numero irrazionale- questo numero reale, che non è razionale, cioè non può essere rappresentato come una frazione, dove sono interi, . Un numero irrazionale può essere rappresentato come un decimale infinito non ripetuto.

L'insieme dei numeri irrazionali è solitamente indicato da una lettera latina maiuscola in grassetto senza ombreggiatura. Quindi: , cioè insieme di numeri irrazionali è differenza di insiemi di numeri reali e razionali.

Sull'esistenza dei numeri irrazionali, più precisamente i segmenti, incommensurabili con un segmento di lunghezza unitaria, erano già conosciuti dai matematici antichi: conoscevano, ad esempio, l'incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che equivale all'irrazionalità del numero.

Proprietà

• Qualsiasi numero reale può essere scritto come una frazione decimale infinita, mentre ir numeri razionali e solo loro sono scritti in frazioni decimali infinite non periodiche.
• I numeri irrazionali definiscono i tagli di Dedekind nell'insieme dei numeri razionali che non hanno numero più grande nella classe inferiore e nessun numero più piccolo nella classe superiore.
• Ogni numero trascendentale reale è irrazionale.
• Ogni numero irrazionale è algebrico o trascendentale.
• L'insieme dei numeri irrazionali è denso ovunque sulla linea reale: tra due numeri qualsiasi c'è un numero irrazionale.
• L'ordine sull'insieme dei numeri irrazionali è isomorfo all'ordine sull'insieme dei numeri reali trascendentali.
• L'insieme dei numeri irrazionali non è numerabile, è un insieme della seconda categoria.

Esempi

Numeri irrazionali - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Irrazionali sono:

Esempi di prova di irrazionalità

Radice di 2

Supponiamo il contrario: razionale, cioè rappresentato come una frazione irriducibile, dove è un intero, ed è un numero naturale. Mettiamo al quadrato la presunta uguaglianza:

.

Da ciò ne consegue che anche, quindi, pari e . Lascia dove il tutto. Quindi

Pertanto, anche, quindi, pari e . L'abbiamo ottenuto e siamo pari, il che contraddice l'irriducibilità della frazione. Quindi, l'ipotesi originale era sbagliata ed è un numero irrazionale.

Logaritmo binario del numero 3

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione, dove e sono interi. Poiché , e può essere considerato positivo. Quindi

Ma è chiaro, è strano. Otteniamo una contraddizione.

e

Storia

Il concetto di numeri irrazionali fu adottato implicitamente dai matematici indiani nel VII secolo a.C., quando Manawa (c. 750 a.C. - c. 690 a.C.) scoprì che le radici quadrate di alcuni numeri naturali, come 2 e 61, non possono essere espresse esplicitamente.

La prima prova dell'esistenza di numeri irrazionali è solitamente attribuita a Ippaso di Metaponto (500 aC circa), un pitagorico che trovò questa prova studiando le lunghezze dei lati di un pentagramma. Al tempo dei Pitagorici si credeva che esistesse un'unica unità di lunghezza, sufficientemente piccola e indivisibile, che è un numero intero di volte compreso in ogni segmento. Tuttavia, Ippaso ha sostenuto che non esiste una singola unità di lunghezza, poiché l'ipotesi della sua esistenza porta a una contraddizione. Ha mostrato che se l'ipotenusa di un isoscele triangolo rettangolo contiene un numero intero singoli segmenti, allora questo numero deve essere sia pari che dispari allo stesso tempo. La dimostrazione si presentava così:

• Il rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa e la lunghezza della gamba di un triangolo rettangolo isoscele può essere espresso come un:B, dove un e B selezionato come il più piccolo possibile.
• Secondo il teorema di Pitagora: un² = 2 B².
• Perché un² anche, un deve essere pari (poiché il quadrato di un numero dispari sarebbe dispari).
• Nella misura in cui un:B irriducibile B deve essere strano.
• Perché un anche, denotare un = 2y.
• Quindi un² = 4 y² = 2 B².
• B² = 2 y², quindi Bè pari, quindi B Anche.
• Tuttavia, è stato dimostrato che B strano. Contraddizione.

I matematici greci chiamavano questo rapporto di quantità incommensurabili alogos(inesprimibile), ma secondo le leggende, Ippaso non riceveva il dovuto rispetto. C'è una leggenda secondo cui Ippaso fece la scoperta durante un viaggio per mare e fu gettato in mare da altri pitagorici "per aver creato un elemento dell'universo, che nega la dottrina secondo cui tutte le entità nell'universo possono essere ridotte a numeri interi e ai loro rapporti. " La scoperta di Ippaso ha posto un serio problema per la matematica pitagorica, distruggendo l'assunto alla base dell'intera teoria secondo cui i numeri e gli oggetti geometrici sono uno e inseparabile.

Un polinomio nella variabile x è un'espressione della forma: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, dove n è un numero naturale; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - qualsiasi numero, chiamato coefficienti di questo polinomio. Espressioni anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 sono chiamati membri del polinomio e 0 è un membro libero. an è il coefficiente in xn, an-1 è il coefficiente in xn-1, ecc. Un polinomio i cui coefficienti sono tutti uguali a zero è chiamato zero. ad esempio, il polinomio 0 x2+0 x+0 è zero. Dalla registrazione del polinomio risulta chiaro che esso è composto da più membri. Da qui deriva il termine ‹‹polinomio›› (molti termini). A volte un polinomio è chiamato polinomio. Questo termine deriva dalle parole greche πολι - molti e νομχ - membro.

Un polinomio in una variabile x è indicato da: . f (x), g (x), h (x), ecc. Ad esempio, se il primo dei polinomi sopra è indicato con f (x), allora possiamo scrivere: f (x) \u003d x 4+2 x 3+ (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Il polinomio h(x) è detto massimo comun divisore dei polinomi f(x) e g(x) se divide f(x) , g(x) e ciascuno dei loro divisori comuni. 2. Un polinomio f(x) con coefficienti del campo P di grado n si dice riducibile sul campo P se esistono polinomi h(x), g(x) н P[x] di grado minore di n tale che f (x) = h(x)g(x).

Se esiste un polinomio f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x+a 0 e an≠ 0, allora il numero n si chiama grado del polinomio f (x) (oppure si dice: f (x) - ennesimo grado) e scrivere l'art. f(x)=n. In questo caso, an è chiamato il coefficiente principale e anxn è chiamato il termine principale del polinomio dato. Ad esempio, se f (x) \u003d 5 x 4 -2 x + 3, allora Art. f (x) =4, coefficiente senior - 5, termine senior - 5 x4. Il grado di un polinomio è il maggior numero dei suoi coefficienti diversi da zero. I polinomi di grado zero sono numeri diversi da zero. , il polinomio zero non ha grado; polinomio f (x) \u003d a, dove a è un numero diverso da zero, ha grado 0; il grado di qualsiasi altro polinomio è uguale all'esponente più grande della variabile x, il cui coefficiente è uguale a zero.

Uguaglianza dei polinomi. Due polinomi f (x) e g (x) sono considerati uguali se i loro coefficienti sono uguali alle stesse potenze della variabile x e dei termini liberi (i loro coefficienti corrispondenti sono uguali). f(x)=g(x). Ad esempio, i polinomi f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 e g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 non sono uguali, il primo di essi ha un coefficiente in x3 uguale a 1 e il secondo ha zero ( secondo le convenzioni accettate, possiamo scrivere: g (x) \u003d 0 x 3 + 2 x 2 -3 x + 1. In questo caso: f (x) ≠ g (x) I polinomi non sono uguali: h (x) \u003d 2 x 2 -3 x+5, s (x) \u003d 2 x 2+3 x + 5, poiché i loro coefficienti in x sono diversi.

Ma i polinomi f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 e g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 sono uguali se e solo se a \u003d 3 e b = -2. Sia dato il polinomio f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 e un certo numero c. Numero f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 è chiamato il valore del polinomio f (x) in x=c. Quindi, per trovare f (c), invece di x, devi sostituire c nel polinomio ed eseguire i calcoli necessari. Ad esempio, se f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, allora f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Il polinomio per valori differenti della variabile x può assumere valori differenti. Il numero c è detto radice del polinomio f (x) se f (c) =0.

Prestiamo attenzione alla differenza tra le due affermazioni: "il polinomio f (x) è uguale a zero (o, che è lo stesso, il polinomio f (x) è zero)" e "il valore del polinomio f ( x) in x=c è uguale a zero". Ad esempio, il polinomio f (x) \u003d x 2 -1 non è uguale a zero, ha coefficienti diversi da zero e il suo valore in x \u003d 1 è zero. f(x) ≠ 0 e f(1) =0. Esiste una stretta relazione tra i concetti di uguaglianza dei polinomi e il valore di un polinomio. Se sono dati due polinomi uguali f(x) e g(x), allora i loro rispettivi coefficienti sono uguali, e quindi f(c) = g(c) per ogni numero c.

Operazioni sui polinomi I polinomi possono essere aggiunti, sottratti e moltiplicati usando le regole usuali per l'apertura di parentesi e la riduzione dei termini simili. In questo caso, il risultato è di nuovo un polinomio. Queste operazioni hanno proprietà note: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h(x), f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x).

Siano dati due polinomi f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 e g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. È chiaro che l'art. f(x)=n, e l'art. g(x)=m. Se moltiplichi questi due polinomi, ottieni un polinomio della forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Poiché an≠ 0 e bn≠ 0, allora anbm≠ 0, il che significa che st. (f(x)g(x))=m+n. Da ciò segue un'importante affermazione.

Il grado del prodotto di due polinomi diversi da zero è uguale alla somma dei gradi dei fattori, art. (f (x) g (x)) =st. f (x) + st. g(x). Il termine più alto (coefficiente) del prodotto di due polinomi diversi da zero è uguale al prodotto dei termini più alti (coefficienti) dei fattori. Il termine libero del prodotto di due polinomi è uguale al prodotto dei termini liberi dei fattori. I gradi dei polinomi f (x), g (x) e f (x) ±g (x) sono correlati dalla seguente relazione: st. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Viene chiamata una sovrapposizione di polinomi f (x) e g (x). polinomio, indicato con f (g (x)), che si ottiene sostituendo x nel polinomio f (x) con il polinomio g (x). Ad esempio, se f(x)=x 2+2 x-1 e g(x) =2 x+3 allora f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3)2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1)+ 3=2x2+4x+1. Si può notare che f (g (x)) ≠g (f (x)), cioè la sovrapposizione dei polinomi f (x), g (x) e la sovrapposizione dei polinomi g (x), f ( x) sono diversi. Pertanto, l'operazione di sovrapposizione non ha la proprietà di essere spostabile.

, Algoritmo per la divisione con resto Per ogni f(x), g(x) ci sono q(x) (quoziente) e r(x) (resto) tali che f(x)=g(x)q(x)+ r(x) e il grado r(x)

Divisori di un polinomio Il divisore di un polinomio f(x) è un polinomio g(x) tale che f(x)=g(x)q(x). Massimo comun divisore di due polinomi Il massimo comun divisore di f(x) e g(x) è il loro comun divisore d(x) che è divisibile per qualsiasi altro comun divisore.

Algoritmo di Euclide (algoritmo di divisione successiva) per trovare il massimo comun divisore dei polinomi f(x) e g(x) Allora - il massimo comun divisore di f(x) e g(x).

Riduci la frazione Soluzione: trova il MCD di questi polinomi usando l'algoritmo di Euclide 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 - x2 - 3 x - 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Pertanto, il polinomio (- x2 - 3 x - 2) è il MCD del numeratore e denominatore di questa frazione. Il risultato della divisione del denominatore per questo polinomio è noto.

Trova il risultato della divisione del numeratore. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Quindi, la risposta:

Schema di Horner Dividere il polinomio f(x) con resto per un polinomio diverso da zero g(x) significa rappresentare f(x) come f(x)=g(x) s(x)+r(x), dove s (x ) e r(x) -polinomi e r(x)=0 o st. r(x)

I polinomi ai lati sinistro e destro di questa relazione sono uguali, il che significa che i loro coefficienti corrispondenti sono uguali. Eguagliamoli aprendo prima le parentesi e portando termini simili sul lato destro di questa uguaglianza. Otteniamo: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Ricordiamo che dobbiamo trovare il quoziente incompleto, cioè i suoi coefficienti, e il resto. Esprimiamole dalle uguaglianze ottenute: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Abbiamo trovato formule con le quali possiamo calcolare i coefficienti del quoziente parziale s (x) e il resto r. In questo caso, i calcoli vengono effettuati nella forma della tabella seguente; si chiama schema di Horner.

Tabella 1. Coefficienti f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coefficienti s (x) resto Nella prima riga di questa tabella, annotare tutti i coefficienti del polinomio f (x) in una riga, lasciando libera la prima cella. Nella seconda riga nella prima cella scrivi il numero c. Le restanti celle di questa riga vengono riempite, calcolando uno per uno i coefficienti del quoziente incompleto s (x) e il resto r. Nella seconda cella è scritto il coefficiente bn-1 che, come abbiamo stabilito, è uguale ad an.

Il coefficiente in ogni cella successiva viene calcolato secondo la seguente regola: il numero c viene moltiplicato per il numero nella cella precedente e al risultato viene aggiunto il numero sopra la cella da riempire. Per ricordare, diciamo, la quinta cella, cioè per trovare il coefficiente in essa contenuto, devi moltiplicare c per il numero situato nella quarta cella e aggiungere al risultato il numero sopra la quinta cella. Dividi, ad esempio, il polinomio f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 per x-2 con un resto usando lo schema di Horner. Quando si compila la prima riga di questo schema, non bisogna dimenticare i coefficienti zero del polinomio. Quindi, i coefficienti f (x) sono i numeri 3, 0, - 5, 3, - 1. E va anche ricordato che il grado del quoziente incompleto è uno in meno del grado del polinomio f (x).

Quindi, eseguiamo la divisione secondo lo schema di Horner: Tabella 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Otteniamo un quoziente incompleto s (x) \u003d 3 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 17 e il resto r \u003d 33. si noti che allo stesso tempo abbiamo calcolato il valore del polinomio f (2) =33. Dividiamo ora lo stesso polinomio f (x) per x + 2 con resto. In questo caso c=-2. otteniamo: Tabella 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Di conseguenza, abbiamo f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

Radici di polinomi Siano c1, c2, …, cm diverse radici del polinomio f (x). Quindi f (x) è divisibile per x-c1, ovvero f (x) \u003d (x-c 1) s 1 (x). Mettiamo x=c2 in questa equazione. Otteniamo f (c 2) \u003d (c 2 -c 1) s 1 (c 2) e, quindi f (c 2) \u003d 0, quindi (c2 -c1) s 1 (c 2) \u003d 0. Ma c2≠c1, cioè c2 -c1≠ 0, il che significa che s 1 (c 2) \u003d 0. Quindi, c2 è la radice del polinomio s 1 (x). Ne consegue che s 1 (x) è divisibile per x-c2, ovvero s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Sostituisci l'espressione risultante per s 1 (x) nell'uguaglianza f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Abbiamo f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Inserendo l'ultima uguaglianza x \u003d c3, tenendo conto del fatto che f (c 3) \u003d 0, c3≠c1, c3≠c2, otteniamo che c3 è la radice del polinomio s 2 (x). Quindi, s 2 (x) = (xc 3) s 3 (x), e poi f (x) = (xc 1) (xc 2) (xc 3) s 3 (x), ecc. Continuando questi argomenti per il radici rimanenti c4, c5, ..., cm, otteniamo infine f (x) = (xc 1) (xc 2) ... (x-cm) sm (x), cioè l'affermazione formulata di seguito è dimostrata.

Se c1, c2, ..., cm sono radici diverse del polinomio f (x), allora f (x) può essere rappresentato come f (x) \u003d (xc 1) (xc 2) ... (x- cm) mq (x). Ne deriva un importante corollario. Se c1, c2, ..., cm sono diverse radici del polinomio f(x), allora f(x) è divisibile per il polinomio (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Il numero di diverse radici di un polinomio diverso da zero f (x) non è maggiore del suo grado. Infatti, se f(x) non ha radici, allora è chiaro che il teorema è vero, perché l'art. f(x) ≥ 0. Ora f(x) abbia m radici ñ1, ñ2, …, ñm, e sono tutte diverse. Allora, per quanto appena dimostrato, f (x) è divisibile per (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). In tal caso, l'art. f(x)≥st. ((x-s1) (x-s2) ... (x-sm)) \u003d st. (x-c1) + p. (x-c2) + ... + st. (x-cm) \u003d m, ovvero l'art. f(x)≥m, em è il numero di radici del polinomio considerato. Ma il polinomio zero ha infinite radici, perché il suo valore per ogni x è 0. In particolare, per questo motivo, non gli viene assegnato alcun grado definito. Dal teorema appena dimostrato segue la seguente affermazione.

Se il polinomio f(x) non è un polinomio di grado maggiore di n e ha più di n radici, allora f(x) è un polinomio nullo. Infatti, dalle condizioni di questa affermazione segue che o f (x) è un polinomio zero, oppure l'art. f(x)≤n. Se assumiamo che il polinomio f (x) non sia zero, allora l'art. f (x) ≤n, e quindi f (x) non ha più di n radici. Arriviamo a una contraddizione. Quindi f(x) è un polinomio diverso da zero. Siano f(x) e g(x) polinomi di grado non nulli al massimo n. Se questi polinomi assumono gli stessi valori per n + 1 valori della variabile x, allora f (x) = g (x).

Per dimostrarlo, si consideri il polinomio h (x) = f (x) - g (x). È chiaro che - o h (x) =0, oppure l'art. h (x) ≤n, cioè h (x) non è un polinomio di grado maggiore di n. Sia ora un numero c tale che f (c) = g (c). Quindi h (c) \u003d f (c) - g (c) \u003d 0, ovvero c è la radice del polinomio h (x). Pertanto, il polinomio h (x) ha n + 1 radici, e quando, come appena dimostrato, h (x) = 0, cioè f (x) = g (x). Se f (x) e g (x) prendono gli stessi valori per tutti i valori della variabile x, allora questi polinomi sono uguali

Radici multiple di un polinomio Se c è una radice di un polinomio f(x), è noto che questo polinomio è divisibile per x-c. Può succedere che anche f(x) sia divisibile per qualche potenza polinomio x-s, cioè su (x-c) k, k>1. In questo caso, c è chiamata radice multipla. Formuliamo la definizione più chiaramente. Un numero c è detto radice di molteplicità k (radice k-fold) di un polinomio f (x) se il polinomio è divisibile per (x -c) k, k>1 (k è un numero naturale), ma non lo è divisibile per (xc) k + uno. Se k=1, allora c è chiamata radice semplice, e se k>1, radice multipla del polinomio f (x).

Se il polinomio f(x) è rappresentato come f(x)=(xc)mg(x), m è un numero naturale, allora è divisibile per (xc) m+1 se e solo se g(x) è divisibile di su xs. Infatti, se g(x) è divisibile per x-c, cioè g(x)=(xc)s(x), allora f(x)=(xc) m+1 s(x), e quindi f(x) è divisibile per (xc) m+1. Viceversa, se f(x) è divisibile per (x-c) m+1, allora f(x)=(x-c) m+1 s(x). Quindi (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) e dopo la riduzione di (x-c)m otteniamo g(x)=(x-c)s(x). Ne consegue che g(x) è divisibile per x-c.

Scopriamo, ad esempio, se il numero 2 è la radice del polinomio f (x) \u003d x 5 -5 x 4 + 3 x 3 + 22 x 2 -44 x + 24 e, in tal caso, trova la sua molteplicità . Per rispondere alla prima domanda, utilizziamo lo schema di Horner per verificare se f(x) è divisibile per x-2. abbiamo: Tabella 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Come puoi vedere, il resto quando si divide f (x) per x-2 è 0, cioè è diviso per x -2. Quindi 2 è la radice di questo polinomio. Inoltre, abbiamo ottenuto che f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Ora scopriamo se f(x) è per (x-2) 2. Questo dipende, come abbiamo appena dimostrato, dalla divisibilità del polinomio g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 per x-2.

Usiamo ancora lo schema di Horner: Tabella 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x 2 -5x+6). Allora f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Quindi, f(x) è divisibile per (x-2) 2, ora dobbiamo scoprire se f(x) è divisibile per (x-2)3. Per fare ciò, controlla se h (x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 è divisibile per x-2: Tabella 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Otteniamo che h (x ) è divisibile per x-2, il che significa che f(x) è divisibile per (x-2) 3 e f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Successivamente, in modo simile, controlliamo se f (x) è divisibile per (x-2) 4, ovvero è s (x) \u003d x 2 + x-3 divisibile per x-2: Tabella 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Troviamo che il resto quando si divide s (x) per x-2 è 3, cioè s (x) non è divisibile per x-2. Quindi f(x) non è divisibile per (x-2) 4. Quindi f(x) è divisibile per (x-2)3, ma non divisibile per (x-2)4. Pertanto, il numero 2 è una radice della molteplicità 3 del polinomio f(x).

Di solito, il controllo della radice per la molteplicità viene eseguito in una tabella. Per questo esempio, questa tabella ha il seguente aspetto: Tabella 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 In altre parole, secondo lo schema di divisione di Horner del polinomio f (x) per x-2, nella seconda riga si ottengono i coefficienti del polinomio g (x). Quindi questa seconda riga è considerata la prima riga nuovo sistema Horner ed eseguiamo la divisione di g (x) per x-2, ecc. continuiamo i calcoli fino a ottenere un resto diverso da zero. In questo caso, la molteplicità della radice è uguale al numero di residui zero ottenuti. La riga contenente l'ultimo resto diverso da zero contiene anche i coefficienti del quoziente quando si divide f (x) per (x-2) 3.

Ora, usando lo schema appena proposto per verificare la molteplicità della radice, risolviamo il seguente problema. Per che cosa aeb il polinomio f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 ha il numero - 2 come radice di molteplicità 2? Poiché la molteplicità della radice - 2 dovrebbe essere uguale a 2, quindi, eseguendo la divisione per x + 2 secondo lo schema proposto, dovremmo ottenere il resto 0 due volte e la terza volta - il resto diverso da zero. Abbiamo: Tabella 9

Pertanto, il numero - 2 è una radice della molteplicità 2 del polinomio originale se e solo se

radici razionali polinomio Se la frazione irriducibile l/m (l, m sono interi) è la radice di un polinomio f (x) con coefficienti interi, allora il coefficiente direttivo di questo polinomio è divisibile per m e il termine libero è divisibile per 1. Infatti, se f(x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, dove an, an-1, . . . , a 1, a 0 sono numeri interi, quindi f(l/m) =0, ovvero an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/mq+a 0=0. Moltiplichiamo entrambe le parti di questa uguaglianza per mn. Otteniamo anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Ciò implica anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Vediamo che l'intero anln è divisibile per m. Ma l/m è una frazione irriducibile, cioè i numeri l ed m sono coprimi, e quindi, come è noto dalla teoria della divisibilità degli interi, anche i numeri ln ed m sono coprimi. Quindi anln è divisibile per m e m è coprime per ln, quindi an è divisibile per m. Trova le radici razionali del polinomio f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Secondo il teorema, le radici razionali di questo polinomio sono tra le frazioni irriducibili della forma l/m, dove l è il divisore del termine libero a 0=8, e m è il divisore del coefficiente direttivo a 4=6 . allo stesso tempo, se la frazione l/m è negativa, il segno "-" sarà riferito al numeratore. Ad esempio, - (1/3) = (-1) /3. Quindi possiamo dire che l è un divisore di 8 e m è un divisore positivo di 6.

Poiché i divisori del numero 8 sono ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, e i divisori positivi del numero 6 sono 1, 2, 3, 6, allora le radici razionali del polinomio in esame sono tra i numeri ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Ricordiamo che abbiamo scritto solo frazioni irriducibili. Quindi, abbiamo venti numeri - "candidati" per le radici. Resta solo da controllare ciascuno di essi e selezionare quelli che sono davvero radici. il seguente teorema semplifica questo lavoro. Se la frazione irriducibile l/m è la radice di un polinomio f(x) a coefficienti interi, allora f(k) è divisibile per l-km per ogni intero k, purché l-km≠ 0.

Per dimostrare questo teorema, dividiamo f(x) per xk con resto. Otteniamo f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Poiché f(x) è un polinomio con coefficienti interi, lo è anche il polinomio s(x) e f(k) è un intero. Sia s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Allora f(x)-f(k)=(xk) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Mettiamo in questa uguaglianza 1 x=l/m. Considerando che f(l/m)=0, otteniamo f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Moltiplichiamo entrambe le parti dell'ultima uguaglianza per mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Ne consegue che l'intero mnf (k) è divisibile per l-km. Ma poiché l e m sono relativamente primi, anche mn e l-km sono relativamente primi, il che significa che f(k) è divisibile per l-km. Il teorema è stato dimostrato.

Torniamo al nostro esempio e, utilizzando il teorema dimostrato, restringeremo ulteriormente il cerchio delle ricerche radici razionali. Applichiamo il teorema indicato per k=1 e k=-1, cioè se la frazione irriducibile l/m è la radice del polinomio f(x), allora f(1)/(lm), e f(-1 )/(l + m). È facile trovare che nel nostro caso f(1)=-5, e f(-1)=-15. Si noti che allo stesso tempo abbiamo escluso dalla considerazione ± 1. Quindi, le radici razionali del nostro polinomio dovrebbero essere ricercate tra i numeri ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Considera l/m=1/2. Allora l-m=-1 ef (1) =-5 è divisibile per questo numero. Inoltre, l + m = 3 ef (1) = -15 è anche divisibile per 3. Quindi la frazione 1/2 rimane tra i "candidati" per le radici.

Lascia ora lm=-(1/2)=(-1)/2. In questo caso, l-m=-3 ef (1) =-5 non è divisibile per - 3. Quindi la frazione -1/2 non può essere la radice di questo polinomio, e la escludiamo da ulteriori considerazioni. Controlliamo per ciascuna delle frazioni sopra scritte, otteniamo che le radici desiderate sono comprese tra i numeri 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Quindi, con un trucco piuttosto semplice, abbiamo ristretto significativamente l'area di ricerca per radici razionali del polinomio considerato. Bene, per controllare i numeri rimanenti, applichiamo lo schema di Horner: Tabella 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vediamo che 1/2 è la radice del polinomio f(x) e f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3x3+8x2-8x-8). È chiaro che tutte le altre radici del polinomio f (x) coincidono con le radici del polinomio g (x) \u003d 3 x 3 + 8 x 2 -8 x-8, il che significa che un'ulteriore verifica dei "candidati" per le radici possono già essere eseguite per questo polinomio. Trova: Tabella 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 2/3 non è una radice del polinomio g(x), e quindi nemmeno f(x). Successivamente, troviamo che - 2/3 è la radice del polinomio g (x) e g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Allora f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Ulteriori verifiche possono essere effettuate per il polinomio x 2+2 x-4, che, ovviamente, è più facile che per g (x) o ancor di più per f (x). Di conseguenza, otteniamo che i numeri 2 e - 4 non sono radici. Quindi, il polinomio f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 3 -24 x 2 -8 x + 8 ha due radici razionali: 1/2 e - 2/3. Questo metodo permette di trovare solo radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Nel frattempo, anche un polinomio può avere radici irrazionali. Quindi, ad esempio, il polinomio considerato nell'esempio ha altre due radici: - 1 ± √ 5 (queste sono le radici del polinomio x2 + 2 x-4). un polinomio potrebbe non avere affatto radici razionali.

Quando si testano i "candidati" per le radici del polinomio f(x) utilizzando il secondo dei precedenti teoremi, quest'ultimo viene solitamente utilizzato per i casi k = ± 1. In altre parole, se l/m è un "candidato" per le radici, quindi si controlla se f( 1) e f (-1) rispettivamente su lm e l+m. Ma può succedere che, ad esempio, f (1) = 0, cioè 1 è la radice, e quindi f (1) sia divisibile per qualsiasi numero, e il nostro controllo perde di significato. In questo caso, dovresti dividere f(x) per x-1, cioè ottenere f(x)=(x-1)s(x), e verificare il polinomio s(x). In questo caso non bisogna dimenticare che abbiamo già trovato una radice del polinomio f(x)-x 1=1. Se controlliamo i "candidati" per le radici rimanenti dopo aver utilizzato il secondo teorema sulle radici razionali, secondo lo schema di Horner, otteniamo che, ad esempio, l / m è una radice, quindi dovrebbe essere trovata la sua molteplicità. Se è, diciamo, k, allora f(x)=(x-l/m) ks (x), e ulteriori controlli possono essere effettuati per s(x), che riduce il calcolo.

Soluzione. Effettuata la modifica della variabile y=2 x, si passa ad un polinomio con coefficiente pari ad uno al massimo grado. Per fare ciò, moltiplica prima l'espressione per 4. Se la funzione risultante ha radici intere, allora sono tra i divisori del termine libero. Scriviamoli: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15±, ± 20, ± 30, ± 60

Calcoliamo in sequenza i valori della funzione g(y) in questi punti fino ad ottenere lo zero. Cioè, y=-5 è la radice, quindi è la radice della funzione originale. Eseguiamo la divisione per una colonna (angolo) di un polinomio per un binomio

Non è consigliabile continuare a controllare i restanti divisori, poiché è più facile fattorizzare il risultato trinomio quadrato Di conseguenza,

Utilizzo della moltiplicazione ridotta e delle formule binomiali di Newton per scomporre un polinomio aspetto esteriore polinomio suggerisce un modo per fattorizzarlo. Ad esempio, dopo semplici trasformazioni, i coefficienti si allineano in una linea dal triangolo di Pascal per i coefficienti binomiali di Newton. Esempio. Fattorizzare un polinomio.

Soluzione. Trasformiamo l'espressione nella forma: La sequenza dei coefficienti della somma tra parentesi indica chiaramente di cosa si tratta, quindi applichiamo ora la formula della differenza dei quadrati: L'espressione nella seconda parentesi non ha radici reali, e per il polinomio da alla prima parentesi applichiamo ancora la formula della differenza dei quadrati

Formule Vieta che esprimono i coefficienti di un polinomio in termini di radici. È conveniente utilizzare queste formule per verificare la correttezza della ricerca delle radici di un polinomio, nonché per comporre un polinomio dalle sue radici date. Formulazione Se sono le radici di un polinomio allora i coefficienti sono espressi come polinomi simmetrici nelle radici, ovvero

In altre parole, ak è uguale alla somma di tutti i possibili prodotti di k radici. Se è il coefficiente principale del polinomio, allora per applicare la formula di Vieta, è necessario prima dividere tutti i coefficienti per uno 0. In questo caso, le formule di Vieta danno un'espressione per il rapporto di tutti i coefficienti con il più alto. Dall'ultima formula di Vieta consegue che se le radici di un polinomio sono intere, allora sono divisori del suo termine libero, che è anche intero. La dimostrazione si effettua considerando l'uguaglianza ottenuta espandendo il polinomio in termini di radici, dato che a 0 \u003d 1 Uguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x, otteniamo le formule di Vieta.

Risolvi l'equazione x 6 - 5 x 3 + 4 = 0 Soluzione. Indichiamo y \u003d x 3, quindi l'equazione originale assume la forma y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, risolvendo che otteniamo Y 1 \u003d 1; Y 2 = 4. Pertanto, l'equazione originale è equivalente all'insieme delle equazioni: x 3 = 1 o x 3 = 4, ovvero X 1 = 1 o X 2 = Risposta: 1;

Teorema di Bezout Definizione 1. Un elemento si dice radice di un polinomio se f(c)=0. Il teorema di Bezout. Il resto della divisione del polinomio Pn(x) per il binomio (x-a) è uguale al valore di questo polinomio in x = a. Prova. In virtù dell'algoritmo di divisione, f(x)=(xc)q(x)+r(x), dove o r(x)=0, oppure, e quindi. Quindi f(x)=(xc)q(x)+r, quindi f(c)=(cc)q(c)+r=r e quindi f(x)=(xc)q(x) +f( C).

Corollario 1: Il resto della divisione del polinomio Pn (x) per il binomio ax+b è uguale al valore di questo polinomio in x = -b/a, cioè R=Pn (-b/a). Corollario 2: Se il numero a è la radice del polinomio P (x), allora questo polinomio è divisibile per (x-a) senza resto. Corollario 3: Se il polinomio P(x) ha radici distinte a coppie a 1 , a 2 , … , an, allora è divisibile per il prodotto (x-a 1) … (x-an) senza resto. Corollario 4: Un polinomio di grado n ha al massimo n radici distinte. Corollario 5: Per ogni polinomio P(x) e un numero a, la differenza (P(x)-P(a)) è equamente divisibile per il binomio (x-a). Corollario 6: Il numero a è radice di un polinomio P(x) di grado almeno il primo se e solo se P(x) è divisibile per (x-a) senza resto.

Scomposizione di una frazione razionale in più semplici Mostriamo che qualsiasi frazione razionale propria può essere scomposta in una somma di frazioni più semplici. Sia data una frazione razionale propria (1).

Teorema 1. Sia x=a la radice del denominatore di brevità k, cioè, dove f(a)≠ 0, allora questa frazione propria può essere rappresentata come la somma di altre due frazioni proprie come segue: (2) , dove A è una costante diversa da zero, ma F 1(x) è un polinomio il cui grado è inferiore al grado del denominatore

dove è un polinomio il cui grado è inferiore al grado del denominatore. E analogamente alla formula precedente, puoi ottenere: (5)

Eccetera. è di natura generale e Grande importanza per studiare l'INTERO corso matematica superiore. Oggi ripeteremo le equazioni della "scuola", ma non solo quelle della "scuola", ma quelle che si trovano ovunque in vari compiti del vyshmat. Come al solito, la storia andrà in modo applicato, ad es. Non mi concentrerò su definizioni, classificazioni, ma condividerò esattamente con voi esperienza personale soluzioni. Le informazioni sono destinate principalmente ai principianti, ma i lettori più preparati troveranno anche molti spunti interessanti per se stessi. E ovviamente ci sarà nuovo materiale, fuori portata Scuola superiore.

Quindi l'equazione... Molte persone ricordano questa parola con un brivido. Quali sono le equazioni "fantasiose" con le radici... ...dimenticale! Perché ulteriormente incontrerai i "rappresentanti" più innocui di questa specie. O noioso equazioni trigonometriche con decine di soluzioni. Sinceramente neanche a me sono piaciuti... Niente panico! - quindi sei atteso principalmente dai "tarassaco" con una soluzione ovvia in 1-2 passaggi. Anche se la "bardana", ovviamente, si aggrappa, qui devi essere obiettivo.

Stranamente, nella matematica superiore è molto più comune avere a che fare con equazioni molto primitive come lineare equazioni.

Cosa significa risolvere questa equazione? Ciò significa - trovare TALE valore di "x" (radice), che lo trasforma in una vera uguaglianza. Capovolgiamo la "troika" a destra con un cambio di segno:

e rilascia i "due" sul lato destro (o, la stessa cosa: moltiplica entrambe le parti per) :

Per verificare, sostituiamo il trofeo vinto nell'equazione originale:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che il valore trovato è effettivamente la radice data equazione. O, come si suol dire, soddisfa questa equazione.

Nota che la radice può anche essere scritta come frazione decimale:
E cerca di non attenerti a questo brutto stile! Il motivo l'ho ripetuto molte volte, in particolare alla prima lezione su algebra superiore.

A proposito, l'equazione può anche essere risolta "in arabo":

E la cosa più interessante: questo record è completamente legale! Ma se non sei un insegnante, allora è meglio non farlo, perché l'originalità è punibile qui =)

E ora un po '

metodo di soluzione grafica

L'equazione ha la forma e la sua radice è Coordinata "x". punti di intersezione grafico della funzione lineare con programma funzione lineare (asse delle ascisse):

Sembrerebbe che l'esempio sia così elementare che non c'è nient'altro da analizzare qui, ma un'altra sfumatura inaspettata può essere "spremuta" fuori da esso: rappresentiamo la stessa equazione nella forma e tracciamo i grafici delle funzioni:

in cui, per favore non confondere i due: un'equazione è un'equazione, e funzioneè una funzione! Funzioni solo aiuto trova le radici dell'equazione. Di cui possono essercene due, tre, quattro e anche infiniti. L'esempio più vicino in questo senso è che tutti lo sanno equazione quadrata, al cui algoritmo di soluzione è stato assegnato un elemento separato formule scolastiche "calde".. E questo non è un caso! Se riesci a risolvere un'equazione quadratica e lo sai il teorema di Pitagora, allora, si potrebbe dire, “il pavimento della matematica superiore è già in tasca” =) Esagerato, certo, ma non così lontano dalla verità!

E quindi, non siamo troppo pigri e risolviamo alcune equazioni di secondo grado algoritmo standard:

, quindi l'equazione ha due differenti valido radice:

È facile verificare che entrambi i valori trovati soddisfino davvero questa equazione:

Cosa fare se all'improvviso hai dimenticato l'algoritmo della soluzione e non ci sono strumenti/aiuti a portata di mano? Una situazione del genere può verificarsi, ad esempio, durante un test o un esame. Usiamo il metodo grafico! E ci sono due modi: puoi costruire a punti parabola , scoprendo così dove interseca l'asse (se si incrocia affatto). Ma è meglio agire in modo più astuto: presentiamo l'equazione nella forma, disegniamo grafici di funzioni più semplici e Coordinate "x". i loro punti di intersezione, a colpo d'occhio!


Se risulta che la linea tocca la parabola, l'equazione ha due radici (multiple) coincidenti. Se si scopre che la linea non interseca la parabola, non ci sono vere radici.

Per fare questo, ovviamente, devi essere in grado di costruire grafici di funzioni elementari, ma d'altra parte, queste abilità sono alla portata anche di uno scolaro.

E ancora: un'equazione è un'equazione e le funzioni sono funzioni che solo aiutato risolvi l'equazione!

E qui, tra l'altro, sarebbe opportuno ricordare ancora una cosa: se tutti i coefficienti dell'equazione vengono moltiplicati per un numero diverso da zero, le sue radici non cambieranno.

Quindi, per esempio, l'equazione ha le stesse radici. Come la "prova" più semplice, prenderò la costante tra parentesi:
e rimuoverlo indolore (Divido entrambe le parti in "meno due"):

MA! Se consideriamo la funzione , qui è già impossibile sbarazzarsi della costante! È possibile solo togliere il moltiplicatore da parentesi: .

Molti sottovalutano il metodo della soluzione grafica, considerandolo qualcosa di "non dignitoso", e alcuni addirittura dimenticano completamente questa possibilità. E questo è fondamentalmente sbagliato, perché la trama a volte salva solo la giornata!

Un altro esempio: supponiamo di non ricordare le radici della più semplice equazione trigonometrica:. La formula generale è nei libri di testo scolastici, in tutti i libri di riferimento sulla matematica elementare, ma non sono disponibili per te. Tuttavia, risolvere l'equazione è fondamentale (altrimenti "due"). C'è un'uscita! - costruiamo grafici di funzioni:


dopodiché scriviamo con calma le coordinate "x" dei loro punti di intersezione:

Ci sono infinite radici e la loro notazione piegata è accettata in algebra:
, dove ( – insieme di numeri interi) .

E, senza "allontanarsi dalla cassa", qualche parola sul metodo grafico per risolvere le disuguaglianze con una variabile. Il principio è lo stesso. Quindi, ad esempio, qualsiasi "x" è la soluzione alla disuguaglianza, perché la sinusoide giace quasi interamente sotto la retta. La soluzione alla disuguaglianza è l'insieme di intervalli su cui i pezzi della sinusoide giacciono rigorosamente al di sopra della retta (ascissa):

o, in breve:

Ed ecco l'insieme delle soluzioni alla disuguaglianza - vuoto, poiché nessun punto della sinusoide si trova al di sopra della retta.

Qualcosa non è chiaro? Studia urgentemente le lezioni su imposta e grafici delle funzioni!

Riscaldamento:

Esercizio 1

Risolvi graficamente le seguenti equazioni trigonometriche:

Risposte a fine lezione

Come puoi vedere, per studiare le scienze esatte, non è affatto necessario stipare formule e libri di riferimento! Inoltre, questo è un approccio fondamentalmente vizioso.

Come ti ho già rassicurato all'inizio della lezione, le complesse equazioni trigonometriche nel corso standard di matematica superiore devono essere risolte molto raramente. Tutta la complessità, di regola, termina con equazioni come , la cui soluzione è costituita da due gruppi di radici, derivati ​​dalle equazioni più semplici e . Non preoccuparti troppo della soluzione di quest'ultimo: cerca in un libro o trovalo su Internet =)

Il metodo grafico di risoluzione può aiutare anche nei casi meno banali. Si consideri, ad esempio, la seguente equazione "eterogenea":

Le prospettive per la sua soluzione sembrano ... non guardano affatto, ma basta presentare l'equazione nella forma, costruire grafici delle funzioni e tutto sarà incredibilmente semplice. Il disegno è nel mezzo dell'articolo su funzioni infinitesime (si apre nella scheda successiva).

Stesso metodo grafico puoi scoprire che l'equazione ha già due radici e una di esse è uguale a zero e l'altra, a quanto pare, irrazionale e appartiene al segmento. Questa radice può essere calcolata approssimativamente, ad esempio, metodo tangente. A proposito, in alcuni compiti capita che non sia necessario trovare le radici, ma scoprirlo esistono affatto. E anche qui un disegno può aiutare: se i grafici non si intersecano, non ci sono radici.

Radici razionali di polinomi a coefficienti interi.
Lo schema di Horner

E ora ti suggerisco di volgere lo sguardo al Medioevo e di sentire l'atmosfera unica dell'algebra classica. Per una migliore comprensione del materiale, consiglio almeno una piccola dimestichezza con numeri complessi.

Sono i più. Polinomi.

L'oggetto di nostro interesse saranno i polinomi più comuni della forma con totale coefficienti. Numero naturale chiamata grado polinomiale, numero - coefficiente al massimo grado (o solo il coefficiente più alto), e il coefficiente è membro libero.

Indicherò questo polinomio piegato per .

Radici polinomiali chiamate radici dell'equazione

Adoro la logica del ferro =)

Ad esempio, andiamo all'inizio dell'articolo:

Non ci sono problemi nel trovare le radici dei polinomi di 1° e 2° grado, ma man mano che si aumenta questo compito diventa sempre più difficile. Ma d'altra parte, tutto è più interessante! Ed è a questo che sarà dedicata la seconda parte della lezione.

Primo, letteralmente mezzo schermo di teoria:

1) Secondo il corollario teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio di grado ha esattamente integrato radici. Alcune radici (o anche tutte) possono essere in particolare valido. Inoltre, tra le vere radici possono esserci radici identiche (multiple). (minimo due, massimo pezzi).

Se un numero complesso è una radice di un polinomio, allora coniugare il suo numero è anche necessariamente la radice di questo polinomio (coniugato radici complesse assomigliare ).

L'esempio più semplice è l'equazione quadratica, che è stata incontrata per la prima volta in 8 (piace) classe, e che alla fine abbiamo "finito" nell'argomento numeri complessi. Ti ricordo: un'equazione quadratica ha due radici reali diverse, o radici multiple, o radici complesse coniugate.

2) Da Teoremi di Bezout ne consegue che se il numero è la radice dell'equazione, allora il polinomio corrispondente può essere fattorizzato:
, dove è un polinomio di grado .

E ancora, il nostro vecchio esempio: poiché è la radice dell'equazione , allora . Dopodiché, è facile ottenere la famosa scomposizione "scuola".

La conseguenza del teorema di Bezout è di grande valore pratico: se conosciamo la radice dell'equazione di 3° grado, allora possiamo rappresentarla nella forma e da equazione quadrataè facile riconoscere il resto delle radici. Se conosciamo la radice dell'equazione di 4° grado, è possibile espandere il lato sinistro in un prodotto, ecc.

E ci sono due domande qui:

Domanda uno. Come trovare questa radice? Definiamo innanzitutto la sua natura: in molti problemi di matematica superiore è necessario trovare razionale, in particolare totale le radici dei polinomi, ea questo proposito, inoltre, ci interesseremo principalmente a loro.... …sono così buoni, così soffici, che vorresti trovarli! =)

La prima cosa che si suggerisce è il metodo di selezione. Si consideri, ad esempio, l'equazione . Il problema qui è nel termine libero - se fosse uguale a zero, allora tutto sarebbe traforato - mettiamo la "x" tra parentesi e le radici stesse "cadono" in superficie:

Ma il nostro termine libero è uguale al "tre", e quindi iniziamo a sostituire nell'equazione vari numeri, rivendicando il titolo di "radice". Innanzitutto si suggerisce la sostituzione dei singoli valori. Sostituire :

Ricevuto errato uguaglianza, quindi, l'unità "non si adattava". Ok, inseriamolo:

Ricevuto corretta uguaglianza! Cioè, il valore è la radice di questa equazione.

Per trovare le radici di un polinomio di 3° grado, esiste un metodo analitico (le cosiddette formule Cardano), ma ora siamo interessati a un problema leggermente diverso.

Poiché - è la radice del nostro polinomio, allora il polinomio può essere rappresentato nella forma e sorge Seconda domanda: come trovare il "fratello minore"?

Le considerazioni algebriche più semplici suggeriscono che per questo è necessario dividere per. Come dividere un polinomio per un polinomio? Lo stesso metodo scolastico che divide i numeri ordinari: una "colonna"! Questo metodo Ho analizzato in dettaglio nei primi esempi della lezione Limiti complessi, e ora considereremo un altro metodo, chiamato Lo schema di Horner.

Innanzitutto, scriviamo il polinomio "senior". con tutti , compresi i coefficienti zero:
, dopodiché inseriamo questi coefficienti (rigorosamente in ordine) nella riga superiore della tabella:

A sinistra scriviamo la radice:

Farò immediatamente una prenotazione che lo schema di Horner funzioni anche se il numero "rosso". nonè la radice del polinomio. Tuttavia, non affrettiamo le cose.

Prendiamo il coefficiente senior dall'alto:

Il processo di riempimento delle celle inferiori ricorda in qualche modo il ricamo, dove "meno uno" è una specie di "ago" che permea i passaggi successivi. Moltiplichiamo il numero "demolito" per (-1) e aggiungiamo il numero dalla cella in alto al prodotto:

Moltiplichiamo il valore trovato per "l'ago rosso" e aggiungiamo il seguente coefficiente di equazione al prodotto:

E, infine, il valore risultante viene nuovamente "elaborato" con un "ago" e un coefficiente superiore:

Zero nell'ultima cella ci dice che il polinomio è diviso in senza traccia (come dovrebbe essere), mentre i coefficienti di dilatazione vengono "rimossi" direttamente dalla riga inferiore della tabella:

Quindi, siamo passati dall'equazione a un'equazione equivalente, e tutto è chiaro con le due radici rimanenti (in questo caso si ottengono radici complesse coniugate).

L'equazione, tra l'altro, può essere risolta anche graficamente: build "cerniera" e osserva che il grafico incrocia l'asse x () al punto. O lo stesso trucco "astuto": riscriviamo l'equazione nella forma , disegniamo grafici elementari e rileviamo la coordinata "x" del loro punto di intersezione.

A proposito, il grafico di qualsiasi funzione polinomiale di 3° grado incrocia l'asse almeno una volta, il che significa che l'equazione corrispondente ha almeno uno valido radice. Questo fatto è vero per qualsiasi funzione polinomiale di grado dispari.

E qui voglio fermarmi anche io punto importante per quanto riguarda la terminologia: polinomio e funzione polinomiale – non è lo stesso! Ma in pratica parlano spesso, ad esempio, del "grafo polinomiale", che, ovviamente, è negligente.

Ma torniamo al piano di Horner. Come ho detto di recente, questo schema funziona anche per altri numeri, ma se il numero nonè la radice dell'equazione, quindi nella nostra formula appare un additivo (resto) diverso da zero:

Cerchiamo di "guidare" il valore "non riuscito" secondo lo schema di Horner. Allo stesso tempo, è conveniente utilizzare la stessa tabella: scriviamo un nuovo "ago" a sinistra, demoliamo il coefficiente più alto dall'alto (freccia verde sinistra), e via:

Per verificare, apriamo le parentesi e diamo termini simili:
, OK.

È facile vedere che il resto ("sei") è esattamente il valore del polinomio in . E infatti - che cos'è:
, e ancora più bello - in questo modo:

Dai calcoli di cui sopra, è facile capire che lo schema di Horner consente non solo di fattorizzare il polinomio, ma anche di effettuare una selezione "civile" della radice. Ti suggerisco di correggere in modo indipendente l'algoritmo di calcolo con un piccolo compito:

Compito 2

Usando lo schema di Horner, trova l'intera radice dell'equazione e fattorizza il polinomio corrispondente

In altre parole, qui devi controllare in sequenza i numeri 1, -1, 2, -2, ... - fino a quando non viene "disegnato" un resto zero nell'ultima colonna. Ciò significa che l'"ago" di questa linea è la radice del polinomio

I calcoli sono comodamente organizzati in un'unica tabella. Soluzione dettagliata e la risposta alla fine della lezione.

Il metodo di selezione delle radici è buono per relativamente casi semplici, ma se i coefficienti e/o il grado del polinomio sono grandi, il processo potrebbe essere ritardato. O forse alcuni valori della stessa lista 1, -1, 2, -2 e non ha senso considerarli? E, inoltre, le radici potrebbero rivelarsi frazionarie, il che porterà a un colpo completamente non scientifico.

Fortunatamente, ci sono due potenti teoremi che possono ridurre significativamente l'enumerazione dei valori "candidati" per le radici razionali:

Teorema 1 Ritenere irriducibile frazione, dove. Se il numero è la radice dell'equazione, il termine libero è divisibile per e il coefficiente principale è divisibile per.

In particolare, se il coefficiente principale è , allora questa radice razionale è intera:

E iniziamo a sfruttare il teorema proprio da questo gustoso particolare:

Torniamo all'equazione. Poiché il suo coefficiente principale è , le ipotetiche radici razionali possono essere esclusivamente intere e il termine libero deve essere divisibile per queste radici senza resto. E i "tre" possono essere divisi solo in 1, -1, 3 e -3. Cioè, abbiamo solo 4 "candidati per le radici". E, secondo Teorema 1, altri numeri razionali non possono essere radici di questa equazione IN PRINCIPIO.

Ci sono un po' più di "richiedenti" nell'equazione: il termine libero è diviso in 1, -1, 2, -2, 4 e -4.

Si noti che i numeri 1, -1 sono "regolari" dell'elenco delle possibili radici (ovvia conseguenza del teorema) e la maggior parte la scelta migliore per il primo controllo

Passiamo ad esempi più significativi:

Compito 3

Soluzione: essendo il coefficiente direttivo , allora le ipotetiche radici razionali possono essere solo intere, mentre devono essere divisori del termine libero. "Meno quaranta" è diviso nelle seguenti coppie di numeri:
- un totale di 16 "candidati".

E qui compare subito un pensiero allettante: è possibile estirpare tutte le radici negative o tutte positive? In alcuni casi puoi! Formulerò due segni:

1) Se tutti i coefficienti di un polinomio sono non negativi o tutti non positivi, quindi non può avere radici positive. Sfortunatamente, questo non è il nostro caso (Ora, se ci fosse data un'equazione - allora sì, quando la sostituzione di qualsiasi valore del polinomio è strettamente positiva, il che significa che tutto numeri positivi (e anche irrazionale) non possono essere radici dell'equazione.

2) Se i coefficienti per le potenze dispari sono non negativi, e per tutte le potenze pari (incluso membro gratuito) sono negativi, allora il polinomio non può avere radici negative. Oppure “specchio”: i coefficienti per i gradi dispari non sono positivi, per tutti quelli pari sono positivi.

Questo è il nostro caso! Guardando da vicino, puoi vedere che quando una "x" negativa viene sostituita nell'equazione, il lato sinistro sarà rigorosamente negativo, il che significa che le radici negative scompaiono

Pertanto, rimangono 8 numeri per la ricerca:

"Caricali" costantemente secondo lo schema Horner. Spero che tu abbia già imparato i calcoli mentali:

La fortuna ci stava aspettando quando abbiamo testato il "deuce". Quindi, è la radice dell'equazione in esame, e

Resta da studiare l'equazione . È facile farlo attraverso il discriminante, ma condurrò un test esponenziale allo stesso modo. Innanzitutto, nota che il termine libero è pari a 20, il che significa che secondo Teorema 1 i numeri 8 e 40 escono dall'elenco delle possibili radici e i valori rimangono per la ricerca (uno è stato eliminato secondo lo schema Horner).

Scriviamo i coefficienti del trinomio nella riga superiore della nuova tabella e iniziamo a controllare con gli stessi "due". Come mai? E poiché le radici possono essere multiple, per favore: - questa equazione ha 10 radici identiche. Ma non divaghiamo:

E qui, ovviamente, sono stato un po' furbo, sapendo che le radici sono razionali. Dopotutto, se fossero irrazionali o complessi, avrei un controllo senza successo di tutti i numeri rimanenti. Pertanto, in pratica, fatevi guidare dal discriminante.

Risposta: radici razionali: 2, 4, 5

Nel problema analizzato siamo stati fortunati perché: a) sono subito caduti valori negativi, e b) abbiamo trovato la radice molto rapidamente (e teoricamente potremmo controllare l'intero elenco).

Ma in realtà la situazione è molto peggiore. Ti invito a guardare un gioco emozionante chiamato "The Last Hero":

Compito 4

Trova le radici razionali di un'equazione

Soluzione: su Teorema 1 i numeratori di ipotetiche radici razionali devono soddisfare la condizione (leggi "dodici è divisibile per birra"), e i denominatori della condizione . Sulla base di questo, otteniamo due elenchi:

"lista el":
e "elencali": (per fortuna qui i numeri sono naturali).

Ora facciamo un elenco di tutte le possibili radici. Innanzitutto, dividiamo la "lista di birre" per . È abbastanza chiaro che gli stessi numeri risulteranno. Per comodità mettiamoli in una tabella:

Molte frazioni sono state ridotte, risultando in valori che sono già nella "lista degli eroi". Aggiungiamo solo "nuovi arrivati":

Allo stesso modo, dividiamo la stessa "lista di birre" per:

e infine via

Pertanto, il team di partecipanti al nostro gioco è composto da:


Sfortunatamente, il polinomio di questo problema non soddisfa il criterio "positivo" o "negativo", e quindi non possiamo scartare la riga superiore o inferiore. Devi lavorare con tutti i numeri.

Come è il tuo stato d'animo? Dai, alza il naso: c'è un altro teorema che può essere chiamato in senso figurato il "teorema dell'assassino" .... ... "candidati", ovviamente =)

Ma prima devi scorrere il diagramma di Horner per almeno uno il tutto numeri. Tradizionalmente, ne prendiamo uno. Nella riga superiore scriviamo i coefficienti del polinomio e tutto è come al solito:

Poiché quattro è chiaramente diverso da zero, il valore non è la radice del polinomio in questione. Ma lei ci aiuterà molto.

Teorema 2 Se per alcuni generalmente il valore del polinomio è diverso da zero: , quindi le sue radici razionali (se sono) soddisfare la condizione

Nel nostro caso e quindi tutte le possibili radici devono soddisfare la condizione (chiamiamola Condizione #1). Questi quattro saranno i "killer" di molti "candidati". A titolo dimostrativo, darò un'occhiata ad alcuni controlli:

Controlliamo il candidato. Per fare ciò, lo rappresentiamo artificialmente come una frazione, da cui si vede chiaramente che. Calcoliamo la differenza di controllo: . Quattro è diviso per "meno due": il che significa che la possibile radice ha superato il test.

Controlliamo il valore. Qui, la differenza del test è: . Naturalmente, e quindi anche la seconda "materia di prova" rimane nell'elenco.

La questione della ricerca delle radici razionali di un polinomio F(X)Q[X] (con coefficienti razionali) si riduce alla questione di trovare le radici razionali dei polinomi K ∙ F(X)Z[X] (con coefficienti interi). Qui il numero Kè il minimo comune multiplo dei coefficienti del polinomio dato.

Necessario ma non condizioni sufficienti l'esistenza di radici razionali di un polinomio a coefficienti interi è data dal seguente teorema.

Teorema 6.1 (sulle radici razionali di un polinomio a coefficienti interi). Se – radice razionale di un polinomioF(X) = un n  X n + + …+ un 1  X + un 0 da totale coefficienti, e(P, Q) = 1, quindi il numeratore della frazionePè un divisore del termine libero a 0 , e il denominatoreQè il divisore del coefficiente direttivo a 0 .

Teorema 6.2.Se Q ( dove (P, Q) = 1) è una radice razionale del polinomio F(X) con coefficienti interi, quindi
–numeri interi.

Esempio. Trova tutte le radici razionali di un polinomio

F(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.

1. Per il Teorema 6.1: se – radice razionale di un polinomio F(X), ( dove( P, Q) = 1), poi un 0 = 1 P, un n = 6 Q. Ecco perché P { 1}, Q (1, 2, 3, 6), così

.

2. È noto che (Corollario 5.3) il numero maè la radice del polinomio F(X) se e solo se F(X) diviso per ( x - a).

Pertanto, per verificare se i numeri 1 e -1 sono le radici del polinomio F(X) puoi usare lo schema di Horner:

F(1) = 60,F(–1) = 120, quindi 1 e -1 non sono radici del polinomio F(X).

3. Per eliminare alcuni dei numeri rimanenti
, utilizziamo il Teorema 6.2. Se espressioni o
prende valori interi per i corrispondenti valori del numeratore P e denominatore Q, quindi nelle celle corrispondenti della tabella (vedi sotto) scriveremo la lettera "c", altrimenti - "dr".

=
=

4. Utilizzando lo schema di Horner, controlliamo se i numeri rimanenti dopo la vagliatura saranno
radici F(X). Prima dividi F(X) sul ( X – ).

Di conseguenza abbiamo: F(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) e - radice F(X). Privato Q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2 dividere per ( X + ).

Perché Q (–) = 30, allora (-) non è una radice del polinomio Q(X), e quindi il polinomio F(X).

Infine, dividiamo il polinomio Q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 su ( X – ).

Ricevuto: Q () = 0, cioè la radice Q(X), il che significa che la radice F (X). Quindi il polinomio F (X) ha due radici razionali: e.

Esenzione dall'irrazionalità algebrica al denominatore di una frazione

In un corso scolastico, quando si risolvono alcuni tipi di problemi per liberarsi dall'irrazionalità al denominatore di una frazione, basta moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per il numero coniugato al denominatore.

Esempi. 1.T =
.

Qui, la formula di moltiplicazione abbreviata (differenza di quadrati) funziona al denominatore, il che consente di eliminare l'irrazionalità nel denominatore.

2. Sbarazzati dell'irrazionalità nel denominatore di una frazione

T =
. Espressione: quadrato incompleto della differenza di numeri ma=
e B= 1. Usando la formula di moltiplicazione ridotta ma 3 – B 3 = (un +B) · ( un 2 – ab + B 2 ), possiamo definire il moltiplicatore m = (un +B) =
+ 1, per cui si devono moltiplicare numeratore e denominatore della frazione T per sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore della frazione T. In questo modo,

In situazioni in cui le formule di moltiplicazione ridotte non funzionano, è possibile utilizzare altri trucchi. Di seguito formuleremo un teorema, la cui dimostrazione, in particolare, ci permette di trovare un algoritmo per eliminare l'irrazionalità al denominatore di una frazione in situazioni più complesse.

Definizione 6.1. Numero z chiamata algebrica su un campo F se esiste un polinomio F(X) F[X], la cui radice è z, altrimenti il ​​numero z chiamata trascendente sul campoF.

Definizione 6.2.Laurea algebrica su campo F numeri zè il grado dell'irriducibile sul campo F polinomio P(X)F[X], la cui radice è il numero z.

Esempio. Mostriamo che il numero z =
è algebrica sul campo Q e trova il suo grado.

Troviamo l'irriducibile sul campo Q polinomio P(X), la cui radice è X =
. Solleviamo entrambi i lati dell'uguaglianza X =
alla quarta potenza, otteniamo X 4 = 2 o X 4 – 2 = 0. Quindi, P(X) = X 4 – 2, e la potenza del numero zè uguale a gradi P(X) = 4.

Teorema 6.3 (sulla liberazione dall'irrazionalità algebrica al denominatore di una frazione).Lascia starez – numero algebrico sul campoFgradon. Espressione della formaT = ,dove F(X), (X)F[X], (z) 0

può essere rappresentato solo nella forma:

T = da n -1 z n -1 + C n -2 z n -2 + … + C 1 z + C 0 , C io F.

Dimostreremo l'algoritmo per eliminare l'irrazionalità nel denominatore di una frazione utilizzando un esempio specifico.

Esempio. Sbarazzati dell'irrazionalità al denominatore di una frazione:

T =

1. Il denominatore della frazione è il valore del polinomio (X) = X 2 – X+1 quando X =
. L'esempio precedente lo mostra
è un numero algebrico su un campo Q grado 4, poiché è la radice di un over irriducibile Q polinomio P(X) = X 4 – 2.

2. Trova l'espansione lineare di gcd ( (X), P(X)) utilizzando l'algoritmo di Euclide.

_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1

X 4 - X 3 + x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 - X 2 – 2

X 3 - X 2 + x

X 2 - X + 1 | – X –2 = R 1 (X )

X 2 + 2 X – x + 3 = Q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = R 2

– X –2 -X - =Q 3 (X)

Quindi, NOD ( (X), P(X)) = R 2 = 7. Trova la sua espansione lineare.

Scriviamo la successione di Euclide usando la notazione dei polinomi.

P(X) = (X) · Q 1 (X) + R 1 (X)
R 1 (X) =P(X) – (X) · Q 1 (X)

Quando si risolvono equazioni e disuguaglianze, diventa spesso necessario fattorizzare un polinomio il cui grado è uguale a tre o superiore. In questo articolo, esamineremo il modo più semplice per farlo.

Come al solito, rivolgiamoci alla teoria per chiedere aiuto.

Il teorema di Bezout afferma che il resto della divisione di un polinomio per un binomio è .

Ma non è il teorema in sé che è importante per noi, ma corollario da esso:

Se il numero è la radice di un polinomio, allora il polinomio è divisibile senza resto per il binomio.

Ci troviamo di fronte al compito di trovare in qualche modo almeno una radice del polinomio, quindi dividere il polinomio per , dove è la radice del polinomio. Di conseguenza, otteniamo un polinomio il cui grado è uno in meno del grado di quello originale. E poi, se necessario, puoi ripetere il processo.

Questo compito è diviso in due: come trovare la radice di un polinomio e come dividere un polinomio in un binomio.

Diamo un'occhiata più da vicino a questi punti.

1. Come trovare la radice di un polinomio.

Innanzitutto, controlliamo se i numeri 1 e -1 sono le radici del polinomio.

I seguenti fatti ci aiuteranno qui:

Se la somma di tutti i coefficienti di un polinomio è zero, allora il numero è la radice del polinomio.

Ad esempio, in un polinomio la somma dei coefficienti è uguale a zero: . È facile verificare qual è la radice di un polinomio.

Se la somma dei coefficienti di un polinomio a potenze pari è uguale alla somma dei coefficienti a potenze dispari, allora il numero è una radice del polinomio. Il termine libero è considerato un coefficiente di grado pari, poiché , a è un numero pari.

Ad esempio, in un polinomio la somma dei coefficienti ai gradi pari è : , e la somma dei coefficienti ai gradi dispari è : . È facile verificare qual è la radice di un polinomio.

Se né 1 né -1 sono radici del polinomio, allora andiamo avanti.

Per un polinomio di grado ridotto (cioè un polinomio in cui il coefficiente direttivo - il coefficiente di - è uguale a uno), vale la formula di Vieta:

Dove sono le radici del polinomio.

Esistono anche formule Vieta relative ai coefficienti rimanenti del polinomio, ma è questa che ci interessa.

Da questa formula Vieta ne consegue che se le radici del polinomio sono intere, allora sono divisori del suo termine libero, che è anche un intero.

Basato su questo, dobbiamo scomporre il termine libero del polinomio in fattori e, in sequenza, da minore a maggiore, verificare quale dei fattori è la radice del polinomio.

Si consideri, ad esempio, il polinomio

Divisori membri gratuiti: ; ; ;

La somma di tutti i coefficienti del polinomio è uguale, quindi il numero 1 non è la radice del polinomio.

La somma dei coefficienti alle potenze pari:

La somma dei coefficienti alle potenze dispari:

Pertanto, anche il numero -1 non è una radice del polinomio.

Verifichiamo se il numero 2 è la radice del polinomio: quindi il numero 2 è la radice del polinomio. Quindi, secondo il teorema di Bezout, il polinomio è divisibile senza resto per il binomio.

2. Come dividere un polinomio in un binomio.

Un polinomio può essere diviso in un binomio da una colonna.

Dividiamo il polinomio in una colonna binomiale:

C'è un altro modo per dividere un polinomio in un binomio: lo schema di Horner.

Guarda questo video per capire come dividere un polinomio per un binomio per una colonna e usare lo schema di Horner.

Noto che se, dividendo per una colonna, un certo grado di incognita è assente nel polinomio originale, scriviamo 0 al suo posto, proprio come quando si compila una tabella per lo schema di Horner.

Quindi, se dobbiamo dividere un polinomio in un binomio e come risultato della divisione otteniamo un polinomio, allora possiamo trovare i coefficienti del polinomio usando lo schema di Horner:

Possiamo anche usare Lo schema di Horner per verificare se dato numero la radice del polinomio: se il numero è la radice del polinomio, allora il resto della divisione del polinomio per è zero, cioè nell'ultima colonna della seconda riga dello schema di Horner, otteniamo 0.

Utilizzando lo schema di Horner, "uccidiamo due piccioni con una fava": allo stesso tempo controlliamo se il numero è la radice di un polinomio e dividiamo questo polinomio per un binomio.

Esempio. Risolvi l'equazione:

1. Scriviamo i divisori del termine libero e cercheremo le radici del polinomio tra i divisori del termine libero.

Divisori di 24:

2. Verificare se il numero 1 è la radice del polinomio.

La somma dei coefficienti di un polinomio, quindi, il numero 1 è la radice del polinomio.

3. Dividi il polinomio originale in un binomio usando lo schema di Horner.

A) Scrivi i coefficienti del polinomio originale nella prima riga della tabella.

Poiché il membro contenitore è assente, scriviamo 0 nella colonna della tabella in cui deve essere scritto il coefficiente at. A sinistra scriviamo la radice trovata: il numero 1.

B) Compila la prima riga della tabella.

Nell'ultima colonna, come previsto, abbiamo ottenuto zero, abbiamo diviso il polinomio originale in un binomio senza resto. I coefficienti del polinomio risultante dalla divisione sono mostrati in blu nella seconda riga della tabella:

È facile verificare che i numeri 1 e -1 non siano radici del polinomio

C) Continuiamo la tavola. Verifichiamo se il numero 2 è la radice del polinomio:

Quindi il grado del polinomio, che si ottiene per divisione per uno, è minore del grado del polinomio originario, quindi il numero dei coefficienti e il numero delle colonne sono minori di uno.

Nell'ultima colonna abbiamo -40 - un numero che non è uguale a zero, quindi il polinomio è divisibile per un binomio con resto, e il numero 2 non è una radice polinomiale.

C) Verifichiamo se il numero -2 è la radice del polinomio. Poiché il precedente tentativo non è andato a buon fine, quindi non c'è confusione con i coefficienti, cancellerò la riga corrispondente a questo tentativo:

Bene! Nel resto abbiamo ottenuto zero, quindi il polinomio è stato diviso in un binomio senza resto, quindi il numero -2 è la radice del polinomio. I coefficienti del polinomio, che si ottiene dividendo il polinomio per il binomio, sono riportati in verde nella tabella.

Come risultato della divisione, abbiamo ottenuto un trinomio quadrato , le cui radici sono facilmente riscontrabili dal teorema di Vieta:

Quindi, le radici dell'equazione originale:

{}

Risposta: ( }