Polinomio irriducibileè un polinomio che non può essere scomposto in polinomi non banali. I polinomi irriducibili sono elementi irriducibili di un anello polinomiale.

Un polinomio irriducibile su un campo è un polinomio dalle variabili sul campo è un semplice elemento dell'anello , cioè non può essere rappresentato come un prodotto , dove e sono polinomi con coefficienti da , che sono diversi dalle costanti.

Un polinomio f su un campo F è detto irriducibile (semplice) se ha un grado positivo e non ha divisori non banali (cioè, qualsiasi divisore è associato ad esso o all'unità)

Suggerimento 1

Lascia stare R- irriducibile e maè un qualsiasi polinomio dell'anello F[x]. Allora neanche R divide ma, o R e ma sono coprimi.

Suggerimento 2

Lascia stare F∈ F[x], e il grado di f = 1, quindi f è un polinomio irriducibile.

Per esempio: 1. Prendi un polinomio x+1 sul campo Q. Il suo grado è 1, il che significa che è irriducibile.

2. x2 +1 è irriducibile, perché non ha radici

SLN. Soluzione di sistema. Sistemi congiunti, incompatibili, definiti e indefiniti. Sistemi equivalenti

sistema equazioni lineari su un campo F con variabili х1,…хn è un sistema della forma

ma 11 X 1 + … + A 1n X n= b 1

………………………..

un m1 X 1 + … + A mn X n= b m

dove un ik,B io∈ F, m è il numero di equazioni e n è il numero di incognite. In breve, questo sistema può essere scritto come segue: ai1x1 + … + a in X n= b io (io = 1,…m.)

Questo SLE è una condizione con n variabili libere x 1,….n.

Gli SLN si dividono in incompatibili (non hanno soluzioni) e congiunti (definiti e indefiniti). Un sistema di viste congiunte è detto definito se ha una soluzione univoca; se ha almeno due soluzioni diverse si dice indefinita.

Ad esempio: sul campo Q

x + y \u003d 2 - sistema incompatibile

x - y \u003d 0 - giunto definito (x, y \u003d ½)

2x + 2y \u003d 2 - giunto a tempo indeterminato

Due sistemi L.O sono equivalenti se gli insiemi di soluzioni di questi sistemi sono gli stessi, cioè ogni soluzione di un sistema è contemporaneamente una soluzione di un altro. Si può ottenere un sistema equivalente a questo:

1. sostituendo una delle equazioni con questa equazione, moltiplicata per qualsiasi numero diverso da zero.

2. sostituire una delle equazioni con la somma di questa equazione con un'altra equazione del sistema.

La soluzione del SLE viene effettuata con il metodo di Gauss.

45* Trasformazioni elementari sistemi di equazioni lineari (slu). Metodo Gauss.

def.Trasformazioni elementari S.L.U n-Xia le seguenti trasformazioni:

1. Moltiplicazione di una delle equazioni di sistema del sistema per un elemento diverso da zero del campo.

2. Aggiunte a una delle equazioni del sistema di un'altra equazione, moltiplicate per l'elemento campo.

3. Aggiunte al sistema o esclusione dal sistema di un'equazione diversa da zero 0*х1+0*х2+…+0*хn=0

4. Scambio di equazioni

SuggerimentoSi ottenga il sistema (**) o il sistema (*) con l'ausilio di un numero finito. Trasformazioni elementari. Quindi sistema (**) ~ sistema (*). (Senza attracco)

Vice Quando scriviamo un sistema di equazioni lineari, useremo la notazione matriciale.

a11 a12 ... a1n in1

a21 a22 ... a2n v2

………………….... …

Am1 am2 ... amn locanda

Esempi: 1) 2x1 - x3 = 1 2 0 -1 1

x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

Metodo Gauss

Suggerimento Lascia che il sistema (*)

(a) se tutti i termini liberi sono uguali a 0 tutte vk=0 mn-in soluzioni = F n

(b) k inc=0 0x1+0x2+…+0xn= inc=0 (nessuna soluzione)

2. non tutti aij=0

(a) se il sistema ha un'equazione della forma 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0

(b) se non esistono tali equazioni b1. Escludiamo le equazioni diverse da zero. Troviamo l'indice più piccolo i1, tale che non tutti i coefficienti a xij=0.

0……0……….. …. La seconda colonna con zeri è i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1. Riordinando le equazioni, otterremo che a1i1 = 0

0 ….. 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(assegnazione) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* a2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( fatto un passo

0…. 0… а2i1 … 0…..0..0… …. La matrice)

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. ……………………… ….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

Dopo un numero finito di passaggi, otteniamo che il sistema contiene un'equazione della forma 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0o

0……0 1………….. L1 “Marcia Gauss avanti” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. "inversione

0.....0 0.....1..... L2 0....0 0.....1........0.... .... .0.... .. Gauss”

0 .......00........0....1 L2 0....0 0......0........1... ......0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..

Le variabili xi1, ...... xik sono dette principali, le altre sono libere.

k=n => c-a definito

K c-a indefinito. Alle variabili libere possono essere assegnati valori derivati ​​e possono essere calcolati i valori delle variabili principali.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

Algoritmi per moltiplicare e dividere numeri nel sistema dei numeri decimali

Determinazione delle deviazioni medie e di confine e del numero necessario di selezioni

Rispondi Motovil sul libro di Peter Skarga "Sull'unità della Chiesa di Dio" 1577(?) - in mezzo il primo tvr polemico di Ostrozky.

Domanda n. 1. Evaporazione dell'umidità e decomposizione dei carbonati in un altoforno. Termodinamica della decomposizione dei carbonati.

TUTTI i gradi mancanti (e (o) i termini liberi) senza spazi vuoti sono scritti in ENTRAMBI i polinomi con coefficienti zero.

Viene chiamato un polinomio sull'anello di interi primitivo, se il massimo comun divisore dei suoi coefficienti è 1. Un polinomio con coefficienti razionali l'unico modo rappresentato come prodotto di un numero razionale positivo, chiamato contenuto polinomio e polinomio primitivo. Il prodotto di polinomi primitivi è un polinomio primitivo. Ne consegue che se un polinomio a coefficienti interi è riducibile su un campo numeri razionali, allora è riducibile sull'anello degli interi. Pertanto, il problema di scomporre un polinomio in fattori irriducibili nel campo dei numeri razionali si riduce a un problema simile sull'anello degli interi.

Sia un polinomio con coefficienti interi e contenuto 1, e sia la sua radice razionale. Rappresentiamo la radice del polinomio come una frazione irriducibile. Polinomio F(X) è rappresentato come un prodotto di polinomi primitivi. Di conseguenza,

A. il numeratore è il divisore,

B. denominatore - divisore

C. per qualsiasi numero intero K significato F(K) è un numero intero che può essere diviso senza resto per ( bk-un).

Proprietà elencate permetterci di ridurre il problema del ritrovamento radici razionali polinomio all'enumerazione finale. Un approccio simile viene utilizzato nell'espansione del polinomio F a fattori irriducibili nel campo dei numeri razionali con il metodo di Kronecker. Se polinomiale F(X) grado n diamo, quindi uno dei fattori ha al massimo un grado n/2. Indichiamo questo fattore con G(X). Poiché tutti i coefficienti dei polinomi sono interi, per qualsiasi intero un significato F(un) è divisibile senza resto per G(un). Scegliamo m= 1+n/2 interi distinti un io , io=1,…,m. Per i numeri G(un i) esiste un numero finito di possibilità (il numero di divisori di qualsiasi numero diverso da zero è finito), quindi esiste un numero finito di polinomi che possono essere divisori F(X). Dopo aver eseguito un'enumerazione completa, mostriamo l'irriducibilità del polinomio o la espandiamo in un prodotto di due polinomi. Applichiamo lo schema indicato a ciascun fattore fino a quando tutti i fattori diventano polinomi irriducibili.

L'irriducibilità di alcuni polinomi nel campo dei numeri razionali può essere stabilita utilizzando un semplice criterio di Eisenstein.

Lascia stare F(X) è un polinomio sull'anello di numeri interi. Se esiste un numero primo P, che cosa

I. Tutti i coefficienti del polinomio F(X), ad eccezione del coefficiente al grado più alto, sono divisi per P

II. Il coefficiente al grado più alto non è divisibile per P

III. Il termine libero non è divisibile per

Poi il polinomio F(X) è irriducibile nel campo dei numeri razionali.

Va notato che il criterio di Eisenstein dà condizioni sufficienti irriducibilità dei polinomi, ma non necessaria. Quindi il polinomio è irriducibile nel campo dei numeri razionali, ma non soddisfa il criterio di Eisenstein.

Il polinomio, secondo il criterio di Eisenstein, è irriducibile. Di conseguenza, nel campo dei numeri razionali esiste un polinomio irriducibile di grado n, dove n qualunque numero naturale più di 1.

Qualsiasi numero complesso definisce un punto sul piano. Gli argomenti si troveranno su uno piano complesso, i valori di f-ii si trovano su un altro piano complesso.

F(z)- complesso complesso variabile. Tra le funzioni complesse di una variabile complessa spicca in particolare la classe delle funzioni continue.

Def: Una funzione complessa di una variabile complessa è chiamata continua se , tale che .+

senso geometrico nel seguente:

Specifica un cerchio nel piano complesso, centrato in z0, con raggio< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

Teorema 1: Viene assegnato il polinomio f(z). C(z) è continua in qualsiasi punto del piano complesso.

Corollario: modulo di un polinomio in un campo numeri complessiè una funzione continua.

Teorema 2: - un anello di polinomi con coefficienti complessi, quindi valori tali che .

Teorema 3. (sull'aumento illimitato del modulo di un polinomio):

Teorema di base dell'algebra:

Qualsiasi polinomio nel campo dei numeri complessi non di grado 0 ha almeno una radice nel campo dei numeri complessi.

(Utilizzeremo le seguenti affermazioni nella dimostrazione):

D: 1. Se a n =0, allora z=0 è la radice di f(z).

2. se a n 0, , allora, secondo il Teorema 3, la disuguaglianza definisce una regione del piano complesso che giace al di fuori della circonferenza di raggio S. Non ci sono radici in questa regione, perché pertanto le radici del polinomio f(z) vanno ricercate all'interno della regione .

Considera da T1. ne consegue che la funzione f(z) è continua. Secondo il teorema di Weierstrass, raggiunge il suo minimo in un punto della regione chiusa, cioè . Mostriamo che il punto è un punto di minimo. Perché 0 Å, quindi , perché al di fuori dell'area E del valore di f-ii, allora z 0 è il punto minimo, sull'intero piano complesso. Mostriamo che f(z 0)=0. Supponiamo che non sia così, quindi dal Lemma d'Alembert otteniamo una contraddizione, perché z 0 punto minimo.

Chiusura algebrica:

Def: Un campo P è chiamato algebricamente chiuso se ha almeno una radice su questo campo.

Teorema: Il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso. (d-in segue dal teorema fondamentale dell'algebra).

Campi di razionale e numeri reali non sono algebricamente chiusi.

Scomponibilità:

Teorema: qualsiasi polinomio, nel campo dei numeri complessi, di grado maggiore di 1, può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari.

Corollario 1. Un polinomio di grado n ha esattamente n radici nel campo dei numeri complessi.

Prossimo 2: qualsiasi polinomio nel campo dei numeri complessi di grado maggiore di 1 è sempre riducibile.

Def: Numeri plurale C \ R, cioè i numeri della forma a + bi, dove b non è uguale a 0 - sono chiamati immaginari.

2. Polinomi su un campo. MCD di due polinomi e algoritmo di Euclide. Scomposizione di un polinomio in un prodotto di fattori irriducibili e sua unicità.

def. Polinomio (polinomio) dall'ignoto X sul campo R chiamata Somma algebrica di potenze intere non negative X, preso con un certo coefficiente dal campo R.

Dove aiÎP o

I polinomi sono chiamati pari, se i loro coefficienti sono uguali alle potenze corrispondenti delle incognite.

Viene chiamato il grado di un polinomio. valore più alto esponente dell'incognita, il cui coefficiente è diverso da zero.

Designato: N(f(x))=n

L'insieme di tutti i polinomi su un campo R indicato: P[x].

I polinomi di grado zero coincidono con gli elementi di campo R, diverso da zero è un polinomio zero, il suo grado è indefinito.

Operazioni sui polinomi.

1. Aggiunta.

Sia n³s, quindi , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<P[x],+>

1. l'operazione di addizione è fattibile e l'unicità deriva dall'unicità dell'addizione degli elementi del campo
2. associatività
3. elemento nullo
4. polinomio opposto a quello dato
5. commutatività

- gruppo abeliano

2. Moltiplicazione.

Esplorazione della struttura algebrica<P[x],*>

1. l'operazione è fattibile, perché campo è un'operazione di moltiplicazione. L'unicità deriva dall'unicità delle operazioni sul campo R.
2. associatività
3. polinomio identità
4. solo i polinomi di grado zero sono invertibili

<P[x],*>- semigruppo con elemento identitario (manoide)

Le leggi distributive valgono, quindi<P[x],+,*>è un anello commutativo con identità.

Divisibilità dei polinomi

ODA: polinomio f(x), f(x)нP[x], P– il campo è divisibile per un polinomio g(x), g(x)≠0, g(x)нP[x], se esiste un tale polinomio h(x)нP[x] tale che f(x)=g(x)h(x)

Proprietà di divisibilità:

Esempio:, dividi per una colonna gcd = ( x+3)

Teorema di divisione con resto: Per qualsiasi polinomi f (x), g(x)нP[x], esiste un solo polinomio q(x) E r(x) tale che f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) o r(x)=0.

Idea Dock: consideriamo due casi esistenti n grado g(x)) e dividere f (X) su g (X). L'unicità è una prova di contraddizione.

ODA: F (x) e g(x), f(x), g(x)нP[x], h(x)нP[x] si chiama gcd f (x) e g(x) Se

L'algoritmo di Euclide

Scriviamo il processo di divisione successiva

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)

r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) ecc.

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)

gcd(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)

Idea della dimostrazione: dimostriamo che 1 ) f(x):(totale) d(x) E g(x):(totale) d(x); 2) f(x):(totale) h(x) E g(x):(totale) h(x) lo mostriamo d(x):( interamente) h(x).

Rappresentazione lineare di GCD

T: se d(x) - gcd dei polinomi f (x) e g(x), allora ci sono i polinomi v (x) e u(x)нP[x], che cosa f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

Def: f(x) e g(x)нP[x] hanno sempre divisori comuni, cioè polinomi di zero gradi coincidenti con il campo P; se non ci sono altri divisori comuni, allora f(x) e g(x) sono coprimi. (simbolo: (f(x),g(x))=1)

T:f (X) E g(x) coprime i.i.t.c. esistono polinomi v(x) e u(x)нP[x] tali che f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Proprietà dei polinomi coprimi

1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, quindi (f(x),g(x)*q(x))=1
2. f(x)*g(x):(intero)h(x) e (f(x),g(x))=1, quindi g(x):( intero) h(x)
3. f(x):(intero)g(x), f(x):(intero)h(x) e ( g(x),h(x))=1, quindi f(x):(interamente) g(x)*h(x)

ODA: Viene chiamato il polinomio f(x), f(x)нP[x]. citato su un campo P se può essere scomposto in fattori i cui gradi sono maggiori di 0 e minori del grado f(x), cioè

F (x)=f 1 (x)f 2 (x), dove i gradi f 1 e f 2 >0,

La riducibilità dei polinomi dipende dal campo su cui vengono considerati. Un polinomio è irriducibile (un polinomio che non fattorizza in fattori inferiori) sul campo Q, ed è riducibile sul campo R.

Proprietà dei polinomi irriducibili:

1. Un polinomio di grado zero è riducibile su qualsiasi campo
2. Se polinomiale f(x) non portare oltre il campo R, quindi il polinomio a f(x) inoltre non è dato sul campo R.
3. Siano polinomi f (X) e p(x) sopra il campo R, e p(x) è irriducibile sul campo R, poi ci sono casi

1) polinomi f (X) e p(x) coprimi

2) f(x):(totale) p(x)

Un campo F si dice algebricamente chiuso se un qualsiasi polinomio di grado positivo su F ha radice in F.

Teorema 5.1 (teorema di base dell'algebra polinomiale). Il campo dei numeri complessi è chiuso algebricamente.

Conseguenza 5 .1.1. Al di sopra DA esistono polinomi irriducibili solo di primo grado.

Corollario 5.1.2. Polinomio n esimo grado sopra DA Esso ha n radici complesse.

Teorema 5.2. Se  è una radice complessa di un polinomio F con coefficienti reali, allora anche il complesso coniugato è una radice F.

Conseguenza 5 .2.1. Al di sopra R esistono polinomi irriducibili di solo primo o secondo grado.

Corollario 5.2.2. Radici immaginarie di un polinomio sopra R diviso in coppie di coniugati complessi.

Esempio 5.1. Fattorizzare in fattori irriducibili DA e oltre R polinomio X 4 + 4.

Soluzione. abbiamo

X 4 + 4 =X 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (X 2 + 2) 2 – 4X 2 = (X 2 – 2X+ 2)(X 2 + 2X+ 2) –

decomposizione finita R. Trovando nel solito modo le radici complesse dei polinomi di secondo grado tra parentesi, otteniamo una scomposizione su DA:

X 4 + 4 = (X – 1 – io) (X – 1 + io) (X + 1 – io) (X + 1 + io).

Esempio 5.2. Costruire un polinomio di grado minimo con coefficienti reali avente radici 2 e 1 + io.

Soluzione. Secondo il Corollario 5.2.2, il polinomio deve avere radici 2, 1 - io e 1+ io. I suoi coefficienti possono essere trovati usando le formule di Vieta:

 1 \u003d 2 + (1 - io) + (1 +io) = 4;

 2 \u003d 2 (1 - io) + 2(1 + io) + (1 – io)(1 + io) = 6;

 3 \u003d 2 (1 - io)(1 + io) = 4.

Da qui F =X 3 – 4X 2 + 6X– 4.

Esercizi.

5.1. Fattorizzare in fattori irriducibili DA e oltre R polinomi:

ma) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

B) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Tracciare un polinomio di grado minimo con coefficienti reali avente radice doppia di 1 e radice semplice di 1 – 2 io.

6. Polinomi nel campo dei numeri razionali

Teorema 6.1 (Criterio di Eisenstein). Lascia stare f = a 0 + un 1 x + ...+ un n X nè un polinomio a coefficienti interi. Se esiste un tale numero primo P, che cosa un 0 , un 1 , … , un n-1 diviso per P, un n non divisibile per P,un 0 non è divisibile per P 2, quindi F non è riducibile nel campo dei numeri razionali.

Esercizio 6.1. Dimostra l'irriducibilità finita Q polinomi:

ma) F= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3; b) F= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teorema 6.2. Lascia stare è una frazione irriducibile che è la radice di un polinomio F = un 0 + un 1 X + … + un n X n con coefficienti interi. Quindi

un 0  P, un n  Q;

F(1)  p-q,F(–1)  p+q.

Questo teorema ci permette di risolvere il problema di trovare le radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Per fare ciò, determiniamo tutti i divisori del termine libero e del coefficiente direttivo e costruiamo da essi tutti i tipi di frazioni irriducibili. Tutte le radici razionali sono contenute tra queste frazioni. Lo schema di Horner può essere utilizzato per determinarli. Per evitare inutili calcoli in esso, utilizziamo l'asserzione 2) del Teorema 6.2.

Esempio 6.1. Trova le radici razionali di un polinomio

F = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Soluzione. Scriviamo tutte le frazioni i cui numeratori P sono i divisori 18 e i denominatori Q- divisori 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Li controlliamo secondo lo schema Horner:

						Un commento
						F(1) = –21  p–q
						F(–1) = –3  p+q
						X 1 = –2
						X 2 = 3/2

Trovare la radice X 1 = -2 e dividendo il polinomio per X+ 2, otteniamo un polinomio con un nuovo termine libero –9 (i suoi coefficienti sono sottolineati). I numeratori delle radici rimanenti devono essere divisori di questo numero e le frazioni che non soddisfano questa condizione possono essere escluse dall'elenco. I restanti valori interi sono esclusi perché non soddisfano la condizione F(1)P – Q o F(–1)P + Q. Ad esempio, per 3 abbiamo P = 3, Q= 1 e la condizione F(1) = –21P – Q(così come la seconda condizione).

Allo stesso modo, trovare la radice X 2 \u003d 3/2, abbiamo ottenuto un polinomio con un nuovo termine libero 3 e un coefficiente senior di 1 (quando la radice è frazionaria, i coefficienti del polinomio risultante dovrebbero essere ridotti). Nessun numero rimanente dall'elenco può più essere la sua radice e l'elenco delle radici razionali è esaurito.

Le radici trovate dovrebbero essere controllate per la molteplicità.

Se nel processo di risoluzione siamo arrivati ​​a un polinomio di secondo grado e l'elenco delle frazioni non è stato ancora esaurito, le radici rimanenti possono essere trovate usando le solite formule come radici di un trinomio quadrato.

Esercizio 6.2. Trova le radici razionali di un polinomio

ma) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

B) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

in 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.