Il punto estremo di una funzione è il punto del dominio della funzione, in cui il valore della funzione assume il minimo o valore massimo. I valori della funzione in questi punti sono chiamati estremi (minimo e massimo) della funzione.

Definizione. Punto X1 ambito della funzione f(X) è chiamato punto massimo della funzione , se il valore della funzione a questo punto è maggiore dei valori della funzione in punti sufficientemente vicini ad essa, situati a destra e a sinistra di essa (cioè la disuguaglianza f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 massimo.

Definizione. Punto X2 ambito della funzione f(X) è chiamato punto minimo della funzione, se il valore della funzione a questo punto è minore dei valori della funzione in punti sufficientemente vicini ad essa, situati a destra e a sinistra di essa (cioè la disuguaglianza f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). In questo caso, si dice che la funzione ha al punto X2 minimo.

Diciamo il punto X1 - punto massimo della funzione f(X). Poi nell'intervallo fino a X1 la funzione aumenta, quindi la derivata della funzione è maggiore di zero ( f "(X) > 0 ), e nell'intervallo successivo X1 la funzione sta diminuendo, quindi derivata di funzione minore di zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Assumiamo anche che il punto X2 - punto minimo della funzione f(X). Poi nell'intervallo fino a X2 la funzione è decrescente e la derivata della funzione è minore di zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 la funzione è crescente e la derivata della funzione è maggiore di zero ( f "(X) > 0 ). In questo caso anche al punto X2 la derivata della funzione è zero o non esiste.

teorema di Fermat ( segno necessario l'esistenza di un estremo della funzione). Se punto X0 - punto estremo della funzione f(X), allora a questo punto la derivata della funzione è uguale a zero ( f "(X) = 0 ) o non esiste.

Definizione. Vengono chiamati i punti in cui la derivata di una funzione è uguale a zero o non esiste punti critici .

Esempio 1 Consideriamo una funzione.

Al punto X= 0 la derivata della funzione è uguale a zero, quindi il punto X= 0 è il punto critico. Tuttavia, come si può vedere sul grafico della funzione, aumenta nell'intero dominio di definizione, quindi il punto X= 0 non è un punto estremo di questa funzione.

Quindi, le condizioni che la derivata di una funzione in un punto sia uguale a zero o non esista sono condizioni necessarie per un estremo, ma non sufficienti, poiché si possono dare altri esempi di funzioni per le quali queste condizioni sono soddisfatte, ma la funzione non ha un estremo nel punto corrispondente. Ecco perchè deve avere sufficienti indicazioni, che consentono di giudicare se esiste un extremum in un particolare punto critico e quale: un massimo o un minimo.

Teorema (il primo criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo di una funzione). Punto critico X0 f(X) , se la derivata della funzione cambia segno passando per questo punto, e se il segno cambia da "più" a "meno", allora il punto massimo, e se da "meno" a "più", allora il punto minimo .

Se vicino al punto X0 , a sinistra ea destra di essa, la derivata mantiene il suo segno, ciò significa che la funzione o decresce o aumenta solo in qualche intorno del punto X0 . In questo caso, al punto X0 non c'è l'estremo.

Così, per determinare i punti estremi della funzione, è necessario effettuare le seguenti operazioni :

1. Trova la derivata di una funzione.
2. Uguaglia la derivata a zero e determina i punti critici.
3. Segnare mentalmente o su carta i punti critici sull'asse numerico e determinare i segni della derivata della funzione negli intervalli ottenuti. Se il segno della derivata cambia da "più" a "meno", allora il punto critico è il punto massimo, e se da "meno" a "più", allora il punto critico è il punto minimo.
4. Calcola il valore della funzione nei punti estremi.

Esempio 2 Trova gli estremi di una funzione .

Soluzione. Troviamo la derivata della funzione:

Uguaglia la derivata a zero per trovare i punti critici:

.

Poiché per qualsiasi valore di "x" il denominatore non è uguale a zero, eguagliamo il numeratore a zero:

Ho un punto critico X= 3. Determiniamo il segno della derivata negli intervalli delimitati da questo punto:

nell'intervallo da meno infinito a 3 - segno meno, ovvero la funzione diminuisce,

nell'intervallo da 3 a più infinito - un segno più, ovvero la funzione aumenta.

Cioè, punto X= 3 è il punto minimo.

Trova il valore della funzione nel punto minimo:

Quindi si trova il punto estremo della funzione: (3; 0) , ed è il punto minimo.

Teorema (il secondo criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo di una funzione). Punto critico X0 è il punto estremo della funzione f(X), se la derivata seconda della funzione a questo punto non è uguale a zero ( f ""(X) ≠ 0 ), inoltre, se la derivata seconda è maggiore di zero ( f ""(X) > 0 ), quindi il punto massimo e se la derivata seconda è minore di zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Osservazione 1. Se in un punto X0 sia la prima che la seconda derivata svaniscono, quindi a questo punto è impossibile giudicare la presenza di un estremo sulla base del secondo segno sufficiente. In questo caso, è necessario utilizzare il primo criterio sufficiente per l'estremo della funzione.

Osservazione 2. Il secondo criterio sufficiente per l'estremo di una funzione è anche inapplicabile quando la derivata prima non esiste nel punto stazionario (quindi non esiste nemmeno la derivata seconda). In questo caso è necessario utilizzare anche il primo criterio sufficiente per l'estremo della funzione.

La natura locale degli estremi della funzione

Dalle definizioni di cui sopra deriva che l'estremo di una funzione ha un carattere locale: è il più grande e valore più piccolo caratteristiche rispetto ai valori vicini.

Supponiamo di considerare i tuoi guadagni in un arco di tempo di un anno. Se a maggio hai guadagnato 45.000 rubli, ad aprile 42.000 rubli e a giugno 39.000 rubli, i guadagni di maggio sono la funzione di guadagno massimo rispetto ai valori più vicini. Ma a ottobre hai guadagnato 71.000 rubli, a settembre 75.000 rubli ea novembre 74.000 rubli, quindi i guadagni di ottobre sono il minimo della funzione di guadagno rispetto ai valori vicini. E si vede facilmente che il massimo tra i valori di aprile-maggio-giugno è inferiore al minimo di settembre-ottobre-novembre.

In generale, una funzione può avere diversi estremi in un intervallo e può risultare che qualsiasi minimo della funzione è maggiore di qualsiasi massimo. Quindi, per la funzione mostrata nella figura sopra, .

Cioè, non si deve pensare che il massimo e il minimo di una funzione siano, rispettivamente, i suoi valori massimo e minimo sull'intero segmento in esame. Nel punto massimo, la funzione ha il valore massimo solo rispetto a quei valori che ha in tutti i punti sufficientemente vicini al punto massimo, e nel punto minimo, il valore più piccolo solo rispetto a quei valori che ha in tutti i punti sufficientemente vicino al punto minimo.

Pertanto, è possibile affinare il concetto di cui sopra di punti estremi di una funzione e chiamare i punti minimi punti minimi locali e i punti massimi - punti massimo locale.

Cerchiamo insieme gli estremi della funzione

Esempio 3

Soluzione La funzione è definita e continua sull'intera linea dei numeri. Il suo derivato esiste anche sull'intera linea dei numeri. Pertanto, in questo caso, solo quelli in cui, cioè, servono come punti critici. , donde e . Punti critici e dividere l'intero dominio della funzione in tre intervalli di monotonia: . Selezioniamo un punto di controllo in ciascuno di essi e troviamo a questo punto il segno della derivata.

Per l'intervallo, il punto di riferimento può essere : troviamo . Prendendo un punto nell'intervallo, otteniamo e prendendo un punto nell'intervallo, abbiamo . Quindi, negli intervalli e , e nell'intervallo . Secondo il primo segno sufficiente extremum, non c'è un estremo nel punto (poiché la derivata mantiene il suo segno nell'intervallo ), e nel punto la funzione ha un minimo (poiché la derivata cambia segno da meno a più quando passa per questo punto). Trova i valori corrispondenti della funzione: , e . Nell'intervallo, la funzione diminuisce, poiché in questo intervallo, e nell'intervallo aumenta, poiché in questo intervallo.

Per chiarire la costruzione del grafico, troviamo i punti di intersezione di esso con gli assi coordinati. Quando otteniamo un'equazione di cui si trovano le radici e , cioè due punti (0; 0) e (4; 0) del grafico della funzione. Utilizzando tutte le informazioni ricevute, costruiamo un grafico (vedi all'inizio dell'esempio).

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare calcolatore di derivati ​​online .

Esempio 4 Trova gli estremi della funzione e costruisci il suo grafico.

Il dominio della funzione è l'intera retta dei numeri, ad eccezione del punto, cioè .

Per abbreviare lo studio, possiamo usare il fatto che questa funzione è pari, poiché . Pertanto, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse Ehi e lo studio può essere eseguito solo per l'intervallo.

Trovare la derivata e punti critici della funzione:

1) ;

2) ,

ma la funzione subisce un'interruzione a questo punto, quindi non può essere un punto estremo.

In questo modo, data funzione presenta due punti critici: e . Tenendo conto della parità della funzione, controlliamo solo il punto dal secondo segno sufficiente dell'estremo. Per fare questo, troviamo la derivata seconda e determiniamo il suo segno in : otteniamo . Poiché e , allora è il punto minimo della funzione, mentre .

Per avere un quadro più completo del grafico della funzione, scopriamo il suo comportamento ai confini del dominio di definizione:

(qui il simbolo indica il desiderio X a zero a destra, e X rimane positivo; allo stesso modo significa aspirazione X a zero a sinistra, e X rimane negativo). Quindi, se , allora . Successivamente, troviamo

,

quelli. se poi .

Il grafico della funzione non ha punti di intersezione con gli assi. L'immagine è all'inizio dell'esempio.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare calcolatore di derivati ​​online .

Continuiamo a cercare insieme gli estremi della funzione

Esempio 8 Trova gli estremi della funzione.

Soluzione. Trova il dominio della funzione. Poiché la disuguaglianza deve valere, otteniamo da .

Troviamo la derivata prima della funzione.

Segni di aumento e diminuzione locale di una funzione.

Uno dei compiti principali dello studio di una funzione è trovare gli intervalli del suo aumento e diminuzione. Tale studio è facile da eseguire utilizzando la derivata. Formuliamo le asserzioni corrispondenti.

Criterio sufficiente per aumentare la funzione. Se f'(x) > 0 in ogni punto dell'intervallo I, allora la funzione f aumenta di I.

Un criterio sufficiente perché una funzione decresca. Se f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

La dimostrazione di queste caratteristiche viene effettuata sulla base della formula di Lagrange (vedi Sez. 19). Prendi due numeri qualsiasi x 1 e x2 dall'intervallo. Sia x 1 esiste un numero с∈(х 1, x 2), tale che

(1)

Il numero c appartiene all'intervallo I, poiché i punti x 1 e x2 appartengono a I. Se f"(x)>0 per x∈I allora f'(с)>0, e quindi F(x 1 )) — ciò risulta dalla formula (1), poiché x 2-x1 >0. Ciò dimostra che la funzione f aumenta su I. Se f' (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) segue dalla formula (1), poiché x 2-x1 >0. Dimostriamo che la funzione f decresce su I.

Il significato visivo dei segni è chiaro dal ragionamento fisico (per certezza, considera il segno di aumento).

Sia un punto che si muove lungo l'asse y all'istante t abbia l'ordinata y y = f(t). Allora la velocità di questo punto al tempo t è uguale a f "(t) (vedi Fig. Velocità istantanea ). Se f' (t)>0 in ogni momento dell'intervallo t, allora il punto si sposta nella direzione positiva dell'asse y, cioè se t 1 ). Ciò significa che la funzione f è crescente sull'intervallo I.

Nota 1.

Se la funzione f è continua a una qualsiasi delle estremità dell'intervallo di aumento (diminuzione), allora questo punto è collegato a questo intervallo.

Nota 2.

Per risolvere le disuguaglianze f "(x)>0 e f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di un estremo di una funzione in un punto.

Condizione necessaria per un estremo

La funzione g(x) in un punto ha un estremo (massimo o minimo) se la funzione è definita in un intorno a due lati del punto e per tutti i punti x di una certa area: , rispettivamente, la disuguaglianza

(in caso di massimo) o (in caso di minimo).

L'estremo della funzione può essere trovato dalla condizione: se la derivata esiste, cioè uguagliare a zero la derivata prima della funzione.

Condizione estrema sufficiente

1) Prima condizione sufficiente:

a) f(x) è una funzione continua ed è definita in un intorno di un punto tale che la derivata prima in un dato punto sia uguale a zero o non esista.

b) f(x) ha una derivata finita in prossimità della specificazione e continuità della funzione

c) la derivata mantiene un certo segno a destra del punto ea sinistra dello stesso punto, quindi il punto può essere caratterizzato come segue

Questa condizione non è molto conveniente, poiché è necessario controllare molte condizioni e memorizzare la tabella, ma se non si dice nulla sulle derivate di ordine superiore, allora questo è l'unico modo per trovare l'estremo della funzione.

2) Seconda condizione sufficiente

Se la funzione g(x) ha una derivata seconda, e ad un certo punto la derivata prima è uguale a zero e la derivata seconda è diversa da zero. Poi il punto funzione estrema g(x), e se , allora il punto è il massimo; se , allora il punto è il minimo.

Il primo segno sufficiente di un estremo è formulato sulla base della variazione del segno della derivata prima al passaggio per il punto critico. Il secondo segno di un extremum sarà discusso di seguito nel § 6.4.

Teorema (il primo segno di un estremo) : Se unaX 0 è il punto critico della funzioney=f(X) e in qualche quartiere del puntoX 0 , passando per essa da sinistra a destra, la derivata cambia segno al contrario, quindiX 0 è il punto estremo. Inoltre, se il segno della derivata cambia da "+" a "-", alloraX 0 è il punto massimo, ef(X 0 ) - il massimo della funzione, e se la derivata cambia segno da "-" a "+", alloraX 0 è il punto minimo, ef(X 0 ) è il minimo della funzione.

L'estremo considerato è Locale carattere (locale) e tocca qualche piccolo quartiere del punto critico.

Punti estremi e punti di discontinuità dividono il dominio di definizione della funzione in intervalli di monotonia.

Esempio 6.3. Nell'esempio 6.1. abbiamo trovato punti critici X 1 =0 e X 2 =2.

Scopriamo se in questi punti la funzione y=2x 3 -6x 2 +1 ha un estremo. Sostituisci nella sua derivata
i valori X preso a sinistra e a destra del punto X 1 =0 in un quartiere abbastanza vicino, per esempio, x=-1 e x=1. ottenere . Poiché la derivata cambia segno da "+" a "-", allora X 1 =0 è il punto massimo e il massimo della funzione
. Ora prendiamo due valori x=1 e x=3 da un quartiere di un altro punto critico X 2 =2 . È già stato dimostrato
, un
. Poiché la derivata cambia segno da "-" a "+", allora X 2 =2 è il punto minimo. E il minimo della funzione
.

Per trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione continua su un segmento
è necessario calcolarne il valore in tutti i punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegliere il più grande e il più piccolo di essi.

6.3. Segni di convessità e concavità del grafico della funzione. Punti di flessione

Viene chiamato il grafico di una funzione derivabileconvessosu un intervallo se si trova al di sotto di una qualsiasi delle sue tangenti su quell'intervallo;concavo (convesso verso il basso), se si trova al di sopra di qualsiasi tangente nell'intervallo.

6.3.1. Necessari e sufficienti segni di convessità e concavità del grafo

a) Caratteristiche richieste

Se il grafico della funzioney=f(X) convesso sull'intervallo(un, b) , quindi la derivata seconda
in questo intervallo; se il graficoconcavo sul(un, b) , poi
sul(un, b) .

P st grafico della funzione y=f(X) convesso (un, b) (Fig.6.3a). Se una tangente scorre lungo una curva convessa da sinistra a destra, la sua pendenza diminuisce (
), allo stesso tempo, diminuisce anche la pendenza della tangente, il che significa che la derivata prima diminuisce
sul (un, b) . Ma allora la derivata della derivata prima come derivata di una funzione decrescente deve essere negativa, cioè
sul (un, b) .

Se il grafico della funzione concavo sul (un, b) , quindi, argomentando in modo simile, vediamo che quando la tangente scorre lungo la curva (Fig. 6.3b), la pendenza della tangente aumenta (
), la pendenza aumenta con essa, e quindi la derivata. E quindi la derivata della derivata come funzione crescente deve essere positiva, cioè
sul (un, b) .

b ) Caratteristiche sufficienti

Se per la funzioney=f(X) in tutti i punti di un certo intervallo sarà
, quindi il grafico della funzioneconcavo su questo intervallo, e se
, poiconvesso .

"Regola della pioggia" : Per ricordare quale segno della derivata seconda associare ad un convesso, e quale ad un arco concavo del grafo, consigliamo di ricordare: “più acqua” in un foro concavo, "meno acqua" - in un foro convesso (Fig. 6.4).

Viene chiamato il punto sul grafico di una funzione continua in cui la convessità cambia in concavità o viceversapunto di flesso .

Teorema (criterio sufficiente per l'esistenza di un punto di flesso).

Se una al punto funzione
è due volte derivabile e la derivata seconda a questo punto è uguale a zero o non esiste, e se passa per il punto derivata seconda
cambia segno, poi il punto c'è un punto di flesso. Coordinate del punto di flesso
.

I punti in cui la derivata seconda svanisce o non esiste sono detti punti critici del secondo tipo.

Esempio 6.4. Trova i punti di flesso e determina gli intervalli di convessità e concavità della curva
(curva di Gauss).

R soluzione. Troviamo la prima e la seconda derivata:
,. La seconda derivata esiste per qualsiasi . Uguaglialo a zero e risolvi l'equazione risultante
, dove
, poi
, dove
,
sono punti critici del secondo tipo. Verifichiamo il cambio di segno della derivata seconda passando per il punto critico
. Se una
, Per esempio,
, poi
, cosa succede se
, Per esempio,
, poi
, cioè la derivata seconda cambia segno. Di conseguenza,
- ascissa del punto di flesso, sue coordinate
. Poiché la funzione è pari
, punto
, simmetrico al punto
, sarà anche un punto di flesso.

Il segno necessario di un estremo può anche essere formulato come segue: se il punto M(x0, si 0) è un punto estremo locale della funzione differenziabile z = f(X, y), allora il vettore gradiente di questa funzione a questo punto sarà un vettore zero, cioè .

Si chiamano i punti in cui le derivate parziali del primo ordine di una funzione di due variabili sono uguali a zero punti stazionari.

Per formulare un criterio sufficiente per l'estremo di una funzione di due variabili, abbiamo bisogno della matrice del differenziale del secondo ordine di questa funzione, scritta sotto forma di forma quadratica:

Così come il determinante di questa matrice, che può essere scritto nella forma seguente:

Segno sufficiente di un estremo

Commento. Se in un punto stazionario M: Δ = AB – Da 2= 0, allora è possibile la presenza di un estremo, ma ciò richiede ulteriori ricerche.

ESEMPIO: Trova gli estremi di una funzione

Calcoliamo le derivate parziali del primo e del secondo ordine di questa funzione:

Per trovare punti stazionari, uguagliamo a zero le derivate parziali del primo ordine e otteniamo un sistema di equazioni:

o:

Risolvendo questo sistema, otteniamo due punti stazionari M(0, 0) e N(1, 1/2).

Per chiarire la presenza di estremi e dei loro caratteri in questi punti, calcoliamo sequenzialmente in ogni punto i valori delle derivate parziali del secondo ordine.

Per un punto fermo M(0, 0) otteniamo:

Perché: Δ = AB – Da 2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстре­му­ма нет.

Per un punto fermo N(1, 1/2) otteniamo:

Poiché Δ = AB – Da 2= 108 > 0 e UN= 6 > 0, concludiamo che a questo punto stazionario ci sarà un minimo locale di questa funzione. Inoltre, il valore della funzione nel punto minimo sarà uguale a 0.

Metodo dei minimi quadrati

Nelle applicazioni pratiche, anche economiche, si pone spesso il problema di smussare alcune dipendenze ottenute sperimentalmente. Cioè, il compito è riflettere il più accuratamente possibile la tendenza generale alla dipendenza y da X, escludendo deviazioni casuali da questa tendenza generale dovute a inevitabili errori nei dati sperimentali o statistici. Una tale dipendenza smussata viene solitamente ricercata sotto forma di una formula. In questo caso vengono solitamente chiamate le formule che servono per la rappresentazione analitica delle dipendenze di dati sperimentali o sperimentali empirico.

Il compito di trovare una formula empirica adatta è solitamente suddiviso in due fasi principali. Il primo passo è stabilire, o scegliere, forma generale tale dipendenza y=f(X), cioè. decidere se una determinata relazione è lineare, quadratica, esponenziale, logaritmica, ecc. Questa scelta comporta spesso considerazioni aggiuntive, solitamente di natura non matematica. Nella seconda fase, parametri sconosciuti del selezionato funzione empirica, utilizzando solo una matrice di dati ottenuti sperimentalmente.

Secondo il più comune e teoricamente motivato minimi quadrati come parametri sconosciuti della funzione empirica f(X) scegliere valori tali che la somma dei quadrati dei “residui” δ i (deviazioni dei valori “teorici” della funzione dai valori ottenuti sperimentalmente) sia minima, ovvero:

dove e sono dati sperimentali, e nè il numero totale di coppie di questi dati.

Considera il problema più semplice di questo tipo. Permettere funzione lineare, cioè. (Fig. 22), ed è necessario trovare tali valori di parametro un e b, che fornirà il minimo della funzione: .

Ovviamente la funzione sarà una funzione di due variabili un e b fino a quando i loro valori "migliori" non vengono trovati e fissati, poiché tutto sono i numeri costanti trovati sperimentalmente. Pertanto, per trovare i parametri della retta, che risultano maggiormente coerenti con i dati sperimentali, è sufficiente risolvere il sistema di equazioni:

Dopo opportuni calcoli di derivate e trasformazioni identiche, questo sistema può essere rappresentato come sistemi di equazioni normali :

Questo sistema equazioni lineari ha una soluzione unica che può essere trovata dalla regola di Cramer:

;

Pertanto, la migliore approssimazione lineare della dipendenza sperimentale secondo il metodo dei minimi quadrati sarà una retta.

ESEMPIO: Il rapporto tra il profitto dell'impresa Y e il costo delle immobilizzazioni X, espresso in unità convenzionali, è dato dalla tabella.

X
Y

Per chiarire la forma della formula della relazione empirica, tracciamo la dipendenza sperimentale (cerchi in Fig. 23). Secondo la posizione dei punti sperimentali sul grafico, si può presumere che la relazione tra X e Yè lineare, cioè sembra:

Per determinare i valori numerici dei parametri un e b calcoleremo i coefficienti del sistema di equazioni normali e, per comodità, riassumeremo i calcoli in una tabella.

Secondo la tabella:

Sostituendo i valori trovati (tenendo conto del fatto che n= 7) nelle formule per il calcolo dei parametri un e b, noi troviamo:

Pertanto, la dipendenza empirica ha la forma (la Fig. 23 mostra una linea continua): y= 0,557X- 5,143.

DOMANDE per l'autocontrollo della conoscenza sul tema 6:

1. L'equazione definisce una funzione di più variabili?

Viene chiamata la funzione y = f(x). crescente (calante) in un certo intervallo se per x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Se una funzione derivabile y = f(x) su un segmento aumenta (diminuisce), allora la sua derivata su questo segmento f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Punto x o chiamato punto massimo locale (minimo) della funzione f(x) se esiste un intorno del punto x o, per tutti i punti di cui è vera la disuguaglianza f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).

Vengono chiamati i punti massimo e minimo punti estremi, e i valori della funzione in questi punti sono i suoi estrema.

Le condizioni necessarie estremo. Se punto x oè un punto estremo della funzione f (x), quindi f "(x o) \u003d 0 o f (x o) non esiste. Tali punti sono chiamati critico, dove la funzione stessa è definita nel punto critico. Gli estremi di una funzione vanno cercati tra i suoi punti critici.

La prima condizione sufficiente. Permettere x o- punto critico. Se f "(x) quando si passa per un punto x o cambia il segno più in meno, quindi al punto x o la funzione ha un massimo, altrimenti ha un minimo. Se la derivata non cambia segno quando passa per un punto critico, allora nel punto x o non c'è l'estremo.

La seconda condizione sufficiente. Lascia che la funzione f(x) abbia una derivata
f "(x) in un intorno di un punto x o e la derivata seconda proprio nel punto x o. Se f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x oè un punto locale minimo (massimo) della funzione f(x). Se =0, allora si deve usare la prima condizione sufficiente o coinvolgere derivate superiori.

Su un segmento, la funzione y = f(x) può raggiungere il suo valore minimo o massimo sia nei punti critici che alle estremità del segmento.

Indagine sulle condizioni e tracciati.

Trova l'ambito di una funzione

Trova i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate

Trova gli intervalli dei segni di costanza

Esamina pari, dispari

Trova gli asintoti del grafico di una funzione

Trova gli intervalli di monotonia di una funzione

Trova gli estremi di una funzione

Trova intervalli convessi e punti di flesso

Asintoti di grafici di funzioni. Lo schema generale delle funzioni di ricerca e tracciamento. Esempi.

verticale

Asintoto verticale: una linea retta della forma soggetta all'esistenza di un limite .

Di norma, quando determinano l'asintoto verticale, cercano non un limite, ma due unilaterali (sinistra e destra). Questo viene fatto per determinare come si comporta la funzione quando si avvicina all'asintoto verticale da direzioni diverse. Per esempio:

Nota: prestare attenzione ai segni dell'infinito in queste uguaglianze.

[modifica] Orizzontale

Asintoto orizzontale: una linea retta della forma soggetta all'esistenza di un limite

.

[modifica] Inclinato

Asintoto obliquo: una linea retta della forma soggetta all'esistenza di limiti

Esempio di asintoto obliquo

1.

Nota: una funzione non può avere più di due asintoti obliqui (orizzontali)!

Nota: se almeno uno dei due limiti sopra menzionati non esiste (o è uguale a ), l'asintoto obliquo in (o ) non esiste!

Relazione tra asintoti obliqui e orizzontali

Se, durante il calcolo del limite , allora è ovvio che l'asintoto obliquo coincide con quello orizzontale. Qual è la relazione tra questi due tipi di asintoti?

Il fatto, che l'asintoto orizzontale è un caso speciale dell'obliquo a , e dalle precedenti osservazioni consegue che

1. Una funzione ha un solo asintoto obliquo, o un asintoto verticale, o uno obliquo e uno verticale, o due obliqui, o due verticali, o nessun asintoto.

2. L'esistenza degli asintoti indicati al punto 1.) è direttamente correlata alla sussistenza dei relativi limiti.

Grafico di una funzione con due asintoti orizzontali

]Trovare asintoti

L'ordine di ricerca degli asintoti

1. Trovare gli asintoti verticali.

2. Trovare due limiti

3. Trovare due limiti:

se al punto 2.), allora , e il limite è ricercato dalla formula dell'asintoto orizzontale, .