PIANO DI LEZIONI lezione di algebra in 7a elementare
Insegnante Prilepova O.A.
Obiettivi della lezione:
Mostra applicazione vari modi per fattorizzare un polinomio
Ripetere i metodi di fattorizzazione e consolidare le proprie conoscenze durante gli esercizi
Sviluppare le abilità e le abilità degli studenti nell'applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate.
Sviluppare pensiero logico studenti e interesse per la materia.
Compiti:
nella direzione crescita personale:
Sviluppo dell'interesse per la creatività matematica e le abilità matematiche;
Sviluppo dell'iniziativa, attività nella risoluzione di problemi matematici;
Coltivare la capacità di prendere decisioni indipendenti.
nella direzione del metasoggetto :
Formazione di modalità generali di attività intellettuale, caratteristiche della matematica e che sono alla base della cultura cognitiva;
Utilizzo della tecnologia ICT;
nell'area tematica:
Padroneggiare le conoscenze e le abilità matematiche necessarie per continuare l'istruzione;
Formazione negli studenti la capacità di cercare modi per fattorizzare un polinomio e trovarli per un polinomio fattorizzato.
Attrezzatura:dispense, schede di percorso con criteri di valutazione,proiettore multimediale, presentazione.
Tipo di lezione:ripetizione, generalizzazione e sistematizzazione del materiale trattato
Forme di lavoro:lavoro in coppia e in gruppo, individuale, collettivo,lavoro autonomo e frontale.
Durante le lezioni:
| Fasi | Piano | UUD | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Momento dell'organizzazione. | Suddivisione in gruppi e coppie: Gli studenti scelgono un compagno in base al seguente criterio: comunico di meno con questo compagno di classe. Umore psicologico: Scegli un'emoticon a tua scelta (l'umore all'inizio della lezione) e sotto di essa guarda il voto che vorresti ricevere oggi nella lezione (SLIDE). - Mettiti nel quaderno a margine del voto che vorresti ricevere oggi a lezione. Contrassegnerai i tuoi risultati nella tabella (SLIDE) Foglio del percorso.
Criteri di valutazione: 1. Ho risolto tutto correttamente, senza errori - 5 2. Durante la risoluzione, ho commesso da 1 a 2 errori - 4 3. Hai commesso da 3 a 4 errori durante la risoluzione - 3 4. Hai commesso più di 4 errori durante la risoluzione - 2 | Nuovi approcci alla didattica (dialogo) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Attualizzazione. | Lavoro collettivo. - Oggi a lezione potrai dimostrare le tue conoscenze, partecipare al controllo reciproco e all'autocontrollo delle tue attività Partita (DIAPOSITIVA): Nella diapositiva successiva, presta attenzione alle espressioni, cosa noti? (VETRINO) 15x3y2 + 5x2y Togliendo il moltiplicatore comune tra parentesi p 2 + pq - 3 p -3 q Metodo di raggruppamento 16m2 - 4n2 Formula di moltiplicazione abbreviata Come possono queste azioni essere unite in una parola? (Metodi di espansione dei polinomi) Dichiarazione da parte degli studenti dell'argomento e dello scopo della lezione come proprio compito di apprendimento (SLIDE). Sulla base di questo, formuliamo l'argomento della nostra lezione e stabiliamo degli obiettivi. Domande per gli studenti: Assegna un nome all'argomento della lezione; Formulare lo scopo della lezione; Ognuno ha le carte con il nome delle formule. (Lavoro in coppia). Assegna formule a tutte le formule | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Applicazione della conoscenza | Lavoro in coppia. Controllo della diapositiva 1. Scegli la risposta corretta (SLIDE). Carte:
| 2. Trova errori (SLIDE): Carte n. Controllo della diapositiva 1 paio: o ( b- y)2 = b2 - 4 by+y2 o 49- c2=(49-c)(49+s) 2 paia: o (r- 10) 2=r2- 20r+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 paia: o (3 anni+1)2=9 anni+6 anni+1 o ( b- a) 2 =b²- 4ba+a2 4 paia: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7-a) 2 \u003d 7- 14a + a² | Formazione secondo caratteristiche dell'età | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. Ad ogni coppia vengono assegnati compiti e un tempo limitato per risolverlo (SLIDE) Controlliamo le schede di risposta 1. Seguire i passaggi: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Fattorizzare: a) ; b) ; in 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. Trova il valore dell'espressione: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) a p = 5. | Gestione e leadership | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. Lavoro di gruppo. Guarda, non commettere errori (SLIDE). Carte. Controlliamo la diapositiva. (à+…)²=…+2…ñ+с² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 m)²=9+…+4 m² (n + 2v)²= n ²+…+4v² | Insegnare il pensiero critico. Gestione e leadership | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. Lavoro di gruppo (consultazione sulla soluzione, discussione dei compiti e loro soluzioni) Ad ogni membro del gruppo vengono assegnati compiti di livello A, B, C. Ciascun membro del gruppo sceglie per sé un compito fattibile. Carte. (Diapositiva) Verifica con le schede di risposta Livello A 1. Calcolalo: a) c 2 - un 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ascia2-4ascia + 4a 2. Procedere come segue: a) (x - 3) (x + 3); b) (x - 3)2; c) x (x - 4). Livello B 1. Semplificare: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2 - 20 bis; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Calcola: a) 962 - 862; b) 1262 - 742. Livello C 1. Risolvi l'equazione: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36(1 - 4x)2 =44 1. Risolvi l'equazione: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1. | Insegnare ai talentuosi e dotati | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Riepilogo della lezione | - Riassumiamo, ricaveremo stime in base ai risultati della tabella. Confronta i tuoi punteggi con il tuo punteggio stimato. Scegli l'emoticon che corrisponde alla tua valutazione (SLIDE). c) il docente valuta il lavoro della classe (attività, livello di conoscenza, abilità, autorganizzazione, diligenza) Lavoro indipendente sotto forma di test con assegno di RISERVA | Valutazione per l'apprendimento e valutazione per l'apprendimento | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Compiti a casa | Continua a insegnare le formule di moltiplicazione abbreviate. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Riflessione | Ragazzi, ascoltate la parabola: (SLIDE) Un saggio stava camminando e tre persone gli stavano incontro, portando dei carri Pietre per la costruzione del Tempio. Il saggio si fermò e chiese a ciascuno Domanda. Il primo ha chiesto: - Cosa hai fatto tutto il giorno? E lui rispose con un sorrisetto che aveva portato pietre maledette tutto il giorno. Il secondo ha chiesto: “E cosa hai fatto tutto il giorno? " E lui ha risposto: "Ho fatto il mio lavoro coscienziosamente". E il terzo gli sorrise, il suo volto si illuminò di gioia e di piacere, e rispose “A Ho partecipato alla costruzione del Tempio”. Qual è il tuo tempio? (Conoscenza) Ragazzi! Chi ha lavorato dalla prima persona? (mostra emoticon) (Punteggio 3 o 2) (DIAPOSITIVA) Chi ha lavorato in buona fede? (Punteggio 4) E chi ha partecipato alla costruzione del Tempio della Conoscenza? (Punteggio 5) | Formazione sul pensiero critico | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Scopo della lezione: la formazione delle capacità di scomporre un polinomio in fattori in vari modi; coltivare la precisione, la perseveranza, la diligenza, la capacità di lavorare in coppia. Dotazioni: proiettore multimediale, PC, materiale didattico. Piano di lezione: 1. Organizzare il tempo; 2. Controllo dei compiti; 3. Lavoro orale; 4. Imparare nuovo materiale; 5. Educazione fisica; 6. Consolidamento del materiale studiato; 7. Lavorare in coppia; 8. Compiti a casa; 9. Riassumendo. Svolgimento della lezione: 1. Momento organizzativo. Assegna gli studenti alla lezione. L'educazione non consiste nella quantità di conoscenza, ma nella piena comprensione e abile applicazione di tutto ciò che si conosce. (Georg Hegel) 2. Controllo dei compiti. Analisi dei compiti nella soluzione dei quali gli studenti hanno avuto difficoltà. 3. Lavoro orale. fattorizzare: 1) 2) 3) ; 4) . Stabilire una corrispondenza tra le espressioni delle colonne di sinistra e di destra: a. 1. b. 2. c. 3. giorno 4. giorno 5. . Risolvi le equazioni: 1. 2. 3. 4. Imparare nuovo materiale. Per fattorizzare i polinomi, abbiamo usato parentesi, raggruppamenti e formule di moltiplicazione abbreviate. A volte è possibile fattorizzare un polinomio applicando successivamente più metodi. Dovresti iniziare la trasformazione, se possibile, togliendo il fattore comune tra parentesi. Per risolvere con successo tali esempi, oggi cercheremo di sviluppare un piano per la loro applicazione coerente.
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Esistere diversi modi fattorizzazione di un polinomio. Molto spesso, in pratica, non vengono utilizzati uno, ma diversi metodi contemporaneamente. Non può esserci un ordine specifico di azioni qui, in ogni esempio tutto è individuale. Ma puoi provare a seguire il seguente ordine:
1. Se esiste un fattore comune, estrarlo dalla parentesi;
2. Successivamente, prova a fattorizzare il polinomio usando le formule di moltiplicazione abbreviate;
3. Se dopo non abbiamo ancora ricevuto il risultato desiderato, dovremmo provare a utilizzare il metodo di raggruppamento.
Formule di moltiplicazione abbreviate
1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);
2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;
3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;
4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);
5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);
Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi:
Esempio 1
Fattorizzare il polinomio: (a^2+1)^2 - 4*a^2
Innanzitutto, applichiamo la formula di moltiplicazione abbreviata "differenza di quadrati" e apriamo le parentesi interne.
(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);
Si noti che le espressioni per il quadrato della somma e il quadrato della differenza di due espressioni si ottengono tra parentesi. Applicali e ottieni la risposta.
a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;
Risposta:(a-1)^2*(a+1)^2;
Esempio 2
Fattorizzare il polinomio 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.
Come puoi vedere direttamente qui, nessuno dei metodi è adatto. Ma ci sono due quadrati, possono essere raggruppati. Proviamo.
4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);
Abbiamo la formula per la differenza dei quadrati nella prima parentesi, e nella seconda parentesi c'è un fattore comune di due. Applichiamo la formula ed eliminiamo il fattore comune.
(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);
Si può notare che si ottengono due parentesi identiche. Li prendiamo come un fattore comune.
(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y )*(2*x-y+2);
Risposta:(2*x+y)*(2*x-y+2);
Come puoi vedere, non esiste un modo universale. Con l'esperienza, l'abilità arriverà e scomporre il polinomio in fattori sarà molto facile.
Questo è uno dei modi più elementari per semplificare un'espressione. Per applicare questo metodo, ricordiamo la legge distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione (non aver paura di queste parole, devi conoscere questa legge, potresti aver dimenticato il suo nome).
La legge dice: per moltiplicare la somma di due numeri per un terzo numero, bisogna moltiplicare ogni termine per questo numero e sommare i risultati, in altre parole.
Puoi anche fare l'operazione inversa, eccolo qui operazione inversa Siamo interessati. Come si evince dal campione, il fattore comune a, può essere tolto dalla parentesi.
Un'operazione simile può essere fatta sia con variabili, come ad esempio e, sia con numeri: .
Sì, questo è un esempio troppo elementare, proprio come l'esempio dato in precedenza, con la scomposizione di un numero, perché tutti sanno cosa sono i numeri e sono divisibili per, ma cosa succede se si ottiene un'espressione più complicata:
Come scoprire in cosa, ad esempio, è diviso un numero, no, con una calcolatrice chiunque può, ma senza di essa è debole? E per questo ci sono segni di divisibilità, vale davvero la pena conoscere questi segni, ti aiuteranno a capire velocemente se il fattore comune può essere tra parentesi.
Segni di divisibilità
Non è così difficile ricordarli, molto probabilmente, la maggior parte di loro ti era già familiare e qualcosa sarà una nuova scoperta utile, maggiori dettagli nella tabella:
Nota: la tabella manca di un segno di divisibilità per 4. Se le ultime due cifre sono divisibili per 4, il numero intero è divisibile per 4.
Bene, come ti piace il segno? Ti consiglio di ricordarlo!
Bene, torniamo all'espressione, magari toglila dalla parentesi e basta? No, è consuetudine che i matematici semplifichino, quindi al massimo, tira fuori TUTTO ciò che è stato tolto!
E quindi, tutto è chiaro con il giocatore, ma per quanto riguarda la parte numerica dell'espressione? Entrambi i numeri sono dispari, quindi non puoi dividere per
Puoi usare il segno di divisibilità per, la somma delle cifre, e, di cui è composto il numero, è uguale ed è divisibile per, il che significa che è divisibile per.
Sapendo questo, puoi tranquillamente dividere in una colonna, come risultato della divisione per otteniamo (i segni di divisibilità sono tornati utili!). Quindi, possiamo togliere il numero dalla parentesi, proprio come y, e di conseguenza abbiamo:
Per assicurarti che tutto sia scomposto correttamente, puoi controllare l'espansione moltiplicando!
Inoltre, il fattore comune può essere eliminato nelle espressioni di potenza. Qui, per esempio, vedete il fattore comune?
Tutti i membri di questa espressione hanno x - eliminiamo, tutti sono divisi per - eliminiamo di nuovo, guardiamo cosa è successo: .
2. Formule di moltiplicazione abbreviate
In teoria sono già state menzionate formule di moltiplicazione abbreviate, se riesci a malapena a ricordare di cosa si tratta, dovresti rinfrescarle nella tua memoria.
Bene, se ti consideri molto intelligente e sei troppo pigro per leggere una tale nuvola di informazioni, allora continua a leggere, guarda le formule e prendi subito gli esempi.
L'essenza di questa espansione è notare nell'espressione che hai davanti a te determinata formula, applicalo e ottieni così il prodotto di qualcosa e qualcosa, questa è tutta decomposizione. Di seguito le formule:
Ora prova a fattorizzare le seguenti espressioni usando le formule precedenti:
Ed ecco cosa sarebbe dovuto succedere:
Come hai notato, queste formule sono molto modo effettivo fattorizzazione, non è sempre adatta, ma può essere molto utile!
3. Metodo di raggruppamento o raggruppamento
Ecco un altro esempio per te:
Bene, cosa hai intenzione di fare con esso? Sembra essere divisibile da e in qualcosa, e qualcosa dentro e dentro
Ma non puoi dividere tutto insieme in una cosa, beh non c'è un fattore comune, come non cercare cosa e lasciarlo senza fattorizzare?
Qui devi mostrare ingegnosità e il nome di questa ingegnosità è un raggruppamento!
Viene utilizzato solo quando non tutti i membri hanno divisori comuni. Per il raggruppamento è necessario trovare gruppi di termini che hanno divisori comuni e riordinarli in modo da ottenere lo stesso moltiplicatore da ciascun gruppo.
Certo, non è necessario riordinare in alcuni punti, ma questo dà visibilità, per chiarezza, puoi prendere singole parti dell'espressione tra parentesi, non è vietato metterle quanto vuoi, l'importante è non confondere i segni.
Tutto questo non è molto chiaro? Mi spiego con un esempio:
In un polinomio - mettiamo un membro - dopo il membro - otteniamo
raggruppiamo i primi due termini in una parentesi separata e raggruppiamo il terzo e il quarto termine allo stesso modo, lasciando il segno meno fuori dalla parentesi, otteniamo:
E ora esaminiamo separatamente ciascuno dei due "mucchi" in cui abbiamo spezzato l'espressione tra parentesi.
Il trucco è suddividerlo in tali pile da cui sarà possibile estrarre il fattore più grande possibile, oppure, come in questo esempio, provare a raggruppare i membri in modo che dopo aver tolto i fattori dalle parentesi dalle pile, si hanno le stesse espressioni tra parentesi.
Da entrambe le parentesi estraiamo i fattori comuni dei membri, dalla prima fascia, e dalla seconda fascia, si ottiene:
Ma non è decomposizione!
Pasino la decomposizione dovrebbe rimanere solo una moltiplicazione, ma per ora abbiamo un polinomio semplicemente diviso in due parti...
MA! Questo polinomio ha un fattore comune. Questo è
fuori dalla parentesi e otteniamo il prodotto finale
Bingo! Come puoi vedere c'è già un prodotto e fuori dalle parentesi non c'è né addizione né sottrazione, la scomposizione è completata, perché non abbiamo altro da togliere dalle parentesi.
Può sembrare un miracolo che dopo aver tolto i fattori dalle parentesi, abbiamo ancora le stesse espressioni tra parentesi, che, ancora una volta, abbiamo tolto dalle parentesi.
E questo non è affatto un miracolo, il fatto è che gli esempi nei libri di testo e nell'esame sono realizzati appositamente in modo tale che la maggior parte delle espressioni nei compiti di semplificazione o fattorizzazione con il giusto approccio ad essi, sono facilmente semplificati e crollano all'improvviso come un ombrello quando si preme un pulsante, quindi cerca proprio quel pulsante in ogni espressione.
Qualcosa che sto divagando, cosa abbiamo lì con la semplificazione? L'intricato polinomio ha assunto una forma più semplice: .
D'accordo, non è così ingombrante come una volta?
4. Selezione di un quadrato intero.
A volte, per applicare le formule per la moltiplicazione abbreviata (ripetere l'argomento), è necessario trasformare il polinomio esistente, presentando uno dei suoi termini come somma o differenza di due termini.
Nel qual caso devi farlo, imparerai dall'esempio:
Un polinomio in questa forma non può essere scomposto utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate, quindi deve essere convertito. Forse all'inizio non ti sarà ovvio in quale termine dividere in quale, ma col tempo imparerai a vedere subito le formule per la moltiplicazione abbreviata, anche se non sono presenti nella loro interezza, e determinerai velocemente cosa manca qui prima formula completa, ma per ora - studio, studente, o meglio uno scolaro.
Per la formula completa del quadrato della differenza, qui invece serve. Rappresentiamo il terzo termine come una differenza, otteniamo: Possiamo applicare la formula del quadrato della differenza all'espressione tra parentesi (da non confondere con la differenza dei quadrati!!!), abbiamo: , a questa espressione, possiamo applicare la formula per la differenza dei quadrati (da non confondere con la differenza al quadrato!!!), immaginando come, otteniamo: .
L'espressione non sempre fattorizzata sembra più semplice e più piccola di quanto non fosse prima della decomposizione, ma in questa forma diventa più mobile, nel senso che non puoi preoccuparti di cambiare segni e altre sciocchezze matematiche. Bene, ecco per te decisione indipendente, le seguenti espressioni devono essere scomposte.
Esempi:
Risposte:
5. Fattorizzazione di un trinomio quadrato
Per la fattorizzazione di un trinomio quadrato, vedere sotto negli esempi di scomposizione.
Esempi di 5 metodi per la fattorizzazione di un polinomio
1. Togliere il fattore comune da parentesi. Esempi.
Ti ricordi cos'è la legge distributiva? Questa è una tale regola:
Esempio:
Fattorizzare un polinomio.
Decisione:
Un altro esempio:
Moltiplicare.
Decisione:
Se l'intero termine è tolto tra parentesi, uno rimane tra parentesi al posto di esso!
2. Formule per la moltiplicazione abbreviata. Esempi.
Le formule più comunemente usate sono la differenza dei quadrati, la differenza dei cubi e la somma dei cubi. Ricordi queste formule? In caso contrario, ripeti urgentemente l'argomento!
Esempio:
Fattorizza l'espressione.
Decisione:
In questa espressione, è facile scoprire la differenza dei cubi:
Esempio:
Decisione:
3. Metodo di raggruppamento. Esempi
A volte è possibile scambiare i termini in modo tale da poter estrarre lo stesso fattore da ciascuna coppia di termini vicini. Questo fattore comune può essere tolto dalla parentesi e il polinomio originale si trasformerà in un prodotto.
Esempio:
Scomponi il polinomio.
Decisione:
Raggruppiamo i termini come segue:
.
Nel primo gruppo, togliamo il fattore comune tra parentesi e nel secondo - :
.
Ora il fattore comune può anche essere tolto da parentesi:
.
4. Il metodo di selezione di un quadrato intero. Esempi.
Se il polinomio può essere rappresentato come la differenza dei quadrati di due espressioni, non resta che applicare la formula di moltiplicazione abbreviata (differenza di quadrati).
Esempio:
Scomponi il polinomio.
Decisione:Esempio:
\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(square\ sums\ ((\left (x+3 \destra))^(2)))-9-7=((\sinistra(x+3 \destra))^(2))-16= \\
=\sinistra(x+3+4 \destra)\sinistra(x+3-4 \destra)=\sinistra(x+7 \destra)\sinistra(x-1 \destra) \\
\end(array)
Scomponi il polinomio.
Decisione:
\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(quadrato\ differenze((\sinistra(((x)^(2))-2 \destra))^(2)))-4-1=((\sinistra(((x)^ (2))-2 \destra))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(array)
5. Fattorizzazione di un trinomio quadrato. Esempio.
Un trinomio quadrato è un polinomio della forma, dove è un'incognita, sono inoltre alcuni numeri.
I valori delle variabili che portano a zero il trinomio quadrato sono detti radici del trinomio. Pertanto, le radici di un trinomio sono le radici di un'equazione quadratica.
Teorema.
Esempio:
Fattorizziamo il trinomio quadrato: .
Per prima cosa, risolviamo l'equazione quadratica: ora possiamo scrivere la fattorizzazione di questo trinomio quadrato in fattori:
Ora la tua opinione...
Abbiamo descritto in dettaglio come e perché fattorizzare un polinomio.
Abbiamo fornito molti esempi di come farlo in pratica, evidenziato le insidie, fornito soluzioni...
Che ne dici?
Ti piace questo articolo? Usi questi trucchi? Capisci la loro essenza?
Scrivi nei commenti e... preparati per l'esame!
Finora, è la cosa più importante della tua vita.
I polinomi sono il tipo più importante di espressioni matematiche. Sulla base dei polinomi è stato costruito un insieme di equazioni, disequazioni e funzioni. Problemi di vari livelli di complessità spesso contengono fasi di trasformazione versatile dei polinomi. Poiché matematicamente qualsiasi polinomio è una somma algebrica di più monomi, il cambiamento più fondamentale e necessario è la trasformazione di una serie di polinomi in un prodotto di due (o più) fattori. Nelle equazioni che hanno la capacità di azzerare una delle parti, la traduzione del polinomio in fattori consente di uguagliare una parte a zero, e quindi risolvere l'intera equazione.
I precedenti video tutorial ci hanno mostrato che nell'algebra lineare ci sono tre modi principali per tradurre i polinomi in fattori. Questo è togliere il fattore comune tra parentesi, raggruppare secondo termini simili, usando formule di moltiplicazione abbreviate. Se tutti i membri del polinomio hanno una base comune, allora può essere facilmente tolto dalle parentesi, lasciando tra parentesi il resto delle divisioni sotto forma di un polinomio modificato. Ma molto spesso, un fattore non si adatta a tutti i monomi, interessando solo una parte di essi. In questo caso, l'altra parte dei monomi può avere una propria base comune. In questi casi, viene applicato un metodo di raggruppamento, ovvero mettendo tra parentesi diversi fattori e creando espressione complessa, che può essere convertito in altri modi. E, infine, c'è un intero complesso di formule speciali. Tutti sono formati da calcoli astratti utilizzando il metodo della più semplice moltiplicazione termine per termine. Durante i calcoli, molti elementi nell'espressione iniziale vengono ridotti, lasciando piccoli polinomi. Per non eseguire calcoli capienti ogni volta, puoi utilizzare formule già pronte, le loro varianti inverse o conclusioni generalizzate di queste formule.
In pratica capita spesso che in un esercizio si debbano combinare più tecniche, comprese quelle della categoria delle trasformazioni polinomiali. Considera un esempio. Fattorizzare per binomio:
Prendiamo tra parentesi il fattore comune 3:
3x3 - 3x2 = 3x(x2 - y2)
Come puoi vedere nel video, le seconde parentesi contengono la differenza dei quadrati. Applichiamo la formula della moltiplicazione abbreviata inversa, ottenendo:
3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)
Un altro esempio. Trasformiamo un'espressione della forma:
18a2 - 48a + 32
Riduciamo i coefficienti numerici mettendo tra parentesi il due:
18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)
Per trovare una formula di moltiplicazione abbreviata adatta per questo caso, è necessario aggiustare leggermente l'espressione adattando la formula alle condizioni:
2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)
A volte, una formula in un'espressione confusa non è così facile da vedere. Si devono applicare i metodi per scomporre l'espressione nei suoi elementi costitutivi, o aggiungere coppie immaginarie di costruzioni, come +x-x. Correggendo l'espressione, dobbiamo rispettare le regole della successione dei segni e la conservazione del significato dell'espressione. Allo stesso tempo, si dovrebbe cercare di portare il polinomio alla piena conformità con la versione astratta della formula. Nel nostro esempio applichiamo la formula del quadrato della differenza:
2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)
Facciamo un esercizio più difficile. Fattorizziamo il polinomio:
U3 - 3y2 + 6y - 8
Per cominciare, eseguiamo un raggruppamento conveniente - il primo e il quarto elemento in un gruppo, il secondo e il terzo - nel secondo:
Y3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)
Si noti che i segni nelle seconde parentesi sono stati invertiti, poiché abbiamo spostato il meno dall'espressione. Tra le prime parentesi possiamo scrivere:
(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)
Questo ti permette di applicare la formula di moltiplicazione ridotta per trovare la differenza di cubi:
(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)
Rimuoviamo il fattore comune 3y dalla seconda parentesi, dopodiché togliamo le parentesi (y - 2) dall'intera espressione (binomio), diamo termini simili:
(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)
In un'approssimazione generale, esiste un certo algoritmo di azioni quando si risolvono tali esercizi.
1. Cerchiamo fattori comuni per l'intera espressione;
2. Raggruppiamo monomi simili, cerchiamo fattori comuni per loro;
3. Cerchiamo di mettere tra parentesi l'espressione più appropriata;
4. Applichiamo le formule della moltiplicazione abbreviata;
5. Se a un certo punto il processo non va, entriamo in una coppia immaginaria di espressioni della forma -x + x, o altre costruzioni auto-cancellanti;
6. Diamo termini simili, riduciamo gli elementi non necessari
Tutti i punti dell'algoritmo sono raramente applicabili in un'attività, ma il corso generale per risolvere qualsiasi esercizio su un argomento può essere seguito in un determinato ordine.