Con un segmento di lunghezza unitaria, i matematici antichi lo sapevano già: conoscevano, ad esempio, l'incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che equivale all'irrazionalità del numero.

Irrazionali sono:

Esempi di prova di irrazionalità

Radice di 2

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione irriducibile, dove e sono interi. Mettiamo al quadrato la presunta uguaglianza:

.

Da ciò ne consegue che anche, quindi, pari e . Lascia dove il tutto. Quindi

Pertanto, anche, quindi, pari e . L'abbiamo ottenuto e siamo pari, il che contraddice l'irriducibilità della frazione. Quindi, l'ipotesi originale era sbagliata ed è un numero irrazionale.

Logaritmo binario del numero 3

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione, dove e sono interi. Poiché , e può essere considerato positivo. Quindi

Ma è chiaro, è strano. Otteniamo una contraddizione.

e

Storia

Il concetto di numeri irrazionali fu adottato implicitamente dai matematici indiani nel VII secolo a.C., quando Manawa (c. 750 a.C. - c. 690 a.C.) scoprì che le radici quadrate di alcuni numeri naturali, come 2 e 61, non possono essere espresse esplicitamente.

La prima prova dell'esistenza di numeri irrazionali è solitamente attribuita a Ippaso di Metaponto (500 aC circa), un pitagorico che trovò questa prova studiando le lunghezze dei lati di un pentagramma. Al tempo dei Pitagorici si credeva che esistesse un'unica unità di lunghezza, sufficientemente piccola e indivisibile, che è un numero intero di volte compreso in ogni segmento. Tuttavia, Ippaso ha sostenuto che non esiste una singola unità di lunghezza, poiché l'ipotesi della sua esistenza porta a una contraddizione. Ha mostrato che se l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele contiene un numero intero di segmenti unitari, allora questo numero deve essere sia pari che dispari allo stesso tempo. La dimostrazione si presentava così:

• Il rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa e la lunghezza della gamba di un triangolo rettangolo isoscele può essere espresso come un:b, dove un e b selezionato come il più piccolo possibile.
• Secondo il teorema di Pitagora: un² = 2 b².
• Come un² anche, un deve essere pari (poiché il quadrato di un numero dispari sarebbe dispari).
• Nella misura in cui un:b irriducibile b deve essere strano.
• Come un anche, denotare un = 2y.
• Quindi un² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², quindi bè pari, quindi b Anche.
• Tuttavia, è stato dimostrato che b strano. Contraddizione.

I matematici greci chiamavano questo rapporto di quantità incommensurabili alogos(inesprimibile), ma secondo le leggende, Ippaso non riceveva il dovuto rispetto. C'è una leggenda secondo cui Ippaso fece la scoperta durante un viaggio per mare e fu gettato in mare da altri pitagorici "per aver creato un elemento dell'universo, che nega la dottrina secondo cui tutte le entità nell'universo possono essere ridotte a numeri interi e ai loro rapporti. " La scoperta di Ippaso ha posto un serio problema per la matematica pitagorica, distruggendo l'assunto alla base dell'intera teoria secondo cui i numeri e gli oggetti geometrici sono uno e inseparabile.

Guarda anche

Appunti

Sistemi numerici
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Comprendere i numeri, in particolare i numeri naturali, è una delle più antiche "abilità" matematiche. Molte civiltà, anche moderne, attribuivano ai numeri proprietà mistiche per la loro grande importanza nel descrivere la natura. Sebbene la scienza e la matematica moderne non confermino queste proprietà "magiche", il significato della teoria dei numeri è innegabile.

Storicamente, molti numeri naturali sono apparsi per la prima volta, poi abbastanza presto sono state aggiunte frazioni e numeri irrazionali positivi. I numeri zero e negativi sono stati introdotti dopo questi sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali. L'ultimo insieme, l'insieme dei numeri complessi, è apparso solo con lo sviluppo della scienza moderna.

Nella matematica moderna, i numeri sono introdotti non in ordine storico, sebbene abbastanza vicino ad esso.

Numeri naturali $\mathbb(N)$

L'insieme dei numeri naturali è spesso indicato come $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, ed è spesso riempito con zero per denotare $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ definisce le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione ($\cdot$) con le seguenti proprietà per qualsiasi $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ l'insieme $\mathbb(N)$ viene chiuso per addizione e moltiplicazione
2. $a+b=b+a$, $a\cpunto b=b\cpunto a$ commutatività
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ associatività
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributività
5. $a\cdot 1=a$ è l'elemento neutro per la moltiplicazione

Poiché l'insieme $\mathbb(N)$ contiene un elemento neutro per la moltiplicazione ma non per l'addizione, l'aggiunta di zero a questo insieme assicura che includa un elemento neutro per l'addizione.

Oltre a queste due operazioni, sull'insieme $\mathbb(N)$ le relazioni "minori di" ($

1. Tricotomia $a b$
2. se $a\leq b$ e $b\leq a$, allora $a=b$ è un'antisimmetria
3. se $a\leq b$ e $b\leq c$, allora $a\leq c$ è transitivo
4. se $a\leq b$, allora $a+c\leq b+c$
5. se $a\leq b$, allora $a\cdot c\leq b\cdot c$

Interi $\mathbb(Z)$

Esempi interi:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

La soluzione dell'equazione $a+x=b$, dove $a$ e $b$ sono numeri naturali noti, e $x$ è un numero naturale sconosciuto, richiede l'introduzione di una nuova operazione: sottrazione(-). Se esiste un numero naturale $x$ che soddisfa questa equazione, allora $x=b-a$. Tuttavia, questa particolare equazione non ha necessariamente una soluzione sull'insieme $\mathbb(N)$, quindi considerazioni pratiche richiedono di estendere l'insieme dei numeri naturali in modo tale da includere soluzioni a tale equazione. Questo porta all'introduzione di un insieme di numeri interi: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Poiché $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, è logico assumere che le operazioni precedentemente introdotte $+$ e $\cdot$ e la relazione $ 1. $0+a=a+0=a$ c'è un elemento neutro per le aggiunte
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ c'è un numero opposto $-a$ per $a$

5. Proprietà:
5. se $0\leq a$ e $0\leq b$, allora $0\leq a\cdot b$

Anche l'insieme $\mathbb(Z) $ è chiuso per sottrazione, ovvero $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Numeri razionali $\mathbb(Q)$

Esempi di numeri razionali:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Consideriamo ora le equazioni della forma $a\cdot x=b$, dove $a$ e $b$ sono interi noti e $x$ è sconosciuto. Per rendere possibile la soluzione, è necessario introdurre l'operazione di divisione ($:$), e la soluzione diventa $x=b:a$, ovvero $x=\frac(b)(a)$. Di nuovo, sorge il problema che $x$ non sempre appartiene a $\mathbb(Z)$, quindi l'insieme degli interi deve essere esteso. Quindi, introduciamo l'insieme dei numeri razionali $\mathbb(Q)$ con gli elementi $\frac(p)(q)$, dove $p\in \mathbb(Z)$ e $q\in \mathbb(N) $. L'insieme $\mathbb(Z)$ è un sottoinsieme in cui ogni elemento $q=1$, quindi $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ e le operazioni di addizione e moltiplicazione si applicano anche a questo insieme secondo alle seguenti regole, che conservano tutte le proprietà di cui sopra anche sull'insieme $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

La divisione va inserita così:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Sull'insieme $\mathbb(Q)$, l'equazione $a\cdot x=b$ ha una soluzione univoca per ogni $a\neq 0$ (non è definita alcuna divisione per zero). Ciò significa che esiste un elemento inverso $\frac(1)(a)$ o $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cpunto a=a)$

L'ordine dell'insieme $\mathbb(Q)$ può essere esteso in questo modo:
$\frac(p_1)(q_1)

L'insieme $\mathbb(Q)$ ha una proprietà importante: tra due numeri razionali qualsiasi ci sono infiniti altri numeri razionali, quindi non ci sono due numeri razionali vicini, in contrasto con gli insiemi di numeri naturali e interi.

Numeri irrazionali $\mathbb(I)$

Esempi di numeri irrazionali:
$\sqrt(2) \circa 1,41422135...$
$\pi \circa 3,1415926535...$

Poiché ci sono infiniti altri numeri razionali tra due numeri razionali qualsiasi, è facile concludere erroneamente che l'insieme dei numeri razionali è così denso che non è necessario espanderlo ulteriormente. Anche Pitagora una volta ha commesso un errore del genere. Tuttavia, i suoi contemporanei hanno già confutato questa conclusione studiando soluzioni dell'equazione $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) sull'insieme dei numeri razionali. Per risolvere una tale equazione, è necessario introdurre il concetto di radice quadrata, e quindi la soluzione di questa equazione ha la forma $x=\sqrt(2)$. Un'equazione del tipo $x^2=a$, dove $a$ è un numero razionale noto e $x$ è sconosciuto, non sempre ha una soluzione sull'insieme dei numeri razionali, e di nuovo è necessario per espandere il set. Sorge un insieme di numeri irrazionali e numeri come $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... appartengono a questo insieme.

Numeri reali $\mathbb(R)$

L'unione degli insiemi di numeri razionali e irrazionali è l'insieme dei numeri reali. Poiché $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, è di nuovo logico supporre che le operazioni e le relazioni aritmetiche introdotte mantengano le loro proprietà sul nuovo insieme. La dimostrazione formale di ciò è molto difficile, per cui le suddette proprietà delle operazioni aritmetiche e delle relazioni sull'insieme dei numeri reali vengono presentate come assiomi. In algebra, un tale oggetto è chiamato campo, quindi l'insieme dei numeri reali è detto campo ordinato.

Affinché la definizione dell'insieme dei numeri reali sia completa, è necessario introdurre un assioma aggiuntivo che distingue gli insiemi $\mathbb(Q)$ e $\mathbb(R)$. Si supponga che $S$ sia un sottoinsieme non vuoto dell'insieme dei numeri reali. Un elemento $b\in \mathbb(R)$ è chiamato limite superiore di $S$ se $\forall x\in S$ soddisfa $x\leq b$. Allora si dice che l'insieme $S$ è limitato dall'alto. Il limite superiore minimo di un insieme $S$ è chiamato supremo ed è indicato con $\sup S$. Le nozioni di limite inferiore, insieme limitato inferiore e infinum $\inf S$ vengono introdotte in modo simile. Ora l'assioma mancante è formulato come segue:

Qualsiasi sottoinsieme non vuoto e delimitato dall'alto dell'insieme dei numeri reali ha un supremo.
Si può anche dimostrare che il campo dei numeri reali sopra definito è unico.

Numeri complessi$\mathbb(C)$

Esempi di numeri complessi:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ dove $i = \sqrt(-1)$ o $i^2 = -1$

L'insieme dei numeri complessi è costituito da tutte le coppie ordinate di numeri reali, ovvero $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, su cui si effettuano le operazioni di addizione e le moltiplicazioni sono definite nel modo seguente:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Esistono diversi modi per scrivere numeri complessi, il più comune dei quali è $z=a+ib$, dove $(a,b)$ è una coppia di numeri reali e il numero $i=(0,1)$ prende il nome di unità immaginaria.

È facile mostrare che $i^2=-1$. L'estensione dell'insieme $\mathbb(R)$ all'insieme $\mathbb(C)$ permette di determinare la radice quadrata dei numeri negativi, motivo per cui è stato introdotto l'insieme dei numeri complessi. È anche facile mostrare che un sottoinsieme dell'insieme $\mathbb(C)$ dato come $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ soddisfa tutti gli assiomi per i numeri reali, quindi $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, o $R\subset\mathbb(C)$.

La struttura algebrica dell'insieme $\mathbb(C)$ rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
1. commutatività di addizione e moltiplicazione
2. associatività di addizione e moltiplicazione
3. $0+i0$ - elemento neutro per l'aggiunta
4. $1+i0$ - elemento neutro per la moltiplicazione
5. la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione
6. Esiste un unico elemento inverso sia per l'addizione che per la moltiplicazione.

Definizione di numero irrazionale

I numeri irrazionali sono quei numeri che, in notazione decimale, sono infinite frazioni decimali non periodiche.

Quindi, ad esempio, i numeri ottenuti prendendo la radice quadrata dei numeri naturali sono irrazionali e non sono quadrati di numeri naturali. Ma non tutti i numeri irrazionali si ottengono estraendo radici quadrate, perché anche il numero "pi" ottenuto dividendo è irrazionale ed è improbabile che lo si ottenga quando si tenta di estrarre la radice quadrata da un numero naturale.

Proprietà dei numeri irrazionali

A differenza dei numeri scritti in infinite frazioni decimali, solo i numeri irrazionali vengono scritti in infinite frazioni decimali non periodiche.
La somma di due numeri irrazionali non negativi può eventualmente essere un numero razionale.
I numeri irrazionali definiscono le sezioni di Dedekind nell'insieme dei numeri razionali, nella classe inferiore di cui non esiste il numero più grande e nella classe superiore non ce n'è uno più piccolo.
Qualsiasi numero trascendentale reale è irrazionale.
Tutti i numeri irrazionali sono algebrici o trascendentali.
L'insieme dei numeri irrazionali sulla linea è densamente imballato e tra due dei suoi numeri è inevitabile che ci sia un numero irrazionale.
L'insieme dei numeri irrazionali è infinito, non numerabile ed è un insieme della 2a categoria.
Quando si esegue qualsiasi operazione aritmetica sui numeri razionali, eccetto la divisione per 0, il suo risultato sarà un numero razionale.
Quando si aggiunge un numero razionale a un numero irrazionale, il risultato è sempre un numero irrazionale.
Quando aggiungiamo numeri irrazionali, possiamo ottenere un numero razionale come risultato.
L'insieme dei numeri irrazionali non è pari.

I numeri non sono irrazionali

A volte è abbastanza difficile rispondere alla domanda se un numero sia irrazionale, specialmente nei casi in cui il numero è sotto forma di frazione decimale o sotto forma di espressione numerica, radice o logaritmo.

Pertanto, non sarà superfluo sapere quali numeri non sono irrazionali. Se seguiamo la definizione di numeri irrazionali, sappiamo già che i numeri razionali non possono essere irrazionali.

I numeri irrazionali non sono:

Primo, tutti i numeri naturali;
In secondo luogo, numeri interi;
In terzo luogo, le frazioni ordinarie;
In quarto luogo, diversi numeri misti;
Quinto, queste sono infinite frazioni decimali periodiche.

Oltre a tutto quanto sopra, qualsiasi combinazione di numeri razionali eseguita dai segni di operazioni aritmetiche, come +, -, , :, non può essere un numero irrazionale, poiché in questo caso il risultato di due numeri razionali sarà anche essere un numero razionale.

Ora vediamo quali dei numeri sono irrazionali:

Conoscete l'esistenza di un fan club in cui i fan di questo misterioso fenomeno matematico cercano nuove informazioni su Pi, cercando di svelarne il mistero. Qualsiasi persona che conosca a memoria un certo numero di numeri Pi dopo la virgola può diventare un membro di questo club;

Lo sapevi che in Germania, sotto la protezione dell'UNESCO, c'è il palazzo Castadel Monte, grazie alle proporzioni di cui puoi calcolare Pi. Un intero palazzo fu dedicato a questo numero dal re Federico II.

Si scopre che hanno cercato di utilizzare il numero Pi nella costruzione della Torre di Babele. Ma con nostro grande rammarico, ciò portò al crollo del progetto, poiché a quel tempo il calcolo esatto del valore di Pi non era sufficientemente studiato.

La cantante Kate Bush nel suo nuovo disco ha registrato una canzone chiamata "Pi", che suonava centoventiquattro numeri della famosa serie 3, 141 ... ..

Il concetto stesso di numero irrazionale è organizzato in modo tale da essere definito attraverso la negazione della proprietà "essere razionale", quindi la prova per contraddizione è qui la più naturale. È possibile, tuttavia, proporre il seguente ragionamento.

In che modo i numeri fondamentalmente razionali differiscono da quelli irrazionali? Entrambi possono essere approssimati da numeri razionali con una data precisione, ma per i numeri razionali esiste un'approssimazione con precisione "zero" (il numero stesso), ma per i numeri irrazionali non è più così. Proviamo a giocarci.

Prima di tutto, notiamo un fatto così semplice. Siano $%\alpha$%, $%\beta$% due numeri positivi che si approssimano a vicenda con una precisione di $%\varepsilon$%, ovvero $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Cosa succede se invertiamo i numeri? In che modo questo cambia la precisione? È facile vedere che $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\beta),$$ che sarà rigorosamente inferiore a $%\varepsilon$% per $%\alpha\beta>1$%. Questa affermazione può essere considerata come un lemma indipendente.

Ora mettiamo $%x=\sqrt(2)$% e sia $%q\in(\mathbb Q)$% un'approssimazione razionale del numero $%x$% con precisione $%\varepsilon$%. Sappiamo che $%x>1$%, e per quanto riguarda l'approssimazione $%q$%, richiediamo che la disuguaglianza $%q\ge1$% sia soddisfatta. Per tutti i numeri inferiori a $%1$%, l'accuratezza dell'approssimazione sarà peggiore di quella dello stesso $%1$%, e quindi non li considereremo.

Aggiungiamo $%1$% a ciascuno dei numeri $%x$%, $%q$%. Ovviamente, la precisione di approssimazione rimarrà la stessa. Ora abbiamo i numeri $%\alpha=x+1$% e $%\beta=q+1$%. Passando ai reciproci e applicando il "lemma", giungiamo alla conclusione che la nostra precisione di approssimazione è migliorata, diventando rigorosamente inferiore a $%\varepsilon$%. La condizione richiesta $%\alpha\beta>1$% è soddisfatta anche con un margine: sappiamo infatti che $%\alpha>2$% e $%\beta\ge2$%, da cui possiamo concludere che la precisione è migliorata di almeno $%4$% volte, ovvero non supera $%\varepsilon/4$%.

Ed ecco il punto principale: per condizione, $%x^2=2$%, ovvero $%x^2-1=1$%, il che significa che $%(x+1)(x- 1) =1$%, ovvero i numeri $%x+1$% e $%x-1$% sono inversi tra loro. E questo significa che $%\alpha^(-1)=x-1$% sarà un'approssimazione del numero (razionale) $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% con un precisione rigorosamente inferiore a $%\varepsilon$%. Resta da aggiungere $%1$% a questi numeri, e si scopre che il numero $%x$%, cioè $%\sqrt(2)$%, ha una nuova approssimazione razionale pari a $%\beta ^(- 1)+1$%, ovvero $%(q+2)/(q+1)$%, con accuratezza "migliorata". Questo completa la dimostrazione, poiché i numeri razionali, come abbiamo notato sopra, hanno un'approssimazione razionale "assolutamente esatta" con un'accuratezza di $%\varepsilon=0$%, dove l'accuratezza non può essere aumentata in linea di principio. E ci siamo riusciti, il che parla dell'irrazionalità del nostro numero.

In effetti, questo argomento mostra come costruire approssimazioni razionali concrete per $%\sqrt(2)$% con una precisione sempre migliore. Dobbiamo prima prendere l'approssimazione $%q=1$%, quindi applicare la stessa formula di sostituzione: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Questo processo produce quanto segue: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ e così via.

Esempio:
\(4\) è un numero razionale, perché può essere scritto come \(\frac(4)(1)\) ;
\(0.0157304\) è anche razionale perché può essere scritto come \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0.333(3)…\) - e questo è un numero razionale: può essere rappresentato come \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) è razionale poiché può essere rappresentato come \(\frac(1)(2)\) . Possiamo infatti eseguire una catena di trasformazioni \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

numero irrazionaleè un numero che non può essere scritto come una frazione con numeratore e denominatore interi.

Impossibile perché senza fine frazioni e anche non periodiche. Pertanto, non esistono numeri interi che, divisi tra loro, darebbero un numero irrazionale.

Esempio:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) è un numero irrazionale;
\(π≈3.1415926… \) è un numero irrazionale;
\(\log_(2)(5)≈2.321928…\) è un numero irrazionale.

Esempio (Compito dell'OGE). Il valore di quale delle espressioni è un numero razionale?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Decisione:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) è anche impossibile rappresentare un numero come una frazione con numeri interi , quindi il numero è irrazionale.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - non sono rimaste radici, il numero può essere facilmente rappresentato come una frazione, ad esempio \(\frac(-5)(1)\) , quindi è razionale.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - la radice non può essere estratta - il numero è irrazionale.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) è anche irrazionale.