La caratteristica completa di una variabile casuale è la legge di distribuzione. In pratica, una tale caratteristica non è sempre ottenibile a causa dei limitati risultati sperimentali. In questi casi, al posto delle leggi di distribuzione, viene utilizzata una descrizione approssimativa di variabili casuali, che si ottiene utilizzando il numero minimo di caratteristiche non casuali. Il numero di queste caratteristiche dovrebbe essere piccolo, ma dovrebbe riflettere le caratteristiche più significative della distribuzione:
l'aspettativa matematica di una variabile casuale;
Dispersione (momento di ordine zero, 1°).
La caratteristica numerica più semplice di una variabile casuale discreta X è il valore medio: , dove è il valore medio della variabile casuale; N è il numero di test; - il valore della variabile casuale, che assume in N prove.
Per caratterizzare la diffusione dei valori di una variabile casuale discreta in questa serie di esperimenti, viene utilizzato il quadrato della differenza tra i valori di una variabile casuale e il suo valore medio: , dove è la varianza statistica della variabile casuale Х. valori intorno al suo valore medio.
Se i risultati degli esperimenti sono caratterizzati non da una variabile casuale, ma da più variabili, oltre alle caratteristiche considerate, vengono introdotte quantità che caratterizzano il grado di dipendenza tra queste variabili casuali. Come tale caratteristica, ad esempio, per 2 variabili casuali xey in questa serie di esperimenti, è stato adottato il seguente valore: . Eguaglianza (4) momento di correlazione statica. Con un aumento degli esperimenti, il valore della frequenza di occorrenza di questo evento si avvicinerà alla probabilità. E il valore medio aritmetico tenderà alla sua aspettativa matematica: , dove è la probabilità di occorrenza del valore. Pertanto, l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta X è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori x e la probabilità di occorrenza di questi valori. , la varianza di una variabile casuale è la sua aspettativa matematica del quadrato della deviazione da questo valore dalla sua aspettativa matematica. , dove è una variabile casuale centrata, , . Momento di correlazione: , dove è la probabilità che la variabile casuale x, y assumere i valori x io , y io, .
Per variabili casuali continue, l'aspettativa matematica, la varianza e il momento di correlazione sono determinati attraverso la densità: .
Per variabili casuali indipendenti: quindi , . Secondo (9) per variabili casuali indipendenti, quindi, se due variabili casuali sono diverse da 0, allora questo indica la presenza di una relazione tra queste variabili casuali. Variabili casuali per le quali sono chiamate variabili casuali non di correlazione. caratterizza non solo la dipendenza delle quantità, ma anche la loro dispersione. Se, ad esempio, uno dei valori X o Y devia poco dalla sua aspettativa matematica, il momento di correlazione sarà piccolo, indipendentemente dalla dipendenza reciproca di questi valori.
Per eliminare questa lacuna viene introdotta una caratteristica adimensionale, che prende il nome di coefficiente di correlazione: . Se utilizziamo un'interpretazione meccanica, allora l'ascissa può essere rappresentata come il baricentro della figura e la dispersione come il momento d'inerzia della figura piana.
ha varianza 1 e aspettativa 0.
Variabile casuale normalizzata V è il rapporto tra una data variabile casuale X e la sua deviazione standard σ
Deviazione standardè la radice quadrata della varianza
L'aspettativa matematica e la varianza della variabile casuale normalizzata V sono espresse in termini di caratteristiche di X come segue:
VM= M(X)σ=1v, DV= 1,
dove v è il coefficiente di variazione della variabile casuale originale X.
Per la funzione di distribuzione F V (x) e la densità di distribuzione f V (x) si ha:
F V (x) = F(σx), f V (x) = σf(σx),
dove F(x)è la funzione di distribuzione della variabile casuale originale X, un f(x)è la sua densità di probabilità.
Coefficiente di correlazione.
Coefficiente di correlazioneè un indicatore della natura della mutua influenza stocastica di un cambiamento in due variabili casuali. Il coefficiente di correlazione può assumere valori da -1 a +1. Se il valore del modulo è più vicino a 1, significa la presenza di una connessione forte e, se più vicino a 0, non c'è connessione o è essenzialmente non lineare. Con un coefficiente di correlazione uguale in valore assoluto a uno, si parla di una relazione funzionale (cioè di una dipendenza lineare), cioè le variazioni in due quantità possono essere descritte da una funzione lineare.
Il processo è chiamato Stocastico, se è descritto da variabili casuali il cui valore cambia nel tempo.
Coefficiente di correlazione di Pearson.
Per le quantità metriche viene utilizzato il coefficiente di correlazione di Pearson, la cui formula esatta è stata derivata da Francis Hamilton. Siano X e Y due variabili casuali definite sullo stesso spazio di probabilità. Allora il loro coefficiente di correlazione è dato dalla formula:
Le disuguaglianze di Chebyshev.
La disuguaglianza di Markov.
Disuguaglianza di Markov in teoria della probabilità, fornisce una stima della probabilità che una variabile casuale superi una costante positiva fissa in valore assoluto, in termini di aspettativa matematica. La stima risultante è generalmente piuttosto approssimativa. Tuttavia, permette di avere una certa idea della distribuzione quando quest'ultima non è nota in modo esplicito.
Sia definita una variabile casuale su uno spazio di probabilità e la sua aspettativa matematica sia finita. Quindi
,
dove un > 0.
Disuguaglianza Chebyshev - Bieneme.
Se E< ∞ (E – математическое ожидание), то для любого , справедливо
La legge dei grandi numeri.
Legge dei grandi numeri afferma che la media empirica (media aritmetica) di un campione finito sufficientemente grande da una distribuzione fissa è vicina alla media teorica (aspettativa) di quella distribuzione. A seconda del tipo di convergenza, si distingue tra la legge debole dei grandi numeri, quando avviene la convergenza delle probabilità, e la legge forte dei grandi numeri, quando la convergenza avviene quasi ovunque.
Ci sarà sempre un tale numero di prove che, con qualsiasi probabilità predeterminata, la frequenza di accadimento di un evento differirà arbitrariamente poco dalla sua probabilità. Il significato generale della legge dei grandi numeri è che l'azione congiunta di un gran numero di fattori casuali porta a un risultato quasi indipendente dal caso.
Legge debole dei grandi numeri.
Quindi Sn P M(X).
Legge forte dei grandi numeri.
Allora Sn→M(X) è quasi sicuro.
Variabile casuale centrata corrispondente a RVX si chiama differenza tra la variabile casuale X e la sua aspettativa matematica
Viene chiamata la variabile casuale normalizzato se la sua varianza è 1. Viene chiamata una variabile casuale centrata e normalizzata standard.
Variabile casuale standard Z, corrispondente alla variabile casuale X si trova secondo la formula:
(1.24)
1.2.5. Altre caratteristiche numeriche
Moda SV discreta X definito come tale valore possibile X m, per cui
Moda continua SWX chiamato un numero reale M 0 (X), definito come il punto massimo della densità della distribuzione di probabilità f(X).
Quindi, la modalità SW Xè il suo valore più probabile, se tale valore è unico. Una modalità potrebbe non esistere, avere un unico valore (distribuzione unimodale) o avere più valori (distribuzione multimodale).
Mediana del SW continuoX chiamato un numero reale M D (X) soddisfacendo la condizione
Poiché questa equazione può avere molte radici, la mediana è determinata, in generale, in modo ambiguo.
Momento di partenzam-esimo ordine SWX (se esiste) è detto numero reale m, determinato dalla formula
(1.27)
Il momento centrale del m-esimo ordine SWX(se esiste) è chiamato numero m, determinato dalla formula
(1.28)
Aspettativa matematica di SW Xè il suo primo momento iniziale e la varianza è il suo secondo momento centrale.
Tra i momenti di ordine superiore rivestono particolare importanza i momenti centrali del 3° e 4° ordine.
Coefficiente di asimmetria ("smusso") A(X)
si chiama quantità 
Il coefficiente di curtosi ("punta") E(X) SWX si chiama quantità 
1.3. Alcune leggi di distribuzione di variabili casuali discrete
1.3.1. Distribuzione geometrica
SW discreto X ha una distribuzione geometrica se i suoi possibili valori sono 0, 1, 2, …, m, … corrispondono alle probabilità calcolate dalla formula
dove 0< p< 1,q= 1 –p.
In pratica, una distribuzione geometrica si verifica quando vengono effettuati numerosi tentativi indipendenti per ottenere un risultato. MA e la probabilità che si verifichi un evento MA in ogni tentativo P(UN) =P. SW Xè il numero di tentativi inutili (fino al primo esperimento, in cui compare l'evento MA), ha una distribuzione geometrica con una serie di distribuzione:
|
X io | ||||||
|
p io |
q 2 p |
q m p |
e caratteristiche numeriche:
(1.30)
1.3.2. Distribuzione ipergeometrica
SW discreto X con possibili valori 0, 1, …, m, …,M ha una distribuzione ipergeometrica con parametri N,M,n, Se
(1.31)
dove M≤N,m ≤n,n≤N,m,n,N,M- numeri interi.
La distribuzione ipergeometrica si verifica in casi come il seguente: c'è N oggetti, di cui M avere una certa caratteristica. Disponibile N gli oggetti sono scelti a caso n oggetti.
SW X – il numero di oggetti con l'attributo specificato tra quelli selezionati è distribuito secondo la legge ipergeometrica.
La distribuzione ipergeometrica viene utilizzata, in particolare, nella risoluzione di problemi legati al controllo della qualità del prodotto.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale con distribuzione ipergeometrica è:
(1.32)
aspettativa matematica La variabile casuale discreta è chiamata somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle loro probabilità
Commento. Dalla definizione consegue che l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è una variabile non casuale (costante).
L'aspettativa matematica di una variabile casuale continua può essere calcolata dalla formula
M(X) = 
.
L'aspettativa matematica è approssimativamente uguale a(più è accurato, maggiore è il numero di prove) la media aritmetica dei valori osservati della variabile casuale.
Proprietà dell'aspettativa matematica.
Proprietà 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere dedotto dal segno di aspettativa:
Proprietà 3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
M(XY) =M(X) *M(Y).
Proprietà 4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:
M(X+Y) =M(X) +M(Y).
12.1. Dispersione di una variabile casuale e sue proprietà.
In pratica, spesso è necessario scoprire la dispersione di una variabile casuale attorno al suo valore medio. Ad esempio, nell'artiglieria è importante sapere quanto i proiettili cadranno vicino al bersaglio che dovrebbe essere colpito.
A prima vista, può sembrare che il modo più semplice per stimare lo scattering sia calcolare tutti i possibili valori della deviazione di una variabile casuale e poi trovarne il valore medio. Tuttavia, questo percorso non darà nulla, poiché il valore medio della deviazione, ovvero M, per qualsiasi variabile casuale è uguale a zero.
Pertanto, molto spesso vanno dall'altra parte: usano la varianza per calcolare.
dispersione(scattering) di una variabile casuale è l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica:
D(X) = M2.
Per calcolare la varianza, è spesso conveniente utilizzare il seguente teorema.
Teorema. La dispersione è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale X e il quadrato della sua aspettativa matematica.
D (X) \u003d M (X 2) - 2.
Proprietà di dispersione.
Proprietà 1. Costante di dispersioneCè uguale a zero:
Proprietà 2. Un fattore costante può essere elevato oltre il segno della varianza quadrandolo:
D(CX)=C 2 D(X).
Proprietà 3. La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili:
D(X+Y) =D(X) +D(Y).
Proprietà 4. La varianza della differenza di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle loro varianze:
D(X-Y) =D(X) +D(Y).
13.1. Variabili casuali normalizzate.
ha varianza 1 e aspettativa 0.
Variabile casuale normalizzata V è il rapporto tra una data variabile casuale X e la sua deviazione standard σ
Deviazione standardè la radice quadrata della varianza
L'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale normalizzata V sono espresse in termini di caratteristiche di X come segue:
dove v è il coefficiente di variazione della variabile casuale originale X.
Per la funzione di distribuzione F V (x) e la densità di distribuzione f V (x) si ha:
F V (x) =F(σx), f V (x) =σf(σx),
dove F(x)è la funzione di distribuzione della variabile casuale originale X, un f(x)è la sua densità di probabilità.
CARATTERISTICHE DI DISPERSIONE
Dalle caratteristiche di posizione - aspettativa matematica, mediana, moda - passiamo alle caratteristiche dello spread di una variabile casuale X. dispersione D(X)= a 2 , la deviazione standard a e il coefficiente di variazione v. La definizione e le proprietà della varianza per variabili casuali discrete sono state considerate nel capitolo precedente. Per variabili casuali continue
La deviazione standard è il valore non negativo della radice quadrata della varianza:
Il coefficiente di variazione è il rapporto tra la deviazione standard e l'aspettativa matematica:
Coefficiente di variazione - applicato quando M(X)> O - misura lo spread in unità relative, mentre la deviazione standard - in assoluto.
Esempio 6. Per una variabile casuale distribuita uniformemente X trovare la varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione. La dispersione è:
Sostituzione di variabili 
permette di scrivere:
dove insieme a = f - aU2.
Pertanto, la deviazione standard è 
e il coefficiente di variazione è: 
TRASFORMAZIONI DI VALORI CASUALI
Per ogni variabile casuale X definire altre tre quantità - centrate Y, normalizzato v e dato u. Variabile casuale centrata Yè la differenza tra la variabile casuale data X e la sua aspettativa matematica M(X), quelli. Y=X - M(X). Aspettativa matematica di una variabile casuale centrata Yè uguale a 0 e la varianza è la varianza della variabile casuale data:
funzione di distribuzione Sì(x) variabile casuale centrata Y relativi alla funzione di distribuzione F(x) della variabile casuale originale X rapporto:
Per le densità di queste variabili casuali, l'uguaglianza
Variabile casuale normalizzata vè il rapporto della variabile casuale data X alla sua deviazione standard a, cioè V = XIo. Aspettativa matematica e varianza di una variabile casuale normalizzata v espresso attraverso le caratteristiche X Così:
dove v è il coefficiente di variazione della variabile casuale originale X. Per la funzione di distribuzione Fv(x) e densità fv(x) variabile casuale normalizzata v noi abbiamo:
dove F(x)- funzione di distribuzione della variabile casuale originale X; aggiustare)è la sua densità di probabilità.
Variabile casuale ridotta uè una variabile casuale centrata e normalizzata:
Per una variabile casuale ridotta
Le variabili casuali normalizzate, centrate e ridotte sono costantemente utilizzate sia nella ricerca teorica che negli algoritmi, nei prodotti software, nella documentazione normativa e tecnica e istruttiva e metodologica. In particolare, perché le uguaglianze M(U) = 0, D(lf) = 1 consentono di semplificare la dimostrazione di metodi, formulazioni di teoremi e formule di calcolo.
Vengono utilizzate trasformazioni di variabili casuali e piani più generali. Quindi, se U = aX + b, dove un e b sono alcuni numeri, quindi
Esempio 7. Se un= 1/G, b = -M(X)/G, allora Y è una variabile casuale ridotta e le formule (8) vengono trasformate in formule (7).
Con ogni variabile casuale Xè possibile collegare l'insieme di variabili casuali Y dato dalla formula Y = Oh + b a vari un > 0 e b. Questo set è chiamato famiglia di cesoie a squame, generato da una variabile casuale X. Funzioni di distribuzione Fy(x) costituiscono una famiglia di distribuzioni con scalabilità generata dalla funzione di distribuzione F(x). Invece di Y= aX + b notazione di uso frequente 
Numero insieme aè chiamato parametro shift e numero d- parametro di scala. La formula (9) lo mostra X- il risultato della misurazione di un certo valore - va a K - il risultato della misurazione dello stesso valore, se l'inizio della misurazione viene spostato in un punto insieme a, e quindi utilizzare la nuova unità di misura, in d volte maggiore di quello vecchio.
Per la famiglia scale-shift (9), la distribuzione X chiamato standard. Nei metodi decisionali probabilistico-statistici e in altre ricerche applicate, vengono utilizzate la distribuzione normale standard, la distribuzione standard di Weibull-Gnedenko e la distribuzione gamma standard.
distribuzione, ecc. (vedi sotto).
Vengono utilizzate anche altre trasformazioni di variabili casuali. Ad esempio, per una variabile casuale positiva X tenere conto Y = IgX, dove IgX- logaritmo decimale di un numero X. Catena di uguaglianze
mette in relazione le funzioni di distribuzione X e Y.