) Verificare le condizioni del gruppo moltiplicativo.

"·" è un'operazione associativa binaria sull'insieme A.

Tavolo Cayley per "·" sul set A.

<А, ·>- sottogruppo.

Un importante esempio di sottogruppi moltiplicativi sono i cosiddetti sottogruppi ciclici moltiplicativi.

Permettere<А, ·>- Gruppo. L'elemento e A è l'elemento identità. elemento a? e, un A.

(a) - l'insieme delle potenze intere dell'elemento a: (a) = (x = a n: n Z, a A, a ? e)

giusto

Teorema 1.< (а), ·>è un sottogruppo del gruppo<А, ·>.

Prova. Verifichiamo le condizioni del sottogruppo moltiplicativo.

1) H \u003d (a) - chiuso rispetto a "·":

x \u003d a n, y \u003d a l, n, e Z, x, y H, xy \u003d a n a l \u003d a n + l H, perché n+lZ;

2) e = 1 = a 0 H, A: x H x 0 = a 0 x = x;

3) x \u003d a H, x -1 \u003d a -n H: a n a -n \u003d a -n a n \u003d a 0 \u003d 1.

Da 1) - 3) per definizione H abbiamo< (а), ·>è un sottogruppo del gruppo moltiplicativo A.

Definizione 3. Let<А, ·>è un gruppo moltiplicativo e

L'ordine dell'elemento aè il più piccolo numero naturale n tale che a n = e.

Esempio. Trova gli ordini degli elementi a = - 1, b = i, c = - i del gruppo moltiplicativo A = (1; - 1; i; - i)

1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Di conseguenza,

n = 2 - ordine degli elementi - 1.

io: (i) 1 = io, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. Di conseguenza,

n = 4 - l'ordine dell'elemento i.

io: (-i) 1 = - io, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. Di conseguenza,

n = 4 elementi di ordine - i.

Teorema 2. Sia<А, ·>- gruppo, eh A, eh? e, a è un elemento dell'n-esimo ordine, quindi:

1) Il sottogruppo (a) del gruppo A ha la forma: (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1) -

n - insieme elementare di poteri non negativi dell'elemento a;

2) Qualsiasi potenza intera dell'elemento a k , k Z, appartiene all'insieme (a) e

un k = e<=>k = nq, nN, qZ.

Prova. Mostriamo che tutti gli elementi (a) sono diversi. Supponiamo il contrario: a k = a l , k > l, quindi a k-l = e. k-l< n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Mostriamo che a k , K Z, appartiene all'insieme (a).

Sia k = n, k: n, a K = a nq + r = a K × a nq + r = (a n) q × a r = e q × a r = e × a r = a r,

0? r? n? 1 => a k (a). Se r = 0, allora k = nq<=>un k = e.

Definizione 4. Sottogruppo< (а), ·>, dove (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1), i gruppi A, a è un elemento dell'ennesimo ordine, è chiamato sottogruppo ciclico del gruppo A(un sottogruppo ciclico moltiplicativo di A).

Definizione 5. Un gruppo coincidente con il suo sottogruppo<А, ·>, < (а), ·>, viene chiamato un sottogruppo ciclico moltiplicativo gruppo ciclico.

Teorema 3. Ogni gruppo ciclico moltiplicativo è abeliano.

Prova. A = (a), eh? e, a - elemento generatore del gruppo

un k , un l UN, un k N un l = un l N un k . Infatti, a k P a l = a k+l = a l+k = a l P a k , l,k Z.