Questo metodo è un rappresentante della classe dei metodi approssimati

L'idea del metodo è estremamente semplice e si riduce a una procedura

approssimazioni per risolvere l'equazione integrale, a cui

viene data l'equazione differenziale originale.

Lascia che il problema di Cauchy sia impostato

Integriamo l'equazione scritta

. (5.2)

La procedura di approssimazioni successive del metodo di Picard è implementata secondo lo schema seguente

, (5.3)

Esempio . Risolvi l'equazione di Picard

La soluzione di questa equazione non è espressa in termini di funzioni elementari.

Si può vedere che per , la serie converge rapidamente. Il metodo è conveniente se gli integrali possono essere presi analiticamente.

Proviamo la convergenza del metodo di Picard. Lascia entrare un po 'limitato

regione, il lato destro è continuo e, inoltre, soddisfa la condizione di Lipschitz rispetto alla variabile, cioè

dov'è una costante.

A causa della delimitazione della regione, delle disuguaglianze

Sottraiamo la formula (5.2) dalla (5.3), otteniamo per i moduli di destra e di sinistra

Infine, utilizzando la condizione di continuità di Lipschitz, otteniamo

, (5.4)

dove è l'errore della soluzione approssimativa.

L'applicazione successiva della formula (5.4) a fornisce la seguente catena di relazioni, tenendo conto di ciò

Perché , Poi abbiamo

Sostituendo con la formula di Stirling, otteniamo infine una stima dell'errore della soluzione approssimativa

. (5.5)

Dalla (5.4) segue che per il modulo di errore, cioè

la soluzione approssimativa converge uniformemente a quella esatta.

5.2.2. Metodi Runge-Kutta

Questi metodi sono numerici.

In pratica vengono utilizzati i metodi Runge-Kutta, fornendo post-

brulicanti schemi di differenze (metodi) di vari ordini di accuratezza. Più

schemi comuni (metodi) del secondo e quarto ordine. Noi e loro

considera di seguito.

Introduciamo prima alcune nozioni e definizioni. maglia su

segmento è un insieme fisso di punti di questo segmento.

La funzione definita in questi punti è chiamata funzione griglia.

Le coordinate dei punti soddisfano le condizioni

I punti sono i nodi della griglia. Una griglia uniforme è un insieme di punti

, ,

dov'è la spaziatura della griglia.

Quando si decide equazioni differenziali metodo approssimato è la questione principale della convergenza. Applicato ai metodi delle differenze, il concetto di convergenza per è tradizionalmente più comune. Indichiamo i valori della funzione di griglia come i valori della soluzione esatta dell'equazione differenziale (5.1) al nodo - (sono valori approssimativi). Convergenza significa quanto segue. Fissiamo un punto e costruiamo una serie di griglie in modo tale (in cui). Quindi si considera che il metodo numerico converge in un punto se

a ,. Il metodo converge su un segmento se converge in ogni punto. Si dice che un metodo ha il esimo ordine di accuratezza se è possibile trovare un numero tale che a.

Introduciamo ulteriormente il concetto di errore residuo o di approssimazione di un'equazione differenziale che sostituisce una data equazione differenziale sulla soluzione dell'equazione originale, cioè la discrepanza è il risultato della sostituzione dell'esatta soluzione dell'equazione (5.1) nell'equazione differenziale. Ad esempio, la (5.1) può essere sostituita dalla seguente semplice equazione differenziale

, .

Quindi la discrepanza è determinata dalla seguente espressione

La soluzione approssimativa generalmente non coincide con , quindi la discrepanza nel punto esimo non è uguale a zero. Viene introdotta la seguente definizione: il metodo numerico approssima l'equazione differenziale originale if , e ha il esimo ordine di precisione if .

È dimostrato che l'ordine di accuratezza del metodo numerico per risolvere un'equazione differenziale coincide con l'ordine di approssimazione in ipotesi abbastanza generali.

Passiamo ora all'analisi degli schemi di Runge-Kutta. Passiamo prima a

schemi del secondo ordine di precisione.

Utilizzando la formula di Taylor, risolvendo l'equazione differenziale

(5.1) può essere rappresentato come

, (5.6)

dove indicato, ,.

Si noti che secondo (5.1) ,.

derivata come segue

dove sono le grandezze sconosciute. Permettere

Indichiamo il valore approssimativo della soluzione al nodo con il numero passante (è questa soluzione che si otterrà dopo aver limitato la serie a termini di ordine non superiore al secondo).

I parametri inseriti qui devono essere determinati.

Espandendo il lato destro in una serie di Taylor e portando termini simili, otteniamo

successivamente

La condizione per la scelta dei parametri e impostiamo la vicinanza dell'espressione

relazione (5.7) alla serie (5.6), quindi

, ,.

Un parametro rimane libero. Lascia che sia allora

, ,

ed infine dalla (5.7), tenendo conto delle relazioni riscontrate per e

La relazione (5.8) descrive una famiglia a un parametro di formule di Runge-Kutta a due termini.

Nella letteratura speciale si dimostra che se è continua e limitata insieme alle sue derivate seconde, allora la soluzione approssimativa dello schema (5.8) converge uniformemente alla soluzione esatta con errore , cioè. lo schema (5.8) ha il secondo ordine di accuratezza.

Nella pratica dei calcoli si utilizzano le formule (5.8) per i valori del parametro ,.

Dalla (5.8) deduciamo

L'applicazione della formula (5.9) è ridotta alla seguente sequenza di passaggi:

1. Il valore della funzione viene calcolato approssimativamente (secondo lo schema a linee spezzate)

2. Viene determinata la pendenza della curva integrale nel punto ().

3. Si trova il valore medio della derivata della funzione al passo

4. Il valore della funzione viene calcolato al nodo ()-esimo

Questo schema ha un nome speciale "predittore-correttore".

Secondo (5.8), otteniamo

Il problema viene risolto attraverso i seguenti passaggi:

1. Viene calcolato il valore della funzione al mezzo nodo

2. Viene determinato il valore della derivata al nodo

3. Il valore della funzione si trova nel nodo ()-esimo

Oltre agli schemi a due termini sopra considerati, gli schemi Runge-Kutta sono ampiamente utilizzati nella pratica dei calcoli. quarto ordine precisione. Le formule corrispondenti sono riportate di seguito senza derivazione.

(5.10)

Gli schemi con un gran numero di membri non vengono praticamente utilizzati. Cinque-

le formule dei membri forniscono il quarto ordine di precisione, le formule a sei termini hanno il sesto ordine, ma la loro forma è molto complicata.

Gli errori dei suddetti schemi Runge-Kutta sono determinati dal massimo

valori delle derivate corrispondenti.

È facile ottenere una stima degli errori per il caso speciale del diritto

parti di un'equazione differenziale

In questo caso, la soluzione dell'equazione può essere ridotta alla quadratura e

tutti gli schemi di soluzione delle differenze vengono convertiti in formule per l'integrazione numerica

vagabondo. Ad esempio, lo schema (5.9) assume la forma

cioè ha la forma della formula trapezoidale e lo schema (5.10) va oltre lo schema

che è la formula di Simpson con il passo .

Sono note stime dell'errore maggiore per le formule del trapezio e di Simpson (vedere Sezione 3.2). Si può vedere da (3.4) e (3.5) che l'accuratezza degli schemi di Runge-Kutta è piuttosto elevata.

La scelta dell'uno o dell'altro degli schemi di cui sopra per risolvere un problema specifico

dacia è determinata dalle seguenti considerazioni. Se la funzione in

il lato destro dell'equazione è continuo e limitato, così come continuo e

le sue quarte derivate sono limitate, quindi si ottiene il miglior risultato

quando si utilizza lo schema (5.10). Nel caso in cui la funzione

non ha le derivate di cui sopra, l'ordine limite (quarto).

lo schema (5.10) non può essere realizzato e si rivela opportuno

utilizzando schemi più semplici.

Oltre agli schemi di Runge-Kutta, i metodi multi-step sono di interesse pratico, che possono essere descritti dal seguente sistema di equazioni

dove , a - coefficienti numerici, ,.

Secondo questa equazione, il calcolo inizia con . In questo caso, otteniamo una relazione della forma

quelli. per iniziare a contare devi avere i valori iniziali. Questi valori devono essere calcolati con qualche altro metodo, ad esempio il metodo Runge-Kutta.

Tra i metodi multi-step, il metodo Adams è il più comune, il cui schema di implementazione segue da (5.11) con e per :

Per , il metodo Adams risulta essere esplicito, mentre per , è implicito.

1
18.01.2018

Formulazione del problema
Differenziale
equazioni
stabilire legami tra indipendenti
variabili, funzioni desiderate e loro
derivati. Se la funzione desiderata
dipende da una variabile, quindi
si chiama equazione differenziale
ordinario.

Formulazione del problema
Ad esempio, la condizione di equilibrio per un mezzo elastico
è descritto dal differenziale ordinario
equazione:
dTx
fx 0
dx
Tx - componente della meccanica
tensioni, F - agendo
forza media continua per
unità di massa
Qui la funzione desiderata (meccanica
tensione) T(x) dipende da una variabile
x (coordinata).

Formulazione del problema

Se la funzione desiderata dipende da
variabili multiple, equazione differenziale
sarà un'equazione differenziale parziale.
Ad esempio, può essere descritto il movimento di un mezzo elastico
equazione alle derivate parziali:
2u x Tx
2
t
X
ux è lo spostamento del mezzo, ρ è la densità
medio, Tx è la componente di stress
In questa equazione, la funzione u(t,x) dipende dal tempo
(t) e direzione di spostamento medio (x).

Formulazione del problema
Equazioni differenziali ordinarie
(ODE) sono chiamate equazioni che contengono uno o
diverse derivate della funzione desiderata y = y(x):
F (x, y, y,..., y(n)) 0 ,
dove x è una variabile indipendente.
L'ordine più alto di n nell'equazione
derivata è chiamata ordine del differenziale
equazioni.
Per esempio:
F (x, y, y ") 0 equazione del primo ordine;
F (x, y, y " , y") 0 equazione del secondo ordine

Formulazione del problema
Dalla notazione generale dell'equazione differenziale
la derivata può essere espressa esplicitamente:
y "f(x, y),
y" f(x, y, y")
L'equazione derivata ha un infinito
tante soluzioni. Per ottenere l'unico
le soluzioni devono specificare ulteriori
condizioni che devono essere soddisfatte dal desiderato
soluzioni.

Formulazione del problema
A seconda del tipo di condizioni
considerare tre tipi di problemi per i quali è stato dimostrato
esistenza e unicità delle soluzioni.
Il primo tipo riguarda i problemi con l'iniziale
condizioni.
Per
tale
compiti
Oltretutto
originale
equazione differenziale in un punto x0
devono essere specificate le condizioni iniziali, ovvero
valori della funzione y (x) e sue derivate: y (x0) =
si0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

Formulazione del problema
Il secondo tipo di compiti sono i cosiddetti
confine, o bordo, in cui
condizioni aggiuntive sono fornite nel modulo
funzionale
rapporti
fra
soluzioni desiderate.
Il terzo tipo di compiti per l'ordinario
le equazioni differenziali sono problemi
propri valori.

Formulazione del problema
Formuliamo il problema di Cauchy.
Trova una soluzione al differenziale ordinario
equazione (ODE) del primo ordine, risolta
rispetto alla derivata
y "f(x, y),
soddisfacente condizione iniziale
y (x0) y0

10.

Formulazione del problema
È necessario trovare sul segmento tale
funzione continua
y = y(x), che
soddisfa l'equazione differenziale
y " f (x, y) e la condizione iniziale y (x0) y0
quelli.
trova
soluzione
differenziale
equazioni. Trovare una tale soluzione si chiama
soluzione del problema di Cauchy. Soluzione numerica di ciò
compito è costruire una tabella di approssimativi
valori y1,y2,...,yn della soluzione dell'equazione y(x) nei punti
x1,x2,...,xn con qualche passaggio h.
xi x0 io h,
i=1,2,...,n.

11.

Ordinario
equazioni differenziali
Equazioni in privato
derivati
zz
dio
0
2(y3)
2
2
X
y
dx
2
d e
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
X
y
3
xdy=ydx
2
y'=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Equazioni del primo ordine
dio
2(y3)
dx
Equazioni del secondo ordine
2
d e
t
1
2
dt
zz
0
2
2
X
y
2
3
xdy=ydx
zz
3 2 2 4
x y
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Esempio 1. Per un'equazione differenziale
dio
2x
dx
y0 = 2 a x0 = 1
soluzione generale: y = x2 +
DA
2 \u003d 1 + C, ovvero C \u003d 1
М0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Condizione Lipschitziana
R[ a ,b ] (| x x0 | a, | y y0 | b)
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Metodi per la soluzione approssimata del differenziale
equazioni
Metodi analitici
Metodi numerici
Metodo sequenziale
approssimazioni - metodo
Picard
Il metodo di Eulero e
modifiche
Metodo di integrazione
differenziale
equazioni usando
serie di potenze
Metodo Runge-Kutta
metodo di estrapolazione
Adams
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Risolvi l'equazione differenziale
y′=f(x, y) con metodo numerico –
questo significa per un dato
sequenze di argomenti
x0, x1,…, xn e numeri y0,
senza definire la funzione y=F(x),
trova tali valori y1, y2, …, yn,
che yi=F(xi) e F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Sia l'equazione differenziale
primo ordine
y'= f (x, y)
con condizione iniziale
x=x0, y(x0)=y0
b a
h
n
fase di integrazione
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f (x, y) y" dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
questo è
yk 1 yk
xk 1
f (x, y)dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f (x, y)dx f (x , y) x
K
K
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
yk 1 yk y "k h
yk 1 yk y "k h
Denota
yk 1 yk yk
yk hy y "k
yk 1 yk yk
18.01.2018

22.

y
h
0
x0
x1
x2
X
18.01.2018

23.

Errore di metodo
hM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2N
dove
f (x1 , y1) f (x1 , y2) N y1 y2
df
f
f
f
M
dx
X
y
18.01.2018

24.

Esempio 1. Risolvi y'=y-x con l'iniziale
condizione x0=0, y0=1.5 sul segmento , h=0.25
Soluzione
io
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
si
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi'=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
si ehi
"
io
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

metodo di Eulero
Immettere x, y, h, b
Uscita x, y
y: y hf x, y
x: x h
+
xb
la fine
18.01.2018

26.

Metodo di Eulero migliorato
yn+1 = yn + h/2
Torniamo allo sviluppo della funzione in una serie di Taylor
un aumento della precisione del calcolo può essere ottenuto mantenendo
membro contenente h2. y (t0) può essere approssimato da una differenza finita:
Tenendo conto di questa espressione, l'espansione della funzione in una serie di Taylor assume la forma
l'errore è dell'ordine h3
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Un compito. Facciamo il differenziale
equazione del primo ordine
y'= f(x, y)
con condizione iniziale
x=x0, y(x0)=y0
Trova una soluzione a un'equazione su un segmento
si 1 si si
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
h
k1
k 2 hf (x, y)
2
2
h
k2
k3 hf (x, y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
si 1 si si
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Errore del metodo Rn(h5).
18.01.2018

33.

Esempio 1. Risolvi il differenziale
equazione y′= y-x con iniziale
condizione x0=0, y(x0)=y0=1,5 con il metodo
Runge Kutta. Calcola con una precisione di 0,01.
Soluzione
k1(0)=(y0-x0)h=1,5000*0,25=0,3750
k2(0)
k1(0)
h
x0 h (1,5000 0,1875) 0,125 0,25 0,3906
si0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k2(0)
h
x0 h (1,5000 0,1953) 0,125 0,25 0,3926
si0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1.5000+0.3926)0.125]*0.25=0.4106
1
y0 (0,3750 2 * 0,3906 2 * 0,3926 0,4106)
6
=0,3920
y1=1.50000+0.3920=1.8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Metodo Runge-Kutta per la risoluzione dei sistemi
equazioni differenziali
,
y "f (x, y, z)
z
"
g
X
,
y
,
z
18.01.2018

38.

1(i)
(io)
(io)
(io)
si (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1(i)
(io)
(io)
(io)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, dove
18.01.2018

39.

(io)
1
K
(io)
1
l
hf (xi , yi , zi)
hq(xi , yi , zi)
18.01.2018

40.

K
l
(io)
2
(io)
2
(io)
1
(io)
1
h
K
l
hf (xi, yi
,zi)
2
2
2
(io)
1
(io)
1
h
K
l
hq(xi , yi
,zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

K
(io)
3
(io)
3
l
(io)
2
(io)
2
(io)
2
(io)
2
h
K
l
hf (xi, yi
,zi)
2
2
2
h
K
l
hq(xi , yi
,zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

K
l
,
(io)
4
(io)
4
(io)
3
K
h
(io)
hf (xi, yi
, zi l3)
2
2
(io)
3
K
h
(io)
hq(xi , yi
, z io l3)
2
2
si 1 si si
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Metodo delle approssimazioni successive
43
18.01.2018

44.

Primo approccio:
Seconda approssimazione:
Terza approssimazione:
…
ennesima approssimazione:
44
18.01.2018

45.

Teorema. Sia in prossimità del punto (x0; y0)
la funzione f(x, y) è continua e ha
derivata parziale limitata f'y (x, y).
Poi in qualche intervallo che contiene
punto x0, sequenza ( yi(x))
converge alla funzione y(x) che serve
soluzione del differenziale
equazioni y' = f(x, y) e
soddisfare la condizione y(x0) = y0
45
18.01.2018

46.

47. Metodo di Picard per approssimazioni successive

Equazione differenziale dell'ennesimo ordine
Consideriamo l'equazione differenziale della prima
ordine
y' = f(x, y)
(1)
con condizioni iniziali
y(x0) = y0
(2).
Si presume che in qualche quartiere del punto
M0(x0, y0) l'equazione (1) soddisfa le condizioni del teorema
esistenza e unicità della soluzione.

48.

Costruiremo la soluzione desiderata y = y(x) per i valori
x x0 .
Il caso x x0 è simile.
Integrazione dei lati destro e sinistro dell'equazione (1) in
tra x0 e x, otteniamo
X
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
o in virtù della condizione iniziale (2), avremo
X
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)

49.

Poiché la funzione desiderata y = y(x) è inferiore
segno integrale, allora l'equazione (3) è
integrante.
Ovviamente, la soluzione dell'equazione integrale (3)
soddisfa l'equazione differenziale (1) e
condizione iniziale (2).
Per trovare questa soluzione, utilizziamo il metodo
approssimazioni successive.
Sostituendo in uguaglianza (3) la funzione incognita y
dato il valore di y0, otteniamo la prima approssimazione
X
y1 y0 f (x, y0)dx
x0

50.

Inoltre, sostituendo nell'uguaglianza (3) invece dell'ignoto
funzione y trovata funzione y1, avremo la seconda
approssimazione
X
y2 y0 f(x, y1)dx
eccetera.
x0
Tutte le ulteriori approssimazioni sono costruite secondo la formula
X
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Geometricamente
consecutivo
approssimazione
sono le curve yn = yn(x) (n = 1, 2, …),
passante per il punto comune M0(x0, y0).

51.

y
0
x0
x x+h
X
Commento.
In
metodo
successivo
approssimazioni come approssimazione iniziale si0,
si può scegliere qualsiasi funzione abbastanza vicina a
soluzione esatta y.
Ad esempio, a volte è vantaggioso prendere come y0
il segmento finale della serie di Taylor della soluzione desiderata.

52.

Nota
che cosa
a
uso
metodo
approssimazioni successive, l'analiticità del diritto
parte dell'equazione differenziale è opzionale,
Pertanto, questo metodo può essere utilizzato nei casi in cui
quando
decomposizione
soluzioni
differenziale
equazioni in serie di potenze impossibile.
Esempio 1. Con il metodo delle approssimazioni successive
trovare una soluzione approssimativa del differenziale
equazioni
y' = x - y,
Soddisfacendo la condizione iniziale y(0) = 1.

53.

Soluzione. Come
prendi y0(x) = 1. Poiché
elementare
approssimazione
X
y 1 (x y)dx
0
allora avremo
X
x2
y1 1 (x 1)dx 1x
2
0
Allo stesso modo
3
x2
X
dx 1xx 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
X

54.

Allo stesso modo otteniamo
3
4
X
X
y3 1 x 2
3 24
3
4
5
X
X
X
y4 1 x 2
3 12 120
eccetera.

55. Sistema di equazioni differenziali (metodo di Picard)

Dato un sistema di equazioni differenziali
dio
f(x, y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
dove
Scrivere l'equazione vettoriale (4) nell'integrale
forma, avremo

56.

X
y y0 f (x, y)dx
(6)
x0
dove sotto l'integrale della funzione vettoriale
vettore compreso
X
x0
X
f1 dx
x0
f dx
X
f n dx
x0
f1
f
f n

57.

approssimazioni successive
sono determinati dalla formula
X
y
(p)
y 0 f (x, y
(p1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Inoltre, di solito si presume
y(0)y
Questo metodo è adatto anche per differenziale
equazione di ordine n-esimo, se è scritta nella forma
sistemi.

58.

Esempio 2. Costruisci diversi consecutivi
approssimazioni per la risoluzione del sistema
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 e 2
1
dx
soddisfacendo le condizioni iniziali
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Soluzione. Abbiamo:
X
y1 1 (x y1 y2)dx
0
X
y2 (x2 y12)dx
0
Quindi, supponendo
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
noi abbiamo
X
2
X
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
X
3
X
(1)
y2 (x 2 1)dx x
3
0

60.

x2
x 3
x4 x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
X
(2)
1
y
4
5
2
X
X
x 1 x 2 x x
4
20
0
X
y2
(2)
eccetera.

61.

Fine dei calcoli
n 1
h
| si e si | NM
(n 1)!
n
61
18.01.2018

Considereremo un'equazione differenziale ordinaria (ODE) del primo ordine

con condizione iniziale

y(x 0) \u003d y 0, (2)

dove f(x) è una data, nel caso generale, una funzione non lineare di due variabili. Assumiamo che per un dato problema (1)-(2), chiamato problema iniziale o problema di Cauchy, siano soddisfatti i requisiti che assicurano l'esistenza e l'unicità sul segmento [x 0 ,b] della sua soluzione y=y( X).

Nonostante la semplicità esteriore dell'equazione (1), risolverla analiticamente, cioè trovare la soluzione generale y=y(x, C) per poi estrarne la curva integrale y=y(x) passante dato punto(x 0 ; y 0) è possibile solo per alcuni tipi speciali di tali equazioni. Pertanto, come nel problema del calcolo degli integrali relativi a (1)-(2), si deve fare affidamento su metodi approssimati per risolvere i problemi iniziali per le ODE, che possono essere suddivisi in tre gruppi:

1) metodi analitici approssimativi;

2) grafico o macchina- metodi grafici;

3) metodi numerici.

I metodi del primo gruppo includono quelli che consentono di trovare un'approssimazione della soluzione y(x) immediatamente sotto forma di qualche funzione "buona" φ (X). Ad esempio, il noto metodo della serie di potenze, una delle cui implementazioni si basa sulla rappresentazione della funzione desiderata y(x) da parte di un segmento della serie di Taylor, dove i coefficienti di Taylor contenenti derivate di ordine superiore si trovano per differenziazione successiva dell'equazione (1) stessa. Un altro rappresentante di questo gruppo di metodi è il metodo delle approssimazioni successive, la cui essenza è riportata di seguito.

Nome metodi grafici parla di una rappresentazione approssimativa della soluzione desiderata y(x) sull'intervallo sotto forma di un grafico, che può essere costruito secondo alcune regole legate all'interpretazione grafica di questo problema. L'interpretazione fisica o, forse, sarebbe più corretto dire, elettrica dei problemi iniziali per certi tipi di equazioni è alla base dei metodi di soluzione approssimata in computer grafica. Realizzare a livello fisico e tecnico il dato processi elettrici, sullo schermo dell'oscilloscopio si osserva il comportamento delle soluzioni di equazioni differenziali che descrivono questi processi. La modifica dei parametri dell'equazione porta a un cambiamento adeguato nel comportamento delle soluzioni, che è alla base dei computer analogici specializzati (ACM).

Infine, il più significativo al momento, caratterizzato da un rapido sviluppo e penetrazione in tutti gli ambiti dell'attività umana, il digitale informatica, sono metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali che comportano l'ottenimento di una tabella numerica di valori approssimativi y i della soluzione desiderata y(x) su una determinata griglia
valori dell'argomento x. Questi metodi saranno oggetto della seguente discussione. Cosa fare con i valori numerici risultanti della soluzione dipende dalla formulazione applicata del problema. Se stiamo parlando di trovare solo il valore di y(b), allora il punto b è incluso come punto finale nel sistema dei punti calcolati x i, e tutti i valori approssimativi y i ≈ y(x i), tranne l'ultimo , partecipano solo come intermedi, cioè non richiedono memorizzazione o elaborazione. Se hai bisogno di una soluzione approssimativa y(x) in qualsiasi punto x, allora per questo puoi applicare uno qualsiasi dei metodi di approssimazione alla tabella numerica dei valori risultante y i funzioni della tabella, discusso in precedenza, ad esempio, interpolazione o interpolazione spline. Sono possibili anche altri usi dei dati numerici sulla soluzione.

Tocchiamo un metodo analitico approssimativo per risolvere il problema iniziale (1)-(2), in cui la soluzione desiderata y \u003d y (x) in qualche giusta vicinanza del punto x 0 è il limite della sequenza di funzioni y n (x) ottenute in un certo modo.

Integriamo le parti sinistra e destra dell'equazione (1) entro i limiti da x 0 a x:

Quindi, tenendo conto del fatto che una delle antiderivate per y"(x) è y(x), otteniamo

oppure, utilizzando la condizione iniziale (2),

(3)

Pertanto, questa equazione differenziale (1) con la condizione iniziale (2) è stata trasformata in un'equazione integrale (qui la funzione incognita entra sotto il segno di integrale).

L'equazione integrale risultante (3) ha la forma del problema di Punto fisso per l'operatore
Formalmente, il metodo delle iterazioni semplici può essere applicato a questo problema

considerato in modo sufficientemente dettagliato in relazione a sistemi di equazioni algebriche e trascendentali lineari e non lineari. Prendendo come funzione iniziale y 0 (x) la costante y 0 specificata in (2), secondo la formula (4) a n=0 troviamo la prima approssimazione

La sua sostituzione in (4) per n=1 fornisce la seconda approssimazione

eccetera. Pertanto, questo metodo analitico approssimativo, chiamato metodo delle approssimazioni successive o metodo di Picard, è definito dalla formula

(5)

dove n=0,1, 2,... e y 0 (x)=y 0 .

Notiamo due caratteristiche del metodo di Picard delle approssimazioni successive, che possono essere classificate come negative. In primo luogo, a causa dei ben noti problemi con la ricerca efficiente di antiderivati, il metodo (5) è raramente implementato nella sua forma pura. In secondo luogo, come si evince dall'affermazione precedente, questo metodo è da considerarsi locale, idoneo ad approssimare la soluzione in un piccolo quartiere destro punto di partenza. Il metodo di Picard è più importante per provare l'esistenza e l'unicità di una soluzione al problema di Cauchy che per trovarla nella pratica.

Lezione numero 17. Metodi di Eulero.

Obbiettivo - far conoscere agli studenti i metodi di Eulero per risolvere il problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie.

Questo è un metodo di soluzione approssimata, che è una generalizzazione del metodo delle approssimazioni successive (vedi Capitolo V, § 2). Considera il problema di Cauchy per l'equazione del primo ordine

Integrando l'equazione differenziale, sostituiamo questo problema con un'equazione integrale equivalente di tipo volterrano

Risolvendo questa equazione integrale con il metodo delle approssimazioni successive, otteniamo il processo iterativo di Picard

(la soluzione approssimativa, in contrasto con quella esatta, sarà indicata con y). Ad ogni iterazione di questo processo, l'integrazione viene eseguita esattamente o con i metodi numerici descritti nel Capitolo IV.

Dimostriamo la convergenza del metodo, assumendo che in qualche dominio limitato il membro di destra sia continuo e soddisfi in variabile e la condizione di Lipschitz

Poiché la regione è limitata, valgono le seguenti relazioni: indichiamo l'errore della soluzione approssimativa sottraendo (8) da (9) e usando la condizione di Lipschitz, otteniamo

Risolvendo questa relazione di ricorrenza e tenendo conto che troviamo successivamente

Ciò implica la stima dell'errore

Si può vedere che per, cioè, la soluzione approssimativa converge uniformemente alla soluzione esatta nell'intera regione.

Esempio. Applichiamo il metodo di Picard al problema di Cauchy per l'equazione (3), la cui soluzione non è espressa in termini di funzioni elementari

In questo caso si calcolano esattamente le quadrature (9) e si ottiene facilmente

ecc. Si può vedere che Per , queste approssimazioni convergono rapidamente e consentono di calcolare la soluzione con elevata precisione,

Questo esempio mostra che è vantaggioso utilizzare il metodo di Picard se gli integrali (9) possono essere calcolati in termini di funzioni elementari. Se il lato destro dell'equazione (7) è più complicato, così che questi integrali devono essere trovati con metodi numerici, allora il metodo di Picard diventa poco conveniente.

Il metodo di Picard può essere facilmente generalizzato ai sistemi di equazioni nel modo descritto nella Sezione 2. Tuttavia, in pratica, maggiore è l'ordine del sistema, meno spesso è possibile calcolare con precisione gli integrali in (9), che limita l'applicazione del metodo in questo caso.

Ci sono molti altri metodi approssimativi. Ad esempio, S.A. Chaplygin ha proposto un metodo che è una generalizzazione metodo algebrico Newton sul caso delle equazioni differenziali. Un altro modo per generalizzare il metodo di Newton è stato proposto da LV Kantorovich nel 1948. In entrambi questi metodi, così come nel metodo di Picard, le iterazioni vengono eseguite utilizzando le quadrature. Tuttavia, le quadrature in esse contenute hanno una forma molto più complessa di (9) e raramente vengono prese in considerazione. funzioni elementari. Pertanto, questi metodi non vengono quasi mai utilizzati.

Metodo Picard Picard Charles Emile (1856-1941), matematico francese.

Questo metodo permette di ottenere una soluzione approssimativa dell'equazione differenziale (1) sotto forma di una funzione presentata analiticamente.

Sia, nelle condizioni del teorema di esistenza, che sia necessario trovare una soluzione all'equazione (1) con la condizione iniziale (2). Integriamo le parti sinistra e destra dell'equazione (1) entro i limiti da a:

La soluzione dell'equazione integrale (9) soddisferà l'equazione differenziale (1) e la condizione iniziale (2). Infatti, a , otteniamo:

Allo stesso tempo, l'equazione integrale (9) permette di applicare il metodo delle approssimazioni successive. Considereremo il lato destro della formula (9) come un operatore che mappa qualsiasi funzione (dalla classe di funzioni per cui esiste l'integrale incluso in (9)) in un'altra funzione della stessa classe:

Se questo operatore è contrattivo (che deriva dalla condizione del teorema di Picard), allora è possibile costruire una sequenza di approssimazioni convergenti alla soluzione esatta. Come viene presa l'approssimazione iniziale, e viene trovata la prima approssimazione

L'integrale a destra contiene solo la variabile x; dopo aver trovato questo integrale si otterrà un'espressione analitica per l'approssimazione in funzione della variabile x. Successivamente, sostituiamo y sul lato destro dell'equazione (9) con il valore trovato e otteniamo la seconda approssimazione

eccetera. Nel caso generale, la formula iterativa ha la forma

(n=1, 2…) (10)

L'applicazione ciclica della formula (10) fornisce la sequenza di funzioni

convergente alla soluzione dell'equazione integrale (9) (e, di conseguenza, dell'equazione differenziale (1) con condizioni iniziali (2)). Questo significa anche quello k-esimo membro la sequenza (11) è un'approssimazione della soluzione esatta dell'equazione (1) con un certo grado controllato di accuratezza.

Si noti che quando si utilizza il metodo delle approssimazioni successive, l'analiticità del lato destro dell'equazione differenziale non è necessaria, quindi questo metodo può essere utilizzato anche nei casi in cui l'espansione della soluzione dell'equazione differenziale in una serie di potenze è impossibile.

Errore di Picard

La stima dell'errore per l'approssimazione k-esima è data dalla formula

dove y(x) è la soluzione esatta, è la costante di Lipschitz dalla disuguaglianza (4).

In pratica, il metodo Picard è usato molto raramente. Uno dei motivi è che gli integrali che devono essere calcolati quando si costruiscono approssimazioni successive il più delle volte non vengono trovati analiticamente e il loro utilizzo per calcolare metodi numerici complica così tanto la soluzione che diventa molto più conveniente applicare direttamente altri metodi inizialmente numerico.

Esempi di risoluzione di un problema in Maple

Compito n. 1: Utilizzando il metodo delle approssimazioni successive, trovare il valore, dove è la soluzione dell'equazione differenziale: soddisfare la condizione iniziale, sul segmento, fare un passo (calcolare in seconda approssimazione).

Dato: - equazione differenziale

Condizione iniziale

Intervallo

Trova: significato

Soluzione:

> y1:=semplifica(1+int(x+1, x=0…x));

> y2:= semplifica (1+int (x+semplifica (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Trova il valore in x=0,5:

Compito n. 2: Utilizzando il metodo delle approssimazioni successive, trovare una soluzione approssimata dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale.

Dato: - equazione differenziale

Condizione iniziale

Trova: significato

Soluzione:

Troveremo una soluzione approssimativa di questo DE su un segmento con un gradino (scelto arbitrariamente).

Scriviamo per questo caso una formula della forma (10)

> y1:=semplifica(1+int(x*1, x=0…x));

>y2:=semplifica (1+int (x*semplifica (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Allo stesso modo, troviamo la terza approssimazione:

>y3:=semplifica (1+int (x*semplifica (1+int (x*semplifica (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… X));

Troviamo una soluzione approssimativa di questo DE in, per questo, in terza approssimazione invece di x, sostituiamo e otteniamo:

Confrontiamo il risultato approssimativo ottenuto con la soluzione esatta dell'equazione differenziale:

Secondo i risultati della tabella, si può vedere che l'errore di calcolo è molto piccolo.