Definizioni e proprietà di base delle serie numeriche. Proprietà di base delle serie di numeri convergenti

introduzione

d'Alembert cauchy numerica

Il concetto di somme infinite era in realtà noto agli scienziati Grecia antica(Eudox, Euclide, Archimede). Trovare somme infinite è stato parte integrale il cosiddetto metodo dell'esaurimento, ampiamente utilizzato dagli antichi scienziati greci per trovare le aree delle figure, i volumi dei corpi, le lunghezze delle curve, ecc. Così, ad esempio, Archimede trovò la somma dell'infinito progressione geometrica con denominatore 1/4.

Fila come concetto indipendente, i matematici iniziarono ad usare nel XVII secolo. I. Newton e G. Leibniz hanno usato le serie per risolvere l'algebrica e equazioni differenziali. Teoria delle serie nei secoli XVIII-XIX. sviluppato nelle opere di J. e I. Bernoulli, B. Taylor, C. Maclaurin, L. Euler, J. d'Alembert, J. Lagrange e altri Una rigorosa teoria delle serie è stata creata nel XIX secolo. basato sul concetto di limite nelle opere di K. Gauss, B. Bolzano, O. Cauchy, P. Dirichlet, N. Abel, K. Weierstrass, B. Riemann e altri.

L'importanza dello studio di questo problema è dovuta al fatto che la branca della matematica che consente di risolvere qualsiasi problema ben posto con sufficiente uso pratico l'accuratezza è chiamata teoria delle serie. Anche se alcuni concetti sottili analisi matematica apparvero fuori contatto con la teoria delle serie, furono immediatamente applicati alle serie, che servirono come una sorta di strumento per testare il significato di questi concetti. Questa situazione continua ancora oggi. Pertanto, sembra rilevante studiare le serie numeriche, i loro concetti di base e le caratteristiche della convergenza delle serie.

1. Storia dell'occorrenza

.1 Prima menzione e uso delle serie numeriche

Le regole dell'aritmetica ci danno la capacità di determinare la somma di due, tre, quattro e in generale qualsiasi insieme finito di numeri. E se il numero di termini fosse infinito? Anche se è l'infinito "più piccolo", cioè lascia che il numero di termini sia numerabile.

Trovare somme infinite era parte integrante del cosiddetto metodo dell'esaurimento, ampiamente utilizzato dagli scienziati dell'antica Grecia per trovare le aree delle figure, i volumi dei corpi, le lunghezze delle curve, ecc. Così, ad esempio, Archimede ha trovato la somma di una progressione geometrica infinita con denominatore 1/4 per calcolare l'area di un segmento parabolico (cioè una figura delimitata da una retta e una parabola).

Quasi duemilacinquecento anni fa, il matematico e astronomo greco Eudosso di Cnido applicava il metodo dell'"esaurimento" alla ricerca di aree e volumi. L'idea di questo metodo è di dividere il corpo in studio in un numero numerabile di parti, le cui aree o volumi sono noti, e quindi aggiungere questi volumi. Questo metodo è stato utilizzato sia da Euclide che da Archimede. Naturalmente, non c'era una prova completa e accurata del metodo nelle opere degli antichi matematici. Prima di allora, è stato necessario percorrere un lungo percorso di duemila anni, sul quale ci sono state rivelazioni geniali, errori e curiosità.

Per esempio, ecco come ragionava un teologo medievale nel provare - né più né meno - l'esistenza di Dio Onnipotente.

Scriviamo in quantità uguali S come somma infinita

S = 1010101010… (1)

“Sostituiamo ogni zero sul lato destro di questa uguaglianza con la somma 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Lasciando il primo termine solo sul lato destro di (2), combiniamo il secondo termine con il terzo, il quarto con il quinto e così via, usando le parentesi. Quindi

S=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1.”

"Se si può ottenere uno da zero a piacimento, allora è accettabile anche l'assunzione della creazione del mondo dal nulla!"

Siamo d'accordo con questo ragionamento? Ovviamente no. Dal punto di vista della matematica moderna, l'errore dell'autore è quello di cercare di operare con concetti non definiti (che cos'è - "la somma di un numero infinito di termini"), e di eseguire trasformazioni (aprire parentesi, raggruppare) , la cui legittimità non è stata da essi giustificata.

Il conteggio delle somme era ampiamente utilizzato, senza prestare sufficiente attenzione alla domanda su cosa significhi esattamente questo concetto, i più grandi matematici del XVII e XVIII secolo: Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Brooke Taylor ( 1685-1731), Colin Maclaurin (1698-1746), Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Leonard ed Eulero (1707-1783) erano noti per la loro maestria virtuosistica nel maneggiare le serie; tuttavia, ammetteva spesso che le tecniche da lui utilizzate non erano sufficientemente comprovate. In un centinaio di articoli si trovano frasi ripetute come questa: "Abbiamo scoperto che queste due infinite espressioni sono uguali, anche se è risultato impossibile dimostrarlo". Mette in guardia i matematici dall'usare "serie divergenti", anche se a lui stesso non sempre interessava, e solo una brillante intuizione lo protegge da conclusioni errate; È vero, ha anche "forature".

All'inizio del 19° secolo, diventa chiara la necessità di un'attenta motivata delle proprietà delle "somme numerabili". Nel 1812 Carl Friedrich Gauss (1777-1865) fornisce il primo esempio dello studio della convergenza di una serie, nel 1821 il nostro buon amico Augustin Louis Cauchy (1789-1857) stabilisce i principi moderni di base della teoria delle serie.

.2 Ulteriori studi serie numerica. Una chiara affermazione del concetto di serie numerica

La sommatoria di infinite progressioni geometriche con denominatore minore di 1 veniva effettuata già nell'antichità (Archimede). La divergenza delle serie armoniche fu stabilita dallo scienziato italiano Mengoli nel 1650. Le serie di potenze apparvero in Newton (1665), che credeva che serie di potenze qualsiasi funzione può essere rappresentata. Gli scienziati del 18 ° secolo hanno costantemente incontrato serie nei calcoli, ma tutt'altro che hanno prestato attenzione alla questione della convergenza. L'esatta teoria delle serie inizia con l'opera di Gauss (1812), Bolzano (1817) e infine Cauchy, dove per la prima volta definizione moderna si stabiliscono le somme di una serie convergente e i teoremi principali. 1821 Cauchy pubblica "Course of Analysis at the Polytechnic Royal School", che aveva valore più alto per diffondere nuove idee di convalida dell'analisi matematica nella prima metà del 19° secolo.

“Un numero è chiamato una sequenza illimitata di quantità

ottenuto l'uno dall'altro secondo una certa legge... Let

è la somma dei primi n termini, dove n è un numero intero. Se, con un aumento costante dei valori di n, la somma si avvicina indefinitamente a un limite noto S, la serie si dice convergente, e questo limite è la somma delle serie. Al contrario, se, con un aumento illimitato di n, la somma non si avvicina ad alcun limite specifico, la serie sarà divergente e non avrà somma ... "[Dalla prima parte del "Course of Analysis" di O. Cauchy presso la Regia Scuola Politecnica" (1821) ( N. 54 Vol. III, p. 114-116, tradotto da A.P. Yushkevič}]

.3 Problemi che portano al concetto di serie numerica ea quelli in cui è stato utilizzato

Achille dal piede veloce non raggiungerà mai la tartaruga se la tartaruga era a una certa distanza davanti a lui all'inizio del movimento. Infatti, sia a la distanza iniziale e lascia che Achille corra k volte più veloce della tartaruga. Quando Achille ha percorso la distanza a, la tartaruga ritornerà strisciando verso a/k; quando Achille avrà percorso questa distanza, la tartaruga striscerà via verso a/, ecc., i. ogni volta ci sarà una distanza diversa da zero tra i concorrenti.

In questa aporia, oltre alla stessa difficoltà di contare l'infinito, ce n'è un'altra. Supponiamo che a un certo punto Achille raggiunga la tartaruga. Scriviamo il percorso di Achille

e il sentiero della tartaruga

Ogni segmento del percorso a/ percorso da Achille corrisponde a un segmento del percorso a/ della tartaruga. Pertanto, al momento dell'incontro, Achille deve percorrere "tanti" segmenti del percorso della tartaruga. Ogni segmento a/ percorso dalla tartaruga, invece, può essere associato ad un segmento uguale del percorso di Achille. Ma, in aggiunta, Achille deve percorrere un altro segmento di lunghezza a, cioè deve passare un segmento in più rispetto alla tartaruga. Se il numero di segmenti passati dall'ultimo è b, allora otteniamo

"Freccia". "Freccia". Se il tempo e lo spazio sono costituiti da particelle indivisibili, la freccia volante è immobile, poiché in ogni momento indivisibile occupa una posizione uguale a se stessa, cioè riposa, e l'intervallo di tempo è la somma di tali momenti indivisibili.

Questa aporia è diretta contro la nozione di valore continuo- come circa la somma di un numero infinito di particelle indivisibili.

"Stadio". Lascia che lo stadio si muova lungo linee parallele masse uguali alla stessa velocità ma in direzioni opposte. Sia riga, le masse stazionarie dire, riga - masse che si spostano a destra e riga - masse che si spostano a sinistra (Fig. 1). Consideriamo ora le masse. come indivisibile. In un momento indivisibile del tempo, passa una parte indivisibile dello spazio. Infatti, se in un momento indivisibile del tempo un certo corpo attraversasse più di una parte indivisibile dello spazio, allora l'istante indivisibile del tempo sarebbe divisibile, se minore sarebbe allora possibile dividere la parte indivisibile dello spazio. Consideriamo ora il movimento degli indivisibili l'uno rispetto all'altro: in due momenti di tempo indivisibili passeranno due parti indivisibili e allo stesso tempo conterà quattro parti indivisibili, cioè un momento indivisibile di tempo sarà divisibile.

Questa aporia può avere una forma leggermente diversa. Nello stesso tempo t, il punto passa la metà del segmento e l'intero segmento. Ma ogni momento indivisibile del tempo corrisponde a una parte indivisibile dello spazio attraversato durante questo tempo. Allora alcuni segmenti a e 2a contengono "lo stesso" numero di punti, "lo stesso" nel senso che si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di entrambi i segmenti. Questa è stata la prima volta che una tale corrispondenza è stata stabilita tra punti di segmenti di diversa lunghezza. Se assumiamo che la misura di un segmento sia ottenuta come somma delle misure degli indivisibili, la conclusione è paradossale.

2. Applicazione di una serie numerica

.1 Definizione

Sia data una sequenza numerica infinita

Definizione 1.1. Serie numeriche o semplicemente accantoè chiamata espressione (somma) della forma

I numeri sono chiamati membri di un numero, - generale o ennesimo un membro della fila.

Per definire la serie (1.1), basta definire la funzione dell'argomento naturale di calcolare il -esimo termine della serie per il suo numero

Dai termini della serie (1.1) formiamo un numero sequenza di parziale importi dove è la somma dei primi termini della serie, che si chiama n-e somma parziale, cioè.

…………………………….

Sequenza numerica con un aumento illimitato del numero può:

) hanno un limite finito;

) non hanno un limite finito (il limite non esiste o è uguale all'infinito).

Definizione 1.2. Viene chiamata la serie (1.1). convergente, se la successione delle sue somme parziali (1.5) ha un limite finito, cioè

In questo caso, il numero viene chiamato somma serie (1.1) ed è indicato

Definizione 1.3. Viene chiamata la serie (1.1). divergente, se la successione delle sue somme parziali non ha limite finito.

Nessuna somma è assegnata alla serie divergente.

Pertanto, il problema di trovare la somma delle serie convergenti (1.1) equivale a calcolare il limite della successione delle sue somme parziali.

.2 Proprietà di base delle serie numeriche

Le proprietà di una somma di un numero finito di termini differiscono da quelle di una serie, cioè somme di un numero infinito di termini. Quindi, nel caso di un numero finito di termini, possono essere raggruppati in qualsiasi ordine, questo non cambia la somma. Esistono serie convergenti (condizionatamente convergenti) per le quali, come mostra Riemann Georg Friedrich Bernhard, modificando opportunamente l'ordine dei loro termini, si può rendere la somma delle serie uguale a qualsiasi numero, e anche a una serie divergente.

Esempio 2.1.Considera una serie divergente della forma

Raggruppando i suoi membri a coppie, otteniamo una serie di numeri convergenti con somma uguale a zero:

Raggruppando invece i suoi membri a coppie, partendo dal secondo membro, otteniamo anche una serie convergente, ma con somma uguale a uno:

Le serie convergenti hanno determinate proprietà che ci consentono di trattarle come se fossero somme finite. Quindi possono essere moltiplicati per numeri, sommati e sottratti termine per termine. Possono combinare in gruppi qualsiasi termine adiacente.

Teorema 2.1. (Caratteristica richiesta convergenza in serie).

Se la serie (1.1) converge, allora il suo termine comune tende a zero al crescere di n indefinitamente, cioè,

La dimostrazione del teorema segue dal fatto che, e se

S è quindi la somma delle serie (1.1).

La condizione (2.1) è necessaria, ma non condizione sufficiente per la convergenza delle serie. Cioè, se il termine comune della serie tende a zero a, questo non significa che la serie converge. Ad esempio, per la serie armonica (1.2), invece, diverge.

Conseguenza(Un criterio sufficiente per la divergenza di una serie).

Se il termine comune della serie non tende a zero a, allora questa serie diverge.

Proprietà 2.1. La convergenza o divergenza di una serie non cambierà se si rimuove arbitrariamente da essa, si aggiunge ad essa, si riorganizza un numero finito di termini in essa (allo stesso tempo, per una serie convergente, la sua somma può cambiare).

La dimostrazione della proprietà segue dal fatto che la serie (1.1) e qualsiasi suo resto convergono o divergono simultaneamente.

Proprietà 2.2. Una serie convergente può essere moltiplicata per un numero, cioè, se la serie (1.1) converge, ha la somma S e c è un numero, allora

La dimostrazione deriva dal fatto che per somme finite abbiamo le uguaglianze

Proprietà 2.3. Le serie convergenti possono essere sommate e sottratte termine per termine, ad es. se le righe

convergere,

converge e la sua somma è cioè

La dimostrazione deriva dalle proprietà del limite delle somme finite, cioè

Segno di confronto

Lascia che ci siano due righe positive

e le condizioni sono soddisfatte per tutti n=1,2,…

Allora: 1) la convergenza della serie (3.2) implica la convergenza della serie (3.1);

) la divergenza della serie (3.1) implica la divergenza della serie (3.2).

Prova. 1. Converga la serie (3.2) e la sua somma uguale a B. La successione delle somme parziali della serie (3.1) è non decrescente e delimitata dall'alto dal numero B, cioè

Quindi, a causa delle proprietà di tali successioni, ne consegue che ha un limite finito, cioè la serie (3.1) converge.

Sia la serie (3.1) divergere. Allora, se la serie (3.2) converge, allora, in virtù del punto 1 dimostrato sopra, convergerebbe anche la serie originaria, il che contraddice la nostra condizione. Quindi anche la serie (3.2) diverge.

Questa caratteristica è convenientemente applicata alla determinazione della convergenza di serie confrontandole con serie la cui convergenza è già nota.

Segno di d'Alembert

Allora: 1) per q< 1 ряд (1.1) сходится;

) per q > 1 serie (1.1) diverge;

) per q = 1 nulla si può dire sulla convergenza della serie (1.1), sono necessari ulteriori studi.

Commento: Anche la serie (1.1) divergerà quando

Segno di Cauchy

Siano i termini della serie positiva (1.1) tali che esista un limite

Allora: 1) per q< 1 ряд (1.1) сходится;

) per q > 1 serie (1.1) diverge;

3) per q = 1 non si può dire nulla sulla convergenza della serie (1.1), sono necessari ulteriori studi.

Segno integrale di Cauchy - Maclaurin

Sia la funzione f(x) una funzione continua non negativa non crescente sull'intervallo

Allora la serie e l'integrale improprio convergono o divergono simultaneamente.

.3 Compiti

Le serie numeriche sono usate non solo in matematica, ma anche in numerose altre scienze. Vorrei fare alcuni esempi di tale utilizzo.

Ad esempio, per studiare le proprietà delle strutture rocciose clastiche. In pratica, l'uso del concetto di “struttura” è stato principalmente ridotto a caratterizzare i parametri dimensionali dei grani. A questo proposito, il concetto di "struttura" in petrografia non corrisponde al concetto di "struttura" in cristallografia, geologia strutturale e altre scienze della struttura della materia. In quest'ultimo, "struttura" è più in linea con il concetto di "trama" in petrografia e riflette il modo in cui lo spazio viene riempito. Se accettiamo che "struttura" sia un concetto spaziale, allora le seguenti strutture dovrebbero essere considerate vuote: strutture e trame secondarie o primarie; cristalline, chimiche, sostituzioni (corrosione, ricristallizzazione, ecc.), strutture deformanti, orientate, strutture residue, ecc. Pertanto, queste "strutture" sono dette "false strutture".

La struttura è un insieme di elementi strutturali caratterizzati dalle dimensioni dei grani e dai loro rapporti quantitativi.

Quando si eseguono classificazioni specifiche, con la sequenza vengono solitamente utilizzati parametri di grana lineare

sebbene le stime quantitative della prevalenza siano effettuate attraverso parametri areali (percentuali). Questa sequenza può essere di notevole lunghezza e non viene mai costruita. Solitamente si parla solo dei limiti di variazione dei parametri, nominando i valori massimo (max) e minimo (min) della granulometria.

Uno dei modi per rappresentare P4 è l'uso di serie numeriche, che sono costruite allo stesso modo della sequenza precedente, ma al posto di (?), viene inserito il segno della somma (+). La convoluzione di tutte le sequenze viene eseguita combinando elementi uguali e sommando le loro aree. Allora abbiamo la sequenza:

L'espressione significa che è stata misurata l'area occupata da tutte le sezioni di quei grani i, la cui dimensione è uguale.

Questa caratteristica dei grani permette di effettuare un'analisi numerica delle relazioni ottenute. Innanzitutto, il parametro può essere considerato come valori asse delle coordinate e quindi costruire un grafo S=f(l). In secondo luogo, la sequenza (RSl) 1 può essere classificata, ad esempio, in ordine decrescente di coefficienti, risultando in una serie

È questa serie che viene chiamata la struttura di una determinata sezione della roccia, è anche la definizione del concetto di "struttura". Il parametro è un elemento della struttura e il parametro k= è la lunghezza della struttura. Per costruzione, n=k. Questa rappresentazione della struttura consente di confrontare strutture diverse tra loro.

Inoltre, Butusov Kirill Pavlovich scoprì il fenomeno della "risonanza delle onde di battimento", sulla base del quale formulò la "legge dei periodi planetari", grazie alla quale i periodi delle rivoluzioni planetarie formano le serie numeriche di Fibonacci e Luke e dimostrò che il La “legge delle distanze planetarie” di Johann Titius è una conseguenza della “risonanza dell'onda del battito” (1977). Allo stesso tempo, ha scoperto la manifestazione della "sezione aurea" nella distribuzione di una serie di altri parametri dei corpi del sistema solare (1977). A questo proposito, sta lavorando alla creazione della "matematica d'oro" - nuovo sistema calcolo basato sul numero di Fidia (1.6180339), più adeguato per i compiti di astronomia, biologia, architettura, estetica, teoria musicale, ecc.

È noto dalla storia dell'astronomia che I. Titius, un astronomo tedesco del XVIII secolo, utilizzando questa serie di Fibonacci, trovò uno schema e un ordine nelle distanze tra i pianeti sistema solare.

Tuttavia, un caso che sembrava essere contro la legge: non c'era nessun pianeta tra Marte e Giove. L'osservazione mirata di questa regione del cielo ha portato alla scoperta della cintura degli asteroidi. Ciò accadde dopo la morte di Tizio all'inizio del XIX secolo. La serie di Fibonacci è ampiamente utilizzata: con il suo aiuto, rappresentano l'architettura degli esseri viventi, le strutture artificiali e la struttura delle Galassie. Questi fatti sono la prova dell'indipendenza della serie numerica dalle condizioni della sua manifestazione, che è uno dei segni della sua universalità.

La crittografia è la scienza della metodi matematici garantire la riservatezza (l'impossibilità di leggere le informazioni a estranei) e l'autenticità (l'integrità e l'autenticità della paternità, nonché l'impossibilità di rifiutare la paternità) delle informazioni. La stragrande maggioranza dei moderni sistemi crittografici utilizza algoritmi di flusso o di blocco basati su vari tipi cifrari di sostituzione e permutazione. Sfortunatamente, quasi tutti gli algoritmi utilizzati nei crittosistemi di streaming sono destinati all'uso nei sistemi di comunicazione militari e governativi e, in alcuni casi, anche per proteggere le informazioni commerciali, il che le rende naturalmente segrete e inaccessibili per la revisione. Gli unici algoritmi di crittografia del flusso standard sono già lo standard DES americano (modalità CFB e OFB) e lo standard russo GOST 28147-89 (modalità gamma). Allo stesso tempo, vengono classificati gli algoritmi di crittografia del flusso utilizzati in questi standard.

Le basi del funzionamento dei crittosistemi a flusso sono generatori di sequenze casuali o pseudocasuali. Consideriamo questa domanda in modo più dettagliato.

Sequenze pseudocasuali

Le chiavi segrete sono alla base delle trasformazioni crittografiche, per le quali, seguendo la regola di Kerckhoff, la forza di un buon sistema di crittografia è determinata solo dalla segretezza della chiave. Tuttavia, in pratica, la creazione, la distribuzione e l'archiviazione di chiavi è stata raramente un'attività tecnicamente complessa, anche se costosa. Il problema principale della crittografia classica per molto tempo era la difficoltà nel generare sequenze binarie imprevedibili di grande lunghezza utilizzando una breve chiave casuale. Per risolverlo, sono ampiamente utilizzati generatori di sequenze binarie pseudocasuali. Progressi significativi nello sviluppo e nell'analisi di questi generatori furono raggiunti solo all'inizio degli anni Sessanta. Pertanto, questo capitolo discute le regole per derivare le chiavi e generare lunghe sequenze pseudocasuali basate su di esse, che vengono utilizzate dai sistemi crittografici per convertire i messaggi in crittografia.

Ricevute a livello di codice dalla chiave, le serie di numeri casuali o pseudocasuali sono chiamate gamma nel gergo dei crittografi domestici, con il nome y - le lettere dell'alfabeto greco, che sono indicate in notazione matematica variabili casuali. È interessante notare che nel libro "Strangers on the Bridge", scritto dall'avvocato dell'intelligence di Abel, viene dato il termine gamma, che gli specialisti della CIA hanno contrassegnato con il commento - "esercizio musicale?", cioè negli anni Cinquanta hanno non ne conosceva il significato. Ottenere e moltiplicare realizzazioni di vere serie casuali è pericoloso, difficile e costoso. Modellazione fisica della casualità utilizzando tale fenomeni fisici, come radiazione, il rumore di sparo in un tubo elettronico o la rottura del tunneling di un diodo zener a semiconduttore non danno processi casuali reali. Sebbene ci siano casi di applicazioni di successo nella generazione di chiavi, ad esempio, nel dispositivo crittografico russo KRYPTON. Pertanto, invece di processi fisici per generare gamma, vengono utilizzati programmi per computer, che, sebbene siano chiamati generatori numeri casuali, ma in realtà fornisce serie numeriche deterministiche, che sembrano solo casuali nelle loro proprietà. A loro è richiesto, pur conoscendo la legge della formazione, ma non conoscendo la chiave nella forma condizioni iniziali, nessuno poteva distinguere una serie numerica da una casuale, come se fosse ottenuta lanciando l'ideale dado. Esistono tre requisiti principali per una sequenza pseudocasuale crittograficamente sicura o un generatore gamma:

Il periodo gamma deve essere sufficientemente grande da crittografare messaggi di varia lunghezza.

La gamma dovrebbe essere difficile da prevedere. Ciò significa che se si conoscono il tipo del generatore e il pezzo di gamma, è impossibile prevedere il prossimo bit di gamma dopo questo pezzo con una probabilità maggiore di x. Se un crittoanalista viene a conoscenza di una parte della bilancia, non può ancora determinare i bit che la precedono o la seguono.

La generazione gamma non deve essere associata a grandi difficoltà tecniche e organizzative.

Sequenze di Fibonacci

Un'interessante classe di generatori di numeri casuali è stata ripetutamente proposta da molti specialisti dell'aritmetica intera, in particolare George Marsalia e Arif Zeiman. I generatori di questo tipo si basano sull'uso di sequenze di Fibonacci. Un classico esempio di tale sequenza è (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…). Ad eccezione dei primi due termini, ogni termine successivo è uguale alla somma dei due precedenti. Se prendi solo l'ultima cifra di ogni numero nella sequenza, ottieni una sequenza di numeri (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4 ...) Se questa sequenza viene utilizzata per inizializzare un array di grande lunghezza, quindi, utilizzando questo array, puoi creare un generatore di numeri di Fibonacci casuali con un ritardo, in cui vengono aggiunti numeri non adiacenti, ma remoti. Marsalia e Zeiman hanno proposto di introdurre nello schema di Fibonacci un "carry bit", che può avere un valore iniziale di 0 o 1. Il generatore di "carry addizione" costruito su questa base acquisisce proprietà interessanti, sulla base di essi, è possibile creare sequenze il cui periodo è molto maggiore di quello dei generatori congruenti attualmente utilizzati. Secondo l'espressione figurativa di Marsalia, i generatori di questa classe possono essere considerati amplificatori della casualità. "Prendete un riempimento casuale lungo diverse migliaia di bit e generate lunghe sequenze di numeri casuali." Tuttavia, un lungo periodo di per sé non è una condizione sufficiente. Le debolezze nelle scale possono essere difficili da rilevare e l'analista deve applicare sofisticate tecniche di analisi delle sequenze per evidenziare determinati modelli che sono nascosti in una vasta gamma di numeri.

conclusioni

Le serie sono ampiamente utilizzate in matematica e nelle sue applicazioni, negli studi teorici e nelle soluzioni numeriche approssimative di problemi. Molti numeri possono essere scritti come serie speciali, con l'aiuto della quale è conveniente calcolare i loro valori approssimativi con la precisione richiesta. Il metodo di espansione in serie è metodo efficace funzioni di apprendimento. Viene utilizzato per calcolare i valori approssimativi delle funzioni, per calcolare e valutare integrali, per risolvere tutti i tipi di equazioni (algebriche, differenziali, integrali).

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Le proprietà di una somma di un numero finito di termini differiscono dalle proprietà di una serie, cioè la somma di un numero infinito di termini. Quindi, nel caso di un numero finito di termini, possono essere raggruppati in qualsiasi ordine, questo non cambia la somma. Esistono serie convergenti (condizionatamente convergenti, di cui parleremo nella sezione 5) per le quali, come mostrato da Riemann Riemann Georg Friedrich Bernhard (1826 - 1866), matematico tedesco, modificando opportunamente l'ordine dei loro termini, si può rendere la somma della serie uguale a qualsiasi numero desiderato e anche a una serie divergente.

Esempio 2.1. Consideriamo una serie divergente della forma (1.7)

Raggruppando i suoi membri a coppie, otteniamo una serie di numeri convergenti con somma uguale a zero:

Raggruppando invece i suoi membri a coppie, partendo dal secondo membro, otteniamo anche una serie convergente, ma con somma uguale a uno:

Teorema 2.1. (Un criterio necessario per la convergenza di una serie).

Se la serie (1.1) converge, allora il suo termine comune tende a zero quando n aumenta indefinitamente, cioè

La dimostrazione del teorema segue dal fatto che, e se

S è quindi la somma delle serie (1.1).

La condizione (2.1) è una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Cioè, se il termine comune della serie tende a zero a, questo non significa che la serie converge. Ad esempio, per la serie armonica (1.2), invece, come verrà mostrato in seguito, diverge.

Corollario (Criterio sufficiente per la divergenza di una serie).

Se il termine comune della serie non tende a zero poiché, allora questa serie diverge.

Esempio 2.2. Indagare per serie di convergenza

Per questa riga

Pertanto, questa serie diverge.

Le serie divergenti (1.6), (1.7) sopra considerate sono anche serie divergenti in quanto non soddisfano il criterio necessario per la convergenza. Per la serie (1.6), il limite per la serie (1.7) non esiste.

Proprietà 2.1 . La convergenza o divergenza di una serie non cambierà se si rimuove arbitrariamente da essa, si aggiunge ad essa, si riorganizza un numero finito di termini in essa (allo stesso tempo, per una serie convergente, la sua somma può cambiare).

La dimostrazione della proprietà segue dal fatto che la serie (1.1) e qualsiasi suo resto convergono o divergono simultaneamente.

Proprietà 2.2 . Una serie convergente può essere moltiplicata per un numero, cioè, se la serie (1.1) converge, ha la somma S e c è un numero, allora

La dimostrazione deriva dal fatto che per somme finite abbiamo le uguaglianze

Proprietà 2.3. Le serie convergenti possono essere sommate e sottratte termine per termine, cioè se la serie,

convergere,

poi una fila

converge e la sua somma è cioè.

La dimostrazione deriva dalle proprietà del limite delle somme finite, cioè

Esempio 2.3. Calcola la somma di una serie

Rappresentiamo il termine comune della serie nella forma

Quindi la serie originale può essere rappresentata come una differenza termine per termine di due serie convergenti di una progressione geometrica

Usando la formula (1.8), calcoliamo le somme delle serie corrispondenti di una progressione geometrica.

Per la prima fila, dunque

Per la seconda fila, dunque

Finalmente abbiamo

1. Serie numeriche: concetti di base, condizioni necessarie per la convergenza di una serie. Il resto della fila.

2. Serie con termini positivi e segni di convergenza: segni di confronto, d'Alembert, Cauchy.

3. Righe alternate, il test di Leibniz.

1. Definizione di una serie numerica. Convergenza

Nelle applicazioni matematiche, oltre che nella risoluzione di alcuni problemi di economia, statistica e altro, vengono considerate somme con un numero infinito di termini. Definiamo qui cosa si intende per tali importi.

Sia data una sequenza numerica infinita

Definizione 1.1. Serie numeriche o semplicemente accantoè chiamata espressione (somma) della forma

. (1.1)

Numeri chiamato membri di un numero, –generale o ennesimo un membro della fila.

Per impostare la serie (1.1) è sufficiente impostare la funzione dell'argomento naturale di calcolare il esimo membro della serie per il suo numero

Esempio 1.1. Permettere . Riga

(1.2)

chiamato serie armonica.

Esempio 1.2. Lascia Row

(1.3)

chiamato serie armonica generalizzata. In un caso particolare, in , si ottiene una serie armonica.

Esempio 1.3. Lascia =. Riga

chiamato accanto a una progressione geometrica.

Dai termini della serie (1.1) formiamo un numero sequenza di parziale importi dove - la somma dei primi termini della serie, che si chiama n-e somma parziale, cioè.

…………………………….

Sequenza numerica con aumento illimitato del numero, può:

1) avere un limite finito;

2) non hanno un limite finito (il limite non esiste o è uguale all'infinito).

Definizione 1.2. Viene chiamata la serie (1.1). convergente, se la successione delle sue somme parziali (1.5) ha un limite finito, cioè

In questo caso, il numero viene chiamato somma serie (1.1) ed è scritto

Definizione 1.3. Viene chiamata la serie (1.1). divergente, se la successione delle sue somme parziali non ha limite finito.

Nessuna somma è assegnata alla serie divergente.

Pertanto, il problema di trovare la somma delle serie convergenti (1.1) equivale a calcolare il limite della successione delle sue somme parziali.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1.4. Dimostralo la serie

converge e trova la sua somma.

Troviamo la somma parziale n-esima della serie data.

Membro comune rappresentiamo la serie nella forma .

Quindi abbiamo: . Pertanto, questa serie converge e la sua somma è uguale a 1:

Esempio 1.5. Indagare per serie di convergenza

Per questa riga

. Pertanto, questa serie diverge.

Commento. Infatti, la serie (1.6) è la somma di un numero infinito di zeri ed è ovviamente convergente.

2. Proprietà di base delle serie numeriche

Le proprietà di una somma di un numero finito di termini differiscono dalle proprietà di una serie, cioè la somma di un numero infinito di termini. Quindi, nel caso di un numero finito di termini, possono essere raggruppati in qualsiasi ordine, questo non cambia la somma. Esistono serie convergenti (condizionatamente convergenti, che saranno considerate nella Sezione 5) per le quali, come ha mostrato Riemann * , modificando opportunamente l'ordine dei loro membri, si può far sì che la somma delle serie sia uguale a qualsiasi numero, e anche a una serie divergente.

Esempio 2.1. Consideriamo una serie divergente della forma (1.7)

Raggruppando i suoi membri a coppie, otteniamo una serie di numeri convergenti con somma uguale a zero:

Raggruppando invece i suoi membri a coppie, partendo dal secondo membro, otteniamo anche una serie convergente, ma con somma uguale a uno:

Teorema 2.1.(Un criterio necessario per la convergenza di una serie).

Se la serie (1.1) converge, allora il suo termine generale tende a zero al crescere di n indefinitamente, cioè,

La dimostrazione del teorema deriva dal fatto che , e se

S è quindi la somma delle serie (1.1).

La condizione (2.1) è una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Cioè, se il termine comune della serie tende a zero in , questo non significa che la serie converge. Ad esempio, per la serie armonica (1.2) tuttavia, come verrà mostrato di seguito, diverge.

Conseguenza(Un criterio sufficiente per la divergenza di una serie).

Se il termine comune della serie non tende a zero a, allora questa serie diverge.

Esempio 2.2. Indagare per serie di convergenza

Per questa riga

Pertanto, questa serie diverge.

Le serie divergenti (1.6), (1.7) sopra considerate sono anche serie divergenti in quanto non soddisfano il necessario criterio di convergenza.Per la serie (1.6), il limite per la serie (1.7) il limite non esiste.

La prova della proprietà deriva dal fatto che la serie (1.1) e qualsiasi suo resto convergere o divergere allo stesso tempo.

Proprietà 2.2. Una serie convergente può essere moltiplicata per un numero, cioè, se la serie (1.1) converge, ha la somma S e c è un numero, allora

La dimostrazione deriva dal fatto che per somme finite abbiamo le uguaglianze

Proprietà 2.3. Le serie convergenti possono essere sommate e sottratte termine per termine, cioè se la serie ,

convergere,

converge e la sua somma è cioè

La dimostrazione deriva dalle proprietà del limite delle somme finite, cioè

INTRODUZIONE

Il manuale è destinato agli insegnanti di matematica nelle scuole tecniche, nonché agli studenti del secondo anno di tutte le specialità.

In questo articolo presentiamo i concetti di base della teoria delle serie. Il materiale teorico soddisfa i requisiti dello standard educativo statale dell'istruzione professionale secondaria (Ministero dell'istruzione Federazione Russa. M., 2002).

Dichiarazione materiale teorico tutto l'argomento è accompagnato da una considerazione di un gran numero di esempi e compiti, è condotto in un linguaggio accessibile, se possibile, rigoroso. Alla fine del manuale ci sono esempi e compiti che gli studenti possono svolgere in modalità di autocontrollo.

Il manuale è destinato a studenti di corrispondenza e forme di studio a tempo pieno.

Considerato il livello di preparazione degli studenti delle scuole tecniche, nonché il numero estremamente limitato di ore (12 ore + 4 lbs.) assegnate dal programma per il superamento della matematica superiore nelle scuole tecniche, conclusioni rigorose, che presentano grandi difficoltà di assimilazione, sono omesso, limitato alla considerazione di esempi.

CONCETTI BASILARI

La soluzione di un problema presentato in termini matematici, ad esempio, sotto forma di una combinazione di varie funzioni, loro derivate e integrali, deve essere in grado di "portare a un numero", che molto spesso funge da risposta finale. Per questo, sono stati sviluppati vari metodi in vari rami della matematica.

La sezione della matematica che consente di risolvere qualsiasi problema ben posto con sufficiente accuratezza per l'uso pratico è chiamata teoria delle serie.

Anche se alcuni concetti sottili dell'analisi matematica sono apparsi fuori connessione con la teoria delle serie, sono stati immediatamente applicati alle serie, che sono servite come strumento per verificare la validità di questi concetti. Questa situazione continua ancora oggi.

Espressione della forma

dove ;;;…;;… sono i membri della serie; - ennesimo o un membro comune di una serie, è chiamata serie infinita (numero).

Se i membri della serie:

I. Serie numerica

1.1. Concetti di base delle serie numeriche.

Una serie numerica è una somma della forma

, (1.1)

dove ,,,…,,…, chiamati membri della serie, formano una sequenza infinita; un membro è chiamato membro comune della serie.

composte dai primi termini della serie (1.1) sono dette somme parziali di questa serie.

Ad ogni riga può essere associata una sequenza di somme parziali .

Se con un aumento infinito del numero n la somma parziale delle serie tende al limite, allora la serie si dice convergente e il numero si dice somma delle serie convergenti, cioè

Questa voce è equivalente alla voce

Se la somma parziale della serie (1.1) con aumento illimitato n non ha un limite finito ( tende a o ), allora viene chiamata tale serie divergente .

Se la fila convergente , quindi il valore per sufficientemente grande n è un'espressione approssimativa per la somma delle serie S.

La differenza è chiamata il resto della serie. Se la serie converge, allora il suo resto tende a zero, cioè, e viceversa, se il resto tende a zero, allora la serie converge.

1.2. Esempi di serie numeriche.

Esempio 1. Una serie del modulo

(1.2)

chiamato geometrico .

La serie geometrica è formata dai membri di una progressione geometrica.

È noto che la somma del suo primo n membri. Ovviamente questo è n- esima somma parziale della serie (1.2).

Possibili casi:

La serie (1.2) assume la forma:

, la serie diverge;

La serie (1.2) assume la forma:

Non ha limite, la serie diverge.

è un numero finito, la serie converge.

- la serie diverge.

Quindi, questa serie converge e diverge in .

Esempio 2. Una serie del modulo

(1.3)

chiamato armonico .

Scriviamo la somma parziale di questa serie:

L'importo è maggiore dell'importo presentato come segue:

o .

Se poi , o .

Pertanto, se , allora , cioè la serie armonica diverge.

Esempio 3. Una serie del modulo

(1.4)

chiamato armonica generalizzata .

Se , allora questa serie si trasforma in una serie armonica, che è divergente.

Se , allora i termini di questa serie sono maggiori dei corrispondenti termini della serie armonica e, quindi, divergono. Quando abbiamo una serie geometrica in cui ; è convergente.

Quindi, la serie armonica generalizzata converge e diverge in .

1.3. Criteri necessari e sufficienti per la convergenza.

Un criterio necessario per la convergenza di una serie.

La serie può convergere solo se il suo termine comune tende a zero all'aumentare del numero senza limiti: .

Se , allora la serie diverge - questo è un criterio sufficiente per la divergenza della serie.

Condizioni sufficienti per la convergenza di una serie a termini positivi.

Segno di confronto di serie a termini positivi.

La serie in esame converge se i suoi membri non superano i membri corrispondenti di un'altra serie ovviamente convergente; la serie in esame diverge se i suoi termini superano i termini corrispondenti di un'altra serie ovviamente divergente.

Segno di d'Alembert.

Se per una serie con termini positivi

condizione è soddisfatta, allora la serie converge a e diverge a .

Il segno di d'Alembert non dà risposta se . In questo caso, vengono utilizzati altri metodi per studiare la serie.

Esercizi.

Scrivi una serie in base al suo termine comune dato:

Supponendo ,,,…, abbiamo una sequenza infinita di numeri:

Aggiungendo i suoi termini, otteniamo la serie

Facendo lo stesso, otteniamo la serie

Dando i valori 1,2,3,… e tenendo conto che,,,…, otteniamo le serie

Trova n- esimo termine della serie secondo i primi termini dati:

I denominatori dei membri della serie, a partire dal primo, sono numeri pari; Di conseguenza, n- Il esimo termine della serie ha la forma .

I numeratori dei membri della serie formano una serie naturale di numeri, ed i corrispondenti denominatori formano una serie naturale di numeri, ed i corrispondenti denominatori formano una serie naturale di numeri, a partire da 3. I segni si alternano secondo la legge o secondo alla legge. Significa, n- Il esimo termine della serie ha la forma . o .

Indagare la convergenza delle serie utilizzando il necessario test di convergenza e il test di confronto:

;

Noi troviamo .

Il criterio necessario per la convergenza delle serie è soddisfatto, ma per risolvere la questione della convergenza occorre applicare uno dei criteri di convergenza sufficienti. Confronta questa serie con la serie geometrica

che converge da allora.

Confrontando i termini di questa serie, a partire dalla seconda, con i corrispondenti termini della serie geometrica, otteniamo le disuguaglianze

quelli. i termini di questa serie, a partire dalla seconda, sono corrispondentemente minori dei termini della serie geometrica, da cui segue che la serie data converge.

Qui è soddisfatto un criterio sufficiente per la divergenza delle serie; quindi la serie diverge.

Noi troviamo .

Il criterio necessario per la convergenza delle serie è soddisfatto. Confrontiamo questa serie con la serie armonica generalizzata

che converge, poiché, quindi, converge anche la serie data.

Indagare la convergenza delle serie utilizzando il test di d'Alembert:

;

Sostituendo nel termine comune della serie invece di n numero n+ 1, otteniamo. Troviamo il limite del rapporto tra il -esimo termine e n- mu membro presso:

Pertanto, questa serie converge.

Quindi questa serie diverge.

Quelli. la fila diverge.

II. serie alternata

2.1 Il concetto di serie alternata.

Serie numerica

chiamato alternato se i suoi membri includono sia numeri positivi che negativi.

Viene chiamata la linea dei numeri alternato se due termini adiacenti hanno segni opposti.

dove per tutti (cioè una serie i cui termini positivi e negativi si susseguono a turno). Per esempio,

;

Per le serie alternate esiste un criterio di convergenza sufficiente (stabilito nel 1714 da Leibniz in una lettera a I. Bernoulli).

2.2 Segno di Leibniz. Convergenza assoluta e condizionale delle serie.

Teorema (test di Leibniz).

Una serie alternata converge se:

La sequenza dei valori assoluti dei termini della serie diminuisce monotonicamente, ad es. ;

Il termine comune della serie tende a zero:.

Inoltre, la somma S della serie soddisfa le disuguaglianze

Osservazioni.

Studio di una serie alternata della forma

(con un primo termine negativo) si riduce moltiplicando tutti i suoi termini per lo studio della serie .

Si chiamano serie per le quali sono soddisfatte le condizioni del teorema di Leibniz Leibniziano (o serie di Leibniz).

La relazione ci permette di ottenere una stima semplice e conveniente dell'errore che commettiamo sostituendo la somma S di questa serie per la sua somma parziale.

Anche la serie scartata (resto) è una serie alternata , la cui somma è minore del primo termine di questa serie, cioè l'errore è minore del modulo del primo dei termini scartati.

Esempio. Calcola approssimativamente la somma delle serie.

Soluzione: data serie di tipo Leibniz. Egli converge. Tu puoi scrivere:

Prendendo cinque termini, cioè sostituibile

Facciamo un errore più piccolo

come . Così,.

Per le serie alternate, si verifica il seguente criterio generale sufficiente per la convergenza.

Teorema. Sia data una serie alternata

Se la serie converge

composta dai moduli dei membri della serie data, allora converge la serie alternata stessa.

Il criterio di convergenza di Leibniz per le serie alternate è un criterio sufficiente per la convergenza delle serie alternate.

Si chiama la serie alternata assolutamente convergente , se converge una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri, cioè ogni serie assolutamente convergente è convergente.

Se una serie alternata converge e una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri diverge, allora questa serie è chiamata condizionatamente (non assoluto) convergente.

2.3. Esercizi.

Esaminare per convergenza (assoluta o condizionale) una serie alternata:

Pertanto, secondo il test di Leibniz, la serie converge. Scopriamo se questa serie converge in modo assoluto o condizionale.

Riga , composta dai valori assoluti della serie data, è una serie armonica divergente. Pertanto, questa serie converge condizionatamente.

I termini di questa serie diminuiscono monotonicamente in valore assoluto:

, ma

La serie diverge perché il test di Leibniz non regge.

Usando il test di Leibniz, otteniamo

quelli. la serie converge.

Questa è una serie geometrica della forma dove, che converge. Pertanto, questa serie converge assolutamente.

Usando il test di Leibniz, abbiamo

;

, cioè. la serie converge.

Consideriamo una serie composta dai valori assoluti dei termini di questa serie:

, o

Questa è una serie armonica generalizzata che diverge, poiché. Pertanto, questa serie converge condizionatamente.

III. Gamma funzionale

3.1. Il concetto di serie funzionale.

Viene chiamata una serie i cui membri sono funzioni di funzionale :

Dando un certo valore otteniamo una serie di numeri

che possono essere convergenti o divergenti.

Se la serie numerica risultante converge, viene chiamato il punto punto di convergenza fila funzionale; se la serie diverge punto di divergenza fila funzionale.

L'insieme dei valori numerici dell'argomento, a cui converge la serie funzionale, è detto suo regione di convergenza .

Nella regione di convergenza di una serie funzionale, la sua somma è una certa funzione di :.

È definito nella regione di convergenza dall'uguaglianza

, dove

Somma parziale di una serie.

Esempio. Trova l'area di convergenza della serie.

Soluzione. Questa serie è una serie di progressioni geometriche con denominatore. Pertanto, questa serie converge per , cioè per tutti ; la somma della serie è ;

, a .

3.2. Serie di potenze.

Una serie di potenze è una serie della forma

dove sono i numeri chiamato coefficienti di serie , e il termine è un termine comune della serie.

La regione di convergenza di una serie di potenze è l'insieme di tutti i valori per i quali converge la serie.

Il numero è chiamato raggio di convergenza serie di potenze, se per , la serie converge e, inoltre, assolutamente, e per , la serie diverge.

Troviamo il raggio di convergenza usando il test di d'Alembert:

(non dipende da),

quelli. Se serie di potenze converge per ogni soddisfa questa condizione e diverge per .

Ne consegue che se c'è un limite

allora il raggio di convergenza della serie è uguale a questo limite e la serie di potenze converge a , cioè, in mezzo al quale è chiamato intervallo (intervallo) di convergenza.

Se, allora la serie di potenze converge in un unico punto.

Alle estremità dell'intervallo, la serie può convergere (assolutamente o condizionatamente), ma può anche divergere.

La convergenza delle serie di potenze per e viene studiata utilizzando uno dei criteri di convergenza.

3.3. Esercizi.

Trova l'area di convergenza della serie:

Soluzione. Trova il raggio di convergenza di questa serie:

Pertanto, questa serie converge assolutamente sull'asse dei numeri interi.

Soluzione. Usiamo il segno di d'Alembert. Per questa serie abbiamo:

La serie converge assolutamente se o . Studiamo il comportamento delle serie agli estremi dell'intervallo di convergenza.

Perché abbiamo una serie

Perché abbiamo una serie è anche una serie convergente di Leibniz. Pertanto, la regione di convergenza della serie originale è un segmento.

Soluzione. Trova il raggio di convergenza della serie:

Pertanto, la serie converge a, cioè a.

Prendiamo una serie , che converge secondo il test di Leibniz.

Prendiamo una serie divergente

Pertanto, la regione di convergenza della serie originale è l'intervallo.

IV. Decomposizione funzioni elementari nella serie di Maclaurin.

Per le applicazioni, è importante essere in grado di farlo questa funzione espandersi in una serie di potenze, cioè rappresentare la funzione come somma di una serie di potenze.

Una serie di Taylor per una funzione è chiamata serie di potenze della forma

Se , allora otteniamo un caso speciale della serie di Taylor

che è chiamato vicino a Maclaurin .

Una serie di potenze all'interno del suo intervallo di convergenza può essere differenziata termine per termine e integrata tutte le volte che si desidera e le serie risultanti hanno lo stesso intervallo di convergenza della serie originale.

Due serie di potenze possono essere sommate e moltiplicate termine per termine secondo le regole dell'addizione e della moltiplicazione dei polinomi. In questo caso, l'intervallo di convergenza della nuova serie risultante coincide con la parte comune degli intervalli di convergenza della serie originaria.

Per espandere una funzione in una serie di Maclaurin, è necessario:

Calcola i valori della funzione e le sue derivate successive nel punto , cioè,,,…,;

Componi una serie di Maclaurin sostituendo i valori di una funzione e le sue derivate successive nella formula della serie di Maclaurin;

Trova l'intervallo di convergenza della serie risultante dalla formula

, .

Esempio 1. Espandere una funzione in una serie di Maclaurin.

Soluzione. Perché , quindi, sostituendo nell'espansione, otteniamo:

Esempio 2. Scrivi la serie di Maclaurin della funzione .

Soluzione. Poiché , quindi utilizzando la formula in cui sostituiamo con , otteniamo:

Esempio 3. Espandere la funzione in una serie di Maclaurin.

Soluzione. Usiamo la formula. Perché

, quindi sostituendo con otteniamo:

, o

dove, cioè .

V. Compiti pratici per l'autocontrollo degli studenti.

Stabilire la convergenza utilizzando il test di confronto delle serie

converge condizionatamente;

corrisponde assolutamente.

;

VII. Riferimento storico.

La soluzione di molti problemi si riduce al calcolo dei valori di funzioni e integrali o alla soluzione di equazioni differenziali contenenti derivate o differenziali di funzioni incognite.

Tuttavia, l'esatta esecuzione di queste operazioni matematiche in molti casi risulta essere molto difficile o impossibile. In questi casi, è possibile ottenere una soluzione approssimativa di molti problemi con la precisione desiderata utilizzando le serie.

Le serie sono uno strumento semplice e perfetto di analisi matematica per il calcolo approssimativo di funzioni, integrali e soluzioni di equazioni differenziali.

E in piedi sul lato destro del funzionale.

Per mettere un segno di uguale al posto del segno “”, è necessario svolgere qualche ragionamento aggiuntivo relativo proprio all'infinito del numero di termini sul lato destro dell'uguaglianza e riguardante la regione di convergenza della serie.

Quando la formula di Taylor assume la forma in cui è chiamata formula di Maclaurin:

Colin Maclaurin (1698 - 1746), studioso di Newton, nel suo Trattato sulle Flussi (1742) stabilì che esiste una sola serie di potenze che esprima una funzione analitica, e questa sarà la serie di Taylor generata da tale funzione. Nella formula binomiale di Newton, i coefficienti alle potenze sono i valori, dove .

Quindi, le file sorsero nel 18 ° secolo. come un modo per rappresentare funzioni che consentono la differenziazione infinita. Tuttavia, la funzione rappresentata dalla serie non era chiamata somma, e in generale a quel tempo non era ancora determinato quale fosse la somma di una serie numerica o funzionale, ci furono solo tentativi di introdurre questo concetto.

Ad esempio, L. Euler (1707-1783), dopo aver scritto una serie di potenze corrispondente a una funzione, attribuì alla variabile un valore specifico. Ho una linea numerica. Eulero considerava il valore della funzione originale nel punto come la somma di questa serie. Ma questo non è sempre vero.

Il fatto che la serie divergente non abbia somma, gli scienziati hanno iniziato a indovinare solo nel 19° secolo, sebbene nel 18° secolo. molti, e soprattutto L. Euler, hanno lavorato molto sui concetti di convergenza e divergenza. Eulero chiama una serie convergente se il suo termine comune tende a zero come .

Nella teoria delle serie divergenti, Eulero ottenne molti risultati significativi, ma questi risultati non trovarono applicazione per molto tempo. Già nel 1826 NG Abele (1802 - 1829) definì le file divergenti "fabbricazione diabolica". I risultati di Eulero trovarono giustificazione solo alla fine del XIX secolo.

Nella formazione del concetto di somma di una serie convergente, lo scienziato francese O.L. Cauchy (1789 - 1857); fece moltissimo non solo nella teoria delle serie, ma anche nella teoria dei limiti, nello sviluppo del concetto stesso di limite. Nel 1826 Cauchy ha affermato che una serie divergente non ha somma.

Nel 1768 Il matematico e filosofo francese J.L. D'Alembert studiò il rapporto tra il termine successivo e il precedente nella serie binomiale e mostrò che se questo rapporto è inferiore a uno in valore assoluto, allora la serie converge. Cauchy nel 1821 dimostrato un teorema affermando in vista generale un segno di convergenza di serie segno-positive, ora chiamato segno d'Alembert.

Per studiare la convergenza di serie alternate viene utilizzato il test di Leibniz.

GV Leibniz (1646 - 1716), il grande matematico e filosofo tedesco, insieme a I. Newton, è il fondatore del calcolo differenziale e integrale.

Bibliografia:

Principale:

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Vygodsky M.Ya., Manuale di matematica superiore. M., "Nauka", 1975 - 872 pag.;

Aggiuntivo:

Gusak AA, Matematica superiore. In 2 voll., Vol. 2: Libro di testo per studenti universitari. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 pag.;
Griguletsky V.G., Lukyanova IV, Petunina I.A., Matematica per studenti di specialità economiche. Parte 2. Krasnodar, 2002 - 348 pag.;
Griguletsky V.G. ecc. Libro delle attività in matematica. Krasnodar. KSAU, 2003 - 170 pag.;
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Malykhin VI, Matematica in Economia. M., "Infra-M", 1999 - 356s.

MATEMATICA SUPERIORE

Serie numerica

Conferenza.Serie numerica

1. Definizione di una serie numerica. Convergenza

2. Proprietà di base delle serie numeriche

3. Serie con termini positivi. Segni di convergenza

4. File alternati. Test di convergenza di Leibniz

5. Serie alternata

Domande per l'autoesame

Letteratura

Conferenza. SERIE NUMERICA

1. Definizione di una serie numerica. Convergenza.

2. Proprietà di base delle serie numeriche.

3. Serie con termini positivi. Segni di convergenza.

4. File alternati. Criterio di convergenza di Leibniz.

5. Serie alternata.

1. Definizione di una serie numerica. Convergenza

Sia data una sequenza numerica infinita

, , …, , …

Definizione 1.1. Serie numeriche o semplicemente accantoè chiamata espressione (somma) della forma

. (1.1) sono chiamati membri di un numero, – generale o n – m un membro della fila.

Per definire la serie (1.1), è sufficiente definire la funzione dell'argomento naturale

calcolo del esimo termine della serie per il suo numero

Esempio 1.1. Permettere

. Riga (1.2)

chiamato serie armonica .

Esempio 1.2. Permettere

, Serie (1.3)

chiamato serie armonica generalizzata. In un caso particolare, quando

si ottiene una serie armonica.

Esempio 1.3. Permettere

= . Riga (1.4)

chiamato accanto a una progressione geometrica.

Dai termini della serie (1.1) formiamo un numero sequenza di parzialeimporti dove

è la somma dei primi termini della serie, che si chiama n-e somma parziale, cioè. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Sequenza numerica

con un aumento illimitato del numero può:

1) avere un limite finito;

2) non hanno un limite finito (il limite non esiste o è uguale all'infinito).

Definizione 1.2. Viene chiamata la serie (1.1). convergente, se la successione delle sue somme parziali (1.5) ha un limite finito, cioè

In questo caso, il numero

chiamato somma serie (1.1) e si scrive .

Definizione 1.3.Viene chiamata la serie (1.1). divergente, se la successione delle sue somme parziali non ha limite finito.

Nessuna somma è assegnata alla serie divergente.

Pertanto, il problema di trovare la somma delle serie convergenti (1.1) equivale a calcolare il limite della successione delle sue somme parziali.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1.4. Dimostralo la serie

converge e trova la sua somma.

Cerchiamo n- la somma parziale della serie data

Membro comune

rappresentiamo la serie nella forma .

Quindi abbiamo:

. Pertanto, questa serie converge e la sua somma è uguale a 1:

Esempio 1.5. Indagare per serie di convergenza

(1.6)

Per questa riga

. Pertanto, questa serie diverge.

Commento. In

la serie (1.6) è la somma di un numero infinito di zeri ed è ovviamente convergente.

Esempio 1.6. Indagare per serie di convergenza

(1.7)

Per questa riga

In questo caso, il limite della sequenza delle somme parziali

non esiste e la serie diverge.

Esempio 1.7. Indagare la convergenza delle serie di progressione geometrica (1.4):

È facile mostrarlo n-esima somma parziale di una serie di progressioni geometriche per

dato dalla formula.

Considera i casi:

Poi e .

Pertanto, la serie converge e la sua somma è uguale a